074电介质中的电场高斯定理
介质的极化和介质中的高斯定理
部电都介产质生内附部加的电总场场E强'。E
E0
E'
E0
'
'
极化电荷所产生的附加电场不足以将介质中的外电
场完全抵消，它只能削弱外电场。称为退极化场。
介质内部的总场强不为零！ 在各向同性均匀电介质中： E
E0
r
r称为相对介电常数或电容率。
3
二、介质中的高斯定理 电位移矢量
1.介质中的高斯定理
d
D2S 0S D1 D2 0 , D2 0
E2
D2
0r
0 0r
11
I区：D1
0,
E1
0 0
0
II区：D2 0 ,
②.求电容C
E2
0 0r
由C q U ab
与 U ab
Ed
高 斯
C q
0S
面
U ab E1(d d ' ) E 2d '
d' 0
D P1 P2
r
d
质中的高斯定理求场强：先根据自由电荷的分布利用 介质中的高斯定理求出电位移矢量的分布，再根据电 位移矢量与场强的关系求出场强的分布。
7
例1：将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 r 的介
质球中心，求：I 区、II区的 D、E、 及 U。
解：在介质球内、外各作半径为 r 的
高斯球面。
SD dS q0
荷密度为 0 , 其间插有厚度为 d’ 、电容率为 r 的电介质。
求 ： ①. P1 、P2点的场强E；②.电容器的电容。
解： ①. 过 P1 点作高斯柱面, 左右底面分别经过导体
和 P1 点。
D SD dS q0
大学物理电磁学部分07电介质的极化和介质中的高斯定理
10
总度结矢：量在P和外电电介场质E的0作形用状下决，定电了介极质化发电生荷极的化面；密极度化强，
而场各物E理又，量激而的发总关附电加场E电0又场决E定，着pE极又化影强响度电矢介量质内P部。Pn的总电
系如下：
EE0E' E'
在电介质中，电位移矢量、极化电荷、附加电场 和总场强这此量是彼此依赖、互相制约的。
计规律。
在外电场中，在有极分子电介
质表面出现极化电荷，
E 0 F
E0
这种由分子极矩的转向而引起的极化现象称为取向极化
6
外场越大，电矩趋于外场方向一致性越好，电矩 的矢量和也越大。
说明：电子位移极化效应在任何电介质中都存在，而 分子转向极化只是由有极分子构成的电介质所特有的， 只不过在有极分子构成的电介持中，转向极化效应比 位移极化强得多，因而是主要的。
代替电介质对电 场的影响。
在外电场
E
中，介质极化产生的束
0
缚部电都荷产， 生在 附其 加周 电围 场无E论'，介称质为内退部极还化是场外。
' '
退极化场
任一点的总场强为： EE0E'
注意：决定介质极化的不是原来的场
际的 场 E。
E
而是介质内实
0
E'又总是起着减弱总场 E的作用，即起着减弱极化
的作用，故称为退极化场。
为了计算它们当中的任何一个量，都需要和其它量 一起综合加以考虑。
这种连环套的关系太复杂，在实际计算中比较繁 琐。物理学追求“和谐、对称、简洁！
11
四、介质中的高斯定理 电位移矢量
1.介质中的高斯定理
真空中的高斯定理 SE0dS
q0
介质中高斯定理的微分形式
介质中高斯定理的微分形式高斯定理是电磁学中的基本定律之一，也是应用极为广泛的重要定理。
它表明了电场的流量与电场的源的关系，可以用来描述电场在不同介质中的传播和分布情况。
下面，我们来详细介绍介质中高斯定理的微分形式，以期帮助读者更好地理解并应用这一定理。
高斯定理的微分形式可表示为：∇・(ε(r)∇·E(r)) = ρ(r)其中，∇表示梯度运算符，·表示点乘运算符，E(r)表示电场矢量，ε(r)表示介质中的电容率函数，ρ(r)表示自由电荷密度。
这个方程的意义是：介质中的电场流出或流入单位体积的量，等于该体积内所有电荷的代数和。
也可以理解为电场的散度与电荷密度之间的关系。
在研究介质中的电场分布时，高斯定理的微分形式对于求解复杂或不规则情况下的电场非常重要。
通过对方程左边的梯度和散度运算，我们可以得到电场强度的微分形式，利用右边的电荷密度函数，我们可以进一步求解电场的分布情况。
这使得高斯定理在电磁学和电子工程领域中得以广泛应用。
在实际应用中，我们需要考虑不同材料的电容率函数ε(r)。
不同介质中的电容率函数不同，影响电场在介质中的传播和分布。
根据具体情况，我们可以选择不同形式的电容率函数，如常数形式（如真空中的ε0），线性形式或非线性形式，并使用高斯定理的微分形式求解电场分布。
此外，高斯定理的微分形式还可以与其积分形式相结合，形成一套完整的方程体系，用于研究电场与导体、电介质之间的相互作用，从而解决更加复杂的电场问题。
通过对积分形式的运算，我们可以得到电荷分布对电场产生的影响，求解场源分布情况等等。
总之，介质中高斯定理的微分形式是研究电场分布的重要工具之一。
通过对电场强度的微分运算，我们可以得到电场的变化规律，通过电荷密度函数，我们可以进一步求解电场的分布情况。
掌握高斯定理的微分形式，对于电磁学和电子工程领域的学习和应用具有重要意义。
通过深入理解和灵活应用高斯定理的微分形式，我们能够解决更加复杂的电场问题，并为技术创新和工程实践提供有效的指导。
有电介质的高斯定理
εr 1
S 2
S 2
d
V
V D1 = ε oε r E1 = ε oε r d ε oV D2 = ε o E2 = d
为什么 E1介 = E2真? 反而D1 ≠ D2了?
E1 , E2 , D1 , D2的方向均 ↓
关键: 关键: σ1 ≠ σ 2!
(2) 介质内的极化强度 P ,表面的极化电荷密度σ' 表面的极化电荷密度σ P = χ eε o E1 = ε o (ε r 1)V d σ1 S σ 2 方向: 方向: ↓ V εr 1 2 d ∵σ ′ = P cosθ
εo εo εr
(2) U = Q = 2b[ε r b (ε r 1)t ]Q ) C ε o S[2ε r b (ε r 1)t ]
问: Q左? 右 =Q
平板电容器极板面积为S间距为 接在电池上维持V 间距为d,接在电池上维持 例 . 平板电容器极板面积为 间距为 接在电池上维持 . 均匀介质ε 厚度d 均匀介质εr 厚度 ,插入电容器一半忽略边缘效应 求(1)1,2两区域的 E 和 D ;(2)介质内的极化强度 P, , 两区域的 介质内的极化强度 表面的极化电荷密度 σ ' ;(3)1,2两区域极板上自由 , 两区域极板上自由 σ 电荷面密度 σ 1 , 2. 解:(1)V = E1d = E2d ) ∴ E1 = E2 = V d
U = E1 (b t ) + E2 t = εrσ o [εrb (εr 1) t] ε
q εrεoS ∴C = = = U εrb (εr 1) t
空气隙中 D = σ E1 = σ εo
介质中 D = σ
ε 1 b r t εr
εoS b
与t的位置无关 的位置无关 t↑,C↑ ↑ ↑ εrεoS t=b C = b
大学物理介质中的高斯定理
r1
r2
18
例:球形电容器由半径为R1的球体和内半径为R3的导 体球壳构成，带电 q，其间有两层均匀电介质，
分界面的半径为R2，相对介电常数分别为r1和r2 。 求：E, D 和C。
解：
D
dS
4
r
2
D
q
S
R2
R1 r2
D1
q 4r 2
D2
q 4r 2
R3
r1
在界面上电位移线会发生折射
tan1 1
tan2
2
2 1
若 2 > 1 2 > 1 ，电位移线将折离法线
*
上海交通大学 董占海
28
证明：
E1t E2t D1n D2n
E1sin1 E2sin2
D1 cos 1 D2 cos 2
D1 1E1 D2 2 E2
39
思考：带电金属球 (R、Q)，半个球处在电介质εr 中，则球正下方r > R 处的 E、D。
r
同上
上海交通大学 董占海
40
例5：一点电荷Q放在半无限大电介质为εr和真空的 界面处，求E、D。
解：空间的场强 = 两个点
电荷Q和q′产生的
故空间各点的E、为
r
点电荷的场，具有球
对称性
xd 2
2 DS 0 0 S0d
D
i
0
d
2
上海交通大学 董占海
d
r
0
Ox
23
xd 2
E
D
0r
0 x
电位移介质中的高斯定理复习课件
掌握高斯定理的应用步骤
确定高斯面
根据问题的对称性选择适当的高斯面 ，高斯面应包含所有需要求解的电荷 分布。
计算电位移矢量D的通量
根据电位移的定义和性质，计算高斯 面上各点电位移矢量的通量。
应用高斯定理
将电位移矢量的通量代入高斯定理公 式中，求解出电场强度E的值。
02
高斯定理表述为"通过任意闭合曲 面的电位移通量等于该闭合曲面 所包围的体积内所含电荷量"。
高斯定理的意义
总结：高斯定理揭示了电场与电荷之 间的内在关系，是理解电场分布和电 荷相互作用的基础。
高斯定理阐明了电场线从正电荷发出 ，终止于负电荷，总电位移线闭合的 事实，对于理解电荷分布与电场的关 系至关重要。
圆柱对称分布电场的高斯定理应用
总结词
圆柱对称分布电场的高斯定理应用是指将高 斯定理应用于圆柱对称分布的电场中，以求 解电场分布和电位移矢量的方法。
详细描述
在圆柱对称分布电场中，高斯定理的应用同 样可以简化计算过程。通过将圆柱面分割成 若干个圆环，并应用高斯定理计算每个圆环 内的电位移矢量，再求和即可得到整个圆柱 面的电位移矢量。这种方法可以用于求解圆 柱形电荷、带电导体等问题的电场分布。
平面分布电场的高斯定理应用
总结词
平面分布电场的高斯定理应用是指将高斯定 理应用于平面分布的电场中，以求解电场分 布和电位移矢量的方法。
详细描述
在平面分布电场中，高斯定理的应用同样适 用。通过将平面分割成若干个小区域，并应 用高斯定理计算每个小区域内的电位移矢量 ，再求和即可得到整个平面的电位移矢量。 这种方法可以用于求解平面电荷、带电导体
电位移介质中的高斯定 理复习课件
电容器、电介质、介质中的高斯定理
i
E总 E0 E 0
被约束在分子内
不一定与表面垂直
9
有极分子电介质
H
H
104
o
F
+ - pi
E0 F
+
+
+
E
无外场
pi 0
pi
0
i
外场中(转向极化)
pi 0
pi
0
i
出现束缚电荷和附加电场
位移极化和转向极化微观机 制不同，宏观效果相同。10
统一描述
pi
0
i
出现束缚电荷(面电荷、体电荷)
实验发现:
A
插入前： U 0
C0
q U0
插入后：U AB
C q U AB
U0 U AB
r,
C C0
r
r 1,常量 由电介质的种类和状态决定
0
真空介电常数
r
相对介电常数(电容率)
= 0 r 介电常数
13
E0
0 0
, U0
E0d ,
E
0
内部的场由自由电荷和
+
+
+
+
E0 E
+
+
极化电荷共同产生
静电感应
无极分子电介质: 位移极化 有极分子电介质: 转向极化
宏观 效果
静电平衡 导体内 E 0, 0 导体表面 E表面 感应电荷 0 E
内为部零：分子pi偶极0 矩矢量和不
i
出现束缚电荷（极化电荷）
12
二、电介质对电场的影响
+ + + + +
B
电介质中高斯定理
1
r r 1 Q Q r 0 0
)
Q Q0 (1
1
)
⑤极化电荷密度 与
E 0 rE
1 0 P ( 1 ) ( r 1 ) 0 0 0E 0 ( r 1 ) 0E 0E
r
r
R2
R1
r
R2
解（1）
R1
d S l D
S
D 2 π rl l
D
E ( R r R ) 1 2 r 2 π rr 0 0
D 2π r
r
R2
R1
( R r R ) （2）由（１）可知 E 1 2 2π 0r r R R d r 2 U E d r ln R 2 π r 2 π 0r R 0 r 1
2.极化电荷与电极化强度之间的关系 （以位移极化为例） 电场中每个分子产生电矩：
++++-
++++-
++++-
++++-
均匀介质
E
++++-
pe ql
单位体积中分子电矩 的矢量和为：
p P V
nql
e
npe
式中 n 为介质中单位体积的分子数。
电极化强度和极化电荷面密度的关系
6 2 P ( ε 1 ) ε E 5 . 89 10 C m r 0 6 2 σ ε E 8 . 85 10 C m 0 00 6 2 σ ' P 5 . 89 10 C m 6 2 D ε ε E ε E σ 8 . 85 10 C m 0 r 0 0 0
静电场的高斯定理
静电场的高斯定理
静电场的高斯定理是电场的一种重要性质描述，它是由德国数学家
卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪提出的。
高斯定理表述了电场的通量与电场源之间的关系。
它的数学表达式为：
∮ E · dA = ε₀ * Q
其中，∮ E · dA表示电场E在一个封闭曲面上的通量（通过该曲面
的电场线数目乘以单位面积的大小），ε₀表示真空中的电介质常数，Q表示该曲面内的电荷量。
高斯定理可以理解为：一个空间闭曲面上的电场总通量等于该空间
内的电荷量与真空中的电介质常数的乘积。
高斯定理的实际应用是利用其简化计算电场问题。
通过选择合适的
曲面，可以使电场的计算变得更简单。
这是因为高斯定理允许我们
将电荷分布复杂的问题简化为电荷集中的问题。
总之，静电场的高斯定理提供了描述电场通量与电荷量之间的关系的数学工具，能够方便地帮助解决电场问题。
静电场中的电介质电位移介质中的高斯定理
电介质被引入电场中后，将产生极化现象，即：在外 电场的作用下，介质中或表面上将出现极化电荷。
2
1.无极分子的位移极化 分子的等效正、负电荷作用中心在外电场作用下沿 电场方向发生反向位移而产生极化电荷。
无外电场时
处于外电场中时
E
E0
E
垂直于电场方向的表 面出现极化电荷(称 束缚电荷)。
E 3
2.有极分子的取向极化 每个分子电矩在外场作用下沿外场取向而使整体出现 极化电荷。(此时也有位移极化，但相较很小)。
0r 为介质的电容率。
★ 在各向同性介质中：E 1/ , 而 D E.
所以，D与介质的介电性质 无关。
e
E dS 1
S
0
(q0
q)
由自由电荷与极 化电荷共同决定.
S
D
D dS
S
q0
仅由自由电荷决定， 而与极化电荷无关。
S
★在研究电场本身的性质时，引入辅助量 D 可以排开介质极化的影响，
●极化电荷的场又称退极化场。理由是：
决定介质极化的不是源电场E0，而是介质内的总场
E E0 E
E总是会削弱总场E，所以也总是起到减弱极化的作
用，故称为退极化场。 提示：在均匀外场中，极化
E E0 E
电荷在介质中产生的场大体
与外场方向相反。而具有对
称形状的介质体，极化场总
E
是严格地与外场相反且极化
S (0 E P) dS q0 S
定义电位移矢量：D 0 E P 单位:库仑/米2
则：
S D dS q0
S
介质中的高斯定理
●穿出某一闭合曲面的电位移通量等于这个曲面所 包围的自由电荷的代数和。
电学高斯定理-概述说明以及解释
电学高斯定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述：电学高斯定理，又称高斯电场定理，是电学领域中一个非常重要的定理，它描述了电场在闭合曲面上的总通量与在该曲面内所有点电荷的代数和之间的关系。
通过高斯定理，我们可以更加深入地理解电场的性质和分布。
在本文中，我们将对电学高斯定理进行详细探讨，包括其概念、数学表达以及应用。
通过对电场的分析和计算，我们可以更好地理解高斯定理在电学领域中的重要性和实际应用价值。
同时，我们也将展望未来高斯定理的发展方向，探讨其在电学研究中的潜在应用和意义。
通过本文的学习，读者将能够更加全面地认识和理解电学高斯定理，为其在实际工程和科研中的应用提供帮助和指导。
1.2 文章结构本文将从引言部分开始，首先概述电学高斯定理的重要性和应用价值，然后介绍文章的结构安排。
接着将进入正文部分，详细讨论电学高斯定理的概念、数学表达以及其在现实生活中的应用情况。
最后，结论部分将总结电学高斯定理的重要性和在电学领域的应用，同时展望未来高斯定理的发展趋势。
整篇文章将全面介绍电学高斯定理，帮助读者更好地理解和应用这一重要理论。
1.3 目的电学高斯定理作为电磁学中的重要定律之一，其目的在于帮助我们理解电荷在电场中的行为规律。
通过深入研究高斯定理，我们可以更好地理解电场分布情况，预测电荷的运动轨迹，并解决复杂电学问题。
此外，掌握电学高斯定理还可以为我们提供一种便捷的计算电场强度的方法，简化电场分析的过程。
通过对高斯定理的掌握，我们可以更高效地解决工程中的电学问题，提高电学学科的研究水平和工程应用技术。
因此，本文旨在深入探讨电学高斯定理的概念、数学表达和应用，帮助读者更好地理解电场的特性，拓展电学知识，为电学领域的学习和研究提供有益的参考。
2.正文2.1 电学高斯定理的概念电学高斯定理，也称为高斯通量定理，是电学领域中的一个重要定理。
它描述了电场通过任意闭合曲面的总通量等于该曲面内的电荷总量的1/ε₀倍，其中ε₀为真空介电常数。
静电场的高斯定理
静电场的高斯定理
《静电场的高斯定理》
一、概述
静电场是一种重要的物理场，它是电学系统中最基本的物理量。
其中，高斯定理可以很好地描述静电场的行为，它是物理学中最重要的数学定理之一。
二、高斯定理的定义
高斯定理（Gauss’s law）是一个关于电压、电势和电场强度之间关系的定理，它可以用来求解电场强度和电势。
它可以用如下公式表示：
负电荷面密度和电势的总和*电场强度的积分= n电荷的电量/εo
其中，n是电荷数，εo是真空电介质中的介电常数。
三、高斯定理的应用
高斯定理可用于研究电荷在各种形状的电容器中的分布情况。
在分析电势和电能场时，也会用到高斯定理。
它同时也可以用来在不完全对称情况下分析和计算电场强度。
四、总结
高斯定理是物理学中一个重要的数学定理，它可以用来求解电场强度和电势，并可用于研究电荷在各种形状的电容器中的分布情况。
它可以用来解决电势和电能场的分析问题，也可以用来解决不完全对称情况下的电场强度计算问题。
《电磁场理论》2.5 介质中的高斯定理
D E
P ( 0 )E
在真空中， P 0
，
r 1
D 0 E
5
各向异性介质的电位移与电场强度的关系可以表示为
D x 11 D y 21 D z 31
12 13 E x 22 23 E y 32 33 E z
7
例1：已知半径为a，介电常数为 的介质球带电荷为q， 球外为空气，分别在下列情况下求空间各点的电场和介 质中的极化电荷分布： 1）电荷q均匀分布在球体内； 2）电荷q集中在球心； 3）电荷q均匀分布在球面上。 解：1）电荷q均匀分布在球体内时，电场分布为
q
DdS q
S
4 3 a 3
P P1 ( 0 ) E1
1 d 2 q ( 0 ) 2 (r )0 2 r dr 4 r
r=0处为电场的奇异点，该处应有一极化点电荷，设此 10 极化点电荷为qP，根据高斯定理，有
S
0
E 1 d S q qP
取S为以介质球心为中心，r(r<a) 为半径的球面， q 0 2 4 r q qP 2 4 r
如图，柱形面上、下底面积 1 媒质 1 S ΔS很小，故穿过截面ΔS的电 分界面 通量密度可视为常数，假设 h 0 2 媒质 2 柱形面的高 h→0 ，则其侧面 2 积可以忽略不计。 D2 设分界面上存在的自由面电荷密度为 ，由高斯定理
1
1
S
D dS D1 nS D2 nS S
S
D dS q
( D1 D2 ) n
15
说明：1) 为分界面上自由电荷面密度，不包括自 由极化电荷。 2）若媒质为理想媒质，则
07--4、电介质中的电场高斯定理
解： （1）自由电荷所产生旳场强（在真空中）为
E0
σ0 ε0
9.0 106 8.85 1012
1.02 106 V/m
(2)
由
E
E0 εr
εσrε00
σ0 ε
可知电介质内的场强为
E
σ0 ε
9.0 106 3.5 1011
2.57 105
V/m
（3）极化电荷面密度为：
0
0
3.5 1011 8.85 1010 3.5 1011
有电介质时旳高斯定理得（注意导体中
D=0）：
D dS S2
D dS
右底面
D1 A
A
与前面的式子相比较， 有D1 D2
+ +
S2
利用 D1 1E1 ，D2 2 E2 ，可求得：
E1
1
r1 0
,
E2
2
r 2 0
（2）正、负两极板间旳电势差为：
U
E1d1
E2d2
(d1 1
E1 E2
S D dS D S 0 S
D＝ 0
E1
D
1
0 0 r
E2
D
0
0 0
U
E1
d 2
E2
d 2
0d 2 0 r
0d 2 0
0d 0
r 1 2 r
3 5 U0
C1
Q1 U1
2 r 0 S
d
C2
Q2 U2
2 0 S
d
C1，C2串联：
C
C1C2 C1 C2
5 3 C0
由前面知：
例6、同轴电缆半径分别为R1和R2，其间充斥电介质 r1,，r2 ，
介质中的高斯定理
v E
D
介质中的高斯定理
例 自由电荷面密度为0的平行板电容器，其极化电荷面密度
为多少？
解: 由介质中的高斯定理
-+´0
DS 0S D 0
D +´
E
D
0r
0 0 r
- 0
0 0
E0
0 0
E 0
E E0 E
0 r 0 0
1
1
r
0
E
dS S
++++++
-q - - - - - -
移出S面
qi
留在S面内
介质中的高斯定理
v v E dS
S
1
0
qi
1
0
vv P dS
S
S 0E P dS qi
定义电位移矢量: D 0 E P C m2
介质中的高斯定理: 在任何静电场中，通过任意闭合曲面 的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和.
D S
dS
qi
说明:
D S
dS
qi
介质中的高斯定理
1. 介质中的高斯定理虽说是从平板电容器这一特例推 导出，但它却有普适性.
2. 介质中的高斯定理包含了真空中的高斯定理.
真空中: P 0 所以: D 0E P 0E
v D dS
S
S 0E dS qi
vv E dS
S
1
0
qi
3. 电位移矢量D 是一个辅助量.描写电场的基本物理
介质中的高斯定理
大学物理
静电场中的导体和电介质
第4讲 介质中的高斯定理
介质中的高斯定理
有电介质时的高斯定理
0
v E
dsv
q0
S
S
Ò
S
v E
dsv
q0
0
真空中的高斯定理
有介质时的高斯定理是真空中的高斯定理的推广，
也可以说真空是介质的一个特例，真空是特殊的介质。
例1：书P103例题1
的半均径匀为无R，限电大荷电量介为质q中0的，金求属电球介埋质在内绝的对场介强电E常及量电为介
质与金属交界面上的极化电荷面密度。
（2）交界面上的极化电荷总量为
q
4
R2
0
q0
即 q q0 ： 极化电荷绝对值小于自由电荷绝对值。
（3）交界面上的总电荷量为
q q0 q q0 r
总电荷减小到自由电荷的
1
r
倍。
（4）把介质换为真空，则场强为
q0
4 0 r 2
rˆ
q0
4 r2
q0
1
r
4 0 r2
充满均匀介质时场强减小到无介质时的
二 电位移.有电介质时的高斯定理
有介质存在时，电介质的内部或表面上出现极化电 荷，极化电荷也要激发电场。即有介质存在时，增加 了新的场源电荷即极化电荷。但是，新的场源只改变 原有静电场的大小，不改变静电场的性质。即对有介 质存在时的静电场，高斯定理和环路定理仍然成立。
1、有介质时的高斯定理
ÒS
v E
②如果 q0 0，则
Ò
v D
dsv
0
S
说明 D 对S面的通量为0，但 D 不一定为0；S面内
不一定无极化电荷 q和自由电荷 q0，只是 q0 的代数
和为0。
（4）
Ò
v D
dsv
q0
高二物理竞赛课件-7.3静电场的高斯定理
§7-3 静电场的高斯定理
1
第七章 静止电荷的电场
7.1 物质的电结构 库仑定律
7.2 静电场 电场强度
7.3 静电场的高斯定理
7.4 静电场的环路定理 电势
7.5 电场强度与电势梯度的关系
7.6 静电场中的导体
7.7 电容器的电容
7.8 静电场中的电介质
7.9 有电介质时的高斯定理 电位移
高斯定理并未反映静电场是有心力这一特点。 实际上，不增加附加条件(如点电荷电场的方向沿径向或 具有球面对称性等条件)并不能从高斯定理推出库仑定律。
在静电场范围内，库仑定律比高斯定理包含更多的信息: 库仑定律将电场强度和电荷直接联系起来； 高斯定理将电场通量和某一区域内的电荷联系在一起。
17
高斯定理 讨论 (3)
因为高斯面外的电荷对在高斯面上产生的电通量没有贡献，但其对总场强有贡献。
q 其值等于dS2面内的电通量，
（2）通过包围点电荷q 的任意闭合面S的电通量都 =
4 r 高斯定理 讨论 (2)
2
直接运用高斯定理求出场强的情形，须有一定的对0 称性。
如
,则S 上各点E = 0 ?
解：柱面外一点对称性分析：任一点(P)的场强沿径向，距中心同远处场强相同。
电荷间的作用力有平方反比关系；
解：柱面内一点对称性分析：圆柱内任一点的场强沿径向。
电偶极子 如S上各点E=0，能否肯定此闭合面内一定没有包围净电荷?
(中线、延长线)
中垂线
2 0
1
x
x2
R2
1 E
r3
中垂线
2 0 r
19
例题 7-9
求均匀带正电球壳所激发的场强。(R, q)
有电介质的高斯定理
有电介质的高斯定理好的，那我们就开始聊聊有电介质的高斯定理吧。
电介质的高斯定理啊，听起来就很厉害的样子呢。
其实啊，它就像是一个超级智慧的小管家，管理着电场在电介质中的那些事儿。
你想啊，电场这个东西本来就很神秘，看不见摸不着的，就像一个调皮的小精灵到处乱窜。
但是有了这个高斯定理呢，就好像给这个小精灵套上了一个小缰绳，能让我们更好地去把握它。
在电介质里啊，电荷可不像在真空中那么自由自在了。
电介质会对电场产生影响，就像是给电场设置了一些小障碍一样。
而高斯定理呢，它就像一个聪明的侦探，能透过这些复杂的情况，找到电场和电荷之间的关系。
比如说吧，当有个电介质放在电场里的时候，电介质里的分子会被电场影响，它们会发生极化现象。
这极化就像一群小士兵，被电场这个将军指挥着，重新排列队形。
那高斯定理是怎么做到看透这一切的呢？它通过巧妙地选择一个高斯面，就像在电介质的世界里圈出了一块特殊的领地。
然后呢，根据穿过这个高斯面的电通量，就能知道这个领地里面电荷的情况啦。
这电通量就像是经过这个领地边界的某种流量一样，它能告诉我们很多秘密哦。
你要是把电场想象成水流，那电介质就像是水里的一些小障碍物，会让水流改变方向。
而高斯定理就是那个能算出水流到底是怎么变化的神奇法则。
而且啊，这个定理不仅仅是个干巴巴的公式，它背后有着很多有趣的物理故事呢。
就像每一个科学发现都是人类探索未知的小冒险一样，这个定理的诞生也是科学家们不断思考、不断实验的成果。
理解电介质的高斯定理其实也不是特别难啦，只要你愿意去想象，把那些抽象的东西变成生活中的场景，就像我们刚刚说的小精灵、小士兵、水流这些。
这样的话，这个定理就不再是高高在上、让人望而生畏的东西了，而是像一个可爱的小伙伴，可以跟我们愉快地聊天，告诉我们电介质和电场之间那些有趣的互动呢。
你看，科学有时候就是这么有趣，只要我们换个角度去看，那些看似枯燥的定理也能变得生动起来，就像电介质的高斯定理一样，充满了魅力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、电介质中的电场
附电加介电质场中之的和电（矢场量等和于）自：由电E 荷 产生E 0 的 电E 场 与极化电荷产生的
下面我们以平行板电容器为例求电介质中的场强：
设电容器带有电量q 0 ，其间无电介质 ＋σ0 －σ’ ＋σ’ －σ 0
2
.
571
05
V/m
（3）极化电荷面密度为：
003.513 .0 1 51 1 8.8 0 1 1510 109.010 6
6.710 6 C/m 2
（4）极化电荷所产生的场强为：
E0 86.8.75 110 06127.6105 V/m
点 (2) 电位移矢量 D 是一个辅助物理量，真正有物理意义
说
的是电场强度矢量 E，引入 D 的好处是在高斯定理的表 达式中，不出现很难求解的极化电荷；
明：
(3)
与电力线的概念一样，我们可以引入电位移线来描述
D 矢量场，同时计算通过任意曲面的电位移通量，不过要
注意，D 线与 E 线是不同的；
(4) 引入电位移通量后，有介质时的高斯定理可以表述为： “在任意电场中，通过任意一个闭合曲面的电位移通量 等于该面所包围的自由电荷的代数和”。
解： （1）自由电荷所产生的场强（在真空中）为
E 0ε σ 0 08 9. . 8 1 1 0 5 0 0 6 1 2 1. 0 12 6 0 V/m
( 2 )由Eε Er0 ε σ rε 00 σ ε 0 可 知 电 介 质 内 的
Eσ ε 0
9 . 01 06 3 . 51 011
（1） 如图所示，过P点作与金属球同心的球面S，由高斯定
理知： SD dsq0
所 以 4r2Dq0
即D q0
4r2
S
++ ++
P
因 DE，所以 P点的场强为：
E
D
q0
4 r2
4
q0
0r
r2
（2）设与金属球接触的电介质表面的极化电荷为-q’，在 球面S内有自由电荷q0及极化电荷-q’，应用真空中的高斯 定理于球面S：
与极板平行，面积均为 A ，上底面在正极板内，下底面在电介
质内。
这样，闭合曲面 S 内的自由电荷 q 0= σ0A ，而极化电荷 q’= －σ’A ，高斯定理写为：
SE ds 1 0(0AA )
代入前面已得到的，自由电荷与极化电荷面密度间的关系
式，代有入：高斯定理有0A ：A0rAq0 r
1
E dS
S
0
q
1
0 (q0
q )
由第一问的结论有： SE d S SEdS
－ －+ + +－ －－++q-q+0’－++－－
相邻介质表面的极化电荷面密
++ + --
+ +σ0 - -σ’
度为 -σ’，
根据真空中的高斯定理，在
电场中任作一闭合曲面 S，通 过该闭合曲面的电通量为：
+
+
+
--
-
-
SE ds10
q(内 )
其中q（内）是曲面内所有电 荷的代数和。
为方便计，我们取如图的长方形闭合曲面 S ，其上、下底面
Eds q0
S
0r
ε=ε0εr
SE ds q0
定义电介质的介电常数与电场强度的乘积为电位移矢量，
即：
D E 时则的得高到斯有定介理质：
SD dsq0 （内）
(1) 我们是从平行板电容器这个特例推出有电介质的高斯
几 定理的，但它是普遍适用的，是静电场的基本规律之一；
注意，上面得到的总电场 E 与真空中电场 E0 的关系式，
以及自由电荷面密度 σ0 与极化电荷面密度 σ’ 的关系式，并
非普适关系式，仅在均匀各向同性介质充满电场存在的空间
时才成立。
例1、平行板电容器的两极板上分别带有等值异号的电荷，面密 度为 9.0×10 –6 C/m2，在两极板间充满介电常数 3.5×10 –11 C2/ （Nm2）的电介质，求（1）自由电荷产生的场强；（2）电介 质内的场强；（3）电介质表面上的极化电荷的面密度；（4） 极化电荷所产生的场强。
时，两板间电势差为U 0，电容值为C 0； 当充满相对介电常数为εr 的电介质时， 电势差为U，电容值为C 。
+- + -
+
E0
-
由电容器的定义有：
+ +
-
E
+
-
C U0 C0 U
+-
+-
d
电介质放入电场中，在电介质中
EE 0E
或由 EE0E得 EE0E1.021062.57105 7.6105 V/m
由此可见，所得的结果相同。
二、有介质时的高斯定理
前面我们已学习了真空中的高斯定理，现在，我们将它推广
到有介质时的情况。我们仍以充满相对介电常数 εr 的平行板电 容器为例进行讨论：
极板上的自由电荷面密度为σ0 ，
1/εr 。
r 1 E E 0
设极板上的自由电荷面密度为±σ0，电介质表面上的极化电 荷面密度为±σ’ ，由“无限大”均匀带电平行板场强公式：
E0 00 E0 E=E0-E’ E00000
同样 EE ， r000r 0
(11r)000
E
E E0是是由由自束由缚电电荷荷激产发生的的
E0
根据电势差与电场间的关系：
U 0E 0d,UEd
C U0
C0
U
C C0
E0 E
注意到 r CC0 ,有E
E0 r
很明显，极化电荷的电场 E ’ 部分地削弱了自由电荷
的电场 E0，从而使介质中的总电场 E 减少为真空中电场的
(5) 电位移的单位是“库仑 每平方米”，符号为：C/m2 ， （这也就是电荷面密度的单位），其量纲是 I L -2T 。
例2、一金属球体，半径为R，带有电荷q0，埋在均匀“无限大” 的电介质中（介电常数为ε），求： （1）球外任意一点P的场 强；（2）与金属球接触处的电介质表面上的极化电荷。
解：由于电场具有球对称性，同时已知自由电荷的分布，所以 用有介质时的高斯定理来计算球外的场强是方便的。