1.数学软件Mathematica在积分计算中的应用

1
不定积分
求给定函数 f ( x ) 的不定积分，就是要求 f ( x) 的全体原函数 F ( x) + C ，即 ∫ f ( x)dx = F ( x) + C ． Mathematica 软件的命令格式：Integrate[f[x]，x]，运行的结果就是 f[x]的原函数 F[x]，但不带任意常数．
在数学里求定积分（精确计算）的公式是
∫ f ( x )dx = F ( x )
a
b
b a
= F (b) − F (a ) ，其中 F（x）
其中 LogIntegral[x]为系统内部函数． 一般情况下，假定被积函数中的所有参数的 值都是取普通值，比如 Mathematica 在求不定积
是 f（x）的一个原函数．在 Mathematica 系统中的 命令是 Intergrate[f(x)，{x，a，b}]，其中积分区间 是[a，b]．
1 ( −1 + eSin[1]) ． 2
Integrate[Cos[Sin[x]]，{x，0，2Pi}] 得 2 BesselJ[0，1]． 与不定积分一样，在计算定积分的时候，积 分变量也可以为任何表达式．对于那些积分变量 以外的变量均当作常量处理． 例 10：计算定积分 （x 2 + y 2 )dy ． ∫
例 5：求不定积分 ∫ L og a ( L og x) dx ． 运行 Integrate[Log[a，Log[x]]，x]得
xLog[ Log[ x]] − LogIntegral[ x] Log[a]
运行 Integrate[Sin[Sin[x]]，x]得
∫ Sin[Sin[ x]]dx ．
2 定积分
2.3 数值积分的计算 在 Mathematica 中， 当积分算不出准确值时， 我们可以通过 NIntegrate[f[x]，{x，a，b}]求近似 值 ． 而 且 对 于 命 令 Integrate 能 够 计 算 的 ， NIntegrate 也能计算；有些函数不能用 Integrate 计算的，用函数 NIntegrate 还能计算．
x1+ n 分 ∫ x dx 时，它的结果为 ，而不管 n 是否 1+ n
n
为-1．
2.1 初等函数与定积分 对于简单的定积分，只需按照命令格式输 入相应的被积函数，积分变量及积分限即可进 行计算．
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欧 鹏 王绍恒 高成政 刘雪莲 吴梦蝶： 数学软件 Mathematica 在积分计算中的应用
运行 Integrate[1/(x^2-1)，x]得 Log[1 − x] − Log[1 + x] ． 运行 D[%，x]得 − 2(1 − x) − 2(1 + x) ． 运行 Simplify[%]化简得
1 1
1 2
1 2
1 ． −1 + x 2
收稿日期：2011-01-19 作者简介：欧 鹏（1988-） ，男，重庆合川人，重庆三峡学院数学与统计学院 2008 级学生． 基金项目：本文系重庆市教委教改项目“基于数学软件的大学生创新能力培养的实践研究（103144） ” 、重庆三峡 学院教改项目（重庆三峡学院高教[2010]14 号） 、重庆三峡学院大学生创新性实验项目（重庆三峡学 院教务处[2010]49 号）阶段性研究成果 -30-
a b
运行 Integrate[x^2+y^2，{y，a，b}]得
1 ( − a 3 + b 3 ) + (− a + b) x 2 ． 3
如果希望得到近似数值解，运行： NIntegrate[x*Exp[x]Sin[x]，{x，0，1}]得 0．643678 对于 NIntegrate 命令的一个重要的作用是能 处理被积函数无界的函数，函数 NIntegrate 在积 分区间内自动检查被积函数有无瑕点，因此对无 界 函 数 仍 可 直 接 用 NIntegrate 命 令 计 算．NIntegrate[f，{x，xmin，xmax}]会从 xmin 到 xmax 积分 f，在每个点检查其奇异性． 例 13：计算定积分
1 JSinCos[1, x] ． 3
退出系统后，对 Integrate 的修改自动还原．
1.3 无法计算的不定积分 如果不定积分既不能用初等函数表示，也无 法用特殊函数表示， Mathematica 直接以不定积分 形式输出．
例 7：计算不定积分
∫ sin(sinx)dx ．
1.2 特殊函数的不定积分 有些函数的不定积分不能用初等函数表示， 这里 Mathematica 软件通常能夠用特殊内部函数 表示．
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∫ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
−1
1 dx ． |x|
由于 x=0 是瑕点，直接用函数 NIntegrate 将 给出出错信息． 如果在 5．0 版本下运行 NIntegrate[1/Sqrt[Abs[x]]，{x，-1，1}]将输出 NIntegrate： ：inum：Integrand numerical at {x} = {0．}．More…
NIntegrate[ 1 , { x, −1,1}] ． Abs[ x]
1 is not Abs[ x ]
该提示表明 x=0 为被积函数的瑕点．我们只 要加入 0 作为中间点，就可以计算其数值解了． 运行 NIntegrate[1/Sqrt[Abs[x]]，{x，-1，0， 1}]得 4． 在 7.0 以上版本下运行 NIntegrate[1/Sqrt[Abs[x]]，{x，-1，1}] 可以直接得出结果 4．
1.1 初等函数的不定积分
2 例 1：求不定积分 ∫ ( x + 1) dx ．
运行 Integrate[x^2+1，x]得 x +
x3 3
．
命令 Integrate 与命令 D 表示一对互逆运算，即命令 D[f [x]，x]表示函数 f [x]对 x 求导．
2 例 2：求不定积分 ∫ ( x − 1)dx ．
∫ (ax
2
+ bx + c ) dx 与
∫ (ax
2
+ bx + c ) da ．
运行 Integrate[a*x^2+b*x+c，x]得
cx + bx 2 ax 3 ． + 2 3
∫Sin[Cos[1 + 3x]]dx （原样输出了，什么也没
做） ． 如果想加入自己定义的积分规则，需要把函 数 Integrate 的保护属性去掉，即： 运行 Unprotect[Integrate]得 {Integrate} 定义自己的积分规则：例如定义函数 sin(cos(a +bx )) 的积分为 JSinCos[a, x] / b ．运 x_]： =JSinCos[a， 行 Integrate[Sin[Cos[a_.+b_.x_]]， x]/b 之后再运行 Integrate[Sin[Cos[1+3x]]，x]得
摘 要：随着计算机软件技术的发展，数学软件 Mathematica 的功能越来越强大，具有很强 的实用性．文章将借助数学软件 Mathematica 解决各类积分问题，尤其是对很难或者无法通过笔 算解决的积分问题进行了阐述． 关键词：Mathematica 软件；不定积分；定积分 中图分类号：G642．421 文献标识码：A 文章编号：1009-8135（2011）03-0030-05
2011 年第 3 期 第 27 卷（132 期）
重庆三峡学院学报 JOURNAL OF CHONGQING THREE GORGES UNIVERSITY
No.3.2011 Vol.27 No.132
数学软件 Mathematica 在积分计算中的应用
欧 鹏 王绍恒 高成政 刘雪莲 吴梦蝶
（重庆三峡学院数学与统计学院，重庆万州，404100）
例 12：计算定积分
∫ cos(sin x)dx ．
∫
1
0
xe x sin xdx ．
运行 Integrate[Cos[Sin[x]]，x] 得 Cos[ Sin[ x]]dx ． ∫ 计算定积分 ∫ cos(sin x)dx ，运行
0 2π
此类定积分用人工计算比较复杂，但借助函 数 Integrate 计算较容易． 运行 Integrate[x*Exp[x]*Sin[x]，{x，0，1}]得
例 8：计算定积分
∫
3
2
( x 3 − 2 x +1) dx ．
49 ． 4
False 得 1/n+1． 不加参数 GenerateConditions->False 的计算结果参看例 17．
运行 Integrate[x^3-2x+1，{x，2，3}]得
计算定积分时， 也可首先通过先求不定积分， 然后计算相应积分限处的值的办法，但值得注意 的是有些函数的不定积分不能用初等函数表示， 但其定积分仍可以计算． 例 9：计算不定积分
运行 Integrate[a*x^2+b*x+c，a]得
ac + abx + a2 x2 ． 2
由此可见，正确指定积分变量的重要性． 积分变量可以为任何表达式．
2 例 4：计算不定积分 ∫ x f ( x) + f ( x)df ( x) ．
运 行
2
Integrate[x^2f[x]+f[x] ， f[x]] 得
2.2 特殊函数与定积分 在计算定积分时，有时求出来的定积分结果 里面含有特殊函数，这些函数是 Mathematica 内 部函数，我们可以对求出的结果取近似值得出近 似解．如对例 9 中的定积分． 运行 Integrate[Cos[Sin[x]]，{x，0，2Pi}]得 2 BesselJ[0，1]再运行 N[%]得 4．80788 也可以直接运行 NIntegrate[Cos[Sin[x]]， {x，0，2Pi}]得到同样结果． 计算定积分时，还可对命令 Integrate 进行设 置参数，通过这些参数设置，可以更加灵活地计 算定积分．在我们常见的函数中，参数 GenerateConditions 以及参数 Assumpions 使用较 多． 对于参数 GenerateConditions 的使用， 如设置 GenerateConditions->False，则 Mathematica 会把 被积函数中的参数当作最普通的值，不考虑其特 殊情况． 例 11：运行 Integrate[x^n， {x， 0， 1}， GenerateConditions->
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含参数不定积分：命令 Integrate 中，若被积 函数含有积分变量以外的变量，运行时均独立于 积分变量而把此类变量当做常量． 例 3：求不定积分 有时候为了某种特殊需要，需修改命令 Integrate 的参数，例如下面的积分不能用初等函 数来表示． 例 6：计算不定积分 ∫ sin(cos(1+3x))dx ． 运行 Integrate[Sin[Cos[1+3x]]，x]得
−1 + p
∫
1
−1
e − x dx 的 20 位有效数
5
字近似值． 运行 NIntegrate[Exp[-x^5]，{x，-1，0，1}， WorkingPrecision->20]得 2.0949681713212033484． 该命令等价于 N[Integrate[Exp[-x^5]，{x，-1，0，1}]，20]． NIntegrate 利用自适应算法计算积分的近似 值，它对积分区间进行分割，直到达到指定的精 确度为止．
f [ x] 1 2 + x f [ x]2 ． 2 2
（其中 f ( x) 可以是任意函数表达式） 大多数情况下，积分可以纯粹的根据诸如指 数函数、对数函数和三角函数等基本初等函数进 行运算．事实上，如果给出一个仅含这种初等函 数的积分，那么 Integrate 的重要能力之一是如果 该积分能用初等函数表示，那么 Integrate 总能成 功计算出结果．
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除此之外，数值积分不但可以求近似解，而 且还可以设置参数 WorkingPrecision 的值控制输 出结果的精度． 例 14： 计算定积分 求解上述广义积分：运行 Integrate[1/x^p，{x，a， Infinity}]得 If[a 0&&Re[p]>1||Re[p]>1&& （ Im[a].0|| Re[a] 0 ） ， a1− p ， Integrate[x-p ， {x ， a ， } ，
借助数学软件辅助教学多年以来，[1]收到了较好的效果．积分是高等数学系列课程的重要组成部分， 某些题目的积分计算量较大，过程繁琐，甚至无法用学过的数学方法求解．为使学生借助 Mathematica 软 件快速、准确地解决上述问题，笔者结合实验与学习经历，通过借助 Mathematica 软件计算积分的典型例 子，总结了几种常见方法，供读者参考．