二次同余式与平方剩余

本章的目的是较深入地讨论 1.一般二次 了解一般二次及：

教学过程:

本节主要讨论 2.单质数的 了解单质数的：

教学过程:

这节我们讨论单质数p 的)(mod 12

1p a

p ≡-：而)(mod 12

1p a

p -≡-

单质数p 的使的)(mod ),(mod 22

212

1p a r p a r ≡≡于是有)(mod )(212

21p a a r r ≡ 这说明

一般二次同余式

在第四章中，我们讨论了高次同余式的解的一般理论，但在实际中，要解一个高次同余式一般比较困难。在本章我们重点讨论二次同余式的解法。思路是先把一般二次同余式化为特殊的二次同余式，再引入平方剩余与平方非剩余，并利用勒让得符号来判断特殊二次同余式是否有解。

二次同余式的一般形式 二次同余式的一般形式是

，

0 （

） （1）

化一般二次同余式为特殊二次同余式 由高次同余式的理论知，若

的标准分解式为

，

则（1）有解的充要条件是下面同余式组中每个同余式有解。

于是要判别（1）是否有解及如何解（1），我们可重点讨论

为质数。 （2）

下面对（2）分情况进行讨论。找到（2）有解的判别法。

由于（2）为二次同余式，故可假定

，若有

但

(,,)，

则（2）化为。

而。故还可假定(,,)。

1) |，|。则

。因而同余式无解。故（2）设有解。

2)

|，

。则

无解，故（2）有解的充要条件是

有解，即

有解。

但（

，

）＝1。故有解，从而（2）有解，且（2）的解可由

的解求出。

3) ，

>2。则

。用4乘（2）后再配方，即得

（3）

易证（2）和（3）等价。用代2

＋得

（4）

则（2）有解的充要条件是（4）有解，于是将（2）化为（4）讨论。

4)

，

＝2。这时为奇。

（i ）若2

，则

无解。故（2）有解的充要条件是

有解。

因对任何整数

恒有

。所以（2）有解的充要条件是

有解，即2|。

（ii ） 若2|，令

。由

知

（2）有解的充要条件是

有解。即

(5)

有解。

作代换

＝

＋，则（2）有解的充要条件是

有解。

由上面讨论，可将（2）的问题化为二次同余式

或一般情况即

(6)

平方剩余和非平方剩余

定义 若同余式（6）有解，则叫模的平方剩余，若同余式（6）无解，则叫模的平方非剩余。

由这一定义，要判断（6）是否有解，就是判断是否为模的平方剩余，下面几节

就讨论为模的平方剩余及平方非剩余的判别。

单质数的平方剩余和平方非剩余

在这一节里我们只讨论单质数的平方剩余和平方非剩余，即讨论形如

（1）

的同余式的解。

定理1（欧拉判别条件）若（，）＝1，则是模的平方剩余的充分与必要条件是

（2）

而是模的平方非剩余的充分与必要条件是

（3）

且若是模的平方剩余，则（1）式恰有两个解。

证（i）因为能整除，即有一整系数多项式（）使

，

故

若是平方剩余，则（2）成立。因而由质数模高次同余式解的个数的结果知

有二解。

反之，若（2）成立，则是模的平方剩余。

（ii）由费尔马定理知，若（，）＝1，则。因此

。

由于是单质数，故（2），（3）有一且仅有一成立。但由（i）知是平方剩余的充要

条件是。故是平方非剩余的充要条件是（3）。

定理（2）模的简化剩余系中平方剩余和非平方剩余的个数各为。而且

个平方剩余分别与序列（4）中之一数同余，且仅与一数同余。

证由定理1知平方剩余的个数等于同余式

的解数。但能整除。故由质数模高次同余式解数的结果知，平方剩余的个数是，而平方非剩余的个数是。

下面证定理的第二部分：显然（4）中的数均是平方剩余，且互不同余，因若

，则有四个解，这与定理1矛

盾。故由定理前一部分结论即知成立。

例求出模11的平方剩余和平方非剩余。

解：＝11为单质数。由定理2，对模11共有5个平方剩余，5个平方非剩余。其5个平方剩余与下列5个数对模11一对一地同余:

故5个平方剩余为1，4，9，5，3

而5个平方非剩余为：2，6，7，8，10

由此即知同余式，有解，且有两个解。而同余式

无解。

勒让得符号

在上一节给出了欧拉判别条件判别平方剩余与平方非剩余，但当比较大时，计算很困难。当然由上节定理2，从理论上讲，对一些给定的，我们可以构造出平方剩余表，要判

别一个同余式是否有解，只须查一下表即可。但单质数太多，无法也不可能对每个单质数构造一张表。故在本节我们引入勒让得符号，给出一个便于实际计算的判别方法。

勒让得符号的定义

勒让得符号(读作对的勒让得符号)是一个对于给定的单质数定义在一切整

数上的函数，它的值规定如下：

由勒让得符号的定义可以看出，如果能够很快地计算出它的值，那么就会立刻知道同余式

有解与否，下面通过讨论勒让得符号的性质给出计算勒让得符号的值的方法。

勒让得符号的性质

性质1

证由定义及欧拉判别法即得。