向量的线性运算知识点总复习附解析

C.∵ a 2b ，∴ a ∥ b ，故本选项错误；
D.∵ a b ，∴ a 与 b 的模相等，但不一定平行，故本选项正确；
故选：D． 【点睛】 本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键．
16．已知非零向量 a 、 b 和 c ，下列条件中，不能判定 a b 的是（ ）
A． a 2b
B． a c ， b 3c
C． a 2b c ， a b c
D． a 2 b
【答案】D
【解析】 【分析】 根据平行向量的定义，符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法 求 【详解】 A、 a 2b ，两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；
B、 a c ， b 3c ，则 a ∥ b ∥ c ，故本选项错误； C、由已知条件知 2a b ， 3a c ，则 a ∥ b ∥ c ，故本选项错误；
14．已知 a ， b 为非零向量，如果 b ＝﹣5 a ，那么向量 a 与 b 的方向关系是（ ）
A． a ∥ b ，并且 a 和 b 方向一致
B． a ∥ b ，并且 a 和 b 方向相反
C． a 和 b 方向互相垂直
D． a 和 b 之间夹角的正切值为 5
【答案】B 【解析】
【分析】
根据平行向量的性质解决问题即可．
D、 a 2 b 只知道两向量模的数量关系，但是方向不一定相同或相反， a 与 b 不一定平
行，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】 本题考查了平面向量，主要是对平行向量的考查，熟记概念是解题的关键．
17．如果 a 2b （ a ， b 均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）
C．
OG
3
8,
1 2
, OH
2
2 ,8
D． OM
5 2,
2 ,
5 2,
2 2
【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意中向量垂直的性质对各项进行求解即可． 【详解】
A. 3 31 20190 1 0 ，正确；
B. 2 1 2 1 11 2 ，错误； C. 3 8 2 2 1 8 12 2 4 ，错误；
D． 1 a b 2
【答案】A
【解析】
试题分析：因为 AB＝AC，AD 为角平分线，所以，D 为 BC 中点，
＝ 1 a b ．故选 A． 2
考点：平面向量，等腰三角形的三线合一．
8．下列各式不正确的是（ ）．
A． a a 0
B． a b b a
C．如果 a k b k 0，那么 b 与 a 平行 D．如果 a b ，那么 a b
【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量的定义是规定了方向和大小的量，向量的运算法则及实数与向量乘积的意义判断 各选项即可． 【详解】 A.任意向量与它的相反向量的和都等于零向量，所以选项 A 正确；
B.向量的加法符合交换律，即 a b b a ，所以选项 B 正确；
C.如果 a k b k 0 ，根据实数与向量乘积的意义可知： a ∥ b ，所以选项 C 正确；
故选：D． 【点睛】 本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.
2．已知向量
，若 与 共线，则( )
A．
B．
C．
D．
或
【答案】D
【解析】
【分析】
要使 与 ，则有 = ，即可得知要么 为 0，要么
，即可完成解答.
【详解】
解：非零向量 与 共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数 ，使 = ,即
∴ AC AB BC 4m1 6m2 , BD BA BC AC 4m1 6m2 ,M 分别为 AC、BD 的中点,
∴
AO
1 2
AC
2m1
3m2
，故
A
不符合题意；
BO
1 2
BD
3m2
2m1
，故
B
符合题意；
CO
1 2
AC
2m1
3m2
，故
C
不符合题意；
DO
1 2
BD
2m1
3m2
，故
D
不符合题意.
等于
（）
A． + +
B． - +
C． + -
D． - -
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算，结合平行四边形的性质，即可求得结论．
【详解】
如图，
，则 -+
故选 B． 【点睛】 此题考查平面向量的基本定理及其意义，解题关键在于画出图形.
10．规定：在平面直角坐标系中，如果点 P 的坐标为 m, n ，向量 OP 可以用点 P 的坐标
表示为： OP m, n ．已知 OA x1, y1 ， OB x2 , y2 ，如果 x1 x2 y1 y2 0 ，那么
OA 与 OB 互相垂直Leabharlann Baidu在下列四组向量中，互相垂直的是（ ）
A． OC 3,20190 ,OD 31,1
B． OE 2 1,1 ,OF 2 1,1
故选 B.
【点睛】 此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向 量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.
6．已知 m 、 n 是实数，则在下列命题中正确命题的个数是（ ）．
① m 0 ， a 0 时， ma 与 a 的方向一定相反；
② m 0 ， a 0 时， ma 与 a 是平行向量；
【详解】
∵已知 a ， b 为非零向量，如果 b ＝﹣5 a ，
∴ a ∥ b ， a 与 b 的方向相反，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．
15．已知 a ， b 和 c 都是非零向量，下列结论中不能判定 a ∥ b 的是（ ）
A． a // c ， b // c
故选 D. 【点睛】 此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键.
7．已知在 ABC 中， AB AC ， AD 是角平分线，点 D 在边 BC 上，设 BC a ，
AD b ，那么向量 AC 用向量 a 、 b 表示为（ ）
A． 1 a b 2
B． 1 a b 2
C． 1 a b 2
【答案】D 【解析】
B． 2 a 2 b 33
C． a 2 b 3
D． a 2 b 3
【分析】
根据 BD 2CD ，即可求出 BD ，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论．
【详解】
解：∵ BD 2CD
∴ BD 2 BC 2 b
3
3
∴ AD AB BD a 2 b 3
故选 D． 【点睛】
则，即可求得答案．
【详解】
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC，
∵ AD b ，
∴ BC b ，
∵ AB a ，
∴ a b = AB + BC = AC ．
故选 B．
13．下列有关向量的等式中，不一定成立的是（ ）
A． AB BA
B． AB BA
C． AB BC AC
【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面向量的性质解答即可． 【详解】
解：A、如果 a ＝3 b ，那么两向量是共线向量，则 a ∥ b ，故 A 选项不符合题意． B、如果| a | ＝ | b | ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故 B 选项符合题意．
C、 0 的方向不确定，大小为 0，故 C 选项不符合题意． D、根据向量模的定义知，| a | ＝2| e |＝2，故 D 选项不符合题意．
此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．
12．如图，在平行四边形 ABCD 中，如果 AB a ， AD b ，那么 a b 等于（ ）
A． BD 【答案】B 【解析】
B． AC
C． DB
D． CA
【分析】
由四边形 ABCD 是平行四边形，可得 AD=BC，AD∥BC，则可得 BC b ，然后由三角形法
5．若点 O 为平行四边形的中心， AB 4m1 ， BC 6m2 ，则 3m2 2m1 等于（ ）．
A． AO
B． BO
C． CO
D． DO
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可.
【详解】
解:∵在平行四边形 ABCD 中, AB 4m1 ， BC 6m2 ，
D.两个向量相等必须满足两个条件：长度相等且方向相同，如果 a b ，但 a 与 b 方向不
同，则 a b ，所以 D 选项错误.
故选 D. 【点睛】 本题考查了向量的定义、运算及运算法则、实数与向量乘积的意义，明确定义及法则是解 题的关键.
9．已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的 3 个顶点 A、B、C 的向量分别为 、 、 ，则向量
5
2
AC 3 AB 中，即可求出 m 的值. 5
【详解】
解：∵点 C 在线段 AB 上，且 AC 3 AB 5
∴ CB AB AC 2 AB 5
∴ AB 5 CB 5 BC
2
2
∴
AC
3 5
AB
3 5
5 2
BC
3 2
BC
故选 D.
【点睛】 此题考查的是向量的运算，掌握共线向量的加法、减法和数乘法则是解决此题的关键.
【答案】D 【解析】
B． a 1 c,b 2c 2
C． a 2b
D． a b
【分析】
根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A.∵ a // c ， b // c ，∴ a ∥ b ，故本选项错误；
B.∵
a
1 2
c, b
2c
∴
a
∥b
，故本选项错误.
向量的线性运算知识点总复习附解析
一、选择题
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．如果 k＝0， a 是非零向量，那么 k a ＝0 B．如果 e 是单位向量，那么 e ＝1 C．如果| b |＝| a |，那么 b ＝ a 或 b ＝﹣ a D．已知非零向量 a ，如果向量 b ＝﹣5 a ， 那么 a ∥ b
【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量的性质，逐一判定即可得解. 【详解】
A 选项， AB BA，成立；
B 选项， AB BA ，成立；
D． AB BC AB BC
C 选项， AB BC AC ，成立； D 选项， AB BC AB BC 不一定成立；
故答案为 D. 【点睛】 此题主要考查向量的运算,熟练掌握,即可解题.
；
与任一向量共线.故答案为 D. 【点睛】
本题考查了向量的共线，即 = 是解答本题的关键.
3．已知 a 、 b 为非零向量，下列判断错误的是（ ） A．如果 a ＝3 b ，那么 a ∥ b B．| a | ＝| b | ，那么 a ＝ b 或 a ＝ -b C． 0 的方向不确定，大小为 0 D．如果 e 为单位向量且 a ＝﹣2 e ，那么| a | ＝2
故选：B． 【点睛】 此题考查的是平面向量,掌握平面向量的性质是解决此题的关键.
4．点
C
在线段
AB
上，且
AC
3 5
AB
，若
AC
mBC
，则
m
的值等于（
）．
A． 2 3
【答案】D
B． 3 2
C． 2 3
D． 3 2
【解析】
【分析】
根据已知条件即可得： CB AB AC 2 AB ，从而得出： AB 5 BC ，再代入
2
D. 5 2 5 2 2 2 2 ，错误； 2
故答案为：A． 【点睛】 本题考查了向量垂直的问题，掌握向量互相垂直的性质以及判定是解题的关键．
11．如图，在 ABC 中，点 D 是在边 BC 上，且 BD 2CD ， AB a , BC b ，那么 AD 等于（ ）
A． a b
【答案】D 【解析】 【分析】 根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】
解：A、如果 k＝0， a 是非零向量，那么 k a ＝0，错误，应该是 k a ＝ 0 ．
B、如果 e 是单位向量，那么 e ＝1，错误．应该是 e ＝1．
C、如果| b |＝| a |，那么 b ＝ a 或 b ＝﹣ a ，错误．模相等的向量，不一定平行． D、已知非零向量 a ，如果向量 b ＝﹣5 a ，那么 a ∥ b ，正确．
③ mn 0， a 0 时， ma 与 na 的方向一定相同；
④ mn 0 ， a 0 时， ma 与 na 的方向一定相反．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量关系的条件逐一判断即可.
【详解】
解：①因为 m 0 ，1＞0， a 0 ，所以 ma 与 a 的方向一定相反，故①正确； ②因为 m 0 ，1≠0， a 0 ，所以 ma 与 a 是平行向量，故②正确； ③因为 mn 0， a 0 ，所以 m 和 n 同号，所以 ma 与 na 的方向一定相同，故③正确； ④因为 mn 0 ， a 0 ，所以 m 和 n 异号，所以 ma 与 na 的方向一定相反，故④正确．