第五章 资本资产定价模型(CAPM)

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a in the above equations is the excess demand for the asset
which should be zero. Evaluating at a=0, we get the riskreturn trade off in equilibrium as:
计算效率边界投资权重，需要多种数据 There are N expected returns, N standard deviations and N(N-
(2) and (3).
如果卖空限制，另外的一约束条件是Xi > 0.
E ( Rp ) = ∑Wi E ( Ri )
i =1 N
1)/2 correlations.
1. 简要回顾
“... If the investor were only interested in
Lecture 5 资本资产定价模型(CAPM)
模型的假设条件 CAPM的基本思路 CAPM的数学推导 CAPM的经济学含义 CAPM之应 用 CAPM的实证检测

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2. 资本资产定价模型的假设条件
市场均衡投資組合的預期收益率和风险決定于投資組
合中個別资产持有比重，但計算市場均衡投資組合的 风险是一件相当繁杂的工作。那么对于投资组合来说， 投资组合的期望收益率与组合的风险之间有什么样的 关系呢？ 史丹福大學William Sharpe教授和前哈佛大學Lintner教 授以此角度切入，简化了风险和收益之间的关系，發 展出資本资产定价模型(capital asset pricing model，or CAPM)。 CAPM只需衡量个股或组合与市场组合（效率组合） 的关系，就可确定其预期收益。β是衡量单个资产的 市场风险适当的指标，而β的大小決定這個单个资产 或组合預期溢价。
证券市场线
CAPM与SML是什么？
资本市场线（CML）对有效证券组合的风险（标准差）与期望收
益的关系给予了较为完整的刻画。任何单个风险证券由于均不是 有效组合而一定位于资本市场线的下方，因此资本市场线方程并 不能告诉我们单个证券的预期收益与风险（标准差）之间的关系。 但利用资本市场线（CML）的有关结论，可以证明，对于任一证 券i，其期望收益率只是对其系统风险的补偿，而与非系统风险无 关。
E ( Ri ) − E ( Rm ) ∂E ( R ) / ∂a = ∂σ ( R ) / ∂a (σ im − σ m 2 ) / σ m
The slope of the marginal rate of substitution must be
Rearrange the equation, we can get CAPM as
报 率 对 于 市 场 上 所 有 的 资 产 是 相 同 的。
∂σ ( R ) ∂a
=0.5[a2σi2+(1-a)2σ2m+2a(1-a) σim]-0.5 *[2aσi2-2σm2+2aσm2+2σim-4aσim]
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1.投资者基于预期收益率和收益率的方差（或标准差）来进行投
资决策。决策行为遵循如下原则：当风险（方差或标准差）相同 时，选择期望收益率高的证券组合；当期望收益率相同时，选择 风险小的证券组合。 E(U) = E(R) – 0.5AVar(R) 2.投资者对所有证券的收益、方差及证券间的相关性具有完全相同 的预期。 3.所有投资者都是在单一投资期内进行投资决策。
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CAPM之文字证明
如果投资者因非系统风险而获得额外回报，那
5 资本资产定价模型的含义
E(Ri ) ＝ Rf + βi ⋅ [E(RM ) − Rf ]
证券的期望收益包含两个部分： ①资金的纯粹时间价值，即无风险收益率Rf ；这一部分代表了对投资者因购买该股票而推迟消费 （但不承担风险）的补偿，即该股票的收益率至少应大于这个无风险资产的收益率。 ②证券系统风险的报酬率 βi ⋅ [E(RM ) − Rf ] ，这一部分代表了投资者不但推迟了消费同时还面临 着股票价格波动而带来的风险，即应该给投资者以风险补偿。其中[E(RM ) − Rf ] 反映单位系统风险 所应得到的报酬。
E(R) = aE(Ri)+(1-a)E(Rm)
2. [E(Rm) - Rf]是市场风险溢价 3. [E(RA)-Rf]/β =[E(RB)-Rf]/β.它 表 明，风 险 回

∂E ( R ) ∂a
σ(R)=[a2σi2+(1- a)2σm2+2a(1-a) σim]-0.5 =E(Ri)-E(Rm)
(1)
σ =∑Wi σ + ∑∑WiWjσiσ j ρij
2Βιβλιοθήκη Baidup 2 i=1 2 i i=1 j=1 j≠i
N
N N
(2)
(3)
i =1
∑ Wi = 1
N
An example Number of assets in portfolio 10 100 250 Expected Returns 10 100 250 Standard Deviations 10 100 250 Correlations 45 4950 31125 Total 65 5150 31625 It is due to the number of correlations required that the number of
末风险相同的分散投资组合中，有较多非系统 风险的组合比非系统风险较少的组合收益高。 投资者会想方设法买进非系统风险较高组合的 股票，卖掉BETA相同但非系统风险较低的股 票。前者的价格被拉抬上涨。 以上过程会持续到beta相同的股票都有相同的 预期收益，非系统风险不再有RP为止。
equal to the slope of capital market line. Therefore,
E ( Rm ) − R f
σm
=
E ( Ri ) − E ( Rm ) (σ im − σ 2 m ) / σ m
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E ( Ri ) ＝ R f + β i ⋅ [ E ( R M ) − R f ] ,
其中, βi = σ
im
/σ
2 m
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4. CAPM的数学推导
讨论： 1. SML是一条向上倾斜的直线，它显示出收益
Assume a market portfolio M, a risk-free asset Rf, and risky
率与beta的关系：
R j = R f + ( RPm ) β j = R f + [ E ( Rm ) − R f ]β j
asset I. A portfolio consisting of a percent invested in I and (1-a) invested in M has the following mean and standard deviation:
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3. 资本资产定价模型（CAPM）推导的基本思路
关于投资者行为的假设 ： 均值－方差模型：证券组合选优 引入无风险资产后的有效集及分离定理。 资本市场线：有效组合收益和风险的关系。 证券市场线：任一单个证券收益和风险的关系。
E (RM ) − R f
σM
p
⋅ σ P 则 是 对 投 资 者 承 担 风 险σ
p
的补偿，通常称之为风险溢价。
TD
对 于 资 本 市 场 线 上 的 任 一 点 T ， 有 ： DF
=
MC FC
即：
E (RP ) − R f
σ
=
E (RM ) − R f
它与承担的风险σ
，
的大小成正比，其系数（也就是资本市场线的斜率）
E(Ri)=Rf+[E(Rm)-Rf]( σim/σm2) The last term is called risk premium that is the price of risk multiplied by the quantity of risk. Let β=σim/σm2 be the quantity of risk.
inputs increase dramatically.
One method used to reduce the amount of information required is
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to use index (or factor) models. Financial Economics_WCY
expected values of securities, he or she would only be interested in the expected value of the portfolio, and to maximize the expected value of a portfolio one need invest only in a single security...” “... This, I knew, was not the way investors did or should act. Investors diversify because they are concerned with risk as well as return. Variance came to mind as a measure of risk...” “... The fact that portfolio variance depended on security covariances added to the plausibility of the approach. Since there were two criteria, risk and return, it was natural to assume that investors selected from the set of ... optimal risk- Harry Markowitz, return combinations.” Nobel Prize 1990
E (RM ) − R f
σM
，
P
σ
M
度量了每一单位市场风险的补偿，故又称为风险的价格。
化 简 后 得 到： E (R p ) ＝ R
f
+
E (RM ) − R
f
σ
⋅σ
P
M
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3.2 资本资产定价模型（CAPM）与证券市场线(Security Market Line, SML)
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预期收益和风险
计算效率边界组合投资权重需要以下三个方程。 In order to derive the efficient frontier we maximize (1) subject to
Markowitz Portfolio Analysis Inputs Required
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关于市场状态的假设 ：
1.证券市场是完全竞争的市场。所有的投资者都是价格的接受者， 市场价格由供求平衡点决定。 2.市场是无摩擦的，即不存在税收和任何交易成本。 3.存在无风险资产。所谓无风险资产是指投资者在购买该资产时就 清楚地知道持有该资产时期结束后的资产价值。由于无风险资产 的期末价值是已知的，因此无风险资产收益率的标准差＝０
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3.1 资本市场线（Capital Market Line,CML）的推导
资本市场线的含义
E(Rp ) ＝ R f +
E (RM ) − R f
σM
⋅σ P
引入无风险资产后，有效集内任一证券组合的期望收益率与对应风险之间的关系 由两部分组成 ：一部分是无风险利率 R f ，它反映了对投资者放弃即期消费的补偿； 另一部分