第3章 点的复合运动

vr
α
x
（4）根据速度合成定理求解
根据速度合成定理： va
作速度的平行四边形， 由几何关系可知：
= ve +vr
ve=v1
α
va
v1 va = v B = cosα
vr B
vr = v1tanα
解题步骤： 解题步骤： （1）选取动点和动系 （2）分析各种运动和速度（大小和方向是否已知} （3）根据速度合成定理画速度平行四边形，求解
O2
解： 取套筒C为动点，将动系取 在杆AB上 运动分析（略） 速度分析：
va ve vr 大小 × vA × 方向 OK OK OK
根据速度合成定理： va
= ve +vr
作速度的平行四边形，
ω
vr A
O1 C vA D va ve B
O2
由几何关系可知：
va = ve cosϕ = 0.2 ⋅ cos600 = 0.1 m/s
vAa
ω1
× 方向 OK OK OK
v 根据速度合成定理： Aa
= vAe +vAr
速度分析：
作速度的平行四边形， 可解得 vAe
于是：v= vAe
（2）取滑块C为动点，将动系取在摇杆O2C上
vCa vCe vCr 大小 v × × 方向 OK OK OK
v 根据速度合成定理： Ca
= vCe +vCr
所以杆CD的速度为
vCD=0.1 m/s
例： 刨床的急回机构，曲柄的 一端A与滑块用铰链连接，当曲 柄OA以匀角速度绕固定轴O转 动时，滑块A在摇杆O1B上滑动 ，并带动摇杆O1B绕固定轴O1摆 动。设曲柄长OA=r ，两轴间距 离OO1=l 。求当曲柄在水平位 置时，摇杆的 角速度。
ω
O A
B
α
O1
ω
O O1
ω1
具有两个输入的运动学问题求解
A M v B v1r M v1e
例
C
v2r A M v2e
ω
O
自由度
ω
O
C v1e v B
v1r
v2r v2e
自由度的概念
自由度：确定系统位置所需要的独立（最少）参数的个数。 自由度 A 组成复杂的机构，其自由度 不一定多。 M v B O2 A B O1 C
第三章 点的合成运动
简单运动：点或刚体相对一个定参考系的运动。 简单运动 合成运动：物体相对于不同参考系的运动是不同的， 合成运动 但各运动之间存在着必然的联系。在一定条件下 ，一种运动可以看作其它几种运动的合成，该运 动称为合成运动。
小车上可运动的操作斗1.AVI
车刀刀尖的运动分析.AVI
间 运 动 关 系 的 有 力 工 具 ， 是 运 动 学 的 重 要 内 容 。 件 构 各 中 构 机 多 很 究 研 是 法 方 和 论 理 的
（1）牵连点是动参考系上的点； （2）牵连点具有瞬时性，动点在不同的瞬时有不同的牵连点。
前一瞬时的牵连点
现在瞬时的牵连点
下一瞬时的牵连点
2、牵连速度和牵连加速度 牵连点的速度和加速度称为牵连速度（ 牵连点的速度和加速度称为牵连速度（ve）和牵连加 牵连速度 速度（ae）。 速度（
注：牵连速度、加速度是牵连点的绝对速度和绝对加速度。
摇块机构可看作是由导杆机构演化而成的
vr B A O C
va ve
ve A va vr C
v B
ω
O D ve C A O1 B
ω1
vr
O1 va
ω
ω
O
ω1
vr va ve
A
ω
O
B
C
ω1
O1
组合机构的运动学问题求解
将两个或几个基本机构联接而成的机构，称为组合机构。 将两个或几个基本机构联接而成的机构，称为组合机构。 组合机构 例：图示平面机 已知曲柄O 构，已知曲柄 1A 以匀角速度ω1 转 动，求图示瞬时 va 摇杆O 的转动角 摇杆 2C的转动角 速度 ω2
= ve +vr
ve = va sinα = rωsinα
= rω r r2 + l2 = r
2
α
ω
O1
ω1
r2 + l2
ve r2 ω1 = ω = 2 2 2 O1 A ( r + l )
讨论：能否取杆 上的A点为 讨论：能否取杆O1B上的 点为 上的 动点、 为动系？ 动点、杆OA为动系？ 为动系
O1
A
ω1
ve A va D B
ω
vr C
M
二、机构中两相对滑动构件直接接触的情况
以其中一构件上的接触点为动点， 以其中一构件上的接触点为动点，动系固连于另 一构件。此时，必须注意使动点的相对运动明确。 一构件。此时，必须注意使动点的相对运动明确。
D va B vr v B
ve
v C vr A ve
z
x'
z'
o'
M
y'
o x
y
三 种 运 动
绝对运动： • 绝对运动： 动点相对定系的运动 相对运动： • 相对运动： 动点相对动系的运动 牵连运动： • 牵连运动： 动系相对定系的运动
vr M
Байду номын сангаас
y
va ve x
取 M 为动点； 动系建在作平动的车厢上
绝对： 绝对： M点沿旋轮线的运动 相对： 相对：M点绕车轴的圆周运动 牵连： 牵连：车厢的平动
y’ v1 x’ A y B ve=v1
α
（1）取车B为动点，将动系 解： va 固结在车A上。 （2）分析运动 绝对运动：车B沿岔路的直线运动 相对运动：车B相对车A的直线运动 牵连运动：动系随车A的直线平动 （3）分析速度 绝对速度va ：沿岔路，大小未知 牵连速度：ve=v1 相对速度vr ：向右，大小未知
点的复合运动—相对运动(运动的摇柄).AVI
B’ O A’
ω
A
B 前进行程
后退行程
α
O1
点的复合运动—相对运动(运动的摇柄).AVI
解： 取滑块A为动点，以杆O1B为动系(即将动系取在杆O1B上)
速度分析：
va ve vr 大小 vA × × 方向 OK OK OK
va vr
ω ve
O A
B
根据速度合成定理： va 作速度的平行四边形，
同样的牵连运动——转盘 的转动，同样的相对运动 ——静止。但他们所具有 的速度并不相同。因为他 们每个人在转盘上所站的 位置并不相同。 1、牵连点 某瞬时，在动参考系上与动点相重合的那一点。称为 某瞬时，在动参考系上与动点相重合的那一点。 牵连点，又称瞬时重合点 瞬时重合点。 牵连点，又称瞬时重合点。 正确理解牵连点概念需把握的要点：
ω
A
O1 C
ϕ
B
ω
O2 O A
B
α
D O1
目的： 目的：所选的动系应能将动点的运动分解成为相对运动 和牵连运动，以便于利用各运动间的关系求解未知运动 和牵连运动， 。 原则：动点和动系不能选在同一物体上； 原则：动点和动系不能选在同一物体上；一般应使相 对运动易于想象，其轨迹为明确的直线或曲线。 对运动易于想象，其轨迹为明确的直线或曲线。
曲柄滑道连杆
偏心轮推杆
A
x
A’
取 M 为动点
动系建在作平动的天车上
M’ vr M y va ve
绝对： 绝对： M点斜向上的运动 相对： 相对：M点向着天车的直线运动 牵连： 牵连：天车的平动
相对和绝对速度、 二、相对和绝对速度、加速度 动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度，分别称为 相对轨迹、相对速度（ ）、相对加速度 相对加速度（ 相对轨迹、相对速度（vr）、相对加速度（ar）。 动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度，分别称为 绝对轨迹、绝对速度（ ）、绝对加速度 绝对加速度（ 绝对轨迹、绝对速度（va）、绝对加速度（aa）。 牵连点·牵连速度 牵连速度、 三、牵连点 牵连速度、加速度 牵连运动是指动系的运动，而并非某一点的运动。所 以除非动系作平动，否则其上各点的运动都不完全相 同。如果想当然地讲：牵连运动的速度和加速度就是 牵连速度和牵连加速度，则在概念上是错误的。
C
va
ω
凸轮平底推板
θ
u
x
ω
四、摇块机构中动点、动系的选取 摇块机构中动点、
以主、从动构件的铰接点为动点， 以主、从动构件的铰接点为动点，动系固连于摇 此时，须注意牵连点的位置。 块。此时，须注意牵连点的位置。
va ve vr A C 曲柄摇块机构 ve va vr B A
ω1
B
ω
O
ω1
C
ω
O
曲柄导杆机构
ω
O
A
ω
va O C
点的复合运动-速度分析
三、机构中两相对滑动构件始终保持相切的情况
以其中的盘状构件的圆心为动点， 以其中的盘状构件的圆心为动点，动系固连于另 一构件。此时，须明确牵连点的概念。 一构件。此时，须明确牵连点的概念。
v E D ve B C B A vr A va vr O
ω
O
ω1
O 1 ve
点的复合运动—相对运动(运动的摇柄).AVI 点的复合运动--相对运动（曲线运动）
动点、动系的选取 动点、
一、机构中存在滑块、销钉、小环等滑动构件的情况 机构中存在滑块、销钉、
一般选滑块、销钉、小环为动点， 一般选滑块、销钉、小环为动点，动系固连于与 之发生相对滑动的构件上。 之发生相对滑动的构件上。
M’ v a
vr
MM 1 M M' MM = ve lim 1 = lim 1 2 = vr ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t →0 ∆t ∆t
例：车A和车B分别沿着夹角为 α 的 两条直线公 路行驶，已知车A的速度是v1 ，车 B在车A的右岔 路，如果A 、B两车连线始终与速度v1垂直。试求 车B的速度和它相对于车A的速度。
§3-2 点的速度合成定理
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速 度与相对速度的矢量和。 度与相对速度的矢量和。 动点的绝对速度可以由牵连速度与相对速度所构成 的平行四边形的对角线来确定，这个平行四边形称 为速度平行四边形 速度平行四边形。 速度平行四边形
va = ve +vr
M
A
vr va ve
例： 铰接四边形机构，已知O1A=O2B=10 cm ，O1O2=AB， 且O1O2处于水平。杆O1A以匀角速度 ω = 2 rad/s 绕轴O1转 动。杆AB上有一套筒，该套筒与CD杆的C端铰接，机构各 ϕ = 600 时，导杆CD的速度。 部位都在同一铅垂面内。求当
ω
A
O1 vr vA C
ϕ
B va ve D
作速度的平行四边形， 可解得 vCe 于是：ω 2 = vCe / O2C
vBe vBa vAa vAe
D B
v
vBe C vBa
D B
v
C
ω
O1
vAr A
vBr
vBr
O
ω1
O1
ω1
vAa vAe vAr A
D
图示平面机构， 例：图示平面机构， 已知曲柄OA以匀角速 已知曲柄 以匀角速 转动， 度ω 转动，求图示瞬 时杆BC的速度 时杆 的速度
ω2
ve C vr v
O2
ve B v r
A O1
v
va
ω1
A
ω2
ve va C vr B O2 v
ve B v r
C
O1
va
ω1
解： （1）取滑块A为 动点，将动系取 在槽杆BC上 速度分析： vCa
ω2
vCe C vCr O2 vAe A B v Ar O1
vAa vAe
大小 OK ×
vAr
v
vr M
va ve
定理的证明：
z"
x "
o "
M1
M1：t 瞬时 的牵连点 M2：即将成 为t’ 瞬时的 牵连点
z
x'
z'
o'
M M2 M1 M M’
y "
y'
M’
o x
y
M
M1 ve M2
MM' = MM 1 + M 1M ' MM' MM 1 M 1M ' = lim + lim lim ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t MM' = va ∆t →0 ∆t lim lim
常见错误及原因
vr B va v E C ve A va D B 错误原因： 牵连速度的概念不清。牵 连点是动系（杆ACD）上 的M点，该绕A转动，而不 是绕C转动。 A D O ve 错误原因： 混淆了在各种速度表示中， 不同下标的确切含义。
ω
ω
C
M vr
选取动点、动系的目的和原则： 选取动点、动系的目的和原则：
va ve C vr A v vr va v D A ve C D
ω
O
ω
O
A
v
D
vr B C ve va O
ω
va ve A vr
B
ω
O vr B ve v E C A D va
ω1
O1 O
ω
va vr
ve B
A
O
ω
O1
ω1
曲柄摇杆
va
B vr B ve va
v C A vr E
D
O ve
ω
O
ω
合 成 运 动 A v D C B O
ω
B
A
ω
O
O1
ω1
B
ω2
O2 A B O1 A
v
C
ω1
ω
O
C
§3-1相对运动、牵连运动和绝对运动 相对运动、
动点、 一、动点、动系和各种运动 作为研究对象的运动点称为动点 作为研究对象的运动点称为动点 O x y z ——定参考系 定参考系 O’x’y’z’——动参考系 动参考系
所以杆CD的速度为 vCD=0.1 m/s 解法（二）： 解法（ 取杆AB上的A点为动点，将动 系取在杆CD上(或套筒C上） 运动分析（略） 速度分析：
ω
A ve
O1 vr C B vA D va
O2
va ve vr 大小 vA × × 方向 OK OK OK
ve = va cosϕ = 0.2 ⋅ cos600 = 0.1 m/s