§4-1 随机变量的期望

解 E (W ) E (kV ) kv f (v)dv
2 2


a
0
kv 2
1 1 dv ka 2 . 3 a
例4 -10
设X的概率密度为
求E | X E( X ) |.
解 E( X )

x, f ( x ) 2 x, 0,
2 0
1
2 2 x3 . 3 0 3
1
设随机变量X的概率密度为
求E ( X ).
解 E( X )

2 2 2 cos x , | x | , f ( x) 其他. 0,
xf ( x)dx


2
2
2
x cos 2 xdx 0.
下面介绍几种重要连续型随机变量的期望.

11 . 6
i j
(2) E( XY ) ( xi y j ) pij
1 1 1 1 (0 0) (0 1) 0 (1 0) (11) . 3 2 6 6
例4 -13
设二维随机变量( X , Y )的概率密度为
2, f ( x, y) 0,

( x )2 2 2
,

x ,
下面介绍连续型随机变量函数的数学期望.
定理4 - 2 设X 为连续型随机变量, 其概率密度为f X ( x), 又随机变量Y g ( X ),

则 | g ( x) | f X ( x)dx当收敛时, 有

E (Y ) E[ g ( X )]


g ( x) f X ( x)dx.
例4 - 9 风速V 是一个随机变量, 设它服从[0, a]上均匀分布, 其概率密度为
1 , 0 x a, f ( x) a 其他. 0,
又设飞机机翼受到的压力W是风速V的函数,W kV 2 (k 0常数), 求W的数学期望.
第四章 随机变量的数字特征
4.1 随机变量的期望
4.1.1 离散型随机变量的期望
定义4-1 设离散型随机变量X的分布律为
P{X=xk}=pk , k=1,2,…
如果
| x
k 1

k
| pk 有限,定义X的数学期望
E ( X ) xk pk
k 1
也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.

( x )2 2 2
, x ,
E (Y ) e x

1 e 2
( x )2 2 2
dx,
令t
x

,则
E(Y )

e
t

2
e dt e

t2 2

2
2
.
4.1.3 二维随机变量函数的期望
定理4 - 3
由数学归纳法可证得：当X1 , X 2 ,
E ( X1 X 2
, X n相互独立时有
X n ) E( X1 )E( X 2 ) E( X n ).
例4 -14
设X i (i 1, 2, Xi P
, n)服从0 1分布 0 1 p 1 p , X n相互独立.令X X 1 +X 2 X n , 求X 的期望.
k 1

例4 -5 设随机变量X的分布律为
X
令Y 2 X 1, 求E(Y ).
解
1
0 0.2
1 0.4
2 0.1
P 0.3
E(Y ) (2 (1) 1) 0.3 (2 0 1) 0.2 (2 1 1) 0.4 (2 2 1) 0.1 1.6.
下面介绍几种重要离散型随机变量的数学期望. 1. 两点分布 随机变量X的分布律为
X
P
0
1-p
1
p
其中0<p<1，有
E(X)=0X(1-p)+1Xp=p. 2. 二项分布 设X~B(n, p), 即
i i ni pi P{X i} Cn p q (i 0,1, ,n), q 1 p,
0 1
1
2
x(1 x)dx ( x 1)(2 x)dx 0 1
1
2
1 . 3
例4 -11 设X ~ N (, 2 ), 令Y e X , 求E(Y ).
解 因为X ~ N (, 2 ), 从而X的概率密度为
f X ( x)
因此,
1 e 2

例4 - 6 设随机变量X的分布律为
X
令Y X 2 , 求E(Y ).
解
1
0 0.2
0.5 0.1
1 0.1
2 0.3
P 0.3
2 E (Y ) g ( xk ) pk xk pk k 1 k 1
(1)2 0.3 02 0.2 0.52 0.1 12 0.1 22 0.3 1.625.
求E(X).
解 E(X)=(-1)Х0.3+0 Х 0.2+1 Х 0.5=0.2
例4-2
甲乙两人进行打靶,所得分数分别记为X,Y,它们的分布律分别为 X P 0 0 1 0.2 2 0.8 Y 0 1 2
P
ห้องสมุดไป่ตู้
0.1
0.8
0.1
试比较它们成绩的好坏. 解 分别计算X和Y的数学期望: E(X)=0Х0.3+1 Х 0.2+2 Х 0.8=1.8(分)， E(Y)=0Х0.1+1 Х 0.8+2 Х 0.1=1 (分). 这就意味着,如果进行多次射击,甲所得分数的平均值接近于1.8分,而乙 得分的平均值接近1分.很明显乙的成绩远不如甲.
解 由已知X ~ B(5, p),因此E( X ) np 1.6, n 5. 所以，p 1.6 5 0.32.
例4 - 4 已知随机变量X 的所有可能取值为1和x, 且P{ X＝ 1}＝0.4, E ( X ) 0.2, 求x.
解 由已知P{X 1} 0.4, 得E( X ) 0.4 0.6 x 0.2,
0 x 1, 1 x 2, 其他.
xf ( x)dx

1
0
x dx x(2 x)dx
2 1
1 2
2
2 1 1 x 3 x 2 x 3 1. 1 3 0 3 1
E | X E( X ) | E | X 1|
x | x 1|dx | x 1| (2 x)dx
0 x 1,0 y x, 其他.
求： (1) E( X Y );(2) E( XY );(3) P{X Y 1}.
4.1.4 期望的性质
性质1 E(C) C, 其中C为常数.
性质2 E(CX ) C E( X ).
性质3 E( X Y ) E( X ) E(Y ).
例4 -12 已知( X , Y )的分布率为
X
Y
0 1 3 1 2
1 0 1 6
0 1
求 : (1) E(2 X 3Y ); (2) E( XY ).
解
(1) 由数学期望定义知
E(2 X 3Y ) (2 xi 3 y j ) pij
i j
1 1 1 (2 0 3 0) (2 0 3 1) 0 (2 1 3 0) (2 1 3 1) 3 2 6
边缘分布律为
(1)若( X , Y )为离散型随机变量, 若其分布律为pij P{X xi , Y y j },
pi pij , p j pij ,
j i
则
E( X ) xi pi xi pij ,
i i i
E(Y ) yi p j yi pij .
其中0 p 1, q 1 9, 且X 1 ,X 2 ,
解法1
由二项分布的定义知, X服从二项分布因此， .
E ( X ) np.
解法2 因为E( X i ) p, X X1 X 2
E ( X ) E ( X1 ) E ( X 2 )
X n ,由期望性质知
4.1.2
定义4 - 2
连续型随机变量的期望
设连续型随机变量X 的概率密度为f ( x), 若广义积分



xf ( x)dx绝对收敛, 则称该积分为随机变量X 的数学期望(简称期望
或均值), 记为E ( X ),即 E ( x)

xf ( x)dx.
例4 - 7 设随机变量X的概率密度为
从而有
i i n i E ( X ) = iCn pq i 1 n
np.
3. 泊松分布 设X~P(λ)其分布律为
P{ X i} =
则X的数学期望E(X)=λ.
i e
i!
(i 0,1, ),
例4 - 3 设随机变量X ~ B(5,p),已知E( X ) 1.6, 求参数p.
1 从而x - . 3
下面介绍离散型随机变量函数的数学期望.
定理4-1 设离散型随机变量x的分布律为
P{X xk } pk , k 1, 2,
k 1
.
令Y g ( X ), 若级数 g ( xk ) pk 绝对收敛, 则随机变量Y的数学期望为
E (Y ) E[ g ( X )] g ( xk ) pk .
i j
E g ( X , Y ) g ( xi , y j ) pij .
i j
(2) 若( X , Y )为连续型随机变量, 且积分





| g ( x, y) | f ( x, y)dxdy收敛, 则
E g ( X , Y )





g ( x, y) f ( x, y)dxdy.
设随机变量X 服从参数为 0的指数分布,其概率密度为
则E ( X ) 1 ,
e x , f ( x) 0,
x 0, x 0.

即指数分布的数学期望为参数的倒数.
3.正态分布
设X ~ N (, 2 )其概率密度为
1 f ( x) e 2 则X的期望 E( X ) .


y fY ( y)dy





y f ( x, y)dxdy.
定理4 - 4 设g ( X , Y )为连续函数, 对于二维随机变量( X , Y )的函数g ( X , Y ),
(1) 若( X , Y )为离散型随机变量, 级数| g ( xi , y j ) | pij收敛, 则
推广： E (C1 X C2Y ) C1E ( X ) C2 E (Y ), 其中C1 ,C2为常数. E ( Ci X i ) Ci E ( X i ), 其中Ci (i 1, 2,
i 1 i 1 n n
, n)是常数.
性质4 若X 与Y 是相互独立的随机变量, 则 E ( XY ) E ( X ) E (Y ).
j i i
(2)若( X , Y )为二维连续型随机变量, f ( x, y), f X ( x), fY ( y)分别为( X , Y )的概率 密度与边缘概率密度,则
E( X )


x f X ( x)dx





x f ( x, y)dxdy,
E (Y )
注 : (1) 当X的可能取值为有限多个x1 , x2 ,
n
, xn时,
E ( X ) xi pi ,
i 1
(2) 当X的可能取值为可列多个x1, x2 ,

, xn , 时,
E ( X ) xi pi .
i 1
例4-1
设随机变量X的分布律为 X P -1 0.3 0 0.2 1 0.5
求E ( X ).
解 E( X )

2 x, f ( x) 0,
0 1
0 x 1, 其他.


xf ( x)dx xf ( x)dx xf ( x)dx
0
1
xf ( x)dx
x 2 xdx 0
例4 - 8
1
2 x dx
1. 均匀分布
设随机变量X 在[a, b]上服从均匀分布, 其概率密度为
1 , f ( x) b a 0， a x b， 其他.
则E ( X )


xf ( x)dx
a b. 2
在区间[a, b]上服从均匀分布的随机变量的数学期望是该区间中点.
2.指数分布