第五章 角动量角动量守恒定理
第五章 角动量 角动量守恒(2011)
.中国载人航天工程副总指挥——胡世祥 中国载人航天工程副总指挥——胡世祥 胡世祥，1940年生 黑龙江人，毕业于哈尔滨工业大学 年生， 胡世祥，1940年生，黑龙江人，毕业于哈尔滨工业大学 控制工程系。 控制工程系。 曾任中国酒泉卫星发射中心副总工程师， 曾任中国酒泉卫星发射中心副总工程师，西昌卫星发射 中心副主任、主任。 中心副主任、主任。 长期从事火箭卫星发射试验，主持发射过多种型号卫星， 长期从事火箭卫星发射试验，主持发射过多种型号卫星， 曾多次担任卫星发射现场的 总指挥。 总指挥。 现任总装备部副部长，中国载人航天工程副总指挥， 现任总装备部副部长，中国载人航天工程副总指挥，主 神舟”号飞船发射工作。 管“神舟”号飞船发射工作。
（2） 对 O 点的角动量 ）
r r r r = r′ + R r r r r r r r r r r L = r × p =(R+r′)× p= R× p = R×m t g O r r L = Rm gt R ⊥g O
m r m v
确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。 确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。
老校长杨士勤曾说： 老校长杨士勤曾说： 神舟号”飞船研制过程中， 在“神舟号”飞船研制过程中，有5项关键技术 是由哈工大教师 是由哈工大教师 做出的成果解决的。 做出的成果解决的。 超大型空间环境模拟器； 超大型空间环境模拟器； 仿真试验OUT型闭式转台 型闭式转台； 仿真试验OUT型闭式转台； 飞船数据管理容错计算机； 飞船数据管理容错计算机； 返回舱焊接变形控制技术； 返回舱焊接变形控制技术； 飞船故障诊断专家系统。 飞船故障诊断专家系统。 国产舱外航天服 失重训练模拟水槽 出舱用反光镜体 舱外航天服试验舱
第五章 角动量角动量守恒定理解读
第五章角动量角动量守恒定理本章结构框图学习指导本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。
许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。
建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。
本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。
还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。
基本要求1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。
2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。
3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。
4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。
5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理，熟练进行有关计算。
6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。
内容提要1.基本概念刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。
定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。
即：I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。
质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。
表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。
表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）：即：大小：（力×力臂）方向：垂直于决定的平面，其指向由右手定则确定。
对于力矩的概念应该注意明确以下问题：•区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩：力对某轴的力矩是力对轴上任意一点的力矩在该轴上的投影。
例如：某力对x、y、z轴的力矩就是该力对原点的力矩在三个坐标轴上的投影：由上可知：力对参考点的力矩是矢量，而力对定轴的力矩是代数量。
5_5角动量 角动量守恒定律
第五章 刚体的转动 二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 1 刚体定轴转动的角动量
5 – 5 角动量守恒
L=
∑ m i ri v i
i
= ( ∑ m i ri )ω
2 i
ω
v ri
mi
z
L = Jω
2 刚体定轴转动的角动量定理 d L d ( Jω ) M = = dt dt
O
v vi
∫t1
t2
M d t = Jω 2 − Jω1
非刚体定轴转动的角动量定理
∫
t2
t1
Mdt = J 2ω 2 − J1ω1
5 – 5 角动量守恒 刚体定轴转动的角动量定理
第五章 刚体的转动
∫
t2
t1
Mdt = Jω2 − Jω1
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 若 M = 0 ，则 L = Jω = 常量 讨论 不变， 不变； 不变. 若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变，但 L = Jω 不变 ω ω 也变， 内力矩不改变系统的角动量. 内力矩不改变系统的角动量 在冲击等问题中 冲击等问题中 守 恒条件
5 – 5 角动量守恒
第五章 刚体的转动
冲量、动量、动量定理. 力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理 冲量矩、角动量、 力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、 角动量定理. 角动量定理
v v 2 质点运动状态的描述 质点运动状态的描述 p = m v E k = m v 2 v v 刚体定轴转动运动状态的描述 刚体定轴转动运动状态的描述 L = Jω Ek = Jω 2 2 v v v v ω ≠ 0, p = 0 ω = 0, p = 0
vM = (2 gh)
l u= ω 2
第5章角动量角动量守恒定律
(2) 说明天体系统的旋转盘状结构.
v
r
O
B S
A r
[证明]
(1) 行星对太阳O的角动量的大小为 L r p rmvsin
其中 是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.
用 s 表示 t 时间内行星所走过的弧长, 则有
dt
若 M外 0
则 dL 0 或 L 常矢量
dt
若对某一固定点，质点所受合外力矩为零， 则质点对
该固定点的角动量矢量保持不变。
例：质点做匀速直线运动中，对0点 角动量是否守恒？
Lo r mv
rmvsin
r mv
L
r
O r
A
p mv
6
例 试利用角动量守恒定律:
1) 证明关于行星运动的开普勒定律:
v1
r1
B S
A
O
r1
积, 如图中所示.
其中 d /dt 称为掠面速度.
由于万有引力是有心力, 它对力心O的力矩总是等于零, 所以角动量守恒, L=常量, 行星作平面运动, 而且
d L 常量
dt 2m
这就证明了掠面速度不变, 也就是开普勒第二定律.
8
(2) 角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构
lim L r ms sin
t0 t
lim L
2m 2m d
t0 t
dt
若用 r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
7
lim L
2m 2m d
t0 t
dt
C D
其中 是 t时间内行星 v2
第5章角能量角能量守恒定律
行星绕太阳运动: 引力F 指向太阳( 有心力)
r//
F
M
r
F
0
有心力 力矩为零 对力心的角动量守恒
第五章 角能量、角能量守恒定律
本章主要阐述四个问题： 一、角动量 二、力矩。 三、质点角动量定理、角动量守恒定律。 四、质点系角动量定理、角动量守恒定律。
四、 质点系角动量定理
0
dt
v M
v dL
dt
质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率
三、 质点角动量守恒定律
uur 如果M＝0则
d
ur L
ur 0即L＝常矢量
dt
如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此质 点对该固定点的角动量矢量保持不变。
注意： 1、角动量守恒定律也是自然界普遍适用的一条基本规律。
平
面
服从右手螺旋法则。
x
O
r
r
m
y
p
单 位 ： kg m2 s1
质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的强弱。
特例：质点圆周运动的角动量 v r L rmvsin 90o mvr
第五章 角能量、角能量守恒定律
本章主要阐述四个问题： 一、角动量。 二、力矩。 三、质点角动量定理、角动量守恒定律。 四、质点系角动量定理、角动量守恒定律。
精品课件！
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【例题2】证明关于行星运动的 开普勒第二定律：行星对太阳的 矢径在相等的时间内扫过相等的 面积。这个结论也叫等面积原理。
L
v
r
r m
证明：行星受力方向与矢径在一条直线（有心力），故角动 量守恒。
角动量、角动量守恒定律的分析
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r ，厚 dr 的球壳
R
dr
r
为积分元
o
dV 4r 2dr
m
m 4 R3
3
dJ
2 3
dm r 2
2mr 4dr R3
dm dV
J
R
dJ
0
2mr 4dr R3
2 5
mR2
注意： 对同轴的转动惯量才具有可加减性。
直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。
解：(1) 轴过中点
dm
x
L2
ox
L 2
L
J
r 2dm
m L
1 3
L3 8
L
x2dm
x 2 2
L
L3 8
1 12
2
mL2
m dx L
m L
1 3
x3
2 L
2
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
Lx
J r2dm x2dm L x2 mdx 0L m 1 x3 L 1 mL2 L3 0 3
o r m p
p
or
* 质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋
转运动的强弱。
*必须指明参考点，角动量才有实际意义。
2. 质点系角动量
L
系i统L内i vr所ii 有i vr质rcci 点 rvp对iii 同 无一有i'：'参：r对i对考参质考点m心点i角vi 动o量r1pr的c1 矢crrp量2ir2i和
i
i
i
式中 J ri2mi
i
刚体对轴的转动惯量
3-(5)、角动量角动量守恒
+
人
m
X
t
0
人 dt
人
M
2m
M
t
0
台dt
M
台
2m
台 (3)
人 台 2 (4)
A
人
m
台
A
台
4m Mm 2M
人
Mm
例3：一木杆长 l 可绕光滑端轴O旋转。设这时 有一质量为m的子弹以水平速度 v 射入杆端并 箝入杆内，求杆偏转的角度。 已知： M , l , m, v 求： ? 解： N N O O
C：开始不旋转的物体，当其一 部分旋转时，必引起另一部分 朝另一反方向旋转。
'
讨 论 子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
v
子 弹 击 入 杆
o
圆 锥 摆
o
T
'
m
v
p
o
v
R
以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统 圆锥摆系统 动量守恒； 动量不守恒； 动量不守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 . 机械能不守恒 . 机械能守恒 .
M
t1
x
dt
dL
Lx 1
x
Lx 2 Lx1
t2
Ly 2 y
M
t1
t2
dt
dL
L y1
Lz 2
y
Ly 2 Ly1
Lz 2 Lz1
M
t1
z
dt
dL
Lz 1
z
角动量定理（积分形式） 作用在质点系的角冲量等于系统角动量的增量。
第九讲--第五章角动量变化定理与角动量守恒(1)
若质点所受的合力矩为零,则质点的角动量不随时间 改变。 因为 M r F
F 0 , M 0 F过O点：中心力（如行星受中 心恒星的万有引力）
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
理学院 物理系 陈强
例. 发射一宇宙飞船去考察一质量为M,半径为R的行星, 当飞船静止于空间距行星中心4R时,以速度v0 发射一质 量为m(m远小于飞船质量)的仪器。要使这仪器恰好掠 着行星的表面着陆, 角应是多少？着陆滑行初速度v多 大？ v=? v0
1.一对内力的力矩之和为零 如图示,一对内力 f ij 和f ji ( f ij ) M i M j ri f ij r j f ji
Fi
mi
ri fij O
( ri r j ) f ij
r﹣rj i fji rj
2 2
解得
V (1 2 ) 2
1 2 ( 1 2 ) 2 →两猴同时到达滑轮
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
理学院 物理系 陈强
§5-4.有心运动
一 质点在有心力场中的运动方程
(1) 有心力 有心力： 方向始终指向或背向一个固定中心的力。 有心力场： 有心力存在的空间。 (中心对称)有心力： 有心力的大小仅与参考点P到 力心O的距离r有关，即
y
F
v
30
30
r
P
0
2002年5月考
x
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
理学院 物理系 陈强
§5-2. 质点的角动量变化定理,角动量守恒 一.质点的角动量变化定理
角动量对t求导
dp dr dL d r p r p dt dt dt dt dr dr v , p mv p0 dt dt dp d dL r ( mv ) r F r dt dt dt
第5角动量角动量守恒定律
v Gm0 R
{
∴ 角动量 L1
方向：垂直图平面向外，
大小； L1 2m Gm0R 2
② 在点2处
力矩 M 2 力矩定义式 M r v P
{ 方向：垂直图平面向里， 大小； M 2 Gm0m / R
R
m
900
m0
1
角动量
L2
同上理可得 m 的速度v2 Gm0 / R
微观: 电子绕原子核运动
第五章 角动量、角动量守恒定律
本章主要阐述三个问题：
11）角动量。 2）角动量守恒定律。 3）有心力与角动量守恒定律。
5-1 角动量
定义： 质点m相对o点的位矢r，动量为p=mv，则质
点相对固定点O的角动量L为
L
r
p
r
mv
大小：L=rpsin = mrvsin
方向：用右手螺旋法则确定，
z
方向垂直于r和p组成的平面。
L
单位：千克·米2/秒（kg·m2/s）。 o
y v
p
rm x
下面我们研究两个有代表性的例子：
（1） 质点作直线运动
在这种情况下，质点相对于O点的角动量只有量值的改变，
而方向不变。
大小：L mvrsin ，
方向：始终垂直纸面向外。
（2）质点作圆周运动 质点相对于圆心O的角动量
请看下面的例子：
一匀质细杆两端固定质量均为 m的刚性小球，现令
小球和细杆在水平面为以角速度 转动。
试问：以细杆和小球组成的系统动量为多少？
整个系统是以角速度ω转动，而系统动量却为零，与 一般思维不太吻合，可见仅动量这个物理量不能很好反映 转动问题，因此对于转动问题需要引进新的物理量。
大学物理 第五章 角动量守恒与刚体的定轴转动
大学物理学
第五章·角动量守恒与刚体的定轴转动
v 1 mM
m2v02 k (m M )(l l0 )2
sin
mv0l0
l m2v02 k (m M )(l l0 )2
试问:是否可以对全过程用机械能守恒定律计算,为什么?
o
v0
大学物理学
第五章·角动量守恒与刚体的定轴转动
刚体：在外力作用下，体积和形状都不 发生改变的物体．(任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组．)
说明：⑴ 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
刚体的运动形式：平动、转动．
大学物理学
第五章·角动量守恒与刚体的定轴转动
平动：刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同．
特点：各点运动
状态一样，如：v、a
力矩为零的两种可能
a) 合外力为零, 质点不 受外力作用. b) 合外力不为零, 合外 力是有心力.
大学物理学
第五章·角动量守恒与刚体的定轴转动
二、质点系的角动量定理和角动量守恒定律
1. 质点系的角动量
定义: 组成质点系的各质点对给定参考点的角动量的矢量和.
L Li ri pi ri mivi
大学物理学
第五章 角动量守恒与刚体的定轴转动
5－1 角动量与角动量守恒定律 5－2 刚体的定轴转动 5－3 刚体定轴转动中的功能关系 5－4 刚体进动 5－5 对称性和守恒定律
大学物理学
第五章·角动量守恒与刚体的定轴转动
5－1 角动量与角动量守恒定律
一1. 、质质点点的的角角动动量量(an定gu理lar和mo角m动ent量um守) 恒定律
等都相同．
刚体平动 质点运动
大学物理学
第五章 角动量角动量守恒定理
第五章角动量角动量守恒定理本章结构框图学习指导本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。
许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。
建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。
本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。
还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。
基本要求1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。
2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。
3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。
4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。
5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理，熟练进行有关计算。
6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。
内容提要1.基本概念刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。
定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。
即：I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。
质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。
表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。
表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）：即：大小：（力×力臂）方向：垂直于决定的平面，其指向由右手定则确定。
对于力矩的概念应该注意明确以下问题：•区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩：力对某轴的力矩是力对轴上任意一点的力矩在该轴上的投影。
例如：某力对x、y、z轴的力矩就是该力对原点的力矩在三个坐标轴上的投影：由上可知：力对参考点的力矩是矢量，而力对定轴的力矩是代数量。
大学物理学第五章角动量角动量守恒定律习题
第5章角动量角动量守恒定律一、本章总结1.请总结角动量、角动量守恒定律一章的知识点。
2.请画出本章的知识脉络框图。
二、填空题1. 如图所示，圆盘绕着与盘面垂直且过圆心O 的轴旋转，轴固定且光滑，转动角速度为ω。
这时，一对力偶沿着盘面作用在圆盘上（每个力大小为F ），圆盘的角速度ω 。
（填增大、减小或不能确定）2. 一个立方体放在粗糙的水平地面上，其质量分布均匀，为50 kg ，边长为1m 。
现用一水平拉力F 作用于立方体的定边中点。
如果地面摩擦力足够大，立方体不会滑动，那么要使该立方体翻转90︒，拉力F 至少为 。
3.一长为L 、质量为M 的均匀细棒，放在水平面上。
通过棒的端点O 有一垂直于水平面的光滑固定转轴，如图所示。
一质量为m 、速率为v 的子弹在水平面内垂直射向细棒，随后以速率v 21穿出，这时细棒的角速度 。
4. 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 。
5. 气候变暖造成地球两极的冰山融化，海平面因此上升。
这种情况将使地球的转动惯量 ，自转角速度 ，角动量 ，自转动能 。
（填变大、变小或不变）三、推导题6.试推导质量为m ，半径为R 的实心球体的转动惯量？（答：252mR ）四、计算和证明题7.如图所示，一个质量均匀分布的梯子靠墙放置，和地面成θ角，下端A 处连接一个弹性系数为k 的弹簧。
已知梯子的长度为l ，重量为W ，靠墙竖直放置时弹簧处于自然伸长，所有接触面均光滑。
如果梯子处于平衡状态，求地面、墙面对梯子的作用力，以及W 、k 、l 和θ满足的关系。
（答：W ；kl cos θ；OF Fω O v 21v 俯视图θsin 2kl W =）8. 半径为r = 1.5 m 的飞轮，初角速度ω0= 10 rad ⋅s -1，角加速度α= -5 rad ⋅s -2。
试问经过多长时间飞轮的角位移再次回到初始位置？此时飞轮边缘上的线速度为多少？（答：4s ；-15m ⋅s -1）9.质量分别为m 和2m 的两物体(都可视为质点)，用一长为l 的刚性细杆（质量为M ）相连，系统绕通过杆且与杆垂直的竖直固定轴O 转动。
5 刚体的角动量定理和角动量守恒定律
角动量守恒定律
一．刚体的角动量定理
dL 刚体转动定理的 M dt 可以改写为 Mdt dL
对上式积分，得 式中 t
t2
1
t2
t1
t2 Mdt dL L2 L1
t1
Mdt
叫做合外力矩在
t 2 t1
时间内的冲量矩。上式表明：刚体所受合外力矩 的冲量矩，等于刚体在这段时间内刚体的角动量 的增量，这就是刚体的角动量定理。 在SI制中，冲量矩的单位式 N m s
I1 2kg m2 。 在外力推动后， 此系统开始以 n1 15 转/分转动， 转动中摩擦力矩忽略不计。
2 I 0 . 80 kg m 当人的两臂收回， 使系统的转动惯量就为 2 时， 它的转速 n2
。
光滑的水平桌面上有一长 2l、质量为 m 的匀质细杆，可绕过其中心、垂直于杆的竖直轴自 由转动。开始杆静止在桌面上。有一质量为 m 的小球沿桌面以速度 v 垂直射向杆一端，与 杆发生完全非弹性碰撞后，粘在杆端与杆一起转动。求碰撞后系统的角速度。
2 rel dt
0 T T 0
M 2m M
2M 因此，在此时间内，人相对ห้องสมุดไป่ตู้地面转过的角度为0 d t M 2m
T
M 2m M 2m T dt dt 0 M M
转台相对于地面转动的角度为
T
0
2m T 4m dt dt M 0 M 2m
2
二．角动量守恒定律 由刚体的角动量定理可见,当刚体所受的合外 力矩为零,则
L I 常量
3
上式说明,当刚体所受的合外力矩为零,或者不受外 力距的作用时,刚体的角动量保持不变,这就是角动量 守恒定律。 必须指出，这个定律不仅对一个刚体有效，对转动 惯量I会变化的物体，或者绕定轴转动的力学系统仍然 成立。如果转动过程中，转动惯量保持不变，则物体 以恒定的角速度转动；如果转动惯量发生改变，则物 体的角速度也随之改变，但两者之积保持恒定。 应用角动量守恒定律时，还应该注意的是，一个系 统内的各个刚体或质点的角动量必须是对于同一个固 定轴说的。
第五章 角动量守恒
M O = d LO /d t = 0
由两个相互作用的质点构成的孤立体系,角 动量守恒： r r r r r1 × p1 + r2 × p2 = 常矢量
d r r d r r ( r1 × p1 ) = − ( r2 × p2 ) dt dt r r r r r r M1 + M2 = r1 × f1 + r2 × f2 = 0
对Z轴的力矩
r r Mz = k ⋅ M
中学的表达式：对O点的力矩M
r M
M = Fd = Fr sin α
o
r r
r F
α
5-2-2 质点的角动量定理 5-2-2
r r r dB r dA d r r * 微分公式 (A × B) = A × + ×B dt dt dt 考虑： r r r r dp d r r r dL d r r = = (r × mv ) dt r × ( m v ) + r × dt = r × F dt dt r r r F r dL v M= 质点的角动量定理 dt
Sun
r
L在某方向(如z轴)的投影为对该轴的角动量:
Lz = k ⋅ L = k ⋅ (r × p) = xp y − yp x
可见,Lz完全由r和p在垂直于z轴的平面内的分量确定 当质点m绕z轴作半径r的圆周运动, x =rcosθ, y =rsinθ,即得:
LZ = m( x dy dx dθ − y ) = mr 2 = Iω dt dt dt
§5-2 力矩 质点的角动量定理
本节内容：
5-2-1 力矩 5-2-2 质点的角动量定理 5-2-3 质点在有心力作用下的运动
5-2-1 力矩 5-2-1
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第五章角动量角动量守恒定理本章结构框图学习指导本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。
许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。
建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。
本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。
还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。
基本要求1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。
2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。
3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。
4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。
5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理，熟练进行有关计算。
6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。
内容提要1.基本概念刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。
定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。
即：I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。
质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。
表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。
表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）：即：大小：（力×力臂）方向：垂直于决定的平面，其指向由右手定则确定。
对于力矩的概念应该注意明确以下问题：•区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩：力对某轴的力矩是力对轴上任意一点的力矩在该轴上的投影。
例如：某力对x、y、z轴的力矩就是该力对原点的力矩在三个坐标轴上的投影：由上可知：力对参考点的力矩是矢量，而力对定轴的力矩是代数量。
•明确质点系内力矩的矢量和恒为零：由于内力总是成对出现，作用力和反作用力等大、反向、在同一直线上，所以对任何参考点内力矩的矢量和恒为零。
当然，对任意轴，内力矩的代数和也恒为零。
•明确质点系的合外力矩不等于其外力矢量和的力矩：合外力矩为各外力对同一参考点的力矩的矢量和，即：。
由于一般情况下，各外力的作用点的位矢各不相同，所以不能先求合力，再求合力的力矩。
但是存在特例：在求重力矩时，可以把系内各质点所受重力平移到质心C，先求出其合力，再由得到重力的合力矩。
由此还可以得到：作用于系统的合外力为零时，合外力矩不一定为零（图5.2）；系统的合外力矩为零时，其合外力也不一定为零（图5.3）。
•明确有心力对其力心的力矩恒为零：力的作用线始终通过某定点的力称为有心力。
该定点称为力心。
显然，有心力对其力心的力臂为零。
所以，有心力对其力心的力矩恒为零。
力矩的角冲量（冲量矩）：见表5.2表5.2力矩的角冲量2.基本规律角动量定理：质点和质点系角动量定理的微分、积分形式如表5.3所示。
请注意刚体定轴转动定律不过是质点系角动量定理在定轴方向上的分量式而已。
表5.3质点和质点系的角动量定理角动量守恒定律：当质点系所受对某参考点（轴）的合外力矩为零时，质点系对该参考点（轴）的总角动量不随时间变化（表5.4）。
角动量守恒定律反映了空间的旋转对称性（见第7章），是自然界普遍适用的基本定律之一，在生活、技术及科学研究中有非常广泛的应用。
表5.4 角动量守恒定律重点与难点1.重点质点，质点系和定轴转动刚体的角动量定义。
刚体定轴转动定律及应用。
质点和质点系角动量定理及应用。
角动量守恒定律及应用2.难点①区别动量定理和角动量定理。
②区别动量守恒定律和角动量守恒定律的条件，并能综合运用。
③动量及动量定理、角动量及角动量定理是否与参考系的选择有关。
1.动量及动量定理，角动量与角动量定理是否与参考系选择有关？质点动量，角动量，由于 v 和 r 都是相对量，与参考系的选择有关，所以，动量和角动量应与参考系的选择有关。
动量定理和角动量定理只适用于惯性系，对于非惯性系，该两定理不成立。
2.区别动量定理与角动量定理动量定理表示质点或质点系的动量改变与质点或质点系所受的合力的时间累积-- 冲量相对应；角动量定理表示质点或质点系的角动量的改变与质点或质点系所受的外力矩的矢量和的时间累积 -- 角冲量相对应。
两者是不同的概念。
例如：有力作用下的质点系（太阳地球系统），地球在太阳引力作用下，动量不断发生变化，但角动量却始终不变，因引力通过力心（太阳），对力心的力矩始终为零。
3.动量和角动量守恒的条件质点或质点系所受合外力为零时，质点或质点系的动量将保持不变。
质点或质点系对某一参考点或参考轴的合外力矩为零时，质点或质点系对该参考点或参考轴的角动量保持不变。
在实际问题中要认真区别两个守恒定律成立的条件。
许多情况下，系统对某一参考点的力矩矢量和为零时，系统所受外力不一定为零。
即系统角动量守恒时，动量不一定守恒。
反之，系统所受合外力为零时，合外力矩不一定为零，即系统动量守恒时，角动量不一定是守恒。
（参看教材P.91【例2】）。
对质点系而言，内力总是成对出现，大小相等方向相反，作用在同一直线上，因此，内力的矢量和及内力对某一参考点或参考轴的力矩的矢量和始终为零，因此，内力不改变系统的总动量，内力矩不改变系统的角动量。
例1水分子的形状如图5-2所示。
从光谱分析得知水分子对 AA′轴的转动惯量是，对BB′轴的转动惯量是。
试由此数据和各原子的质量求出氢和氧原子间的距离 d 和夹角。
假设各原子都可当质点处理。
解：由图可得此二式相加，可得上二式相比，可得例2一质量m = 2200kg 的汽车以的速度沿一平直公路开行。
求汽车对公路一侧距公路d= 50m 的一点的角动量是多大？对公路上任一点的角动量又是多大？解：如图5-3所示，汽车对公路一侧距公路d= 50m的一点P1的角动量的大小为汽车对公路上任一点P2的角动量的大小为例3两个质量均为m 的质点，用一根长为2a、质量可忽略不计的轻杆相联，构成一个简单的质点组。
如图5-4所示，两质点绕固定轴OZ以匀角速度转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为，求质点组对O点的角动量大小及方向。
解: 设两质点A、B在图示的位置，它们对O点的角动量的大小相等、方向相同（与OA和m v组成的平面垂直）。
角动量的大小为例4如图5-5所示，转轴平行的两飞轮Ⅰ和Ⅱ，半径分别为R1、R2。
对各自转轴的转动惯量分别为J1、J2。
Ⅰ轮转动的角速度为，Ⅱ轮不转动。
移动Ⅱ轮使两轮缘互相接触。
两轴仍保持平行，由于摩擦，两轮的转速会变化。
问转动稳定后，两轮的角速度各为多少？辨析:首先分析系统所受的外力，再看这些外力对定轴的合外力矩是否为零，如果为零应用角动量守恒定律，否则应用角动量定理。
解：轮Ⅰ、轮Ⅱ接触时，轮Ⅰ受到重力m1g，轴给轮的力T1，以及摩擦力f 1，轮Ⅱ施加的正压力N1；轴Ⅱ受到重力m2g，轴给轮的力T2，以及摩擦力f2、轮Ⅰ施加的正压力N2，以及外加力F。
f1和f2大小相等、方向相反，对轮Ⅰ和轮Ⅱ和f2是一对内力，它们的力矩和不会改变系统的总角动量。
组成的系统来说，f1轮Ⅰ、轮Ⅱ系统受到的外力T1、T2、m1g和m2g，它们对O1轴或者O2轴的合外或者O2的角动量都不守恒。
所以应对轮Ⅰ、轮Ⅱ力矩皆不为零，这个系统对O1分别运用角动量定理。
对Ⅰ轮，设顺时针转动为正向（1）对Ⅱ轮，设逆时针转动为正负（2）联立（1）、（2）两式可得（3）转动稳定时，两轮缘的线速度相等，即（4）联立（3）、（4）解得例5唱机的转盘绕过盘心的固定竖直轴转动，唱片放上后将受转盘的摩擦力作用随转盘移动。
设唱片可以看成是半径为R的圆盘，唱片质量为m，唱片与转盘之间摩擦系数为μ，求唱片刚放上去时受到的摩擦力矩M f和唱片由放上去到具。
有角速度所需的时间t1解：唱片之所以转动是因受到转盘施加的力矩的作用，也就是摩擦力矩，它是唱片的动力矩。
在唱片上选为半径为r，宽度为d r的圆环，如图5-6所示。
它受的动力矩为上式中，是唱片的密度。
整块唱片受的摩擦力矩为视唱片为刚体，据转动定律分离变量有积分上式例6如图5-7所示，两物体质量分别为m1和m2，定滑轮的质量为m，半径为r，可视作均匀圆盘。
已知m2与桌面间的滑动摩擦系数为，求m1下落的加速度和两段绳子中的张力各是多少？设绳子和滑轮间无相对滑动，滑动轴受的摩擦力忽略不计。
解：对m1，由牛顿第二定律对m2，由牛顿第二定律对滑轮，用转动定律又由运动学关系，设绳在滑轮上不打滑联立解以上诸方程，可得例7如图5-8所示。
两个圆轮的半径分别为R1和R2，质量分别为M1和M2。
二者都可视为均匀圆柱体而且同轴固结在一起，可以绕一水平固定轴自由转动。
今在两轮上各绕以细绳，绳端分别挂上质量是m1和m2的两个物体。
求在重力作用下，m2下落时轮的角加速度。
解：如图示，由牛顿第二定律对m1：对m2：对整个轮，由转动定律又由运动学关系联立解以上诸式，即可得例8 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴O O′转动，设大小圆柱体的半径分别为R和r，质量分别为 M和m，绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和物体m2相连，m1和m2 分别挂在圆柱体的两侧，如图5-9（a）所示。
设R = 0.20m，r = 0.10m，m = 4kg，M = 10kg，m1= m2= 2kg，且开始时m1、m2离地均为h = 2m，求：（1）柱体转动时的角加速度；（2）两侧细绳的张力；（3）m1经多长时间着地？（4）设m1与地面作完全非弹性碰撞，m1着地后柱体的转速如何变化？图5-9(a)解：设a1、a2分别为m1、m2的加速度，为柱体角加速度，方向如图5-9(b)所示。
（1）m1、m2的平动方程和柱体的转动方程如下：式中：; ; ;；联立（1）、（2）、（3）式，解得角加速度为代入数据后得（2）由(1)式得由(2)式得（3）设m1着地时间为t，则（4）m1着地后静止，这一侧绳子松开。
柱体继续转动，因只受另一侧绳子拉力的阻力矩，柱体转速将减小，m2减速上升。
讨论:如果只求柱体转动的角加速度，可将柱体、m1、m2选做一个系统，系统受的合外力矩，则加速度本题第二问还要求两侧细绳的张力，故采用本解法是必要的，即分别讨论柱体的转动、m1和m2的平动。
例9一轻绳绕过一质量可以不计且轴光滑的滑轮，质量皆为m 的甲、乙二人分别抓住绳的两端从同一高度静止开始加速上爬，如图5-10所示。
（1）二人是否同时达到顶点？以甲、乙二人为系统，在运动中系统的动量是否守恒？机械能是否守恒？系统对滑轮轴的角动量是否守恒？（2）当甲相对绳的运动速度u是乙相对绳的速度2倍时，甲、乙二人的速度各是多少？解：（1）甲、乙二人受力情况相同，皆受绳的张力T，重力mg，二人的运动相同，因为所以二人的加速度相同，二人的速度为因初速度v0 = 0，二人在任一时刻的速度相同，上升的高度相同，所以同时到达顶点。