9.4复合函数微分法

2
y,
v x
4,
v y
2
则
z x
z u
u x
z v
v x
v uv1 6 x
uv
ln u 4
6 x(4 x 2 y)(3 x2 y )2 4x2 y1
4(3 x2 y2 )4x2 y ln( 3 x2 y2 )
例3 求 z (3 x2 y2 )4 x2 y 的偏导数.
解
z u
例2 设 z eu sin v, 而 u xy, v x y,
求
z x
和
z y
.
u
x
z
v
y
解
z x
z u
源自文库
u x
z v
v x
eu sin v y eu cos v 1
eu( y sin v cosv)
e xy[ y sin( x y) cos( x y)],
例2 设 z eu sin v, 而 u xy, v x y,
2.复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理 2 如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点 ( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，且函数z f (u,v)
在对应点(u, v )具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y)的两个
例1 设 z uv sin t, 而 u et , v cos t,
求全导数
dz dt
.
z
解 令 w sint 则路径图为
u
v
t
w
dz dt
z du z dv z w u dt v dt w t
vet usin t cos t
et cos t et sin t cos t et (cos t sin t) cos t.
第四节 多元复合函数的 微分法
一、多元复合函数求导法则
二、全微分形式的不变性
一、多元复合函数的求导法则
在一元函数微分学中，复合函数的求导法则 起着重要的作用.
现在我们把它推广到多元复合函数的情形.
多元复合函数，复合后的最终函数，若是一 元函数所求的导数就是全导数，若是二元或 多元函数求的便是偏导数.
求
z x
和
z y
.
解 z x
u
x
z
v
y
e xy[ y sin( x y) cos( x y)],
例2 设 z eu sin v, 而 u xy, v x y,
求
z x
和
z y
.
u
x
z
v
y
解
z x
e xy[ y sin(
x
y)
cos( x
y)],
z y
z u
u y
z v
v y
eu sin v x eu cos v 1
偏导数存在，且可用下列公式计算
z x
z u z v u x v x
z z u z v y u y v y
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
定理 2 推广，设u ( x, y)、v ( x, y)、
dz z du z dv dt u dt v dt
复合后的函数是一元函数 ,故所求的导数就是全导数.
证明 设 t 获得增量 t，
则 u (t t ) (t ),v (t t) (t);
由于函数z f (u, v)在点(u,v)有连续偏导数
z
z u
u
z v
v
1u
2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
w w( x, y)都在点( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，
复合函数z f [ ( x, y), ( x, y), w( x, y)]在对应点
( x, y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算
z x
z u
u x
z v
v x
z w
w x
,
z
z
z
u
z
v
z
w
.
u v w
x
y
y u y v y w y
v y
2
则
z x
6x(4x
2 y)(3x2
y )2 4 x2 y1
4(3 x2 y2 )4 x2 y ln( 3 x2 y2 )
z z u z v v uv1 2 y uv ln u 2 y u y v y
2 y(4 x 2 y)(3 x2 y )2 4x2 y1
v
uv1,
z v
uv
ln
u,
u y
2
y,
v y
2
则
z x
6 x(4 x 2 y)(3 x2 y )2 4x2 y1
4(3 x2 y2 )4 x2 y ln( 3 x2 y2 )
例3 求 z (3 x2 y2 )4 x2 y 的偏导数.
解
z u
v
uv1,
z v
uv
ln u,
u y
2 y,
u
z
v
t
w
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
dt
若复合后的函数是多元函数 z f (x, y) ,则求的是偏导数.
多元复合函数偏导数的计算常借助于 变量之间的路径图的链式法则来完成。
即自函数（因变量）出发，自左向右将函数、中间变 量、自变量用线段依次连接，并依照以下的规则求出 偏导数： （1）自每个变量（节点）出发，若路径是单链的，则 是导数关系，若路径是多链的，则是偏导数关系； （2）一条链之间，依次求导相乘，每一项都是两个或 多个因子相乘，第 1 因子是因变量对中间变量的偏导 数，末因子是中间变量对自变量的偏导数（或导数）； （3）各条链之间，逐链相加。
eu( x sin v cosv)
e xy[ x sin( x y) cos( x y)].
例3 求 z (3 x2 y2 )4 x2 y 的偏导数. 解 设 u 3x2 y2, v 4 x 2 y, 则 z uv.
可得
z u
v
uv1,
z v
uv
ln u
u x
6
x,
u y
z t
z u
u t
z v
v t
1
u t
2
v t
当t 0时， u 0，v 0
u du , v dv , t dt t dt
dz
z z du z dv
lim .
dt t0 t u dt v dt
上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
下面按照多元复合函数不同的复合情形， 分三种情况进行讨论.
1.复合函数的中间变量均为一元函数的情形
定理 1 如果函数u (t) 及v (t )都在点 t 可
导，函数z f (u,v)在对应点(u,v) 具有连续偏导
数，则复合函数z f [ (t ), (t )]在对应点 t 可导，
且其导数可用下列公式计算：