从方程论到群论
5 群论 群论的发展史
1 群论在化学中的应用
2 科学家
若尔当（1838～1922）Jordan 法国数学家(2013-03-16 06:29:35)
若尔当（1838～1922）
Jordan，Marie Ennemond Camille
法国数学家。
又译约当。
1838年1月5日生于里昂。
若尔当的主要工作是在分析和群论方面。
他的《分析教程》是19世纪后期分析学的标准读本。
他指出简单闭曲线将平面分成两个区域，现称若尔当定理。
30岁时他已系统地发展了有限群论并应用到E.伽罗瓦开创的方向上，是使伽罗瓦理论显著增色的第一个人。
他研究了有限可解群。
他在置换群方面的工作收集在《置换论》一书中，这是此后30年间群论的权威著作。
他最深入的代数工作是群论中的一系列有限性定理。
他的著名的学生有F.克莱因和M.S.李等。
恩格尔(Christian Engel)和基令(Wilhelm Killing) 3 事件。
近世代数发展简史
近世代数发展简史近世代数是数学中的一个重要分支，它起源于16世纪，经过几个世纪的发展，逐渐成为了现代数学的核心领域之一。
本文将为您详细介绍近世代数的发展历程和主要成就。
1. 文艺复兴时期的代数奠基者近世代数的发展可以追溯到文艺复兴时期。
16世纪初，意大利数学家卡尔达诺（Cardano）和费拉拉（Ferrara）开始研究解三次方程的方法，他们的研究成果为代数学的发展奠定了基础。
2. 齐次坐标和代数几何的兴起17世纪，法国数学家笛卡尔（Descartes）提出了齐次坐标系统的概念，这一概念将代数与几何联系起来，为代数几何的发展打下了基础。
笛卡尔的代数几何理论为后来的代数学家们提供了强有力的工具，推动了近世代数的发展。
3. 群论的兴起19世纪，法国数学家瓦塞尔（Galois）在研究方程的可解性时，提出了群论的概念。
群论是近世代数中的一个重要分支，它研究的是集合上的一种代数结构，通过研究群的性质和变换的性质，可以解决一些关于方程可解性的问题。
瓦塞尔的群论成果对代数学的发展产生了深远影响。
4. 环论和域论的发展20世纪初，德国数学家诺特（Noether）提出了环论和域论的概念。
环论研究的是集合上的一种代数结构，它在抽象代数中占领着重要地位。
域论则是环论的一个重要分支，研究的是满足一定性质的代数结构。
环论和域论的发展推动了近世代数的进一步发展，为现代数学的发展奠定了基础。
5. 线性代数的发展近世代数的另一个重要分支是线性代数。
线性代数研究的是向量空间和线性变换的性质，它广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域。
20世纪，线性代数得到了快速发展，各种线性代数的理论和方法被广泛应用于实际问题的求解中。
总结：近世代数是数学中的一个重要分支，它起源于16世纪，经过几个世纪的发展，逐渐成为了现代数学的核心领域之一。
近世代数的发展历程包括文艺复兴时期的代数奠基者、齐次坐标和代数几何的兴起、群论的兴起、环论和域论的发展以及线性代数的发展等。
群论发展历程
群论发展历程
群论是数学中的一个分支，主要研究集合上的各种代数结构以及它们之间的关系和性质。
群论起源于19世纪，经过多年的
发展，已经成为数学的一门独立学科。
群论的历程可以追溯到1824年，当时法国数学家Galois首次
提出了群的概念，并应用到了求根式的可解性问题中。
此后，数学家们开始对群的性质和结构进行深入研究，并发现了许多重要的结果。
在20世纪初，数学家们开始将群论应用到其他领域，比如几
何学和物理学。
尤其是在量子力学中，群论成为了重要的工具，用来描述基本粒子之间的相互作用。
在20世纪的后半期，群论的发展进入了一个高潮。
数学家们
提出了许多重要的结论和定理，如尾群定理、Sylow定理和诺
特定理等。
这些结果不仅深化了对群的认识，也为其他数学分支提供了重要的工具。
随着计算机技术的发展，群论的应用也在不断扩大。
例如，密码学中的很多算法都基于群论的原理。
此外，群论还被广泛应用于代数方程的求解、图论、编码理论等领域。
至今为止，群论仍然是数学中一个活跃的研究领域。
数学家们在探索群的性质和结构的同时，也致力于将群论的方法和思想应用到更广泛的问题中。
通过不断发展和创新，群论在数学和其他学科中的作用将会变得更加重要和广泛。
群的基本概念
3、 (AB)-1 = B-1 A-1 证明: ∵ (AB)-1 = (AB)-1E = (AB)-1AA-1 E = (AB)-1 AEA-1 = (AB)-1A （BB-1）A-1
3, 单位元（不变元素）E,
EA = AE = A
4, 逆元A-1, A A-1 = A-1 A = E
二、 群的性质:
1、 E-1 = E ,
单位元 E 的逆元仍为E,
证：（1）E-1 E= E E-1 = E （令：A=E， 由A-1 A = A A-1 =E ） （2）E E-1 = E-1 E = E-1 （令：A= E-1 ， 由EA = A E= A ） 由（1）和（2） E = E-1
年迈的泊松感到难于理解
• 由于论文中出现了“置换群”等崭新的数 学概念和方法，泊松感到难于理解。几个 月后，他将论文退还给伽罗瓦；嘱咐写一 份详尽的阐述送来，可是，伽罗瓦已经没 有时间了。
• 在大学里，伽罗瓦由于积极参加资产阶级 革命活动，被学校开除了。
伽罗瓦预感到死亡即将来临
• 1831年5月和7月，他又因参加游行示威活动两次被 捕入狱，遭受路易--菲利浦王朝的迫害，直到1832 年4月29日，由于监狱里流行传染病，伽罗瓦才得 以出狱。
他盯上了著名的世界数学难题
• 不久，伽罗瓦的眼睛盯上了：高次方程的求根公 式问题。
• 16世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人， 发现了三次方程的求根公式。这个公式公布后没 两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求 根公式。当时，数学家们非常乐观，以为马上就 可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程 的求根公式了。然而，时光流逝了几百年，谁也 找不出一个这样的求根公式。
近世代数发展简史
近世代数发展简史近世代数是数学中的一个重要分支，它的起源可以追溯到16世纪。
在这个时期，欧洲的数学家们开始对代数进行系统的研究和发展。
本文将介绍近世代数发展的一些重要里程碑和相关概念。
1. 符号代数的起源近代代数的发展离不开符号代数的引入。
16世纪的意大利数学家卡尔达诺（Cardano）是符号代数的先驱者之一。
他在《代数学大全》一书中首次使用了符号来表示未知数，并研究了一元三次方程的解法。
这标志着代数从几何学中独立出来，成为一门独立的数学学科。
2. 方程论的发展方程论是近世代数的重要分支，它研究的是方程的性质和解法。
16世纪的法国数学家维埃塔（Viète）是方程论的奠基人之一。
他提出了用字母表示未知数的概念，并发展了一种新的符号代数方法来解决方程。
维埃塔的工作为后来的代数学家们提供了重要的启示。
3. 代数学的建立17世纪的法国数学家笛卡尔（Descartes）是近世代数学的奠基人之一。
他在《几何学》一书中提出了坐标系的概念，将代数与几何学相结合，从而建立了解析几何学。
这一创新为代数学的发展提供了新的方法和思路。
4. 群论的兴起19世纪的英国数学家凯莱（Cayley）是群论的奠基人之一。
他研究了代数方程的根与置换群之间的关系，并提出了群的概念。
群论成为近世代数的一个重要分支，它研究的是代数结构的对称性和变换规律。
5. 现代代数的发展20世纪的数学家们进一步发展了代数学的各个分支。
法国数学家居尔庞（Galois）在19世纪提出了群论的基本概念，并研究了方程的可解性与群的结构之间的关系。
这一工作为现代代数学的发展奠定了基础。
总结：近世代数的发展经历了符号代数的引入、方程论的发展、代数学的建立、群论的兴起以及现代代数的发展等阶段。
这些里程碑的贡献使代数学从一个辅助工具逐渐发展成为一门独立的数学学科。
近世代数的研究不仅推动了数学的发展，也为其他科学领域的研究提供了重要的数学工具和方法。
代数学的发展
第一节代数学的发展一、伽罗瓦理论及群论的发展长期以来，求解方程一直是整个代数的中心内容，而且在19世纪前期仍是如此．19世纪在探讨方程求解的问题中，出现了一种全新的理论．这一理论虽然以解决方程论中的重要问题为目的，但却引入了群和域等新概念，从而开辟了代数学研究的新方向．阿贝尔和伽罗瓦是伽罗瓦理论及群论的主要奠基者．阿贝尔生于挪伽罗瓦生于巴黎附近的布拉伦(Bourg-la－Reine)．他们俩有着共同的命运，很年轻就在数学的新领域做出了辉煌成就，但却不幸夭折，阿贝尔在26岁时死于结核病和营养不良，伽罗瓦21岁时死于决斗．在世时都没有为人所赏识．为了求解四次以上的方程，华林、拉格朗日、鲁菲尼(P．Ruffi-ni，1765—1822)、高斯、柯西等人都作了十分有价值的工作．他们提出了方程的根的初等对称函数、置换等内容．这些都对阿贝尔、伽罗瓦有直接的影响．阿贝尔在1824年春天成功地证明了：用根式求解一般的五次方程是不可能的．在这个过程中，他首先证明了今天的阿贝尔定理：可用根式求解的方程的根能以这样的形式给出，出现在根的表达式中的每个根式都可表成方程的根和某些单位根的有理函数．利用阿贝尔定理，1826年阿贝尔证明了高于四次的一般方程用根式求解的不可能性，根据阿贝尔的思想，克罗内克(L．Kro-necker，1823—1891)于1879年给出了一个直接、简单明了而又非常严密的证明．这样，几百年之久的求解高于四次的一般方程的问题就被阿贝尔解决了．不仅如此，阿贝尔还给出了特殊的可用根式求解的方程的特征：这些方程的所有根都是其中一个根的函数，即全部根为x，θ1(x)，θ2(x)，…，θn-1(x)．其中θ1是有理函数．1853年，克罗内克称具有这种特征的方程为阿贝尔(Abel)方程．随后，阿贝尔证明了更一般的定理：如果一个方程的所有根能表示成其中一个根的有理函数，且对于其中任意的两个根θα，θβ，有θα(θβ(x))=θβ(θα(x))．则该方程可用根式求解．阿贝尔一生在数学的其他领域也做出过重大的贡献．在椭圆函数方面、分析严密化方面都留下了他的足迹．其中有以他的名字命名的阿贝尔积分方程，阿贝尔定理，阿贝尔收敛判别法和关于幂级数的阿贝尔定理．阿贝尔的工作开辟了代数学研究的新方向，他引进了域和在给定域中不可约多项式这两个概念，并且开始了群论的研究．在群论、方程根的置换等问题的研究中，伽罗瓦也取得了重要成就．他试图解决这样的问题：虽然高于四次的方程一般不能用根式求解，但有些特殊的方程如阿贝尔方程却可用根式求解，那么哪些方程可用根式求解呢？为了解决这个问题，他利用了拉格朗日关于根的置换、排列的概念．如设x1，x2，x3，x4是一个四次方程的根，则在这四个根的排列中交换x i和x j就是一个置换，这样总共就有4！＝24种可能的置换．经过任何两个置换后仍是其中的一个置换，所置换的集合形成一个群，这样伽罗瓦就给出了关于抽象群的一个早期定义．这样，方程的群就成了它的可解性的关键．然后再这样进行探讨：给了一个方程，按照某种方法找到方程在系数域中的群G——根的置换群，这些置换使根之间的系数在该域中的全部关系保持不变．找到G后，再找G的最大子群H，然后可以用一套仅含有理运算的手续来找到根的对于G的所有T≠R，它的值发生改变．存在一种方法构造R中的一个．这个方程称为一个部分预解式．经过一系列工作，伽罗瓦给出了找给定方程的群，逐次预解式以及方程关于逐次扩大了的系数域的群——原来群的逐次子群的一系列方法，在这些工作中，群论的基本理论有了一些框架．然后伽罗瓦引入了正规子群(或称自共轭子群，不变子群)的概念．他证明了当作为约化方程的群的预解或是一个素数次p的二项方程x p-A＝0时，则H是G的一个具有指数p的正规子群；反之，如果H是G的一个正规子群，且具有素指数p，则相应的预解式是p次二项方程，或能化简到这样的方程．伽罗瓦引入了合成序列的概念：在子群序列G，H，K，L，…，E中，每一个都是前一个群中的极大正规子群．H对G的指数，K对H的指数等等，称为合成序列的指数．他得出了如下的重要结论：若一个方程的置换群的逐次子群所成的合成序列的指数都是素数，则这方程就能用根式求解；否则，该方程就不能用根式求解．利用这个结论，伽罗瓦证明，对于一般的n次方程，方程的置换群由n个根的全部n！个置换组成，置换群称为n级对称群．它的阶是n！．而n＝2时，合成序列的指数是2，n=3时合成序列的指数是2和3，n=4时合成序列的指数是2，3，2，2，因此当n≢4时方程能用根式求解．伽罗瓦于1830年彻底解决了方程能用根式求解的问题．他证明一个素数次的不可约方程能用根式求解的充分必要条件是，这个方程的每个根都是其中两个根的带有R中系数的有理系数．满足这种条件的方程称为伽罗瓦方程．最简单的伽罗瓦方程是x p-A＝0(p为素数)．阿贝尔方程也是一种伽罗瓦方程．伽罗瓦的工作一部分是关于方程的伽罗瓦理论，另一部分本身就是他所开创的一个新领域——群论．他是在严格的意义上使用“群(Group)”的第一个人，他引进了置换群、不变子群等概念，并且把群和域的扩张对应起来．群论的产生深刻地改变了代数学的内容，使代数学从主要研究方程开始转向研究各种代数结构，并且使代数学开始向更严密的方向迈进．伽罗瓦理论不仅回答了方程的求解问题，而且解决了古希腊“三大几何问题”中的“三等分任意角”和“倍立方体”问题．他的工作提供了可作图的一个判别法：对于一个作图问题首先要建立一个代数方程，它的解就是所要求的量．可作图的条件是这个量必须属于给定量的域的某个二次扩张域．利用这个判别法就可以解决上述两个问题，判明这两个问题都是不可解的．实际上，1837年旺策尔(P．L．Wantzel，1814—1848)用其它的方法曾独立地证明了这两个问题的不可能性．1837年旺策尔还给出了正多边形可作图的必要性证明，这个问题是高斯在1796年提出的，高斯断言：一个正n边形是可作图的，当且仅当任意正整数或0．拉格朗日已经知道子群的阶整除群的阶．伽罗瓦则给出了单群、合成群以及两个群G与G′之间的同构的概念．由于伽罗瓦的工作1846年才陆续发表，所以直到1870年约当(C．Jordan，1838—1922)发表著名的《置换和代数方程专论》(Traitédes Substitutions et des équations al-gébriques)，才第一次给伽罗瓦理论清楚、完善的表述，这时群的概念已从方程论进入到数学的更广泛的领域．约当不仅使群论系统化，而且做出了许多重要的工作．1869年，他从极大自共轭子群出发，引入了商群的概念，并且在1872年引入记号G i/G i+1表示商群．他曾证明了今天的约当—建立了同构、同态的概念，添加了关于传递群和合成群的许多结果，在书中，他还指出，可解方程的群都是交换群，他称这样的群为阿贝尔群．…，n)的线性变换来表示置换．1878年他曾提出，有限周期p的线性，…，n，εi是p次单位根．1868—1869年，他第一个对无限群进行了重要的研究，开创了利用群论研究几何变换的新道路．柯西也对群尤其是置换群的研究做出了重要的贡献．他的工作影响了著名的代数学家凯莱(A．Cayley，1821—1895)．在1849—1854年发表的三篇文章中，他首次提出了抽象群的概念，把群从具体的对象(如数、置换)扩大到更一般的范围，奠定了群论的理论基础．1872年，F．克莱因将群论与几何学联系起来，1873年李(M．S．Lie)引入连续群的概念，使群论与分析与几何联系在一起，从而产生了李群，李代数．19世纪对群论做出贡献的数学家还有西罗(L．Sylow，1832—1918)、弗罗伯尼(F．G．Frobenius，1849—尤其重要的是，1849年物理学家、矿物学家布雷威(A．Bra－vais，1811—1863)通过研究行列式为±1的三个变量的线性变换现32类对称的分子结构．他的研究开创了群论在物理中尤其是物质结构理论中的应用，而且这种应用越来越广．这样，群论就迅速为人们所承认，进入数学的中心，并且一度使人们认为分析、几何、物理学可以通过群论统一起来．的确，群论作为从纯数学方程中研究所产生的成果，能够在几何、分析，尤其是在具体的物质晶体结构中得到应用，不仅使得其理论本身成了蓬勃发展的领域，而且冲击了人们对数学的固有观念，甚至冲击了人们的世界观．二、四元数与向量在1830年时，复数用于表示平面上的向量已众所周知．但复数只能表示在同一个平面上物体受力的情况．如果作用于一个物体上的几个力不在一个平面上，那么又该怎样表示呢？1837年，哈密顿首先引进有序偶(a， b)来表示复数a＋bi，通过有序偶，他把复数的神秘性完全排除了．通过有序偶，对于两个复数a＋bi 与c＋di，他这样定义复数的运算：(a，b)±(c，d)=(a±c，b±d)，(a，b)·(c，d)=(ac-bd，ad＋bc)，这样，复数的历史发展与逻辑发展就得到了统一．既然有序偶(a，b)表示的二维复数可以表示同一个平面的力，因此很自然地，哈密顿和许多人都试图寻找三维复数表示空间的力．他发现，要求三维复数具有当时所发现的数(从自然数到复数)所具有的乘法交换性，总是办不到，而且三维复数(a，b，c)无论如何也不能唯一地表示出空间的力．他长期为这个问题所困扰，苦思冥想长达十几年，但一无所获．1843年10月16日黄昏，哈密顿携夫人一道去都柏林作为会长主持爱尔兰皇家学会会议，当步行到勃洛翰格时，长期探求的内容突然像一道闪电出现了，“此时此刻我感到思想的电路接通了．”他在一刹那间顿悟出，要用新数表示出空间向量，必须作出两点让步：一是新数必须含有四个分量(1，i，j，k)；二是必须牺牲乘法交换律．他把这种新的数a＋bi＋cj＋dk (a，b，c，d为实数)叫做四元数，写成有序偶的形式为(a，b，c，d)．对于基本分量的乘法，他定义为：两个四元数a+bi＋cj＋dk，e+fi+gj+hk，按普通多项式相加、相等并利用上述基本乘法公式，仍为一四元数．他通过有序偶给出了四元数的加法与乘法：(a，b，c，d)＋(e，f，g ，h)＝(a＋e，b＋f，c＋g，d＋h)，(a，b，c，d)·(e，f，g，h)＝(ae bf cg dh，af＋be＋ch－dg，ag＋ce＋df-bh，ah＋bg＋de-cf)，四元数进行乘法运算时，交换律不再成立，如j·k＝i，但k·j＝－i；p＝3＋2i＋6j＋7k，q＝4＋6i＋8j＋9k，pq--111＋24i＋72j＋35k，但qp=-111＋28i＋24j＋75k．在数学史上，第一次出现了乘法交换律不成立的实例．在数学史乃至科学史上，四元数的产生是灵感导致伟大发明的极好例证．四元数的发明在方法论上也是富有启示的．首先是通过类比导致了哈密顿等人去寻求三维复数，但长期的错误类比困惑了人们相当长的时期．突然，一道思维的闪电将这种束缚击破，从而导致了四元数的发明．长期以来，我们只注意了群论的产生对代数学的冲击，而忽视了四元数对代数学的影响．正如非欧几何创立以前人们认为欧氏几何是唯一的、不可更改的几何一样，经过皮科克(G．Peacock， 1791—1858)等人的总结，到19世纪四十年代，数学界普遍接受的是下述代数公理：1．等量各加上第三个等量得到等量；2．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (加法结合律)；3．a＋b＝b＋a (加法交换律)；4．等量加等量给出等量；5．等量加不等量给出不等量；6．a(bc)＝(ab)c (乘法结合律)；7．ab＝ba (乘法交换律)；8．a(b＋c)=ab＋bc (乘法对加法的分配律)．那时数学家们把上述公理看作是自古不变的，认为存在与一般的代数不同的代数是不可思议的．试图作乘法的交换律不成立的一种代数结构，不仅没有人会那样想，就是有人想出来了，也会被认为是异端邪说，a×b ≠b×a，这太与常识相悖了．哈密顿也就是长期不敢相信这个事实，但他终于迈出了这一步．现在有了四元数，其中乘法交换律不成立，而结合律等成立，同时又能发展出一套有用的理论体系，而且在逻辑上前后一致．这就使数学家们认识到：可以构造一个有意义的、有用的数系，它可以不具有实数和复数的交换法．人们可以考虑偏离实数和复数的通常性质的自由创造．这样，四元数就使得人们认识到：代数学的公理是可以改变的，不仅交换律，就是其他运算规则如结合律等也可以不满足．可以构造各种各样的代数，而上述公理可以一个或几个不成立，这样就有大量的系统能够研究了，从而使代数学第一次达到了可以“自由”研究的程度．从逻辑上完全可以这样认为，群论可以在四元数引起代数的这些变化之后作为一个系统来研究，今天大多数群论的教材就反映了这一点．1844年，格拉斯曼(H．G．Grassmann，1809—1877)把四元数推广到n元数组，使每一个数组(x1，x2，…，x n)与一个x1e1＋x2e2＋…＋x n e n这样形式的结合代数相联系，建立了该代数的基本单位e1，e2，…，e n的乘法表，并由此建立了n维空间的概念，这样就把通常的二、三维解析几何坐标推广成n个，建立了相应的n维仿射空间和度量空间的几何学．这是代数、几何学上的重大突破，在这方面格拉斯曼几采与哈密顿齐名．1843年，凯莱也引入了n维空间的概念，1854年他又给出了八元数——称为凯莱数：x=x0＋x1e1＋x2e2＋…＋x7e7．克利福德(W．K．Clifford，1845—1879)创立了拟四元数q+wQ(q，Q是四元数，w2=-1)．等等．面对这样多新涌现出来的代数，人们开始思索，自由创造的数学都能具有哪些性质？1857年，有人证明，在R上可除代数仅有的可能性是维数为1，2，4，8的代数，即实数、复数、四元数和凯莱数．1878年，弗罗伯尼证明了，具有有限个原始单元的、有乘法单位元素的实系数线性结合代数，如服从结合律，则只有实数、复数和实四元数的代数．魏尔斯特拉斯在1861年证明了，有有限个原始单元的，实或复系数线性结合代数，如服从乘积定律和乘法交换律，就是实数和复数的代数．赫尔维茨(A．Hurwi－tz，1859—1919)证明了实数、复数、实四元数和拟四元数是仅有的满足乘法定律的线性结合代数，哈密顿要是早知道这一点，他就不会徒劳无益地花十几年功夫寻求三维复数了．这些定理告诉人们，任意创造新的代数系统与保持某些代数性质是相互制约的．哈密顿、格拉斯曼、凯莱等人，以推出不同于传统代数的遵守某种结构规律的代数方法，而开创了现代抽象代数的研究．减弱或者去掉普通代数的各种假定，或像非欧几何一样将其中一个或多个假定代之以其他的假定，就可以出现多种可供人们研究的体系．按照这种方法，我们可以得到群、半群、环、整环、格、除环、布尔环、域、若尔当代数、李代数，等等．这种方法无疑地得益于四元数发明后产生的思想．20世纪的抽象代数已成为数学的主流之一，这些都应该追溯到四元数．四元数在向量分析的发展中起了重要作用，直接导出了向量分析．哈密顿本人把四元数a＋bi＋cj＋dk分为两部分：实部和他称之为向量的复数部(a Complex Pant)．两个向量按照四元数的运算法则所得出的乘积同样具有实部和向量部分．设他记实部(数量部分)为Sαα′、向量部分为Vαα′．如果把α，α′看作两个向量α-(x，y，z)，α′=(x′y′z′)，则有Sαα′=-α·α′，Vαα′=αxa′．这样，向量分析的基本公式(数积和叉积)借助四元数就被确定了．著名的物理学家、数学家麦克斯韦(J．Maxwell，1831—1879)在处理电、磁的有关问题时，曾明确指出，规定一个向量需用三个分量，这三个量能解释成沿三个坐标轴的长度，并且强调说，这个向量概念就是当它作用于点函数u(x，y，z)时，产生向量在哈密顿工作的基础上，19世纪80年代吉布斯(J．W．Gi-bbs，1839—1903)、希维赛德(O．Heavside，1850—1925)开创了向量分析这门新的数学分支，为物理学提供了十分有益的工具．他们两人提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但独立于任何四元数，向量c为实数，称为分量．规定这样，吉布斯和希维赛德也建立起了数积和叉积；从而建立了向量代数．数．由t的不同值可以得到各个向量，如果都是O作为原点画出来，则这些向量的终点描出一条曲线(图13·1)．上面我们看到的梯度、旋度就是向量微分．向量的积分形式被19世纪的数学家、物理学家用来把许多公式表成了更加简捷的形式．高斯—奥斯特洛格拉德斯基(Gauss—Ostrogradsky)公式写成了梯度公式写成了希维赛德把麦克斯韦方程写成了物理学家选择了形式上更简单、运用更方便的向量分析方法，但是相反四元数倒受到了冷落．三、线性代数四元数的出现为线性代数理论(主要是矩阵理论)的发展铺平了道路．19世纪的线性代数在行列式方面逐渐完善了，同时还新创立了重要的矩阵理论和线性变换理论．柯西于1812年给出了现代意义下的行列式这个词，并且在1815年引入了把元素排成方阵并采用双重足标的记法，而1841年凯莱则引入了两条竖线，到此为止标准的行列式已经出现了：-α′β，αβ′γ″-αβ″γ′+α′β″γ-α′βγ″+α″βγ′-α″β′γ，等．”1815年柯西给出了行列式乘法：|a ij|·|b ij|=|c ij|，其中|a ij|、|b ij|表示n，舍尔克(H．F．Scherk，1798—1885)给出了行列式的一系列新性质，如其中某一行是另两行或几行的线性组合时，行列式为零，三角行列式的值是主对角线上的元素的乘积，等等．1841年，雅可比给出了行列式D的导数公式(当其元素是t的函数其中a ij是t的函数，A ij是a ij的代数余子式．行列式还被用于多重积分的变量替换中．1832—1833年，雅可比给出了一些特殊的结果．1839年，卡塔兰(E．C．Catalan，1814—1894)给出了一般的结果：其中x=x(u，v)，y＝y(u，v)是D到D′变换，其中分也有类似结果．1841年，雅可比写了一篇文章专门讨论函数行列式J．他给出了这样的结果：若J≠0，则F1，F2，…，F M(线性)无关．他还给出了雅可比行列式的乘积定理：有用，利用行列式，19世纪的数学家在这方面取得了大量的成果．1801年，高斯在《算术探讨》(Disquisitiones Arith-meticae)中引入．西尔维斯特(J．J．Sylvester，1814—1897)于1852年证明y2s+1-…-y2r-s了著名的惯性定律：对于一个二次齐式来说，不管使用何种变换，正项的个数s以及负项的个数r-s总是不变的．西尔维斯特对19世纪线性代数的发展做出了卓越贡献．他和魏尔斯特拉斯共同完成了二次型的理论．19世纪数学家们讨论了各种各样的特殊行列式如对称行列式、斜对称行列式、正交行列式，等等，得到了许多特殊的结果．如阿达玛(J．Hadamard，1865—1963)于1893年得凯莱(A．Cayley)是矩阵论的创始人．在19世纪上半叶他就曾系统地研究过矩阵的有关性质．1849年他曾指出：矩阵在乘法下以及四元数在加法下构成群．1850年,西尔维斯特首先使用矩阵(Matix)一他写了《矩阵论的研究报告》(A Memoir on the Theory of Matrices)一文，给出了适用于n×n矩阵和m×n矩阵的许多定义：两个矩阵相等就是它们的对应元素相等；一个矩阵是两个矩阵之和，就是它的元素是两个他还给出了两个矩阵相乘的法则，并且指出，m×n矩阵只能用n×p 矩阵去乘．凯莱指出，矩阵乘法可结合，但一般不可交换．如AB≠BA．的公式凯莱给出了求一个矩阵A的逆矩阵A-1(其中A ij为行列式|A|中a ij的代数余子式．)他还断言，两个矩阵的乘积为零无需其中有一个为零矩阵．1870年，皮尔斯(B．Perice，1809—1880)引进了幂零元的概念：元素A对某个正整数n满足A n=0；同时还引进了幂等元的概念：元素A对某个n满足A n=A．后来，人们由此而定义了幂零矩阵A M＝0与幂等矩阵Am＝A．19世纪，人们定义了对称矩阵、反对称矩阵、斜对称矩阵、转置矩阵等特殊矩阵．1854年和1878年，埃尔米特、弗罗伯尼(F．G．Frobenius，1849—1917)分别给出了正交矩阵的定义：矩阵A是正交的，如果它等于它的转置矩阵A T的逆，即M＝(M T)．弗罗伯尼证明了正交矩阵总能写成(S-1－T)/(S+T)或者(I-T)/(I+T)的形式，其中S为对称矩阵，T为反对称矩阵，I为单位矩阵．从柯西开始，人们就开始讨论相似矩阵和相似行列式．如AP，则称矩阵A与B相似．相应地，人果存在一个可逆矩阵P使得B＝P-1们也这样定义了相似行列式．1879年，弗罗伯尼利用行列式引进了矩阵的秩的概念．一个m×n矩阵的秩为r，当且仅当它至少有一个r阶子式的行列式不为零，而所有高于r阶的子式的行列式都为零．矩阵的秩有一系列性质：秩(AB)≢min(秩(A)，秩(B))，等等．特征方程是矩阵和行列式理论中的重要内容，它最先是由欧拉开始研究的，随后拉格朗日、拉普拉斯在线性微分方程组的研究中明确地提出了这一概念，而“特征方程”这个术语则是柯西提出的．矩阵A的特征多项式是由下列多项式定义的：+…＋(-1)n C n．F(λ)＝|λI-A|=λn-C1λn-1λI-A称为A的特征矩阵，F(λ)=|λI-A|＝0称为A的特征方程．1858年，凯莱得到了著名的哈密顿—凯莱(Hamilton—Caylay)定理：n阶矩阵A是它的特征多项式的根，即F(A)=0．1890年，泰伯(H．Taber，1860—？)得到了这样的结论：特征方程的所有根之和即特征根之和是矩阵A的对角线之和，即矩阵A之值，也就是说C1＝tr(A)=∑a ij；而特征方程的常数项就是A的行列式之值，C n＝|A|．西尔维斯特还得出了“西尔维斯特定理”：若A是m×n矩阵，B是n ×m矩阵，m≣n，AB的特征多项式是f AB(λ)，BA的特征多项式是f BA(λ)，则f AB(λ)=λM·f BA(λ)．-n1878年，弗罗伯尼提出了矩阵A的最小多项式的概念，并指出它是由特征多项式的因子形成的而且是唯一的．但直到1904年亨泽尔(K．Hensel，1861—1941)才证明了唯一性，同时他还证明了，若h(x)是矩阵A的最小多项式，g(x)是A满足的任一其他多项式，则有h(x)|g(x)．今天，我们把含有参数λ的矩阵叫做λ—矩阵，19世纪对λ—矩阵及其行列式进行了充分的讨论．1851年，西尔维斯特从对行列式以后，1878年弗罗伯尼将这两个概念引入到矩阵中，进行了大量的工作，并以完美的逻辑形式整理了初等因子、不变因子的理论，其中的重要工作是彻底弄清楚了矩阵之间关系的结构．如果存在两个可逆矩阵U，V使A＝UBV，则称A，B等价．1878年弗罗伯尼证明了，矩阵A，B等价的充要条件是A和B有相同的初等因子或不变因子；而早在1868年，魏尔斯特拉斯就已经证明，两个矩阵相似的充要条件是它们有相同的不变因子和初等因子．他们所讨论的矩阵(同时也涉及到行列式)的元素不仅是实数，也扩充到了复元素．1870年，若尔当(亦称约当)证明了任何一个矩阵A可以变到标准型J称为约当标准型，J i称做对于λi的约当块．矩阵A的特征多项式矩阵的约当标准型的完整理论．1892年，梅茨勒(W．H．Metzler，1863—？)引入了矩阵的超越函数，如e M，lnM，sinM，arc sinM(其中M为矩阵)；而且其他人将矩阵(行列式)推广到了无穷阶的情形，矩阵元素也由普通的实数、复数扩充到属于抽象域了．凯莱、西尔维斯特建立了线性变换的理论．实际上，凯莱就是从两个相继线性变换的效应表示给出了矩阵的乘法定义．他们把一个矩阵看作一线性变换，从而利用线性变换处理了矩阵的相似、等价、合同等关系．后来线性变换又被应用于研究数论、射影几何，取得了巨大的成就，这一世纪已经出现了线性变换的矩阵标准形式：实际上，由于这一时期已经有了一般的n维空间理论，而且变换的思想早已进入数学界，在数论、代数、几何中引用各种变换已成为一种基本方法，因此，19世纪形成线性变换的基本理论是势在必然的事情．四、数论数论是最古老的数学分支之一，但是，数千年来它只是一系列孤立的巧妙结果、方法的集合．真正形成一门完整的学科——具有自己独特的范。
方程发展史
方程发展史人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月。
早在公元前2000年左右，居住在底格里斯河和幼法拉底河的古巴比伦人已经能解一些一元二次方程。
而在中国，《九章算术》“勾股”章中就有一题：“今有户高多于广六尺八寸，•两隅相去适一丈，问户高、广各几何？。
”之后的丢番图（古代希腊数学家），欧几里德（古代希腊数学家），赵爽，张遂，杨辉对一元二次方程的贡献更大贝祖，法国数学家。
少年时酷爱数学，主要从事方程论研究。
他是最先认识到行列式价值的数学家之一。
最早证明了齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。
他在其第一篇论文《几种类型的方程》中用消元法将只含一个未知数的n次方程问题与解联立方程组问题联系起来，提供了某些n次方程的解法。
他还用消元法解次数高于1的两个二元方程，并证明了关于方程次数的贝祖定理。
中国宋朝的沈括在《梦溪笔谈》中提出“隙积术”和“会圆术”，开始高阶等差级数的研究。
十一世纪，阿拉伯的阿尔·卡尔希第一次解出了二次方程的根。
十一世纪，阿拉伯的卡牙姆完成了一部系统研究三次方程的书《代数学》。
1545年，意大利的卡尔达诺、费尔诺在《大法》中发表了求三次方程一般代数解的公式。
1550～1572年，意大利的邦别利出版《代数学》，其中引入了虚数，完全解决了三次方程的代数解问题。
1591年左右，德国的韦达在《美妙的代数》中首次使用字母表示数字系数的一般符号，推进了代数问题的一般讨论。
1669年，英国的牛顿、雷夫逊发明解非线性方程的牛顿—雷夫逊方法。
1696年，法国的洛比达发明求不定式极限的“洛比达法则”。
1742年，英国的麦克劳林引进了函数的幂级数展开法。
1747年，法国的达朗贝尔等由弦振动的研究而开创偏微分方程论。
1755～1774年，瑞士的欧拉出版了《微分学》和《积分学》三卷。
书中包括微分方程论和一些特殊的函数。
1767年，法国的拉格朗日发现分离代数方程实根的方法和求其近似值的方法。
1770～1771年，法国的拉格朗日把置换群用于代数方程式求解，这是群论的开始。
近世代数发展简史
近世代数发展简史近世代数是数学中的一个重要分支，它研究的是数与符号之间的关系。
代数的发展可以追溯到古代，但近世代数的起源可以追溯到16世纪。
以下是近世代数发展的简史。
1. 文艺复兴时期（16世纪）在文艺复兴时期，代数开始浮现了一些重要的发展。
意大利数学家Cardano首次提出了解三次方程的方法，并发表了《代数学大全》。
同时，法国数学家Viète 提出了代数中的符号表示法，开创了代数符号的使用。
2. 方程论的发展（17世纪）17世纪，方程论成为代数中的重要研究领域。
法国数学家Fermat和英国数学家Descartes分别独立地发展了代数几何学，将代数与几何相结合。
Fermat提出了著名的“费马大定理”，并在边注中提到了他的证明思路，这成为了代数中的一个重要问题。
3. 群论的兴起（19世纪）19世纪，代数的发展进入了一个新的阶段。
法国数学家Galois提出了群论的概念，并建立了现代代数的基础。
他研究了方程的可解性，并提出了著名的“Galois理论”，解决了费马大定理中的一些特殊情况。
Galois的工作对代数的发展产生了深远的影响。
4. 现代代数的建立（20世纪）20世纪，代数的发展进入了一个全新的阶段。
德国数学家Hilbert提出了代数基础的问题，并提出了一系列的公理化方法。
同时，抽象代数成为了代数中的重要分支，研究了各种代数结构的性质。
在这一时期，代数的研究范围得到了极大的扩展。
5. 应用领域的发展近世代数的发展不仅仅局限于理论研究，还涉及到了许多实际应用领域。
代数在密码学、编码理论、计算机科学等领域都有广泛的应用。
代数的发展为这些领域提供了强大的工具和方法。
总结：近世代数的发展经历了多个阶段，从文艺复兴时期的代数基础研究，到方程论的发展，再到群论和现代代数的建立，代数的研究范围不断扩展。
近世代数的发展不仅仅是理论上的突破，还涉及到了许多实际应用领域。
代数的发展为数学和其他学科的发展做出了巨大贡献。
群论的发展历史及基础知识
第一章群论的发展历史及基础知识1.1群论的发展历史早在古巴比伦时期，人们就能用根式求解一元二次方程的解，并随着时间的推移，可以对一些特殊的一元三次方程做出求解，但是一直无法找出一般的解法。
直到十六世纪初，意大利人才解决了一元三次方程的一般解法。
然后意大利人似乎不满足于一元三次方程，也是在十六世纪初，意大利人费尔拉里又求解出一元四次方程的根是由系数的函数开四次方所得。
1770年前后，法国数学家拉格朗日提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，虽然他一度认为四次以上代数方程不可能有根式解，但是其思维方法和研究根的置换方法给后人以启发，相继的，鲁菲尼和高斯在一元n次方程的一般解做出研究。
随着时间的推移，1824年到1826年期间，挪威数学家阿贝尔着手考察可用根式求解的方程具有何种共性，并且严格证明了，如果一个方程可以用根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可以表示成方程的根和某些单位根的有理数。
并且利用这个定理证明了著名的阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数的求解。
并且解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，这类方程后来被称为阿贝尔方程。
虽然阿贝尔解决了构造任意次数可解的问题的方法，但是却没能给出已知方程是否可以用根式求解的问题。
这时，群的发明者伽罗华继承阿贝尔的事业，然而这位英年早逝的才子只是在他死后留下的遗书中为以后的数学发展做出贡献。
在他的遗书中，他提出了群的概念，用群的方法彻底解决了根式求解方程的问题，并且发展出一套关于群和域的理论。
正是这套理论为此后的数学发展提供了重要的工具——群论，对近世代数的形成和发展产生了巨大的影响。
伴随着群论的发展，作为其他学科重要工具的数学，自然而然的群论成为其他学科，包括物理、化学、生物等学科，重要的研究工具，并且为这些学科的发展起到了不可磨灭的推动作用。
1.2 群论基础群的定义：设G是一个非空集合，如果再G上定义一个代数运算，成为乘法，记作ab（或称为加法，记作a+b），当G满足以下条件时1.（结合律）对于G中任意元素a，b，c有a（b c）=（a b）c；2.（左单位元）在G存在一个元素e，它对G中任意一个元素a都有ea = a；3.（逆元）对于G中任意元素a，都存在一个元素b，使得ab=e；则G称为一个群。
群论 群论的发展史
1 群论在化学中的应用2 科学家若尔当（1838～1922）Jordan 法国数学家(2013-03-16 06:29:35)若尔当（1838～1922）Jordan，Marie Ennemond Camille法国数学家。
又译约当。
1838年1月5日生于里昂。
若尔当的主要工作是在分析和群论方面。
他的《分析教程》是19世纪后期分析学的标准读本。
他指出简单闭曲线将平面分成两个区域，现称若尔当定理。
30岁时他已系统地发展了有限群论并应用到E.伽罗瓦开创的方向上，是使伽罗瓦理论显著增色的第一个人。
他研究了有限可解群。
他在置换群方面的工作收集在《置换论》一书中，这是此后30年间群论的权威著作。
他最深入的代数工作是群论中的一系列有限性定理。
他的著名的学生有F.克莱因和M.S.李等。
代表成果成果1 成果2成果3 成果4 成果5 其他若尔当系统地发展了有限群论他的《分析教程》是19世纪后期分析学的标准读本。
指出简单闭曲线将平面分成两个区域，现称若尔当定理。
系统地发展了有限群论并应用到 E.伽罗瓦开创的方向上，是使伽罗瓦理论显著增色的第一个人。
研究了有限可解群。
置换群方面的工作收集在《置换论》一书中，这是此后 30年间群论的权威著作1838~1922 Jordan 法国数学家，又译约当。
培养了F.克莱因和M.S.李伽罗瓦群论的创立者用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，他系统化地阐释了为何五次以上之方程式没有公式解，而四次以下有公式解。
他漂亮地证明高斯的论断：若用尺规作图能作出正p 边形，p 为质数的充要条件为。
（所以正十七边形可做图）。
他解决了古代三大作图问题中的两个：“不能任意三等分角”，“倍立方不可能”。
1811~，法国数学家恩格尔(Christian Engel)和基令(Wilhelm Killing) 3 事件最新文件仅供参考已改成word文本。
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什么是群论？群论的发展？
什么是群论？群论的发展？群论起源于对代数⽅程的研究，它是⼈们对代数⽅程求解问题逻辑考察的结果。
群理论被公认为⼗九世纪最杰出的数学成就之⼀。
最重要的是，群论开辟了全新的研究领域,同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚⾄对于⼆⼗世纪结构主义哲学的产⽣和发展都发⽣了巨⼤的影响。
我们今天就主要了解它的发展⾥程,成长历史.群论产⽣的历史背景从⽅程的根式解法发展过程来看，早在古巴⽐伦数学和印度数学的记载中，他们就能够⽤根式求解⼀元⼆次⽅程ax2+bx+c=0，接着古希腊⼈和古东⽅⼈⼜解决了某些特殊的三次数字⽅程，但没有得到三次⽅程的⼀般解法。
这个问题直到⽂艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意⼤利⼈解决。
同⼀时期，意⼤利⼈费尔拉⾥⼜求解出⼀般四次⽅程 x4+ax3+bx2+ cx+d=0的根是由系数的函数开四次⽅所得。
但是在以后的⼏个世纪⾥，探寻五次和五次以上⽅程的⼀般公式解法却⼀直没有得到结果。
1770年前后，法国数学家拉格朗⽇转变代数的思维⽅法，提出⽅程根的排列与置换理论是解代数⽅程的关键所在，他的⼯作有⼒地促进了代数⽅程论的进步。
但是他的这种⽅法却不能对⼀般五次⽅程作根式解，于是他怀疑五次⽅程⽆根式解。
并且他在寻求⼀般n次⽅程的代数解法时也遭失败，从⽽认识到⼀般的四次以上代数⽅程不可能有根式解。
他的这种思维⽅法和研究根的置换⽅法给后⼈以启⽰。
相继鲁菲尼和⾼斯都在这⽅⾯进⾏了研究. 随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题。
1824年到1826年，阿贝尔着⼿考察可⽤根式求解的⽅程的根具有什么性质，于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明：如果⼀个⽅程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表⽰成⽅程的根和某些单位根的有理数。
并且利⽤这个定理⼜证明出了阿贝尔定理：⼀般⾼于四次的⽅程不可能代数地求解。
接着他进⼀步思考哪些特殊的⾼次⽅程才可⽤根式解的问题。
在⾼斯分圆⽅程可解性理论的基础上，他解决了任意次的⼀类特殊⽅程的可解性问题，发现这类特殊⽅程的特点是⼀个⽅程的全部根都是其中⼀个根（假设为x）的有理函数，并且任意两个根q1(x)与q 2(x)满⾜q1q2(x)=q2q1(x)，q 1，q2为有理函数。
近世代数发展简史
近世代数发展简史近世代数是数学中一个重要的分支，它研究的是数和运算的性质。
自17世纪开始，近世代数经历了一系列的发展和演变，为数学的发展做出了重要贡献。
本文将为您详细介绍近世代数的发展历程和主要成就。
1. 代数的起源代数的起源可以追溯到古希腊时期，当时的数学家主要关注几何学和算术。
然而，随着数学的发展，人们开始对未知数和方程式的研究产生了兴趣。
在公元3世纪，古希腊数学家丢番图提出了求解一元二次方程的方法，这被认为是代数学的起源。
2. 代数的发展2.1 文艺复兴时期文艺复兴时期是代数学发展的重要时期。
16世纪的意大利数学家卡尔丹诺（Cardano）和费拉里（Ferrari）研究了三次和四次方程的解法，奠定了代数学的基础。
此外，法国数学家维埃特（Viète）提出了代数符号的使用，为代数学的形式化奠定了基础。
2.2 齐次坐标和复数17世纪，法国数学家笛卡尔（Descartes）引入了齐次坐标系，将代数与几何联系在一起，为代数学的发展打开了新的方向。
同时，复数的概念也被引入，这使得代数学的运算更加灵便和丰富。
2.3 群论的兴起19世纪，法国数学家瓦埃斯特拉斯（Galois）的工作对代数学的发展产生了深远的影响。
他研究了方程的根与方程的对称性之间的关系，提出了群论的概念。
群论成为近世代数的一个重要分支，为后续的研究提供了基础。
3. 代数的应用近世代数不仅仅是一门抽象的学科，它还具有广泛的应用。
代数在密码学、编码理论、计算机科学等领域发挥着重要作用。
例如，现代密码学中的公钥密码系统就是基于代数的数论和群论等概念构建起来的。
4. 近世代数的发展和挑战近世代数在20世纪继续发展壮大，涌现出了许多重要的成果。
例如，埃米尔·阿图（Emil Artin）和安德烈·魏尔斯特拉斯（André Weil）等数学家对代数几何的研究做出了重要贡献。
然而，代数学中仍然存在一些未解决的问题和挑战，如费马大定理和黎曼猜想等。
解方程的历史与近世代数起源
解方程的历史与近世代数起源解方程是一种古老而迷人的智力游戏，有着浓厚的数学兴趣。
通过回顾解方程的历史，可以窥见数学发展史上的一些端倪。
Long long ago，人们还没有分数的概念，直到最先接触到形如ax+b=0的一元一次方程（a肯定是不等于0），求根公司为x=-b/a，为了简单起见，人为定义了分数（两个整数之比）。
再后来，解一元二次方程（形如ax^2+bx+c=0），人们得到的求根公式中涉及到开方，但是经常遇到根号下的数为负数的情况，于是人们引入了虚数的概念，从而将数域从实数扩充到复数。
一元二次方程求根公式再后来，一元三次方程和一元四次方程的求根公式都被陆续被找到了，于是数学家们信心大增，认为一元五次方程的求根公式很快就会被找出来。
于是他们义无反顾踏上了寻找一元五次方程的求根公式之旅……然而几百年过去了，无数的数学家纷纷折戟而归，这个问题依然悬而未解。
一元四次方程求根公式有些人依旧孜孜不倦的在寻找答案，而年轻的法国数学家伽罗瓦则打算另辟蹊径，他猜想万一本一元五次方程本来就不存在求根公式呢？如果说能发展出一套理论用于判断任意次方程能否存在求根公式就好了。
后来他用‘群’的思想证明了他的想法是对的，从而一下子解决了这个世界难题。
后人受他启发，逐渐完善了群论，而这也正是近世代数的重要起源。
为了纪念他开创了群论，伽罗瓦群就是以他的名字命名的。
法国数学家伽罗瓦他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。
他使代数学由作为解的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由时期推向抽象代数即近世代数时期。
围绕着人类解方程的历史，会发现数学大厦正变得越来越完善了，首先体现在数域扩充上面，从自然数集拓展到整数集，再到实数集，最后再到复数集，其次在研究方法上由静态分析到微积分的发现，数学开始运动起来，后来为了解决“最速降线”问题，发展出了“变分法”思想，再从简单代数到后来发现群论，开始研究抽象代数（也就是近世代数）……发展到现在，数学的水已经非常深了，不信的话可以看看下面这张图“数学的深渊”数学的深渊为什么我们有时候觉得数学没那么难，不就加减乘除解方程吗？我们的迷之自信从哪里来？这其实是因为著名的“达克效应”。
群论发展历程怎么写
群论发展历程怎么写群论是一门研究群和群的性质、结构以及其在数学和其他学科中的应用的数学分支。
群论的发展历程可以追溯到19世纪初，以下是群论发展的一些重要里程碑：1. 初始概念的形成：在1828年，法国数学家Evariste Galois提出了“群”的概念。
他研究了代数方程解的对称性，并提出了群的一些基本性质。
2. 简化理论的建立：在19世纪后半期，德国数学家SophusLie和瑞典数学家Felix Klein分别作出了对群论的重大贡献。
Lie研究了连续变换群，而Klein则发展了对变换群进行分类的方法。
3. 群的抽象理论建立：20世纪初，德国数学家Emmy Noether和奥地利数学家Hans Hahn分别独立地提出了群的抽象理论。
Noether的工作深化了对群结构的理解，她发展了群的基本定理，如群同构定理和第一同构定理。
4. 群的拓展与应用：在20世纪初，英国数学家Burnside（W. Burnside）和Frobenius（F. G. Frobenius）分别研究了有限群和群论的应用。
Burnside发展了有限群的理论，而Frobenius在抽象群理论的基础上发展了群表示论。
5. 群论的发展与应用拓广：20世纪中期，法国数学家Alexander Grothendieck的工作推动了抽象代数和群论的交叉研究。
他发展了同调代数等工具，为群论的进一步发展提供了新的途径。
6. 群论在其他领域的应用：现代科学中，群论在各个领域有着广泛的应用。
例如，量子力学中的对称群、杂化群和群表示论等概念为理解粒子的对称性提供了重要的工具；密码学中的群论在安全通信和数据加密中扮演重要角色。
7. 群论的发展与前沿：群论作为一门活跃发展的数学分支，至今仍有许多待解决的问题，例如，有限群的分类问题和无穷群的结构等。
当前的研究趋势集中在交叉学科研究和应用中，如代数几何、数论、动力系统和理论物理等。
综上所述，群论作为一门重要的数学分支，在数学基础理论的推动下不断发展，为许多领域的研究提供了重要的工具和思想。
数学中的群论研究进展
数学中的群论研究进展数学是一门既古老又深奥的学科，其中一个重要的分支就是群论。
群论作为数学的基石，涉及了许多重要的概念和方法，对现代数学的发展起到了举足轻重的作用。
本文将介绍群论的研究进展并探讨其在数学领域中的应用。
一、群论的基本概念和发展历程群论是研究代数系统的一个分支，其基本概念是群。
群是一种代数结构，由一组元素和一种二元运算组成，满足封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。
群论研究的是群的性质和结构，以及群之间的映射和变换等。
群论的发展历程可以追溯到19世纪，当时数学家们开始研究代数方程的解法。
关于群论的早期贡献主要来自高斯、阿贝尔和埃尔米特等人的研究。
20世纪初，埃米尔·阿廷提出了现代群论的基本观念，开启了群论的黄金时代。
二、群论的重要性和应用领域群论在数学领域中有着广泛的应用，尤其是在代数学、几何学和数论中。
群论的研究成果为解决许多复杂的数学问题提供了有力的工具和技巧。
在代数学中，群论是基础和框架，它研究代数结构的抽象性质和相互关系。
群论在线性代数、矩阵论和代数方程的解法中有着广泛的应用。
在几何学中，对称群、李群和拓扑群等具有重要的意义。
群论的研究可以帮助我们理解和描绘几何对象的对称性质和变换规律。
在数论中，群论被广泛应用于研究数的性质和数论问题。
例如，通过群论可以证明费马大定理、研究椭圆曲线和模形式等。
三、群论的研究进展群论的研究一直在不断发展，涌现出了许多重要的成果和进展。
以下介绍了群论在一些重要问题上的研究进展：1. 有限群的分类在有限群的研究中，群的分类一直是一个重要而困难的问题。
20世纪前期，埃米尔·阿廷证明了有限交换群的分类定理，为群的分类奠定了基础。
随后，亚当斯证明了有限简单群的分类定理，将有限群的分类归纳为了有限单群、循环群以及其他几个特殊类型。
2. 群的同调理论群的同调理论是群论中的一个重要分支，研究了群之间的关系和映射的性质。
同调理论的发展为研究群的结构和代数拓扑提供了有力的工具。
近世代数发展简史
近世代数发展简史引言概述：近世代数是数学中一个重要的分支，它的发展可以追溯到16世纪。
近世代数的发展不仅对数学本身产生了深远的影响，也在其他科学领域中发挥了重要作用。
本文将介绍近世代数的发展历程，分为五个部分，分别是：1. 代数基础的奠定；2. 方程论的发展；3. 群论的兴起；4. 环论的发展；5. 近世代数的应用。
一、代数基础的奠定：1.1 古希腊代数的起源：古希腊数学家毕达哥拉斯和欧几里得等人奠定了代数的基础，提出了平方数和立方数的概念，并研究了它们的性质。
1.2 文艺复兴时期的代数发展：文艺复兴时期，数学家卡尔丹诺和维埃塔等人开始研究代数方程，并提出了求解一元二次方程的方法。
1.3 笛卡尔的坐标系：17世纪，笛卡尔引入了坐标系的概念，将代数问题转化为几何问题，为代数的发展开辟了新的道路。
二、方程论的发展：2.1 代数方程的分类：18世纪，数学家拉格朗日将代数方程分为代数方程和超越方程，并研究了它们的性质和解法。
2.2 高次方程的解法：19世纪初，数学家阿贝尔和伽罗瓦等人独立地证明了五次及以上的代数方程无法用根式解出，这一结果被称为“阿贝尔-伽罗瓦定理”。
2.3 线性代数的发展：19世纪，数学家凯莱和哈密尔顿等人提出了线性代数的概念，研究了线性方程组和线性变换等内容。
三、群论的兴起：3.1 群的定义与性质：19世纪，数学家狄利克雷和凯莱等人提出了群的定义，并研究了群的性质，如封闭性、结合律和逆元等。
3.2 群论的应用：群论不仅在代数中有广泛应用，还在物理学、化学和密码学等领域中发挥了重要作用。
3.3 群论的扩展：20世纪，数学家冯·诺伊曼和埃米·诺特等人进一步发展了群论，提出了正规子群、商群和群同态等概念。
四、环论的发展：4.1 环的定义与性质：20世纪初，数学家费罗和诺特等人提出了环的定义，并研究了环的性质，如加法和乘法的封闭性、结合律和分配律等。
4.2 环论的应用：环论在代数几何、代数编码和数论等领域中有广泛应用，为解决实际问题提供了有力的工具。
近世代数发展简史
近世代数发展简史近世代数是数学中的一个重要分支，它的发展历程充满了许多重要的里程碑。
本文将从近世代数的起源开始，详细介绍近世代数的发展历史，并探讨一些重要的数学家和他们的贡献。
近世代数的起源可以追溯到16世纪的欧洲。
当时，数学家们开始研究一种新的数学对象，即代数方程。
代数方程是包含未知数和系数的数学等式，通过求解这些方程，数学家们希望能够解决实际问题。
然而，由于代数方程的复杂性，人们很难找到一般的解法。
在这个时期，一位重要的数学家出现了，他就是法国数学家维埃里。
维埃里在16世纪中叶提出了一种新的方法来解决代数方程，这就是著名的维埃里方程。
维埃里方程通过引入新的符号和运算规则，将代数方程转化为更简单的形式，从而使得求解变得更加容易。
维埃里的贡献被后来的数学家广泛接受，并且在17世纪得到了进一步的发展。
在这个时期，代数的基本概念开始得到确立，例如多项式、根、系数等。
此外，人们还开始研究多项式的性质，例如它们的根的个数和次数等。
在17世纪末和18世纪初，代数的发展取得了一系列重要的突破。
其中最重要的是法国数学家拉格朗日的工作。
拉格朗日在他的著作《代数基础》中系统地阐述了代数的基本概念和方法，并提出了一种新的代数理论，即群论。
群论是一种抽象的代数结构，它研究集合上的一种运算，并且通过定义一些基本的性质来研究这种运算的性质。
拉格朗日的群论为代数的发展开辟了新的道路。
在19世纪，代数得到了进一步的发展。
其中最重要的是德国数学家高斯的工作。
高斯在他的著作《代数研究》中提出了一种新的代数方法，即线性代数。
线性代数研究向量和矩阵的性质，它在几何学和物理学中有着广泛的应用。
除了拉格朗日和高斯之外，还有许多其他的数学家对近世代数的发展做出了重要贡献。
例如，英国数学家卢卡斯提出了一个重要的数论问题，即卢卡斯定理，它在数论中有着重要的应用。
法国数学家凯莱和李耶斯提出了一种新的代数方法，即群表示论，它研究群的表示和它们的性质。
方程的历史发展及其科学价值
方程的历史发展及其科学价值方程是数学中的重要概念，是描述数值关系的等式或不等式。
它在数学的发展与应用中起着至关重要的作用。
本文将介绍方程的历史发展及其科学价值。
然而，直到16世纪，方程的研究才迈入了一个新的阶段。
数学家拉方丹引入了“等式”的概念，并开始研究代数方程。
拉方丹的工作为方程的研究奠定了基础，开创了代数学的新篇章。
17世纪，数学家笛卡尔进一步发展了方程的理论。
他引入了坐标系的概念，将几何问题转化为方程问题，从而开创了解析几何学。
这一发现不仅丰富了几何学的内容，还大大推动了方程理论的研究。
18世纪中叶，欧拉与拉格朗日等数学家对方程进行了深入研究。
拉格朗日提出了方程解的存在性与唯一性的定理，为方程的解法提供了重要依据。
欧拉则发展了微分方程的理论，并提出了许多解法。
这些突破为后来微积分的发展打下了坚实的基础。
19世纪，高斯和阿贝尔等数学家进一步发展了方程的理论。
高斯提出了复数域上方程的解法，开拓了方程解法的新领域。
阿贝尔则研究了更高阶的代数方程，提出了研究方程的群论方法。
这些研究对代数学的发展起到了重要作用。
20世纪，方程的研究进入了一个全新的阶段，计算机的发明与普及使得方程的解法更加高效和精确。
数值方法以及符号计算系统的不断发展，为求解各种复杂方程提供了强有力的工具。
方程的科学价值是多方面的。
首先，方程是科学研究的基础和工具。
无论是物理学、化学、经济学还是生物学，都离不开方程的运用。
方程帮助我们建立了数值之间的关系，从而使得科学研究更加系统和可靠。
其次，方程的发展推动了数学理论的发展。
方程的研究不仅解决了实际问题，也为数学理论提供了新的数学对象和方法。
代数方程、微分方程、偏微分方程等各种方程类型的研究，都推动了数学领域的发展。
此外，方程的研究还对其他领域产生了深远影响。
解决方程的方法和思想，常常被运用到其他学科中。
比如，优化问题、控制论、信号处理等都离不开方程的运用。
总之，方程的历史发展及其科学价值不可忽视。
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从方程论到群论南京航空航天大学二О一三年四月十四日摘要：群论深刻而优美，却又因为过于深奥很难被全面把握。
本文尽量使用通俗性语言，从新角度针对群论进行历史的、具体的剖析。
为群论理论普及服务。
整个故事从方程论开始。
从17世纪开始，对方程论的研究就一直没有中断，这个课题在数学中是基础性课题。
方程论的核心任务是，寻求一般方程的系数根式解。
从得出一元一次方程、一元二次方程的解法开始，经过多年知识积累人们先后又得出了一元三次、一元四次方程解法，但是在寻求解一般五次方程时人们遇到了无法逾越的障碍。
就此，人们开始对之前个方程的解法进行归纳统一，以期能找到解一般五次方程的蛛丝马迹，其中的代表人物是范德蒙、拉格朗日，但是也失败了。
这就迫使人们转而研究方程的解的存在问题。
1832年挪威天才数学家阿贝尔在21岁时综合欧拉、高斯等人的研究成果，用反证法证明了一般五次方程无根式解。
这是方程论的一次巨大飞跃。
之后伽罗瓦发展了范德蒙、拉格朗日思想，结合阿贝尔的成果，综合自己多年研究，引进了群、域、扩域等概念，创造性地将群论、方程论结合起来，终于系统地完成了方程论的研究，创立了伽罗瓦理论。
关键词：范德蒙思想、拉格朗日思想、群、域、预解式、伽罗瓦群、系数扩展。
引言1832年5月30日，一声枪响划破巴黎郊区清晨的寂静，一位年轻人倒在了血泊中，不久即结束了不到21岁的生命，他就是伽罗瓦，数学史上唯一具有浪漫色彩的数学家，因感情纠纷死于与他人决斗。
在决斗前夜，他通宵达旦写下了自己几年来在数学领域的研究成果，在离去前为人类留下了一份宝贵的珍品--伽罗瓦理论。
1伽罗瓦理论完全而又彻底的解决了几百年来困扰无数数学家的多项式方程求解问题，宣告了方程论的结束，新的理论——群论的开始。
伽罗瓦思想大大超越了时代，其及其深奥以致当时最优秀的数学家都得要花几个月时间才能彻底掌握。
伽罗瓦开辟了新的时代，从群论开始，经历代数学家们的大力发展，一门崭新是学科——近世代数诞生了。
现在，群论已经成为数学、物理、化学、晶体学、密码学等学科中不可或缺的重要工具。
1.一元一次、一元二次方程人们在应用数学求解实际问题时，为简化运算，常常把所要求的量用一个符号代替，这就是代数这一概念的由来。
例如问题1，我和朋友共同买10个苹果，分配我去买3个，那么应该分配给朋友去买几个呢？用小学老师教过的方法去算，当然是10-3=7个了。
然而，历史的发展并不着眼于此简单的问题，从另一角度、另一方法去分析问题，往往获得质的提升。
在分析更复杂，更多变问题的时候，这种方式显得尤为重要。
对以上简单问题，换另一角度。
假设我不知道朋友应该去买多少个，我用一个符号去代替，用X吧。
X是多少我也不知道，他可能是0，可能是1，也可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10···但是我知道，一个关系必须成立，这个关系是X+3=10这就是一个代数方程，最简单的代数方程，一元一次方程。
这个方程有自己的运算法则，有自己的性质，是由3+7=0这类等式性质抽象分析得出的。
对等式移项得X-7=0为一般化分析奠定良好基础，统一方程为这种形式，即：含未知量的式子放等号左边，0放等号右边。
对一元一次方程，以上的方程化分析如此繁琐，但是，这里所代表的意义，所蕴含的思想，是具有划时代意义的--人类开始摆脱对感观感受的依赖，迈入理性分析的大门。
对更加复杂问题的分析，这时感官感觉效能将发现自己是多么吃力。
例如问题2，象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，那么是谁统计错了呢？还是全部都统计错了呢？.这次比赛共有多少个选手参加.这个时候，问题就不像上面的10-3=7那么容易了。
需要一番分析才能最终得出结果。
对最不想动脑的人，他可能会一个一个从1到10000000进行尝试（不可能）。
有了代数这种概念，这种武器，我们对问题的分析将会更加简化具体。
假设有X个人参加比赛，那么每个选手都要与X-1个选手比赛一局，总共进行X（X-1）局，但是两个选手对局从每个选手角度个统计了一次，因此实际比赛应为21 -XX）（局。
由于每局共计2分，所以全部选手总共为X(X-1)分。
因此X和X-1是相邻自然数，相邻自然数末尾乘积只能是0、2、6，因此总分是1917、1984、1985是不可能的。
因此只有1980分是正确的。
这时候有关系X（X-1）=1980化为统一形式为X2-X-1980=0从以上分析可以看出，如果仅仅将人的思维停留在10-3=7这个阶段，将导致无法分析更复杂的问题，社会发展的效率也将很低下。
有了代数的概念和方法，我们会发现分析的效率会大大提高，例如对以上问题的分析只需要求我们等价分析X-7=0 X2-X-1980=0这两个式子即可。
这是第一层抽象，这一层抽象引入了代数的概念，这是具有划时代意义的大事件，是人类思想解放的起步点。
既然是代数，那么我们将7、1980分别用p、q代替，就得到方程X-p=0 X2-X-q=0那么，如何对这些方程进行分析呢？对更一般的方程又如何分析呢？3①一元一次方程解的研究我们从小接触数是从自然数0、1、2、3、4···开始的，这群数是最自然不过的数，所以称为自然数，借用集合论的概念，全体自然数组成一个集合，叫自然数集，用N 表示。
我们知道，X-7=0在N 中是有解的，这个解是X=7.但是方程X+7=0呢？我们发现0、1、2、3、4、···这些数每个数加7都不等于0，即这个方程的解不在自然数集N 中。
这时怎么办呢？一个方法是引入新的数——负数，即把自然数集N 扩大到集合Z ，使Z 能包容方程X+7=0的解，这时我们将会发现，尽管X+7=0在N 中无解，但是却在Z 中有解，这个解是X=-7。
这时，一般的方程，X+a=0，（其中a 在N 中）将会在Z 中有解，稍微有数学知识的人都会懂得Z 就是整数集，Z={···-3，-2，-1,0,1,2,3···}。
上边的这个思想，即一个方程在一个数集中没有解，那么把这个数集进行扩展到更大的数集，使方程在更大的数集里有解的思想，及其重要，但是又因为过于简单明显而显得无用，长期被人忽视。
当对五次方程的一般解法的探索过去了300年均无成效后，人们才闪出这个思想的蛛丝马迹。
应用这个思想继续分析更一般的问题pX+q=0 （p ，q ∈Z ）这时解得X=-q p ，当p=2，q=-3时，X=32。
这时X=2/3也不在Z 中，这时需要把Z 进行扩大，添加进所有类似2/3这样的数，于是又得到一个更大的集合，这个集合称为有理数集，记为Q 。
用通俗的话讲，集合Q 包含了所有的分数。
于是一元一次方程pX+q=0 （p ，q ∈Q )在Q 中有解。
比较上边的这个方程跟其他更以上方程的区别，就会发现这个方程的系数在Q 中，但是它的解也在Q 中，即拿集合Q 中任意两个元素进行+、-、X 、 的结果扔在Q 中，这样的特殊集合称为域，Q 就是一个域，在方程论中很基本、很重要的一个域。
总结一下，对一次方程的解的研究我们取得丰硕的成果，用了一种思想，扩系数范围直至包含方程的解；引入一个概念，域。
一次方程的解到有理数域Q的时候实现了自我封闭，而数系，通过对解的研究一步步从自然数集N扩展到整数集Z，再从整数集Z扩展到有理数集Q。
尽管自然数、负数、分数、我们从小就接触知道意义并懂得使用，但是从自然数出发，通过扩张的方法一步步得到负数、分数，还是令人难以接受。
但是西方思想的核心就在于此，由最基本事实出发，运用一系列逻辑法则层层演绎，进而得出结果，令人无处可驳。
这也是西方的美，逻辑美、形式美，但是只有真正了解她的人，才能进入她的思想圈子，感受美的无限。
否则一切都是单调的枯草，令人不屑。
②一元二次方程的解的研究二次方程的一般形式是aX2+bX+c=0 （a≠0，a，b，c∈Q）用配方法解这个方程得X=a2ac 4-bb-2±，随便带入一个数，当b=0，a=1/2，c=-1时，得X=2。
2又是个什么东西呢？它在不在有理数集Q中呢？应用反证法我们可以证明，2不在有理数集Q中，即二次方程的解有些并不在系数域Q中，称这样的数为无理数。
应用上次分析一次方程时的系数扩张方法，将系数域Q进行扩展，将所有满足b2-4ac≥0的方程的解X扩充到系数域Q中，得到一个更大的数系，实数系R。
这时发现，对所有a、b、c∈R，且b2-4ac≥0的二次方程，其解也在R中，即实数系R中的任意两个元素进行+、-、X、÷的结果仍在实数系R 中，所以实数系R是一个域。
这个域包含了有理数域Q，记为Q⊂R。
但是实数域R是不是仅仅包含有有理数域Q呢？当然不是，例如a+b2，（a，b∈Q）也是一个域，它还有特别的记号，为Q（2）。
上边对实数域R进行分析时有个限制，即ω如果没有呢？例如a=1/2，b=0，c=1/2时，得X=1-，那么，1-是个什么东西呢？跟2之间有什么联系呢？我们知道，两个相同的数相乘不可能小于0，那么1-这个东西有没有实际意义呢？而且2=1.414···，那1-=？5我们姑且不管1-的实际意义，由之前的扩系数理论知道，若对系数之间的关系不加任何限制，那么解中不仅出现2这种数，而且还会出现1-这种数。
而且1-更加普遍。
我们将实数域R进一步扩展，使其包含1-这种数，而且用反证法可以证明，1-不在R中，因此扩展后的集合将比实数集R更大，记为C。
则二次方程在C中绝对有解，且R⊂C。
由前边分析可得C中的数可表为a+b1-，用i代替1-，即得a+ib，称这种数为复数。
而且当a，b，c∈C 时，二次方程的解也在C中，即取C中任意两个元素作+、-、X、÷的结果仍在C中，即C也是一个域，称为复数域。
对一次方程、二次方程的解进行分析后，我们得到三个重要的域，即有理数域Q、实数域R、复数域C，运用了一个重要的理论，系数扩展理论。
由最基本的自然数集开始，通过方程解的研究，运用系数扩展理论，我们依次得到整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C。
人们最早知道自然数，然后是有理数、负数、整数、无理数、实数，最后才是复数。
而且这些认识有的相隔几百年，有的甚至几千年才被人发现，最后有过了很多年才被人认可。
但是由以上分析、推论，这些数的得到是我们进行分析后想当然的结果。
为什么会有这种差别呢？留给看过这篇文章的人自己去分析品味吧。
数系由自然数开始，一步步扩充到复数，这时不禁疑问，在分析更高次的方程如三次、四次方程的解后，会不会产生新的数系呢？对此问题，高斯曾证明过，运用扩展系数方法不会产生比复数系更大的数系了，即，代数王国已经完成了它的扩张。