随机过程第五章(下)

1 f X1 ( x ) e 2 1

( x1 a1 )2 212
1 f X 2 ( x) e 2 2
边际分布为一维正态ห้องสมุดไป่ตู้布

( x2 a2 )2 2 22
2 X1 ~ N (a1,12 )， 2 ~ N (a2 , 2 ) X
二维正态分布的协方差矩阵：
2 1 C 1 2
作业
1. 5.2 2. X(t)＝Xcos2πt+Ysin2πt，式中X和Y是独立的随机变 量，且均值为0，方差为σ2，求X(0),X(1/4),X(1/2)的 协方差矩阵。 3. 均值为0的平稳正态随机过程X(t)有自相关函数
| | 2
(1)
(2)
R X ( ) 6e
RX ( ) 6
f X ( x)
1 (2 ) | C |
n 2 1 2
1 exp{ ( x a )C 1 ( x a ) ' } 2
则称 X 为n维正态随机变量，其中C为n维实对称正定阵。记为X ~ N (a, C)
协方差矩阵
C11 C12 C1n C C22 C2 n 21 C Cn1 Cn 2 Cnn

二维正态随机变量的联合密度的矩阵表示
f ( x1 , x2 )
其中 x ( x1 , x2 ),
1 1 exp{ ( x a )C 1 ( x a )' } 1 2 2 | C | 2

a (a1 , a2 )
n维正态随机变量的定义： 若n维随机变量的联合密度函数为
Cik E[( xi Exi )( xk Exk )]，i k：协方差
Cii E[( xi Exi )2 ]：方差
协方差矩阵的性质 1、 实对称；
2、正定阵：
证： =（1 , 1,, n） i Exi 令
n d i ( xi i ) f x ( x1 ,, xn )dx1 dxn 0 i 1
即若 X 为正态，则Y AX b ，亦为正态随机变量。
5、若 X 为n维正态随机变量，那么X1,X2, …,Xn相互独立的充要条件
是两两互不相关。
定义： 若随机过程X(t)的任意n维分布都是n维正态分布，则称X(t)是正态随机 过程（高斯过程）。 正态随机过程的性质：
1. 若正态随机过程为宽平稳，则必为严平稳。
量Y1,Y2, …,Yn是独立的随机变量，且Yi为一维正态分布N(0,di)。
1 i t ' t C t ' 2 2、 X ~ N (a, C) 的特征函数为 g ( t ) e X
3、n元正态分布中任意m维y向量亦为正态分布
4、n元正态随机变量的线性变换也为正态随机变量。
宽平稳特点
X(t)的期望为常数，与时间原点无关
X(t)的相关函数只是时间差t的函数
2. 正态随机过程通过线性系统，其输出亦为正态随机过程。
例题1： 设平稳正态过程X(t)均值为0，相关函数RX(τ )=(e-2|τ |)/4，求对给定时 刻t，X(t1)的值在0.5和1之间的概率。
例题2： X(t)=Acosw 0t+Bsinw0t，其中A与B为两个独立的正态随机变量，且 EA=EB=0，EA2=EB2=σ2，w0为常数，求X(t)的一维，二维密度函数。
2
n n n d E i ( xi i ) E i ( xi i ) j ( x j j ) i 1 i 1 j 1
2
i j E ( xi i )( x j j )
sin

试确定随机变量X(t),X(t+1),X(t+3)的协方差矩阵。
第五章（下）：正态过程
多维随机变量的定义与协方差矩阵 多维正态随机变量的性质 正态随机过程的定义 正态随机过程的性质

二维正态随机变量： 讨论随机变量X1,X2的联合概率密度函数 x a ( x a )( x a ) x a 1 1 f ( x1 , x2 ) exp{ [( 1 1 )2 2 1 1 2 2 ( 2 2 )2 ]} 2(1 2 ) 1 1 2 2 21 2 1 2 称X1,X2为二维正态随机变量。其中ρ 为X1和X2的相关函数。 对于上述二维随机变量，其边际密度可表示为
i 1 j 1
n
n
C T 0
C非负定
当C正定时，
f x ( x1 ,, xn ) 可显式得到；
当C非正定时，|C|可以等于0， C-1不存在，称为退化的正态分布。
f x ( x1 ,, xn ) 不能显式得到，但特征函数存在。
n维随机变量的性质
Y ( X a) A' 中的分 1. 若 X ~ N (a, C) ，则存在n阶正交矩阵A，使得向量
1 2 2 2
二维正态分布的协方差矩阵的性质： 1、 实对称； 2、正定阵 3、其逆矩阵可表示为
1 2 2 1 1 (1 ) C 2 (1 ) 1 2 (1 2 ) 1 2 1 2 2 (1 2 )