理论力学第六章-

i1
在理想约束下，运动的每一瞬间系统 所受主动力和逆效力的虚功之和为零
• 基本形式的拉格朗日方程 考虑n个质点组成的自由度为s的体系：
r i r iq ,t 1 ,2 , ,s
先证明下述两个恒等式
ri q

ri q
ddtqr i qddrtiqr i
• （三）虚功原理的广义坐标表述和广义 力
xixi(q 1,q2, ,qs,t)
则质点坐标变量的虚位移与广义坐标虚位 移之间的存在关系
δxi s1qxi δqxti δt
(i1,2, ,3n)
δt 0
代入虚功原理的表达式可得
δW

3n i 1
Fi

s 1
r i r iq ,t 1 ,2 , ,s
ri
dri dt
s

ri
1q
q
ri t
ri q

ri q
d dt q r i s1q 2 riqq t 2q ri
• （二）理想约束和虚功原理
作用在质点上的力F与质点任一虚位移 δ的r
标积，称为此力在虚位移中的虚功
δ W F F ' δ r
虚功具有功（或能量）的量纲，但没有能 量转化过程与之联系。对于处于平衡状态 的体系，作用在各质点上的力（主动力和 约束力）所做的虚功之和为0
若体系中各个约束力所做的虚功之和等 于零，则这种约束称为理想约束
s1pqLs1qLqL
称为哈密顿函数(或哈密顿量)，是广义坐 标和广义动量的函数。
xi q
δq

s
1
3n i 1
Fi
xi q
δq

0
s
可写为 δW Qδq 1
Q1q1Q2q2Qsqs 0
其中
Q q1,q2, ,qs;t q W i3 n 1F i q x i
称为广义力在方向 上的分量，所有这些
i1
得到
i n1s1F i q r i m iri q r i δq0
定义广义力
Q

n i1
Fi
ri q
s1Qi n1miriqr i δq0
由于s 个广义i坐n1 m 标ir的i 变qr分i 各Q自独立，得到
则拉格朗日方程变为
ddtqTqT QqV
V q

0
移项整理得
ddtT q VT q V0
把 L q ,q ; t T q ,q 定; t 义 V 为 拉q ; t 格朗日函数，
则拉格朗日方程变为
d dt q L q L 0 1,2, ,s
受理想约束的有势系的拉格朗日方程
• 循环坐标和广义动量积分
拉格朗日函数对广义速度的偏导数，称 为力学系的广义动量
p

L q

T q
若广义坐标 q为 线坐标，则 p是 线动量 若广义坐标 q为 角坐标，则 p是 角动量
力的分量构成的总体 则Q是作用在体系上
的广义力
根据广义 平衡方程
Q 0 1,2, ,s
由于广义坐标是描写力学体系位形的独立 参量，因此他们的虚位移变更也都分别相 互独立，则虚功原理的广义坐标表述的物 理意义为：体系处于平衡时广义力的各分 量均为零（体系静平衡的广义平衡方程）
Q q 1 ,q 2 , ,q s;t 0
F i F i' m i r i 01 ,2 , ,n
意义：如果把 m当iri作作用在质点上的 力看待，那么任何瞬时作 用在体系中任 意 ，质和点力i上m的总iri主是动平力衡的，，约F质i束点力的动力F学i '
方程转化为静力学方程，此平衡原则称 为达朗贝尔原理
则坐标变换方程为：
xA xA, yA yA,zA 0
xB xAlsincos, yB yAlsinsin,zB lcos
广义坐标对时间的导数称为与 该广义坐标对应的广义速度：
q

d dt
q
系统状态由广义坐标和广义速度共同描述
§6.2 虚功原理
• （一）实位移和虚位移
l const
zA 0
自由度为4！
• 广义坐标： 在给定的约束条件下能完全 确定系统位置的一组独立变量称为系统 的广义坐标
xA ,yA ,xB ,yB
xA,yA,,
对于一个给定的系统，广义坐标的数目是 一定的，但广义坐标的选择不是唯一的！
• 广义坐标的表示：广义坐标一般用符号
n
F'
δri

0
i1
◆光滑曲面、曲线、光滑铰链均为理想约 束，受这些约束的质点，约束力恒与相应 的虚位移垂直! ◆如两个质点（研究对象）被不可伸长的 轻绳、或刚性杆连接的约束；两个刚体表 面光滑相互接触，或无滑相互接触的约束， 固定点约束等。
虚功原理：受理想约束的力学系统，保持 平衡的必要条件是作用于该系统的全部主 动力在任意虚位移中的虚功之和为零
n
δW Fδri 0
i1
在直角坐标系Oxyz中有
n FixδxFiyδyFizδz 0
i1
◆虚功原理是分析力学中解决静力学问题 的基本原理，提供了解决各类力学体系 （质点、质点组、刚体等）静力学问题的 统一方法，有很大的普适性
◆对虚功原理不是用静止的观点去解决静 力学问题，而是采用变动的观点，在变动 （虚位移）中寻找平衡的条件
第六章：分析力学
§6.1 约束 自由度和广义坐标
• 力学系统：由相互作用着的质点所构成 的系统，或称为力学体系或体系
• 位形：力学系中各质点的位置状态称为 力学系的位形。包含 n 个质点的力学系 位形需要 3n 个坐标参量来确定
• 约束：在一个力学体系中，如若存在一 些限制质点自由运动的条件，则这些限 制条件称为约束（其表现为在运动过程 中各质点位置和速度必须满足一定的关 系）
d dt q T q T Q 1,2,,s
受理想约束的拉格朗日方程
• 有势系的拉格朗日方程 对于有势体系，广义力为
Q i n 1F i q r i i n 1 V r i q r i q V
miri
称为逆效力或达 朗贝尔惯性力
以静制动!
• 达朗贝尔-拉格朗日方程
根据虚功原理，体系的静平衡条件为：
n
δW
F iF i' m iri δri 0
i1
只考虑理想约束体系：
n
Fi'

δri

0
得到
n
δW
F i miri δir1i 0
(1,2, ,s)
从上述s个体系的平衡方程可以解得体系 处于平衡位形时未知的主动力！
例题
• 课本176，例题6.1，例题6.2
§6.3 从牛顿力学到拉格朗日方程
• （一）达朗贝尔原理 研究n个质点组成的体系，每个质点的 运动都服从牛顿定律：
m i r i F i F i' 1 ,2 , ,n
例题6.4：体现了拉格朗日方程在力学 体系的运动时的优势
• 例题：一半径为r，质量为m 的小圆柱体沿一 固定的半径为R 的圆柱面内表面做纯滚动，用 拉格朗日方程求圆柱体在其平衡位置（最低点 ）附近做微振动的周期。
§6.6 哈密顿函数和正则方程
n个质点组成的自由度为s的力学体系：
Hq,p;tHq1,q2, ,qs;p1,p2, ,ps;t
n
i1
miri qri
n

i1
mi ddrti
ri q
n

i1
mi ddtri qri
n i1
miri ddtqri

i n 1m i r i q r i i n 1m id d t r i q r i i n 1m ir i q r i i n1middt1 2 q ri 2i n1mi1 2 q ri 2
若某一广义坐标q 在拉格
朗日函数中不出现，则有
L 0 q
根据拉格朗日方程可得
d dt
L q
0
则其所对应的第一积分为
L q

p
Const.
在体系的拉格朗日函数 L内不出现的广义 坐标，称为该体系的循环坐标，其所对应 的第一积分为该循环坐标的广义动量积分
§6.4 拉格朗日方程的应用
q 表示，如果系统有s个自由度，就需要 s 个广义坐标，称为拉格朗日广义坐标
q1,q2, ,qs或 q1 ,2, ,s
力学体系中每个质点的直角坐标都可以 表示为广义坐标的函数，其变换关系称 为坐标变换方程
xixi(q 1,q2, ,qs,t)
(i1,2, ,3n)
如果选用 xA,yA,作,为广义坐标
qs1qriq rti qd drti
ddtri s1qri qrti

δri
s

1
ri q
δq
将坐标变分代入虚功原理
n
δW
F i miri δri 0
质点在真实运动中的位移称为 实位移，是由真实运动产生， 与一定的时间相对应，由动力 学方程、初始条件和约束方程 确定。在时间dt之内，质点的 实位移d r 只 有d x 一i 个d 。y j d zk
质点在满足当时约束条件下一切可能的 无限小位移，称为该时刻质点的虚位移
质点的虚位移用 δ表r 示
• 力学体系的约束可以表示为约束方程
若约束只是限制各质点的几何位置，则称 为几何约束
fx i,y i,z i,t 0 ,i 1 ,2 , ,n
若约束方程中还包含有速度变量，则称这 种约束为微分约束
fxi,yi,zi,xi,yi,zi,t0 i1,2,,n
来自百度文库
例如：a)长为 l 的刚性轻杆，一端被光滑 铰链悬挂在 o 点，另一端与小球连接组成 球面摆，在直角坐标系小球约束方程为
x2y2z2l20
b)半径为 R 的车轮沿水平直线轨道无滑滚 动，由于接触点速度为零，则约束方程为
xC R 0
yc 0
xC R
yc R
不随时间变化的约束称为为稳定约束
fx,y,z0
若约束明显地随时间变化，则称为不稳 定约束
fx,y,z,t0
• 对于完整系，确定系统位置所需要的独 立坐标的数目，称为该系统的自由度 – 对于具有n个质点的力学体系，若存在 k个约束方程，则确定体系位形变化的 3n个坐标参量中有s=3n-k个参量可以独 立变化，其中 s 称为体系的自由度
◆虚功原理与牛顿力学不同，分析力学的 方法不是将注意力放在区分内力和外力上， 而是放在区分主动力和约束力上。虚功原 理只涉及到主动力（外力和内力中的）， 而未知的约束力不会在虚功原理中出现。 这是此原理的突出优点。
◆对虚功原理中所说的主动力所做虚功之 和为零，是对任意的虚位移而言的，不是 针对特殊的虚位移。
δ r δ xi δ y j δ zk
δx，δy，δ，z 为 δr沿坐标轴方向的投影，
称为坐标的变分，与微分运算规则完全 一致
• 虚位移和实位移的区别与联系
虚位移和实位移都必须满足 约束条件！虚位移是在时间 没有变化，即dt=0时所设 想的位移，并不曾发生，有 无穷多个可能性；而实位移 则是在dt>0时间内发生的 真实位移