1.2二次函数的图象与性质(1)

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2019-2020【提分必做】九年级数学下册第一章 1.2 二次函数的图象与性质练习 (新版)湘教版

1.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y＝ax2(a＞0)的图象与性质基础题知识点1 二次函数y＝ax2(a>0)的图象1．下列各点在二次函数y＝4x2图象上的点是(C)A．(2，2) B．(4，1)C．(1，4) D．(－1，－4)2．二次函数y＝3x2的图象是(B)A BC D3．(教材P6例1变式)画二次函数y＝2x2的图象．解：列表：描点、连线，图象如图所示．知识点2 二次函数y＝ax2(a＞0)的性质4．二次函数y＝x2的图象的开口方向是(A)A．向上B．向下C ．向左D ．向右5．对于函数y ＝13x 2，下列结论正确的是(D)A ．当x 取任何实数时，y 的值总是正数B ．y 的值随x 的增大而增大C ．y 的值随x 的增大而减小D ．图象关于y 轴对称6．(教材P7练习T2变式)在同一平面直角坐标系中，作出y ＝x 2、y ＝2x 2、y ＝12x 2的图象，它们的共同特点是(D)A ．都是关于x 轴对称，抛物线开口向上B ．都是关于原点对称，顶点都是原点C ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点7．二次函数y ＝25x 2的图象开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，0)．8．(2018·广州)已知二次函数y ＝x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．(填“增大”或“减小”) 9．画二次函数y ＝32x 2的图象，并回答下列问题：(1)当x ＝6时，函数值y 是多少？ (2)当y ＝6时，x 的值是多少？(3)当x 取何值时，y 有最小值，最小值是多少？ (4)当x>0时，y 随x 的增大怎样变化？当x<0时呢？解：如图：(1)当x ＝6时，y ＝32×62＝54.(2)当y ＝6时，32x 2＝6，解得x ＝±2.(3)当x ＝0时，y 有最小值，最小值是0.(4)当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小．易错点求区间内最值时忽视对称轴位置10．当－1≤x≤2时，二次函数y＝x2的最大值是4，最小值是0．中档题11．已知二次函数y＝mx(m2＋1)的图象经过第一、二象限，则m＝(A)A．1 B．－1C．±1 D．212．已知点A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)在二次函数y＝2x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(D)A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y2＜y3＜y113．如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝3x2；②y＝23x2；③y＝43x2的图象，则从里到外的二次函数的图象对应的函数依次是(B)A．①②③ B．①③②C．②③① D．②①③14．函数y＝mx2的图象如图所示，则m＞0；在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y 随x的增大而增大；顶点坐标是(0，0)，是抛物线的最低点；函数在x＝0时，有最小值，为0．15．已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数．(1)求满足条件的m值；(2)m为何值时，二次函数的图象有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？解：(1)m＝2或m＝－3.(2)当m＝2时，二次函数的图象有最低点，这个最低点为(0，0)，且当x>0时，y随x的增大而增大．16．已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2，请写出S与C之间的函数关系式，并画出这个函数的图象．解：由题意，得S＝116C2(C＞0)．列表：描点、连线，图象如图所示．综合题17．已知点A(2，a)在二次函数y＝x2的图象上．(1)求点A的坐标；(2)在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在，写出点P坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵点A(2，a)在二次函数y＝x2的图象上，∴a＝22＝4.∴点A的坐标为(2，4)．(2)分下列3种情况：①当OA＝OP时，点P的坐标：P1(－25，0)，P2(25，0)；②当OA＝AP，点P的坐标：(4，0)；③当OP＝AP时，如图，过点A作AE⊥x轴于点E.在△AEP′中，AE2＋P′E2＝AP′2，设AP′＝x，则42＋(x－2)2＝x2.解得x＝5.∴点P的坐标为(5，0)．综上所述，使△OAP是等腰三角形的点P坐标为(－25，0)，(25，0)，(4，0)，(5，0)．第2课时二次函数y ＝ax 2(a ＜0)的图象与性质基础题知识点1 二次函数y ＝ax 2(a ＜0)的图象 1．如图所示的图象对应的函数表达式可能是(B)A ．y ＝13x 2B ．y ＝－13x 2C ．y ＝3xD ．y ＝－3x2．函数y ＝－2x 2，当x ＞0时图象位于(D) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．(教材P9例2变式)画二次函数y ＝－x 2的图象．解：列表：描点、连线，如图所示：知识点2 二次函数y ＝ax 2(a ＜0)的性质 4．抛物线y ＝－3x 2的顶点坐标是(D) A ．(－3，0)B ．(－2，0)C ．(－1，0)D ．(0，0)5．二次函数y ＝－115x 2的最大值是(D)A ．x ＝－115B ．x ＝0C ．y ＝－115D ．y ＝06．若函数y ＝－4x 2的函数值y 随x 的增大而减少，则自变量x 的取值范围是(A) A ．x ＞0 B ．x ＜0 C ．x ＞4D ．x ＜－47．抛物线y ＝－2x 2不具有的性质是(D) A ．开口向下 B ．对称轴是y 轴C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小D ．对应的函数有最小值8．两条抛物线y ＝4x 2与y ＝－4x 2在同一平面直角坐标系中，下列说法不正确的是(D) A ．顶点坐标相同 B ．对称轴相同 C ．开口方向相反 D ．都有最小值9．二次函数y ＝(2m ＋1)x 2的图象开口向下，则m 的取值范围是m ＜－12．10．填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值．中档题11．下列说法错误的是(C)A ．二次函数y ＝3x 2中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 B ．二次函数y ＝－6x 2中，当x ＝0时，y 有最大值0C ．抛物线y ＝ax 2(a≠0)中，a 越大图象开口越小，a 越小图象开口越大 D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y ＝ax 2(a≠0)的顶点一定是坐标原点 12．抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝12x 2共有的性质是(B)A ．开口向下B ．对称轴是y 轴C ．都有最低点D ．y 随x 的增大而减小13．已知点A(－1，y 1)，B(－2，y 2)，C(－2，y 3)在函数y ＝－x 2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是(A)A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 2＞y 1＞y 314．函数y ＝a x与y ＝ax 2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(D)15．已知二次函数y ＝ax 2的图象经过点(1，－3)． (1)求a 的值；(2)当x ＝3时，求y 的值； (3)说出此二次函数的三条性质．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2经过点(1，－3)， ∴a×1＝－3.∴a＝－3.(2)把x ＝3代入抛物线y ＝－3x 2，得 y ＝－3×32＝－27.(3)抛物线的开口向下；坐标原点是抛物线的顶点；当x ＞0时，y 随着x 的增大而减小；抛物线有最高点，当x ＝0时，y 有最大值，是y ＝0等．16．已知抛物线y ＝kxk 2＋k ，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小． (1)求k 的值； (2)作出函数的图象．解：(1)∵抛物线y ＝kxk 2＋k 中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，k 2＋k ＝2.解得k ＝－2. ∴函数的表达式为y ＝－2x 2. (2)列表：描点、连线，画出函数图象如图所示．综合题17．已知二次函数y ＝ax 2(a≠0)与一次函数y ＝kx －2的图象相交于A ，B 两点，如图所示，其中A(－1，－1)，求△OAB 的面积．解：∵点A(－1，－1)在抛物线y ＝ax 2(a≠0)上，也在直线y ＝kx －2上， ∴－1＝a·(－1)2，－1＝k·(－1)－2. 解得a ＝－1，k ＝－1.∴两函数的表达式分别为y ＝－x 2，y ＝－x －2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－x －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝－4.∴点B 的坐标为(2，－4)．∵y＝－x －2与y 轴交于点G ，则G(0，－2)． ∴S △OAB ＝S △OAG ＋S △OBG ＝12×(1＋2)×2＝3.第3课时二次函数y ＝a(x －h)2(a≠0)的图象与性质基础题知识点1 二次函数y ＝a(x －h)2(a≠0)的图象的平移1．如果将抛物线y ＝x 2向右平移1个单位长度，那么所得的抛物线的表达式是(C) A ．y ＝x 2－1B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝(x －1)2D ．y ＝(x ＋1)22．将抛物线y ＝x 2平移得到抛物线y ＝(x ＋2)2，则这个平移过程正确的是(A) A ．向左平移2个单位长度 B ．向右平移2个单位长度 C ．向上平移2个单位长度 D ．向下平移2个单位长度知识点2 画二次函数y ＝a(x －h)2(a≠0)的图象 3．(教材P12练习T2变式)已知二次函数y ＝－14(x ＋1)2.(1)完成下表；(2)在下面的坐标系中描点，画出该二次函数的图象．解：(1)如表． (2)如图所示．知识点3 二次函数y ＝a(x －h)2(a≠0)的图象与性质 4．对称轴是x ＝1的二次函数是(D) A ．y ＝x 2B ．y ＝－2x 2C ．y ＝(x ＋1)2D ．y ＝(x －1)25．在函数y ＝(x ＋1)2中，y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围是(C)A ．x ＞－1B ．x ＞1C ．x ＜－1D ．x ＜16．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝a(x －2)2(a≠0)的图象可能是(D)7．对于抛物线y ＝35(x ＋4)2，下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线x ＝4；③顶点坐标为(－4，0)；④x＞－4时，y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数为(B) A ．1B ．2C ．3D ．48．(教材P12练习T1变式)(1)抛物线y ＝3(x －1)2的开口向上，对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，0)；(2)抛物线y ＝－3(x －1)2的开口向下，对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，0)．9．抛物线y ＝－(x ＋3)2，当x ＜－3时，y 随x 的增大而增大；当x ＞－3时，y 随x 的增大而减小． 10．如果二次函数y ＝a(x ＋3)2有最大值，那么a<0，当x ＝－3时，函数的最大值是0. 11．已知抛物线y ＝2x 2和y ＝2(x －1)2，请至少写出两条它们的共同特征．解：答案不唯一，如：开口方向相同，开口大小相同，顶点均在x 轴上等．易错点二次函数增减性相关的易错12．已知二次函数y ＝2(x －h)2，当x>3时，y 随x 的增大而增大，则h 的取值范围为h≤3．中档题13．抛物线y ＝－3(x ＋1)2不经过的象限是(A) A ．第一、二象限 B ．第二、四象限 C ．第三、四象限D ．第二、三象限14．在同一直角坐标系中，一次函数y ＝ax ＋c 和二次函数y ＝a(x ＋c)2的图象大致为(B)15．(2018·潍坊)已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为(B)A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或616．已知A(－4，y1)，B(－3，y2)，C(3，y3)三点都在二次函数y＝－2(x＋2)2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为y3<y1<y2．17．某一抛物线和y＝－3x2的图象形状相同，对称轴平行于y轴，并且顶点坐标是(－1，0)，则此抛物线的表达式是y＝－3(x＋1)2.18．已知二次函数y＝2(x－1)2.(1)当x＝2时，函数值y是多少？(2)当y＝4时，x的值是多少？(3)当x在什么范围内时，随着x值的增大，y值逐渐增大？当x在什么范围内时，随着x值的增大，y值逐渐减少？(4)这个函数有最大值还是最小值，最大值或最小值是多少？这时x的值是多少？解：(1)当x＝2时，y＝2×(2－1)2＝2.(2)当y＝4时，2(x－1)2＝4，解得x＝1± 2.(3)当x>1时，随着x值的增大，y值逐渐增大；当x<1时，随着x值的增大，y值逐渐减小．(4)这个函数有最小值，最小值是0，这时x＝1.19．已知点P(m，a)是抛物线y＝a(x－1)2上的点，且点P在第一象限内．(1)求m的值；(2)过点P作PQ∥x轴交抛物线y＝a(x－1)2于点Q，若a的值为3，试求点P，点Q及原点O围成的三角形的面积．解：(1)∵点P(m，a)是抛物线y＝a(x－1)2上的点，∴a＝a(m－1)2.解得m＝2或m＝0.∵点P在第一象限内，∴m＝2.(2)∵a的值为3，∴二次函数的表达式为y ＝3(x －1)2. ∵点P 的横坐标为2，∴点P 的纵坐标y ＝3(x －1)2＝3. ∴点P 的坐标为(2，3)．∵PQ∥x 轴交抛物线y ＝a(x －1)2于点Q ， ∴3＝3(x －1)2.解得x ＝2或x ＝0. ∴点Q 的坐标为(0，3)．∴PQ＝2. ∴S △PQO ＝12×3×2＝3.综合题20．已知一条抛物线y ＝a(x －h)2的顶点与抛物线y ＝－(x －2)2的顶点相同，且与直线y ＝3x －13的交点A 的横坐标为3. (1)求这条抛物线的表达式；(2)把这条抛物线向右平移4个单位长度后，求所得的抛物线的表达式．解：(1)由题意可知：A(3，－4)．∵抛物线y ＝a(x －h)2的顶点与抛物线y ＝－(x －2)2的顶点相同， ∴h＝2.由题意，把点A 的坐标(3，－4)代入y ＝a(x －2)2，得－4＝a(3－2)2. ∴a＝－4.∴这条抛物线的表达式为y ＝－4(x －2)2.(2)把抛物线y ＝－4(x －2)2向右平移4个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y ＝－4(x －6)2.第4课时二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质基础题知识点1 二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象的平移1．将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为(A)A．y＝(x＋2)2－3 B．y＝(x＋2)2＋3C．y＝(x－2)2＋3 D．y＝(x－2)2－32．抛物线y＝－3(x－2)2－3可以由抛物线y＝－3x2＋1平移得到，则下列平移过程正确的是(C) A．先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度B．先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度C．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度D．先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度知识点2 二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质3．二次函数y＝(x＋2)2－1的图象大致为(D)4．(2018·岳阳)抛物线y＝3(x－2)2＋5的顶点坐标是(C)A．(－2，5) B．(－2，－5)C．(2，5) D．(2，－5)5．抛物线y＝－(x＋2)2－5的图象上有两点A(－4，y1)，B(－3，y2)，则y1，y2的大小关系是(C) A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定6．二次函数y＝2(x－3)2－4的最小值为－4．7．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标：知识点3 画二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象8．(教材P14例4变式)画出函数y＝(x－1)2－1的图象．解：列表：描点并连线：知识点4 利用顶点式求二次函数的表达式9．(教材P15练习T3变式)在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)．求该二次函数的表达式．解：∵二次函数图象的顶点为A(1，－4)，∴设二次函数表达式为y＝a(x－1)2－4.把点B(3，0)代入二次函数表达式，得0＝4a－4，解得a＝1.∴二次函数表达式为y＝(x－1)2－4，即y＝x2－2x－3.易错点将图象平移与坐标轴平移混淆10．在平面直角坐标系中，若抛物线y＝3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移1个单位长度，则在新的平面直角坐标系中，抛物线的函数表达式为y＝3(x＋1)2－1.中档题11．二次函数的图象如图，则它的表达式正确的是(C)A．y＝－(x＋2)2＋2B．y＝－(x－2)2＋2C．y＝－2(x－1)2＋2D．y＝－2(x＋1)2＋212．二次函数y＝a(x－m)2＋n(a≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过(B)A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限13．在同一平面直角坐标系中，如果两个二次函数y1＝a(x＋h1)2＋k1与y2＝a(x＋h2)2＋k2的图象的形状相同，并且对称轴关于y轴对称，那么我们称这两个二次函数互为“梦函数”，如二次函数y ＝(x＋1)2－3与y＝(x－1)2＋1互为“梦函数”，请你写出二次函数y＝2(x－3)2－1的一个梦函数答案不唯一，如y＝2(x＋3)2＋2．14．已知二次函数y＝2(x－3)2－8.(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；(2)当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？(3)当x取何值时，函数有最大值或最小值？并求出这个最大值或最小值；(4)函数图象可由函数y＝2x2的图象经过怎样的平移得到？解：(1)抛物线开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是(3，－8)．(2)当x＞3时，y随x的增大而增大；当x ＜3时，y 随x 的增大而减小． (3)当x ＝3时，y 有最小值，最小值是－8.(4)该函数图象可由y ＝2x 2的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移8个单位长度得到．15．如图，已知抛物线C 1：y ＝a(x ＋2)2－5的顶点为P ，与x 轴相交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，点B 的横坐标是1.(1)由图象可知，抛物线C 1的开口向上，当x ＞－2时，y 随x 的增大而增大； (2)求a 的值；(3)抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向右平移，平移后的抛物线记为C 3，抛物线C 3的顶点为M ，当点P ，M 关于点O 成中心对称时，求抛物线C 3的表达式．解：(2)∵点B 是抛物线与x 轴的交点，横坐标是1，∴点B 的坐标为(1，0)． ∴当x ＝1时，0＝a(1＋2)2－5.∴a＝59.(3)设抛物线C 3表达式为y ＝a′(x－h)2＋k ，∵抛物线C 2与C 1关于x 轴对称，且C 3为C 2向右平移得到，∴a′＝－59.∵点P ，M 关于点O 中心对称，且点P 的坐标为(－2，－5)，∴点M 的坐标为(2，5)．∴抛物线C 3的表达式为y ＝－59(x －2)2＋5＝－59x 2＋209x ＋259.综合题16．如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y 轴交于点B(0，3)，与x 轴交于C ，D 两点．点P 是x 轴上的一个动点． (1)求此抛物线的表达式；(2)当PA ＋PB 的值最小时，求点P 的坐标．解：(1)∵抛物线顶点坐标为(1，4)， ∴设抛物线表达式为y ＝a(x －1)2＋4. 由于抛物线过点B(0，3)， ∴3＝a(0－1)2＋4. 解得a ＝－1. ∴抛物线的表达式为 y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)作点B 关于x 轴的对称点E(0，－3)，连接AE 交x 轴于点P ，连接PB. 设AE 表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝4，b ＝－3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝7，b ＝－3. ∴y＝7x －3. 当y ＝0时，x ＝37.∴点P 坐标为(37，0)．第5课时二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质基础题知识点1 用配方法将二次函数由一般式化为顶点式1．二次函数y＝x2－2x＋4化为y＝a(x－h)2＋k的形式，下列正确的是(B)A．y＝(x＋1)2＋2 B．y＝(x－1)2＋3C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2＋42．用配方法将二次函数y＝2x2－4x－3化为顶点式：y＝2(x2－2x)－3＝2(x2－2x＋1－1)－3＝2[(x－1)2－1]－3＝2(x－1)2－5．知识点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质3．抛物线y＝x2＋2x＋3的对称轴是(B)A．直线x＝1 B．直线x＝－1C．直线x＝－2 D．直线x＝24．二次函数y＝x2＋2x－3的开口方向、顶点坐标分别是(A)A．开口向上、顶点坐标为(－1，－4)B．开口向下、顶点坐标为(1，4)C．开口向上、顶点坐标为(1，4)D．开口向下、顶点坐标为(－1，－4)5．在二次函数y＝x2－2x＋3的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是(D)A．x＜－1 B．x＞－1C．x＜1 D．x＞16．(2018·成都)关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是(D)A．图象与y轴的交点坐标为(0，1)B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D．y的最小值为－37．(教材P18练习T1变式)求下列函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标，并指出当x取何值时，y 的值随x 的增大而减小．(1)y ＝x 2－4x －3；(2)y ＝－3x 2－4x ＋2.解：(1)开口向上，对称轴：直线x ＝2，顶点坐标：(2，－7)，当x ＜2时，y 的值随x 的增大而减小．(2)开口向下，对称轴：直线x ＝－23，顶点坐标：(－23，103)，当x ＞－23时，y 的值随x 的增大而减小．8．二次函数y ＝x 2＋bx ＋3的图象经过点(3，0)．(1)求b 的值；(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；(3)在所给的坐标系中画出二次函数y ＝x 2＋bx ＋3的图象．解：(1)将(3，0)代入函数表达式，得9＋3b ＋3＝0.解得b ＝－4.(2)∵y＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴顶点坐标是(2，－1)，对称轴为直线x ＝2.(3)如图所示．知识点3 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的最值9．(教材P17例6变式)求下列函数的最大(小)值：(1)y ＝2x 2－4x ＋1；(2)y ＝－x 2＋3x －1. 解：(1)y ＝2x 2－4x ＋1＝2(x －1)2－1，∴当x ＝1时，函数有最小值－1.(2)y ＝－x 2＋3x －1＝－(x 2－3x)－1＝－(x －32)2＋54，∴当x ＝32时，函数有最大值54.中档题10．将抛物线y ＝x 2－4x －4向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到抛物线的函数表达式为(D)A ．y ＝(x ＋1)2－13B ．y ＝(x －5)2－3C ．y ＝(x －5)2－13D ．y ＝(x ＋1)2－311．点P 1(－1，y 1)，P 2(3，y 2)，P 3(5，y 3)均在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是(D)A ．y 3>y 2>y 1B ．y 3>y 1＝y 2C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1＝y 2>y 312．小韵从如图的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象中，观察得到下面四条信息：①a＞0；②c＜0；③函数的最小值为－3；④对称轴是直线x ＝2.你认为其中正确的个数是(B)A ．4B ．3C ．2D ．113．(2018·黄冈)当a≤x≤a＋1时，函数y ＝x 2－2x ＋1的最小值为1，则a 的值为(D)A ．－1B ．2C ．0或2D ．－1或2 14．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，顶点C 的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y ＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1，则下列结论正确的是③④．(写出所有正确结论的序号)①b＞0；②a－b ＋c ＜0；③阴影部分的面积为4；④若c ＝－1，则b 2＝4a.15．已知二次函数y ＝－12x 2－x ＋32. (1)画出这个函数的图象；(2)根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围；(3)若将此图象沿x 轴向右平移3个单位长度，请写出平移后图象所对应的函数表达式．解：(1)如图所示．(2)当y ＜0时，x 的取值范围是x ＜－3或x ＞1.(3)平移后图象所对应的函数表达式为y ＝－12(x －2)2＋2(或写成y ＝－12x 2＋2x)．16．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋3.(1)用配方法求其图象的顶点C 的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；(2)求函数图象与x 轴的交点A ，B 的坐标，及△ABC 的面积．解：(1)y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1.∴函数的顶点C 的坐标为(2，－1)．∴当x≤2时，y 随x 的增大而减小；当x>2时，y 随x 的增大而增大．(2)令y ＝0，则x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3.∴当点A 在点B 左侧时，A(1，0)，B(3，0)；当点A 在点B 右侧时，A(3，0)，B(1，0)．∴AB＝||1－3＝2.过点C 作CD⊥x 轴于D ，S △ABC ＝12AB·CD＝12×2×1＝1.综合题17．如果二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可表示为y ＝x 2＋px ＋q ，我们称[p ，q]为此函数的特征数，如函数y ＝x 2＋2x ＋3的特征数是[2，3]．(1)若一个函数的特征数是[－2，1]，求此函数的顶点坐标；(2)探究下列问题：①若一个函数的特征数是[4，－1]，将此函数图象先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，求得到的图象对应函数的特征数；②若一个函数的特征数是[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]?解：(1)∵一个函数的特征数是[－2，1]，∴该函数的表达式为y ＝x 2－2x ＋1.∵y＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，∴此函数的顶点坐标是(1，0)．(2)①∵一个函数的特征数是[4，－1]，∴该函数的表达式为y ＝x 2＋4x －1，配方成顶点式为y ＝(x ＋2)2－5.∴将抛物线y ＝(x ＋2)2－5先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到抛物线的函数表达式为y ＝(x ＋2－1)2－5＋1，即y ＝(x ＋1)2－4，即y ＝x 2＋2x －3.∴得到的图象对应函数的特征数为[2，－3]．②∵一个函数的特征数是[2，3]，∴y＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2.∵一个函数的特征数是[3，4]，∴y＝x 2＋3x ＋4＝(x ＋32)2＋74＝(x ＋1＋12)2＋2－14.∴将抛物线y ＝x 2＋2x ＋3先向左平移12个单位长度，再向下平移14个单位长度即可得到抛物线y ＝x 2＋3x ＋4，其特征数为[3，4]．。

九年级数学上册(浙教版)课件：1.2 第1课时二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质

(2)存在满足条件的点 P.当 OA＝OP 时，∵OA＝ 22＋42＝2 5， ∴P1(－2 5，0)，P2(2 5，0)；当 OA＝AP 时，过 A 作 AQ⊥x 轴于 Q， ∴PQ＝OQ＝2，∴P3(4，0)；当 PA＝PO 时，设 P 点坐标为(x，0)，则 x2＝(x－2)2＋42，解得 x＝5，∴P4(5，0)．综上可知，所求 P 点的坐标为 P1(－2 5，0)，P2(2 5，0)，P3(4，0)，P4(5，0)
14．如图是一抛物线形的拱桥，桥顶O离水面4 m，水面宽度AB为10 m．现
有一竹排运送一只货箱欲从桥下经过，已知货箱长 10 m ，宽 6 m ，高 2.55 m(竹排与水平面持平)．问：此货箱能否顺利通过该桥？并说明理由．
解：能顺利通过．理由：以桥顶 O 为原点建立平面直角坐标系，则点 A 的坐标为(－5，－4)．设抛物线的表达式为 y＝ax2， 4 4 2 则－4＝25a，∴a＝－25.∴y＝－25x .∵货箱高 2.55 m， ∴货箱顶部离桥顶 4－2.55＝1.45(m)． 4 2 当 y＝－1.45 时，－25x ＝－1.45，∴16x2＝145. 145 144 12 ∴2|x|＝ 2 > 2 ＝ 2 ＝6，∴货箱能顺利通过该桥
13．二次函数y＝ax2与直线y＝2x－1的图象交于点P(1，m)． (1)求a，m的值； (2)写出二次函数的表达式； (3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴．解：(1)将(1，m)代入y＝2x－1得m＝2×1－1＝1.所以P点坐标为(1， 1)．将P点坐标(1，1)代入y＝ax2得1＝a×12，得a＝1.即a＝1，m＝1 (2)二次函数的表达式：y＝x2 (3)顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴
10．已知二次函数y＝－2x2与y＝2x2，关于它们的图象，下列说法正确的 B 是( ) A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．它们的最高点都是原点 D．它们没有公共点

湘教版数学九年级下册1.2《二次函数的图象与性质》教学设计1

湘教版数学九年级下册1.2《二次函数的图象与性质》教学设计1一. 教材分析湘教版数学九年级下册1.2《二次函数的图象与性质》是本册的重点章节，主要让学生掌握二次函数的图象与性质，为后续学习打下基础。

本节内容主要包括：二次函数的图象、顶点坐标、开口大小、对称轴等概念，以及二次函数的性质。

通过本节内容的学习，学生能更好地理解二次函数的本质，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已掌握了二次函数的定义、标准式、配方法等基本知识。

但对学生来说，二次函数的图象与性质较为抽象，不易理解。

因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，掌握二次函数的图象与性质。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次函数的图象与性质，能够运用二次函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的图象与性质。

2.难点：二次函数的图象与性质的灵活运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生认识二次函数的图象与性质。

2.启发式教学法：引导学生观察、操作、思考，发现二次函数的图象与性质。

3.小组合作学习：培养学生团队协作精神，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作生动、形象的课件，帮助学生理解二次函数的图象与性质。

2.教学素材：准备相关的生活实例，便于引导学生运用二次函数解决实际问题。

3.练习题：设计具有一定难度的练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如抛物线运动、几何图形的面积等，引导学生回顾二次函数的基本知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）展示二次函数的图象与性质的课件，让学生直观地了解二次函数的图象与性质。

同时，引导学生观察、思考，发现二次函数的图象与性质之间的关系。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用二次函数的图象与性质解决实际问题。

22.1.2 二次函数的图象和性质(1)教案

列表：表略
描点，并连线
图略
由图象可得二次函数y＝x2的性质：
1．二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2．二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的范围是____________．
4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．
在八年级下册，我们学习了一次函数的概念，研究了它的图象和性质。回忆一下如何研究一次函数的图象和性质的？
2、类比探究二次函数
y＝ax2的图象与性质。
问题1：类比一次函数的研究内容和研究方法，画二次函数y＝x2的图象，你能说说它的图像特征和特性吗？你是如何描点画图的？你打算从哪些角度去观察、概括特征？
【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】
2．难点、关键：用描点法画二次函数y＝ax2的图象、探索其性质及二次函数y＝ax2的灵活运用
教学准备
教科书、多媒体课件
教学时间
1课时
教学过程
第（2）课时
教学环节
教师活动预设
学生活动预设
设计意图
备注
情境导入
如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4m处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为2.5m时达到最大高度3.5，然后准确落入篮筐内。已知，篮圈中心离地面距离为3.05m
（2）已知抛物线y=-2x2,在对称轴的左侧，y随x的增大而；在对称轴的右侧，y随x的增大而
通过描点法画出一次函数的图象，观察图象得出图象的特征和特性，如位置、形状、函数随自变量的增大如何变化。

1.2 二次函数的图象与性质第1课时课件 2024-2025学年湘教版数学九年级下册

∵a=- <0,∴图象开口向下.∵-3<-2<-1<0,∴y3<y2<y1.

答案:y3<y2<y1
2
小亮的解法:∵二次函数y=- x ,

∴当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小,
∴点离对称轴越远,其函数值越小,
2
∵点A(-1,y1),B(-2,y2),C(3,y3)三点都在二次函数y=- x 的图象上,
3．二次函数的一般形式为______________________．
新知初探
阅读教材P5－P10，学习y＝ax2的图象与性质并填表：
形状
抛物线
y=ax2(a≠0)的图象是一条___________
对称性
y
抛物线y=ax2关于_____轴对称
向上
当a>0时,抛物线y=ax2开口_________;
其实他们说得都对,你能根据他们的说法写出这三种解法吗?

【解析】小虎的解法:∵x=-1时,y1=- ;

x=-2时,y2=-2;x=3时,y3=- ;而- <-2<- ;∴y3<y2<y1.

答案:y3<y2<y1
小聪的解法:
2
∵y=- x 的图象关于y轴对称,∴x=3与x=-3的纵坐标都是y3.
【解析】(1)由题意可知
+ ≠ ,
解得m=-4或m=1.
(2)当m=1时,二次函数的图象有最低点,这个最低点为(0,0);且当x>0时,y随x的增大
而增大.
【技法点拨】
二次函数y=ax2的“两关系四对等”

第二十四节二次函数图象与性质-(一)

二次函数图象与性质 (一)【知识要点】1．你能用描点法作出二次函数2ax y =图像吗？你能总结出2ax y =有什么性质吗？ 2．通过2ax y =作图，我们能得到c ax y +=2和2)(h x a y -=有哪些图像性质吗？ 3．你能说明以上三个函数图像他们之间的联系和区别吗?4．你能举例说明哪些实际生活问题可以建立二次函数c ax y +=2的数学模型？【典型例题】例1 、在同一坐标轴中作出二次函数y=x 2和y=-x 2的图象，并在下表总填出它的性质。

例2 试在同一坐标系内画出22x y -=与322+-=x y 以及322--=x y 的图像，并依据图像回答问题：抛物线22x y -=与322+-=x y 和322--=x y 有什么关系？小结：y=ax 2+c 的图象与y=ax 2的图象形状①其对称轴为轴 ②顶点坐标为（ , ）③当a>0时，开口，y=ax 2+c 图象有最点；当x=0时，y 有最值为；当a<0时，开口，图象有最点，当x=0时，y 有最大值为。

④当c>0时，是由y=ax 2向平移c 个单位，当c<0时，是由y=ax 2向平移|c|个单位。

简称“ ”例3 在同一平面直角坐标系中画出下列二次函数的图象； y= －21x 2 ， y= －21(x+1)2 ，与y=－21(x-1)2结合图象分析研究以下问题：（1）抛物线y=－21(x+1)2，y=－21(x-1)2与y=－21x 2的相同点与不同点是什么？（2）抛物线y=－21 (x+1)2的开口方向是_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____；（3）抛物线y=-－21 (x-1)2的开口方向是____，对称轴是_______，顶点坐标是______。

小结：y=a(x －h)2的图象与y=ax 2的图象形状，①对称轴为平行y 轴的直线x= ②顶点坐标为( ,___)③当a>0时，开口向上，图象有最_____点，当x=h 时，y 有最值为0；当a<0时，开口向下，图象有最点，当x=h 时，y 有最大值为0④当h>0时，由y=ax 2的图象向右平移h 个单位；当h<0时，由y=ax 2向左平移|h|个单位，简称“ ” 例4 函数32-=kx y 与y=xk（k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）例5 如果二次函数m ax y +=2的值恒大于0，那么必有（） A 、a ＞0，m 取任意实数B 、a ＞0，m ＞0C 、a ＜0，m ＞0D 、a ，m 均可取任意实数例 6 若二次函数c ax y +=2，当x 取)(,2121x x x x ≠时，函数值等，则当x 取21x x +时，函数值为（）．A 、c a +B 、c a -C 、c -D 、c例7 已知抛物线)0(2>=a ax y 上有两点A 、B ，其横坐标分别为－1，2，请探求关于a 的取值情况，△ABO 可能是直角三角形吗？不能，说明理由；能是直角三角形，写出探求过程，并与同伴交流.例8 如图，深圳某中学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门在地面跨度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度为。

湘教版九年级数学下册学案：1.2 二次函数y=ax2(a0)的图象与性质

湘教版九年级下册数学导学案127班（）第1章1.2二次函数y=ax 2(a>0)的图象与性质（1）一、导入新课：回答问题：1.一次函数与反比例函数的图解是什么？它们有什么性质？2.如何画一次函数与反比例函数的图象？二、探究新知：探究1：画二次函数y=ax 2(a>0)的图象，若a=2，画出它的图象。

列表：连线：探究2：画二次函数y=21x 2的图象。

（画在上面的坐标系中）小结：二次函数y=ax 2(a>0)的图象与性质。

1.图象的开口向（）。

2.对称轴是（）轴，顶点是（），函数有最（）点。

3.当x>0时，，当x<0时，。

展示提升：已知函数24(2)k k y k x +-=+是关于x 的二次函数.(1)求k 的值.(2)k 为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x 在哪个范围内取值时，y 随x 的增大而增大？三、本课小结：本节课你学到了什么？四、当堂作业：1、下列函数中，当x ＞0时，y 值随x 值增大而减小的是（） A.y=x 2B.y=x-1C. 34y xD.y=1x2.已知点（-1,y 1),(2,y 2),(-3,y 3)都在函数y=x 2的图象上，则（） A.y 1＜y 2＜y 3 B.y 1＜y 3＜y 2 C.y 3＜y 2＜y 1 D.y 2＜y 1＜y 3 3.抛物线y=13x 2的开口向，顶点坐标为，对称轴为，当x=-2时，y= ；当y=3时，x= ,当x ≤0时，y 随x 的增大而；当x ＞0时，y 随x 的增大而 .4.画出下列二次函数的图象：（1）y=x 2(2)y=43x 2湘教版九年级下册数学导学案127班（）第1章1.2二次函数y=ax 2(a<0)的图象与性质（2）一、导入新课：1.二次函数y=ax 2(a>0)的图象的开口（），顶点坐标是（），对称轴是（），函数有（ ),当x>0时，y 随x （），当x<0，y 随x （）。

《第1课时二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质》教案 (公开课)2022年湘教版数学

1．2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象与性质1．会用描点法画二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象，理解抛物线的概念；(重点)2．掌握形如y ＝ax 2(a >0)的二次函数的图象和性质，并会应用其解决问题．(重点)一、情境导入自由落体公式h ＝12gt 2(g 为常量)，h 与t 之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图象是什么形状呢？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象 y ＝(k ＋2)xk 2＋k 是二次函数． (1)求k 的值；(2)画出函数的图象．解析：根据二次函数的定义，自变量x 的最高次数为2，且二次项系数不为0，这样能确定k 的值，从而确定表达式，画出图象．解：(1)∵y ＝(k ＋2)xk 2＋k 为二次函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋k ＝2，k ＋2≠0，解得k ＝1；(2)当k ＝1时，函数的表达式为y ＝3x 2，用描点法画出函数的图象．描点：(－1，3)，(－12，34)，(0，0)，(12，34)，(1，3)．连线：用光滑的曲线按x 的从小到大的顺序连接各点，图象如以下图．方法总结：列表时先取原点(0，0)，然后在原点两侧对称地取四个点，由于函数y ＝ax 2(a ≠0)图象关于y 轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以先计算y 轴右侧的两个点的纵坐标，左侧对应写出即可．变式训练：见?学练优?本课时练习“课后稳固提升〞第7题探究点二：二次函数y ＝ax 2(a >0)的性质点(－3，y 1)，(1，y 2)，(2，y 3)都在函数y ＝x 2的图象上，那么y 1、y 2、y 3的大小关系是________．解析：方法一：把x ＝－3，1，2分别代入y ＝x 2中，得y 1＝9，y 2＝1，y 3＝2，那么y 1>y 3>y 2；方法二：如图，作出函数y ＝x 2的图象，把各点依次在函数图象上标出．由图象可知y 3>y 2；方法三：∵该图象的对称轴为y 轴，a >0，y 随x 的增大而增大，(－3，y 1)关于y 轴的对称点为(3，y 3)．又3>2>1，∴y 1>y 3>y 2.方法总结：比拟二次函数中函数值的大小有三种方法：①直接把自变量的值代入解析式中，求出对应函数值进行比拟；②图象法；③根据函数的增减性进行比拟，但当要比拟的几个点在对称轴的两侧时，可根据抛物线的对称轴找出某个点的对称点，转化到同侧后，然后利用性质进行比拟．变式训练：见?学练优?本课时练习“课后稳固提升〞第2题探究点三：二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象与性质的简单应用函数y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4是关于x 的二次函数．(1)求满足条件的m 的值； (2)m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？解析：由二次函数的定义知：m 2＋m －4＝2且m ＋2≠0；抛物线有最低点，那么抛物线开口向上，即m ＋2>0.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －4＝2，m ＋2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2或m ＝－3，m ≠－2，∴当m ＝2或m ＝－3时，原函数为二次函数；(2)假设抛物线有最低点，那么抛物线开口向上，∴m ＋2>0，即m >－2，∴取m ＝2.∴这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)．当x >0时，y 随x 的增大而增大．方法总结：二次函数必须满足自变量的最高次数是2且二次项的系数不为0；函数有最低点即开口向上．变式训练：见?学练优?本课时练习“课堂达标训练〞第9题三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象与性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.4．5 一次函数的应用第1课时利用一次函数解决实际问题1．根据问题条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)2．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，开展学生的应用能力；(重点)3．建立一次函数模型解决实际问题．(难点)一、情境导入联通公司话费收费有A 套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元)和B 套餐(月租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设A 套餐每月话费为y 1(元)，B 套餐每月话费为y 2(元)，月通话时间为x 分钟．(1)分别表示出y 1与x ，y 2与x 的函数关系式；(2)月通话时间为多长时，A 、B 两种套餐收费一样？(3)什么情况下A 套餐更省钱？二、合作探究探究点：一次函数与实际问题利用图象(表)解决实际问题我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费：月用水10t 以内(包括10t)的用户，每吨收水费a 元；月用水超过10t 的用户，10t 水仍按每吨a 元收费，超过10t 的局部，按每吨b 元(b >a )收费．设某户居民月用水x t ，应收水费y 元，y 与x 之间的函数关系如以下图． (1)求a 的值，并求出该户居民上月用水8t 应收的水费； (2)求b 的值，并写出当x >10时，y 与x 之间的函数表达式； (3)上月居民甲比居民乙多用4t 水，两家共收水费46元，他们上月分别用水多少吨？解析：(1)用水量不超过10t 时，设其函数表达式为y ＝ax ，由上图可知图象经过点(10，15)，从而求得a 的值；再将x ＝8代入即可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，15)和(20，35)，利用待定系数法可求得b 的值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民乙用水比10t 多还是比10t 少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量．解：(1)当0≤x ≤10时，图象过原点，所以设y ＝ax .把(10，15)代入，解得ayx (0≤x ≤10)．当x ＝8时，y ×8＝12，即该户居民的水费为12元； (2)当x >10时，设y ＝bx ＋m (b ≠0)．把(10，15)和(20，35)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10b ＋m ＝15，20b ＋m ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，m ＝－5，即超过10t 的局部按每吨2元收费，此时函数表达式为y ＝2x －5(x >10)； (3)因为10×1.5＋10×1.5＋4×2＝38<46，所以居民乙用水比10t 多．设居民乙上月用水x t ，那么居民甲上月用水(x ＋4)t.y 甲＝2(x ＋4)－5，y 乙＝2x ，得[2(x ＋4)－5]＋(2x －5)＝46，解得x t ，居民乙用水12t. 方法总结：此题的关键是读懂图象，从图象中获取有用信息，列出二元一次方程组得出函数关系式，根据关系式再得出相关结论．广安某水果店方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：元，那么这两种水果各购进多少千克？ (2)假设该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？解析：(1)根据方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．解：(1)设购进甲种水果x 千克，那么购进乙种水果(140－x )千克，根据题意可得5x ＋9(140－x )＝1000，解得x ＝65，∴140－x ＝75(千克)．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克； (2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W ，由题意可得W ＝3x ＋4(140－x )＝－x ＋560，故W 随x 的增大而减小，那么x越小，W 越大．∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－x ≤3x ，解得x ≥35，∴当x ＝35时，W 最大＝－35＋560＝525(元)，故140－35＝105(千克)．答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．如图①，底面积为30cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体〞，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答以下问题：(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm3/s)为多少？(2)假设“几何体〞的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体〞上方圆柱的高和底面积．解析：(1)根据图象，分三个局部：注满“几何体〞下方圆柱需18s；注满“几何体〞上方圆柱需24－18＝6(s)；注满“几何体〞上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)，再设匀速注水的水流速度为x cm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a cm，根据圆柱的体积公式得a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体〞上方圆柱的高为5cm，设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S)＝5×(24－18)，再解方程即可．解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体〞的高度为11cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体〞到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀速注水的水流速度为x cm3/s，那么18·x＝30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度为5cm3/s；(2)由图②知“几何体〞下方圆柱的高为a cm，那么a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体〞上方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“几何体〞上方圆柱的底面积为24cm2.方法总结：此题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．【类型二】建立一次函数模型解决实际问题某商场欲购进A、B两种品牌的饮料共500箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示．设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元．(1)求y关于x的函数表达式；(2)如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．(注：利润＝售价－本钱)解析：由表格中的信息可得到A、B两种品牌每箱的利润，再根据它们的数量求出利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润．解：(1)由题意，知B种饮料有(500－x)箱，那么y＝(63－55)x＋(40－35)(500－x)＝3xy＝3x＋2500(0≤x≤500)；(2)由题意，得55x＋35(500－x)≤x≤125.∴当x＝125时，y最大值＝3×125＋2500＝2875.∴该商场购进A、B两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元．方法总结：此类题型往往取材于日常生活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，得到函数表达式，并运用函数的性质解决实际问题．解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系．【类型三】两个一次函数图象在同一坐标系内的问题为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行〞活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y (km)与自行车队离开甲地时间x (h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答以下各题：(1)自行车队行驶的速度是________km/h ；(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？解析：(1)由速度＝路程÷时间就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追击问题设邮政车出发a 小时两车相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B 的坐标和C 的坐标，由自行车的速度就可以D 的坐标，由待定系数法就可以求出BC ，ED 的解析式就可以求出结论．解：(1)由题意得，自行车队行驶的速度是72÷3＝24km/h.(2)由题意得，邮政车的速度为24×2.5＝60(km/h)．设邮政车出发a 小时两车相遇，由题意得24(a ＋1)＝60a ，解得a ＝23.答：邮政车出发23小时与自行车队首次相遇；(3)由题意，得邮政车到达丙地所需的时间为135÷60＝94(h)，∴邮政车从丙地出发的时间为94＋2＋1＝214(h)，∴B (214，135)，C ，0)．自行车队到达丙地的时间为：135÷24＋0.5＝458＋0.5＝498(h)，∴D (498，135)．设BC的解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧135＝214k 1＋b 1，0k 1＋b 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－60，b 1＝450，∴y 1＝－60x ＋450，设ED 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧72k 2＋b 2，135＝498k 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝24，b 2＝－12，∴y 2＝24xy 1＝y 2时，－60x ＋450＝24x －12，解得x ＝5.5.y 1＝－60×5.5＋450＝120.答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km.方法总结：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程的综合运用，解答时求出函数的解析式是关键．三、板书设计一次函数与实际问题1．建立一次函数模型解实际问题 2．利用图象(表)解决实际问题对于分段函数的实际应用问题中，学生往往无视了自变量的取值范围，同时解决有交点的两个一次函数图象的问题还存在一定的困难，有待在以后的教学中加大训练,力争逐步提高.。

二次函数图像和性质课件(1)完整版公开课

• 一般地, y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成 y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位 (当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移) 得到的.
• 因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线, 它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.
到
二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线 y=3x²,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?
y 3x 12 2
y 3x 12
二次函数y=3(x-1)2+2的图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向上平移2个单位后得到的.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=h时,最小值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=h时,最大值为k.
小练习: 抛物线
y 1 x2 2
y 5x2 2
y 2(x 1)2
y (x 1)2 2
向上平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
(3)将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是 y=4x2+3 。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
回顾:
(1)怎样的抛物线可以通过平移得到? 二次项系数a值相同的抛物线可以通过平移得到
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直线(x=1);增减性与y=3x2类似.

浙教版数学九年级上册《1.2 二次函数的图象》教案1

浙教版数学九年级上册《1.2 二次函数的图象》教案1一. 教材分析《1.2 二次函数的图象》是浙教版数学九年级上册的一部分，本节课主要让学生了解二次函数的图象特点，掌握二次函数的图象与系数的关系，能够通过图象解决一些实际问题。

教材通过实例引入二次函数的图象，使学生能够从实践中体会二次函数的图象特点，培养学生的观察能力、实践能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在八年级时已经学习了二次函数的定义和性质，对二次函数有一定的认识。

但学生的知识水平参差不齐，部分学生对二次函数的理解不够深入，对二次函数的图象认识不足。

因此，在教学过程中，要关注学生的个体差异，通过实例引导学生观察、分析，让学生在实践中掌握二次函数的图象特点。

三. 教学目标1.了解二次函数的图象特点，掌握二次函数的图象与系数的关系。

2.能够通过图象解决一些实际问题。

3.培养学生的观察能力、实践能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：二次函数的图象特点，二次函数的图象与系数的关系。

2.教学难点：如何通过图象解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入二次函数的图象，让学生在实践中感受二次函数的图象特点。

2.问题驱动法：引导学生观察、分析二次函数的图象，激发学生的思考，培养学生的解决问题的能力。

3.小组合作学习：学生分组讨论，共同探究二次函数的图象与系数的关系，提高学生的合作能力。

六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引导学生观察二次函数的图象。

2.准备多媒体教学设备，用于展示二次函数的图象。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次函数的图象，例如：抛物线的形状是什么？抛物线的顶点在哪里？让学生思考并回答问题，从而引出本节课的主题。

2.呈现（15分钟）利用多媒体教学设备，展示几个二次函数的图象，如y=x2、y=x2-1、y=2x^2等。

引导学生观察这些图象的特点，如开口方向、顶点位置、对称轴等。

湘教版九年级数学-12二次函数的图象与性质(1)

y=x2 ... 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4 ...
y= - x2 ... --44 --22..2255 -1-1 -0-.02.525 00 -0-.205.25 -1-1 -2-.25.25-4-4 ...
注意：列表时自变量函数图象画法取值要均匀和对称。 y x2
y随着x的增大而减小，当x= 0 时，函数y的值最小，最小值是 0 ,抛物
线y=2x2在x轴的上方（除顶点外） .
（2）抛物线
y
2 3
x2在x轴的
下
方（除顶点外），在对称轴的
左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的
增大而减小，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 0 ，
当x
y 2 x2 3
... -6
8 3
***
2 3
0
y 1 x2 2
1 2 3 4 ... *** 2 *** 8 ...
*** 1 *** 2 ...
*** 2 *** 8 ...
1 *** 2 3 ...
2 3
***
8 3
-6 ...
y 2x2
y 2 x2 3
y x2
y 1 x2 2
2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展；当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外），它
的开口向下，并且向下无限伸展.
3、当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大。当x=0时函数y
的值最小.
是什么呢？
下面我们将画出y=x2 和y=-x2的图像，同学们根据这

二次函数的图象和性质（1）教案

湘教版数学九年级二次函数的图象与性质（1）教学设计课题二次函数的图象与性质(一) 单元第一单元学科数学年级九年级学习目标1.学生会用描点法画出的图象，理解抛物线的有关概念.2.使学生经历、探索二次函数图象性质的过程.3.培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.重点使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数的图象.难点用描点法画出二次函数的图象以及探索二次函数性质教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图复习导入师：同学们，回忆一下1、二次函数的一般形式是怎样的？2、一次函数图象是什么样的？它的图像画法步骤，你还记得吗，请列出来。

3、二次函数图象是什么形状呢？是否可以借鉴一次函数的图像画法呢？学生回顾．通过回顾所学知识为本节课的学习做好铺垫．讲授新课一、探究二次函数y=ax2(a>0）的图象和性质1.探究：画二次函数的图象.（1）列表：在列表时对自变量x取这些值的理由是什么？观察表格中的数据，你有什么发现？（2）描点：描点时应以哪些数值作为点的坐标？在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点．（3）连线：光滑的曲线顺次连接学生填表．在教师的引导启发学生观察表达式的特点．通过学生思考和点A与点A′，点B与点B′，…，它们有什么关系？由此你能作出什么猜想?从图还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？y=x2的图象在y轴右边所有点都具有这样的性质吗？图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”．当x＜0 (在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小．简称为“左降”．当x＞0 (在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大．简称为“右升”．抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外)，顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸展；当x=0时，函数y的值最小，最小值是0．我们已经正确画出了y=x2的图象，因此，现在可以从图象看出的其他一些性质（除了上面已知的关于y轴对称和“右升”外），还有哪些性质？对称轴与图象的交点是___________；图象的开口向_________；图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而_________，简称“左降；当x=_______时，函数值最_____．一般地，当a>0时，y=ax2的图象都具有上述性质．于是我们画y=ax2（a>0）的图象时，可以下观察图像，引导学生自主探究，让学生讨论、交流，达成共识．交流对函数性质的认识，并积累从图象的角度研究函数性质的经验．先画出图象在y 轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y 轴左边的部分．在画右边部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤．例 1 画二次函数212y x =的图象．二、探究二次函数y =ax 2(a ＜0）的图象和性质探究：我们已经会画212y x =的图象，能不能从它得出二次函数212y x =-的图象呢？分析：把212y x =的图象沿着x 轴翻折并将图象 “复制”出来，就可以得到212y x =-的图象.画二次函数212y x =-的图象．在212y x =的图象上任取一点21(,)2P a a ，它关于x 轴的对称点Q 的坐标是21(,)2P a a -．如图所示，从点Q 的坐标看出，点Q 在212y x =-的图象上．由此可知，212y x =-的图象与 212y x =的图象关于x 轴对称．因此只要把212y x = 的图象沿着x 轴翻折并将图象“复制”出来，就可得到212y x =-的图象．如图的绿色曲线．观察图象，归纳与总结：一般地，抛物线y =ax 2的对称轴是_____，顶点是________．当a >0时，抛物线的开口向______，顶点是抛物线的最_____点，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_____，在对称轴的右学生动手画图象．对比画图．归纳二次函数y =ax 2(a ＜0）的图象和性培养学生画图能力．体会二次函数y =ax 2(a ＜0）的图象和性质．掌握y =ax 2(a ＜0）的图象和性质．侧，y 随x 的增大而_____．当a <0时，抛物线的开口向___，顶点是抛物线的最_____点，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而________．例2 画二次函数214y x =-的图象．观察函数2y x =和212y x =图象的开口大小，你能得出什么结论？观察函数2y x =-和212y x =-图象的开口大小，你又能得出什么结论？三、抛物线的概念在棒球赛场上，棒球在空中沿着一条曲线运动，它与二次函数y =x 2的图象相像吗？以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x 轴的正方向水平向右，y 轴的正方向竖直向上，则可以看出棒球在空中经过的路线是形如y =ax 2（a <0）的图象的一段．由此受到启发，我们把二次函数y =ax 2的图象这样的曲线叫作抛物线，简称为抛物线y =ax 2．一般地，二次函数y =ax 2的图象关于y 轴对称，抛物线与它的对称轴的交点（0，0）叫作抛物线y =ax 2的顶点．质．通过实际问题理解抛物线的概念．帮助学生理解二次函数是具有广泛应用价值的，重要的数学模型．巩固练习 1、直接运用性质填空： (1)图象的对称轴是，顶点是 ,图象的开口向； (2)图象的对称轴是，顶点是 ,图象的开口向 . 2、如图所示，已知二次函数y =ax 2的图象经过点A ．（1）求a 的值；（2）试判断点（-4，12）是否在此函数的图象上．3、已知函数221m m y mx --=的图象是开口向下的抛物线．（1）求m 的值；（2）当x =3时，函数值是多少？当y =-6时，求x 的值；（3）试说明当x <3时，函数值的变化情况，并求当x 为何值时，函数有最小值，最小值是多少？ 4、底面是边长为x （cm ）的正方形，高为0.5 cm 的长方体的体积为y （cm 3）．（1）求y 关于x 的函数关系式，并画出函数图象；（2）根据图象求出y =8 cm 3时，底面边长x 的值；（3）根据图象，求出x 为何值时，y ≥4.5 cm 3．学生独立完成并展示．巩固学习，让学生用自己的方法展示出来，并且让学生得到进一步的锻炼．让学生建立自己对本节内容的认知．课堂小结学生自主交流、归纳、总结．培养学生的归纳、总结能力．板书1.2 二次函数的图象与性质（1）1.探究：画二次函数的图象. （1）列表：（2）描点：（3）连线：。

21.1.2_二次函数的图象和与性质(1)

。
练7.（衢州•中考）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB =90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）
2 2 A. y x 25
4 2 B. y x 25
4 2 D. y x 5
2 2 C. y x 5
【解析】选C.如图，作∠CAE=90°，作DE⊥AE于E，作 DF⊥AC于F.可证得△ABC≌△ADE.四边形AEDF为矩形，设 BC为m，则DE=AF=m，DF=AE=AC=4m，∴CF=3m，
4
2 －4 －2 2
y
4
1 2 x 2
探究
画出函数
线有什么共同点和不同点．
1 y x 2 , y x 2 , y 2 x 2 2
的图象，并考虑这些抛物
你画出的图象与图中相同吗？
x
· · · －4
－3 －4.5 －1.5
－2
－1
0 0
1 －0.5 0 0.5
2
3
4 －8 2
练1．填空：已知二次函数
(1)其中开口向上的有②③⑥ ______(填题号)； ⑤ 填题号)； (2)其中开口向下且开口最大的是____( (3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐 ①④⑤ 渐变小的有__________( 填题号)．
练2、观察函数y=x2的图象,则下列判断中正确的是( ) (A) 若a,b互为相反数,则x=a与x=b 的函数值相等; (B) 对于同一个自变量x,有两个函数值与它对应. (C) 对任一个实数y,有两个x和它对应. y (D) 对任意实数x,都有y＞0.
E F
则(3m) (4m) x

二次函数的图像与性质1(含作业和拔高题)

2.1二次函数（一）复习回顾：1.函数的概念：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有__________的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，其中x是叫_____， y叫______．2.函数的表示方法：__________、__________、__________（二）合作探究：【探究一】设人民币定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式（）．（不考虑利息税）【探究二】某果园有100棵橙子树，平均每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．（1）问题中有哪些变量？哪些是自变量？哪些是因变量？变量：____________________________________________________________自变量：______________________________因变量：______________________________（2）假设果园增种．．x棵橙子树，那么果园共有棵_______橙子树，这时平均每棵树结_______个橙子。

（3）如果果园橙子的总产量为y个，请你写出y与x之间的关系式。

【探究三】在上述两个关系式中，y是x的函数吗？y是x的一次函数？是反比例函数？与以前学过的函数有什么不同？（三）归纳总结：1．一般的，形如 ( ，）的函数，叫做y是x的二次函数．其中，叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项，a叫做，b叫做注:①a,b,c为常数，且②b,c 为0（填“可以”或“不可以”）③正方形面积S与边长x的关系，S x的二次函数（“是”或“不是”）（四）课堂练习：1.在下列函数中(x，t为自变量),哪些是二次函数?①y ＝-21+3x 2 ②y ＝23x 2-x 3+25 ③xy=1.5 ④y ＝32-2x ⑤y ＝1+t-5t 2 ⑥y=22x⑦y ＝ax 2+bx+c ⑧y ＝-2t +5t 2 ⑨y=πx 2 ⑩y=8x 2+x(1-8x) ⑾y=2(x+1)2-2 答：二次函数有它们的二次项分别是：，二次项系数分别是：它们的一次项分别是：，一次项系数分别是：它们的常数项分别是：2、用16m 长的篱笆围成长方形的生物园养小兔，长方形的面积y （cm 2）与长方形的长x （cm ）之间的关系式是__________________.3、某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于x 的函数关系式为y= ．y ＝ax 2+bx+c （a,b,c 为常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数；2.2二次函数y=ax 2的图象和性质（1）（三）二次函数y=ax 2的性质1. 二次函数y=ax 2的图象的形状是2. 二次函数y=ax 2是对称图形，对称轴是。

二次函数图像及性质(1)

九年级数学教学教案2.2 二次函数的图像及性质第一课时§2.2.1 二次函数的图像及性质教学目标【知识与技能】1、能够利用描点法作出函数y=x2的图像.能够根据图像认识和理解二次函数y=x2的性质.2、猜想并能作出y=-x2的图像，能比较它与y=x2的图像的异同.【过程与方法】1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．2．由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．【情感、态度与价值观要求】1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．学情分析教学重点、难点重点： 1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y ＝x2的性质．2．能够作出二次函数y=-x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同．难点：经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．并把这种经验运用于研究二次函数y=-x2的图象与性质方面，实现“探索——经验——运用”的思维过程．关键：利用描点法作正确出函数y=x2和y＝-x2的图象，根据图象认识和理解二次函数y＝x2和y＝-x2的性质．突破方法：通过学生自主动手列表、描点、连线等操作，正确作出函数图像，对图像进行观察、总结.最后得出2ax y 的性质.教法与学法导航教学方法：采用“探索--总结--运用法”为主线的教学方法.通过设置活动，引导学生动手、分析、类比，得出二次函数y=x 2的图像和性质.学习方法：由学生自己思考，动手操作，合作交流得出结论.教学准备教师准备：幻灯片4张第一张：(记作§2．2 A)第二张：(记作§2．2 B)第三张：(记作§2．2 C)第四张：(记作§2．2 D)．学生准备：两张直角坐标纸．画图工具。

二次函数的图象与性质(1)

备课用纸学科数学课题授课教师孙恩祥授课时间课型新授课任务项及其要点支点预设（引领、点拨、拓升）任务一在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）22x y = （2）22x y -=那不同点呢？？？任务二：已知42)2(-++=k kx k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴．任务三已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2．（1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．结合性质，认真分析，注意学生的解题过程图象画一部分巩固练习（可提示详细出处或加附页）1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）23xy=（2）23xy-=（3）231xy=2．（1）函数232xy=的开口，对称轴是，顶点坐标是；（2）函数241xy-=的开口，对称轴是，顶点坐标是．3．已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象的草图．板书提纲二次函数的图象与性质（1）任务一任务二任务三课后反思教得好本质上是为了促进学得好。

但在实际教学过程中是否能够合乎我们的意愿呢？。

二次函数的图像和性质1(左右平移)

么?
• (2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系? • 对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数 y=3(x+1)2+4呢?
习题
1.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验证. 3 2 2 2 1. y 2x 3 5; 2. y 0.5x 1 ; 3. y 4 x 1; 3 2 2 4.y 2x 2 5; 5. y 0.5x 4 2; 6. y x 32 . 4
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线 y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象. 怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象?
y 3x 6 x 5 5 2 3 x 2 x 提取二次项系数 3 5 配方:加上再减去一次项 2 3 x 2 x 1 1 系数绝对值一半的平方 3 2 2 整理:前三项化为平方形配方后的表达式 3x 1 式,后两项合并同类项 3 通常称为顶点式 2 化简:去掉中括号 3x 1 2.
y 2 x 2
X=1
想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x² ,y=3(x-1)2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看．
我思，我进步
在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=3x² 和y=-3(x-1)2的图象二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x² ,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?

数学沪科版九年级上册21.2 二次函数的图象和性质(1) 同步练习 (解析版)

2020-2020数学沪科版九级上册21.2 二次函数的图象和性质（1）同步练习一、选择题1.二次函数的图象的顶点坐标是( )A. B. C. D.2.抛物线的对称轴是( )A. 直线x=1B. 直线x= -1C. 直线x=-2D. 直线x=23.下列各点中，抛物线经过的点是（）A. (0，4)B. (1，)C. ( ，)D. (2，8)4.若二次函数的图像经过点(－1，)，( ，)，则与的大小关系为( )A. >B. =C. <D. 不能确定5.抛物线y= x2-6x+24的顶点坐标是( )A. (-6,-6)B. (-6,6)C. (6,6)D. (6,-6)6.若抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），则2c﹣4b﹣9的值是（）A. 5B. ﹣1C. 4D. 187.下列关于二次函数的说法错误的是（）A. 抛物线y=﹣2x2+3x+1的对称轴是直线,B. 抛物线y=x2﹣2x﹣3，点A（3，0）不在它的图象上C. 二次函数y=（x+2）2﹣2的顶点坐标是（﹣2，﹣2）D. 函数y=2x2+4x﹣3的图象的最低点在（﹣1，﹣5）8.二次函数y=ax2+bx+c满足b2=ac，且x=0时，y=﹣4，则（）A. y最大=﹣4B. y最小=﹣4C. y最大=﹣3D. y最小=﹣39.如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是（）A. b≤﹣2B. b＜﹣2C. b≥﹣2D. b＞﹣210.如图，已知二次函数的部分图象与坐标轴交于A（3，0）和C（0，2）两点，对称轴为直线，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是( )A. x＜3B. 0≤x＜3C. －2＜x＜3D. －1＜x＜3二、填空题11.若二次函数的图象经过点（-1,0），（1，-2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是________。