24函数的综合应用
2025新高考数学一轮复习函数性质的综合应用教案
∴ -1 ≥ 0, 或 -1 ≤ 0, 解得 1≤x≤3 或-1≤x≤0,
-1 ≤ 2
-1 ≥ -2,
∴满足 xf(x-1)≥0 的 x 的取值范围是[-1,0]∪[1,3],故选 D.
规律方法
综合运用奇偶性与单调性解题的方法技巧
(1)比较大小:先利用奇偶性将不在同一单调区间上的自变量的函数值转化
又因为f(2x+1)是奇函数,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,
于是函数f(x)的周期为T=4×|2-1|=4.
由于f(2x+1)是奇函数,所以f(2×0+1)=f(1)=0,而f(x+2)是偶函数,
所以f(x+2)=f(-x+2),令x=1代入得f(3)=f(1)=0,因此f(-1)=0,故选B.
(2)当函数图象具有对称中心时,在对称中心两侧的单调性相同;当函数图
象具有对称轴时,在图象的对称轴两侧的单调性相反.
2.关于函数奇偶性与周期性的常用结论
(1)若f(a-x)=f(x)且f(x)为偶函数,则f(x)的周期为a;
(2)若f(a-x)=f(x)且f(x)为奇函数,则f(x)的周期为2a;
(3)若f(x+a)与f(x+b)(a≠b)都是偶函数,则f(x)的周期是2|a-b|;
[对点训练1](2024·江西赣州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+1)
因此|x-1|>1,解得x>2或x<0,即解集为(-∞,0)∪(2,+∞),故选B.
(3)(2020·新高考Ⅰ,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则
满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( D )
二次函数的综合运用
二次函数的综合运用二次函数是一种形式为 y = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数且a ≠ 0。
二次函数在数学中有广泛的应用，涉及到诸如物理学、经济学和工程学等多个领域。
本文将探讨二次函数在各个领域中的综合运用，包括最值问题、图像分析、实际问题的建模等。
一、最值问题对于二次函数 y = ax² + bx + c，其中a ≠ 0，我们可以通过一些方法求得其最值。
为了简化讨论，我们以函数 y = x² + 2x - 3 为例。
1. 定义域和值域首先，我们需要确定该二次函数的定义域和值域。
对于二次函数 y= x² + 2x - 3，由于 x²的值始终大于等于 0，所以该函数的定义域为全体实数。
而二次函数在开口向上的情况下，其最小值即为函数的值域的下界。
根据二次函数的顶点公式，可以求得该函数的顶点为(-1, -4)，因此该函数的最小值为 -4。
2. 求解极值点我们可以通过求导数的方法求得二次函数的极值点。
对于函数 y =x² + 2x - 3，将其对 x 求导后可得 y' = 2x + 2。
令 y' = 0，解得 x = -1。
将 x = -1 代入函数 y = x² + 2x - 3 中可得 y = -4，即函数在 x = -1 处取得极小值 -4。
同样，对于开口向下的二次函数，可以通过类似的方法求得其极大值。
二、图像分析二次函数的图像一般为抛物线，通过分析图像可以获得更多关于函数的信息。
下面以函数 y = x² + 2x - 3 为例进行具体分析。
1. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是由函数的一阶导数确定的直线，其方程形式为x = -b/(2a)。
对于函数 y = x² + 2x - 3，对称轴的方程为 x = -1。
根据二次函数的顶点公式，可以求得该函数的顶点坐标为 (-1, -4)。
函数性质的八大题型综合应用(解析版)-高中数学
函数性质的八大题型综合应用题型梳理【题型1函数的单调性的综合应用】【题型2函数的最值问题】【题型3函数的奇偶性的综合应用】【题型4函数的对称性的应用】【题型5对称性与周期性的综合应用】【题型6类周期函数】【题型7抽象函数的性质】【题型8函数性质的综合应用】命题规律从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个热点内容，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解．对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性、奇偶性，主要考察方向是：判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大.知识梳理【知识点1函数的单调性与最值的求解方法】1.求函数的单调区间求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.(3)函数单调性的几条常用结论：①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数；②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数；③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数f(x)为增函数，1f(x)为减函数；④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数f(x)为减函数，1f(x)为增函数．3.求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.4.复杂函数求最值：对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【知识点2函数的奇偶性及其应用】1.函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)×g(x),f(x)÷g(x)．对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×(÷)奇=偶；奇×(÷)偶=奇；偶×(÷)偶=偶．(4)复合函数y=f[g(x)]的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．(5)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数f(x)=ma x+1a x-1(x≠0)或函数f(x)=m a x-1a x+1．②函数f(x)=±(a x-a-x)．③函数f(x)=log a x+mx-m=log a1+2mx-m或函数f(x)=log a x-mx+m=log a1-2mx+m④函数f(x)=log a(x2+1+x)或函数f(x)=log a(x2+1-x)．2.函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.【知识点3函数的周期性与对称性常用结论】1.函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=f(1x)，则T=2a；(5)若f(x+a)=f(1x)，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);2.对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点a+b2,0对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点a+b2,c 2对称.3.函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数y=f(x)有两条对称轴x=a，x=b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；(2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；(3)若函数y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4(b-a)．举一反三【题型1函数的单调性的综合应用】1(2023·广东深圳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R，若对∀x∈R都有f3+x= f1-x，且f x 在2，+∞上单调递减，则f1 ，f2 与f4 的大小关系是()A.f4 <f1 <f2B.f2 <f1 <f4C.f1 <f2 <f4D.f4 <f2 <f1【解题思路】由f3+x=f1-x，得到f1 =f3 ，利用单调性即可判断大小关系，即可求解．【解答过程】因为对∀x∈R都有f3+x=f1-x，所以f1 =f3-2=f[1-(-2)]=f3 又因为f x 在2，+∞上单调递减，且2<3<4，所以f4 <f3 <f2 ，即f4 <f1 <f2 ．故选：A．【变式训练】1(2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模)定义在R上的函数f(x)满足f2-x=f x ，且当x ≥1时，f (x )单调递增，则不等式f 2-x ≥f (x +1)的解集为()A.12,+∞ B.0,12C.-∞,-12D.-∞,12【解题思路】根据函数的对称性和单调性即可.【解答过程】由f 2-x =f (x )，得f (x )的对称轴方程为x =1，故2-x -1 ≥x +1 -1 ，即(1-x )2≥x 2，解得x ≤12．故选：D .2(2023上·江西鹰潭·高三校考阶段练习)已知函数f x =-x 2+2ax +4,x ≤1,1x,x >1是-12,+∞ 上的减函数，则a 的取值范围是()A.-1,-12B.-∞,-1C.-1,-12D.-∞,-1【解题思路】首先分析知，x >1，函数单调递减，则x ≤1也应为减函数，同时注意分界点处的纵坐标大小关系即可列出不等式组，解出即可.【解答过程】显然当x >1时，f x =1x为单调减函数，f x <f 1 =1当x ≤1时，f x =-x 2+2ax +4，则对称轴为x =-2a2×-1=a ，f 1 =2a +3若f x 是-12,+∞上减函数，则a ≤-122a +3≥1解得a ∈-1,-12 ，故选：A .3(2023·四川绵阳·统考三模)设函数f x 为x -1与x 2-2ax +a +3中较大的数，若存在x 使得f x ≤0成立，则实数a 的取值范围为()A.-43,-1 ∪1,4 B.-∞,-43∪4,+∞ C.-∞,1-132∪1+132,4D.-1,1【解题思路】根据绝对值函数的图像和二次函数讨论对称轴判定函数的图像即可求解.【解答过程】因为f x =max x -1,x 2-2ax +a +3 ，所以f x 代表x -1与x 2-2ax +a +3两个函数中的较大者，不妨假设g (x )=|x |-1,h (x )=x 2-2ax +a +3g (x )的函数图像如下图所示：h(x)=x2-2ax+a+3是二次函数，开口向上，对称轴为直线x=a，①当a<-1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是增函数，需要h(-1)=(-1)2-2a(-1)+a+3=3a+4≤0即a≤-4 3，则存在x使得f x ≤0成立，故a≤-4 3；②当-1≤a≤1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是先减后增函数，需要h(x)min=h(a)=a2-2a⋅a+a+3=-a2+a+3≤0，即a2-a-3≥0，解得a≥1+132或a≤1-132，又1+132>1，1-132<-1故-1≤a≤1时无解；③当a>1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是减函数，需要h(1)=12-2a+a+3=-a+4≤0即a≥4，则存在x使得f x ≤0成立，故a≥4.综上所述，a的取值范围为-∞,-4 3∪4,+∞.故选：B.【题型2函数的最值问题】1(2023·江西九江·校考模拟预测)若0<x<6，则6x-x2有()A.最小值3B.最大值3C.最小值9D.最大值9【解题思路】根据二次函数的性质进行求解即可.【解答过程】令y =6x -x 2=-(x -3)2+9，对称轴为x =3，开口向下，因为0<x <6，所以当x =3时，6x -x 2有最大值9，没有最小值，故选：D .【变式训练】1(2023·全国·校联考三模)已知函数f x =bx -b +3 x 3在-1,1 上的最小值为-3，则实数b的取值范围是()A.-∞,-4B.9,+∞C.-4,9D.-92,9【解题思路】由已知可得当-1≤x <1时，可得bx 1+x ≥-3x 2+x +1 恒成立，通过分离变量，结合函数性质可求b 的取值范围【解答过程】因为f 1 =-3，函数f x =bx -b +3 x 3在-1,1 上的最小值为-3，所以对∀x ∈-1,1 ，f x ≥-3恒成立，所以bx -b +3 x 3≥-3恒成立，即bx 1-x 2 ≥-31-x 3 恒成立，当x =1时，b ∈R ，当-1≤x <1时，可得bx 1+x ≥-3x 2+x +1 恒成立.当x =0或x =-1时，不等式显然成立；当0<x <1时，b ≥-3x 2+x +1 x 1+x =-31+1x 2+x，因为x 2+x ∈0,2 ，所以1x 2+x ∈12,+∞ ，1+1x 2+x ∈32,+∞ ，-31+1x 2+x∈-∞,-92 ，所以b ≥-92；当-1<x <0时，b ≤-31+1x 2+x，因为x 2+x ∈-14,0 ，所以1x 2+x ∈-∞,-4 ，1+1x 2+x ∈-∞,-3 ，-31+1x 2+x∈9,+∞ ，所以b ≤9.综上可得，实数b 的取值范围是-92,9.故选：D .2(2023上·广东广州·高一校考阶段练习)定义一种运算min a ,b =a ,a ≤bb ,a >b，设f x =min 4+2x -x 2,x -t (t 为常数，且x ∈[-3,3]，则使函数f x 的最大值为4的t 的值可以是()A.-2或4B.6C.4或6D.-4【解题思路】根据定义，先计算y=4+2x-x2在x∈-3,3上的最大值，然后利用条件函数f(x)最大值为4，确定t的取值即可．【解答过程】y=4+2x-x2=-x-12+5在x∈-3,3上的最大值为5，所以由4+2x-x2=4，解得x=2或x=0，所以x∈0,2时，y=4+2x-x2>4，所以要使函数f(x)最大值为4，则根据定义可知，当t≤1时，即x=2时，2-t=4，此时解得t=-2，符合题意；当t>1时，即x=0时，0-t=4，此时解得t=4，符合题意；故t=-2或4.故选：A.3(2023·广东惠州·统考一模)若函数f x 的定义域为D，如果对D中的任意一个x，都有f x > 0,-x∈D，且f-xf x =1，则称函数f x 为“类奇函数”．若某函数g x 是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是()A.若0在g x 定义域中，则g0 =1B.若g x max=g4 =4，则g x min=g-4=1 4C.若g x 在0,+∞上单调递增，则g x 在-∞,0上单调递减D.若g x 定义域为R，且函数h x 也是定义域为R的“类奇函数”，则函数G x =g x h x 也是“类奇函数”【解题思路】对A，根据“类奇函数”的定义，代入x=0求解即可；对B，根据题意可得g-x=1g x，再结合函数的单调性判断即可；对C，根据g-x=1g x，结合正负分数的单调性判断即可；对D，根据“类奇函数”的定义，推导G x G-x=1判断即可.【解答过程】对于A，由函数g x 是“类奇函数”，所以g x g-x=1，且g x >0，所以当x=0时，g0 g-0=1，即g0 =1，故A正确；对于B，由g x g-x=1，即g-x=1g x,g-x随g x 的增大而减小，若g(x)max=g4 =4，则g(x)min=g-4=14成立，故B正确；对于C，由g x 在0,+∞上单调递增，所以g-x=1g x，在x∈0,+∞上单调递减，设t=-x∈-∞,0 ，∴g t 在t ∈-∞,0 上单调递增，即g x 在x ∈-∞,0 上单调递增，故C 错误；对于D ，由g x g -x =1,h x h -x =1，所以G x G -x =g x g -x h x h -x =1，所以函数G x =g x h x 也是“类奇函数”，所以D 正确；故选：C .【题型3 函数的奇偶性的综合应用】1(2023·广东·东莞市校联考一模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )=ax +1，若f (-2)=5，则不等式f (x )>12的解集为()A.-∞,-12 ∪0,16B.-12,0 ∪0,16C.-∞,-12 ∪16,+∞ D.-12,0 ∪16,+∞ 【解题思路】根据条件可求得x >0时f (x )的解析式，根据函数为奇函数继而可求得当x <0时f (x )的解析式，分情况解出不等式即可.【解答过程】因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (-2)=-f (2)=5，则f (2)=-5，则2a +1=-5，所以a =-3，则当x >0时，f (x )=-3x +1，当x <0时，-x >0，则f (x )=-f (-x )=-[-3×(-x )+1]=-3x -1，则当x >0时，不等式f (x )>12为-3x +1>12，解得0<x <16，当x <0时，不等式f (x )>12为-3x -1>12，解得x <-12，故不等式的解集为-∞,-12 ∪0,16，故选：A .【变式训练】1(2023·全国·模拟预测)已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，f (3x +1)为奇函数，g (x +2)为偶函数，f (x +1)+g (1-x )=2，f (0)=-12，则102k =1 g (k )=()A.-51B.52C.4152D.4092【解题思路】由题意，根据函数奇偶性可得f (x )的图象关于点(1,0)中心对称、g (x )的图象关于点(1,2)中心对称，进而可知g (x )是以4为周期的周期函数．求出g (1)，g (2)，g (3)，g (4)，结合周期即可求解.【解答过程】因为f (3x +1)为奇函数，所以f (x +1)为奇函数，所以f (x +1)=-f (-x +1)，f (x )的图象关于点(1,0)中心对称，f (1)=0．因为g (x +2)为偶函数，所以g (x +2)=g (-x +2)，g (x )的图象关于直线x =2对称．由f (x +1)+g (1-x )=2，得f (-x +1)+g (1+x )=2，则-f (x +1)+g (1+x )=2，所以g (x +1)+g (1-x )=4,g (x )+g (2-x )=4，所以g (x )的图象关于点(1,2)中心对称．因为g (x )的图象关于x =2轴对称，所以g (x )+g (2+x )=4，g (x +2)+g (x +4)=4，所以g (x +4)=g (x )，即g (x )是以4为周期的周期函数．因为f (1)=0，f (0)=-12，所以g (1)=2，g (2)=52，g (3)=g (1)=2，g (4)=g (0)=4-g (2)=32，所以102k =1g (k )=25×2+52+2+32 +2+52=4092．故选：D ．2(2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测)已知函数f x 是定义在R 上的偶函数，函数g x 是定义在R 上的奇函数，且f x ，g x 在0,+∞ 上单调递减，则()A.f f 2 >f f 3B.f g 2 <f g 3C.g g 2 >g g 3D.g f 2 <g f 3【解题思路】利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负即可.【解答过程】因为f x ，g x 在0,+∞ 上单调递减，f x 是偶函数，g x 是奇函数，所以g x 在R 上单调递减，f x 在-∞,0 上单调递增，对于A ，f 2 >f 3 ，但无法判断f 2 ,f 3 的正负，故A 不正确；对于B ，g 2 >g 3 ，但无法判断g 2 ,g 3 的正负，故B 不正确；对于C ，g 2 >g 3 ，g x 在R 上单调递减，所以g g 2 <g g 3 ，故C 不正确；对于D ，f 2 >f 3 ，g x 在R 上单调递减，g f 2 <g f 3 ，故D 正确.故选：D .3(2023·江西吉安·江西省遂川中学校考一模)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)-2016，且x >0时，f (x )>2016，记f (x )在[-2017，2017]上的最大值和最小值为M ，N ，则M +N 的值为()A.2016B.2017C.4032D.4034【解题思路】先计算得到f (0)=2016，再构造函数g (x )=f (x )-2016，判断g (x )的奇偶性得出结论．【解答过程】解：令x 1=x 2=0得f (0)=2f (0)-2016，∴f (0)=2016，令x 1=-x 2得f (0)=f (-x 2)+f (x 2)-2016=2016，∴f (-x 2)+f (x 2)=4032，令g(x)=f(x)-2016，则g max(x)=M-2016，g min(x)=N-2016，∵g(-x)+g(x)=f(-x)+f(x)-4032=0，∴g(x)是奇函数，∴g max(x)+g min(x)=0，即M-2016+N-2016=0，∴M+N=4032．故选：C．【题型4函数的对称性的应用】1(2023·江西赣州·统考二模)已知函数f(x)的图像既关于点(-1,1)对称，又关于直线y=x对称，且当x∈[-1,0]时，f(x)=x2，则f174=()A.-194B.-92C.-72D.-174【解题思路】用Γ表示函数y=f x 的图像，设x0,y0∈Γ，根据中心对称性与轴对称性，得到4+y0,-4+x0∈Γ，令4+y0=174，求出y0，即可求出x0，即可得解.【解答过程】用Γ表示函数y=f x 的图像，对任意的x0∈-1,0，令y0=x20，则x0,y0∈Γ，且y0∈0,1，又函数f(x)的图像既关于点(-1,1)对称，且关于直线y=x对称，所以y0,x0∈Γ，则-2-y0,2-x0∈Γ，则2-x0,-y0-2∈Γ，则-4+x0,4+y0∈Γ，则4+y0,-4+x0∈Γ，令4+y0=174，即y0=14，此时x0=-12或x0=12(舍去)，此时-4+x0=-4+-1 2=-92，即174,-92∈Γ，因此f174 =-92.故选：B.【变式训练】1(2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模)若函数y=f x 满足f a+x+f(a-x)=2b，则说y=f x 的图象关于点a,b对称，则函数f(x)=xx+1+x+1x+2+x+2x+3+...+x+2021x+2022+x+2022x+2023的对称中心是()A.(-1011,2022)B.1011,2022C.(-1012,2023)D.1012,2023【解题思路】求出定义域，由定义域的对称中心，猜想a=-1012，计算出f(-1012+x)+f(-1012-x) =4046，从而求出对称中心.【解答过程】函数定义域为{x|x≠-1,x≠-2...,...x≠-2022,x≠-2023}，定义域的对称中心为(-1012,0)，所以可猜a=-1012，则f(-1012+x)=-1012+x-1011+x+-1011+x-1010+x+-1010+x-1009+x+...+1009+xx+1010+1010+x1011+x，f(-1012-x)=-1012-x-1011-x +-1011-x-1010-x+-1010-x-1009-x+...+1009-x1010-x+1010-x1011-x=1012+x 1011+x +1011+x1010+x+1010+x1009+x+...+1009-x1010-x+1010-x1011-x，故f(-1012+x)+f(-1012-x)=1010+x1011+x +1012+x 1011+x+1009+xx+1010+1011+x 1010+x⋯+-1012+x-1011+x +1010-x 1011-x=2×2023=4046所以y=f x 的对称中心为(-1012,2023)，故选：C．2(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模)函数f x 和g x 的定义域均为R，且y=f3+3x为偶函数，y=g x+3+2为奇函数，对∀x∈R，均有f x +g x =x2+1，则f7 g7 = ()A.615B.616C.1176D.2058【解题思路】由题意可以推出f x =f6-x，g x =-4-g6-x，再结合f x +g x =x2+1可得函数方程组，解出函数方程组后再代入求值即可.【解答过程】由函数f3+3x为偶函数，则f3+3x=f3-3x，即函数f x 关于直线x=3对称，故f x =f6-x；由函数g x+3+2为奇函数，则g x+3+2=-g-x+3-2，整理可得g x+3+g-x+3=-4，即函数g x 关于3,-2对称，故g x =-4-g6-x；由f x +g x =x2+1，可得f6-x+g6-x=(6-x)2+1，所以f x -4-g x =(6-x)2+1，故f x +g x =x2+1f x -4-g x =(6-x)2+1 ，解得f x =x2-6x+21,g x =6x-20，所以f7 =72-6×7+21=28,g7 =6×7-20=22，所以f7 g7 =28×22=616.故选：B.3(2023·甘肃张掖·高台县校考模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R，f x-1的图象关于点(1,0)对称，f3 =0，且对任意的x1,x2∈-∞,0，x1≠x2，满足f x2-f x1x2-x1<0，则不等式x-1f x+1≥0的解集为()A.-∞,1∪2,+∞B.-4,-1∪0,1C.-4,-1∪1,2D.-4,-1∪2,+∞【解题思路】首先根据f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，得出(x)是定义在R上的奇函数，由对任意的x1，x2∈(-∞,0)，x1≠x2，满足f(x2)-f(x1)x2-x1<0，得出f(x)在(-∞,0)上单调递减，然后根据奇函数的对称性和单调性的性质，求解即可．【解答过程】∵f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)的图象关于点(0,0)对称，∴f(x)是定义在R 上的奇函数，∵对任意的x1，x2∈(-∞,0)，x1≠x2，满足f(x2)-f(x1)x2-x1<0，∴f(x)在(-∞,0)上单调递减，所以f(x)在(0,+∞)上也单调递减，又f3 =0所以f-3=0，且f0 =0，所以当x∈-∞,-3∪0,3时，f x >0；当x∈-3,0∪3,+∞时，f x <0，所以由x-1f x+1≥0可得x-1<0,-3≤x+1≤0或x-1>0,0≤x+1≤3或x-1=0，解得-4≤x≤-1或1≤x≤2，即不等式x-1f x+1≥0的解集为-4,-1∪1,2．故选：C.【题型5对称性与周期性的综合应用】1(2023·四川宜宾·统考一模)已知函数f x ,g x 的定义域为R,g x 的图像关于x=1对称，且g2x+2为奇函数，g1 =1,f x =g3-x+1，则下列说法正确的个数为()①g(-3)=g(5)；②g(2024)=0；③f(2)+f(4)=-4；④2024n=1f(n)=2024.A.1B.2C.3D.4【解题思路】根据奇函数定义得到g-2x+2=-g2x+2，进而得到g x 的对称中心为，再根据对称轴求出周期，通过赋值得到答案.【解答过程】因为g2x+2为奇函数，所以g-2x+2=-g2x+2，则g-x+2=-g x+2，所以g x 对称中心为2,0，又因为g x 的图像关于x=1对称，则g-x+2=g x ，所以-g x+2=g x ，则g x+4=-g x+2=g x ，所以g x 的周期T=4，①g-3=g-3+8=g5 ，所以①正确；②因为g1 =1，g-x+2=g x ，g x 对称中心为2,0，所以g0 =g2 =0，所以g(2024)=g0 =0，所以②正确；③因为f x =g3-x+1，所以f2 =g1 +1=2，因为-g x+2=g x ，所以g-1=-g1 ，则f4 =g-1+1=-g1 +1=0，所以f(2)+f(4)=2，所以③错误；④因为f x =g 3-x +1且g x 周期T =4，所以f x +4 =g 3-x -4 +1=g 3-x +1=f x ，则f x 的周期为T =4，因为f 1 =g 2 +1=1，f 2 =2，f 3 =g 0 +1=1，f 4 =0，所以f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4，所以2024n =1 f (n )=506f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4 =506×4=2024，所以④正确.故选：C .【变式训练】1(2023·北京大兴·校考三模)已知函数f x 对任意x ∈R 都有f x +2 =-f x ，且f -x =-f x ，当x ∈-1,1 时，f x =x 3.则下列结论正确的是()A.函数y =f x 的图象关于点k ,0 k ∈Z 对称B.函数y =f x 的图象关于直线x =2k k ∈Z 对称C.当x ∈2,3 时，f x =x -2 3D.函数y =f x 的最小正周期为2【解题思路】根据f x +2 =-f x 得到f x +2 =f x -2 ，所以f x 的周期为4，根据f -x =-f x 得到f x 关于x =-1对称，画出f x 的图象，从而数形结合得到AB 错误；再根据f x =-f x -2 求出x ∈2,3 时函数解析式；D 选项，根据y =f x 的最小正周期，得到y =f x 的最小正周期.【解答过程】因为f x +2 =-f x ，所以f x =-f x -2 ，故f x +2 =f x -2 ，所以f x 的周期为4，又f -x =-f x ，所以f -x =f x -2 ，故f x 关于x =-1对称，又x ∈-1,1 时，f x =x 3，故画出f x 的图象如下：A 选项，函数y =f x 的图象关于点1,0 不中心对称，故A 错误；B 选项，函数y =f x 的图象不关于直线x =2对称，B 错误；C 选项，当x ∈2,3 时，x -2∈0,1 ，则f x =-f x -2 =-x -2 3，C 错误；D 选项，由图象可知y =f x 的最小正周期为4，又f x +2 =-f x =f x ，故y =f x 的最小正周期为2，D 正确.故选：D .2(2023·四川绵阳·绵阳校考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ,f 1 =0，且f 0 ≠0,∀x ,y∈R 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，则下列说法正确的命题是()①f 0 =1；②∀x ∈R ,f -x +f x =0；③f x 关于点1,0 对称；④2023i =1 f (i )=-1A.①②B.②③C.①②④D.①③④【解题思路】利用特殊值法，结合函数的奇偶性、对称性和周期性进行求解即可.【解答过程】对于①，由于∀x ,y ∈R 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，所以令x =y =0，则f 0 +f 0 =2f 0 f 0 ，即f 0 =f 20 ，因为f 0 ≠0，所以f 0 =1，所以①正确，对于②，令x =0，则f y +f -y =2f 0 f y =2f y ，所以f y =f -y ，即f x =f -x ，所以∀x ∈R ,f -x -f x =0，所以②错误，对于③，令x =1，则f 1+y +f 1-y =2f 1 f y =0，所以f 1+y =-f 1-y ，即f 1+x =-f 1-x ，所以f x 关于点1,0 对称，所以③正确，对于④，因为f 1+x =-f 1-x ，所以f 2+x =-f -x ，因为f x =f -x ，所以f 2+x =-f x ，所以f 4+x =-f 2+x ，所以f 4+x =f x ，所以f x 的周期为4，在f x +y +f x -y =2f x f y 中，令x =y =1，则f 2 +f 0 =2f 1 f 1 =0，因为f 0 =1，所以f (2)=-1，f (3)=f (-1)=f (1)=0,f (4)=f (0)=1，所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0+(-1)+0+1=0，所以2023i =1 f (i )=505×f (1)+f (2)+f (3)+f (4) +f (1)+f (2)+f (3)=-1，所以④正确，故选：D .3(2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测)已知函数f x 与g (x )的定义域均为R ，f (x +1)为偶函数，且f (3-x )+g (x )=1，f (x )-g (1-x )=1，则下面判断错误的是()A.f x 的图象关于点(2,1)中心对称B.f x 与g x 均为周期为4的周期函数C.2022i =1f (i )=2022D.2023i =0g (i )=0【解题思路】由f (x +1)为偶函数可得函数关于直线x =1轴对称，结合f (3-x )+g (x )=1和f (x )-g (1-x )=1可得f x 的周期为4，继而得到g x 的周期也为4，接着利用对称和周期算出对应的值即可判断选项【解答过程】因为f x +1 为偶函数，所以f x +1 =f -x +1 ①，所以f x 的图象关于直线x =1轴对称，因为f x -g 1-x =1等价于f 1-x -g x =1②，又f 3-x +g x =1③，②+③得f 1-x +f 3-x =2④，即f 1+x +f 3+x =2，即f 2+x =2-f x ，所以f 4+x =2-f 2+x =f x ，故f x 的周期为4，又g x =1-f 3-x ，所以g x 的周期也为4，故选项B 正确，①代入④得f 1+x +f 3-x =2，故f x 的图象关于点2,1 中心对称，且f 2 =1，故选项A 正确，由f 2+x =2-f x ，f 2 =1可得f 0 =1,f 4 =1，且f 1 +f 3 =2，故f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4，故2022i =1 f (i )=505×4+f (1)+f (2)=2021+f (1)，因为f 1 与f 3 值不确定，故选项C 错误，因为f 3-x +g x =1，所以g 1 =0,g 3 =0,g 0 =1-f 3 ,g 2 =1-f 1 ，所以g 0 +g 2 =2-f 1 +f 3 =0，故g 0 +g 1 +g 2 +g 3 =0，故2023i =0 g (i )=506×0=0，所以选项D 正确，故选:C .【题型6 类周期函数】1(2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测)定义在R 上的函数f x 满足f x +1 =12f x ，且当x ∈0,1 时，f x =1-2x -1 .当x ∈m ,+∞ 时，f x ≤332，则m 的最小值为()A.278B.298C.134D.154【解题思路】根据已知计算出f x =12n 1-2x -2n +1 ≤12n ，画出图象，计算f x =332，解得x =298，从而求出m 的最小值.【解答过程】由题意得，当x ∈1,2 时，故f x =12f x -1 =121-2x -3 ，当x ∈2,3 时，故f x =12f x -1 =141-2x -5 ⋯，可得在区间n ,n +1 n ∈Z 上，f x =12n 1-2x -2n +1 ≤12n ，所以当n ≥4时，f x ≤332，作函数y =f x 的图象，如图所示，当x ∈72,4 时，由f x =181-2x -7 =332,2x -7 =14,x =298，则m ≥298，所以m 的最小值为298故选：B .【变式训练】1(2023上·湖南长沙·高三校考阶段练习)定义域为R 的函数f x 满足f x +2 =2f x -1，当x∈0,2 时，f x =x 2-x ,x ∈0,1 1x,x ∈1,2.若x ∈0,4 时，t 2-7t 2≤f x ≤3-t 恒成立，则实数t 的取值范围是()A.1,2B.1,52C.12,2D.2,52【解题思路】由f (x +2)=2f (x )-1，求出x ∈(2，3)，以及x ∈[3，4]的函数的解析式，分别求出(0，4]内的四段的最小值和最大值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t 2-7t2≤f x ≤3-t 恒成立即为t 2-7t2≤f x min ，f x max ≤3-t ，解不等式即可得到所求范围【解答过程】当x ∈(2,3),则x -2∈(0,1)，则f (x )=2f (x -2)-1=2(x -2)2-2(x -2)-1，即为f (x )=2x 2-10x +11，当x ∈[3，4]，则x -2∈[1，2]，则f (x )=2f (x -2)-1=2x -2-1.当x ∈(0,1)时,当x =12时,f (x )取得最小值,且为-14；当x ∈[1,2]时,当x =2时,f (x )取得最小值,且为12；当x ∈(2,3)时,当x =52时,f (x )取得最小值,且为-32；当x ∈[3,4]时,当x =4时,f (x )取得最小值，且为0.综上可得,f (x )在(0,4]的最小值为-32.若x ∈(0,4]时, t 2-7t2≤f x min 恒成立，则有t 2-7t 2≤-32.解得12≤t ≤3.当x ∈(0,2)时,f (x )的最大值为1,当x ∈(2,3)时,f (x )∈-32,-1 ，当x ∈[3,4]时,f (x )∈[0,1]，即有在(0,4]上f (x )的最大值为1.由f x max ≤3-t ，即为1≤3-t ，解得t ≤2，综上，即有实数t 的取值范围是12,2.故选：C .2(2022·四川内江·校联考二模)定义域为R 的函数f (x )满足f (x +2)=3f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )=x 2-2x ，若x ∈[-4,-2]时，f (x )≥1183t-t 恒成立，则实数t 的取值范围是()A.-∞,-1 ∪0,3B.-∞,-3 ∪0,3C.-1,0 ∪3,+∞D.-3,0 ∪3,+∞【解题思路】根据题意首先得得到函数的具体表达式，由x ∈[-4,-2]，所以x +4∈[0,2]，所以f (x +4)=x 2+6x +8，再由f (x +4)=3f (x +2)=9f (x )可得出f (x )的表达式，在根据函数思维求出f (x )最小值解不等式即可.【解答过程】因为x ∈[-4,-2]，所以x +4∈[0,2]，因为x ∈[0,2]时，f x =x 2-2x ，所以f x +4 =(x +4)2-2(x +4)=x 2+6x +8,因为函数f x 满足f x +2 =3f x ，所以f x +4 =3f x +2 =9f x ，所以f x =19f x +4 =19x 2+6x +8 ，x ∈[-4,-2]，又因为x ∈[-4,-2]，f x ≥1183t-t 恒成立，故1183t -t ≤f x min =-19，解不等式可得t ≥3或-1≤t <0.故选C .3(2023上·浙江台州·高一校联考期中)设函数f x 的定义域为R ，满足f x =2f x -2 ，且当x∈0,2 时，f x =x 2-x ．若对任意x ∈-∞,m ，都有f x ≤3，则m 的取值范围是()A.-∞,52B.-∞,72C.-∞,92D.-∞,112【解题思路】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.【解答过程】因为函数f x 的定义域为R ，满足f x =2f x -2 ，且当x ∈0,2 时，f x =x 2-x =-x -1 2+1∈0,1 ，当x ∈(2,4]，时，x -2∈(0,2]，则f (x )=2f (x -2)=2x -2 2-x -2 =-2x -3 2+2∈0,2 ，当x ∈(4,6]，时，x -4∈(0,2]，则f (x )=4f (x -2)=4x -2-2 4-x -2 =-4x -5 2+4∈0.4 ，当x ∈(-2,0]，时，x +2∈(0,2]，则f (x )=12f (x +2)=12(x +2)-x =-12x +1 2+12∈0,12，作出函数f x 的大致图象，对任意x ∈-∞,m ，都有f x ≤3，设m 的最大值为t ，则f t =3，所以-4t -5 2+4=3，解得t =92或t =112，结合图象知m 的最大值为92，即m 的取值范围是-∞,92.故选：C .【题型7 抽象函数的性质】1(2023·新疆乌鲁木齐·统考二模)已知f x ，g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足f x -y=f x g y -g x f y ，且f -2 =f 1 ≠0，则下列说法正确的是()A.f 0 =1B.函数g 2x +1 的图象关于点1,0 对称C.g 1 +g -1 =0D.若f 1 =1，则2023n =1 f n =1【解题思路】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取f x =sin2π3x ,g x =cos 2π3x 可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断f x 很可能是周期函数，结合f x g y ,g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令y =-1和y =1时可构建出两个式子，两式相加即可得出f x +1 +f x -1 =-f x ，进一步得出f x 是周期函数，从而可求2023n =1 f n 的值.【解答过程】解：对于A ，令x =y =0，代入已知等式得f 0 =f 0 g 0 -g 0 f 0 =0，得f 0 =0，故A 错误；对于B ，取f x =sin 2π3x ,g x =cos 2π3x ，满足f x -y =f x g y -g x f y 及f -2 =f 1 ≠0，因为g 3 =cos2π=1≠0，所以g x 的图象不关于点3,0 对称，所以函数g 2x +1 的图象不关于点1,0 对称，故B 错误；对于C ，令y =0，x =1，代入已知等式得f 1 =f 1 g 0 -g 1 f 0 ，可得f 1 1-g 0 =-g 1 f 0 =0，结合f 1 ≠0得1-g 0 =0，g 0 =1，再令x =0，代入已知等式得f -y =f 0 g y -g 0 f y ，将f 0 =0，g 0 =1代入上式，得f -y =-f y ，所以函数f x 为奇函数.令x =1，y =-1，代入已知等式，得f 2 =f 1 g -1 -g 1 f -1 ，因为f -1 =-f 1 ，所以f 2 =f 1 g -1 +g 1 ，又因为f 2 =-f -2 =-f 1 ，所以-f 1 =f 1 g -1 +g 1 ，因为f 1 ≠0，所以g 1 +g -1 =-1，故C 错误；对于D ，分别令y =-1和y =1，代入已知等式，得以下两个等式：f x +1 =f x g -1 -g x f -1 ，f x -1 =f x g 1 -g x f 1 ，两式相加易得f x +1 +f x -1 =-f x ，所以有f x +2 +f x =-f x +1 ，即：f x =-f x +1 -f x +2 ，有：-f x +f x =f x +1 +f x -1 -f x +1 -f x +2 =0，即：f x -1 =f x +2 ，所以f x 为周期函数，且周期为3，因为f 1 =1，所以f -2 =1，所以f 2 =-f -2 =-1，f 3 =f 0 =0，所以f 1 +f 2 +f 3 =0，所以2023n =1 f n =1=f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2023 =f 2023 =f 1 =1，故D 正确.故选：D .【变式训练】1(2023·福建宁德·福鼎市校考模拟预测)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ，对任意的x ,y ∈R ，恒有f x +y +f x -y =2f x f y ，则下列说法正确的个数是()①f 0 =0；②fx 必为奇函数；③f x +f 0 ≥0；④若f (1)=12，则2023n =1f (n )=12.A.1B.2C.3D.4【解题思路】利用赋值法可判断①；利用赋值法结合函数奇偶性定义判断②；赋值，令y =x ，得出f 2x+f0 ≥0，变量代换可判断③；利用赋值法求出f(n)部分函数值，推出其值具有周期性，由此可计算2023n=1f(n)，判断④，即可得答案.【解答过程】令x=y=0，则由f x+y+f x-y=2f x f y 可得2f0 =2f20 ，故f(0)=0或f0 =1，故①错误；当f(0)=0时，令y=0，则f(x)+f(x)=2f(x)f(0)=0，则f(x)=0，故f (x)=0，函数f (x)既是奇函数又是偶函数；当f(0)=1时，令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)，所以f-y=f y ，则-f (-y)=f (y)，即f (-y)=-f (y)，则f (x)为奇函数，综合以上可知f (x)必为奇函数，②正确；令y=x，则f2x+f0 =2f2x ，故f2x+f0 ≥0.由于x∈R，令t=2x,t∈R，即f t +f0 ≥0，即有f x +f0 ≥0，故③正确；对于D，若f1 =12，令x=1,y=0，则f1 +f1 =2f1 f0 ，则f(0)=1，令x=y=1，则f2 +f0 =2f21 ，即f2 +1=12,∴f2 =-12，令x=2,y=1，则f3 +f1 =2f2 f1 ，即f3 +12=-12,∴f(3)=-1，令x=3,y=1，则f4 +f2 =2f3 f1 ，即f4 -12=-1,∴f(4)=-12，令x=4,y=1，则f5 +f3 =2f4 f1 ，即f5 -1=-12,∴f(5)=12，令x=5,y=1，则f6 +f4 =2f5 f1 ，即f6 -12=12,∴f(6)=1，令x=6,y=1，则f7 +f5 =2f6 f1 ，即f7 +12=1,∴f(7)=12，令x=7,y=1，则f8 +f6 =2f7 f1 ，即f8 +1=12,∴f(8)=-12，⋯⋯，由此可得f(n),n∈N*的值有周期性，且6个为一周期，且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，故2023n=1f n =337×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)=12，故④正确，即正确的是②③④，故选：C.2(2023·河南·校联考模拟预测)已知函数f x 对任意实数x,y恒有f(x-y)+f(x+y)=f(2x)成立，且当x<0时，f(x)>0.(1)求f(0)的值;(2)判断f x 的单调性，并证明;(3)解关于x的不等式:f x2-(a+2)x+f(a+y)+f(a-y)>0.【解题思路】(1)根据题意，令x=0,y=0，即可求得f(0)=0；(2)令x=0，得到f(-y)=-f(y)，所以f x 为奇函数，在结合题意和函数单调性的定义和判定方法，即可求解；(3)化简不等式为f x2-(a+2)x>f(-2a)，结合函数f x 的单调性，把不等式转化为x2-(a+2)x <-2a，结合一元二次不等式的解法，即可求解.【解答过程】(1)解：因为函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x-y)+f(x+y)=f(2x)成立，令x=0,y=0，则f(0)+f(0)=f(0)，所以f(0)=0.(2)解：函数f x 为R上的减函数.证明:令x=0，则f(-y)+f(y)=f(0)=0，所以f(-y)=-f(y)，故f x 为奇函数.任取x1,x2∈R，且x1<x2，则x1-x2<0，因为当x<0时，f(x)>0，所以f x1-x2>0，所以f x1-f x2=f x1+f-x2=fx1-x22+x1+x22+f x1-x22-x1+x22=f x1-x2>0，即f x1>f x2，所以f x 是R上的减函数.(3)解：根据题意，可得f x2-(a+2)x>-[f(a+y)+f(a-y)]=-f(2a)=f(-2a)，由(2)知f x 在R上单调递减，所以x2-(a+2)x<-2a，即x2-(a+2)x+2a<0，可得(x-2)(x-a)<0，当a>2时，原不等式的解集为(2,a)；当a=2时，原不等式的解集为∅；当a<2时，原不等式的解集为(a,2).3(2023上·广东东莞·高一校联考期中)已知函数f x 对任意实数x,y恒有f x+y=f x +f y ，当x>0时，f x <0，且f1 =-2.(1)判断f x 的奇偶性；(2)判断函数单调性，求f x 在区间-3,3上的最大值；(3)若f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1,a∈-1,1恒成立，求实数m的取值范围.【解题思路】(1)令x=y=0，求得f0 =0，再令y=-x，从而得f-x=-f x ，从而证明求解. (2)设x1,x2∈R且x1<x2，结合条件用单调性的定义证明函数f x 的单调性，然后利用单调性求解区间-3,3上的最大值.(3)根据函数f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1，a∈-1,1恒成立，说明f x 的最大值2小于右边，因此先将右边看作a的函数，解不等式组，即可得出m的取值范围．【解答过程】(1)f x 为奇函数，证明如下：令x=y=0，则f0+0=2f0 ，所以f0 =0，令y=-x，则f x-x=f x +f-x=f0 =0，所以：f-x=-f x 对任意x∈R恒成立，所以函数f x 为奇函数.(2)f x 在R上是减函数，证明如下：任取x1,x2∈R且x1<x2，则x2-x1>0f x2-f x1=f x2+f-x1=f x2-x1<0，所以f x2<f x1，所以f x 在R上为减函数.当x∈-3,3时，f x 单调递减，所以当x=-3时，f x 有最大值为f-3，因为f3 =f2 +f1 =3f1 =-2×3=-6，所以f-3=-f3 =6，故f x 在区间-3,3上的最大值为6.(3)由(2)知f x 在区间-1,1上单调递减，所以f x ≤f-1=-f1 =2，因为f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1，a∈-1,1恒成立，即m2-2am>0对任意a∈-1,1恒成立，令g a =-2am+m2，则g-1>0g1 >0，即2m+m2>0-2m+m2>0，解得：m>2或m<-2.故m的取值范围为-∞,-2∪2,+∞.【题型8函数性质的综合应用】1(2023上·河北石家庄·高一校考阶段练习)已知函数f(x)=a x，g(x)=b⋅a-x+x，a>0且a≠1，若f(1)+g(1)=52，f(1)-g(1)=32，设h(x)=f(x)+g(x)，x∈[-4,4]．(1)求函数h(x)的解析式并判断其奇偶性；(2)判断函数h(x)的单调性(不需证明)，并求不等式h(2x+1)+h(2x-1)≥0的解集．【解题思路】(1)由f(1)+g(1)=52、f(1)-g(1)=32代入可解出a、b，得到h(x)，再计算h(x)与h(-x)的关系即可得到奇偶性；(2)分别判断h(x)中每一部分的单调性可得h(x)的单调性，结合函数的单调性与奇偶性解决该不等式即可得.【解答过程】(1)由f(1)+g(1)=52，f(1)-g(1)=32，即有a+ba+1=52a-ba-1=32，解得a=2b=-1，即f(x)=2x，g(x)=-2-x+x，则h(x)=2x-2-x+x，其定义域为R，h (-x )=2-x -2x -x =-2x -2-x +x =-h (x )，故h (x )为奇函数.(2)h (x )=2x -2-x +x ，由2x 在R 上单调递增，-2-x 在R 上单调递增，x 在R 上单调递增，故h (x )在R 上单调递增，由h (2x +1)+h (2x -1)≥0，且h (x )为奇函数，即有h (2x +1)≥-h (2x -1)=h 1-2x ，即有2x +1≥1-2x ，解得x ≥0，故该不等式的解集为x x ≥0 .【变式训练】1(2023上·上海·高一校考期中)已知定义在全体实数上的函数f x 满足：①f x 是偶函数；②f x 不是常值函数；③对于任何实数x 、y ，都有f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y ．(1)求f 1 和f 0 的值；(2)证明：对于任何实数x ，都有f x +4 =f x ；(3)若f x 还满足对0<x <1有f x >0，求f 13+f 23 +⋯+f 20263 的值．【解题思路】(1)取x =1，y =0代入计算得到f 1 =0，取y =0得到f x =f x f 0 ，得到答案.(2)取y =1，结合函数为偶函数得到f x +2 =-f x ，变换得到f x +4 =f x ，得到证明.(3)根据函数的周期性和奇偶性计算f 13 +f 23 +⋯+f 123 =0，取x =y =13和取x =13，y =-13得到f 13 =32，根据周期性得到f 13 +f 23 +⋯+f 20263=-f 13 -1，计算得到答案.【解答过程】(1)f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y取x =1，y =0得到f 1 =f 1 f 0 -f 0 f 1 =0，即f 1 =0；取y =0得到f x =f x f 0 -f 1-x f 1 =f x f 0 ，f x 不是常值函数，故f 0 =1；(2)f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y ，取y =1得到f x +1 =f x f 1 -f 1-x f 0 =-f 1-x ，f x 是偶函数，故f x +1 =-f x -1 ，即f x +2 =-f x ，f x +4 =-f x +2 =f x .(3)f x +2 +f x =0，f x 为偶函数，取x =-13，则f 53 +f -13 =0，即f 53 +f 13 =0；取x =-23，则f 43 +f -23 =0，即f 43 +f 23=0；故f 73+f 83 +f 103 +f 113 =-f 13 -f 23 -f 43 -f 53 =0，f 2 =-f 0 =-1，f 3 =f -1 =f 1 =0，f 4 =f 0 =1，故f 13+f 23 +⋯+f 123 =0，取x =y =13得到f 23 =f 213 -f 223，取x =13，y =-13得到f 0 =f 213 -f 23 f 43 =f 213 +f 223=1，f 13 >0，f 23 >0，解得f 13 =32，f 13+f 23 +⋯+f 20263 =-f 113 -f 123 =-f 13 -1=-32-1.2(2023下·山西运城·高二统考期末)已知f x =e x -1+e 1-x +x 2-2x +a ，(1)证明：f x 关于x =1对称；(2)若f x 的最小值为3(i )求a ；(ii )不等式f m e x +e -x +1 >f e x -e -x 恒成立，求m 的取值范围【解题思路】(1)代入验证f (x )=f (2-x )即可求解，(2)利用单调性的定义证明函数的单调性，即可结合对称性求解a =2，分离参数，将恒成立问题转化为m >e x -e -x -1e x +e -xmax ，构造函数F (x )=e x -e -x -1e x +e-x ，结合不等式的性质即可求解最值.【解答过程】(1)证明：因为f x =e x -1+e 1-x +x 2-2x +a ，所以f (2-x )=e 2-x -1+e1-(2-x )+(2-x )2-2(2-x )+a =e 1-x +e x -1+x 2-2x +a ，所以f (x )=f (2-x )，所以f (x )关于x =1对称.(2)(ⅰ)任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2f x 1 -f x 2 =e x 1-1+e1-x 1+x 21-2x 1-ex 2-1+e1-x 2+x 22-2x 2=e x 1-1-ex 2-1+e1-x 1-e1-x 2+x 21-x 22 -2x 1-x 2=(ex 1-1-ex 2-1)(e x 1-1e x 2-1-1)ex 1-1ex 2-1+(x 1-x 2)(x 1+x 2-2)∵1<x 1<x 2，∴0<x 1-1<x 2-1,∴e x 1-1>1,ex 2-1>1,ex 1-1-ex 2-1<0,ex 1-1e x 2-1-1>0，x 1-x 2<0,x 1+x 2-2>0,∴f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在1,+∞ 上单调递增，又f (x )关于x =1对称，则在-∞,1 上单调递减.所以f (x )min =f (1)=1+a =3，所以a =2.(单调性也可以用单调性的性质、复合函数的单调性判断、导数证明)(ⅱ)不等式f (m (e x +e -x )+1)>f (e x -e -x )恒成立等价于(m (e x +e -x )+1)-1 >e x -e -x -1 恒成立， 即m >ex-e -x -1 e x +e -x =e x -e -x -1e x +e -x恒成立，即m >e x -e -x -1e x +e -xmax令F (x )=e x -e -x -1e x +e -x ，则F (x )=e 2x -e x -1e 2x +1=1-e x +2e 2x +1，令e x +2=n ,n ∈2,+∞ ，则e x =n -2则g n =1-n n 2-4n +5=1-1n -4+5n，因为n ∈2,+∞ ,n -4+5n ≥25-4，n =5取等号，则g n ∈-52,1，所以g n ∈0,52，所以m >52,即m ∈-∞,-52 ∪52,+∞ .3(2023下·广东·高一统考期末)已知函数y =φx 的图象关于点P a ,b 成中心对称图形的充要条件是φa +x +φa -x =2b ．给定函数f x =x -6x +1及其图象的对称中心为-1,c ．(1)求c 的值；(2)判断f x 在区间0,+∞ 上的单调性并用定义法证明；(3)已知函数g x 的图象关于点1,1 对称，且当x ∈0,1 时，g x =x 2-mx +m ．若对任意x 1∈0,2 ，总存在x 2∈1,5 ，使得g x 1 =f x 2 ，求实数m 的取值范围．【解题思路】(1)根据函数的对称性得到关于c 的方程，解出即可求出函数的对称中心；(2)利用函数单调性的定义即可判断函数f (x )单增,(3)问题转化为g (x )在[0,2]上的值域A ⊆[-2,4]，通过讨论m 的范围，得到关于m 的不等式组，解出即可．【解答过程】(1)由于f (x )的图象的对称中心为-1,c ，则f (-1+x )+f (-1-x )=2c ，即(x -1)-6x -1+1+(-x -1)-6-x -1+1=2c ，整理得-2=2c ，解得：c =-1，故f (x )的对称中心为(-1,-1)；(2)函数f (x )在(0,+∞)递增；设0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =x 1-6x 1+1-x 2+6x 2+1=x 1-x 2 +6x 1-x 2 x 2+1 x 1+1=x 1-x 2 1+6x 2+1 x 1+1，由于0<x 1<x 2，所以x 1-x 2<0, 6x 2+1 x 1+1>0，所以f x 1 -f x 2 <0⇒f x 1 <f x 2 ，故函数f (x )在(0,+∞)递增；。
函数的极限与连续性的综合应用
函数的极限与连续性的综合应用函数的极限与连续性是微积分学中的重要概念，它们在解决各类实际问题中有着广泛的应用。
本文将从几个方面介绍函数的极限与连续性的综合应用，涵盖数理经济学、物理学和工程学等领域。
1. 函数的极限与最优化问题在数理经济学中，函数的极限与连续性经常用于解决最优化问题。
例如，假设有一个生产函数表示某种商品的生产成本和产量之间的关系。
通过求解生产函数的极限，可以确定生产成本在何时达到最小值，从而实现成本最小化的目标。
2. 函数的极限与物理学问题在物理学中，函数的极限与连续性也有广泛的应用。
例如，考虑一个速度随时间变化的物体。
通过求解速度函数的极限，可以确定物体在何时达到最大速度或最大加速度，从而帮助研究物体的运动状态。
3. 函数的连续性与工程问题在工程学中，函数的连续性是设计和优化工程系统的重要条件。
例如，在建筑结构设计中，通过考虑结构受力点的连续性，可以确保结构的稳定性和安全性。
在电路设计中，连续性条件可以保证电流的平稳传输，避免出现电路中断或电压过高的问题。
4. 函数的极限与连续性与数据分析在数据分析领域，函数的极限与连续性可以帮助研究样本数据的趋势和规律。
例如，通过对某种物质在不同温度下的溶解度进行实验，并建立溶解度随温度变化的函数模型，可以通过对函数的极限和连续性的分析，预测该物质在其他温度下的溶解度。
综上所述，函数的极限与连续性在实际问题的求解中起到了重要的作用。
无论是在数理经济学、物理学、工程学还是数据分析等领域，运用函数的极限与连续性的原理和方法，可以更好地理解和解决各类问题。
因此，深入学习和理解函数的极限与连续性是提高解决实际问题能力的关键一步。
函数性质的综合应用
函数性质的综合应用教学目标：1、熟练把握函数奇偶性、单调性和最值的概念与运用；2、会利用函数的单调性、奇偶性解决一些简单的综合性问题。
教学重点：函数单调性、奇偶性，函数最值问题的综合讨论。
教学难点：综合问题的思路分析与运用，解题策略的确信。
教学进程：一、函数的奇偶性、单调性、最值概念回忆1、奇偶性一样地，若是关于函数()y f x =的概念域D 内的任意实数x ，都有()()f x f x -=，那么就把函数()y f x =叫做偶函数；一样地，若是关于函数()y f x =的概念域D 内的任意实数x ，都有()()f x f x -=-，那么就把函数()y f x =叫做奇函数。
【注】概念域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要条件。
2、单调性一样地，关于给定区间I 上的函数()y f x =：若是关于属于那个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()y f x =在那个区间上是单调增函数，简称增函数。
若是关于属于那个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()y f x =在那个区间上是单调减函数，简称减函数。
3、最值一样地，设函数()f x 在0x 处的函数值0()f x 。
若是关于概念域内的任意一个x ，不等式0()()f x f x ≥都成立，那么0()f x 叫做函数()f x 的最小值，记作min 0()y f x =；若是关于概念域内的任意一个x ，不等式0()()f x f x ≤都成立，那么0()f x 叫做函数()f x 的最大值，记作max 0()y f x =。
二、经典例题例1、（1）已知奇函数()y f x =的概念域为R ，当0x >时，()21f x x =+，求函数()y f x =在R 上的表达式。
第二章函数导数及其应用(24指数函数)
函数、导数及其应用第四节指数函数【高考目标定位】一、考纲点击1．了解指数函数模型的实际背景；2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；4．知道指数函数是一类重要的函数模型。
二、热点、难点提示1．指数函数在高中数学中占有十分重要的地位，是高考重点考查的对象，热点是指数函数的图象与性质的综合应用．同时考查分类讨论思想和数形结合思想；2．幂的运算是解决与指数有关问题的基础,常与指数函数交汇命题。
【考纲知识梳理】1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①(0)(0)a n aa a n a a ⎧⎪=≥⎧⎨=⎨⎪-<⎩⎩为奇数为偶数；②()n a a =注意。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正整数指数幂:()nn a a aa n N *=∈个;②零指数幂:01(0)a a =≠; ③负整数指数幂:1(0,);p p a a p N a-*=≠∈ ④正分数指数幂:0,,1)mnaa m n N n *=>∈>、且;⑤负分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质注：如图所示，是指数函数（1）y=a x,（2）y=b x,（3）,y=c x（4）,y=d x的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。
函数的性质综合应用
②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数
③一个奇函数，一个偶函数和积函数是奇函数 4、若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0
5、奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称
（三）奇偶性式子的变形 f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) 0 f ( x) 1( f ( x) 0) f ( x)
5、f ( x) a x a x (a 0, 且a 1)在定义域上是奇函数 6、f ( x y ) f ( x) f ( y )(a 0, 且a 1)在定义域上是奇函数
周期性
（1）定义 设函数y f ( x), x D如果存在非零常数T ,使得对任何x D都有f ( x T ) f ( x)， 则称函数y f ( x)为周期函数 T 为的一个周期，所有周期中最小的正数，称为最小正周期，简称周期。
变式：设函数f ( x)对任意实数满足f (2 x) f (2 x)，f (7 x) f (7－x)且f (0) 0, 判断函数f ( x)图象在区间上 －30， 30 与x轴至少有多少个交点.
解：由题设知函数f ( x)图象关于直线x 2和x 7对称，又由函数的性质得 是以10为周期的函数.在一个周期区间 0， 10 内 f (0) 0, f (4) f (2 2) f (2 2) f (0) 0且f ( x)不能恒为零, 故图象与x轴至少有2个交点 而区间 30,30 上有6个周期，故在闭区间－30， 30 上f ( x)图象与x轴至少有13个交点.
C. f ( x) x cos x D . f ( x) x( x
例3．已知函数f ( x)
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函数的综合应用
函数的综合应用一．函数综合问题1．函数内容本身的相互综合，包括概念、性质、图象及几种基本初等函数的综合问题 2．函数与方程、不等式的综合问题 3．函数与数列、三角的综合问题 4．函数与几何的综合问题5．函数在实际应用（上一节）的综合问题二、举例剖析 函数的性质综合例1．已知奇函数)(x f 满足)18(log ,2)(,)1,0(),()2(21f x f x x f x f x则时且=∈-=+的值为 。
解：())4()2()()2(+=+-=∴-=+x f x f x f x f x f892)89(log )89log ()98(log )18log 4()18log ()18(log 89log 22222212-=-=-=-==-=-=f f f f f f例2．已知定义在R 上的函数 满足： （1）求证： ,且当x<0时,（2）求证在R 上是减函数函数与几何例3．若f （x ）是R 上的减函数，且f （x ）的图象经过点)3,0(A 和)1,3(-B ，则不等式21)1(<-+x f 的解集 （-1，2） 。
函数与方程、不等式函数与数列例4．设函数)(1log 2*∈=N n xy n（1）n=1,2,3……时,把已知函数的图象和直线y=1的交点横坐标依次记为a 1,a 2,a 3,…a n , …，求证：a 1+a 2+a 3+a n <1;（2）对于每一个n 值,设A n ,B n 为已知函数图象上与x 轴距离为1的两点,求证:n 取任意一个正整数时,以A n B n 为直径的圆都与一条定直线相切,求出这条定直线和切点坐标.)(x f ,1)(0,0),()()(<<>•=+x f x n f m f n m f 时且)(x f )(x f解：(1)原函数化为n n n a a x x n y y x n y 21,)21(,log 11,log 12==⎪⎩⎪⎨⎧-==-=即得则1211211)211(21321<-=--=++++∴n n an a a a (2) 以A n,B n 为曲线上的点且与x 轴距离为1,则n n n n n n n n n n B A B A 2122)22(),1,2(),1,2(22+=+-=---,又A n,B n 的中点C 到y 轴的距离为n n n n B A 21222=+-,所以,以C 为圆心,以n n B A 为直线的圆与y 轴相切,故定直线为x=0,且切点为(0,0). 三.小结1．函数的概念、性质及几种基本初等函数的综合问题。
函数性质的综合应用
C. f (11)＜ f (21)＜ f (12)
D. f (21)＜ f (11)＜ f (12)
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∵函数 f ( x )的图象关于点(－2，0)对称，
∴ f ( x －4)＝－ f (－ x ).
又 f ( x )为定义在R上的奇函数，∴－ f (－ x )＝ f ( x )，
所以 f ( x ＋4)＝－ f ( x ＋2)＝ f ( x )，
因为 f (－ x )＋ f ( x )＝0，所以 f (－(2＋ x ))＋ f (2＋ x )＝0，
即 f (2＋ x )＝－ f (－2－ x )＝－ f (2－ x )，即 f (2＋ x )＋ f (2－ x )＝0，故函
D. f (2－ x )＝ f ( x －1)
BC )
对于A选项，因为 f (－ x )＋ f ( x )＝0，
且 f (1－ x )＝ f (1＋ x )，
所以 f (1－(1＋ x ))＝ f (1＋(1＋ x ))，
即 f ( x ＋2)＝－ f ( x )，A错；
对于B选项，因为 f ( x ＋2)＝－ f ( x )，
∵ f ( x )在(－∞，0)上单调递减，
∴ f ( x )在(0，＋∞)上单调递增，则 f ( c )＜ f ( a )＜ f ( b ).
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2. 定义在R上的奇函数 f ( x )，其图象关于点(－2，0)对称，且 f ( x )在[0，2)
上单调递增，则(
EXCEL常用函数简单运用举例及七个综合应用实例
EXCEL常用函数简单运用举例及七个综合应用实例Excel是一种广泛使用的电子表格软件，它提供了丰富的函数用于数据处理和分析。
本文将为您介绍一些常用的Excel函数，并提供七个综合应用实例，帮助您更好地了解和运用这些函数。
一、常用的Excel函数举例：1.SUM函数：用于求和。
例如，SUM(A1:A10)将计算A1到A10单元格中的数值总和。
2.AVERAGE函数：用于求平均值。
例如，AVERAGE(A1:A10)将计算A1到A10单元格中数值的平均值。
3.MAX函数：用于求最大值。
例如，MAX(A1:A10)将返回A1到A10单元格中的最大值。
4.MIN函数：用于求最小值。
例如，MIN(A1:A10)将返回A1到A10单元格中的最小值。
5.COUNT函数：用于计数。
例如，COUNT(A1:A10)将返回A1到A10单元格中非空值的个数。
6.IF函数：用于条件判断。
例如，IF(A1>10,"大于10","小于等于10")将根据A1单元格的值返回不同的结果。
7.VLOOKUP函数：用于垂直查找。
例如，VLOOKUP(A1,B1:C10,2,FALSE)将在B1到C10范围内查找A1的值，并返回与之关联的第2列的值。
8.CONCATENATE函数：用于合并文本。
例如，CONCATENATE(A1,"",B1)将合并A1和B1单元格的内容，并在它们之间添加一个空格。
9.LEFT函数：用于提取左侧字符。
例如，LEFT(A1,3)将返回A1单元格中前三个字符。
10.RIGHT函数：用于提取右侧字符。
例如，RIGHT(A1,3)将返回A1单元格中最后三个字符。
二、综合应用实例：1.数据筛选和汇总：使用FILTER函数和SUM函数将符合条件的数据筛选出来，并求和。
2.数据排序：使用SORT函数将数据按照指定的条件进行排序。
3.数据透视表：使用PIVOTTABLE功能创建数据透视表，用于对大量数据进行汇总和分析。
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案一、教学目标1. 让学生理解函数的单调性和奇偶性的概念。
2. 让学生掌握判断函数单调性和奇偶性的方法。
3. 培养学生运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 函数的单调性：单调递增函数、单调递减函数。
2. 函数的奇偶性：奇函数、偶函数。
3. 函数的单调性和奇偶性的判断方法。
4. 函数的单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的单调性和奇偶性的概念及判断方法。
2. 教学难点：运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解函数的单调性和奇偶性概念及判断方法。
2. 利用案例分析法引导学生运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题。
3. 开展小组讨论法，让学生互相交流心得，提高解题能力。
五、教学过程1. 引入新课：通过生活中的实例，如商品打折、气温变化等，引导学生思考函数的单调性和奇偶性。
2. 讲解概念：讲解函数的单调性和奇偶性的定义，并通过图象进行演示。
3. 判断方法：教授判断函数单调性和奇偶性的方法，并进行练习。
4. 应用实例：分析实际问题，如物体的运动、经济的增长等，运用函数的单调性和奇偶性进行解答。
5. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调函数的单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数单调性和奇偶性概念的理解程度。
2. 练习题解答：检查学生判断函数单调性和奇偶性的方法掌握情况。
3. 课后作业：分析学生完成作业的情况，了解学生对课堂所学知识的掌握程度。
七、教学反思1. 针对课堂教学过程，反思教学方法是否适合学生的学习需求。
2. 针对学生的反馈，调整教学策略，提高教学效果。
3. 探索更多实际问题，丰富教学案例，激发学生的学习兴趣。
八、拓展与延伸1. 探讨函数的单调性和奇偶性在高等数学中的应用。
2. 引导学生关注函数的单调性和奇偶性在其他领域的应用，如物理、化学等。
函数的综合应用
函数的综合应用在数学中，函数是连接自变量和因变量的一种关系。
它在数学和其他领域中有着广泛的应用。
本文将探讨函数的综合应用，包括优化问题、模型建立以及实际应用。
一、函数的优化问题函数的优化是指找到函数取得最大值或最小值的过程。
这在很多实际问题中是非常有用的。
例如，假设我们要将一块矩形土地分为两个相等的部分，以便最大限度地减少围墙的长度。
我们可以使用函数来建模这个问题。
首先，我们需要定义一个函数来表示围墙的长度。
假设土地的长度为L，宽度为W，则围墙的长度为2L + 2W。
我们可以定义函数f(x) =2x + 2(L - x)，其中x表示土地的一部分的长度。
通过对函数进行求导，我们可以找到函数的最小值点，即土地长度的一半。
这意味着，我们应该将土地平均分成长度为L/2的两部分，以最小化围墙的长度。
二、函数模型的建立函数的建模是将实际问题转化为数学表达式或方程组的过程。
通过建立模型，我们可以更好地理解问题，并找到解决方案。
例如，假设我们要建立一个模型来优化电子产品的价格和销量之间的关系。
首先，我们需要确定价格和销量之间的函数关系。
假设P表示产品的价格，Q表示销量，则P和Q之间存在一种负相关的关系。
我们可以假设这个关系为P = f(Q)，其中f(Q)是一个关于销量的函数。
通过数据分析和拟合曲线，我们可以找到使得P最大化或最小化的函数关系。
三、函数的实际应用函数的实际应用非常广泛，可以涵盖各个领域。
例如，在物理学中，我们可以使用函数来描述物体的运动轨迹；在经济学中，我们可以使用函数来分析产量与成本之间的关系；在生物学中，我们可以使用函数来研究生物体的生长模式等。
总结函数的综合应用在数学和其他领域中都有着重要的地位。
通过函数的优化问题、模型的建立以及实际应用，我们可以更好地理解和解决实际问题。
无论是求函数的最值，还是建立数学模型，函数的应用都可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
因此，对于函数的综合应用，我们应当持续学习和深入研究，以便更好地应用于实践中。
函数的综合应用
解析：－2a＋b＝0，∴b＝ 2a. ∵a＞0，b＝ 2a，∴b＞ a＞ 0， 故 C 不正确； ∵抛物线 y＝ax2＋ bx 开口向上，对称轴在 y 轴左侧，∴a ＞ 0，b＞ 0. ∴k＞ 0. ∴2a＋ k＞ 2a，即 2a＋k＞ b，故 A 不正确； 若 a＝b＋k，则 a＝2a＋k，k＝－a＜ 0，这与 k＞0 相矛盾， 故 B 不正确；
BD 1 解： (1)∵ tan∠ BOD＝ ＝ ，∴ OD＝2BD， OD 2 即 m＝－2n.∴点 B 的坐标为 (4，－ 2)． 8 反比例函数的解析式为 y2＝－ . x
(2)由图象可知当 x<4 时， y2<－2 或 y2>0.
14． (12 分 )(2013· 十堰 )如图，已知正比例函数 y＝2x 和反 比例函数的图象交于点 A(m，－2)． (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象， 直接写出正比例函数值大于反比例函数值时， 自变量 x 的取值范围； (3)若双曲线上的点 C(2， n) 沿 OA 方向平移 5个单位长度 得到点 B，判断四边形 OABC 的形状，并证明你的结论．
3．考查方向 (1)与三角形结合，涉及三角形面积、三角形相 似、等腰三角形和直角三角形的性质等知识的相关计 算问题； (2)与特殊平行四边形结合，涉及特殊平行四边形 的判定、某些线段长度的计算问题； (3)涉及动点的存在探究性问题．
温馨提示： 此类问题中常常涉及的数学思想有：数形结合思 想、分类讨论思想，解题时一定要根据具体题目有针 对性地分析，求解 .
C )
B． AD＝4
A．当 t＝4 秒时， S＝4 3, C．当 4≤ t≤ 8 时， S＝ 2 3t
D．当 t＝9 时，BP 平分梯形 ABCD 的面积
沈阳中考数学24题题型总结
沈阳中考数学24题题型总结一、题型总结概述沈阳中考数学24题为综合性应用题，主要考察学生的数学应用能力、逻辑思维能力以及解题能力。
本篇文章将对各类题型进行总结，分析解题思路和方法，为考生提供有益的参考。
二、题型分类及解题方法1. 一次函数问题解题思路：首先需要理解题意，明确已知条件和问题，将问题转化为数学模型。
在解题过程中，需要注意函数的定义域和值域，以及函数的性质。
解题方法：通过一次函数的性质，结合图形进行分析，找到解题的关键点。
2. 二次函数问题解题思路：二次函数是中考数学中的重要内容，需要掌握二次函数的性质和图像。
在解题过程中，需要注意函数的对称性、开口方向以及判别式等。
解题方法：通过二次函数的图像和性质，结合图形进行分析，找到解题的关键点。
同时，需要注意函数的取值范围和判别式，以确定解题的思路和方法。
3. 几何问题解题思路：几何问题是中考数学中的难点之一，需要学生具备较强的空间想象能力和逻辑思维能力。
在解题过程中，需要注意图形的性质和定理，结合图形进行分析。
解题方法：通过图形的性质和定理，结合图形进行分析，找到解题的关键点。
需要注意图形的角度、线段、面积等基本量，以及相关的定理和性质。
4. 方程问题解题思路：方程问题是中考数学中的基础内容，需要学生掌握方程的基本概念和求解方法。
在解题过程中，需要注意方程的解法和变形，以及方程的性质和特点。
解题方法：通过方程的变形和求解方法，结合图形进行分析，找到解题的关键点。
需要注意方程的根、解、方程组等基本概念，以及相关的求解方法和变形技巧。
三、解题技巧与注意事项1. 审题要仔细，理解题意，明确已知条件和问题。
2. 在解题过程中，需要注意函数的定义域和值域，以及图形的性质和定理。
3. 在几何问题中，需要具备较强的空间想象能力和逻辑思维能力，注意图形的角度、线段、面积等基本量。
4. 在方程问题中，需要掌握方程的基本概念和求解方法，注意方程的根、解、方程组等基本概念和求解方法。
4.函数的性质综合应用
2、组合函数的性质应用： 1 的图像大致 1函数f x ln x 1
lg x 的图像大致是 2 函数y x
3、单调、奇偶性、对称性的综合应用 例3、设f x 是R上的奇函数，当0 x 1时，f x x, 则f x _______ 2x , x0 练习 、设奇函数f x 1 , 则g 2 __ g x , x 0 1 1 2、设函数f x f x 并且f x 有三个零点，则 2 2 所有零点和=_______ 3、定义在R上的奇函数f x f x , 且x 0,2时，f x log 2 x 1 , 请研究函数在 8, 8的性质
4、函数性质的综合应用： 1 x 例已知2 256且 log 2 x , 求函数f x log 2 log 2 2 的最大和最小值
x 2
x 2
练习1、已知函数y=4x 32 x 3的值域为1, 7 ，试确 定x的范围
函数的基本性质
函数的性质的综合应用
1、函数性质的综合应用：单调性奇偶性的应用 例1、若函数f x k 1 a x a x a 0且a 1 在R上既 是奇函数，又是减函数，则g x log a x k 的图像是
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4x 1 例2、函数f x x 的图像 2 A关于原点对称B关于直线y=x对称C关于x轴对称D关于y轴对称 2 练习2、函数f x lg 1的图像 x 1 A关于原点对称B关于直线y=x对称C关于x轴对称D关于y轴对称
函数的性质综合应用
函数的性质综合应用(总7页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除一、选择题1．(2016·广西桂林中学高一期中上)下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是( )A．y＝log3x B．y＝3|x| C．y＝x D．y＝x3 2．(2016·荆州模拟)已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)＝3x－1，则f等于( )A.＋1B.－1C．－－1 D．－＋1 3．(2016·西安模拟)设f(x)是定义在实数集上的函数，且f(2－x)＝f(x)，若当x≥1时，f(x)＝ln x，则有( ) A．f<f(2)<f B．f<f(2)<f C．f<f<f(2) D．f(2)<f<f 4．已知函数f(x)＝log(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C. D. 5．(2016·威海模拟)函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f(2－x)>0的解集为( )A．{x|x>2或x<－2} B．{x|－2<x<2}C．{x|x<0或x>4} D．{x|0<x<4} 6．(2016·杭州高三联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x1＋x2<0且x1x2<0，则f(x1)＋f(x2)的值( )A．可能为0 B．恒大于0C．恒小于0 D．可正可负7．(2016·浙江诸暨中学交流卷一)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数f(x)＝被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，现有关于函数f(x)的如下四个命题：①f(f(x))＝0；②函数f(x)是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意的x∈R恒成立；④存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3D．48．关于函数图象的对称性与周期性，有下列说法：①若函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(3＋x)，则f(x)的一个周期T＝2；②若函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(3－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称；③函数y＝f(x＋1)与函数y＝f(3－x)的图象关于直线x＝2对称；④若函数y＝与函数f(x)的图象关于原点对称，则f(x)＝.其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3D．4二、填空题9．(2016·孝感模拟)已知y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，f(x)＝x2－2x，则当10≤x≤12时，f(x)＝________________.10．对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是________．(把正确的序号都填上)①f(x)＝|x＋2|；②f(x)＝x2；③f(x)＝sin x；④f(x)＝cos2x.11．(2016·北京大兴区高三4月统一练习)已知函数f(x)＝若在其定义域内存在n(n≥2，n∈N*)个不同的数x1，x2，…，x n，使得＝＝…＝，则n的最大值是________；若n＝2，则的最大值是________．12．(2016·武汉部分学校毕业生2月调研)已知函数f(x)＝a log2|x|＋1(a≠0)，定义函数F(x)＝给出下列命题：①F(x)＝|f(x)|；②函数F(x)是奇函数；③当a>0时，若x1x2<0，x1＋x2>0，则F(x1)＋F(x2)>0成立；④当a<0时，函数y＝F(x2－2x－3)存在最大值，不存在最小值．其中所有正确命题的序号是________．答案解析1．D 2.D3．C [由f(2－x)＝f(x)可知函数f(x)的图象关于x＝1对称，所以f＝f，f＝f，又当x≥1时，f(x)＝ln x，单调递增，所以f<f<f(2)，即f<f<f(2)．]4．D [令t＝g(x)＝x2－ax＋3a，易知f(t)＝log t在其定义域上单调递减，要使f(x)＝log(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则t＝g(x)＝x2－ax＋3a在[1，＋∞)上单调递增，且t＝g(x)＝x2－ax＋3a>0，即所以即－<a≤2.]5．C [由题意可知f(－x)＝f(x)，则(－x－2)(－ax＋b)＝(x－2)(ax＋b)，即(2a－b)x＝0恒成立，故2a－b＝0，即b＝2a.则f(x)＝a(x－2)(x＋2)．又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a>0.f(2－x)>0，即ax(x－4)>0，解得x<0或x>4.故选C.]6．C [由x1x2<0，不妨设x1<0，x2>0.∵x1＋x2<0，∴x1<－x2<0.由f(x)＋f(－x)＝0，知f(x)为奇函数，又由f(x)在(－∞，0)上单调递增，得f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，∴f(x1)＋f(x2)<0.故选C.]7．C [命题①，因为f(x)＝0或f(x)＝1，即f(x)∈Q，所以f(f(x))＝1，故①错误；命题②，因为x和－x要么同为有理数，要么同为无理数，所以f(－x)＝f(x)，故②正确；命题③，因为T为有理数，所以x＋T和x要么同为有理数，要么同为无理数，所以f(x＋T)＝f(x)，故③正确；命题④，取B，C两点在x轴上，A点在直线y＝1上，由两直线距离是1，可知BC边上的高为1，所以三角形的边长是，当A的横坐标为有理数x1时，B，C的横坐标分别为x1±，为无理数，所以④也成立．故选C.]8．C [在f(x＋1)＝f(3＋x)中，以x－1代换x，得f(x)＝f(2＋x)，所以①正确；设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是y＝f(x)上的两点，且x1＝x＋1，x2＝3－x，有＝2，由f(x1)＝f(x2)，得y1＝y2，即P，Q关于直线x＝2对称，所以②正确；函数y＝f(x＋1)的图象由y＝f(x)的图象向左平移1个单位得到，而y＝f(3－x)的图象由y＝f(x)的图象关于y轴对称得y＝f(－x)，再向右平移3个单位得到，即y＝f[－(x－3)]＝f(3－x)，于是y＝f(x＋1)与函数y＝f(3－x)的图象关于直线x＝＝1对称，所以③错误；设P(x，y)是函数f(x)图象上的任意一点，点P关于原点的对称点P′(－x，－y)必在y＝的图象上，有－y＝，即y＝，于是f(x)＝，所以④正确．]9．－x2＋22x－120解析∵f(x)在R上是周期为4的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．由f(x＋4)＝f(x)，可得f(x－12)＝f(x)．设－2≤x≤0，则0≤－x≤2，f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x，当10≤x≤12时，－2≤x－12≤0，f(x)＝f(x－12)＝－(x－12)2－2(x－12)＝－x2＋22x－120.10．①③④解析因为f(x)＝f(2a－x)(a≠0)，所以函数f(x)的对称轴为x＝a.所以准偶函数的定义等价于“若函数f(x)存在对称轴x＝a(a≠0)，则称f(x)为准偶函数”．因为函数f(x)＝|x＋2|的对称轴为x＝－2，所以f(x)＝|x＋2|是准偶函数；因为f(x)＝x2只有一条对称轴是x＝0，不满足准偶函数的定义，所以f(x)＝x2不是准偶函数；因为x＝是函数f(x)＝sin x 的一条对称轴，所以函数f(x)＝sin x是准偶函数；因为x ＝π是函数f(x)＝cos2x的一条对称轴，所以函数f(x)＝cos2x是准偶函数．综上，应填①③④.11．3 4－2解析画出函数f(x)＝的图象，如图，使得＝＝…＝的x1，x2，…，x n的个数就是直线y＝kx与y＝f(x)的图象的交点个数，由图知直线y＝kx与y＝f(x)的图象的交点个数最多有三个，所以n的最大值是3.当n＝2时，的最大值就是直线y＝kx与－x2＋4x－3(1≤x≤3)的图象相切时k的值，由判别式可得k＝4－2(k＝4＋2不合题意舍去)，即的最大值是4－2.12．②③解析①因为|f(x)|＝而F(x)＝这两个函数的定义域不同，不是同一个函数，即F(x)＝|f(x)|不成立，①错误．②当x>0时，F(x)＝f(x)＝a log2|x|＋1，－x<0，F(－x)＝－f(－x)＝－(a log2|－x|＋1)＝－(a log2|x|＋1)＝－F(x)；当x<0时，F(x)＝－f(x)＝－(a log2|x|＋1)，－x>0，F(－x)＝f(－x)＝a log2|－x|＋1＝a log2|x|＋1＝－F(x)，所以函数F(x)是奇函数，②正确．③当a>0时，F(x)＝f(x)＝a log2|x|＋1在(0，＋∞)上是单调增函数．若x1x2<0，x1＋x2>0，不妨设x1>0，则x2<0，x1>－x2>0，所以F(x1)>F(－x2)>0，又因为函数F(x)是奇函数，－F(x2)＝F(－x2)，所以F(x1)＋F(x2)>0，③正确．④函数y＝F(x2－2x－3)＝当x>3或x<－1时，因为a<0，所以y＝F(x2－2x－3)既没有最大值，也没有最小值．10。
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第二章函数
四函数的综合应用
【考点阐述】 函数的综合应用 【考试要求】
应用函数知识思想解决一些简单的实际问题。
【考题分类】 (一)选择题(共 5题)
1.(江西卷理12文12).已知函数f(x) 2mx 2 2(4 m)x 1 , g(x) mx ，若对于任 实数x , f (x)与g (x)至少有一个为正数，则实数 m 的取值范围是
A .
(0,2) B . (0,8) C . (2,8) D . (
,0)
解：当m 0时，显然不成立 当m 0时，因f(0)
1 0当—0即0 m 4时结论显然成立；
2a 2
b 4 m
2
当
0时只要 4(4 m) 8m 4(m 8)(m 2)
0即可
2a 2
即4 m 8，则0 m 8，选B
2.(全国I 卷理2文2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这 一过程中汽车的行驶路程 S 看作时间t 的函数，其图像可能是(
)
解：
A
.根据汽车加速行驶
1 2 s at ,匀速行驶 s vt ,减速行驶 s
丄at 2结
2
2
合函数图像可知；
3.(山东卷理3文3)函数
n
y = Incosx(- < x v )的图象是
2 2
(B)(O(D>
B 、D ，由 COSX 1 InCOSX 0 排除 C,选 A.
实数解的个数为2个。
1
2. （上海卷理11）方程x 2+{2x - 1 = 0的解可视为函数 y = x+羽的图像与函数y = -的图像交
X 点的横坐标，若 x 4+ax — 4= 0的各个实根 冷，x 2,…，x k （k w 4）所对应的点（x i
,®）
（i = X i
1,2,…，k ）均在直线y = x 的同侧，则实数 a 的取值范围是 【答案】（，6）U （6,）
【解析】方程的根显然 x 0，原方程等价于x 3 a 4，原方程的实根是曲线 y x 3 a
x
与曲线y -的交点的横坐标；而曲线 y x 3 a 是由曲线y x 3向上或向下平移|a|个单 X 位而得到的。
若交点（X i ,-
） （i = 1,2,…，k ）均在直线y = X 的同侧，因直线y = x 与y 4 x i
y x
交点为：（2, 2）,（2,2）;所以结合图象可得:
4. （陕 西卷理 11)定
义在R 上的函数f （x ）
满足 f(x y) f(x) f(y) 2xy (X ,y R ),
f(1) 2 ,
则f （ 3）等于（
)
A .2
B . 3
C . 6
D . 9
解: 令X
y 0 f(0) 0 ,令 x y 1 f(2) 2f(1 )2
6 ;
令X
2,y 1
f(3)
f (2)
f(1) 4
12，再令x 3,y
3 得
0 f(3 3) > f(3) f ( 3) 18 f ( 3) 18
f(3)
6
5. （陕 西卷文 11 )定 义在R 上的函数f （x ）
满足 f(x
y)
f(x)
f(y) 2xy
(X ,y R ),
f(1) 2 ,
则f （ 2）等于（
)
A .2
B . 3
C . 6
D . 9
解: 令X
y 0 f(0) 0 ,令 x y 1 f(2) 2f(1 )2 6 ；
令X
2,y
2得0 f(2 2) f ⑵
f( 2)
8
f( 2)
8 f(2)
8 6
2
（二）填空题（共
3题)
解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。
y ln cos x(
x -）是偶函数，可排除
2
1.（湖北卷文13） 方程2 x 3的实数解的个数为
解：画出y
2 _
3 x 的图象有两个交点，故方程2 x
x 2
a 0 a 0
x 3 a 2或 x 3
a 2 a (
,6)U(6,)
x 2
x 2
而t 1时满足题意• (三)解答题(共 3题)
试讨论函数F (x)的单调性.
坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C 。
(1)
求实数b 的取值范围；
(2) 求圆C 的方程；问圆C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)？请证明你的结论
3.(浙江卷理15)已知t 为常数, 函数
x 2
2x t 在区间［0, 3］上的最大值为2,则
t=
解析：本小题主要考查二次函数问题。
对称轴为 1,下方图像翻到x 轴上方.由区间［0, 3］
上的最大值为2，知y max f (3)
2,解得t
1或5,检验t 5时，f(0)
5 2不符,
1.(广东卷理19)设k R ，函数f (x)
T~
.门，x > 1
1
，F(x) f(x)
kx ，
【解析】 F(x) f(x)
kx
x 1, F '(x) 1
(1 x)2
1
k, x 1, 对于
1
F(x) C
kx(x 1)，
对于 kx,
x 1,
k,
x 1,
k 0时, k 0时, F(x)
0时, 0时, 函数 函数 函数 函数 2.(江苏卷 F(x)在( F(x)在(
-k(x 1
F(x)在 F(x)在
,1)上是增函数;
,1 1),
1, 1,1 -=)上是减函数，在
上是减函数;
1
4k 2
上是减函数，在 (1
,1)上是增函数;
1 2
,
4k
上是增函数。
18设平面直角坐标系 xoy 中,
设二次函数 f (x) x 2 2x b(x R)的图象与
解：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法.
(I)令x = 0，得抛物线与y轴交点是(0, b);
2
令f x x 2x b 0，由题意b丰0且厶＞0,解得b v 1且b*0.
(n)设所求圆的一般方程为x2 y2 Dx Ey F 0
2 2
令y = 0得x Dx F 0这与x 2x b = 0是同一个方程，故D= 2, F= b .
令x = 0得y2 Ey = 0,此方程有一个根为b,代入得出E = —b—1.
所以圆C的方程为x2 y2 2x (b 1)y b 0.
(川)圆C必过定点，证明如下：
假设圆C过定点(x°, y°)(X0, y°不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x o y o 2X0 y0 b(1 y°) 0 (*)
为使(*)式对所有满足b 1(b 0)的b都成立，必须有1 y0 0 ,
结合(*)式得
2 2
x0 _ x0 —2,
x°y 2x0 y 0，解得或
y。
1, y。
1,
经检验知，点(0,1),( 2,0)均在圆C上，因此圆C过定点。
3.(上海春卷19已知函数f (x) log2 2x 1 .
(1)求证：函数f (x)在(，)内单调递增；
(2)记f tx)为函数f(X)的反函数•若关于
解，求m的取值范围
［证明］
(1)
任取x1X2 ,则
f (xj f(X2)lo
g 2X1
2 21
lo
g
2X2
2 2
Q 为X2, 0 2X1 1 2X2 1, 2^ 1 2 x1 1
0 1, log 2 X o 1 0 ,
2 1 2 2
2人1
1也厂,
x的方程f tx) m f (x)在［1, 2］上有
f (xj f(X2)，即函数f (x)在( )内单调递增•……6分
［解］(2)
Q
f 1(x) log2 2X 1 (x 0),
［解法-一
］
m f 1(x) f (x)
log 2 2X 1 x
log2 2 1
log 2X 1
1 log
2 1
2
22X2x 1 ，
当1 X 2时,2 2 2 1 1
3 5 2x 1 3'
m的取值范围是log2 1
3 '
log2
3
5
［解法〔二］解方
程
log 2 2x 1 m log 2 2x
x log2 2m1 1 2m
Q 1 X 2, 1 log2 2m 1
2 , 1 2 m
解得l0g2 1
3
m 3 log2 5
m的取值范围是log2 1
3 ' log2 3
……11分
2 3
2X 1 5
.. 14分
1 ,得
……11分
14分。