9.4复合函数微分法
5、复合函数微分法与隐函数微分法解析
显函数
u t
v t
证略
推广： 设z=f(u,v,w) ,u=u(t)，v=v(t)，w=w(t) ，
则z=f(u(t),v(t),w(t))对t的导数为
z u t v t w t
全 导 数 公 式
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
复合函数微分法与隐函数微分法
注意：本节的知识点容易让人产生混乱
一、复合函数微分法 复习： 一元复合函数 y f (u), u ( x)
dy dy du 求导法则 f (u ) u dx du dx
微分法则 dy f (u)du f (u) ( x)dx 要求：熟练掌握多元复合显函数求导的链式法则
df y df 1 x 2 y 0 du x du x
dz z du z dv dt u dt v dt
2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理：若函数u=u(x,y)，v=v(x,y)都在点(x,y)处具有对x 及y的偏导数，函数z=f(u,v)在点(u,v)处偏导数连 续，则复合函数z=f(u(x,y),v(x,y))在点(x,y)处对x 及y的偏导数都存在，且有： z z z u z v f1 u1 f 2 v1 x u x v x u v
1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理：若函数u=u(t)，v=v(t)都在点t可导，函数z=f(u,v) 在点(u,v)处偏导数连续，则复合函数z=f(u(t),v(t)) 在点t可导，且有链式法则： z
dz z du z dv dt u dt v dt
(1)z只有一个自变量 (2)z有两个中间变量 (3)两个中间变量u,v都只一个自变量
第四节 复合函数微分法
z z 例1 设 z e sin v, u xy, v x y, 求 , . x y
u
解法1 由复合函数的结构图，可得
z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
e xy [ y sin( x y) cos( x y)]，
例3 设 w f ( x 2 , xy, xyz) ，其中f(u,v,w)为可微函数，
w w w 求 , , . x y z
解 令 u x 2 , v xy, t xyz.由函数的结构图，可得
w w du w v w t x u dx v x t x
z z u z v z w . y u y v y w y
(3)
2.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而
u ( x, y, z ),
v ( x, y, z ) 都有偏导数，求复合函数
w f [ ( x, y, z ), ( x, y, z )]
第四节 复合函数微分法
一、复合函数的链式法则 二、全微分形式不变性
一、复合函数的链式法则
设z=f(u,v)是变量u，v的函数，而u，v又是x，y的 函数，即 u ( x, y ), v ( x, y ) ，如果能构成z是x ,y的 二元复合函数
z f [ ( x, y ), ( x, y )],
如果u，v是中间变量，即 u ( x, y ), v ( x, y ) ， 且这两个函数具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y ), ( x, y )]
的全微分为
z z dz dx dy, x y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
复合函数微分法
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注 上面第一个等式中，左边的 d z 是作为一元函数 dt
的复合函数对 t 求导数 (这种导数又称为“全导数”);
右边的
z t
是外函数
(作为
u,
v,
t
的三元函数)
对
t
求偏导数．二者所用的符号必须有所区别．
例4 用多元复合微分法计算下列一元函数的导数:
(1)
y
x
x
x
;
(1 x2 )ln x
(2) y
.
sin x cos x
解 (1) 令 y u v , v w x , u x, w x, 从而有
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dy dx
y u
du dx
y v
v
w
dw dx
v x
v uv1 uv ln u [ x w x1 w x ln w ]
(1
x2 )ln x
(
sin
x
cos
x
)(
2
x
ln
x
1
x x
2
)
.
由此可见，以前用 “对数求导法” 求一元函数导数
的问题, 如今可用多元复合函数的链式法则来计算.
例 5 设 f ( x, y) 为可微函数, f (1,1) 1, fx (1,1) a,
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f y (1,1) b, ( x) f ( x, f ( x, f ( x, x))), 试求 (1). 解 令 ( x) f ( x, y), y f ( x, z), z f ( x,u), u x,
复合函数微分证明
复合函数微分证明复合函数微分证明是微积分学中的基础内容之一，也是无数学生最头疼的考试内容之一。
下面，我将分步骤阐述如何进行复合函数微分证明。
第一步：理解复合函数复合函数是由两个或两个以上的函数组成的函数，其中一个函数需要求导，另一个函数需要进行代入。
例如：f(x)=cos(x^3)，则g(x)=cos(u)的函数u=x^3，那么f(x)可以表示为f(g(x))=cos(x^3)。
第二步：推导复合函数微分公式对于复合函数f(g(x))，它的导数可以表示为：df/dx = df/du*du/dx其中，df/du是外函数f(g(x))的导数，du/dx是内函数g(x)的导数。
由此可得：df/dx = df/dg * dg/dx这就是复合函数微分公式。
其中，df/dg是外函数f(g(x))对内函数g(x)的导数，dg/dx是内函数g(x)的导数。
第三步：进行复合函数微分证明以f(x)=cos(x^3)为例进行证明：设g(x)=x^3，则f(x)可以表示为f(g(x))=cos(g(x))。
对g(x)求导得到g’(x)=3x^2。
对f(g(x))进行求导，根据复合函数微分公式，得到：df/dx = df/dg * dg/dx对f(g(x))求导，外函数f(g(x))的导数df/dg可以表示为：df/dg = -sin(g(x))内函数g(x)的导数dg/dx为：dg/dx = 3x^2将df/dg和dg/dx代入复合函数微分公式中可得：df/dx = -sin(g(x)) * 3x^2将g(x)=x^3代入得到：df/dx = -3x^2 * sin(x^3)因此，f(x)=cos(x^3)的导数为-df/dx=3x^2*sin(x^3)。
以上就是复合函数微分证明的步骤。
需要注意的是，复合函数微分证明在考试中通常需要进行详细的计算过程，所以掌握复合函数微分公式的同时，也需要培养自己的计算技能。
复合函数微分法与隐函数微分法
z (2)要先求出 x z (3)求 有多少种方法 x z 先求出 x
法1：运用定理 构造三元函数F(x,y,z)=x2+y2+z2-4z
z Fx 2x x x Fz 2z 4 2 z
两边对x求偏导数
z 2 z x 2 2 2 z x z x x 2 3 x x x 2 z 2 z 2 z
f u f dv 2 z x 2 f12 2 y 2 x f1 y 1 1 2 x f1 y f11 u y v dy xy
y 例4：设 z f , f (u ) 为可微函数，证明： x z z z x y 0 x y u z df u z df u , x du x y du y x y z z df u df u x y x y x y du x du y
dy dx
d2y , 2 x 0 dx
x 0
例1：验证方程siny+ex-xy-1=0在点(0,0)的某邻域可 确定一个单值可导隐函数y=f(x),并求
dy dx
d y , 2 x 0 dx
2
x 0
dy d2y 问题：求方程的 有多少种方法？求 2 有什么方法？ dx dx
构造以x,y为变量的二元函数 F(x,y)=siny+ex-xy-1 (1) Fx ex y, Fy cos y x 连续 (2) F (0, 0) 0 (3) Fy (0,0) 1 0 所以，在x=0的某邻域内方程存在单值可导的隐函数 y=f(x)，且
问题：加 线的函数所表 示的对应法则一样吗？
复合函数求微分公式
复合函数求微分公式复合函数求微分公式是微积分中的重要内容之一。
在实际问题中，往往需要考虑多个函数的复合，然后求出其导数。
复合函数的求导公式是通过链式法则推导出来的，它能够帮助我们计算复杂函数的导数，从而解决实际问题。
我们来看一下复合函数的定义。
给定两个函数f(x)和g(x)，我们可以构造一个新的函数h(x)=f(g(x))，其中g(x)作为f(x)的自变量。
这样的函数h(x)就是一个复合函数。
要求复合函数的导数，我们需要使用链式法则。
链式法则是求导复合函数的基本方法。
它的基本思想是将复合函数的导数分解为两个函数的导数的乘积。
具体来说，假设y=f(u)和u=g(x)，那么复合函数y=f(g(x))就可以表示为y=f(u)和u=g(x)的复合。
根据链式法则，复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/du表示f(u)对u的导数，du/dx表示g(x)对x的导数。
根据链式法则，我们可以得到一些常见的复合函数求导公式。
下面我们来看几个例子。
1. 复合函数中的常数倍数：假设y=k*f(x)，其中k是常数。
根据链式法则，我们有dy/dx = k * df/dx。
2. 复合函数中的和差：假设y=f(x)±g(x)。
根据链式法则，我们有dy/dx = df/dx ± dg/dx。
3. 复合函数中的积：假设y=f(x) * g(x)。
根据链式法则，我们有dy/dx = f(x) * dg/dx + g(x) * df/dx。
4. 复合函数中的商：假设y=f(x) / g(x)。
根据链式法则，我们有dy/dx = (f(x) * dg/dx - g(x) * df/dx) / g^2(x)。
5. 复合函数中的幂：假设y=f(g(x))^n。
根据链式法则，我们有dy/dx = n * f(g(x))^(n-1) * df/dx。
通过这些公式，我们可以求解各种复合函数的导数。
复合函数的微分法
ux z
vy
求偏导数
z z u z v x u x v x
两条路径： zz
u v
x x
z z u z v y u y v y
两条路径： zz
u v
y y
口诀: 并联相加，串联相乘；一元全导，多元偏导.
一、复合函数的微分法
情形3：复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数
类比：二元复合函数求偏导
z f x, y, x, y
复合关系
z f u,v,u x, y,v x, y
结构图
ux
z vy
微分法
? ? z
z
x
y
一、复合函数的微分法
情形1：复合函数的中间变量为一元函数
z f x, x
复合关系 z f u,v,u x,v x
结构图 求全导数
z
复合函数微分法的步骤：
第一步：根据复合函数拆解复合关系；
第二步：结合结构图分析路径；
第三步：根据路径求全导数或者偏导数.
口 诀:
并联相加，串联相乘； 一元全导，多元偏导.
二、典型例题
例1
设 z uv,u et , v cos t ，求 dz .
dt
解： dz z du z dv
dt u dt v dt
z z u z dv y u y v dy
2ueu2v2 x2 cos y 2veu2v2 sin y
ex4 sin2 ycos2 y x4 1 sin 2 y
小结
复合函数 的微分法
复合关系 结构图 求偏(全)导
y
二、典型例题
例3
设 z eu2v2 ,u x2 sin y,v cos y , 求 z , z .
9.4多元复合函数的求导法则
纯偏导
z 2 z z 2 z f yx ( x , y ) f xy ( x , y ), x y xy y x yx
混合偏导 定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数.
17
多元复合函数的求导法则
13
多元复合函数的求导法则
三、全微分形式不变性
设函数z f ( u, v ) 具有连续偏导数, 则有 z z 全微分 dz du dv; u v 当u ( x , y ), v ( x , y )时, 则有全微分 z z dz dx dy , x y z vv v z z zu u u z z vu dx dy dx dy xy y u y v v ux u v xy x z z du dv . u v
u v w
t
z z u z v z z u z v z , . x u x v x y u y v y
u x v y
9
多元复合函数的求导法则
4. z f [u, v, w)], u ( x, y), v ( x, y), w ( x, y)
xy yx
22
多元复合函数的求导法则
多元函数的偏导数常常用于建立某些偏微
分方程. 偏微分方程是描述自然现象、反映自然 规律的一种重要手段. 例如方程
z 2 z a 2 y x 2 (a是常数)称为波动方程, 它可用来描述各类波的 运动. 又如方程 2 2 z z 2 0 2 x y 称为拉普拉斯(laplace)方程, 它在热传导、流体 运动等问题中有着重要的作用.
通过全微分求所有一阶偏导数,比链 导法则求偏导数有时会显得灵活方便.
复合函数微分
复合函数微分什么是复合函数微分？在数学中，一种被广泛应用的工具就是函数。
如果两个（或更多）函数相互作用，形成了新的函数，那么这种构成新函数的方式就被称为“复合函数”，也被称作“组合函数”。
复合函数的微分，也被称为复合函数的导数，指的是在函数中进行微分时，相继执行的一系列函数的导数相乘的结果。
关于复合函数微分，也就是求 $y = f(g(x))$ 的导数，我们已有一个方法：链规则。
假设我们有两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，那么它们的复合函数$h(x) = f(g(x))$。
那么复合函数的导数就可以表示为：$$\frac{dh}{dx} = \frac{df}{dg} \times \frac{dg}{dx}$$这种方法就是链规则，它是一种用于计算复合函数导数的方法。
需要注意的是，由于两个函数组成了复合函数，所以在微分的时候，要先求出里面最先执行的函数的导数，再求下一个，一直到最后一个函数。
举个例子，假设我们有一个函数 $h(x) = (x^2 + 3)^3$，我们现在要求它的导数，也就是 $h'(x)$。
那么我们可以使用链规则来求解。
我们可以将 $h(x)$ 分开成两个函数：$$f(x) = x^3$$$$g(x) = x^2 + 3$$相应地，可以写出它们的导数：$$f'(x) = 3x^2$$$$g'(x) = 2x$$将它们代入链规则的公式中，就可以求出 $h'(x)$：$$(x^2 + 3)^3)' = 3(x^2 + 3)^2 \times (x^2 + 3)'$$$$= 3(x^2 + 3)^2 \times 2x$$$$= 6x(x^2 + 3)^2$$总结一下，复合函数微分是一种计算复合函数导数的方法。
其核心就是链规则，在求解中，我们需要分别求出每个函数的导数，并进行相应的处理。
除了求导数之外，复合函数还可以应用在微积分、概率论等数学领域，成为一个非常重要的概念。
复合函 数 的 微 分
( B ) 2 . y = xe 解： dy = e =e =e
− x2
− x2 − x2 − x2
dx + xd ( e (e dx + xe
− x2 2
− x2
)= e
− x2
dx + xe
− x2
d (− x 2 )
( − 2 x ) dx
− x2
dx − 2 x e
2
dx = e
− x2
(1 − 2 x 2 ) dx
e 2 x ( 2 x − 1) dx = 2 x
练习 ： 求下列函数的微分： ( A )1 . y = e sin
2x
解： dy = d ( e sin 2 x ) = e sin 2 x d (sin 2 x ) = e sin 2 x cos 2 xd ( 2 x ) = 2 e sin 2 x cos 2 xdx
2
解： 方程两边求微分
d ( x 2 + y 2 ) = dR 2
即dx 2 + dy 2 = dR 2
得 2 xdx + 2 ydy = 0 由此，解得
dy x =− dx y
（B）例6 在下列括号中填上适当的函数，使等式成立
(1).d (
) = 3dx
( 2 ). d (
)=
xdx
(3).d ( ) = sin 2tdt
（C）利用微分法求隐函数的导数
xy = ex+y 所确定的隐函数 y 的导数 例5 求由方程
解 ：对所给方程的两边分别求微分，得 d ( xy ) = d ( e x + y ),
dy dx
ydx + xdy = e x + y d ( x + y ),
复合函数微分法
z z u z v x u x v x
f11
f 2 1
z
uv
z z u z v y u y v y
f12 f2 2
x yx y
即书P88定理9.8
3) 中间变量有三个，自变量有2个，例如 z f (u,v, w) ,
d z z d u z dv d t u d t v d t
证: 设 t 取增量△t, 则相应中间变量 有增量△u ,△v ,
z z u z v o ( )
u v 则有u 0, v 0,
u du , v dv t dt t dt
解: z x
z v v x
eu sin v eu cos v 1
x y z
uv
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
x yx y
例2. u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y
解: u f x x
2xex2 y2
z2
2ze x2
y2
z
2
2
x
sin
y
u
2 x (1 2 x2 sin 2 y) e x2 y2 x4 sin2 y
xyz
u y
f y
f z
z y
2ye
x2
y2
z2
2ze
x2
y2
z
2
d uv vdu udv,
复合函数微分法则详解
复合函数微分法则详解在微积分中，复合函数微分法则是一种用于求解复合函数的导数的方法。
复合函数是由一个函数和另一个函数组合而成的函数，例如y=f(g(x))。
在这种情况下，如果我们想要求f(g(x))的导数，我们可以使用复合函数微分法则来简化计算。
复合函数的定义复合函数是指一个函数中包含另一个函数，形式为y=f(g(x))，其中f(x)和g(x)都是函数。
在这种情况下，g(x)被称为内函数，而f(x)被称为外函数。
复合函数微分法则的推导为了推导复合函数的导数，我们首先需要理解导函数的定义。
导函数表示函数的斜率或变化率，在微积分中通常用导数符号$\\frac{dy}{dx}$表示。
对于复合函数y=f(g(x))，我们可以将其作为两个函数的复合：u=g(x)和y=f(u)。
根据链式法则，复合函数的导数可以表示为：$$\\frac{dy}{dx}=\\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx}$$这里，$\\frac{dy}{du}$表示外函数f(u)对u的导数，$\\frac{du}{dx}$表示内函数u=g(x)对x的导数。
复合函数微分法则的应用假设我们有一个复合函数y=(3x2+2x)4，要求其导数。
首先，我们可以将其分解为y=u4，其中u=3x2+2x。
根据复合函数微分法则，我们有：$$\\frac{dy}{dx}=4u^3 \\cdot \\frac{du}{dx}=4(3x^2+2x)^3 \\cdot (6x+2)$$通过简化计算，我们得到$dy/dx=4(3x^2+2x)^3 \\cdot (6x+2)$。
这样，我们成功地求得了复合函数的导数。
总结复合函数微分法则是一种用于求解复合函数导数的重要方法，通过将复合函数拆解为两个简单函数来简化计算。
在应用复合函数微分法则时，我们需要注意内函数和外函数的区分，并结合链式法则进行计算。
熟练掌握复合函数微分法则对于理解函数导数的计算和应用具有重要意义。
复合函数微分法
复合函数微分法复合函数微分法是一种求解复合函数的数学方法，它是一种运用微积分求解连续复合函数的数学方法。
它是用微分学的结果来求复合函数的微分形式，对连续复合函数进行一阶或多阶的求导，从而解决复杂的函数方程。
复合函数微分法的定义及基本原理复合函数微分法是指在一次函数或多次函数的基础上，把另一函数加进去，构成复合函数，然后通过求导来求得复合函数的微分形式。
基本原理是，假设有一组未知函数f(x)，其中f是复合函数，它由一个函数g(x)和另一个函数h(g(x))组成，即f(x)=h(g(x))。
进行复合函数微分法时，首先求g(x)的导数，然后再求取h(g(x))的导数，从而得到f(x)的导数。
复合函数微分法的具体应用复合函数微分法可以应用于各种函数的求解，比如求复杂函数的微分形式、求函数及其极限、求积分等。
具体来说，复合函数微分法可以帮助解决有一次函数和多次函数组成的复合函数方程，其中可包括多项式函数、指数函数、对数函数等。
一次函数求导时，可以用一次函数微分法，求出函数的导数；多次函数求导时，可以用链式法则，求出函数的导数。
另外，对于函数的极限或积分的求解，都可以用复合函数微分法。
比如，求取指数函数的极限时，可以用复合函数微分法，从而很容易求取指数函数的极限。
复合函数微分法的优势复合函数微分法具有很多优势，比如：（1）复合函数微分法可以解决复杂的函数方程，这是其最大的优势；（2）复合函数微分法能同时运用一次函数微分法和链式法则，可以求出各种复杂函数的导数；（3）复合函数微分法可以计算函数的极限，也可以计算积分，从而方便得到方程的解析解。
总结复合函数微分法是一种求解复合函数的数学方法，它是用微分学的结果来求复合函数的微分形式，用于求解复杂函数方程、函数极限和积分等问题。
复合函数微分法具有解决复杂函数方程、同时运用一次函数微分法和链式法则、计算函数极限和积分等优势，是一种有效的复合函数求解方法。
复合函数求微分
复合函数求微分复合函数求微分是微积分中常见的知识点，它也经常被用于解决实际问题。
它的定义是：若f(x)、g(x)和h(x)是可以微分的函数，那么它们的复合函数：h(g(f(x)))，它的导数也可以求出，即h(g(f(x)))=h(x)g(f(x))f(x) 。
一般来说，求复合函数的微分就是把复合函数用字符表示，并且给出它的各个函数及其对应的导数，将其代入复合函数的总导数公式中，即可求得复合函数的导数。
比如，设复合函数 h(x)=log(x+5x+2)，那么它的总导数就是h(x)=2/(x+5x+2)。
此外，这里的函数f（x）=x+5x+2,f(x)=2x+5；函数g（x）=logx,g(x)=1/x；函数h（x）=log(x+5x+2),h(x)=2/(x+5x+2)。
将这些写出来之后，我们可以把它们代入总导数公式中，就可以求得复合函数的导数：h(x)=2x+5×1/x ×2/(x+5x+2)=(2x+5)×2/(x+5x+2)^2。
另一种求复合函数求导的方法是：链式法则。
它的定义是：若f(x)和g(x)是可以微分的函数，那么它们的复合函数：h(x)=g(f(x))，它的导数也可以求出，即 h(x)=g(f(x))f(x) 。
用链式法则求复合函数的导数就是，令复合函数h(x)=g(f(x))，先求g(f(x))在x点处的导数，然后求f(x)在x点处的导数，最后乘以g(f(x))和f(x)，就可以求得复合函数h(x)的导数。
比如，设复合函数 h(x)=3cos(5x+3)+2，那么它的总导数就是h(x)=-15sin(5x+3)+2。
此外，这里的函数f（x）=5x+3,f(x)=5；函数g（x）=cosx,g(x)=-sinx。
将这些写出来之后，我们可以把它们代入链式法则的导数公式中，就可以求得复合函数的导数：h(x)=-15sin(5x+3)×5=-15sin(5x+3)×5+2。
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例2 设 z eu sin v, 而 u xy, v x y,
求
z x
和
z y
.
u
x
z
v
y
解
z x
z u
u x
z v
v x
eu sin v y eu cos v 1
eu( y sin v cosv)
e xy[ y sin( x y) cos( x y)],
例2 设 z eu sin v, 而 u xy, v x y,
v
uv1,
z v
uv
ln
u,
u y
2
y,
v y
2
则
z x
6 x(4 x 2 y)(3 x2 y )2 4x2 y1
4(3 x2 y2 )4 x2 y ln( 3 x2 y2 )
例3 求 z (3 x2 y2 )4 x2 y 的偏导数.
解
z u
v
uv1,
z v
uv
ln u,
u y
2 y,
dz z du z dv dt u dt v dt
复合后的函数是一元函数 ,故所求的导数就是全导数.
证明 设 t 获得增量 t，
则 u (t t ) (t ),v (t t) (t);
由于函数z f (u, v)在点(u,v)有连续偏导数
z
z u
u
z v
v
1u
2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
求
z x
和
z y
.
解 z x
u
x
z
v
y
e xy[ y sin( x y) cos( x y)],
例2 设 z eu sin v, 而 u xy, v x y,
求
z x
和
z y
.
u
x
z
v
y
解
z x
e xy[ y sin(
x
y)
cos( x
y)],
z y
z u
u y
z v
v y
eu sin v x eu cos v 1
例1 设 z uv sin t, 而 u et , v cos t,
求全导数
dz dt
.
z
解 令 w sint 则路径图为
u
v
t
w
dz dt
z du z dv z w u dt v dt w t
vet usin t cos t
et cos t et sin t cos t et (cos t sin t) cos t.
第四节 多元复合函数的 微分法
一、多元复合函数求导法则
二、全微分形式的不变性
一、多元复合函数的求导法则
在一元函数微分学中，复合函数的求导法则 起着重要的作用.现来自我们把它推广到多元复合函数的情形.
多元复合函数，复合后的最终函数，若是一 元函数所求的导数就是全导数，若是二元或 多元函数求的便是偏导数.
w w( x, y)都在点( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，
复合函数z f [ ( x, y), ( x, y), w( x, y)]在对应点
( x, y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算
z x
z u
u x
z v
v x
z w
w x
,
z
z
z
u
z
v
z
w
.
u v w
x
y
y u y v y w y
eu( x sin v cosv)
e xy[ x sin( x y) cos( x y)].
例3 求 z (3 x2 y2 )4 x2 y 的偏导数. 解 设 u 3x2 y2, v 4 x 2 y, 则 z uv.
可得
z u
v
uv1,
z v
uv
ln u
u x
6
x,
u y
v y
2
则
z x
6x(4x
2 y)(3x2
y )2 4 x2 y1
4(3 x2 y2 )4 x2 y ln( 3 x2 y2 )
z z u z v v uv1 2 y uv ln u 2 y u y v y
2 y(4 x 2 y)(3 x2 y )2 4x2 y1
2
y,
v x
4,
v y
2
则
z x
z u
u x
z v
v x
v uv1 6 x
uv
ln u 4
6 x(4 x 2 y)(3 x2 y )2 4x2 y1
4(3 x2 y2 )4x2 y ln( 3 x2 y2 )
例3 求 z (3 x2 y2 )4 x2 y 的偏导数.
解
z u
偏导数存在，且可用下列公式计算
z x
z u z v u x v x
z z u z v y u y v y
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
定理 2 推广，设u ( x, y)、v ( x, y)、
u
z
v
t
w
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
dt
若复合后的函数是多元函数 z f (x, y) ,则求的是偏导数.
多元复合函数偏导数的计算常借助于 变量之间的路径图的链式法则来完成。
即自函数（因变量）出发，自左向右将函数、中间变 量、自变量用线段依次连接，并依照以下的规则求出 偏导数： （1）自每个变量（节点）出发，若路径是单链的，则 是导数关系，若路径是多链的，则是偏导数关系； （2）一条链之间，依次求导相乘，每一项都是两个或 多个因子相乘，第 1 因子是因变量对中间变量的偏导 数，末因子是中间变量对自变量的偏导数（或导数）； （3）各条链之间，逐链相加。
2.复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理 2 如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点 ( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，且函数z f (u,v)
在对应点(u, v )具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y)的两个
下面按照多元复合函数不同的复合情形， 分三种情况进行讨论.
1.复合函数的中间变量均为一元函数的情形
定理 1 如果函数u (t) 及v (t )都在点 t 可
导，函数z f (u,v)在对应点(u,v) 具有连续偏导
数，则复合函数z f [ (t ), (t )]在对应点 t 可导，
且其导数可用下列公式计算：
z t
z u
u t
z v
v t
1
u t
2
v t
当t 0时， u 0，v 0
u du , v dv , t dt t dt
dz
z z du z dv
lim .
dt t0 t u dt v dt
上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt