流体力学 4-4流体动力学
流体力学4-理想流体动力学
下标1 下标1、2为同一流线 上的任意两点
理想流体动力 学
二、拉氏积分和伯氏积分不同点： 拉氏积分和伯氏积分不同点： (１) 应用条件不同。 １ 应用条件不同。 拉格朗日积分只能用于无旋流运动， 拉格朗日积分只能用于无旋流运动， 伯努利积分既可用于无旋运动， 伯努利积分既可用于无旋运动，又 可用于有旋运动。 可用于有旋运动。 （２）常数Ｃ性质不同。 常数Ｃ性质不同。 拉格朗日积分中的常数在整个流场中不变 伯努利积分常数Ｃ 伯努利积分常数Ｃｌ只在同一根流线上不变
伯努利方程也表明重力作用下不可压缩理想流体 定常流动过程中单位重量流体所具有的位能、 定常流动过程中单位重量流体所具有的位能、动能和 压强势能可互相转化，但总机械能保持不变。 压强势能可互相转化，但总机械能保持不变。
理想流体动力 学
？讨论： 讨论：
实际流动中总水头线不是水平线， 实际流动中总水头线不是水平线，单位重量 流体的总机械能沿流线也不守恒, 为什么？ 流体的总机械能沿流线也不守恒, 为什么？
流体的质量力只有重力， 流体的质量力只有重力， U＝－ｇｚ p v p V ∂Φ z + + = − 或为 + = − gz + γ 2g
2
2
ρ
2
∂t
1 ∂Φ g ∂t
2.定常运动 2.定常运动
p V2 −U + + =C ρ 2
(通用常数) 通用常数)
3.对于理想、不可压缩流体、 3.对于理想、不可压缩流体、在重力作用 对于理想 下的定常无旋运动
理想流体动力 学
伯努力积分式
p
在重力场中Ｕ＝－ｇｚ 在重力场中Ｕ＝－ｇｚ
p V2 −U + + =C ρ 2
4工程流体力学 第四章流体动力学基础
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS
p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：
(完整版)流体力学重点概念总结
第一章绪论表面力：又称面积力，是毗邻流体或其它物体，作用在隔离体表面上的直接施加的接触力。
它的大小与作用面积成比例。
剪力、拉力、压力质量力：是指作用于隔离体内每一流体质点上的力，它的大小与质量成正比。
重力、惯性力流体的平衡或机械运动取决于：1.流体本身的物理性质（内因）2.作用在流体上的力（外因）流体的主要物理性质：密度：是指单位体积流体的质量。
单位：kg/m3 。
重度：指单位体积流体的重量。
单位： N/m3 。
流体的密度、重度均随压力和温度而变化。
流体的流动性：流体具有易流动性，不能维持自身的形状，即流体的形状就是容器的形状。
静止流体几乎不能抵抗任何微小的拉力和剪切力，仅能抵抗压力。
流体的粘滞性：即在运动的状态下，流体所产生的阻抗剪切变形的能力。
流体的流动性是受粘滞性制约的，流体的粘滞性越强，易流动性就越差。
任何一种流体都具有粘滞性。
牛顿通过著名的平板实验，说明了流体的粘滞性，提出了牛顿内摩擦定律。
τ=μ(du/dy)τ只与流体的性质有关，与接触面上的压力无关。
动力粘度μ：反映流体粘滞性大小的系数，单位：N•s/m2运动粘度ν：ν=μ/ρ第二章流体静力学流体静压强具有特性1.流体静压强既然是一个压应力，它的方向必然总是沿着作用面的内法线方向，即垂直于作用面，并指向作用面。
2.静止流体中任一点上流体静压强的大小与其作用面的方位无关，即同一点上各方向的静压强大小均相等。
静力学基本方程: P=Po+pgh等压面：压强相等的空间点构成的面绝对压强：以无气体分子存在的完全真空为基准起算的压强 Pabs相对压强：以当地大气压为基准起算的压强 PP=Pabs—Pa（当地大气压）真空度：绝对压强不足当地大气压的差值，即相对压强的负值 PvPv=Pa-Pabs= -P测压管水头：是单位重量液体具有的总势能基本问题：1、求流体内某点的压强值：p = p0 +γh；2、求压强差：p – p0 = γh ；3、求液位高：h = （p - p0）/γ平面上的净水总压力：潜没于液体中的任意形状平面的总静水压力P，大小等于受压面面积A与其形心点的静压强pc之积。
第4章 流体基本知识
注：不是流体没有粘性
一、流体的静压强定义：
流体的压强(pressure) ：在流体内部或固体壁面所存在的单位 面积上 的法向作用力 流体静压强（static pressure)：流体处于静止状态时的压强。
p
lim
A0
P A
4、稳定流和非稳定流
定常流动(steady flow) :流动物理参数不随时间而变化
如：p f ( x, y, z), u f ( x, y, z, )
非定常流动(unsteady flow) :流动物理参数随时间而变化
如：p f ( x, y, z, t ), u f ( x, y, z, t )
式中μ——黏度或黏滞系数(viscosity or absolute viscosity)。
黏度的单位是：N.s/m2或Pa.s 黏度μ的物理意义：表征单位速度梯度作用下的切应力， 反映了流体黏性的动力性质，所以μ又被称为动力黏度。 与动力黏度μ对应的是运动黏度υ(kinematic viscosity)，二 者的关系是
V 0
V 0
V
V
G V
三、流体的压缩性与膨胀性 1、压缩性： 定义：在一定的温度下，流体的体积随压强升高而缩 小的性质 表示方法：体积压缩系数β (The coefficient of compressibility)
1 dV V dp
（1/Pa）
2、膨胀性： 定义： 在一定的压强下，流体的体积随温度的升 高而增大的性质 表示方法：温度膨胀系数α(the coefficient of expansibility)
特别注意：流体静压强的分 布规律只适用于静止、同种、 连续的流体。
流体力学基础知识
目 录 Contents
一 绪论 二 流体静力学 三 流体运动学 四 流体动力学
第一章： 绪论
1.1 流体力学的研究对象
流体力学是研究流体平衡与运动的规律以及它与固 体之间相互作用规律的科学。
其中流体包括液体和气体，相对于固体，它在力学 上表现出以下特点： 流体不能承受拉力。 流体在宏观平衡状态下不能承受剪切力。 对于牛顿流体（如水、空气等）其切应力与应变的时间 变化率成比例，而对弹性体（固体）来说，其切应力则 与应变成比例。
• 数值方法 计算机数值方法是现代分析手段中发展最快的方法之一
1.4 流体力学的发展史
• 第一阶段（16世纪以前）：流体力学形成的萌芽阶段 • 第二阶段（16世纪文艺复兴以后-18世纪中叶）流体力学
成为一门独立学科的基础阶段 • 第三阶段（18世纪中叶-19世纪末）流体力学沿着两个方
向发展——欧拉、伯努利 • 第四阶段（19世纪末以来）流体力学飞跃发展
体静力学的基础
第二阶段（16世纪文艺复兴以后-18世纪中叶） 流体力学成为一门独立学科的基础阶段
• 1586年 斯蒂芬——水静力学原理 • 1650年 帕斯卡——“帕斯卡原理” • 1612年 伽利略——物体沉浮的基本原理 • 1686年 牛顿——牛顿内摩擦定律 • 1738年 伯努利——理想流体的运动方程即伯努利方程 • 1775年 欧拉——理想流体的运动方程即欧拉运动微分方
1.2 连续介质模型
• 连续介质 流体微元——具有流体宏观特性的最小体积的流体团
• 理想流体 不考虑粘性的流体
• 不可压缩性 ρ=c
1.3 流体力学的研究方法
理论分析方法、实验方法、数值方法相互配合，互为补充
流体力学基础流体的性质与流体力学原理
流体力学基础流体的性质与流体力学原理流体力学基础——流体的性质与流体力学原理流体力学是研究流体运动和流体力学基本原理的学科，广泛应用于航空、航海、能源、化工等领域。
本文将介绍流体的性质以及流体力学的基本原理。
一、流体的性质流体指的是气体和液体，在力学中被视为连续介质。
流体具有以下几个主要的性质：1. 可流动性：与固体不同，流体具有较低的粘性和内聚力，因此可以流动。
流体的流动性使其在工程领域中应用广泛，并且流体力学正是研究流体流动的力学学科。
2. 不可压性：对于液体来说，密度变化相对较小，一般可视为不可压缩的。
而对于气体来说，变化较大的压力会引起密度变化，所以流体力学中对气体流动的研究需要考虑密度的变化。
3. 流体静力学压力：流体静力学压力是由于流体自身重力或外力作用下的压力差异引起的。
流体中的每一点都承受来自其周围流体的压力。
4. 流体动力学压力：流体动力学压力是由于流体的动力作用引起的压力差异。
当流体以较高速度通过管道或物体时，流体动力学压力扮演着重要的角色。
二、流体力学原理流体力学原理是研究流体运动的基本规律，它由庞加莱提出的运动方程、贝努利定律、连续方程等组成。
以下将分别介绍这几个基本原理：1. 流体运动方程：流体运动方程描述了流体在空间中运动的规律。
流体运动方程包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
质量守恒方程指出质量在流体中不会凭空消失或产生；动量守恒方程描述了流体运动中受到的作用力和压力的关系；能量守恒方程则研究了流体在流动过程中的能量转化。
2. 贝努利定律：贝努利定律是流体力学中最为著名的定律之一。
它说明了在无粘度和定常状态下，流体在不同位置的速度、压力和高度之间存在着一种平衡关系。
贝努利定律在飞行器设计和管道流动等领域中有广泛的应用。
3. 材料导数：材料导数是流体力学中用来描述物质随时间变化的速率的重要概念。
对于流体来说，由于其非刚性的特性，物质随时间的变化需要通过材料导数来描述，它包括时间导数和空间导数。
流体力学复习内容
dFn v v pnn pn dA
特征一： 流体静压强的方向沿作用面的内法向方向。 特征二： 静止流体中任一点上不论来自何方的静压 强均相等。
3.2 流体平衡的微分方程式
一，平衡方程：由微元受力平衡（表面力和质量力） 得出静止流体平衡的微分方程。
1、压强差公式：
dp f x dx f y dy f z dz
表明：静止液体中，流体静压强的增量dp随坐标增量 的变化决定于质量力。
3.6 静止液体作用在平面上的总压力
§2.2 流体受力平衡微分方程
压强全微分方程： 等压面方程：
dp f x dx f y dy f z dz
分子组成的，宏观尺度非常小，而微观尺度又
足够大的物理实体。
§2.2 连续介质假设
流体质点选取必须具备的两个基本条件：
宏观尺度非常小：
才能把流体视为占据整个空间的一种连续介质， 且其所有的物理量都是空间坐标和时间的连续函 数的一种假设模型。 有了这样的模型，就可以把数学上的微积分手 段加以应用了。
微观尺度又足够大的物理实体：
使得流体质点中包含足够多的分子，使各物理 量的统计平均值有意义（如密度，速度，压强，温 度，粘度，热力学能等宏观属性）。而无需研究所 有单个分子的瞬时状态。
§2.5 流体的可压缩性
流体体积随着压力和温度的改变而发生变化的 性质。
二、流体的第二个重要特性——可压缩性
单一参数影响规律
x x(a，b，c，t )
特征：追踪观察，如将不易扩散的染料滴一滴到水流
中，染了色的流体质点的运动轨迹。
用欧拉方法求流体质点物理量时间变化率的一 般公式为：
流体运动的动力学定律
流体运动的动力学定律流体运动是自然界中一种常见的现象，它涉及到许多物理定律和原理。
在流体力学领域，有一些基本的动力学定律可以帮助我们理解和描述流体运动的规律。
本文将介绍一些重要的流体力学定律，并探讨其应用。
1. 质量守恒定律质量守恒定律是流体力学中最基本的定律之一。
它表明在任何封闭系统中，质量是不会被创造或者消失的，只会发生转移或者转化。
在流体运动中，质量守恒定律可以用以下公式表示：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是单位体积内的质量，v是流体的速度矢量，∂/∂t表示对时间的偏导数，∇·表示散度运算符。
这个方程表明质量的变化率等于流入和流出的质量之差。
2. 动量守恒定律动量守恒定律是描述流体运动中动量守恒的重要定律。
它可以用以下公式表示：ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇P + ∇·τ + ρg其中，P是压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
这个方程表明流体的动量变化率等于压力梯度、应力梯度和重力之和。
3. 能量守恒定律能量守恒定律是描述流体运动中能量守恒的基本定律。
它可以用以下公式表示：ρC(∂T/∂t + v·∇T) = ∇·(k∇T) + Q其中，C是比热容，T是温度，k是热导率，Q是单位体积内的热源。
这个方程表明流体的能量变化率等于热传导、热源产生和流体运动对温度的影响之和。
4. 流体静力学定律流体静力学定律描述了静止流体中的压力分布和压力的传递规律。
根据这个定律，静止流体中的压力在任何方向上都是相等的，并且压力沿着流体中的任意路径传递。
这个定律可以用来解释液体中的浮力现象和液体的压强。
5. 流体动力学定律流体动力学定律描述了流体运动中的压力分布和流速的关系。
根据这个定律，流体中的压力随着流速的增加而减小，在流速较大的地方压力较低，在流速较小的地方压力较高。
这个定律可以用来解释流体在管道中的流动、喷泉的原理等。
综上所述，流体运动的动力学定律是研究流体力学的基础。
工程流体力学第4章流体在圆管中的流动
流体在圆管中的摩擦系数
定义
表示流体在圆管中流动时， 流体与管壁之间的摩擦力 与压力梯度之间的比值。
影响因素
流体的物理性质、管道的 粗糙度、流动状态等。
测量方法
通过实验测定，常用的实 验设备有摩擦系数计和流 阻仪等。
流体在圆管中的流动效率
定义
表示流体在圆管中流动的能量转 换效率，即流体在流动过程中所 消耗的能量与流体所具有的能量
流速分布受流体粘性和密度的影响， 粘性越大、密度越小，靠近管壁处流 速降低越快。
03
流体在圆管中的流动现象
流体阻力
01
02
03
定义
流体在流动过程中，由于 流体内部以及流体与管壁 之间的摩擦力而产生的阻 力。
影响因素
流体的物理性质、流动状 态、管道的形状和尺寸等。
减小阻力措施
选择适当的流速、优化管 道设计、使用减阻剂等。
之比。
影响因素
流体的物理性质、管道的形状和尺 寸、流动状态等。
提高效率措施
优化管道设计、改善流体物性、降 低流速等。
流体பைடு நூலகம்圆管中的流动稳定性
定义
表示流体在圆管中流动时，流体的速 度和压力等参数随时间的变化情况。
影响因素
流动稳定性控制
通过控制流体物性、流速和管道设计 等措施，保持流体在圆管中的流动稳 定性。
根据输送距离、流量和扬程要求，选择合适的水 泵。
输送效率
优化输送管道布局，降低流体阻力，提高输送效 率。
输送安全性
确保输送过程中不发生泄漏、堵塞等安全问题。
液压系统
液压元件
根据液压系统要求，选择合适的液压元件，如油泵、阀、油缸等。
系统稳定性
确保液压系统在各种工况下稳定运行，避免压力波动和振动。
流体力学ppt课件-流体动力学
g
g
2g
水头
，
z
p
g
v2
2g
总水头， hw 水头损失
第二节 热力学第一定律——能量方程
水头线的绘制
总水头线
hw
对于理想流体，总水
1
v12 2g
2
v22 2g
头线是沿程不变的，
测压管水头线
p2
为一水平直线，对于
g
实际流体，总水头沿 程降低，但测压管水
p1 g
头线沿程有可能降低、
z2
不变或者升高。
z1
v2 A2 e2
u22 2
gz2
p2
v1A1 e1
u12 2
gz1
p1
微元流管即为流线，如果不 可压缩理想流体与外界无热 交换，热力学能为常数，则
u2 gz p 常数
2
这个方程是伯努利于1738年首先提出来的，命名为伯努利 方程。伯努利方程的物理意义是沿流线机械能守恒。
第二节 热力学第一定律——能量方程
皮托在1773年用一根弯成直角的玻璃管，测量了法国塞纳河 的流速。原理如图所示，在液体管道某截面装一个测压管和 一个两端开口弯成直角的玻璃管（皮托管），皮托管一端正 对来流，一端垂直向上，此时皮托管内液柱比测压管内液柱 高h，这是因为流体流到皮托管入口A点受到阻滞，速度降为 零，流体的动能变化为压强势能，形成驻点A，A处的压强称 为总压，与A位于同一流线且在A上游的B点未受测压管的影 响，其压强与A点测压管测得的压强相等，称为静压。
第四章 流体动力学
基本内容
• 雷诺输运公式 • 能量方程 • 动量方程 • 流体力学方程应用
第一节 雷诺输运方程
• 前面解决了流体运动的表示方法,但要在流 体上应用物理定律还有困难.
流体力学第四章ppt课件
对于定常无旋运动，式（4－3）括弧内的函数
不随空间坐标ｘ，ｙ，ｚ和时间ｔ变化，因此
它在整个流场为常数。精选课件
10
U p V2 C
2
(通用常数)
对于理想、不可压缩流体、在重力作用下的 定常无、旋运动，因Ｕ＝－ｇｚ，上式可写成
p V2
z
C
(通用常数)
2g
上式为上述条件下的拉格朗日积分式，Ｃ在
整个流场都适用的通用常数，因此它在整个流场
建立了速度和压力之间精的选课件关系。
11
若能求出了流场的速度分布（理论或实验的 方法），就能用拉格朗日积分式求流场的压力分 布，再将压力分布沿固体表面积分，就可求出流 体与固体之间的相互作用力。
应用拉格朗日积分式，可解释许多重要的物
理现象：如机翼产生升力的原因；两艘并排行
U 2
2
g
近似代替 20
适用于有限大流束的伯努利方成为：
z p U2 const
2g
或
z1p1U 21g2 z2p2
U22 2g
方程适用条件：
（13） （14）
（１）理想流体，定常流动；
（２）只有重力的作用；
（３）流体是不可压缩的；
（4）１.２截面处流动须是渐变流。但1.2两断
面间不必要求为渐变流精动选课件。
驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引
的“船吸现象”；以及在浅水航道行驶的船舶为
什么会产生“吸底现象”等等。
精选课件
12
讨论： 1. 如果理想、不可压缩流体作定常、无旋流
动且只有重力作用时，同一水平面上的两 点，其速度和压力的关系如何？ 2. 两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产 生互相吸引的“船吸现象”。
流体动力学
p60例4-7
(4-2)
4 倾斜式微压计 (p60)
当测量的压力很小时，由于在竖直的玻璃管中液面
高度变化很小，给读数造成困难，使测量误差增大。为 了提高测量的精确度，可以采用倾斜式微压计，如图411。当单管压力计的玻璃管倾斜角为α时，倾斜管中液 面高度由h1变为L
L h sin
由上式得知，
L比h1扩大了1/sin α倍。 由此可见，在相同的压
三、流体的压缩性与膨胀性 (p53)
流体的体积还随温度变化而变化，当温度升高，
则体积膨胀，这称流体的膨胀性。用膨胀系数表示，
它表示流体压力不变时，温度每增加1℃，单位体积的
增加量。即
v = (ΔV/V)/Δt v ——流体膨胀系数，1/K；
ΔV/V ——单位体积的膨胀量； Δt ——温度增加量，K。
g
由图可知，任一点的位置能头 与压力能头之和为一常数H， 即：
Z A hA ZB hB
Z A pA / g ZB pB / g
Z p / g 常数
(4-13)
5 静止液体的能头 (p61)
上式(式4-13)说明，容器内任一点的压力 能头与位置能头随点的位置不同而不同， 但是这两个能头的和却是一个常数。所以 液体内任一点位置发生变化时能头的和都 是一个常数。又因为如此，所以液体内任 一点位置变化时，其位置能头增加若干米， 则压力能头就减少若干米，反之，点的位 置能头减少若干米，则压力能头就增加若 干米。
由于液体所受压力和温度变化不大时，所引起的 液体体积变化量很小，故液体称不可压缩流体。
四、流体的黏滞性 (p54)
流体运动时，流体间产生内摩擦力的性质叫流体的黏 滞性。内摩擦力具有阻止运动的性质，是流体运动时产生 能量损失的原因。
流体力学第四章
1.渐变流及其特性
渐变流过水断面近似为平面，即渐变流是流线接近于
平行直线的流动。均匀流是渐变流的极限。
动压强特性：在渐变流同一过水断面上，各点动压强
按静压强的规律式分布，即
注：上述结论只适用于渐变流或均匀流的同一过水断面上 的 各点，对不同过水断面，其单位势能往往不同。
选取：控制断面一般取在渐变流过水断面或其极限情况均匀 流断面上。
即J=JP。 5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段
的流速水头。
6.如果测压管水头线在总流中心线以上，压强就 是正职；如相反，则压强为负值，则有真空。
4.总流能量方程在推导过程中的限制条件
（1）不可压缩流体；
（2）恒定流；
（3）质量力只有重力，所研究的流体边界是静止 的（或处于平衡状态）；
取管轴0-0为基准面，测压管所在断面
1,2为计算断面（符合渐变流），断面的形
心点为计算点，对断面1,2写能量方程（4-
15），由于断面1，2间的水头损失很小，
可视
，取α1=α2=1，得
由此得：
故可解得：
式中,K对给定管径是常量，称为文丘里流 量计常数。
实际流量 ： μ——文丘里流量计系数，随流动情况和管
流体力学
第四章 流体动力学基础
本章是工程流体力学课程中最重要的一 章。本章建立了控制流体运动的微分方程， 即理想流体运动微分方程和实际流体的运 动微分方程；并介绍了求解理想流体运动 微分方程的伯努利积分形式；构建了工程 流体力学中应用最广的恒定总流运动的三 大基本方程：连续性方程、伯努利方程 （即能量方程）和动量方程。通过本章的 学习要培养综合运用三大基本方程分析、 计算实际总流运动问题的能力。
道收缩的几何形状而不同。
流体力学中的流体动力学方程
流体力学中的流体动力学方程流体力学是研究流体运动规律和性质的学科，它在能源、环境、航空航天等领域有着广泛的应用。
流体动力学方程是流体力学的基础，它描述了流体在运动过程中的物理现象和力学特性。
本文将介绍流体动力学方程的基本原理和常见的流体动力学方程。
一、连续性方程连续性方程是描述流体质点质量守恒的基本方程。
它表明流体在运动过程中，质量的流入等于流出。
连续性方程可以用数学形式表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·表示散度运算符。
二、动量守恒方程动量守恒方程描述了流体质点在运动过程中动量的变化。
根据牛顿第二定律，动量守恒方程可以表示为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·τ + ρg其中，p是流体的压力，τ是动态粘性应力张量，g是重力加速度。
三、能量守恒方程能量守恒方程是描述流体内能和外界能量转化的方程。
根据热力学第一定律，能量守恒方程可以表示为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(k∇T) + q其中，E是单位质量的总能量，v是流体的速度矢量，k是热传导率，T是温度，q是单位质量的内部热源。
四、状态方程流体力学中的状态方程描述了流体在热力学过程中的状态特性。
流体的状态方程通常表示为：p = ρRT其中，p是流体的压力，ρ是流体的密度，R是特定流体的气体常数，T是温度。
综上所述，流体动力学方程包括连续性方程、动量守恒方程、能量守恒方程和状态方程。
这些方程是建立在质点假设和牛顿力学基础上的，可以描述流体在运动过程中的物理现象和运动规律。
通过求解这些方程，可以得到流体的运动速度、压力分布等信息，为解决实际问题提供了重要的理论基础。
在实际应用中，为了解决流体动力学方程的复杂性，常常采用数值模拟等方法进行求解。
数值模拟可以通过离散化方程、引入数值格式和数值算法，得到流体在离散网格上的解。
流体力学四章节流体运动学
（4.6）
w
iw x
jw y
k
w
z
w
w
2 x
w
2 y
w
2 z
ppx,y,z,t
（4.7）
x,y,z,t
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（4.8）
第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
因为质点在流场内是连续的，所以流体加速度的各分量为
同样
dwx wx wx x wx y wx z dt t x t y t z t
A
a
t0 et0
1
B
b
t0 1 et0
将A，B，C值代入前式得到
Cc
xaett00 1et t1
ybet0t01et t1 zc
这就是流场中的迹线方程式，也就是质点空间坐标的拉格朗日表达式，它
表示一迹线族。若某一个质点，当 t0 0时其起始位置 a 1，b2，c 3，
则这个质点的迹线方程式为 x2et t1 y3et t1 z 3
D D B t B tw x B xw y B yw z B zB t wBtwB （4.11）
（三）两种描述方法的关系 拉格朗日法和欧拉法两种表达式可以互换。例如，从拉格朗日法的坐标 位置表达式（4.1），可以求出用x，y，z，t 表示的拉格朗日变数a，b， c 的关系式
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第四章 流体运动学
y,
z, t
wz
z t
wz x,
y,
z,
t
（b）
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第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
将（b）式进行积分，则
x F1C1, C2, C3, t
流体力学-第四章 流体动力学基础
Dt t CV
CS
单位质量流体的能量 e (u V 2 gz) 流体系统的总能量
2
DE ed eV ndS
Dt t CV
CS
E ed
初始时刻系统与控制体重合
Q WSYS Q WCV
ed eV ndS Q W
t CV
CS
§4.2 对控制体的流体力学积分方程
§4.1 系统和控制体，雷诺输运定理
雷诺输运定理：
举例：动量定理运用于流体系统
F Dk Dt
F 是外界作用系统的合力，K 是系统的动量，
k Vd
由于系统不断改变位置、形状大小，组成系统的流体质点的密度和速度随
时间也是变化的，所以系统的动量也是变化的，求其对时间的变化率，即
求该流体系统体积分的物质导数。
取 N M 单位体积的质量
DM 0 Dt
d V ndS 0
t CV
CS
d V ndS 0
t CV
CS
积分形式的连续性方程
§4.2 对控制体的流体力学积分方程
非定常流动情况下：
d V ndS 0
t CV
CS
即单位时间内控制体内流体质量的增加或减少等于同时间内通过控制面流入 或流出的净流体质量。如果控制体内的流体质量不变，则必然同一时间内流 入与流出控制体的流体质量相等。
左端第一项——是控制体内流体动量随时间变化而产生的力，它反映流体运动的非定常性
左端第二项——是单位时间内流体流入和流出控制体的动量之差，它表示流入动量与流出动量
不等所产生的力。
§4.2 对控制体的流体力学积分方程
定常流动条件：
F
FB FS
VV ndS
CS
VV ndS
工程流体力学-第四章
p
p x
dx
dydz
X
dxdydz
dxdydz
dux dt
X 1 p dux
x dt
X 1 p dux
x dt Y 1 p duy
y dt Z 1 p duz
z dt
——Euler运动方程Βιβλιοθήκη f 1 p u (u )u
t
（1）物理意义：作用在单位质量流体上的质量力与表 面力之代数和等于其加速度。 （2）适用条件：理想流体。
z p C
g
急变流：流动参量沿流程急剧变化的总流。
例如：
缓变流断面：
1－1、4－4
急变流断面：
2－2、3－3
这样，即可得到：
1
gQ
A (z
p )gudA g
1
gQ
(z
p
g
)
A
gudA
z
p
g
动能修正系数
引入目的： 解决积分
1，
u 2 gudA
gQ A 2g
代之以 V 表达的关系式。
因为总流有效断面上的速度分布是不均匀的，设各点
2gQ
A
u3A 2gQ
1
3
u
A
2
dA
u2A
u2 2g
1 3
u
A
2
dA
u2A
动能修正
系数
则
1
u 2 gudA u 2
gQ A 2g
2g
令
hw12
1
gQ
A2 A1
hw 12 gudA
则（2）式变成：
z1
p1
g
1
u12 2g
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射流对壁面的作用力为
v
当
90
时， R Qv；
F=-R
v
Q/2
当 180 时，R 2 Qv；
v
例4－6图(b) 曲面所受冲击力最大，如例4－6图（b）所示。
例4－7 流量为Q0 的水平射流，冲击铅直放置并与之成θ角的 光滑平面壁，冲击后液流分散，设液流的密度为ρ。求：（1） 流量Q1 与 Q2 之分配；（2）若测得来流的直径为 d0，射流对平 面壁的冲力F是多少？
Qห้องสมุดไป่ตู้
v Q/2 v
θ F=-R θ x
- R - Qv(cos 1) 所以,射流对壁面的作用力为
例4－6图（a）
F R - Qv(1 cos )
F R Qv(1 cos ) 射流冲击力的分析是冲击式水轮机 Q/2 转动的理论基础。从上式可知：
Q
（3）由于壁面的对称性，水平射 流的反作用力R平行于射流方向。
例4-6
试求图示的射流对挡板的作用力。
v Q/2
设水平射流的流量为Q，因曲面 解： 对称且正迎着射流，则两股流量可 认为相等，都为Q/2，x方向动量方 程为
Q Q - R v cos(180 ) v(180 ) Qv 2 2
或
R Q(v2 v1 ) p1 A1n 1 p2 A2n2 Fb
（4）
考虑到 v1
v1n1及v2 v 2 n2 ，上式可写成
R 1Q1v1n1 2Q2v2n2 p1 A1n 1 p2 A2n2 Fb ( p1 A1 1Q1v1 )n1 ( p2 A2 2Q2v2 )n2 Fb
其次，作用于控制体内流体的质量力 Fb 一般为重力。 所以式（1）中合力为
F p A n p A n
1 1 1 2
2 2
R Fb
式中n1 , n2为入口断面和出口断面的外法线单位矢量。
把上式代入（1），得
p1 A1n 1 p2 A2n2 R Fb Q(v2 v1 ) （3）
由连续性方程
Q0 Q1 Q2
联立上两式可解出
Q1 Q0 (1 cos ) / 2
Q2 Q0 (1 cos ) / 2
列y方向的动量方程式
R Qv sin θ 4Q sin θ / πd0
2
2
3. 射流的反推力
航天器利用气流反推力获得飞行动力.
z F
如火箭，左图。 取与火箭一起运动的相对坐标系，取 火箭本身的外壳表面和喷管出口截面 积为A，流体相对于发射火箭喷出的 速度为流量为，流体密度为，列飞行 方向的动量方程有
解：设射流的初始速度为v0，因为 壁面光滑，水平射流的速度只改变 方向不改变大小； 光滑壁面对射流的反力 R 垂直于壁 面，合外力在 x 方向上为 0 ，列 x 方 向的动量方程可得
Q1，v0
x
y
Q0，v0
θ o
F =-R
0 ( ρQ1v0 ρQ2v0 ) ρQ0v0 cos θ
Q2，v0 例 4－ 7图
如图示是一个稳定流动。首 先选取 11221所围成的空间为 控制体，取t时刻占据控制体 的流体为系统，经过时间 dt 间隔后，控制体不动，而系 统移动到新的位置1 1 221， 构成了图示的 Ⅰ 、 Ⅱ 、 Ⅲ 三个 空间区域。在此过程中，系 统动量的变化值为
dM Mt dt Mt ( M M )t dt ( M M )t
Q(v2 y v1 y ) Fy Q(v2 z v1 z ) Fz
（2）
作用在控制体上的合外力如下 图示： P=∫pdA n2 T=v1 p2A2
n1
p1A1
Fb=mf
图4－16 控制体受力分析
首先，控制体外流体或固体 壁面作用在控制体上的表面 力：在控制体进出口截面上 的 p2 A2 n2 和 p1 A1n1 ； 在控制体侧表面上有压力的 合力P及粘性力的合力T，这 两个力比较复杂，在大多数 情况下是未知量，常用 R=P+T来表示作用在控制体 侧表面上的合力，即通过控 制体侧表面作用在控制体内 流体上的合力。
dM Qdt (v2 v1 ) dM Q(v2 - v1 ) dt
F Q(v
2
v1 )
（1）
这就是一元稳定流动的动量方程。
物理意义：
作用在控制体上的合力等于单位时间内流出与流入 控制体的动量差。 式（1）的分量形式为
Q(v2 x v1 x ) Fx
Fy
2．射流对固体壁面的冲击力
一股均匀射流正面冲击如右图所 示固体壁面，由于控制体内的流 程很短，水流阻力较其他外力很 微小，可忽略不计。 因此可认为：
v
Q/2 Q v Q/2
θ F=-R θ x v
图4－19
（1）控制体内液流的能量损失 hw 0
（2）水平射流与壁面在接触后， 射流只是改变方向，不改变大小；
采用动量方程的投影式
F F
x
y
Q vBx vAx
Q v By v Ay
即：
Rx pA AA pB AB cos 60 Q v B cos 60 v A
Ry pB AB sin 60 Q v B sin 60
F Q v
i
i i
（6） 注意正负号 （7）
R J i ni
稳定流动的动量方程的特点：
① 在计算过程中只涉及控制面上的运动要素，而不必考 虑控制体内部的流动状态。
② 作用力与流速都是矢量，动量也是矢量，故动量方程 是一个矢量方程。
二、动量方程的应用 应用动量方程应注意： 1.合理选用控制体，正好包含需要确定流体作用力的边 界，上下游断面选取在缓变流区域以便计算压力； 2.方程中应包含作用于控制体的一切外力，两断面上的 压力、边界上的力不要遗漏，但不包括惯性力。 3.注意正负号（Q,v），对于Q而言，流出为正，流入为 负；对于v而言，与坐标轴方向相同为正，相反为负； 4.动量方程是矢量式，应写成分量形式，对未知力可假 设其方向，如果结果为正，说明原假设的方向正确，如 果结果为负，则作用力的方向与原假设方向相反。 5.一般要联立连续性方程和伯努利方程求解。
§4-4
动量方程及其应用
在工程实际中有时要计算流体与固体相互作用的力，动量 方程提供了流体与固体相互作用的动力学规律。 一、稳定流动量方程 从物理学中的动量定律知道，单位时间内物体的动量变化 等于作用于该物体上外力的总和。
2
1 1 v1 I 1 v2 III
2 II 2 2
1
图4－15 控制体及系统
R Qv Av 2 F Qv Av 2
Q v
图4－20 火箭的推力
火箭所获推力与气流受力方向相反，即
可说明：提高速度可增大火箭推力。
C 才能求解。 1.应用动量方程时，一般要联立_______ A 伯努利方程 B 连续性方程 C A和B
2.恒定总流的连续性方程、伯努利方程、动量方程中 的流速为 A A 断面平均流速 C 断面形心出的流速 B 断面上的最大流速 D 断面上压力中心处的流速
引入冲量 J pA Qv ，且重力忽略不计，则上 式变为
R J1n1 J 2n2
（5）
强调：
① R为壁管对管内流体的作用力，根据牛顿第三定律可
知，F和R是一对作用力和反作用力，即：F=-R。 ② 式（1）和（5）仅适用于只有一个进出口的控制体。
对于有多个进出口的控制体，可依据动量方程物理意义将 其推广得到 及
1．流体作用于弯管的力 一变直径弯管，轴线位于同一水平面，转角 60o，直 径由 d A 200mm 变为 d B 150mm，在流量Q 0.1 m3 s 时， 压强 pA 18 kN m2 ，求水流对AB段弯管的作用力。不计弯 断的水头损失。
解：取控制体为弯管AB内的空间，坐标系如图所示， 设R为弯管AB对控制体内流体的作用力。
由于流动为稳定流动，所以时间的下标可去掉，则 dM M M
而 M m v1 1Q1dtv1 为流入控制体内的流体所具有的动量，
M m v2 2Q2dtv2 为流出控制体的动量，并考虑到稳定 流动的连续性方程，1Q1 2Q2 Q 则有
两端同除以dt得 由动量定理得
将 vA、 vB、pB 值代入式（1）和（2），得
Rx 0.538kN
水流对弯管的作用力
,
Ry 0.598kN
F R
F的大小
F Fx2 Fy2 0.5382 0.5982 0.804kN
F与x轴的夹角
0.598 tan 1.112 48 Fx 0.538