《双曲线方程及性质的应用》课时提升作业
高中数学第二章2.2双曲线课时提升作业 2.2.2.2双曲线方程及性质的应用检测(含解析)新人教A版选修1_1
课时提升作业(十四)双曲线方程及性质的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.直线l过点(,0)且与双曲线x2-y2=2仅有一个公共点,则这样的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条【解题指南】先判断点与曲线的位置关系,再结合题意求解.【解析】选C.点(,0)即为双曲线的右顶点,过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点,另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点,故这样的直线只有3条.2.(2015·温州高二检测)已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解题指南】中点弦问题,借助点差法求解.【解析】选B.由c=3,设双曲线方程为-=1,k AB==1,设A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,①-=1,②①-②,得-=0,又N(-12,-15)为AB中点,所以x1+x2=-24,y1+y2=-30.所以=.所以==1.所以a2=4.所以双曲线方程为-=1.3.设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为( )A. B. C.2 D.3【解题指南】用a,b表示|AB|,由|AB|=4a求a,b的等量关系,进而求离心率.【解析】选B.由题意不妨设l:x=-c,则|AB|=,又|AB|=2×2a,故b2=2a2,所以e===.4.(2015·西安高二检测)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若=,则双曲线的离心率是( )A. B. C. D.【解析】选 C.右顶点为A(a,0),则直线方程为x+y-a=0,可求得直线与两渐近线的交点坐标B,C,则=,=.又2=,所以2a=b,所以e=.5.已知F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为8a,则双曲线的离心率e的取值范围是( )A.(1,+∞)B.(1,2]C.(1,]D.(1,3]【解析】选 D.依题意知|PF1|-|PF2|=2a,==4a++|PF2|≥8a,当且仅当=|PF2|时等号成立.此时|PF2|=2a,|PF1|=4a,因为|PF1|+|PF2|≥2c.所以6a≥2c,即1<e≤3.【误区警示】本题求解时常常忘记检验双曲线定义满足的条件导致范围扩大.二、填空题(每小题5分,共15分)6.直线y=x+4与双曲线x2-y2=1的交点坐标为.【解析】联立方程组得消去y得x2-(x+4)2=1,则x=-,代入y=x+4得y=. 故直线y=x+4与双曲线x2-y2=1的交点坐标为.答案:【补偿训练】过点(0,1)且斜率为1的直线交双曲线x2-=1于A,B两点,则|AB|= .【解析】直线为y=x+1,与双曲线联立得得3x2-2x-5=0.所以x1+x2=,x1x2=-,所以|AB|=·=.答案:7.若直线y=kx与双曲线-=1相交,则k的取值范围为.【解题指南】借助双曲线与渐进线的关系,数形结合求解.【解析】双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,若直线与双曲线相交,数形结合,得k∈.答案:8.(2015·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C左支上一点,A,当△APF周长最小时,该三角形的面积为.【解题指南】△APF周长最小时,P点是点A与双曲线C:x2-=1的左焦点的连线与双曲线的交点.【解析】由已知a=1,b=2,c=3,所以F(3,0),F′(-3,0),又A,所以|AF|==15,△APF周长l=|PA|+|PF|+|AF|,又|PF|-|PF′|=2,所以|PF|=|PF′|+2,所以l=|PA|+|PF′|+2+15≥|AF′|+17=32,当且仅当A,P,F′三点共线时,△APF周长最小,如图所示.设P(x,y),直线AF′的方程为+=1,联立得消去x得y2+36y-96=0,解得y=-8(舍)或y=2,则P(x,2).因为S△APF=S△AF′F-S△PF′F=×6×6-×6×2=12.答案:12三、解答题(每小题10分,共20分)9.经过点M(2,2)作直线l交双曲线x2-=1于A,B两点,且M为AB中点.(1)求直线l的方程.(2)求线段AB的长.【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程得-=1,-=1,两式相减得--=0,(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0.因为M为AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=4,所以4(x1-x2)-(y1-y2)=0,k l==4,所以l的方程为y-2=4(x-2),即y=4x-6.(2)将y=4x-6代入到x2-=1中得3x2-12x+10=0,故x1+x2=4,x1x2=,所以|AB|==.【补偿训练】过点P(8,1)的直线与双曲线x2-4y2=4相交于A,B两点,且P是线段AB的中点,求直线AB的方程.【解析】设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则-4=4,①-4=4.②①-②得(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0.因为P是线段AB的中点,所以x1+x2=16,y1+y2=2.所以==2.所以直线AB的斜率为2.所以直线AB的方程为y-1=2(x-8),即2x-y-15=0.10.(2015·大连高二检测)双曲线的两条渐近线的方程为y=±x,且经过点(3,-2).(1)求双曲线的方程.(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|.【解析】(1)因为双曲线的两条渐近线方程为y=±x,所以可设双曲线的方程为2x2-y2=λ(λ≠0).又因为双曲线经过点(3,-2),代入方程可得λ=6,所以所求双曲线的方程为-=1.(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),过F且倾斜角为60°的直线方程为y=(x-3),联立得x2-18x+33=0,由根与系数的关系得x1+x2=18,x1x2=33,所以|AB|=|x1-x2|=·=2=16,即弦长|AB|=16.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知F是双曲线-=1(a>0)的右焦点,O为坐标原点,设P是双曲线C上一点,则∠POF的大小不可能是( )A.15°B.25°C.60°D.165°【解题指南】先求渐近线的夹角,再借助双曲线与渐近线的关系,数形结合求解.【解析】选C.双曲线的渐近线方程为y=±x,所以渐近线的倾斜角为30°或150°,所以∠POF不可能等于60°.2.(2015·冀州高二检测)过双曲线-=1(a>0)右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围为( )A.(,5)B.(,)C.(1,)D.(5,5)【解析】选B.由题意可知,从而4<<9,所以e=∈(,).二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知A(1,2),B(-1,2),动点P满足⊥.若双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是.【解题指南】先由直接法确定点P的轨迹(为一个圆),再由渐近线与该轨迹无公共点得到不等关系,进一步列出关于离心率e的不等式进行求解.【解析】设P(x,y),由题设条件,得动点P的轨迹为(x-1)(x+1)+(y-2)·(y-2)=0(x≠±1),即x2+(y-2)2=1(x≠±1),它是以(0,2)为圆心,1为半径的圆(A,B两点除外).又双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,由题意,可得>1,即>1,所以e=<2,又e>1,故1<e<2.答案:(1,2)4.(2014·浙江高考)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>b>0)两条渐近线分别交于点A,B,若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是.【解题指南】求出A,B的坐标,写出AB中点Q的坐标,因为|PA|=|PB|,所以PQ与已知直线垂直,寻找a与c的关系.【解析】由双曲线的方程可知,它的渐近线方程为y=x与y=-x,分别与x-3y+m=0(m≠0)联立方程组,解得A,B,设AB的中点为Q,则Q,因为|PA|=|PB|,所以PQ与已知直线垂直,所以k PQ=-3,解得2a2=8b2=8(c2-a2),即=,=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知双曲线3x2-y2=3,直线l过其右焦点F2,且倾斜角为45°,与双曲线交于A,B两点,试问A,B 两点是否位于双曲线的同一支上?并求弦AB的长.【解析】因为直线l过点F2且倾斜角为45°,所以直线l的方程为y=x-2.代入双曲线方程,得2x2+4x-7=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).因为x1·x2=-<0,所以A,B两点分别位于双曲线的左、右两支上.因为x1+x2=-2,x1·x2=-,所以|AB|=|x1-x2|=·=·=6.6.(2015·北京高二检测)直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A,B.(1)求实数k的取值范围.(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后,整理得,(k2-2)x2+2kx+2=0.①依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,故解得k的取值范围是-2<k<-.(2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由①式得②假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0). 则由FA⊥FB得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0,即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0.③把②式及c=代入③式化简得5k2+2k-6=0.解得k=-或k=(舍去).可知k=-时使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F.。
课时作业4：2.6.2 第二课时 双曲线方程及性质的应用
第二课时 双曲线方程及性质的应用基础达标一、选择题1.下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A.x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.x 2－y 22＝1D.x 22－y 2＝1解析 由双曲线的几何性质知，双曲线x 2－y24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A. 答案 A2.直线y ＝x －1被双曲线2x 2－y 2＝3所截得的弦的中点坐标是( ) A.(1，2) B.(－2，－1) C.(－1，－2)D.(2，1)解析 将y ＝x －1代入2x 2－y 2＝3，得x 2＋2x －4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为－22＝－1.把x ＝－1代入y ＝x －1，得y ＝－2.故选C. 答案 C3.过双曲线x 2－y 2＝4的右焦点且平行于虚轴的弦长是( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 设弦与双曲线的交点为A ，B (A 点在B 点上方)，由AB ⊥x 轴且过右焦点，可得A ，B 两点横坐标为x ＝22，代入双曲线方程得y ＝±2，所以A (22，2)，B (22，－2)，故|AB |＝4. 答案 D4.已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32解析 由c 2＝a 2＋b 2＝4得c ＝2，所以F (2，0)，将x ＝2代入x 2－y 23＝1，得y ＝±3，所以|PF |＝3.又A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为12×3×(2－1)＝32.答案 D5.已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，与直线y ＝12x 交于A ，B 两点，若|AB |＝215，则该双曲线的方程为( ) A.x 2－y 2＝6 B.x 2－y 2＝9 C.x 2－y 2＝16D.x 2－y 2＝25解析 设等轴双曲线的方程为x 2－y 2＝a 2(a ＞0)，与y ＝12x 联立，得34x 2＝a 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝0，x 1·x 2＝－4a 23， ∴|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122×433a ＝215，∴a ＝3，故选B. 答案 B 二、填空题6.过点A (3，－1)且被A 点平分的双曲线x 24－y 2＝1的弦所在的直线方程是________________.解析 易知所求直线的斜率存在，设为k ，则该直线的方程为y ＋1＝k (x －3)，代入x 24－y 2＝1，消去y 得(1－4k 2)x 2＋(24k 2＋8k )x －36k 2－24k －8＝0，∴－24k 2＋8k 1－4k 2＝6，∴k ＝－34(满足Δ＝(24k 2＋8k )2－4(1－4k 2)(－36k 2－24k －8)＞0)，∴所求直线方程为3x ＋4y －5＝0. 答案 3x ＋4y －5＝07.已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b ＞0)的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为________.解析 由双曲线方程知a ＝2，又e ＝ca ＝2，所以c ＝4，所以b ＝c 2－a 2＝12＝2 3.所以双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ＝3x ，一个焦点为F (4，0).焦点F 到渐近线y ＝3x 的距离d ＝431＋（3）2＝2 3.答案 238.已知双曲线3x 2－y 2＝3，直线l 过右焦点F 2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A ，B 两点，则弦长|AB |＝________. 解析 双曲线方程可化为x 21－y 23＝1，故a 2＝1，b 2＝3，c 2＝a 2＋b 2＝4，∴c ＝2.∴F 2(2，0)， 又直线l 的斜率为1，∴直线l 的方程为y ＝x －2， 代入双曲线方程，得2x 2＋4x －7＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－72， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2·（－2）2－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝6.答案 6 三、解答题9.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4 s.已知各观测点到该中心的距离都是 1 020 m.试确定该巨响发生的位置(假定当时的声音传播速度为340 m/s ，相关各点均在同一平面上).解 如图所示，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系，设A ，B ，C 分别是西、东、北观测点，则A (－1 020，0)，B (1 020，0)，C (0，1 020)，设P (x ，y )为巨响发生点，连接P A ，PB ，PC ，AC ，由A ，C 同时听到巨响声，得|P A |＝|PC |，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y ＝－x .∵B 点比A 点晚4 s 听到巨响声，∴|PB |－|P A |＝340×4＝1 360(m).由双曲线的定义知，点P在以A，B为焦点的双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左支上.依题意，得a＝680，c＝1 020，b2＝c2－a2＝1 0202－6802＝5×3402.故双曲线的方程为x26802－y25×3402＝1.又点P在y＝－x上，将y＝－x代入上式中，得x＝±680 5.∵|PB|＞|P A|，∴x＝－680 5.即P(－6805，6805)，故|PO|＝68010(m).∴巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心68010 m处.10.设双曲线y2a2－x23＝1(a＞0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l1，l2的方程；(2)若A，B分别为l1，l2上的点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程.解(1)∵e＝2，∴c2＝4a2.∵c2＝a2＋3，∴a＝1，c＝2，∴双曲线方程为y2－x23＝1，渐近线方程为y＝±33x.∴l1的方程为y＝33x，l2的方程为y＝－33x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x，y)，∵2|AB|＝5|F1F2|＝5×2c＝20，∴|AB|＝10，∴（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝10，即(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝100.∵y1＝33x1，y2＝－33x2，x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，∴y 1＋y 2＝33(x 1－x 2)，y 1－y 2＝33(x 1＋x 2)，∴x 1－x 2＝3(y 1＋y 2)＝23y ，y 1－y 2＝233x ， 代入(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝100，得(23y )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233x 2＝100，整理得x 275＋3y 225＝1.∴中点M 的轨迹方程为x 275＋3y 225＝1.能力提升11.过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.433 B.2 3 C.6D.43解析 由题意知，双曲线x 2－y23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3. 答案 D12.若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点. (1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，a 2＝c 2－1得⎩⎨⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.(*) ∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，双曲线的渐近线为y ＝±x ，故⎩⎨⎧k ＞1，Δ＝（2k ）2－4（1－k 2）·（－2）＞0， 即⎩⎨⎧k ＞1，－2＜k ＜2，所以1＜k ＜ 2. 故k 的取值范围是{k |1＜k ＜2}. (2)由(*)式得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1， ∴|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2（1＋k 2）（2－k 2）（k 2－1）2＝6 3.整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54， 又1＜k ＜2，∴k ＝52，∴x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8. 设C (x 3，y 3)，由OC→＝m (OA →＋OB →)，得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m ，8m ). ∵点C 是双曲线上一点， ∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14. 故k ＝52，m ＝±14.创新猜想13.(多选题)已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线右支有且只有一个交点，则此直线斜率的值可以是( ) A.－12 B.0 C.12D.1解析 由题意知，F (4，0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x ，当过F 点的直线与渐近线平行时，满足与右支有且只有一个交点，画出图形(图略)，通过图形可知直线斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，故选ABC.答案 ABC14.(多填题)已知点P (1，3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线上，F 为双曲线C 的右焦点，O 为原点.若∠FPO ＝90°，则双曲线C 的方程为________________，其离心率为________.解析 因为双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ，点P (1，3)在渐近线上，所以ba ＝3.在Rt △OPF 中，|OP |＝（3）2＋1＝2，∠FOP ＝60°，所以|OF |＝c ＝4，又c 2＝a 2＋b 2，所以b ＝23，a ＝2，所以双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1，离心率e ＝ca ＝2.答案 x 24－y 212＝1 2。
《双曲线的简单几何性质》课时提升作业
《双曲线的简单几何性质》课时提升作业双曲线的简单几何性质(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.下列曲线中离心率为的是( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.选项B中,a2=4,b2=2,因此c2=a2+b2=6,因此a=2,c=,故e==.【变式训练】已知双曲线-=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( ) A. B. C. D.【解析】选C.由a2+5=32,得a=2,因此e==.2.(2020·兰州高二检测)已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x+2y-3=0,则该双曲线的离心率为( )A. 5或B.或C.或D. 5或【解析】选B.因为双曲线的一条渐近线平行于直线x+2y-3=0,因此=-或=-,因此e==或.【变式训练】(2020·白山高二检测)设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x ±2y=0,则该双曲线的离心率为.【解析】因为双曲线的焦点在x轴上,且渐近线方程为3x±2y=0,因此=,因此该双曲线的离心率e==.答案:3.(2020·温州高二检测)双曲线x2-y2=1的渐近线方程是( )A.x=±1B.y=±xC.y=±xD.y=±x【解析】选C.由双曲线x2-y2=1,得a2=1,b2=1,即a=1,b=1,因此渐近线方程为y=±x=±x.4.(2020·太原高二检测)已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选A.设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),由因此a=2,又b2=c2-a2=12,因此双曲线的标准方程为-=1.5.(2020·湖北高考)已知0<θ<,则双曲线C1:-=1与C2:-=1的( )A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【解题指南】分别求两双曲线的半焦距c的值.【解析】选D.c1=c2=1.【举一反三】若双曲线C1与C2的方程分别改为:C1:-=1,C2:-=1则结论如何?【解析】选C.关于双曲线C1,有a=cosθ,b=sinθ,因此c2=cos2θ+sin2θ=1,e==.关于双曲线C2,有a=sinθ,b=sinθtanθ,因此c2=sin2θ(1+tan2θ)=sin2θ=,e===.即e1=e2=,故两双曲线离心率相等.6.(2020·孝感高二检测)设F1,F2是双曲线x2-=1的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P,使PF1⊥PF2,且|PF1|=λ|PF2|,则λ的值为( )A.2B.C.3D.【解析】选A.因为PF1⊥PF2,因此|PF1|2+|PF2|2=20,又|PF1|-|PF2|=2,因此|PF1|=4,|PF2|=2,因此|PF1|=2|PF2|,故选A.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2020·广州高二检测)若双曲线-=1(b>0)的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),则双曲线的渐近线方程为________________________.【解析】由双曲线-=1(b>0)的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),因此9+b2=52,得b=4, 又a=3,因此双曲线方程为-=1,故渐近线方程为4x±3y=0.答案:4x±3y=08.(2020·南昌高二检测)设圆过双曲线-=1的一个顶点和一个焦点,圆心在双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是.【解析】不妨设圆心在右支上且在第一象限,若圆过右焦点和左顶点,则如此的圆不存在,故圆只能过右顶点A2(2,0),右焦点F2(4,0),则圆心P为A2F2的垂直平分线与双曲线的交点,将x=3代入双曲线方程,得P(3,).故|OP|==2.答案:29.(2020·重庆高二检测)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在双曲线的右支上存在一点P满足:①△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形;②直线PF1与圆x2+y2=a2相切,则此双曲线的离心率为.【解析】因为|PF1|-|PF2|=2a,|PF2|=|F1F2|=2c,因此|PF1|=2a+2c,作F2M⊥PF1于M,则|MP|=|PF1|=a+c,因此|MF2|===,又设圆x2+y2=a2与直线PF1切于T,则|OT|=a,由|OT|=|F2M|得:a=,即3c2-2a2-2ac=0,同除以a2得3e2-2e-2=0(e>1),解得e=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2020·大庆高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)和椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍,求双曲线的方程.【解析】由椭圆+=1,得a′2=16,b′2=9,c′2=a′2-b′2=7,因此a′=4,c′=,故椭圆离心率为e1==.因为双曲线与椭圆+=1有相同焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍,因此双曲线的两焦点为F1(-,0),F2(,0),离心率e2==,因此,a=2,b2=c2-a2=7-4=3.因此双曲线的方程为-=1.11.焦点在x轴上的双曲线,它的两条渐近线的夹角为,焦距为12,求此双曲线的方程及离心率.【解析】由已知可设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),因此两条渐近线为y=±x.因为两条渐近线的夹角为,故分两种情形,即y=x的倾斜角为或.当y=x的倾斜角为时,因此=tan=,因此=,即a2=3b2.又2c=12,因此c=6.由c2=a2+b2,得b2=9,a2=27.因此双曲线方程为-=1,e===.当y=x的倾斜角为时,因此=tan=,因此b2=3a2.又2c=12,因此c=6.由c2=a2+b2,得a2=9,b2=27.因此双曲线方程为-=1,e===2.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2020·福建高考)双曲线-y2=1的顶点到渐近线的距离等于( )A. B. C. D.【解析】选C.双曲线的右顶点为(2,0),渐近线方程为x-2y=0,则顶点到渐近线的距离为=.【变式训练】(2020·福建高考)双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A. B. C.1 D.【解题指南】先求顶点,后求渐近线方程,再用距离公式.【解析】选B.顶点到渐近线y=x的距离为.2.(2020·北京高考)双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是( )A.m>B.m≥1C.m>1D.m>2【解题指南】找出a2,b2,c2,表示出离心率,再解出m.【解析】选C.a2=1,b2=m,c2=1+m,e==>,因此m>1.3.(2020·唐山高二检测)设F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|,且cos∠PF1F2=,则双曲线的渐近线方程为( )A.3x±4y=0B.4x±3y=0C.3x±5y=0D.5x±4y=0【解题指南】依照|PF2|=|F1F2|,结合双曲线的定义,可得出|PF1|=2a+2c,再由cos ∠PF1F2=,找出的值.【解析】选B.作F2Q⊥PF1于Q,因为|F1F2|=|PF2|,因此Q为PF1的中点,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,因此|PF1|=2a+2c,故|F1Q|=a+c,因为cos∠PF1F2=,因此=cos∠PF1F2,即=,得3c=5a,因此3=5a,得=,故双曲线的渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0.4.(2020·青岛高二检测)已知F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的一点,⊥,且||=||,则双曲线的离心率为( )A. B.1+ C.2 D.1+【解题指南】由于|PF1|=|PF2|又点P是靠近F2的那一支上的一点,则可依照双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,再结合|PF1|=|PF2|求出|PF1|,|PF2|的值,然后再依照F1F2⊥PF2推出|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2即可得出关于a,c的关系式从而可求出离心率e.【解析】选B.因为|PF1|=|PF2|,|PF1|-|PF2|=2a,因此|PF1|=2a(2+),|PF2|=2a(1+),因为F1F2⊥PF2,|F1F2|=2c,因此|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2,因此c2=(3+2)a2,因此e==1+.【变式训练】(2020·陕西高考)双曲线-=1的离心率为.【解题指南】利用双曲线的标准方程中c2=a2+b2及离心率的求解公式e=得解. 【解析】由=得e2==,因此e=.答案:二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020·哈尔滨高二检测)双曲线的离心率为2,则双曲线的两条渐近线所成的锐角是.【解析】由e==2,因此=2,即=,因此tanθ=(其中θ为一条渐近线的倾斜角).因此θ=60°,因此两条渐近线所成的锐角为60°.答案:60°6.(2020·重庆高考改编)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得=b2-3ab,则该双曲线的离心率为.【解析】由双曲线的定义知,=4a2,又=b2-3ab,因此4a2=b2-3ab,等号两边同除a2,化简得-3·-4=0,解得=4或=-1(舍去),故离心率e=====.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x2+y2=10相交于点P(3,-1),若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行,求此双曲线的方程.【解析】切点为P(3,-1)的圆的切线方程为3x-y=10,因为双曲线的一条渐近线平行于此切线,且双曲线关于两坐标轴对称.因此双曲线的渐近线方程为3x±y=0.当焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则其渐近线方程为y=±x,即=3,则双曲线方程可化为-=1,因为双曲线过点P(3,-1),因此-=1,因此a2=,b2=80,因此所求双曲线方程为-=1.当焦点在y轴上时,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则渐近线方程为y=±x,即=3,则双曲线方程可化为-=1,因为双曲线过点P(3,-1),因此-=1,得-=1,无解.综上可知所求双曲线方程为-=1.【一题多解】切点为P(3,-1)的圆的切线方程为3x-y=10.因为双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称.因此双曲线的两条渐近线方程为3x±y=0,设所求的双曲线方程为9x2-y2=λ(λ≠0),因为点P(3,-1)在所求双曲线上,因此λ=80.因此所求双曲线方程为-=1.8.设F1,F2分别为双曲线-=1的左、右焦点,A1,A2分别为那个双曲线的左、右顶点,P为双曲线右支上的任意一点,求证:以A1A2为直径的圆既与以PF2为直径的圆外切,又与以PF1为直径的圆内切.【解题指南】设N,M分别是PF1,PF2的中点,只要证明|OM|=a+|PF2|,同时|ON|=|PF1|-a即可.注意点P在双曲线的右支上,F1,F2是双曲线的两个焦点,满足了运用定义的条件特点,故应从双曲线的定义入手去探究证明的途径.【证明】如图,以A1A2为直径的圆的圆心为O,半径为a,令M,N分别是PF2,PF1的中点,由三角形中位线的性质,得|OM|=|PF1|.又依照双曲线的定义,得|PF1|=2a+|PF2|,从而有|OM|=(2a+|PF2|)=a+|PF2|.这说明,两圆的圆心距等于两圆半径之和,故以A1A2为直径的圆与以PF2为直径的圆外切.同理,得|ON|=|PF2|=(|PF1|-2a)=|PF1|-a.这说明两圆的圆心距等于两圆半径之差,故以A1A2为直径的圆与以PF1为直径的圆内切.。
《2.3.1双曲线及其标准方程》课时提升作业(含答案解析)
课时提升作业(十四)双曲线及其标准方程(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2021·长春高二检测)双曲线-=1的焦距为( )A. B.2 C.4 D.8【解析】选D.由方程-=1,得a2=9,b2=7,所以c2=a2+b2=16,即c=4,所以焦距2c=8.2.“mn<0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线,则有m>0,n<0,故mn<0,若m·n<0,则m>0,n<0或m<0,n>0.故选B.3.(2021·南昌高二检测)设双曲线-=1上的点P到点(4,0)的距离为10,则点P到点(-4,0)的距离为( )A.16B.16+2C.10+2或10-2D.16或4【解析】选C.由-=1,得a2=7,b2=9,所以c2=a2+b2=16,c=4,a=,所以F2(4,0)和F1(-4,0)为双曲线的焦点.由||PF1|-|PF2||=2a=2,故|PF1|=10+2或10-2.4.(2021·济宁高二检测)如图,△ABC外接圆半径R=,∠ABC=120°,BC=10,弦BC在x轴上且y轴垂直平分BC边,则过点A且以B,C为焦点的双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.由正弦定理得=2R,所以|AC|=2××=14,由余弦定理得|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB||BC|cos∠ABC,即|AB|2+10|AB|-96=0,解得|AB|=6,依题意设双曲线的方程为-=1,则|BC|=2c=10,|AC|-|AB|=2a=14-6=8,所以c=5,a=4,则b2=c2-a2=9,因此所求双曲线的方程为-=1.5.已知△ABP的顶点A,B分别为双曲线C:-=1的左、右焦点,顶点P在双曲线C上,则的值等于( )A. B. C. D.【解题指南】使用△ABP中的正弦定理.【解析】选D.在△A BP中,根据正弦定理得=.由条件可知,c2=16+9=25,所以|AB|=2c=10,且||PB|-|PA||=2a=8,所以===.6.(2021·宿州高二检测)过双曲线-=1(a,b>0)的左焦点F1,作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P,切点为T,PF1的中点M在第一象限,则以下结论正确的是( )A.b-a=|MO|-|MT|B.b-a>|MO|-|MT|C.b-a<|MO|-|MT|D.b-a与|MO|-|MT|的大小不确定【解析】选A.设F2为双曲线的右焦点,连PF2,因M为PF1中点,故|MO|=|PF2|=(|PF1|-2a)=|PF1|-a=|MF1|-a,|MO|-|MT|=|MF1|-|MT|-a=|F1T|-a.连OT,则△F1OT为直角三角形,且|OT|=a,|OF1|=c,所以|F1T|==b,故|MO|-|MT|=b-a.二、填空题(每小题4分,共12分)7.已知点F1,F2分别是双曲线-=1(a>0)的左、右焦点,P是该双曲线上的一点,且|PF1|=2|PF2|=16,则△PF1F2的周长是.【解析】因为|PF1|=2|PF2|=16,所以|PF1|-|PF2|=16-8=8=2a,所以a=4.又因为b2=9,所以c2=25,所以2c=10.所以△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=16+8+10=34.答案:34【举一反三】本题条件不变,则△PF1F2的面积是.【解析】因为|PF1|=2|PF2|=16,所以|PF1|-|PF2|=16-8=8=2a.所以a=4,又因为b2=9,所以c2=25,所以2c=10,在△F1PF2中,由余弦定理得cos∠F1PF2===.所以sin∠F1PF2==,所以=|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=×16×8×=.答案:8.(2021·唐山高二检测)已知P是双曲线-=1上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,若|PF1|=17,则|PF2|的值为.【解析】由条件知a2=64,即a=8,c2=b2+a2=100,c=10,所以双曲线右支上的点到左焦点F1的最短距离a+c=18>17,故点P在双曲线左支上.所以|PF2|-|PF1|=2a=16,即|PF2|=16+|PF1|=33.答案:33【误区警示】本题易直接利用定义求解,忽视右支上的点到左焦点的最短距离为a+c,而出现错误结论|PF2|=1或|PF2|=33.9.(2021·双鸭山高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),点P(3,)在双曲线上,则双曲线方程为______________. 【解析】|PF1|==4,|PF2|==2,|PF1|-|PF2|=2=2a,所以a=,又c=2,故b2=c2-a2=2,所以双曲线的方程为-=1.答案:-=1【变式训练】已知双曲线上两点P1,P2的坐标分别为(3,-4),,求双曲线的方程.【解析】设所求双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0),依题意有解得故所求双曲线方程为-=1.三、解答题(每小题10分,共20分)10.如图,已知双曲线中c=2a,F1,F2为左、右焦点,P是双曲线上的点,∠F1PF2=60°,=12.求双曲线的标准方程.【解析】由题意可知双曲线的标准方程为-=1.由于||PF1|-|PF2||=2a,在△F1PF2中,由余弦定理得cos60°==,所以|PF1|·|PF2|=4(c2-a2)=4b2,所以=|PF1|·|PF2|·sin60°=2b2·=b2,从而有b2=12,所以b2=12,c=2a,结合c2=a2+b2,得a2=4.所以双曲线的标准方程为-=1.11.双曲线-=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上.若PF1⊥PF2,求点P到x轴的距离.【解题指南】这是一道典型的与焦点三角形有关的问题.可设点P(x0,y0),则|y0|就是点P到x轴的距离,故只需求出点P的纵坐标即可.【解析】设P点为(x0,y0),而F1(-5,0),F2(5,0),则=(-5-x0,-y0),=(5-x0,-y0).因为PF1⊥PF2,所以·=0,即(-5-x0)(5-x0)+(-y0)·(-y0)=0,整理,得+=25①.又因为P(x0,y0)在双曲线上,所以-=1②.联立①②,得=,即|y0|=.因此点P到x轴的距离为.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.若方程-=1表示双曲线,则实数m的取值范围是( )A.m≠1且m≠-3B.m>1C.m<-3或m>1D.-3<m<1【解析】选C.由(m-1)(m+3)>0,得m>1或m<-3.【举一反三】若方程-=1表示焦点在x轴上的双曲线,则实数m的取值范围是( )【解析】选B.由已知得得m>1.2.(2021·太原高二检测)设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若点P在双曲线上,有·=0,则|+|=( )A. B.2 C. D.2【解析】选B.因为·=0,所以PF1⊥PF2,即△PF1F2为直角三角形,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2)2=40,|+|====2.3.(2021·济宁高二检测)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C 上,∠F1PF2=60°,则P到x轴的距离为( )A. B. C. D.【解析】选B.因为||PF1|-|PF2||=2,所以|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=4,所以|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1|·|PF2|,由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2=2|PF1|·|PF2|cos 60°,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|·|PF2|,又a=1,b=1,所以c==,所以|F1F2|=2c=2,所以4+2|PF1||PF2|=|PF1|·|PF2|+8,所以|PF1|·|PF2|=4.设P到x轴的距离为|y0|,=|PF1||PF2|sin 60°=|F1F2|·|y0|,所以×4×=×2|y0|,所以y0==.4.(2021·长沙高二检测)已知P为双曲线-=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,I是△PF1F2的内心,若=+λ成立,则λ的值为( )A. B.C. D.【解析】选 B.△IPF1,△IPF2,△IF1F2的高均为△PF1F2内切圆的半径,故|PF1|·r=|PF2|·r+λ×|F1F2|r,所以|PF1|=|PF2|+λ|F1F2|,即|PF1|-|PF2|=λ|F1F2|,所以2a=λ×2c,λ==.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2021·黄石高二检测)已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),点P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值是.【解析】由双曲线-=1,得c=4,所以左焦点F(-4,0),右焦点F′(4,0),由双曲线的定义得:|PF|-|PF′|=2a=4,所以|PF|+|PA|=4+|PF′|+|PA|≥4+|AF′|=4+=9,此时P为AF′与双曲线的交点,即|PF|+|PA|的最小值为9.答案:96.(2021·杭州高二检测)已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是此双曲线上一点,若·=0,||·||=2,则该双曲线的方程是.【解析】设双曲线的方程为-=1,由题意得||MF1|-|MF2||=2a,|MF1|2+|MF2|2=(2)2=20,又因为||·||=2,所以|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|=4a2,即20-2×2=4a2,所以a2=4,b2=c2-a2=5-4=1,所以双曲线的方程为-y2=1.答案:-y2=1三、解答题(每小题12分,共24分)7.当0°≤α≤180°时,方程x2cosα+y2sinα=1表示的曲线怎样变化?【解题指南】根据cosα的取值,对角α分五类进行讨论,由直线、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状.【解析】(1)当α=0°时,方程为x2=1,它表示两条平行直线x=±1.(2)当0°<α<90°时,方程为+=1.①当0°<α<45°时,0<<,它表示焦点在y轴上的椭圆.②当α=45°时,它表示圆x2+y2=.③当45°<α<90°时,>>0,它表示焦点在x轴上的椭圆.(3)当α=90°时,方程为y2=1,它表示两条平行直线y=±1.(4)当90°<α<180°时,方程为-=1,它表示焦点在y轴上的双曲线.(5)当α=180°时,方程为x2=-1,它不表示任何曲线.8.某部队进行军事演习,一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点A,B,C的报告:正西、正北两个观测点同时听到了炮弹的爆炸声,正东观测点听到爆炸声的时间比其他两个观测点晚4s,已知各观测点到该中心的距离都是1020m,试确定该枚炮弹的袭击位置.(声音的传播速度为340m/s,相关各点均在同一平面内)【解析】如图,以指挥中心为原点,正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020).设P(x,y)为炮弹的袭击位置,则|PB|-|PA|=340×4<|AB|,由双曲线定义,知点P在以A,B为焦点的双曲线的左支上,且a=680,c=1020, 所以b2=10202-6802=5×3402.所以双曲线方程为-=1(x≤-680).①又|PA|=|PC|,因此P在直线y=-x上,把y=-x代入①式,得x≈-1521.所以P(-1521,1521),|OP|=1521(m).故该枚炮弹的袭击位置在北偏西45°,距指挥中心1521m处.。
金榜同步高中数学北师大选修课时提升卷第章 § 第课时 双曲线方程及性质的应用
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课时提升卷(十六)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共30分)1.(2013·承德高二检测)已知双曲线-=1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( ) A.-=1 B.-=1C.-=1D.-=12.已知点F是双曲线-=1(a>0，b>0)的右焦点，点C是该双曲线的左顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABC是直角三角形，则此双曲线的离心率是( )A.2B.C.+1D.+13.(2013·大庆高二检测)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是( )A.(-1，)B.(1，)C.(-，1)D.(-，-1)4.已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为y=x，点P(，y0)在该双曲线上，则·等于( )A.-12B.-4C.0D.45.P为双曲线-=1的右支上一点，M，N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为( )A.6B.7C.8D.9二、填空题(每小题8分，共24分)6.(2013·日照高二检测)直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1有且只有一个交点，则k 的值为.7.(2013·九江高二检测)直线x-y+=0被双曲线x2-y2=1截得的弦AB的长是.8.以P(1，2)为中点作双曲线2x2-y2=2的一条弦AB，则直线AB的方程为.三、解答题(9题，10题14分，11题18分)9.过双曲线-=1(a>0，b>0)的右焦点F作双曲线斜率大于零的渐近线的垂线l，垂足为P，设l与双曲线的左、右两支相交于A，B两点.(1)求证：点P在直线x=上.(2)求双曲线的离心率e的取值范围.10.(2013·冀州高二检测)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，右准线方程为x=.(1)求双曲线C的方程.(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值.11.(能力挑战题)在直角坐标系xOy中，点M(2，-)，点F为抛物线C：y=mx2(m>0)的焦点，线段MF恰被抛物线C平分.(1)求m的值.(2)过点M作直线l交抛物线C于A，B两点，设直线FA，FM，FB的斜率分别为k1，k2，k3，问k1，k2，k3能否成公差不为零的等差数列?若能，求直线l的方程.若不能，请说明理由.答案解析1.【解析】选A.∵双曲线的渐近线方程为y=±x，圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4，∴圆心为C(3，0).又渐近线方程与圆C相切，即直线bx-ay=0与圆C相切，∴=2，∴5b2=4a2①又-=1的右焦点F 2(，0)为圆心C(3，0)，∴a2+b2=9 ②由①②得a2=5，b2=4∴双曲线方程为-=1.2.【解析】选A.把x=c代入-=1得y=±，且由双曲线的对称性知|AC|=|BC|，又∵△ABC为直角三角形，∴=a+c即e2-e-2=0，解得e=2(e=-1舍去).3.【解析】选D.设直线与双曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(1-k2)x2-4kx-10=0，因为直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点，∴解得-<k<-1.4.【解析】选C.∵双曲线的一条渐近线为y=x，∴b=，∴双曲线方程为-=1，把x=代入得y 0=±1，取P(，1)，又F1(-2，0)，F2(2，0)，∴=(-2-，-1)，=(2-，-1)，∴·=(-2-)(2-)+1=0.【变式备选】若点O和点F(-2，0)分别为双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围是( )A.[3-2，+∞)B.[3+2，+∞)C.[-，+∞)D.[，+∞)【解析】选B.由条件可知，a2+1=4，∴a2=3，设P(x 0，y0)，则x0≥，·=(x0，y0)·(x0+2，y0)=+2x0+(-1)=(x0+)2-，∵x0≥，∴x0=时，·有最小值，其值为3+2，∴·∈[3+2，+∞).【拓展提升】平面几何与平面向量的结合平面解析几何与平面向量在高考中是重要的交汇点，当这种题目出现时，要注意以下几点：(1)合理使用平面向量的坐标表示和坐标运算.(2)合理使用平面几何中的结论、关系等.(3)把几何运算转化为代数运算，利用代数运算的结果解释平面几何问题.5.【解析】选D.如图所示，由题意可知双曲线方程中的a=3，b=4.焦点为(±5，0)，两个圆的圆心与半径分别为(±5，0)，R1=2，R2=1，易知|PM|max=|PF1|+R1 =|PF1|+2，|PN|min=|PF2|-R2=|PF2|-1，则(|PM|-|PN|)max=|PM|max-|PN|min= |PF1|+2-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3，由于P在双曲线-=1的右支上，所以|PF1|-|PF2|=2a=6.∴|PM|-|PN|的最大值为9.故选D.6.【解题指南】直线与双曲线联立，考虑x2的系数为0和Δ=0的情况求解. 【解析】由得(1-k2)x2+2kx-2=0，当1-k2=0时，即k=±1时，此时直线与双曲线渐近线平行，有且只有一个交点，当1-k2≠0时，Δ=4k 2+8(1-k2)=0，解得k=±.此时直线与双曲线相切，有且只有一个公共点，综上所述：k=±1或±.答案：±1或±7.【解析】由直线方程得y=x+，代入x2-y2=1得x2-3(x+1)2=1，即x2+3x+2=0，∴x1+x2=-3，x1·x2=2.∴|AB|=|x 1-x2|==2.答案：28.【解析】设弦AB的端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则2-=2，2-=2，作差得2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)，由x1+x2=2，y1+y2=4，得k AB=1，∴直线AB的方程为y-2=x-1，即x-y+1=0，经检验符合题意.答案：x-y+1=09.【解析】(1)设右焦点为F(c，0)，斜率大于零的渐近线的方程为y=x，则l 的方程为y=-(x-c)，从而得点P的坐标为P(，).故点P在直线x=上.(2)由消去y，得(b4-a4)x2+2a4cx-a2(a2c2+b4)=0.∵A，B两点分别在双曲线左、右两支上，设A，B两点的横坐标分别为x A，x B，由b4-a4≠0，且x A·x B<0，即<0，得b2>a2，∴c 2-a2>a2，∴c2>2a2，∴e=>.即双曲线的离心率e的取值范围为e>.10.【解析】(1)由题意，得解得a=1，c=，∴b2=c2-a2=2，∴所求双曲线C的方程为x2-=1.(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，由得x2-2mx-m2-2=0(判别式Δ>0)，∴x0==m，y0=x0+m=2m，∵点M(x0，y0)在圆x2+y2=5上，∴m2+(2m)2=5，∴m=±1.11.【解析】(1)焦点F的坐标为(0，)，线段MF的中点N(1，-)在抛物线C上，∴-=m，8m2+2m-1=0，∴m=(m=-舍).(2)由(1)知：抛物线C：x2=4y，F(0，1).设l方程为：y+=k(x-2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由得：x2-4kx+8k+2=0，Δ=16k2-4(8k+2)>0，∴k<或k>.假设k1，k2，k3能成公差不为零的等差数列，则k1+k3=2k2.而k1+k3=+=====，k2=-，∴=-，8k2+10k+3=0，解得：k=-<(符合题意)，k=-(此时直线l经过焦点F，k1=k2=k3，不合题意，舍去)，直线l的方程为y+=-(x-2)，即x+2y-1=0.故k1，k2，k3能成公差不为零的等差数列，直线l的方程为：x+2y-1=0.关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业 十四 2.2.2.2
课时提升作业十四双曲线方程及性质的应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019·全国卷Ⅰ)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若·<0,则y0的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选A.因为F1(-,0),F2(,0),-=1,所以·=(--x0,-y0)·(-x0,-y0)=+-3<0,即3-1<0,解得-<y0<.2.(2019·重庆高二检测)已知双曲线x2-y2=2,过定点P(2,0)作直线l与双曲线有且只有一个交点,则这样的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为点P(2,0)在双曲线含焦点的区域内,故只有当直线l与渐近线平行时才会与双曲线只有一个交点,故这样的直线只有两条.【补偿训练】过双曲线x2-=1的右焦点作直线与双曲线交于A,B两点,若|AB|=16,这样的直线有( )A.一条B.两条C.三条D.四条【解析】选C.过右焦点且垂直于x轴的弦长为16,因为|AB|=16,所以当l与双曲线的两交点都在右支上时只有一条.又因为实轴长为2,16>2,所以当l与双曲线的两交点在左、右两支上时应该有两条,共三条.3.(2019·泉州高二检测)若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差为8,则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是( ) A.x+y=5 B.x2+y2=9C.+=1D.x2=16y【解析】选B.因为M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差为8,所以M的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支,方程为-=1(x≥4),A:直线x+y=5过点(5,0)满足题意;B:x2+y2=9的圆心为(0,0),半径为3,与M的轨迹没有交点,不满足题意;C:+=1的右顶点(5,0),满足题意;D:方程代入-=1,可得y-=1,即y2-9y+9=0,所以y=3,满足题意.4.(2019·青岛高二检测)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若=,则双曲线的离心率是( )A. B. C. D.【解析】选C.右顶点为A(a,0),则直线方程为x+y-a=0,可求得直线与两渐近线的交点坐标B,C,则=,=.又2=,所以2a=b,所以e=.【补偿训练】已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1作垂直于x轴的直线交双曲线于A,B两点.若△ABF2为直角三角形,则双曲线的离心率为( )A.1+B.1±C. D.±1【解析】选A.因为△ABF2是直角三角形,所以∠AF2F1=45°,|AF1|=|F1F2|,=2c.所以b2=2ac,所以c2-a2=2ac,所以e2-2e-1=0.解得e=1±.又e>1,所以e=1+.5.(2019·沈阳高二检测)已知双曲线E的中心在原点,F(3,0)是E的焦点,过F 的直线l与E相交于A,B两点,且AB中点为N(-12,-15),则E的方程为( ) A.-=1 B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选 B.由已知条件易得直线l的斜率k==1,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,-=1,两式相减并结合x1+x2=-24,y1+y2=-30得=,从而=1,又因为a2+b2=c2=9,故a2=4,b2=5,所以E的方程为-=1.【拓展延伸】解决与双曲线弦的中点有关问题的两种方法(1)根与系数的关系法:联立直线方程和双曲线方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入双曲线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,可求斜率k=.这是解决与中点有关问题的简便而有效的方法.求弦中点轨迹问题,此方法依然有效.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2019·济南高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)和椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为.【解析】由题意知,椭圆的焦点坐标是(±,0),离心率是.故在双曲线中c=,e==,故a=2,b2=c2-a2=3,故所求双曲线的方程是-=1.答案:-=17.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F且斜率为的直线交双曲线C于A,B两点.若=4,则双曲线C的离心率为.【解析】设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由得(b2-3a2)y2+2b2cy+3b4=0,因为b2-3a2≠0,所以y1+y2=,y1y2=,由=4得y1=-4y2,所以-3y2=,-4=,所以y2=,代入-4=,得16c2=27a2-9b2,又b2=c2-a2,所以16c2=27a2-9c2+9a2,所以36a2=25c2,所以e2=,所以e=.答案:8.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是.【解析】由消去y得x2-2mx-m2-2=0.Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0.设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,所以线段AB的中点坐标为(m,2m),又因为点(m,2m)在圆x2+y2=5上,所以5m2=5,所以m=±1.答案:±1【补偿训练】双曲线-=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上,若PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为.【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n(m>n),所以a=3,b=4,c=5.由双曲线的定义知,m-n=2a=6,又PF1⊥PF2.所以△PF1F2为直角三角形.即m2+n2=(2c)2=100.由m-n=6,得m2+n2-2mn=36,所以2mn=m2+n2-36=64,mn=32.设点P到x轴的距离为d,=d|F1F2|=|PF1|·|PF2|,即d·2c=mn.所以d===3.2,即点P到x轴的距离为3.2.答案:3.2三、解答题(每小题10分,共20分)9.双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F 且垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知||,||,||成等差数列,且与同向.(1)求双曲线的离心率.(2)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.【解析】(1)设OA=m-d,AB=m,OB=m+d,双曲线方程为-=1.由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2,得d=m,tan∠AOF=,tan∠AOB=tan2∠AOF==.由倍角公式得=,解得=,则离心率e=.(2)直线AB的方程为y=-(x-c),与双曲线方程-=1联立消y并将a=2b,c=b 代入,化简有x2-x+21=0.x1+x2=,x1·x2=,设交点A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|==4,将数值代入,得4=,解得b=3,故所求的双曲线方程为-=1.10.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A,B两点.(1)若以AB为直径的圆过坐标原点,求实数a的值.(2)是否存在这样的实数a,使A,B两点关于直线y=x对称?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由消去y得,(3-a2)x2-2ax-2=0. ①依题意即-<a<且a≠±②设A(x1,y1),B(x2,y2),则因为以AB为直径的圆过原点,所以OA⊥OB.所以x1x2+y1y2=0,y1y2=a2x1x2+a(x1+x2)+1,由③④知(a2+1)·+a·+1=0.解得a=±1且满足②.所以实数a的值为±1.(2)假设存在实数a,使A,B关于y=x对称,则直线y=ax+1与y=x垂直,所以a=-2.直线l的方程为y=-2x+1.将a=-2代入③得x1+x2=4.所以AB中点横坐标为2,纵坐标为y=-2×2+1=-3.但AB中点(2,-3)不在直线y=x上.即不存在实数a,使A,B关于直线y=x对称.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2019·郑州高二检测)直线y=x与双曲线C:-=1(a>0,b>0)左右两支分别交于M,N两点,F是双曲线C的右焦点,O是坐标原点,若||=||,则双曲线的离心率等于( )A.+B.+1C.+1D.2【解析】选B.由题知|MO|=|NO|=|FO|,所以△MFN为直角三角形,且∠MFN=90°,取左焦点为F0,连结NF0,MF0,由双曲线的对称性知,四边形NFMF0为平行四边形. 又因为∠MFN=90°,所以四边形NFMF0为矩形,所以|MN|=|F0F|=2c,又因为直线MN的倾斜角为60°,即∠NOF=60°,所以∠NMF=30°,所以|NF|=|MF0|=c,|MF|=c,由双曲线定义知|MF|-|MF0|=c-c=2a,所以e==+1.【补偿训练】过双曲线M:x2-=1(b>0)的左顶点A作斜率为1的直线l.若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B,C,且B是AC的中点,则双曲线M的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选D.由题意可知A(-1,0),故直线l的方程为y=x+1.两条渐近线方程为y=±bx,由已知联立得B,同理可得C,又B是AC的中点,故2×=0+,解得b=3.故c==.所以e==.2.(2019·黄冈高二检测)已知平面上两点M(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P 使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线中是“单曲型直线”的是( )①y=x+1; ②y=2; ③y=x; ④y=2x+1.A.①③B.③④C.②③D.①②【解析】选D.因为|PM|-|PN|=6,所以点P在以M,N为焦点的双曲线的右支上,即-=1(x>0).对于①,联立消y得7x2-18x-153=0,因为Δ=(-18)2-4×7×(-153)>0,所以y=x+1是“单曲型直线”.对于②,联立消y得x2=,所以y=2是“单曲型直线”.对于③,联立整理得0=1,不成立,所以y=x不是“单曲型直线”. 对于④,联立消y得20x2+36x+153=0,因为Δ=362-4×20×153<0,所以y=2x+1不是“单曲型直线”.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2019·福州高二检测)设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B,则△AFB的面积为.【解题指南】由双曲线的方程可得a,b的值,进而可得c的值,得到A,F两点的坐标.因此可得BF的方程为y=±(x-5),与双曲线的渐近线方程联立,得到点B 的坐标,即可算出△AFB的面积.【解析】根据题意,得a2=9,b2=16,所以c==5,且A(3,0),F(5,0).因为双曲线-=1的渐近线方程为y=±x.所以直线BF的方程为y=±(x-5).①若直线BF的方程为y=(x-5),与渐近线y=-x交于点B,此时S△AFB=|AF|·|y B|=×2×=;②若直线BF的方程为y=-(x-5),与渐近线y=x交于点B.此时S△AFB=|AF|·|y B|=×2×=.因此,△AFB的面积为.答案:4.(2019·浙江高考)设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.【解析】由已知a=1,b=,c=2,则e==2,设P(x,y)是双曲线上任意一点,由对称性不妨设P在右支上,则1<x<2,|PF1|=2x+1,|PF2|=2x-1,∠F1PF2为锐角,则|PF1|2+|PF2|2>|F1F2|2即(2x+1)2+(2x-1)2>42,解得x>,所以<x<2,所以|PF1|+|PF2|=4x∈(2,8).答案:(2,8)三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2019·南昌高二检测)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0).如图,B是右顶点,F 是右焦点,点A在x轴正半轴上,且满足||,||,||成等比数列,过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l,垂足为P.(1)求证:·=·.(2)若l与双曲线C的左右两支分别相交于点E,D,求双曲线离心率e的取值范围. 【解析】(1)双曲线的渐近线为y=±x,F(c,0),所以直线l的斜率为-,所以直线l:y=-(x-c).由得P,因为||,||,||成等比数列,所以x A·c=a2,所以x A=,A,=,=,=所以·=-,·=-,则·=·.(2)由得,x2+2cx-=0,x1x2=,因为点E,D分别在左右两支上,所以<0,所以b2>a2,所以e2>2,所以e>.6.(2019·哈尔滨高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e=,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离是.(1)求双曲线的方程及渐近线方程.(2)若直线y=kx+5(k≠0)与双曲线交于不同的两点C,D,且两点都在以A为圆心的同一个圆上,求k的值.【解析】(1)直线AB的方程为+=1,即bx-ay-ab=0.又原点O到直线AB的距离=⇒ab=c,由得所求双曲线方程为-y2=1,渐近线方程为y=±x.(2)由(1)可知A(0,-1),设C(x1,y1),D(x2,y2),由|AC|=|AD|得:所以3+3+(y1+1)2=3+3+(y2+1)2,整理得:(y1-y2)[2(y1+y2)+1]=0,因为k≠0,所以y1≠y2,所以y1+y2=-,又由⇒(1-3k2)y2-10y+25-3k2=0,所以y1+y2==-,得k2=7,由Δ=100-4(1-3k2)(25-3k2)>0⇒0<k2<,k2=7满足此条件,故满足题设的k=±.【一题多解】(2)由⇒(1-3k2)x2-30kx-78=0,设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点M(x0,y0),因为|AC|=|AD|,所以M在CD的中垂线AM上,因为l AM:y+1=-x,所以+1=-·,整理得k2=7,解得k=±.(k2=7满足1-3k2≠0且Δ>0).。
《2.3.2.2双曲线方程及性质的应用》课时提升作业(含解析)
A.9
B.8
C.7
D.6
【解析】选 A. 由双曲线x2-y2=1,知 a2=9,b2=16,所以 c2=25,所以 c=5.因
9 16
此双曲线左、右焦点分别是 F1(-5,0),F2(5,0),由圆的方
程知,两圆的圆心分别为左、右焦点,由双曲线的定义知
|PF1|-|PF2|=2a=6,结合图形当 M 为 PF1 延长线与圆交点时 PM 最长,当 N 为 PF2 与圆交点时 PN 最短,此时|PM|-|PN|最大,故最大值为 6+2+1=9.
6.(2014·天津高二检测)已知双曲线的方程为x2-y2=1(a>0,b>0),过左焦点
a2 b2
F1
作
斜率为
3的直线交双曲线的右支于点 P,且
3
y
轴平分线段
F1P,则双曲线的离心率
为( )
A. 3
B. 5+1
C. 2
D.2+ 3
【解析】选
A.由双曲线x2-y2=1(a>0,b>0),得左焦点
a2 b2
A.x2-y2=1
36
C.x2-y2=1
63
B.x2-y2=1
45
D.x2-y2=1
54
【解析】选 B.由已知条件易得直线 l 的斜率 k= -15 - 0=1,设双曲线方程为x2-y2
-12 - 3
a2 b2
=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则
x21-y21=1,x22-y22=1,两
a2 b2
F1,F2,过
F1 作倾斜角为 30°的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2⊥x 轴,则双曲线的离心率
高中数学第二章双曲线方程及性质的应用课后提升训练含解析新人教A版选修84
,
x1x2=
=-
,消去 x2,
得 a2= .又因为 a>0,所以 a= .
马鸣风萧萧整理
有两个不同的解 ,
【解析】 因为正方形 OABC 的边长为 2,所以 B(2 因为 a2+b 2=c 2,所以 a=b=2.
,0),渐近线为 y= ± x.所以 c=2
,a=b. 又
答案 :2
【补偿训练】 过双曲线 - =1 的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为
的条数为 ( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【解析】 选 D. 依题意可得右焦点 F(5,0),
A. - =1
B. - =1
C. - =1
D. - =1
【解析】 选 A.由题意知 :a=2,a+b= c,又 c2=a2+b 2,且焦点在 y 轴上 ,选 A.
2.(2017·德化高二检测 )直线 y=k(x+
取值有 ( )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
)与双曲线 -y2=1 有且只有一个公共点 ,则 k 的不同 D.4 个
所以 e1= ,e2= .
所以双曲线中 :c=5,e= ,a= ,b2= ,
双曲线方程为
- =1.
椭圆中 :c=5,e= ,a=10,b2=a2-c2=75,
椭圆方程为
+ =1.
12.(2017·黄石高二检测 )已知双曲线 3x2-y2=3, 直线 l 过右焦点 F2,且倾斜角为 45° ,与双曲线交
方程为 y=x, 点 P( ,y0)在该双曲线上 ,则
·
=( )
A.-12
B.-2
C.0
D.4
课时提升作业十二..
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课时提升作业十二双曲线及其标准方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.设θ∈,则关于x,y的方程-=1所表示的曲线是( )A.焦点在y轴上的双曲线B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在x轴上的椭圆【解析】选C.方程即+=1,因为θ∈,所以sinθ>0,cosθ<0,且-cos θ>sinθ,故方程表示焦点在y轴上的椭圆.【补偿训练】在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程的曲线是( )A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线【解析】选D.方程mx2-my2=n可化为:-=1,因为mn<0,所以->0,所以方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线.2.(2016·枣庄高二检测)双曲线-=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为( )A.22或2B.7C.22D.2【解析】选A.因为a2=25,所以a=5.由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=10,由题意知|PF1|=12,所以|PF1|-|PF2|=±10,所以|PF2|=22或2.3.设动点P到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6,则P点的轨迹方程是( )A.-=1B.-=1C.-=1(x≤-3)D.-=1(x≥3)【解析】选D.由题意知,动点P的轨迹应为以A(-5,0),点B(5,0)为焦点的双曲线的右支.由c=5,a=3,知b2=16,所以P点的轨迹方程为-=1(x≥3).【误区警示】容易忽视x的取值范围而导致错选A.4.(2016·泉州高二检测)已知定点A,B且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是( )A. B. C. D.5【解析】选C.由题意知,动点P的轨迹是以定点A,B为焦点的双曲线的一支(如图),从图上不难发现,|PA|的最小值是图中AP′的长度,即a+c=.5.(2016·潍坊高二检测)双曲线-y2=1(n>1)的两焦点为F1,F2,P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2,则△PF1F2的面积为( )A. B.1 C.2 D.4【解析】选B.不妨设F1,F2是双曲线的左、右焦点,P为右支上一点,|PF1|-|PF2|=2,①|PF1|+|PF2|=2,②由①②解得:|PF1|=+,|PF2|=-,得:|PF1|2+|PF2|2=4n+4=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2,又由①②分别平方后作差得:|PF1||PF2|=2,所以=|PF1|·|PF2|=1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·唐山高二检测)已知P是双曲线-=1上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,若|PF1|=17,则|PF2|的值为.【解析】由条件知a2=64,即a=8,c2=b2+a2=100,c=10,所以双曲线右支上的点到左焦点F1的最短距离a+c=18>17,故点P在双曲线左支上.所以|PF2|-|PF1|=2a=16,即|PF2|=16+|PF1|=33.答案:33【误区警示】本题易直接利用定义求解,忽视右支上的点到左焦点的最短距离为a+c,而出现错误结论|PF2|=1或|PF2|=33.【补偿训练】在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-6,0)和C(6,0),若顶点B在双曲线-=1的左支上,则= .【解题指南】由正弦定理可将转化为边的比,而△ABC的顶点A,C已知,故边AC长可求,B在双曲线上,由定义可求|BC|-|BA|.【解析】由条件可知|BC|-|BA|=10,且|AC|=12,又在△ABC中,有===2R,从而==.答案:7.(2016·烟台高二检测)已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(-,0),点P位于该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是.【解析】设双曲线方程为-=1,因为c=,c2=a2+b2,所以b2=5-a2,所以-=1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2),则P点的坐标为(,4).代入双曲线方程得-=1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以双曲线方程为x2-=1.答案:x2-=18.已知双曲线-=1上一点M的横坐标为5,则点M到左焦点的距离是. 【解题指南】利用双曲线的定义求解.【解析】由于双曲线-=1的右焦点为F(5,0),将x M=5代入双曲线方程可得|y M|=,即为点M到右焦点的距离,由双曲线的定义知M到左焦点的距离为+2×3=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,且与椭圆的一个交点的纵坐标为4,求双曲线的方程.【解析】椭圆的焦点为F1(0,-3),F2(0,3),故可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),且c=3,a2+b2=9.由条件知,双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4,可得两交点的坐标为A(,4),B(-,4),由点A在双曲线上知,-=1.解方程组得所以所求双曲线的方程为-=1.10.如图,在△ABC中,已知|AB|=4,且三内角A,B,C满足2sinA+sinC=2sinB,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.【解析】以AB边所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系如图所示,则A(-2,0),B(2,0).由正弦定理,得sinA=,sinB=,sinC=(R为△ABC的外接圆半径).因为2sinA+sinC=2sinB,所以2a+c=2b,即b-a=,从而有|CA|-|CB|=|AB|=2<|AB|.由双曲线的定义知,点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点),因为a=,c=2,所以b2=c2-a2=6,即所求轨迹方程为-=1(x>)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·合肥高二检测)已知双曲线-=1的焦点为F1,F2,点M在双曲线上,且MF1⊥x轴,则F1到直线F2M的距离为( )A. B. C. D.【解析】选C.设F1到直线F2M的距离为d,不妨设点F1(-3,0),容易计算得出|MF1|=,|MF2|-|MF1|=2.解得|MF2|=.而|F1F2|=6,在直角三角形MF1F2中,由|MF1|·|F1F2|=|MF2|·d,求得F1到直线F2M的距离d为.2.(2016·沈阳高二检测)已知点P在曲线C1:-=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( )A.6B.8C.10D.12【解析】选 C.由双曲线的知识可知:C1:-=1的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),且|PF1|-|PF2|=8,而这两点正好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的半径分别是r1=1,r2=1,所以|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,所以|PQ|-|PR|的最大值为:(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=8+2=10.【补偿训练】(2016·太原高二检测)设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若点P在双曲线上,有·=0,则|+|= ( )A. B.2 C. D.2【解析】选B.因为·=0,所以PF1⊥PF2,即△PF1F2为直角三角形,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2)2=40,|+|====2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·黄冈高二检测)已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),点P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值是.【解析】由双曲线-=1,得c=4,所以左焦点F(-4,0),右焦点F′(4,0),由双曲线的定义得:|PF|-|PF′|=2a=4,所以|PF|+|PA|=4+|PF′|+|PA|≥4+|AF′|=4+=9,此时P为AF′与双曲线的交点,即|PF|+|PA|的最小值为9.答案:94.(2016·杭州高二检测)已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是此双曲线上一点,若·=0,||·||=2,则该双曲线的方程是.【解析】设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),由题意得||MF1|-|MF2||=2a,|MF1|2+|MF2|2=(2)2=20,又因为||·||=2,所以|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|=4a2,即20-2×2=4a2,所以a2=4,b2=c2-a2=5-4=1,所以双曲线的方程为-y2=1.答案:-y2=1三、解答题(每小题10分,共20分)5.当0°≤α≤180°时,方程x2cosα+y2sinα=1表示的曲线怎样变化?【解析】(1)当α=0°时,方程为x2=1,它表示两条平行直线x=1和x=-1.(2)当0°<α<90°时,方程为+=1.①当0°<α<45°时,0<<,它表示焦点在y轴上的椭圆.②当α=45°时,它表示圆x2+y2=.③当45°<α<90°时,>>0,它表示焦点在x轴上的椭圆.(3)当α=90°时,方程为y2=1,它表示两条平行直线y=1和y=-1.(4)当90°<α<180°时,方程为-=1,它表示焦点在y轴上的双曲线.(5)当α=180°时,方程为x2=-1,它不表示任何曲线.【误区警示】解答本题时容易忽略α=90°的情况.6.(2016·济南高二检测)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C 上,∠F1PF2=60°,求P到x轴的距离.【解析】因为||PF1|-|PF2||=2,所以|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=4,所以|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1|·|PF2|,由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2=2|PF1|·|PF2|cos60°,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|·|PF2|,又a=1,b=1,所以c==,所以|F1F2|=2c=2,所以4+2|PF1||PF2|=|PF1|·|PF2|+8,所以|PF1|·|PF2|=4.设P到x轴的距离为|y0|,=|PF1||PF2|sin60°=|F1F2|·|y0|,所以×4×=×2|y0|,所以|y0|==.即P点到x轴的距离为.关闭Word文档返回原板块。
《2.3.1双曲线及其标准方程》课时提升作业(含答案解析)
y=21(a,b>0)的左焦点 b2
F ,作1 圆
x2+y2=a2
的切线交双曲线右支于点 P,切点为 T,PF 的中点 M 在第一象限,则以下结论正 1
确的是( )
A.b-a=|MO|-|MT|
B.b-a>|MO|-|MT|
C.b-a<|MO|-|MT|
D.b-a与|MO|-|MT|的大小不确定
【解析】选 A.设 F2 为双曲线的右焦点,
连 PF2,因 M 为 PF1 中点,
11 故|MO|=2|PF2|=2(|PF1|-2a)
1 =2|PF1|-a=|MF1|-a,
|MO|-|MT|=|MF1|-|MT|-a=|F1T|-a.
x2 y 2
因此所求双曲线的方程为 - =1.
16 9
x2 y 2
5.已知△ABP的顶点 A,B分别为双曲线 C: - =1的左、右焦点,顶点 P 在双
16 9
|sinA ‒ sinB|
曲线 C 上,则
的值等于( )
sinP
A. 7
7
5
B.
C.
4
D.
4
4
5
【解题指南】使用△ABP 中的正弦定理.
【解析】选 D.在△ABP 中,根据正弦定理得
课时提升作业(十四)
双曲线及其标准方程
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题3 分,共 18分)
x2 y 2
1.(2014·长春高二检测)双曲线 - =1的焦距为( )
97
A. 2
B.2
C.4
D.8
x2 y 2
【解析】选 D.由方程 - =1,得 a2=9,b2=7,
《2.2双曲线》课时提升作业含试卷分析详解人教A版必修1-1 十三 2.2.2.1
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课时提升作业 十三双曲线的简单几何性质一、选择题(每小题5分,共25分)1.(·安徽高考)下列双曲线中,焦点在y 轴上且渐近线方程为y=±2x 的 是 ( )A.x 2-y 24=1 B.x 24-y 2=1C.y 24-x 2=1 D.y 2-x 24=1【解析】选C.由题意知,选项A,B 的焦点在x 轴上,故排除A,B,C 项的渐近线方程为y=±2x.2.(·合肥高二检测)点P 为双曲线C 1:x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0)和圆C 2:x 2+y 2=a 2+b 2的一个交点,且2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1,其中F 1,F 2为双曲线C 1的两个焦点,则双曲线C 1的离心率为 ( )A.√3B.1+√2C.√3+1D.2【解题指南】由题意:PF 1⊥PF 2,且2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1,故∠PF 1F 2=30°,∠PF 2F 1= 60°.设|PF 2|=m,则|PF 1|=√3m,|F 1F 2|=2m.由e=2c2a =|F 1F 2||PF 1|−|PF 2|,能求出双曲线的离心率.【解析】选C.由题意:PF 1⊥PF 2,且2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1, 所以∠PF 1F 2=30°,∠PF 2F 1=60°.设|PF 2|=m, 则|PF 1|=√3|F 1F 2|=2m. e=2c2a =|F 1F 2||PF 1|−|PF 2|=√3m−m=√3+1.【补偿训练】双曲线x 2a-y 2b =1(a>0,b>0)的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为 ( )A.2B.√3C.√2D.32【解析】选C.依题意(b a)·(−ba)=-1,所以a 2=b 2.则e 2=c 2a=a 2+b 2a =2,所以e=√2.3.(·宁波高二检测)与双曲线x 29-y 216=1有共同的渐近线,且经过点(-3,2√3)的双曲线方程为 ( ) A.x 24-4y 29=1 B.y 24-4x 29=1C.4y 29-x 24=1 D.4x 29-y 24=1【解析】选 D.设所求双曲线方程为x 29-y 216=λ(λ≠0),把(-3,2√3)代入方程得99-1216=λ,所以λ=14.故双曲线方程为x 29-y 216=14,即4x 29-y 24=1.4.设a>1,则双曲线x 2a-y 2(a+1)=1的离心率e 的取值范围是 ( )A.(√2,2)B.(√2,√5C.(2,5)D.(2,√5) 【解析】选B.e 2=a 2+(a+1)2a =1a+2a+2=(1a+1)2+1,因为a>1,所以0<1a<1,1<1a+1<2,所以2<e 2<5.又e>1,所以√2<e<√5.5.(·沈阳高二检测)已知双曲线x 2-y 28=1的左顶点为A 1,右焦点为F 2,P 为双曲线右支上一点,则P A 1→·P F 2→的最小值为( )A.-4B.-8116C.1D.0【解题指南】根据题意,设P(x,y)(x ≥1),根据双曲线的方程,易得A 1,F 2的坐标,将其代入P A 1→·P F 2→中,可得关于x,y 的关系式,结合双曲线的方程,可得P A 1→·P F 2→的二次函数,由x 的范围,可得答案.【解析】选A.根据题意双曲线x 2-y 28=1,设P(x,y)(x ≥1),易得A 1(-1,0),F 2(3,0),P A 1→·P F 2→=(-1-x,-y)·(3-x,-y)=x 2-2x-3+y 2,又x 2-y 28=1,故y 2=8(x 2-1),于是P A 1→·P F 2→=9x 2-2x-11=9(x −19)2-1009.当x=1时,取到最小值-4.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(·山东高考)已知双曲线E:x 2a-y 2b =1(a>0,b>0),若矩形ABCD 的四个顶点在E上,AB,CD 的中点为E 的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E 的离心率是 . 【解题指南】充分利用图象的几何性质,找出矩形一个顶点的坐标,代入曲线方程,便可求得离心率.【解析】假设点A 在左支位于第二象限内,由双曲线和矩形的性质,可得A (−c,3c2),代入双曲线方程x 2a-y 2b=1,可得c 2a 2-94c 2c 2−a2=1,所以e 2-1=94e 2e 2−1,又e>1,所以可求得e=2.答案:27.(·菏泽高二检测)设F 1,F 2分别为双曲线x 2a-y 2b=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以线段F 1F 2为直径的圆交双曲线左支于A,B 两点,且∠AF 1B=120°,若双曲线的离心率介于整数k 与k+1之间,则k= .【解析】因为以线段F 1F 2为直径的圆交双曲线左支于A,B 两点,且∠AF 1B=120°, 所以△OF 1A 是等边三角形, 所以|AF 1|=c,|AF 2|=√3所以2a=|AF 2|-|AF 1|=(√3所以e=ca =√3−1=√3+1,因为双曲线的离心率介于整数k 与k+1之间, 所以k=2. 答案:28.(·厦门高二检测)设椭圆C 1的离心率为513,焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C 2的标准方程为 .【解析】设椭圆C 1的方程为x 2a 12+y 2b 12=1(a 1>b 1>0),由已知得{2a 1=26,e =c 1a 1=513,所以{a 1=13,c 1=5. 所以焦距为2c 1=10.又因为8<10,所以曲线C 2是双曲线.设其方程为x 2a 22-y 2b 22=1(a 2>0,b 2>0),则a 2=4,c 2=5,所以b 22=52-42=32=9, 所以曲线C 2的方程为x 216-y 29=1.答案:x 216-y 29=1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(·威海高二检测)已知双曲线的一条渐近线为x+√3y=0,且与椭圆x 2+4y 2=64有相同的焦距,求双曲线的标准方程. 【解析】椭圆方程为x 264+y 216=1,所以椭圆的焦距为8√3.①当双曲线的焦点在x 轴上时,设双曲线方程为x 2a-y 2b =1(a>0,b>0),所以{a 2+b 2=48,ba=√33,解得{a 2=36,b 2=12.所以双曲线的标准方程为x 236-y 212=1.②当双曲线的焦点在y 轴上时,设双曲线方程为y 2a′-x 2b′=1(a ′>0,b ′>0),所以{a ′2+b′2=48,a′b′=√33,解得{a ′2=12,b′2=36.所以双曲线的标准方程为y 212-x 236=1.由①②可知,双曲线的标准方程为x 236-y 212=1或y 212-x 236=1.10.已知双曲线的中心在原点,焦点F 1,F 2在坐标轴上,离心率为√2,且过点(4,-√10).(1)求此双曲线的方程.(2)若点M(3,m)在此双曲线上,求证:F 1M →·F 2M →=0. 【解析】(1)因为离心率e=ca =√2,所以a=b.设双曲线方程为x 2-y 2=n(n ≠0), 因为点(4,-√10)在双曲线上, 所以n=42-(-√102=6.所以双曲线方程为x 2-y 2=6.(2)因为点M(3,m)在双曲线上,故m 2=3. 又点F 1(-2√3,0), 点F 2(2√3,0), 所以k MF 1·k MF 2=3+2√3·3−2√3=-m 23=-1.所以F 1M →·F 2M →=0.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(·重庆高考)设F 1,F 2分别为双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P 使得|PF 1|+|PF 2|=3b,|PF 1|·|PF 2|=94ab,则该双曲线的离心率为 ( )A.43B.53C.94D.3【解析】选B.由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||=2a,又|PF 1|+|PF 2|=3b,所以(|PF 1|+|PF 2|)2-(|PF 1|-|PF 2|)2=9b 2-4a 2,即4|PF 1|·|PF 2|=9b 2-4a 2,又4|PF 1|·|PF 2|=9ab,因此9b 2-4a 2=9ab,即9(b a)2-9ba-4=0,则(3b a+1)(3b a−4)=0,解得b a =43(b a=−13舍去),则双曲线的离心率e=√1+(b a)2=53.2.(·唐山高二检测)设F 1,F 2分别是双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P 满足|PF 2|=|F 1F 2|,且cos ∠PF 1F 2=45,则双曲线的渐近线方程为 ( )A.3x ±4y=0B.4x ±3y=0C.3x ±5y=0D.5x ±4y=0【解题指南】根据|PF 2|=|F 1F 2|,结合双曲线的定义,可得出|PF 1|=2a+2c,再由cos ∠PF 1F 2=45,求出ba的值.【解析】选B.作F 2Q ⊥PF 1于点Q,因为|F 1F 2|=|PF 2|,所以点Q 为PF 1的中点, 由双曲线的定义知|PF 1|-|PF 2|=2a, 所以|PF 1|=2a+2c,故|F 1Q|=a+c, 因为cos ∠PF 1F 2=45,所以|F 1Q||F 1F 2|=cos ∠PF 1F 2,即a +c 2c =45,得3c=5a,所以3√a 2+b 2=5a,得b a =43,故双曲线的渐近线方程为y=±43x,即4x ±3y=0.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(·深圳高二检测)已知双曲线a n-1y 2-a n x 2=a n-1a n 的焦点在y 轴上,一条渐近线方程为y=√2x,其中{a n }是以4为首项的正数数列,则数列{a n }的通项公式是 . 【解析】双曲线即:y 2a n -x 2a n−1=1.因为{a n }是以4为首项的正数数列,一条渐近线方程为y=√2x, 所以√a n a n−1=√2,a na n−1=2,所以a n =4·2n-1=2n+1.答案:a n =2n+14.(2019·重庆高二检测)设F 1,F 2分别为双曲线x 2a-y 2b=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|-|PF 2|)2=b 2-3ab,则该双曲线的离心率为 .【解析】由双曲线的定义知, (|PF 1|-|PF 2|)2=4a 2, 又(|PF 1|-|PF 2|)2=b 2-3ab, 所以4a 2=b 2-3ab, 等号两边同除以a 2, 化简得(b a)2-3·ba-4=0,解得b a=4或ba=-1(舍去),故离心率 e=ca=√c 2a =√a 2+b 2a =√1+(b a)2=√17.答案:√17三、解答题(每小题10分,共20分)5.双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a>1,b>0)的焦距为2c,直线l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l 的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c,求双曲线离心率e 的取值范围.【解析】设直线l 的方程为x a +yb =1,即bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且a>1,得点(1,0)到直线l 的距离d 1=22,点(-1,0)到直线l 的距离d 2=√22.所以s=d 1+d 2=√22=2abc.由s ≥45c,得2ab c≥45c,即5a √c 2−a 2≥2c 2.因为e=ca,所以5√2−1≥2e 2,所以25(e 2-1)≥4e 4, 即4e 4-25e 2+25≤0, 所以54≤e2≤5(e>1).所以√52≤e ≤√5,即e 的取值范围为[√52,√5].6.(2019·青岛高二检测)已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x 2+y 2=10相交于点P(3,-1),若此圆过点P 的切线与双曲线的渐近线平行,求此双曲线的方程. 【解析】切点为P(3,-1)的圆的切线方程为3x-y=10,因为双曲线的一条渐近线平行于此切线,且双曲线关于两坐标轴对称. 所以双曲线的渐近线方程为3x ±y=0.当焦点在x 轴上时,设双曲线方程为x 2a-y 2b =1(a>0,b>0),则其渐近线方程为y=±b ax,即ba=3,则双曲线方程可化为x 2a2-y 29a 2=1,因为双曲线过点P(3,-1), 所以9a 2-19a2=1,所以a 2=809,b 2=80, 所以所求双曲线方程为x 2809-y 280=1.当焦点在y 轴上时,设双曲线方程为y 2a′-x 2b′=1(a ′>0,b ′>0),则渐近线方程为y=±a ′b′x,即a ′b′=3,则双曲线方程可化为y 29b′-x 2b′=1,因为双曲线过点P(3,-1), 所以19b′2-9b′2=1,得-809b′2=1,无解.综上可知所求双曲线方程为x 280 9-y280=1.【一题多解】切点为P(3,-1)的圆的切线方程为3x-y=10.因为双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称. 所以双曲线的两条渐近线方程为3x±y=0,设所求的双曲线方程为9x2-y2=λ(λ≠0),因为点P(3,-1)在所求双曲线上,所以λ=80.所以所求双曲线方程为x 280 9-y280=1.关闭Word文档返回原板块。
课时作业1：3.2.2 第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用
第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用1．若直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2＝1有两个交点，则a 的值可以是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．－2答案 A解析 因为在双曲线x 24－y 2＝1中，x ≥2或x ≤－2， 所以若x ＝a 与双曲线有两个交点，则a >2或a <－2，故只有A 符合题意．2．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 B解析 易知选项B 正确．3．等轴双曲线x 2－y 2＝a 2与直线y ＝ax (a >0)没有公共点，则a 的取值范围是( )A ．a ＝1B ．0<a <1C ．a >1D ．a ≥1 答案 D解析 等轴双曲线x 2－y 2＝a 2的渐近线方程为y ＝±x ，若直线y ＝ax (a >0)与等轴双曲线x 2－y 2＝a 2没有公共点，则a ≥1.4．直线l ：y ＝kx 与双曲线C ：x 2－y 2＝2交于不同的两点，则斜率k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－2，2)C ．(－1,1)D ．[－1,1] 答案 C解析 由双曲线C ：x 2－y 2＝2与直线l ：y ＝kx 联立，得(1－k 2)x 2－2＝0.因为直线l ：y ＝kx与双曲线C ：x 2－y 2＝2交于不同的两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，8(1－k 2)>0， 解得－1<k <1，即斜率k 的取值范围是(－1,1)．5．设点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 22＝1(a >0)的左、右焦点，过点F 1且与x 轴垂直的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点．若△ABF 2的面积为26，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33xC ．y ＝±2xD ．y ＝±22x答案 D解析 设F 1(－c ，0)，A (－c ，y 0)，则c 2a 2－y 202＝1， ∴y 202＝c 2a 2－1＝c 2－a 2a 2＝b 2a 2＝2a 2， ∴y 20＝4a 2， ∴|AB |＝2|y 0|＝4a. 又2ABF S ＝26，∴12·2c · |AB |＝12·2c ·4a ＝4c a＝26， ∴c a ＝62， ∴b a ＝c 2a 2－1＝22. ∴该双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 6．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的左支交于不同的两点，则k 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫1，153 解析 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，① 若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的左支交于不同的两点，则方程①有两个不等的负根．所以⎩⎨⎧ Δ＝16k 2＋40(1－k 2)>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2<0，解得1＜k ＜153. 7．直线y ＝x ＋1与双曲线x 22－y 23＝1相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 答案 4 6解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22－y 23＝1，得x 2－4x －8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝－8， ∴|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2×(16＋32)＝4 6.8．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e ＝________.答案 3＋1 解析 以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，则M 在y 轴上，可设|F 1F 2|＝2c ，M 在y 轴正半轴，则M (0，3c )，又F 1(－c ，0)，则边MF 1的中点为⎝⎛⎭⎫－c 2，32c ，代入双曲线方程，可得c 24a 2－3c 24b 2＝1，由于b 2＝c 2－a 2，e ＝c a ，则有e 2－3e 2e 2－1＝4，即有e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4±23，由于e >1，即有e ＝1＋ 3.9．已知双曲线的方程为x 2－y 22＝1，直线l 过点P (1,1)，斜率为k . 当k 为何值时，直线l 与双曲线有一个公共点？解 设直线l ：y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋(1－k )．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋(1－k )，x 2－y 22＝1， 得 (k 2－2)x 2－2k (k －1)x ＋k 2－2k ＋3＝0.当k 2－2＝0，即k ＝±2时，方程只有一个解；当k 2－2≠0，且Δ＝24－16k ＝0，即k ＝32时，方程只有一个解． 综上所述，当k ＝±2或k ＝32时，直线l 与双曲线只有一个公共点． 10．斜率为2的直线l 在双曲线x 23－y 22＝1上截得的弦长为6，求直线l 的方程． 解 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 23－y 22＝1，得10x 2＋12mx ＋3(m 2＋2)＝0.(*) 设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－65m ，x 1x 2＝310(m 2＋2)．于是|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝5(x 1－x 2)2＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5⎣⎡⎦⎤3625m 2－4×310(m 2＋2). 因为|AB |＝6，所以365m 2－6(m 2＋2)＝6. 则m 2＝15，m ＝±15.由(*)式得Δ＝24m 2－240，把m ＝±15代入上式，得Δ>0，所以m 的值为±15，故所求l 的方程为y ＝2x ±15.11．已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点，则a 的取值范围是____________． 答案 －6<a <6且a ≠±3解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋13x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0. ∵直线与双曲线相交于两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0⇒－6<a <6且a ≠±3. ∴a 的取值范围是－6<a <6且a ≠±3.12．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 由题意，知b a ≥3，则b 2a 2≥3，所以e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2≥2.13．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．答案 3215解析 双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x .不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215， 所以B ⎝⎛⎭⎫175，－3215.所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )·|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215. 14．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，左、右顶点为A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线斜率为________．答案 ±1解析 由题意知F (c ，0)，A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，其中c ＝a 2＋b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝c ，x 2a 2－y 2b 2＝1， 解得B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ， 所以A 1B —→＝⎝⎛⎭⎫c ＋a ，b 2a ，A 2C —→＝⎝⎛⎭⎫c －a ，－b 2a .因为A 1B ⊥A 2C ，所以A 1B —→·A 2C —→＝(c ＋a )(c －a )－b 4a2＝0， 解得a ＝b ，所以渐近线的斜率为±1.15．设双曲线x 2－y 22＝1上有两点A ，B ，AB 中点M (1,2)，则直线AB 的方程为________________． 答案 y ＝x ＋1解析 方法一 (用根与系数的关系解决)显然直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)，即y ＝kx ＋2－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0，当Δ>0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k 2， 所以k ＝1，满足Δ>0，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1.方法二 (用点差法解决)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)．因为x 1≠x 2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝2(x 1＋x 2)y 1＋y 2， 所以k AB ＝2×1×22×2＝1，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1，代入x 2－y 22＝1满足Δ>0.所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1.16．已知直线l ：x ＋y ＝1与双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)．(1)若a ＝12，求l 与C 相交所得的弦长；(2)若l 与C 有两个不同的交点，求双曲线C 的离心率e 的取值范围． 解 (1)当a ＝12时，双曲线C 的方程为4x 2－y 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x 2－y 2＝1，消去y ， 得3x 2＋2x －2＝0.设两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－23，x 1x 2＝－23，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋(x 1－x 2)2 ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×289＝2143.(2)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a 2－y 2＝1，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2且a ≠1.∵双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∴e >62且e ≠ 2. 即离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)．。
课时评价作业(三十) 双曲线的几何性质及应用
程,得λ=9,所以双曲线方程为 -y2=1,所以该选项正确;
3
2
B 项,因为双曲线 C 的方程为 -y2=1,所以双曲线的离心率为
3
e= 2 =2 3,所以该选项不正确;
33
2
C 项,由双曲线 C 的方程为 -y2=1,得它的一个焦点为(-2,0),把点
3
(-2,0)代入 y=ex+2-1,得 0=e0-1,等式成立,所以该选项正确;
4
右支相交,则 AB 的最小值是2
2
=1.因为|AB|=4>1,所以此时有两条直线
符合条件.若直线 AB 与双曲线两支都有交点,则 AB 的最小距离是
2a=4,距离无最大值.因为|AB|=4,所以此时有 1 条直线符合条件.综上
可得,共有 3 条直线符合条件.
答案:B
4.多选题若双曲线 C 过点(3,
曲线方程.
解:由题意,设双曲线方程为 x2-4y2=λ(λ≠0).
联立方程组,得
2-4 2 = ( - -3 = 0,
≠ 0),
消去 y,得 3x2-24x+(36+λ)=0(λ≠0).
设直线被双曲线截得的弦为 AB,且 A(x1,y1),B(x2,y2),
1 + 2 = 8,
则
1
2
=
36+ 3
,
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9.(2023 东莞期中)已知双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=±x,且点
M(2,1)在该双曲线上.
(1)求双曲线 C 的方程; (2)若点 F1,F2 分别是双曲线 C 的左、右焦点,且双曲线 C 上一点 P 满足 PF1⊥PF2,求△PF1F2 的面积.
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双曲线方程及性质的应用提升作业练习含答案解高中数学析北京海淀
作业十双曲线方程及性质的应用一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018·威海高二检测)已知双曲线-=1,过其右焦点F的直线交双曲线于P,Q两点,PQ的垂直平分线交x轴于点M,则的值为( ) A. B. C. D.【解析】选B.依题意,将直线PQ特殊化为x轴,于是有点P(-3,0),Q(3,0),M(0,0), F(5,0),=.2.已知椭圆和双曲线有共同焦点F1,F2,P是它们的一个交点,且∠F1PF2=,记椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则的最大值是( )A. B. C.2 D.3【解析】选A.如图,设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,则根据椭圆及双曲线的定义:|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2,所以|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2,设|F1F2|=2c,且∠F1PF2=,则在△F1PF2中根据余弦定理可得:4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos,化简得:+3=4c2,即+=4,所以+=4≥,所以≤.二、填空题(每小题5分,共10分)3.过双曲线-=1的焦点且与x轴垂直的直线被双曲线截取的线段的长度为________.【解析】因为a2=3,b2=4,所以c2=7,所以c=,不妨取直线方程为x=,由得y2=,所以|y|=,所以弦长为.答案:4.(2018·九江高二检测)若双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的,则该双曲线的离心率为________.【解析】设双曲线的一个焦点为(c,0),一条渐近线为y=x,则= ==b=×2c,即有c=2b,即有c=2,即有3c2=4a2,即有e==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知双曲线3x2-y2=3,直线l过其右焦点F2,且倾斜角为45°,与双曲线交于A,B两点,试问A,B两点是否位于双曲线的同一支上?并求弦AB的长. 【解析】因为直线l过点F2且倾斜角为45°,所以直线l的方程为y=x-2.代入双曲线方程,得2x2+4x-7=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).因为x1·x2=-<0,所以A,B两点分别位于双曲线的左、右两支上.因为x1+x2=-2,x1·x2=-,所以|AB|=|x1-x2|=·=·=6.6.直线l :y=kx+1与双曲线C:2x 2-y 2=1的右支交于不同的两点A,B. (1)求实数k 的取值范围.(2)是否存在实数k,使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F?若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程2x 2-y 2=1后,整理得,(k 2-2)x 2+2kx+2=0.①依题意,直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点,故{k 2-2≠0,Δ=(2k )2-8(k 2-2)>0,-2kk 2-2>0,2k 2-2>0.解得k 的取值范围是-2<k<-.(2)设A,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则由①式得②假设存在实数k,使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F(c,0). 则由FA ⊥FB 得(x 1-c)(x 2-c)+y 1y 2=0, 即(x 1-c)(x 2-c)+(kx 1+1)(kx 2+1)=0. 整理得(k 2+1)x 1x 2+(k-c)(x 1+x 2)+c 2+1=0.③把②式及c=代入③式化简得5k2+2k-6=0.解得k=-或k=(舍去).可知k=-时使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F.。
高考数学8.7双曲线课时提升作业理试题
【全程(quánchéng)复习方略】2021版高考数学 8.7双曲线课时提升作业理北师大版一、选择题1.(2021·模拟(mónǐ))双曲线mx2-ny2=1(m>0,n>0)的离心率(xīn lǜ)为2,那么椭圆mx2+ny2=1的离心率(xīn lǜ)为( )(A)(B)(C)(D)-y2=1(n>1)的左、右两个焦点为F1,F2,P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2,那么△PF1F2的面积为( )(A)(B)1 (C)2 (D)43.(2021·模拟)设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,那么a的值是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,那么双曲线的方程为( )(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=15.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,假如直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( )(A)(B)(C)(D)6.(2021·新课标全国(quán ɡuó)卷)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线(zhǔn xiàn)交于A,B两点,|AB|=4,那么(nà me)C的实轴长为( ) (A)(B)2(C)4(D)87.(2021·模拟(mónǐ))设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.假设在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的间隔等于双曲线的实轴长,那么该双曲线的渐近线方程为( )(A)3x±4y=0 (B)3x±5y=0 (C)4x±3y=0 (D)5x±4y=08.(才能挑战题)设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,假设点P在双曲线上,且·=0,那么|+|= ( )(A)(B)2(C)(D)2二、填空题9.(2021·模拟)假设椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,那么双曲线-=1的离心率为.10.(2021·高考(ɡāo kǎo))双曲线C1:-=1(a>0,b>0)与双曲线C2:-=1有一样(yīyàng)的渐近线,且C1的右焦点(jiāodiǎn)为F(,0),那么(nà me)a=,b= .11.(才能挑战题)过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A,B两点,设双曲线的左顶点为M,假设点M在以AB为直径的圆的内部,那么此双曲线的离心率e的取值范围为.三、解答题12.(2021·模拟)A,B,P是双曲线-=1上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,假设直线PA,PB的斜率乘积kPA ·kPB=,求双曲线的离心率.13.(2021·模拟)双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).(1)求双曲线的方程.(2)假设点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0.(3)求△F1MF2的面积.14.P(x0,y)(x≠±a)是双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率.(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.答案(dáàn)解析1.【解析(jiě xī)】选B.由双曲线的离心率为2,得:=2,解得:m=3n,又m>0,n>0,∴m>n,即>,故由椭圆(tuǒyuán)mx2+ny2=1得+=1.∴所求椭圆(tuǒyuán)的离心率为:e===.【误区警示】此题极易造成误选而失分,根本原因是由于将椭圆mx2+ny2=1焦点所在位置弄错,从而把a求错造成.2.【解析】选B.不妨设点P在双曲线的右支上,那么|PF1|-|PF2|=2,又|PF1|+|PF2|=2,∴|PF1|=+,|PF2|=-,又c=,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴∠F1PF2=90°,∴=|PF1||PF2|=1.3.【解析(jiě xī)】-=1的渐近线方程(fāngchéng)为3x±ay=0与方程(fāngchéng)比拟系数得a=2.4.【解析(jiě xī)】解得所以双曲线的方程为-=1.5.【解析】选D.因为焦点在x轴上与焦点在y轴上的离心率一样,所以不妨设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),那么双曲线的渐近线的斜率k=±,一个焦点坐标为F(c,0),一个虚轴的端点为B(0,b),所以kFB =-,又因为直线FB与双曲线的一条渐近线垂直,所以k·kFB=(-)=-1(k=-显然不符合),即b2=ac,c2-a2=ac,所以,c2-a2-ac=0,即e2-e-1=0,解得e=(负值舍去).【变式备选】双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,那么的最小值为( ) (A)(B)(C)2 (D)1【解析】选A.因为双曲线的离心率为2,所以=2,即c=2a,c2=4a2;又因为c2=a2+b2,所以(suǒyǐ)a2+b2=4a2,即b=a,因此(yīncǐ)==a+≥2=,当且仅当a=,即a=时等号成立(chénglì).故的最小值为.6.【解析(jiě xī)】选C.不妨设点A的纵坐标大于零.设C:-=1(a>0),∵抛物线y2=16x的准线为x=-4,联立得方程组解得:A(-4,),B(-4,-),∴|AB|=2=4,解得a=2,∴2a=4. ∴C的实轴长为4.7.【解析】1的中点为M,因为|PF2|=|F1F2|,所以F2M⊥PF1,因为|F2M|=2a,在直角三角形F1F2M中,|F1M|==2b,故|PF1|=4b,根据双曲线的定义得4b-2c=2a,即2b-c=a,因为c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,即3b2-4ab=0,即3b=4a,故双曲线的渐近线方程是y=±x,即4x±3y=0.8. 【解析(jiě xī)】选B.如图,由·=0可得⊥,又由向量(xiàngliàng)加法的平行四边形法那么可知□PF1QF2为矩形,因为(yīn wèi)矩形的对角线相等,故有|+|=||=2c=2.9.【解析】由椭圆(tuǒyuán)离心率为,所以有==,得()2=,而双曲线的离心率为===. 答案:10.【解析】由题意可得解得:a=1,b=2.答案:1 211.【思路点拨】设出双曲线方程,表示出点F,A,B的坐标,由点M在圆内部列不等式求解. 【解析】设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),右焦点F坐标为F(c,0),令A(c,),B(c,-),所以以AB为直径的圆的方程为(x-c)2+y2=.又点M(-a,0)在圆的内部,所以有(-a-c)2+0<,即a+c<⇒a2+ac<c2-a2,⇒e2-e-2>0(e=),解得:e>2或者e<-1.又e>1,∴e>2.答案:(2,+∞)12.【解析】设A(m,n),P(x0,y),那么B(-m,-n),∵A,B,P在双曲线上,∴-=1,(1)-=1,(2)(2)-(1)得:=⇒=,kPA ·kPB=·===⇒e====.13.【解析(jiě xī)】(1)∵e=,∴可设双曲线方程(fāngchéng)为x2-y2=λ(λ≠0).∵过点P(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.∴双曲线方程(fāngchéng)为x2-y2=6.(2)方法(fāngfǎ)一:由(1)可知,双曲线中a=b=,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0).∴=,=,·==-.∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3.故·=-1,∴MF1⊥MF2.∴·=0.方法二:∵=(-3-2,-m),=(2-3,-m), ∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2.∵M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0.∴·=0.(3)△F1MF2的底|F1F2|=4,△F1MF2的边F1F2上的高h=|m|=,∴=6.14.【思路点拨】(1)代入P点坐标,利用(lìyòng)斜率之积为列方程求解(qiú jiě). (2)联立方程(lián lì fānɡchénɡ),设出A,B,的坐标(zuòbiāo),代入=λ+求解.【解析】(1)由点P(x0,y)(x≠±a)在双曲线-=1上,有-=1.由题意又有·=, 可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,那么e==.(2)联立方程得得4x2-10cx+35b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),那么设=(x3,y3),=λ+,即又C为双曲线E上一点,即-5=5b2,有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,化简得:λ2(-5)+(-5)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2,又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线E上,所以-5=5b2,-5=5b2.又x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,得:λ2+4λ=0,解出λ=0或者λ=-4.内容总结。
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《双曲线方程及性质的应用》课时提升作业双曲线方程及性质的应用(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2020·重庆高二检测)已知双曲线x2-y2=2,过定点P(2,0)作直线l与双曲线有且只有一个交点,则如此的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为点P(2,0)在双曲线含焦点的区域内,故只有当直线l与渐近线平行时才会与双曲线只有一个交点,故如此的直线只有两条.【变式训练】过双曲线x2-=1的右焦点作直线与双曲线交于A,B两点,若|AB|=16,如此的直线有( )A.一条B.两条C.三条D.四条【解析】选C.过右焦点且垂直于x轴的弦长为16,因为|AB|=16,因此当l与双曲线的两交点都在右支上时只有一条.又因为实轴长为2,16>2,因此当l与双曲线的两交点在左、右两支上时应该有两条,共三条.2.(2020·长春高二检测)已知双曲线E的中心在原点,F(3,0)是E的焦点,过F 的直线l与E相交于A,B两点,且AB中点为N(-12,-15),则E的方程为( ) A.-=1 B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.由已知条件易得直线l的斜率k==1,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,-=1,两式相减并结合x1+x2=-24,y1+y2=-30得=,从而=1,又因为a2+b2=c2=9,故a2=4,b2=5,因此E的方程为-=1.【拓展延伸】解决与双曲线弦的中点有关问题的两种方法(1)根与系数的关系法:联立直线方程和双曲线方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入双曲线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,可求斜率k=.这是解决与中点有关问题的简便而有效的方法.求弦中点轨迹问题,此方法依旧有效.3.(2020·郑州高二检测)双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,若MF2⊥x轴,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【解题指南】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标,通过解直角三角形列出三参数a,b,c的关系,求出离心率的值.【解析】选B.将x=c代入双曲线的方程得y=,即M,在△MF1F2中,tan30°=,即=,解得e==.4.F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,过右焦点F2作倾斜角为的弦AB,则△F1AB 的面积为( )A. B.2 C. D.【解析】选 B.由双曲线-y2=1,得a2=3,b2=1,c2=a2+b2=4,因此c=2,F1(-2,0),F2(2,0),直线AB:y=x-2.由得2x2-12x+15=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1·x2=,因此|AB|=|x1-x2|=·=2.又F1到直线AB:x-y-2=0的距离为:d==2,因此=×d×|AB|=×2×2=2.5.(2020·攀枝花高二检测)P是双曲线-=1右支上的一点,M,N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( )A.9B.8C.7D.6【解析】选A.由双曲线-=1,知a2=9,b2=16,因此c2=25,因此c=5.因此双曲线左、右焦点分别是F1(-5,0),F2(5,0),由圆的方程知,两圆的圆心分别为左、右焦点,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a=6,结合图形当M为PF1延长线与圆交点时PM最长,当N为PF2与圆交点时PN最短,现在|PM|-|PN|最大,故最大值为6+2+1=9.6.(2020·天津高二检测)已知双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),过左焦点F1作斜率为的直线交双曲线的右支于点P,且y轴平分线段F1P,则双曲线的离心率为( )A. B.+1 C. D.2+【解析】选A.由双曲线-=1(a>0,b>0),得左焦点F1(-c,0),则直线方程为y=(x+c).又PF1的中点在y轴上,故P点横坐标为x P=c,代入直线y=(x+c),得y P=c,又点P在双曲线上,故-=1,即c4-a2c2+a4=0,因此e4-e2+1=0,解得e=或e=(舍).二、填空题(每小题4分,共12分)7.过点A(6,1)作直线与双曲线x2-4y2=16相交于两点B,C,且A为线段BC的中点,则直线的方程为.【解题指南】依照直线通过点A(6,1),设出直线方程y-1=k(x-6);依照点A(6,1)为线段BC的中点,应用中点坐标公式,确定B,C的坐标关系;应用“点差法”确定直线的斜率.【解析】依题意可得直线的斜率存在,设为k(k≠0),则直线的方程为y-1=k(x-6).设B(x1,y1),C(x2,y2),因为点A(6,1)为线段BC的中点,因此x1+x2=12,y1+y2=2.因为点B,C在双曲线x2-4y2=16上,因此由②-①得:(x2-x1)(x2+x1)-4(y2-y1)(y2+y1)=0,因此k====,因此经检验,直线的方程为y-1=(x-6),即3x-2y-16=0.答案:3x-2y-16=08.(2020·福州高二检测)设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B,则△AFB的面积为.【解题指南】由双曲线的方程可得a,b的值,进而可得c的值,得到A,F两点的坐标.因此可设BF的方程为y=±(x-5),与双曲线的渐近线方程联立,得到点B的坐标,即可算出△AFB的面积.【解析】依照题意,得a2=9,b2=16,因此c==5,且A(3,0),F(5,0).因为双曲线-=1的渐近线方程为y=±x.因此直线BF的方程为y=±(x-5).①若直线BF的方程为y=(x-5),与渐近线y=-x交于点B,现在S△AFB=|AF|·|y B|=×2×=;②若直线BF的方程为y=-(x-5),与渐近线y=x交于点B.现在S△AFB=|AF|·|y B|=×2×=.因此,△AFB的面积为.答案:9.(2020·景德镇高二检测)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),若存在过右焦点F 的直线与双曲线C相交于A,B两点,且=3,则双曲线离心率的最小值为.【解析】因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A,B两点且=3,故直线与双曲线相交只能是如图所示的情形,即A点在双曲线的左支,B点在右支,设A(x1,y1),B(x2,y2),右焦点F(c,0),因为=3,因此c-x1=3(c-x2),3x2-x1=2c,由图可知,x1≤-a,x2≥a,因此-x1≥a,3x2≥3a,故3x2-x1≥4a,即2c≥4a,≥2,即e≥2,因此离心率的最小值为2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2020·遵义高二检测)设双曲线C:-y2=1(a>0)与直线l:x+y=1交于两个不同的点A,B,求双曲线C的离心率e的取值范畴.【解析】由C与l相交于两个不同的点,可知方程组有两组不同的解, 消去y,并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,①因此解得0<a<,且a≠1,而双曲线C的离心率e==,从而e>,且e≠,即双曲线C的离心率e的取值范畴为∪(,+∞).【举一反三】本题若加上条件“设直线l与y轴交于点P,且=”.求a的值.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),且P(0,1),因为=,因此(x1,y1-1)=(x2,y2-1),得x1=x2.由于x1,x2是方程①的两个根,因此x1+x2=-,x1x2=-,即x2=-,=-,消去x2,得-=,解得a=.11.(2020·荆州高二检测)双曲线C的中点在原点,右焦点为F,渐近线方程为y=±x.(1)求双曲线C的方程.(2)设直线L:y=kx+1与双曲线交于A,B两点,问:当k为何值时,以AB为直径的圆过原点?【解题指南】(1)设出双曲线方程-=1,由条件建立关于a,b的方程组求解. (2)只需依照OA⊥OB,即x1x2+y1y2=0求出k的值.【解析】(1)设双曲线的方程为-=1,由焦点坐标得c=,渐近线方程为y=±x=±x,结合c2=a2+b2得a2=,b2=1⇒-y2=1.(2)由得(3-k2)x2-2kx-2=0,由Δ>0,且3-k2≠0,得-<k<,且k ≠±.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为以AB为直径的圆过原点,因此OA⊥OB,因此x1x2+y1y2=0.又x1+x2=,x1x2=,因此y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,因此+1=0,解得k=±1.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.若点O和点F1(-2,0)分别是双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的一点,同时P点与右焦点F2的连线垂直x轴,则线段OP的长为( ) A. B. C. D.【解析】选B.由条件知a2+1=4,因为a>0,因此a=,又PF2⊥x轴,把x=2代入-y2=1得y2=.因此|OP|==.【举一反三】若本题条件不变时,点P是右支上任意一点,求·的取值范畴. 【解析】设P(x0,y0),由题目可知-=1,且x0≥,又F1(-2,0),因此·=(x0,y0)·(x0+2,y0)=+2x0+=+2x0+-1=+2x0-1=-.因为x0≥,因此x0=时,·最小,其值为3+2.即·∈[3+2,+∞).2.(2020·兰州高二检测)直线y=kx+2与双曲线x2-y2=2有且只有一个交点,那么k的值是( )A.k=±1B.k=±C.k=±1或k=±D.k=±【解析】选C.联立直线y=kx+2与双曲线x2-y2=2,消元,得:(1-k2)x2-4kx-6=0,当1-k2=0时,k=±1,现在方程只有一解;当1-k2≠0时,要满足题意,Δ=16k2+24(1-k2)=0,即k=±.综上知:k的值是k=±1或k=±.3.(2020·温州高二检测)F是双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,过F作直线l 与一条渐近线平行,直线l与双曲线交于点M,与y轴交于点N,若=,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选B.不妨设F为右焦点,则F(c,0),直线l与直线y=x平行,则l方程为:y=(x-c),设l与双曲线的交点M坐标为(x1,y1),与y轴交点坐标为N(0,y0),则=(x1-c,y1),=(-x1,y0-y1).由=,得x1=c,代入直线l方程得y1=-.又M在双曲线上,故-=1,解得c2=3a2,因此e=.【变式训练】已知点F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF1是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范畴是( )A.(+1,+∞)B.(1,)C.(1,1+)D.(,+∞)【解析】选C.设F2(c,0),将x=c代入双曲线方程,得y=±,令A,B,由△ABF1是锐角三角形,可得tan∠AF1F2=<1,故b2<2ac,因此c2-2ac-a2<0,两边同除以a2可得e2-2e-1<0,可解得1-<e<1+,又e>1,故1<e<1+,选C.4.(2020·黄石高二检测)已知平面上两点M(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P 使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线中是“单曲型直线”的是( )①y=x+1; ②y=2; ③y=x; ④y=2x+1.A.①③B.③④C.②③D.①②【解析】选D.因为|PM|-|PN|=6,因此点P在以M,N为焦点的双曲线的右支上,即-=1(x>0).关于①,联立消y得7x2-18x-153=0,因为Δ=(-18)2-4×7×(-153)>0,因此y=x+1是“单曲型直线”.关于②,联立消y得x2=,因此y=2是“单曲型直线”.关于③,联立整理得0=1,不成立,因此y=x不是“单曲型直线”.关于④,联立消y得20x2+36x+153=0,因为Δ=362-4×20×153<0,因此y=2x+1不是“单曲型直线”.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020·哈尔滨高二检测)双曲线C的中心为原点O,焦点在x轴上,一条渐近线记为l1,通过右焦点F且垂直于l1的直线交l1于A.已知||=2||,则双曲线C 的离心率为.【解析】不妨设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则两条渐近线方程分别为l1:y=x,l2:y=-x.因为||=2||,因此==,即=,因此e=.答案:6.(2020·莆田高二检测)已知直线x=3与双曲线C:-=1的渐近线交于E1,E2两点,记=e1,=e2,任取双曲线上的点P,若=a e1+b e2(a,b∈R),则下列关于a,b的表述:①4ab=1;②0<a2+b2<;③a2+b2≥1;④a2+b2≥;⑤ab=1,其中正确的是.【解题指南】由已知条件,求出E1,E2点的坐标,表示出向量,及向量,从而得出点P的坐标代入双曲线方程,得出a,b的关系求解.【解析】由双曲线-=1,得渐近线方程y=±x,因此E1(3,2),E2(3,-2),因此=e1=(3,2),=e2=(3,-2),=a e1+b e2=a(3,2)+b(3,-2)=(3(a+b),2(a-b)).又点P在双曲线C上,故(a+b)2-(a-b)2=1,因此得4ab=1,故①正确.又a2+b2≥2ab=,因此④正确.答案:①④三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2020·南昌高二检测)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),如图,B是右顶点,F是右焦点,点A在x轴正半轴上,且满足:||,||,||成等比数列,过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l,垂足为P.(1)求证:·=·.(2)若l与双曲线C的左右两支分别相交于点E,D,求双曲线离心率e的取值范畴.【解析】(1)双曲线的渐近线为y=±x,F(c,0),因此直线l的斜率为:-,因此直线l:y=-(x-c).由得P,因为||,||,||成等比数列,因此x A·c=a2,因此x A=,A,=,=,=因此·=-,·=-,则·=·.(2)由得,x2+2cx-=0,因为点E,D分别在左右两支上,因此<0,因此b2>a2,因此e2>2,因此e>.8.(2020·长春高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e=,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离是.(1)求双曲线的方程及渐近线方程.(2)若直线y=kx+5(k≠0)与双曲线交于不同的两点C,D,且两点都在以A为圆心的同一个圆上,求k的值.【解析】(1)直线AB的方程为:+=1,即bx-ay-ab=0.又原点O到直线AB的距离=⇒ab=c,由得所求双曲线方程为-y2=1,渐近线方程为:y=±x.(2)由(1)可知A(0,-1),设C(x1,y1),D(x2,y2),由|AC|=|AD|得:因此3+3+(y1+1)2=3+3+(y2+1)2,整理得:(y1-y2)[2(y1+y2)+1]=0,因为k≠0,因此y1≠y2,因此y1+y2=-,又由⇒(1-3k2)y2-10y+25-3k2=0,因此y1+y2==-,得k2=7,由Δ=100-4(1-3k2)(25-3k2)>0⇒0<k2<,k2=7满足此条件,故满足题设的k=±.【一题多解】(2)由⇒(1-3k2)x2-30kx-78=0,设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点M(x0,y0),因为|AC|=|AD|,因此M在CD的中垂线AM上,因为l AM:y+1=-x,因此+1=-·,整理得k2=7,解得k=±.(k2=7满足1-3k2≠0且Δ>0).。