锐角三角函数1
锐角三角函数(1)
锐角三角函数一：【知识梳理】1.直角三角形的边角关系（如图）（1）边的关系（勾股定理）：AC 2+BC 2=AB 2；（2）角的关系：∠A+∠B=∠C=900； （3）边角关系：①：00901230C BC AB A ⎫∠=⎪⇒=⎬∠=⎪⎭②：锐角三角函数：∠A 的正弦=A a sin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边注：三角函数值是一个比值．2.特殊角的三角函数值．3.三角函数的关系(1) 互为余角的三角函数关系．sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin Atan （90○－A ）= cotA cot （90○－A ）=tanA (2) 同角的三角函数关系．①平方关系：sin 2 A+cos 2A=l ②倒数关系：tanA ·cotA=1③商数关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==4.三角函数的大小比较(1) 同名三角函数的大小比较①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小． ②余弦、余切是减函数．三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。
(2) 异名三角函数的大小比较①tanA ＞SinA ，由定义，知tanA=a b ，sinA=a c ；因为b ＜c ，所以tanA ＞sinA②cotA ＞cosA ．由定义，知cosA=b c，cotA=b a；因为 a ＜c ，所以cotA ＞cosA ．③若0○＜A ＜45○，则cosA ＞sinA ，cotA ＞tanA ；若45○＜A ＜90○，则cosA ＜sinA ，cotA ＜tanA5.解直角三角形分类：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形；（2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；（3）已知两边解直角三角形． 6.在实际问题中常用的几种角 ①俯角和仰角在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的角叫做俯角．②坡度与坡角hα通常坡面的竖直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用字母i 表示，即lhi ==αtan ，其中α是坡面与水平面的夹角即坡角。
1锐角三角函数课件
源于生活的数学
从梯子的倾斜程度谈起
梯子是我们日常生活中常 见的物体 你能比较两个梯子哪个更 陡吗？你有哪些办法？
驶向胜 利的彼
岸
生活问题数学化
驶向胜 利的彼
岸
梯子AB和EF哪个 更陡？你是怎样
判断的？
小明的问题，如图:
A
E
5m
5m
B2.5m C F 2m D
有比较才有鉴别
驶向胜 利的彼
6.如图， ∠C=90°CD⊥AB.
tan
B
( (
))
( (
))((
)).
A
驶向胜 利的彼
岸
C
┌ DB
7.在上图中，若BD=6，CD=12.求tanA的值.
老师提示: 模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得
八仙过海，尽显才能
驶向胜 利的彼
岸
8.如图，分别根据图 (1)和图(2)求tanA的值.
A
你能根据图中所给数据求出tanC吗？
B
驶向胜 利的彼
岸
1.5
┌
A
D
C
2.如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达
山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是
B
55m，求山坡的坡度(结果精确到0.001m).
┌
A
C
八仙过海，尽显才能
3.鉴宝专家--是真是假：
(1).如图 (1)tan A BC (假)
岸
梯子AB和EF哪 个更陡？你是怎
样判断的？
小颖的问题，如图:
A
E
？
4m
3.5
m
B 1.5m C F 1.3m D
永恒的真理 变
锐角三角函数1
教师备课稿学科_ 数学__ _九_年级第_下册教师朱晶_课题1.1锐角三角函数（1）第课时教学目标1.经历锐角的正弦、余弦和正切的探索过程，了解三角函数的概念.2.掌握正弦、余弦和正切的符号，会用符号表示一个锐角的三角函数.3.掌握在直角三角形中，锐角三角函数与边之比的关系.4.了解锐角的三角函数值都是正实数，会根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值.重难点教学重点：锐角的正弦、余弦、正切和锐角三角函数的概念. 教学难点：锐角三角函数的概念.教具、学具准备ppt课件学教安排教法及学法指导、反思课前准备一、创设情境，引入新课小红在上山过程中，下列哪些量是变量，哪些量是常量(坡角，上升高度，所走路程)？她在斜坡上任意位置时，上升的高度和所走路程的比值变化吗？小强呢?（通过学生自主探索，教师引导，从而发现小红在上山过程中，坡角是常量，上升高度和所走路程是变量.她在斜坡上任意位置时，上升的高度和所走路程的比值不会变化.）定义：一般地，对于每一个确定的锐角α，在角的一边上任取一点Ｂ，作ＢＣ⊥ＡＣ于点Ｃ，则比值BCAB,ACAB,BCAC都是一个确定的值，与点B在角的边上的位置无关，因此，比值BCAB,ACAB,BCAC都是锐角α的三角函数.比值BCAB叫做∠α的正弦(sine)，记做sinα.比值ACAB叫做∠α的余弦(cosine) ，记做cosα.30°B45°西东比值BCAC叫做∠α的正切(tangent) ，记做tanα.注意：1、在三角函数的表示中，用希腊字母或单独一个大写英文字母表示的角前面的“∠”一般省略不写．2、sinα、cosα、tanα是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义.如果∠A是Rt△ABC的一个锐角（如图），则有sin cos tanAAAAAAA∠=∠=∠=∠的对边斜边的邻边斜边的对边的邻边那么B∠呢？追问：你能求出sinA 与cosA的取值范围吗？.三、新知运用用一用1.如图△ABC中，∠C=90°,BC=5,AC=12.判断：（1）sinA=513（√）（2）tanB=512（×）2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.⑴若BC=8,AB=17,求sinA, cosA,tanA的值;⑵若BC︰AB=1︰2 ,求sinA, cosA,tanA的值;⑶若sinA=513, 求sinB的值.解后语：已知直角三角形中的两边或两边之比，就能求出锐角三角函数值．例1.如图:在Rt△ABC中,∠B=90ο,AC=200, sinA=0.6.求BC的长.解后反思：本题属于简单题，属于知识的简单运用.练一练：1.在Rt△ABC中，∠C为Rt∠，AC:BC=1:2，求sinA+cosA的值.四、课堂小结1.正弦，余弦和正切的概念；2.三角函数的概念；3.如果∠A是直角三角形的一个锐角，那么它的三角函数与边的关系.4.锐角三角函数的值都是哪一类数，正弦和余弦有什么范围限制？课后反思感谢您的阅读，祝您生活愉快。
1.1锐角三角函数第1课时正切(教案)
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
-正切表的使用：学会查找和利用正切表解决实际问题，这是进行进一步三角函数学习的基础。
-正切函数性质的探索：了解正切函数的周期性、奇偶性等性质，为学习其他三角函数性质打下基础。
举例：通过具体的直角三角形图形，引导学生理解正切值是如何计算的，以及如何判断正切值的正负。
2.教学难点
-正切概念的内化：学生需要将正切概念从具体的直角三角形中抽象出来，内化为一般的数学定义。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正切函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对正切的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了锐角三角函数中的正切概念。我发现学生们对于正切的定义和应用有着不错的理解和接受度，但在具体的计算和应用中，还存在一些困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加注重以下几个方面：
1.1锐角三角函数第1课时正切（教案）
一、教学内容
《人教版八年级下册数学》第十章“锐角三角函数”第1课时“正切”。本节课主要内容包括以下部分：
1.理解正切的概念：通过对直角三角形的观察，引导学生发现锐角与对边、邻边的比值关系，引出正切函数的定义。
11锐角三角函数1
B2 B3
如果改变B2在梯子上的位置 (如B3C3 )呢?
A
C3 C2
C1
由此你得出什么结论?
合作探究，生成概念
在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比 值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边 的比叫做∠A的正切,记作tanA,即
B
tanA= A的对边
A的邻边
判断的？
3. 如图所示:
E A
4m
6m
B 2m C F 3m D
自主探究，合作交流
在实践中探索
4. 如图所示:
梯子AB和EF哪个 更陡？你是怎样
判断的？
E A
?
5m
6m
B 2m C F 2m D
自主探究，合作交流
小明和小亮这样想,如图:
如图,小明想通过测量B1C1及AC1, 算出它们的比,来说明梯子AB1的 倾斜程度;
梯子AB和EF哪个更 陡？你是怎样判断
的？
1. 如图所示:
A
E
5
5
m
m
B 2.5 C F 2 D
m
m
自主探究，合作交流
有比较才有鉴别
梯子AB和EF哪个更 陡？你是怎样判断
的？
2. 如图所示:
A
E
?
4
3.5
m
m
B 1.5 C F 1.3 D
m
m
自主探究，合作交流
永恒的真理 变
梯子AB和EF哪个 更陡？你是怎样
5.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等, 则这两个锐角相等.
交流小结，收获感悟
1. 对自己说，你有什么收获？ 2. 对同学说，你有什么温馨提示？ 3. 对老师说，你还有什么困惑？
1.1锐角三角函数(1)
2 3
A
.
C 3 D 2 B
谈谈今天的收获
B
∠A的对边 ∠A的对边 sinA 斜边
斜边 ∠A的对边 ∠A的
cosA
∠A的邻边 ∠A的邻边 斜边
A
∠A的 ∠A的邻边
C
tanA
∠A的 ∠A的对边 ∠A的 ∠A的邻边
回味无穷
• 定义中应该注意的几个问题: 定义中应该注意的几个问题 中应该注意的几个问题:
(铜岭山山顶) B H 西坡 30° °
当锐角为30°时，上升高度 当锐角为30° 30
1 与所走路程的比值是 ． 2
C
A
D B(铜岭山山顶)
E
东坡
当锐角为45° 当锐角为45°时，上升高度 45 与所走路程的比值是
2 2
．
C
F
D
B (铜岭山山顶)
当锐角为50° 当锐角为50°时，这个比值 50
G C
B 3 C
BC 3 AC 4 sinA = = , sinB = = , AB 5 AB 5 AC 4 BC 3 cosA = = , cosB = = , AB 5 AB 5 BC 3 tanA = = . tanB = AC = 4 . AC 4 BC 3
A+∠B=90° 当∠A+∠B=90°时,
如果∠ 如果∠A是Rt△ABC的一个锐角（如图），则有 Rt△ABC的一个锐角（如图），则有 的一个锐角 ），
∠ A 的对边 sinA= 斜边
∠A的邻边 cosA= 斜边
tanA=
∠A的对边 ∠A的邻边
你能求出sinA与 你能求出sinA与cosA sinA 0<sinA<1， 0<sinA<1，0<cosA<1. 的取值范围吗？ 的取值范围吗？
1.1 锐角三角函数 第1课时(教案)-北师大版数学九下
第1节锐角三角函数第1课时正切1.经历探索直角三角形中边角之间关系的过程.2.理解锐角三角函数(正切、正弦、余弦)的意义,并能够举例说明.3.能够运用tan A,sin A,cos A表示直角三角形中两边的比.4.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算.1.经历三个锐角三角函数的探索过程,确信三角函数的合理性,体会数形结合的数学思想.2.在探索锐角三角函数的过程中,初步体验探索、讨论、验证对学习数学的重要性.1.通过锐角三角函数概念的建立,使学生经历从特殊到一般的认识过程.2.让学生在探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的喜悦,从解决实际问题中感悟数学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.【重点】1.理解锐角三角函数的意义.2.能利用三角函数解三角形的边角关系.【难点】能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,能够用正切进行简单的计算.3.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会解决问题的策略多样性,发展实践能力和创新精神.1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.【重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.【难点】理解正切的意义,并用它来表示生活中物体的倾斜程度、坡度等.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.自制4个直角三角形纸板.2.复习直角三角形相似的判定和直角三角形的性质.导入一:课件出示:你知道图中建筑物的名字吗?是的,它就是意大利著名的比萨斜塔,是世界著名建筑奇观,位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上,是奇迹广场三大建筑之一,也是意大利著名的标志之一,它从建成之日起便由于土层松软而倾斜.【引入】应该如何来描述它的倾斜程度呢?学完本节课的知识我们就能解决这个问题了.[设计意图]创设新颖、有趣的问题情境,以比萨斜塔的倾斜程度激发学生的学习兴趣,从而自然引出课题,并且为学生探究梯子的倾斜程度埋下伏笔.导入二:课件出示:四个规模不同的滑梯A,B,C,D,它们的滑板长(平直的)分别为300cm,250cm,200cm,200cm;滑板与地面所成的角度分别为30°,45°,45°,60°.【问题】四个滑梯中哪个滑梯的高度最高[设计意图]利用学生所熟悉的滑梯进行引导,使学生有亲切感,滑梯与课本中引用梯子比较类似,学生的探究思路会比较顺畅.(一)探究新知请同学们看下图,并回答问题.探究一:问题1课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?小组讨论后展示结果:1组:梯子AB较陡.我们组是借助量角器量倾斜角,发现∠ABC>∠EFD,根据倾斜角越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.师:哪组还有不同的判定方法?2组:我们也是认为梯子AB较陡.我们组是分别计算AC与BC的比,ED与FD的比,发现前者的比值大,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.3组:我们组的方法和1组的大致相同,借助倾斜角来判断,不过不是测量,我们是过E作EG∥AB 交FD于G,就可以清晰比较∠ABC与∠EFD的大小了.4组:我们组发现这两架梯子的高度相同,水平宽度越小,梯子就越陡,所以我们也认为梯子AB较陡.探究二:问题2课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?学生会类比问题1给出的四种判断方法,只要说得合理即可.问题3课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎么判断的?多给学生思考和讨论的时间.代表发言:AB和EF的倾斜度一样.由于两个直角三角形的两直角边的比值相等,再加上夹角相等,可以判定两个直角三角形相似,根据相似三角形的对应角相等,可以证明两个倾斜角相等,所以AB和EF的倾斜度一样.教师引导:我们发现当直角三角形的两直角边的比值相等时,梯子的倾斜度一样,请大家判断一下在问题2与问题3中,两直角边的比值与倾斜度有什么关系?请继续探究下面的问题.问题4课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?教师引导:我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度,即哪一个更陡,可能就比较困难了.能不能从上面的探究中得到什么启示呢生讨论后得出:思路1:梯子EF较陡,因为∠EFD>∠ABC,根据倾斜角越大,梯子就越陡.思路2:梯子EF较陡,因为>,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.师生共同总结:在日常的生活中,我们判断哪个梯子更陡,应该从梯子AB 和EF 的倾斜角大小,或垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.做一做:请通过计算说明梯子AB 和EF 哪一个更陡呢?生独立解答,代表展示:∵==,==,<,∴梯子EF 比梯子AB 更陡.[设计意图]通过探究逐层深入的问题,让学生经历由简单到复杂、由特殊到一般的探究过程,既对已学知识和生活经验进行了回味和运用,也让学生的思想逐步向本节课的中心“两直角边之比”靠近.[知识拓展]梯子的倾斜程度的判定方法:(1)梯子的倾斜程度和倾斜角有关系,倾斜角越大,梯子就越陡.(2)梯子的倾斜程度和铅直高度与水平宽度的比有关系,铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.(二)再探新知课件出示:【想一想】如图所示,小明想通过测量B 1C 1及AC 1,算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度;而小亮则认为,通过测量B 2C 2及AC 2,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系生很容易得出两个三角形相似.由生说明理由:∵∠B 2AC 2=∠B 1AC 1,∠B 2C 2A =∠B 1C 1A =90°,∴Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2.(2)和有什么关系?由于Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2,所以有=.(3)如果改变B 2在梯子上的位置呢?由此你得出什么结论?生先独立思考后分组讨论.生得出结论:改变B 2在梯子上的位置,铅直高度与水平宽度的比始终相等.想一想:现在如果改变∠A 的大小,∠A 的对边与邻边的比值会改变吗?生讨论得出:∠A 的大小改变,∠A 的对边与邻边的比值会改变.∠A 的对边与邻边的比只与∠A 的大小有关系,而与它所在直角三角形的大小无关.【总结提升】由于直角三角形中的锐角A 确定以后,它的对边与邻边的比也随之确定,因此我们有如下定义:如图所示,在Rt△ABC 中,如果锐角A 确定,那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定,这个比叫做∠A 的正切(tangent ),记作tan A ,即tan A =.当锐角A变化时,tan A的值也随之变化.能力提升:如果∠A+∠B=90°,那么tan A与tan B有什么关系?生讨论得出结论:tan A=,即任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数.【议一议】前面我们讨论了梯子的倾斜程度,在课本图1-3中,梯子的倾斜程度与tan A有关系吗?学生思考后,统一答案:tan A的值越大,梯子越陡.(反之,梯子越陡,tan A的值越大)[设计意图]此环节的设计是为了突出概念的形成过程,帮助学生理解概念.通过让学生参与、动手操作,让学生学会由特殊到一般、数形结合及函数的思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.[知识拓展]正切的注意事项:(1)tan A是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”.(2)tan A没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.(3)tan A不表示“tan”乘以“A”.(4)初中阶段,我们只学习直角三角形中锐角的正切.(教材例1)如图所示表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?想一想:要判断哪个自动扶梯比较陡,只需求出什么即可?生思考后得出:比较甲、乙两个自动扶梯哪一个陡,只需分别求出tanα,tanβ的值进行比较大小即可,正切值越大,扶梯就越陡.要求学生独立解答,代表展示:解:甲梯中,tanα==.乙梯中,tanβ==.因为tanα>tanβ,所以甲梯更陡.[设计意图]通过对例题的解答让学生初步学会运用“正切”这一数学工具判断梯子的倾斜程度,同时规范学生的解题步骤,培养良好的解题习惯.课件出示:如图所示,有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度(即tanα)就是: i=tanα==.结论:坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比),tanα=,即坡度等于坡角的正切.[设计意图]正切在日常生活中的应用很广泛,通过正切刻画梯子的倾斜程度及坡度的数学意义,密切数学与生活的联系,使学生明白学习数学就是为了更好地应用数学,为生活服务.[知识拓展]坡度与坡面的关系:坡度越大,坡面越陡.(1)正切的定义:tan A=.(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tanα=.1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则tan A等于()A.B. C. D.解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,∴BC=5,∴tan A=.故选B.2.如图所示,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是()A.B.C.D.解析:认真读图,在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值,由图可得tan∠AOB=.故选B.3.(2014·温州中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则tan A的值是.解析:tan A==.故填.4.河堤横断面如图所示,堤高BC=5m,迎水坡AB的坡度是1∶(坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AB的长是.解析:在Rt△ABC中,BC=5,tan A=1∶,∴AC=5,∴AB==10(m).故填10m.第1课时(1)正切的定义:tan A=.(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tanα=.一、教材作业【必做题】1.教材第4页随堂练习第1,2题.2.教材第4页习题1.1第1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则tan A的值为()A. B. C. D.2.小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1000m,则他升高了()A.500mB.200mC.500mD.1000m3.已知斜坡的坡度为i=1∶5,如果这一斜坡的高度为2m,那么这一斜坡的水平距离为m.【能力提升】4.(2015·山西中考)如图所示,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是()A.2B.C.D.5.如图所示,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A'B'C',使点B'与C重合,连接A'B,则tan∠A'BC'的值为.6.如图所示,在锐角三角形ABC中,AB=10cm,BC=9cm,△ABC的面积为27cm2.求tan B的值.7.某商场为方便顾客使用购物车,准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图所示).如果改动后电梯的坡面长为13m,求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.【拓展探究】8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的中线,若AB=13,BC=10,试求tan∠DBC的值.【答案与解析】1.D(解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴tan A===.故选D.)2.B(解析:设铅直高度为x m,∵坡度为1∶2,∴水平宽度为2x m,由勾股定理得x2+(2x)2=10002,解得x=200.∴他升高了200m.故选B.)3.10(解析:∵斜坡的坡比是1∶5,∴=.∴=,∴斜坡的水平距离为=10m.故填10.)4.D(解析:如图所示,连接AC,由勾股定理,得AC=,AB=2,BC=,∴△ABC为直角三角形,∴tan B==.故选D.)5.(解析:如图所示,过A'作A'D⊥BC',垂足为D.在等腰直角三角形A'B'C'中,易知A'D是底边上的中线,∴A'D=B'D=.∵BC=B'C',∴tan∠A'BC'===.故填.)6.解:如图所示,过点A作AH⊥BC于H,∵S=27,∴×9×AH=27,∴AH=6.∵AB=10,∴BH===8,∴tan△ABCB===.7.解:在Rt△ADC中,AD∶DC=1∶2.4,AC=13,由AD2+DC2=AC2,得AD2+(2.4AD)2=132,∴AD=±5(负值不合题意,舍去),∴DC=12.在Rt△ABD中,∵AD∶BD=1∶1.8,∴BD=5×1.8=9,∴BC=DC-BD=12-9=3(m).答:改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3m.8.解:如图所示,过点A,D分别作AH⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为点H,F.∵BC=10,AH⊥BC,AB=AC,∴BH=5.∵AB=13,∴AH==12,在Rt△ACH中,AH=12,易知AH∥DF,且D为AC中点,∴DF=AH=6,∴BF=BC=,∴在Rt△DBF中,tan∠DBC==.本节课是三角函数部分的第一节概念教学,教学内容比较抽象,学生不易理解.为此结合初中学生身心发展的特点,运用实验教学、直观教学,唤起和加深学生对教学内容的体会和了解,并培养和发展学生的观察、思维能力,这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维,并从抽象的思维到实践”的认识规律,能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程,使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.概念教学由学生熟悉的实例入手,引导学生观察、分析、动手、动脑、动口多种感官参与,并组织学生积极参与小组成员间合作交流.通过由特殊到一般、具体到抽象的探索过程,紧紧围绕着函数概念,引出正切概念,再通过相应的典型题组练习巩固概念.并且在教学过程中,注重了阶段性的反思小结,使学生能够及时总结知识和方法.本节课的开放性还不够,探究梯子倾斜程度时,学生的一些奇思妙想没有给予展示机会.第一个环节内容设计多了一些,所以导致后面的教学处理上稍显仓促.对第一个环节的处理力求更加简洁,并大胆放手让学生去探索、去发现,真正让学生成为学习的主人.随堂练习(教材第4页)1.解:能.tan C====.2.解:根据题意,得AB=200,BC=55,则AC===5,所以山的坡度为=≈0.286.习题1.1(教材第4页)1.解:∵BC===12,∴tan A==,tan B==.2.解:∵tan A==,BC=3,∴AC=BC=.4.tan A=.学生学习时首先通过情境题了解本节课学习的主要任务,做到有的放矢,然后利用“由一般到特殊”的数学思想,通过三个探究活动逐步得出梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系),在探究的过程中可以通过自主探究与合作交流的方式抓住重点,突破难点.学生在运用正切解决问题时,一定要注意其前提条件——在直角三角形中,找准直角是解题的关键.而有些题目需要作辅助线构造直角三角形,也可以通过角度的转化进行求解,同时还要注意数形结合思想的运用.如图所示,设计建造一条道路,路基的横断面为梯形ABCD,设路基高为h,两侧的坡角分别为α,β.已知h=2m,α=45°,tanβ=,CD=10m.求路基底部AB的宽.〔解析〕如图所示,过D,C分别作下底AB的垂线,垂足分别为E,F.在Rt△ADE和Rt△BCF中,可根据h的长以及坡角的度数或坡比的值,求出AE,BF的长,进而可求得AB的值.解:如图所示,过D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥AB于F,∴DE∥CF.∵四边形ABCD为梯形,∴AB∥CD,∴EF=CD=10m.∴四边形DCFE为矩形.在Rt△ADE中,α=45°,DE=h=2m,∴CF=DE=h=2m.在Rt△BCF中,tanβ=,CF=2m,∴BF=2CF=4(m).故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16(m).答:路基底部AB的宽为16m.[解题策略]此题主要考查了坡度问题的应用,求坡度、坡角问题通常要转换为解直角三角形的问题,必要时应添加辅助线,构造出直角三角形.。
28.1锐角三角函数(1)(知识点总结和典型例题汇总)
28.1锐角函数（一）知识点1：当锐角A 的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的角都有唯一的确定的值。
观察图的Rt △AB 1C 1、Rt △AB 2C 2和Rt △AB 3C 3，它们之间有什么关系？Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2∽Rt △AB 3C 3所以 ＝__________=__________.可见，在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边的比值是惟一确定的.同时： ＝__________=__________； ＝__________=__________. 所以当锐角A 的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定的值。
知识点2：正弦和余弦的定义：由知识点1可知，当锐角A 固定时，∠A 的对边和斜边的比值是一个固定 的值，∠A 的邻边与斜边的比值也是一个固定的值。
（1）在Rt △ABC 中,∠C=900,把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦(sine),记作sinA ( sin ∠BAC ) 即 sinA= =（2）我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦（cosine ），记作cosA ， 即注意：（1）正弦、余弦都是一个比值，是没有单位的数值；（2）正弦、余弦只与角的大小有关，而与三角形的大小无关 （3）sinA ，cosA 是整体符号，不能写成sinA,cosA 。
（4）每用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如 sin ∠BAC图19.3.2 A BC 对边邻边 ┌斜边ab c 在图中 ∠A 的对边记作a ∠B 的对边记作b ∠C 的对边记作cc b A A =∠=斜边的邻边cos（5）sin 2A 表示（sinA ）2，而不能写成sinA 2（6）三角函数还可以写成sin α，cos β。
知识点3正切的定义： 由知识点1可知，当锐角A 固定时，∠A 的对边与邻边的比值是一个固定的值。
我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent ），记作tanA ， 即注意：（1）正切是一个比值，是没有单位的数值；（2）正切只与角的大小有关，而与三角形的大小无关 (3)tanA 是整体符号，不能写成sin 。
锐角三角函数1
记作sinA，即sinA＝
求sinA就是要确定∠A的与的比。
例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=；
当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°=．
5.仿照63页例1的格式完成65页练习。
课海拾贝
/反思纠错
四、效果检测
难点：直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
三、自主学习
认真阅读课本61页——63页的内容：
1.回答61页的问题，我们得到如下结论：
直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值都等于。
2.完成61页“思考”，我们得出结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值是一个值，都等于。
3.完成62页“探究”，我们得出一个结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个值。
8.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ,BC=15,则AC=______________.
五、课堂小结：什么叫一个锐角的正弦？怎么表示？
注意：1>sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体；
2>正弦的三种表示方式：sinA、sin56°、sin∠DEF
3>sinA是线段之间的一个比值；sinA没有单位。
课海拾贝
/反思纠错
六、布置作业：
第68页习题第1题（只求正弦）
七、课外延伸：
1.．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA= ，则边AC的长是( )
A． B．3 C． D．
2.．如图，已知点P的坐标是（a，b），则sinα等于（）
A． B． C．3．在源自中， ， 于点 .已知 ， ，那么 的值为（）A． B． C． D．
锐角三角函数ppt1
sin A = A的对边 = a 斜边 c
斜边c
A
b
∠A的对边 a C
注意：“sinA”是一个完整的符号，不要误解成 “sin×A” 。
正弦的表示：sinA 、sin39 °、sinβ（省去角的符号）
sin∠DEF、 sin∠1 （不能省去角的符号）
想一想
在直角三角形中，对于锐角 ∠A 取确定的值， AC1 , B1C1 , AC1 都是一个定值吗？ AB1 AC1 B1C1
结论
斜边 c
B ∠A的对边 a
A∠A的邻边 b C
在Rt△ABC中，∠C=90°， 我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做锐角∠A的余弦， 记作cosA，即
cosA=A斜 的边 邻边=bc
结论
斜边 c
B ∠A的对边 a
A∠A的邻边 b C
在Rt△ABC中，∠C=90°， 我们把锐角A的对边与邻边的比叫做锐角∠A的正切， 记作tanA，即
tanA = BC = 8 = 4 AC 6 3
cosA
= BC AB
=
6 10
=
3 5
cotA = AC = 6 = 3 BC 8 4
牛 刀
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
小 AB=5,BC=3, 求∠A, ∠B的正弦,
试 余弦,正切和余切.
B
A
C
拓展
如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A，∠BB
在Rt△ABC中
sin2A+cos2A=1．
tan A•cot A=1
sinA= A的对边 = a A的斜边 c
cosA= A的邻边 = b A的斜边 c
tanA= A的对边 = a
1.1锐角三角函数第1课时正切(教案)
其次，在新课讲授环节，我发现学生在理解正切函数定义和计算公式时，还存在一定的困难。这说明对于基础概念和公式的讲解，还需要更加细致和生动。在今后的教学中，我可以尝试使用更多的教具和实物，帮助学生形象地理解正切函数的定义和计算方法。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正切函数的定义和计算这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解，例如，通过不同角度的正切值计算，让学生看到正切值随角度变化的规律。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正切函数相关的实际问题，如测量树的高度或建筑物的高度。
突破方法：总结记忆技巧，如“正切等于对边除邻边”，并通过大量练习巩固记忆。
（3）实际问题的解决：学生面对实际问题，不知如何运用正切函数建立数学模型。
突破方法：提供丰富的实际问题案例，引导学生学会分析问题、建立数学模型，并逐步解决问题。
（4）正切函数的性质：学生对正切函数随角度变化的规律理解不深，难以把握其性质。
1.1锐角三角函数第1课时正切（教案）
一、教学内容
本节课选自《数学》八年级上册第十一章“锐角三角函数”的第一课时，主要内容为正切函数的定义及应用。具体内容包括：
1.理解正切函数的概念：通过观察直角三角形的对边与邻边的比值，引出正切函数的定义。
2.掌握正切函数的表示方法：利用直角三角形的边长关系，推导出正切函数的计算公式，即tanα =对边/邻边。
锐角三角函数(1)
tan B 1 2
A
B D
C
巩固提升 5、如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC （1）求证：AC=BD （2）若 sin C
AD 12 ，BC=12，求AD AC 13
证：（1）∵AD是BC上的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△ADB和Rt △ADC中
那么不管这个直角三角形的大小如何，该锐角的对边与邻边 的比值都会相等，也就是说是一个固定的值 D F
知识探究
一般情况下，在Rt△ABC中，当锐角A取其他固定值是，∠A的对边 与邻边的比值还会是一个固定值吗？ 如左图中的Rt △AB1C1、Rt△AB2C2和 Rt△AB3C3,， 易知： Rt △AB1C1∽ Rt△AB2C2 ∽ Rt△AB3C3 B1 A C1 C2 C3 所以有： B1C1 B2 C 2 B3C3 AC1 AC2 AC3
b sin B c a cos B c b tan B a
cot B a b
问题五：结合锐角∠A的三角函数和锐角∠B的三角函数，你能得出什么样的关系？ sinA=cosB cosA=sinB tanA=cotB cotA=tanB
注意：1、锐角三角函数反映的是直角三角形的边与角的关系。 2、锐角三角函数值是一个比值，它没有单位。
巩固提升
1、在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦值（ A A、没有变化 C、缩小2倍 B、扩大2倍 D、不能确定
）
3 1 cos B 3 2、已知在Rt△ABC中，∠C=90°， 2 ，则tanA=__________.
3 sin A 5 3、在Rt△ABC中， ∠C=90° cosA=__________ 5 ， 则tanA· a b 解：因为 sin A cos A c c
锐角三角函数1
AC 12 ∴ sin B = = . AB 13
想一想
如图, 如图 ∠C=90°CD⊥AB. ° ⊥ sinB可以由哪两条线段之比 可以由哪两条线段之比? 可以由哪两条线段之比
A
C
的值. 若ＡC=5,CD=3,求sinB、cosB的值 求 、 的值 ∵∠B=∠ 解: ∵∠ ∠ACD ∴sinB=sin∠ACD ∠ 在Rt△ACD中，AD= AC 2－CD 2 = 52－32 =4 △ 中 AD 4 sin ∠ACD= AC = 5 4 ∴sinB= 5
3
用一用
要想使人安全地攀上斜靠 在墙面上的梯子的顶端,梯子 在墙面上的梯子的顶端 梯子 与地面所成的角α一般要满足 与地面所成的角 一般要满足 0.77≤ sinα ≤0.97.现有一个长 现有一个长 6m的梯子 问使用这个梯子能 的梯子,问使用这个梯子能 的梯子 安全攀上一个5m 高的平房吗 高的平房吗? 安全攀上一个
a = c
对边
b
A 邻边
┌ C
注意：
1、sinA 不是一个角 、 2、sinA不是 sin与A的乘积 2、sinA不是 sin与A的乘积 3、sinA 是一个比值 、 4、sinA 没有单位 、
余弦
在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫 做∠A的余弦,记作cosA,即
∠A的邻边 b cos A = ＝ 斜边 c
4、sin2A+cos2A=1
?
34°
1米 米 10米 米
我们已经知道，直角三角形 我们已经知道，直角三角形ABC可以简 可以简 记为Rt△ 所对的边AB称 记为 △ABC，直角∠C所对的边 称 ，直角∠ 所对的边 为斜边， 表示， 为斜边，用c表示，另两条直角边分别叫 表示 的对边与邻边， 表示. ∠A的对边与邻边，用a、b表示 的对边与邻边 、 表示
锐角三角函数(1))
4.通过练习对所学知识进行巩固
教学过程
设计意图
时间安排
1.在一个RT△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，它的对边与斜边的比（ ）是一个固定值；又如当∠A=45°时，它的对边与斜边的比（ ）也是一个固定值；当∠A=60呢？由此猜想当∠A的值固定，则它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？引入新课
6.通过练习对所学新知识进行巩固
7.通过变式的计算及数形结合让学生拓宽思维，培养学生善于归纳和总结的数学学习方法
8.巩固新知，提高综合应用能力
5分钟
20分钟
15分钟
5分钟
板书设计
当∠A=30°时，
当∠A=45°时，
当∠A=60°时，
∵△ABC∽△ADE，∴
三角函数的定义：
，cosA= ，tanA=
题目
锐角三角函数
年级学科
九年级数学
课型
授课教师
刘志庆
工作单位
平湖稚川实验中学
教学目标
1.经历锐角的正弦、余弦、正切的探索过程，了解三角函数的概念
2.掌握正弦、余弦、正切的符号，会用符号表示一个锐角的三角函数
3.掌握在直角三角形中，锐角三角函数与边之比的关系
4.会根据定义求锐角三角函数值
5.
教学重难点
变式（1）求cosB的值，并观察sinA、cosB的大小关系
（2）计算 的值，由此你能得出什么结论？
（3）你能求sinA和cosA的取值范围吗？
例2．在△ABC中，∠C＝90°，斜边上的中线CD＝6，sinA＝ ，求△ABC的面积？
5.完成导向稿上的巩固练习
6.课堂小结
7.布置作业
8.5分钟课堂检测
1.1《锐角三角函数(1)》参考教案
《锐角三角函数（1）》参考教案【教学目标】知识与技能目标：通过实例，了解三角函数的概念，掌握正弦、余弦和正切的符号，会用符号表示一个锐角的三角函数。
掌握在直角三角形中锐角三角函数与边之比的关系，了解锐角的三角函数值都是正实数，会根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值；过程与方法目标：经历锐角的正弦、余弦和正切的探索过程，体验数学问题的分析与解决；情感、态度与价值观目标：培养多思考的学习习惯；学会用数学的眼光看世界，用数学来分析和解决生活中的问题。
【重点难点】教学重点：锐角的正弦、余弦、正切和锐角三角函数的概念；教学难点：锐角三角函数的定义，正弦、余弦和正切三类函数的意义、符号、以及函数中以角为自变量是教学中的难点。
【教学过程】一、创设情境引入主题利用几何画板演示一垂直于地面的旗杆在一天阳光的照射下，影长发生了变化这一情境。
（设计意图：通过学生观察生活中实物影长变化这一自然现象，结合多媒体展示旗杆影长变化过程，可提高学生的兴奋点，激发学习兴趣和欲望，有利于引导学生进行数学思考。
导入主题：直角三角形中，边角之间的关系。
）二、师生互动探求新知1.从一个含30度角的直角三角形为例,通过回忆直角三角形中,30度角所对的直角边是斜边的一半,得到30度的对边与斜边比值固定，不随点的变化而变化;2.再从含45度角的直角三角形讨论45度的对边与斜边比值固定，不随点的位置而变化；3.任意角∠α是否同样存在对边与斜边比值固定这一结论？通过猜测、验证、归纳的手段来分析和解决数学问题。
4.通过以上探索，边角之间的关系是什么？5.学习锐角三角函数的概念，表示方法及自变量取值范围和函数值取值范围。
（设计意图：建立在学生原有认知的基础上，发现问题，从而寻求方法解决问题。
通过回忆熟悉的定理，让学生明白直角三角形中锐角与边比值存在关系，并大胆猜测直角三角形中任意角∠α的对边与斜边比值是否固定？通过叠放含有∠α的直角三角形，从而作出图形，易让学生用所学过的相似三角形的知识来解决问题，得到比值固定。
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锐角三角函数——正弦
学号： 班级： 姓名：
内容：锐角三角函数． 执笔：欧雅燕 初审：陈杜峰 主审： 初三数学组 时间：第15周
一、自学指南
【学习目标】掌握正弦的概念和形式，理解在直角三角形中，锐角一定的情况下，其对边和斜边的比值是一个定值.
【学习重点】正弦的概念和形式
【学习难点】直角三角形中，锐角一定的情况下，其对边和斜边的比值是一个定值
二、自主学习
1.请同学们自学课本P76至课本P79面，认真思考文中提出的问题，理解其中的重要结论，识记重要概念，仔细体会文中的例题.
2.自学交流
（1）在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A 的对边和斜边的比都等于___________,是一个固定值；当∠A=45°时，∠A 的对边和斜边的比都等于___________，是一个固定值；当∠A=60°时，∠A 的对边和斜边的比都等于___________，是一个固定值；一般地，当∠A 取其他一定角度的锐角时，它的对边与斜边的比也是一个固定值.
（2）探究1：如图，在斜坡AB 上任取三点123,,B B B ，分别过123,,B B B 向AC 作垂线，垂足分别为123,,C C C ，然后用刻度尺测量123112233,,,,,AB AB AB B C B C B C 的长度，并计算331122123,,B C B C B C AB AB AB 的值，前后桌之间交流下计算结果，你发现这些比值有什么关系？你能解释它吗？
C
（3）探究2：请分别作111222333,,Rt A D E Rt A D E Rt A D E ∆∆∆，使12,,A A A A ∠=∠∠<∠ 3A A ∠>∠测量并计算331122112233
,,D E D E D E A D A D A D 的值，与探究1的结果比较后，你发现哪些规律？
（4）证实：任意两个直角三角形Rt △ABC 和Rt △A'B'C'，若∠C ＝∠C '＝90°，∠A ＝∠A '＝α，则
BC B C AB A B ''=''
．请你解释一下为什么？
5）正弦定义：
Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边
的比叫做___________，记做_________,即)()(
sin =A .
则=︒30sin __________；=︒45sin __________；=︒60sin __________；
（6）锐角三角函数的概念： 对于锐角α的每一个_______________的值，αsin 都有_____________的值与它对应，所以αsin 是α的函数.
三、例题选讲
例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求sin A 和sin B 的值．
例2 在△ABC 中， AB=BC=5，sinA=5
4，求△ABC 的面积。
四、巩固练习
1.在平面直角平面坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则sin ∠OAB 等于___________
2.在RT △ABC 中,∠C=900,AD 是BC 边上的中线,AC=2,BC=4,则sin ∠DAC=___________.
3.在 RT △ABC 中,∠C=90°，33=AC BC ，则sin ∠A=_________.
4.根据下图，求sinA 和sinB 的值
5.已知在RT △ABC 中,∠C=900,D 是BC 中点,DE ⊥AB,垂足为E,sin
∠BDE=5
4，AE=7,求DE 的长.
五、拓展思考
（1）锐角三角函数的实质是直角三角形中两边的比值，没有单位，其大小只与锐角的大小有关，与三角形的大小无关，即三角函数值随角度的变化而变化；
（2）A sin 是整体符号，记法中省去符号“∠”，不能写成“A ·sin ”
，对于用三个大写字母表示的角（如∠ABC ），则“∠”不能省略，其正弦应写成“ABC ∠sin ”；
（3）运用三角函数的定义的前提条件是在直角三角形中，如果没有这个前提就谈不上斜边和对边的概念了，但这并不是说，如果一个锐角不在直角三角形中，它的三角函数就不存在了，因为对于一个锐角，我们总可以通过作垂线（高）的方法把它放到某一个直角三角形中去；
（4）我们知道在Rt △ABC 中，∠C=90°，当锐角A 确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？
A B C
A B C 1216A B C 135(1)
(2)A C B
3
5。