离散数学期末复习题

离散数学期末复习题

一、选择题

1、永真式的否定是（2） (2) 永假式

2、设P ：2×2=5，Q ：雪是黑的，R ：2×4=8，S ：太阳从东方升起，则下列真命题为(1) (1)R Q P ∧→

3、设P ：我听课，Q ：我看小说，则命题R “我不能一边听课，一边看小说”的符号化为⑵ ⑵Q P ⌝→(3)

提示：()R P Q P Q ⇔⌝∧⇔→⌝ 4、下列表达式错误的有⑷ ⑷()P P Q P Q ∧⌝∨⇔∨ 5、下列表达式正确的有⑷ ⑷Q Q P ⌝⇒→⌝)(

6、下列联接词运算不可交换的是(3) (3)→

6、设D ：全总个体域，F （x ）：x 是花，M(x) ：x 是人，H(x,y)：x 喜欢y ，则命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为⑷ ⑷(()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∀→

7、设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些

老

师”的逻辑符号化为⑵

⑵))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀

8、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中的 x 是⑶ ⑶既是自由变元又是约束变元 9、下列表达式错误的有⑴

⑴(()())()()x A x B x xA x xB x ∀∨⇒∀∨∀ 10、下列推导错在⑶

①)(y x y x >∃∀ P

②)(y z y >∃ US ① ③)(z C z > ES ② ④)(x x x >∀ UG ③

⑶④

11、下列推理步骤错在⑶

①(,)x yF x y ∀∃

P ②),(y z yF ∃ US ① ③),(c z F ES ② ④),(c x xF ∀ UG ③ ⑤),(y x xF y ∀∃ EG ④

⑶③→④

12、设个体域为{a,b}，则(),x yR x y ∀∃去掉量词后，可表示为⑷

⑷()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨

提示：原式()()()()()()()()

,,,,,,yR a y yR b y R a a R a b R b a R b b ⇔∃∧∃⇔∨∧∨ 二、填充题

1、一个命题含有n 个原子命题，则对其所有可能赋值有2n

种。

2、n 个命题变元可产生2n 个互不等价的极小项，其中，任意两个不同极小项的合取式为矛盾式（永假式），而全体极小项的析取式为重言式（永真式），n 个命题变元可构造包括F 的不同的主析取范式类别为22n

。

3、n 个命题变元可产生2n 个互不等价的极大项，其中，任意两个不同极大项的析取式为重言式（永真式），而全体极小项的合取式为矛盾式（永假式），n 个命题变元可构造包括T 的不同的主合取范式类别为22n 。

5、公式))(()(S Q P Q P ⌝∧⌝∨∧∨⌝的对偶公式为()(())P Q P Q S ⌝∧∨∧⌝∨⌝。

6、设P ：它占据空间，Q ：它有质量，R ：它不断运动，S ：它叫做物质。命题“占据空间的，有质量的而且不断运动的叫做物质”的逻辑符号可化为R Q P S ∧∧↔ 。

7、P ：你努力，Q ：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为Q P →⌝； “虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为Q P ∧。

8、令)(x A ：x 会叫，)(x B ：x 是狗，)(x C ：x 会咬人，则命题“会叫的狗未必会咬人” 的符号化为))()()((x C x B x A x ⌝∧∧∃。

9、设P(x)：x 是大象，Q(x)：x 是老鼠，R(x,y)：x 比y 重，则命题“大象比老鼠重”的符号化为)),()()((y x R y Q x P y x →∧∀∀。

10、令A （x ）:x 是自然数，B （x,y ）：x 小于y ，则命题“存在最小的自然数” 的符号化为),()(()((x y B y A y x A x ⌝→∀⋂∃。

三、计算题

1、用真值表方法判断下列公式的类型，并求（3）的主析取范式与主合取范式

（1）（P →Q ）↔（⌝P ∨Q ）； （2）⌝（P →Q ）∧Q ； （3）（P →Q ）∧⌝R ；

解 （1）、（2）和（3）的真值表如表1、表2和表3所示：

（3）的主析取范式为：(0,2,6)∑；其主合取范式为(1,3,4,5,7)π。

2、给定解释I ：D={2，3}，L （x,y ）为L( 2 , 2 ) = L ( 3 , 3 ) = 1 , L ( 2 , 3 ) = L (3 , 2 )=0 ,求谓词合式公式),(y x xL y ∀∃的真值。

解：(,)((2,)(3,))((2,2)(3,2))((2,3)(3,3))y xL x y y L y L y L L L L ∃∀⇔∃∧⇔∧∨∧

(10)(01)000⇔∧∨∧=∨=。

3、个体域为{1，2}，求x ∃y （x+y=4）的真值。 解：x ∃y （x+y=4）⇔x （（x+1=4）∨（x+2=4））

⇔（（1+1=4）∨（1+2=4））∧（（2+1=4）∨（2+2=4）） ⇔（0∨0）∧（0∨1）⇔0∧1⇔0。

四、证明题

1、证明下列逻辑恒等式：

（1）Ｐ↔Ｑ⇔ (Ｐ→Ｑ)∧(Ｑ→Ｐ) 证明、用真值表法证明

由定义可知，这两个公式是等价的。 （2）P →(Q →P)⇔⌝P →(P →⌝Q)

证明、P →(Q →P)⇔⌝P ∨(⌝Q ∨P) ⇔P ∨(⌝P ∨⌝Q)

⇔P ∨(⌝P ∨⌝Q) ⇔P ∨(P →⌝Q) ⇔⌝P →(P →⌝Q)

（3） ))(()()(Q R P Q R Q P →∨⇔→∧→

证明 ： 左))(())()((Q R P Q R Q P ∨⌝∧⌝⇔∨⌝∧∨⌝⇔

⇔→∨⇔∨∨⌝⇔)())((Q R P Q R P 右

（4）求证：x(A(x)→B(x))⇔ xA(x)→xB(x)

证明 ：x(A(x)→B(x))⇔x(⌝A(x)∨B(x))⇔x ⌝A(x)∨xB(x)⇔⌝xA(x)∨xB(x)⇔xA(x)→xB(x)

（5）求证：x(P(x)→Q(x))∧xP(x)⇔x(P(x)∧Q(x)) 证明：左⇔x((P(x)→Q(x)∧P(x))⇔x((⌝P(x)∨Q(x))∧P(x))⇔x(P(x)∧Q(x)) ⇔右

（6）求证：x y (P (x )→Q (y )) xP (x )→yQ (y ) 证明：x y (P (x )→Q (y ))x y (⌝P (x )∨Q (y ))

x (⌝P (x )∨yQ (y ))x ⌝P (x )∨yQ (y )⌝xP (x )∨yQ (y )xP (x )→yQ (y )

（7）求证：()()()()()(

)

x F x G x xG x xF x ∀⌝∧⇔⌝∀→∃ 证明：左()()()()()()()()()x F x G x x F x G x xF x x G x ⇔∀⌝∨⌝⇔⌝∃∨⌝⇔⌝∃∨∃⌝ ()()()xF x xG x ⇔⌝∃∨⌝∀()()()xG x xF x ⇔⌝∀→∃⇔右

2、用推理规则证明下列各结论是各前提的有效结论： （1）P →Q ，⌝Q ∨R ，⌝R ，⌝S ∨P=>⌝S 证明：(1) ⌝R P

(2) ⌝Q ∨R P

(3) ⌝Q T （1），（2）(析取三段论) (4) P →Q P (5) ⌝P T （3），（4）(拒取式)

P Q P ↔Q （P →Q ）∧（Q →P ） F F F T T F T T T T F F F F T T