第7讲 函数自变量的取值范围问题

第7讲：函数自变量的取值范围问题

二、方法剖析与提炼

例1．在下列函数关系式中，自变量x 的取值范围分别是什么？

⑴23-=x y ； ⑵121-=x y ； ⑶43-=x y ； ⑷x

x y 32+=； ⑸0)3(-=x y 【解答】⑴x 的取值范围为任意实数；

⑵分母012≠-x ∴21≠x ∴x 的取值范围为2

1≠x ； ⑶043≥-x ∴34≥x ∴x 的取值范围为3

4≥x ； ⑷⎩⎨⎧≠≥+0

302x x ∴2-≥x 且0≠x ∴x 的取值范围为：2-≥x 且0≠x ⑸x -3≠0 ∴x ≠3，x 的取值范围为x ≠3．

【解析】⑴为整式形式：函数关系式是一个含有自变量的整式时，自变量的取值范围是全体实数．

⑵分式型：当函数关系式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数． ⑶偶次根式：当函数关系式是偶次根式时，自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数．含算术平方根：被开方数043≥-x ．

⑷复合型：当函数关系式中，自变量同时含在分式、二次根式中时，函数自变量的取值范围是它们的公共解，即建立不等式组，取它们的公共解．

⑸0指数型：当函数关系式中，自变量同时含在0指数下的底数中时，自变量取值范围是使底数为非零的实数．即底数x -3≠0 ．

【解法】解这类题目，首先搞清楚函数式属于“整式型”、“分式型”、“偶次根式”、“0指数型”、“复合型”当中哪一个类型，自变量的取值必须使含有自变量的代数式有意义即可．

【解释】这种解题策略可以推广到其他问题，如： 求31+x 中x 的取值范围．

解：右边的代数式属于奇次根式型，自变量的取值范围是全体实数．

例2．某学校在2300元的限额内，租用汽车接送234名学生和6名教师集体外

设租用甲种车x 辆，租车费用为y 元，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．

【解答】⑴由题设条件可知共需租车6辆，租用甲种车x 辆，则租用乙种车辆（6－x ）辆．

y =400x +280（6-x ）=120x +1680

∴y 与x 的函数关系式为：y =120x +1680

⑵∵⎩⎨⎧≤+≥-+23001680120240)6(3045x x x ， ∴⎩

⎨⎧≤≥54x x ， ∴自变量x 的取值范围是：4≤x ≤5

【解析】（1）租车费用y =甲种车辆总费用+乙种车辆总费用．（2）函数关系式同时也表示实际问题时，自变量的取值范围要同时使实际问题有意义．自变量x 需满足以下两个条件： 一是，甲、乙两车的座位总数≥师生总数240名；二是，费用≤2300元，还要考虑到实际背景下的x 为整数．

【解法】关注问题中所有的限制条件，多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围．

【解释】做此题前首先要先从乘车人数的角度考虑应总共租多少辆汽车．因为题目已知总共6名教师，而且要求每辆车上至少有一名教师．所以，最多租用6辆车．同时，也不能少于6辆车否则座位数少于师生总数，不能接送所有的师生．由此可知共租用6辆车子．

例3．一个正方形的边长为5cm ，它的边长减少x cm 后得到的新正方形的周长为y cm ，写了y 与x 的关系式，并指出自变量的取值范围．

【解答】解：由题意得，y 与x 的函数关系式为y =4（5-x ）=20-4x ；

自变量x 应满足⎩⎨⎧≥>-0

05x x 解得0≤x ＜5，所以自变量的取值范围是0≤x ＜5．

【解析】正方形的周长=边长×4，即y =4（5-x ）；自变量的范围同时满足两个条件：一是，正方形的边长是正数；二是，边长减少的x 应取非负数．

图1

【解法】关注问题中所有的限制条件，多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围．

【解释】函数关系式表示实际问题时，自变量的取值范围要同时使实际问题有意义．

例4．若等腰三角形的周长为20cm ，请写出底边长y 与腰长x 的函数关系式，并求自变量x 的取值范围．

【解答】y =20-2x

∵⎪⎩⎪⎨⎧>+>≥y x x y x 00，∴⎪⎩⎪⎨⎧->>-≥x x x x 220202200，∴⎪⎩

⎪⎨⎧><≥5100x x x ，∴自变量x 的取值范围是5＜x ＜10． 【解析】自变量的范围同时满足两个条件：一是，x 表示等腰三角形腰长，要求x ≥0；二是，等腰三角形底边长y ＞0；三是，三角形中“两边之和大于第三边”，即2x ＞y ．最后综合自变量x 的取值范围．

【解法】自变量x 的取值要满足多个条件，根据条件列出不等式得到不同情况和答案，之后取交集．

【解释】别忘记解答的最后要写出各个情况的交集．

例5．如图1，在边长为2的正方形ABCD 的一边BC 上，一点P

从B 点运动到C 点，设BP =x ，四边形APCD 的面积为y ．

（1）写出y 与x 的函数关系式及x 的取值范围；

（2）说明是否存在点P ，使四边形APCD 的面积为1.5．

【解答】（1）x y -=4，x 的取值范围是40≤≤x ．

（2）令5.1=y ，得x -=45.1， ∴5.2=x

∴存在点P 使四边形APCD 的面积为1.5．

【解析】（1）ABP ABCD APCD S S S ∆-=正方形四边形，其中取值范围要考虑让P 从B 点运动到C 点过程中，x 由小变大．特别的，当P 在B 处，0=x ．（2）求出的x 的值要符合x 的取值范围．

【解法】几何问题中的函数关系式，除使函数式有意义外，还需考虑几何图形的构成条件及运动范围．

【解释】求实际问题中的自变量取值范围时，如果用运动观点研究，动点必须在一定的轨道上运动，而且要时刻兼顾到图形其它的部分的变化．