《双曲线方程及性质的应用》课时提升作业

《双曲线方程及性质的应用》课时提升作业

双曲线方程及性质的应用

(30分钟50分)

一、选择题(每小题3分,共18分)

1.(2020·重庆高二检测)已知双曲线x2-y2=2,过定点P(2,0)作直线l与双曲线有且只有一个交点,则如此的直线l的条数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】选B.因为点P(2,0)在双曲线含焦点的区域内,故只有当直线l与渐近线平行时才会与双曲线只有一个交点,故如此的直线只有两条.

【变式训练】过双曲线x2-=1的右焦点作直线与双曲线交于A,B两点,若|AB|=16,如此的直线有( )

A.一条

B.两条

C.三条

D.四条

【解析】选C.过右焦点且垂直于x轴的弦长为16,因为|AB|=16,因此当l与双曲线的两交点都在右支上时只有一条.又因为实轴长为2,16>2,因此当l与双曲线的两交点在左、右两支上时应该有两条,共三条.

2.(2020·长春高二检测)已知双曲线E的中心在原点,F(3,0)是E的焦点,过F 的直线l与E相交于A,B两点,且AB中点为N(-12,-15),则E的方程为( ) A.-=1 B.-=1

C.-=1

D.-=1

【解析】选B.由已知条件易得直线l的斜率k==1,设双曲线方程为

-=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,-=1,两式相减并结合x1+x2=-24,y1+y2=-30得=,从而=1,又因为a2+b2=c2=9,故a2=4,b2=5,因此E的方程为-=1.

【拓展延伸】解决与双曲线弦的中点有关问题的两种方法

(1)根与系数的关系法:联立直线方程和双曲线方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.

(2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入双曲线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,可求斜率k=.这是解决与中点有关问题的简便而有效的方法.求弦中点轨迹问题,此方法依旧有效.

3.(2020·郑州高二检测)双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,若MF2⊥x轴,则双曲线的离心率为( )

A. B. C. D.

【解题指南】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标,通过解直角三角形列出三参数a,b,c的关系,求出离心率的值.

【解析】选B.将x=c代入双曲线的方程得y=,即M,在△MF1F2中,

tan30°=,即=,解得e==.

4.F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,过右焦点F2作倾斜角为的弦AB,则△F1AB 的面积为( )

A. B.2 C. D.

【解析】选 B.由双曲线-y2=1,得a2=3,b2=1,c2=a2+b2=4,因此c=2,F1(-2,0),F2(2,0),直线AB:y=x-2.

由得2x2-12x+15=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1·x2=,

因此|AB|=|x1-x2|=·=2.

又F1到直线AB:x-y-2=0的距离为:

d==2,

因此=×d×|AB|=×2×2=2.

5.(2020·攀枝花高二检测)P是双曲线-=1右支上的一点,M,N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( )

A.9

B.8

C.7

D.6

【解析】选A.

由双曲线-=1,知a2=9,b2=16,因此c2=25,因此c=5.

因此双曲线左、右焦点分别是F1(-5,0),F2(5,0),由圆的方程

知,两圆的圆心分别为左、右焦点,由双曲线的定义知

|PF1|-|PF2|=2a=6,结合图形当M为PF1延长线与圆交点

时PM最长,当N为PF2与圆交点时PN最短,现在|PM|-|PN|最大,故最大值为6+2+1=9.

6.(2020·天津高二检测)已知双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),过左焦点F1作斜率为的直线交双曲线的右支于点P,且y轴平分线段F1P,则双曲线的离心率为( )

A. B.+1 C. D.2+

【解析】选A.由双曲线-=1(a>0,b>0),得左焦点F1(-c,0),则直线方程为y=(x+c).又PF1的中点在y轴上,故P点横坐标为x P=c,代入直线y=(x+c),得y P=c,又点P在双曲线上,故-=1,即c4-a2c2+a4=0,因此e4-e2+1=0,解得e=或e=(舍).

二、填空题(每小题4分,共12分)

7.过点A(6,1)作直线与双曲线x2-4y2=16相交于两点B,C,且A为线段BC的中点,则直线的方程为.

【解题指南】依照直线通过点A(6,1),设出直线方程y-1=k(x-6);依照点A(6,1)为线段BC的中点,应用中点坐标公式,确定B,C的坐标关系;应用“点差法”确定直线的斜率.

【解析】依题意可得直线的斜率存在,设为k(k≠0),

则直线的方程为y-1=k(x-6).

设B(x1,y1),C(x2,y2),

因为点A(6,1)为线段BC的中点,

因此x1+x2=12,y1+y2=2.

因为点B,C在双曲线x2-4y2=16上,

因此

由②-①得:(x2-x1)(x2+x1)-4(y2-y1)(y2+y1)=0,

因此k====,

因此经检验,直线的方程为y-1=(x-6),

即3x-2y-16=0.

答案:3x-2y-16=0

8.(2020·福州高二检测)设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B,则△AFB的面积为.

【解题指南】由双曲线的方程可得a,b的值,进而可得c的值,得到A,F两点的坐标.因此可设BF的方程为y=±(x-5),与双曲线的渐近线方程联立,得到点B的坐标,即可算出△AFB的面积.

【解析】依照题意,得a2=9,b2=16,

因此c==5,且A(3,0),F(5,0).

因为双曲线-=1的渐近线方程为y=±x.

因此直线BF的方程为y=±(x-5).

①若直线BF的方程为y=(x-5),与渐近线y=-x交于点B,

现在S△AFB=|AF|·|y B|=×2×=;

②若直线BF的方程为y=-(x-5),与渐近线y=x交于点B.