解三角形常见题型归纳

解三角形常见题型归纳

正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。

题型之一：求解斜三角形中的基本元素

指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．

1. 在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅= ( ) A ．23-

B ．32-

C ．32

D ．2

3 【答案】D

2．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；

（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。

3．（1）在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ；

（2）在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 4(2005年全国高考江苏卷) ABC ∆中，3

π

=

A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ）

A ．33sin 34+⎪⎭⎫

⎝

⎛

+

πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫

⎝

⎛

+

πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+πB 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知6

6

cos ,364==

B AB ，A

C 边上的中线B

D =5，求sin A 的值．

分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ． 解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且3

6221==

AB DE ，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 22

2

2

⋅-+=，

x x 6636223852⨯⨯++

=，解得1=x ，3

7

-=x （舍去） 故BC =2，从而3

28

cos 2222=

⋅-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC 又630sin =B ，

故2

sin A =1470sin =

A 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A 。

答案：0

018030B A A A ><<=∴，且，∴

题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 1. (2005年北京春季高考题)在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是

（ ）

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．正三角形 解法1：由C B A sin cos sin 2=＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，

即sin A cos B －cos A sin B ＝0，得sin(A －B )＝0，得A ＝B ．故选(B)．

解法2：由题意，得cos B ＝sin 2sin 2C c

A a

=

，再由余弦定理，得cos B ＝2222a c b ac +-． ∴ 2222a c b ac +-＝2c

a

，即a 2＝b 2，得a ＝b ，故选(B)．

评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．

2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形 答案：C

解析：2sin A cos B ＝sin （A ＋B ）＋sin （A －B ）又∵2sin A cos B ＝sin C ， ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B

3.在△ABC 中，若a b

A

B 22=tan tan ，试判断△AB

C 的形状。

答案：故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 4. 在△ABC 中，αβcos cos A b =，判断△ABC 的形状。

答案：△ABC 为等腰三角形或直角三角形。

题型之三：解决与面积有关问题

主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．

1. (2005年全国高考上海卷) 在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，

则ABC ∆的面积S ＝_________

2．在∆ABC 中，sin cos A A +=

2

2

，AC =2，AB =3，求A tan 的值和∆ABC 的面

积。

答案：S AC AB A ABC ∆=

⨯=⨯⨯⨯+=+12122326434

26sin () 3. （07浙江理18）已知ABC △

1

，且sin sin A B C +=．

（I ）求边AB 的长；

（II ）若ABC △的面积为1

sin 6

C ，求角C 的度数． 解：（I

）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=

，BC AC +=，

两式相减，得1AB =．

（II ）由ABC △的面积

11sin sin 26

BC AC C C =，得13BC AC =，

由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC

+-=

22()21

22AC BC AC BC AB AC BC +--==， 所以60C =．

题型之四：三角形中求值问题

1. (2005年全国高考天津卷) 在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，

设c b a 、、满足条件2

22a bc c b =-+和32

1+=b c ，求A ∠和B tan 的值．

分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．

解：由余弦定理2

1

2cos 222=-+=

bc a c b A ，因此，︒=∠60A 在

△

A B

C 中

，

∠C =1

－

∠A －∠

B =1

－∠B.

由已知条件，应用正弦定理B B B C b c sin )120sin(sin sin 321-︒===+ ,21cot 23sin sin 120cos cos 120sin +=︒-︒=B B B B 解得,2cot =B 从而.21tan =B

2．ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2B C A ++取得最大值，并求出这个最大值。 解析：由A+B+C=π，得B+C 2=π2 －A 2，所以有cos B+C 2 =sin A

2。

cosA+2cos B+C 2 =cosA+2sin A 2 =1－2sin 2A 2 + 2sin A 2=－2(sin A 2 － 12)2+ 3

2

；

当sin A 2 = 12，即A=π3 时, cosA+2cos B+C 2取得最大值为3

2。