找次品问题方法

《找次品问题》的求解方法

还是从比尔·盖茨与81个玻璃球的问题说开来吧。

（1）小比尔·盖茨的问题：这儿有81个玻璃球，其中有一个球比其他的球稍重，如果只能用天平来测量，至少要称多少次才能保证找出来呢

（2）如果不知道次品玻璃球与标准球的轻重，同样只用天平来测量，至少要称多少次才能保证找出次品玻璃球来

怎样用天平来测量次品就是要用天平称量时的“平衡”与“不平衡”来判断研究对象的情况。“平衡”判明没次品；“不平衡”判明次品就在这里。本题要求最少的称量次数，显然还要找出一个解决问题的最优策略，也就是要让天平每称量一次能判断的研究对象个数最多，最终达到称量次数最少的目的。实际操作起来就是把研究对象怎样分组，分成多少组的问题。

怎样分组有平均分（对于不能平均分的数量，让数量多的组多1个，少的组少1个），任意分两种分法。比较起来只有平均分才能让“平衡”与“不平衡”说明研究对象的情况（任意分时，天平两边数量不等，“平衡”已不可能，“不平衡”也不能判断出问题），所以选择平均分法。

分成多少组有分成2组、3组、4组、5组等多种分法。因为天平有两个托盘，每称量一次能放上两组研究对象，最多能判断出3组的情况（既能判断出天平上两组的情况，还能判断出天平外一组的情况。若平衡，次品就在盘外那组中；若不平衡，盘外那组中就无次品），所以只有分成2组或3组才能使天平每称量一次包括研究对象的全部，其他组数达不到这个要求——舍弃。再比较2组分法、3组分法的优劣：把2组分法、3组分法上次称量判断出的问题组对象再分别2等分之、3等分

一般地，用天平称量n次，能判断出研究对象的最多个数Y=3n。

上面研究的都是“最多”数量的情况，不满足“最多”条件的数量情况如何呢比如4、12情况怎样

先研究4：因为天平称量1次最多只能判断出3个，所以要再称量1次，一共2次才能有保证。[平衡2次：（2，1，1）→（1，1）。不平衡1次：（2，1，1）。]

再研究12：天平称量2次最多能判断出9个，所以也要再称1次，一共是3次才能有保证。[平衡3次：（4，4，4）→（2，1，1）→（1，1）。不平衡2次：（4，4，4）→（2，1，1）]

一般地，用天平称量法找次品，当研究对象的个数Y满足关系式3n-1＜Y≤3n 时，最少要称量n次才能保证找出次品。

现在回头解答比尔·盖茨与81个玻璃球的问题。

问题（1）小比尔·盖茨的问题：这儿有81个玻璃球，其中有一个球比其他的球稍重，如果只能用天平来测量，至少要称多少次才能保证找出来呢

因为81=34，所以最少要称4次才能保证找出次品。

问题（2）如果不知道次品玻璃球与标准球的轻重，同样只用天平来测量，至少要称多少次才能保证找出次品玻璃球来

先测出次品玻璃球是重了还是轻了：

分组81÷3=27（27，27，27）

1次——任取两组过天平，有“平衡”与“不平衡”两种情况。

研究“平衡”情况既是“平衡”，就判断出次品在天平外那组中。

2次——任取已过天平一组与天平外那组同称，肯定不平衡。若原天平外那组重些，就判断出次品比标准球重，否则，次品就是比标准球轻。

研究“不平衡”情况既是“不平衡”，就判断出次品已在天平中，天平外那组是标准球。

2次——取较重的一组与天平外那组同称，有“平衡”、“不平衡”两种可能。若“平衡”就判断出次品球比标准球轻；若“不平衡”就判断出次品球比标准球重。