二次函数与最优化问题
二次函数与最优化问题PPT课件
回顾与练习
求下列二次函数的最大值 或最小值：
⑴ y=2x2＋3x－4; ⑵ y=－x2＋4x
练习： 分别在下列各范围上求函数
y=x2+2x－3的最值
y
(1) x为全体实数
(2) 1≤x≤2 (3) －2≤x≤2
-2 -1
O 12 x
例1
情景建模问题
用长为8米的铝合金制成如图窗框，问
本节课你有哪些收获？
课后拓展
1.如图，隧道横截面的下部是矩 形，上部是半圆，周长为16米。
⑴求截面积S（米2）关于底部宽 x（米）的函数解析式，及自变 量x 的取值范围？
⑵试问：当底部宽x为几米时， 隧道的截面积S最大（结果精确 到0.01米）？
窗框的宽和高各为多少米时，窗户的透
光面积最大？最大面积是多少？
例1
情景建模问题
用长为8米的铝合金制成如图窗框，问
窗框的宽和高各为多少米时，窗户的透
光面积最大？最大面积是多少？
4－x
x
变式训练：
俯视图
如图，在一边靠墙的
空地上，用砖墙围成三 格的矩形场地.已知砖 墙在地面上占地总长度 160m ， 问 分 隔 墙 在 地 面上的长度x为多少米 时所围场地总面积最大？ 并求这个最大面积.
二次函数的优化问题分析
二次函数的优化问题分析二次函数是高中数学中的重要内容，它在数学建模、优化问题等应用中经常遇到。
本文将分析二次函数的优化问题，并探讨如何通过优化方法求解。
1. 二次函数的定义和性质二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
它的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负决定。
二次函数的性质包括：对称轴、顶点、开口方向等。
这些性质在解决优化问题时非常重要。
2. 二次函数的最值问题对于二次函数f(x)，我们常常需要求解其最值问题，即求函数在特定区间内的最大值或最小值。
这类问题在实际应用中很常见，比如求解某个物体的最大射程、成本最小化等。
3. 求解最值问题的常用方法（1）关于x的性质法：通过分析二次函数的对称轴和顶点，确定函数的最值点。
（2）导数法：通过计算函数的导数，求得函数的极值点。
对于二次函数来说，也可以利用导数法求解最值问题。
4. 实例分析假设有一个开口向上的抛物线函数f(x) = x^2 + 3x - 4，我们要找出该函数在定义域[-5, 5]上的最大值和最小值。
首先，我们可以通过求导数的方法来解决最值问题。
求导得到f'(x) = 2x + 3，令f'(x) = 0，解得x = -1.5。
将x = -1.5带入原函数f(x)，得到f(-1.5) = 2.75。
所以，函数f(x)在定义域[-5, 5]上的最大值为2.75。
同时，我们可以通过对称轴的方法来求解最值问题。
二次函数的对称轴公式为x = -b / (2a)。
将函数f(x)代入公式，得到x = -3 / (2 * 1) = -1.5。
同样，将x = -1.5带入原函数f(x)，得到f(-1.5) = 2.75。
通过以上两种方法，我们得出函数f(x)在定义域[-5, 5]上的最大值和最小值都为2.75。
5. 二次函数优化在实际问题中的应用二次函数的优化方法不仅仅在数学课堂上使用，它在实际问题中应用广泛。
二次函数的优化问题解析与实例分析
二次函数的优化问题解析与实例分析在数学中，二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
二次函数在优化问题中扮演着重要的角色，其在现实生活中的应用也十分广泛。
本文将探讨二次函数的优化问题，并通过实例分析来加深对其应用的理解。
一、二次函数的基本性质二次函数的图像为一个抛物线，其基本性质如下：1. 首先，二次函数的开口方向由系数a的正负决定。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
2. 其次，二次函数的顶点是抛物线的最低或最高点，由顶点坐标(-b/2a, f(-b/2a))表示。
顶点坐标对于优化问题的解析至关重要。
3. 此外，当Δ = b^2 - 4ac > 0时，二次函数存在两个不同的实根；当Δ = 0时，二次函数存在一个重根；当Δ < 0时，二次函数无实根，图像与x轴无交点。
基于以上性质，我们可以利用二次函数的图像特性来解决优化问题。
二、二次函数的优化问题解析二次函数的优化问题主要包括两种类型：极大值问题和极小值问题。
而求解这些问题的关键在于找到二次函数的极值点，也即抛物线的顶点。
以下是解析二次函数优化问题的一般步骤：1. 首先，写出二次函数的表达式，即f(x) = ax^2 + bx + c。
2. 求出二次函数的导数f'(x)。
由于二次函数是二次多项式，其导数为一次多项式。
3. 令f'(x) = 0，解得极值点x0。
4. 将x0带入原函数f(x)中，得到最优解f(x0)。
此时，x0对应二次函数的顶点，也即优化问题的解。
三、实例分析为了更好地理解二次函数的优化问题，我们通过一个实例进行分析。
假设某物体从一定高度h0自由落下，受到重力的作用，其下落距离s与时间t的关系可以表示为s(t) = -4.9t^2 + h0。
现在我们的目标是求解物体下落的时间，使得下落距离最大。
1. 首先，根据题目要求，我们写出二次函数的表达式s(t) = -4.9t^2 + h0，其中a = -4.9。
二次函数与最优化问题(1)(PPT)3-1
求下列二次函数的最大值 或最小值：
⑴ y=2x2＋3x－4; ⑵ y=－x2＋4x
自太阳的太阳风内的带电微粒影响而产生偏转。卫星土卫六的轨道位于土星磁层的外围，并且土卫六的大气层外层中的带电粒子提供了等离子体。 地貌环境编辑土星表面也有沿赤道伸展的条纹带，表面被云层覆盖。通过天文望远镜，我们可以看到土星表面也有一些明暗交替的带纹平行于它 的赤道面，带纹有时也会出现亮斑、暗斑或白斑。白斑的出现不很稳定，最著名的白斑于9年8月被英国天文爱好者W·T·海用小型天文望远镜发现 此白斑位于土星赤道区，蛋形，长度达土星直径的/。以后这块白斑逐渐扩大，几乎蔓延到土星土星与地球的轨道关系土星与地球的轨道关系的 整个赤道带。土星极地附近呈绿色，是整个表面最暗的区域。根据红外观测得知云顶温度为-7℃，比木星低℃。土星表面的温度约为-℃。由于这 颗行星表面温度较低而逃逸速度又大（.公里/秒），使土星保留着几十亿年前它形成时所拥有的全部氢和氦。因此，科学家认为，研究土星的成 分就等于研究太阳系形成初期；镀锌方管 / 镀锌方管 ； 的原始成分，这对于了解太阳内部活动及其演化有很大帮助。 一般认为土星的化学组成像木星，不过氢的含量较少。土星上甲烷含量比木星多，氨的含量则比木星少。结构组成虽然没有土星内部结构直接的 信息，但人们还是认为它的内部结构类似木星，有一个小岩石的核心主要由氢和氦土星结构土星结构包围着该岩石的核心成分类似地球，但密度 稍微大一点。在它的外面有一个较厚的液态金属层其次是一层液体氢和氦，而在最外层是公里的大气。现代认为，土星形成时，起先是土物质和 冰物质吸积，继之是气体积聚因此土星有一个直径万公里的岩石核心。这个核占土星质量的%到%，核外包围着,公里厚的冰壳，再外面是8,公里 厚的金属氢层金属氢之外是一个广延的分子氢层。99年，一架飞机在地球大气高层对土星的热辐射作了红外观测，发现土星和木星一样，它辐射 出的能量是它从太阳接收到的能量的两倍。这表明土星和木星一样有内在能源。后来“先驱者”号的红外探测证实了这一点，测得土星发出的能 量是从太阳吸收到的.倍。土星结构土星结构大气层土星大气以氢、氦为主，并含有甲烷和其他气体，大气中飘浮着由稠密的氨晶体组成的云。从 望远镜中看去这些云像木星的云一样形成相互平行的条纹，但不如木星云带那样鲜艳，只是比木星云带规则得多，土星云带以金黄色为主，其余 是橘黄、淡黄等。土星的表面同木星一样，也是流体。它赤道附近的气流与自转方向相同速度可达每秒米，比木星风力要大得多。在土星北极有 一个形状是正六边形的巨大风暴，跨度英里，差不
《二次函数与约束最优化问题》
《二次函数与约束最优化问题》
《二次函数与约束最优化问题》是运用微积分理论来解决实际经济学，管理学，工程学，运筹学等领域的一类问题。
其解答依赖于一般数学算法原理，主要是极大极小点的理论，点，线及平面的解法，以及拉格朗日乘子法，然后是Kuhn-Tucker方程，Lagrange函数和Karush-Kuhn-Tucker条件等。
二次函数与约束最优化问题是指当函数为二次函数时，考虑约束条件的情况，通过满足某些约束条件，即在有限范围内取得最佳解的方法。
一般来说，二次函数与约束最优化问题通常会有两种约束条件，即一般不等式约束和可行性约束。
其中，一般不等式约束可以具有很多不同形式，可以分为二次约束、参数限制等，而可行性约束是指求解问题所必须满足的条件，如条件不满足，则该问题的求解无意义。
解决二次函数与约束最优化问题的有效方法有很多，如通过乘子法，拉格朗日乘子法等求解约束条件，然后用最小二乘法和梯度法求解未约束最优化问题。
乘子法是一种约束条件最优化技术，是指在满足一定约束条件下，对目标函数最小值或最大值的搜索，是最优化的一种重要方法。
拉格朗日乘子法是求解约束条件最优化问题的通用方法，它使用最小化拉格朗日函数的乘子法迭代求解。
最小二乘法是求未约束的最优化问题的基本方法，它通过求解均方差的最小值来求解未约束的最优化问题。
梯度法是求解未约束最优化问题的一种重要方法，它使用梯度下降法来求解未约束的最优化问题，即沿着目标函数梯度的负方向搜索，从而找到极值点。
从以上可以看出，二次函数与约束最优化问题是一个把微积分理论应用到实际问题上的重要问题，它的解决方法多种多样，能够很好地帮助我们解决实际问题。
二次函数的应用——优化问题
优化问题
湘教版九年级下册 执 教 者： 陈 芳
求函数y x 2 2x 1(2 x 3)的最大值与最小值 。
解: y ( x 1) 2
2
y
X=1
顶点为(1,2)
当x=2时,y=-1 当x=3时,y=2
可以砌100m长的墙的材料，怎样砌法，才能使矩 怎样确定x 形花坛的面积最大？ 的取值范围 ●设与围墙相邻的每一面墙的长度为x米，那么
(1)与围墙相对的一面墙的长度为:(100 2 x)m (2)这时矩形花坛的面积为:x(100 2 x)m
2
(3)如果设矩形花坛的面积为s，则s与x之间的 函数关系式为: s 2 x 2 100x (0 x 50)
反思：解决此类问题的基本思路是什么？
• 归纳： • ⑴剖析实际问题；
• ⑵分析问题中的变量与常量以及它们之间的关系；
• ⑶用数学的方式建立函数模型表示它们之间的关系； • ⑷函数求解； • ⑸检验结果的合理性，作答等。
?
窗户是一幢建筑最重要的标志之一，我们每 个人的家里都有窗户，我们小时候还经常爬在窗 户前数星星，某建筑物的窗户如图所示，它的上 半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总 长（图中所有粗线的长度和）是２１米，怎样设 计窗户才能使窗户通过
当x 3.36m时， 窗户通过的光线最多
现实世界中普遍存在的所谓“最优化” 问题，如成本最低，利润、产出最大，效 益最好等问题，常常可以归结为函数的最
值问题，通过建立目标函数，确定变
量限制条件，运用数学知识和方 法去解决。
100 10(100 x)
y
解：设总利润为y元，依题意，
二次函数与最优化问题基础学习知识
前几日弟弟接我回娘家，天色尚早，弟弟说，我带你去看看咱家那块秧田吧，下了这么多天的雨，不知道秧苗得病没有？真人正规棋牌游戏平台 好啊，多少年没去过那块秧田了。我欣然同意。
一溜烟儿的功夫便到了，弟弟把车停在路边，我们顺着田坎走过去，水田一块连着一块，我竟一下子找不到哪一块是我们家的了。田间的那条小水沟比我记忆中扩宽了二十公分左右，砌上了水泥砖， 沟里的水满满的，几乎与地面平齐。一沟水哗哗地流淌，穿过田间地头，像一头小马驹恣意地奔跑。
弟弟认真的样子，让我一下子想起了小时候我们随父母在田间劳作的情形。眼前这一大片青油油的秧苗鲜活了我的记忆，这么长时间以来，我灵感枯萎，脑筋沉寂得像一团死水，可此刻，我的记忆 像被风吹开的书页，一页页哗啦啦地快速翻动起来。那些尘封已久的往事被触动了开关，一幕幕清晰地浮现在我的脑海里。
弟弟说，前几天暴雨，水漫过水沟，秧苗被淹得只露一点尖尖。站在高处看，这一块块地似乎成了一个个堰塘。幸好一天的功夫，水便退下去了。
在弟弟的指引下，走到自家那Fra bibliotek地里，秧苗长势还不错，青油油的，弟弟在田间多处地方仔细查看秧苗。我站在一边，问他现在稻子怕得什么病？弟弟说，积水严重，高温潮湿，怕得稻瘟病，但是 现在看起来还好。
二次函数的最值与优化问题
二次函数的最值与优化问题二次函数是高中数学中的一个重要概念，它的图像是一个抛物线。
在二次函数中，最值和优化问题是常见且重要的内容。
本文将讨论二次函数的最值与优化问题，并探讨如何利用相关数学知识解决这些问题。
一、最值问题在二次函数中，最值问题是指求出函数的最大值或最小值。
为了更好地理解最值问题，我们先回顾一下二次函数的一般形式：f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b和c分别是常数，而x是自变量。
为了讨论最值问题，我们首先要确定二次函数的开口方向。
1. 当a > 0时，抛物线开口向上，函数的图像呈现“U”字形，此时函数的最小值即为最值；2. 当a < 0时，抛物线开口向下，函数的图像呈现“∩”字形，此时函数的最大值即为最值。
接下来，我们以一个具体的例子来说明如何求二次函数的最值。
例题：求二次函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3的最值。
解析：根据二次函数的开口方向，我们可以判断该函数的图像是一个开口向上的抛物线。
首先，我们可以计算二次函数的顶点坐标。
二次函数的顶点坐标可通过顶点公式 x = -b/2a 和 y = f(x) = f(-b/2a) 求得。
令 x = -b/2a，代入二次函数中，有：x = -(-4) / 2(2) = 4 / 4 = 1。
将 x = 1 代入二次函数中，有：f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 3 = 2 - 4 + 3 = 1。
因此，二次函数 f(x) = 2x^2 - 4x + 3 的顶点坐标为 (1, 1)。
根据函数的开口方向，我们可以得出该函数的最小值即为进入开口的顶点：最小值为 f(1) = 1。
综上所述，二次函数 f(x) = 2x^2 - 4x + 3 的最值为最小值1。
二、优化问题在实际问题中，我们经常需要求解一个函数的最大值或最小值，以达到优化的目的。
这类问题称为优化问题，也是二次函数的重要应用之一。
在解决优化问题时，我们需要注意以下几个步骤：1. 确定问题中的约束条件；2. 根据约束条件，建立需要优化的目标函数；3. 求解目标函数的最值，得到最优解。
二次函数的最值与优化应用题的解决思路
二次函数的最值与优化应用题的解决思路在解决二次函数的最值与优化应用题时，我们需要遵循一定的解决思路。
本文将介绍如何分析和求解这类问题，并提供一些实际应用的例子。
1. 分析问题：首先，我们需要理解问题陈述，并将其转化为数学语言。
通常，这种问题会涉及到二次函数的具体形式以及限制条件。
我们可以通过以下步骤进行分析：- 确定变量和目标：明确问题中涉及的变量，以及我们希望优化的目标。
- 建立模型：利用已知条件建立二次函数模型，并将目标函数化为数学表达式。
- 分析限制条件：将限制条件翻译为数学不等式或等式，并将其添加到模型中。
- 确定求解范围：确定函数的定义域和最值可能出现的范围。
2. 求解问题：有了正确的分析，我们可以使用以下方法来求解二次函数的最值和优化问题：- 求导法：对二次函数进行求导，找到导数等于零的点，并分析这些点的性质以确定最值的位置。
- 完成平方法：通过将二次函数转化为完全平方形式，从而直接得到最值点的位置。
- 利用性质法：利用二次函数的性质，如对称性、平移等，来简化求解过程。
- 图像分析法：通过绘制函数的图像，直观地找到最值点的位置。
3. 应用实例：下面是一些二次函数最值与优化应用题的解决示例：题目1：围墙建造某人想围建一个矩形花园，但他只有50米的围墙材料。
问他能建造的最大花园面积是多少？解决思路：设矩形长为x米，宽为y米。
建立问题的模型：- 目标：最大化花园的面积A，即A = x*y。
- 限制条件：围墙总长度不能超过50米，即2x + 2y <= 50。
通过求解目标函数的最值，我们可以得到最大化花园面积的解。
题目2：喷水装置一个花坛的形状是一个长为12米、宽为8米的矩形，需要在花坛中央安装一台喷水装置。
装置的效果范围是一个以装置为中心，半径为r米的圆形区域。
求喷水装置的半径，使得覆盖的花坛面积最大。
解决思路：设喷水装置的半径为r米。
建立问题的模型：- 目标：最大化喷水装置覆盖的花坛面积A，即A = πr²。
二次函数的导数与最佳效果
二次函数的导数与最佳效果在数学中，二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数。
它是一种常见的函数类型，具有很多重要的应用。
本文将探讨二次函数的导数及其在实际问题中的最佳效果。
一、二次函数及其导数二次函数的一般形式是f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于零。
二次函数在坐标系中呈现出抛物线的形状，其开口方向由a的正负值决定。
当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。
二次函数的导数表示了函数曲线在不同点的斜率变化情况。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其导数记为f'(x)，可通过求导公式计算得出。
具体来说，求导公式为f'(x) = 2ax + b。
二、二次函数导数的意义1. 斜率二次函数的导数f'(x)表示了在函数曲线上每个点的切线的斜率。
具体而言，对于给定的x值，f'(x)的值就是曲线在该点的切线的斜率。
这个斜率可以告诉我们在该点附近函数曲线的变化速率，从而帮助我们分析二次函数的性质和行为。
2. 最值通过求导，我们可以找到二次函数的最值点。
当导数f'(x)等于零时，对应的x值就是函数的极值点。
如果f'(x)由正变负，那么函数在该点取得极大值；如果f'(x)由负变正，那么函数在该点取得极小值。
三、二次函数的最佳效果在实际问题中，我们经常需要优化某些目标函数，使其达到最佳效果。
二次函数的导数可以帮助我们找到这样的最佳效果。
1. 最大值问题如果我们希望二次函数的取值尽可能大，即找到使函数达到最大值的点，那么我们只需找到函数的导数等于零的点。
根据二次函数导数的求导公式f'(x) = 2ax + b，我们可以解方程2ax + b = 0，求出对应的x 值。
然后将这个x值代入原函数f(x) = ax^2 + bx + c，就可以求得函数的最大值。
2. 最小值问题同样地，如果我们希望二次函数的取值尽可能小，即找到使函数达到最小值的点，也可以使用导数来辅助解决。
初中二次函数知识点总结
初中二次函数知识点总结初中二次函数知识点总结：二次函数（Quadratic Function）属于初中代数的重要内容，它是由形如y=ax²+bx+c（a≠0）的代数式所确定的函数。
以下是二次函数的相关知识点的总结。
一、二次函数的图像特征1. 平移：二次函数的图像可以平移，平移的方向与平移的量有关。
2. 对称轴：二次函数的图像关于一个虚轴（称作对称轴）对称。
3. 顶点：对于二次函数y=ax²+bx+c，顶点的横坐标为-x=Δ/b/2a，纵坐标为y⏊-Δ/4a。
4. 开口方向：二次函数的开口方向由a的符号所决定，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
5. 最值：若二次函数的开口方向向上，则该二次函数存在最小值；若二次函数的开口方向向下，则该二次函数存在最大值。
二、二次函数的性质1. 零点：二次函数y=ax²+bx+c的零点，即方程ax²+bx+c=0的解。
2. 应用：二次函数的图像特征常用于解决实际问题，如计算机、物理、化学等领域。
三、二次函数与一次函数的关系1. 一次函数即二次函数的特例：当a=0时，二次函数就变成了一次函数。
2. 交点：二次函数与一次函数可能有1个、2个或无交点。
若两个函数有交点，则这些交点即为方程组的解。
四、解二次方程1. 根的个数：一元二次方程ax²+bx+c=0的根的个数与二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点个数一样（考虑重根）。
2. 用公式解方程：一元二次方程的根可以用求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)来求解。
五、平方完成与配方法1. 平方完成：将一元二次方程变形为一个平方前项和一个常数的和可以极大地简化求解过程。
2. 配方法：适用于解决一元二次方程中某些特殊情况下的解法。
六、二次函数的应用1. 最优化问题：通过对二次函数的相关知识的应用，可以解决最优化问题，求得最值点，并求出最优解。
探秘二次函数的数学本质
探秘二次函数的数学本质二次函数是数学中非常重要和常见的一类函数，它的数学本质可以从不同角度进行探索和解读。
本文将从几个方面来探秘二次函数的数学本质，包括定义、性质、图像以及解析式等等。
一、定义与性质二次函数是指具有形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
其中，a称为二次项的系数，b称为一次项的系数，c为常数项。
二次函数的定义域为所有实数集，而值域取决于二次函数的开口方向、极值点以及函数图像的特点。
二次函数具有很多重要的性质。
首先，它是一个连续的函数，即在定义域内的每一个实数x都有一个对应的函数值。
其次，二次函数的图像是一个平滑的曲线，而不是直线或者其他形状。
此外，二次函数的图像可以是开口向上或开口向下，并且通过一些特征点的位置和性质，可以判断出函数图像的几何特征。
二、图像特征与解析式二次函数的图像是一个抛物线，其形状和位置可以通过其解析式中的参数来确定。
具体而言，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
而抛物线的顶点坐标可以通过解析式中的“b/(-2a)”来确定。
除了开口方向和顶点位置，二次函数的图像还与其他几个重要的性质相关。
首先，二次函数的图像关于顶点对称，即顶点两侧的图像是关于顶点成镜像关系。
其次，二次函数的图像与x轴的交点称为根或零点，也是解析式中二次项系数为0的方程的解。
最后，二次函数的图像在顶点处有一个极值点，其y坐标为解析式中常数项c。
通过解析式，可以把二次函数的图像形状和位置量化，并且可以快速计算函数在给定x值处的函数值。
三、二次函数的最优化问题在应用数学中，二次函数经常被用于解决最优化问题。
最优化问题是指在一定的约束条件下，寻找某个目标函数取得最值的问题。
二次函数在这个过程中发挥着重要的作用，因为二次函数的图像形状具有一个明显的极值点。
在最优化问题中，可以通过求解二次函数的极值点来得到最优解。
当二次函数开口向上时，顶点代表了函数的最小值，而当二次函数开口向下时，则顶点代表了函数的最大值。
二次函数实际问题易考题型总结(全)
二次函数实际问题易考题型总结技巧1．二次函数的应用：（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值．注意：二次函数实际问题主要分为两个方面的问题，几何图形面积问题和经济问题。
解几何图形面积问题时要把面积公式中的各个部分分别用同一个未知数表示1，我们要用x分别把h，l表示出来。
经济问题：总利润=出来，如三角形S=hl2总销售额－总成本；总利润=单件利润×销售数量。
解最值问题时，一定要注意自变量的取值范围。
分为三类：①对称轴在取值范围内；②取值范围在对称轴左边；③取值范围在对称轴右边。
2．解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等．题型：一、利润最值问题1、某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大.2.某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y(元)与销售月份x (月)满足关系式1336 8y x=-+，而其每千克成本2y(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示．(1)试确定b，c的值；(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式；(3)“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?3、某食品零售店为食品厂供销一种面包，未售出的面包可退回厂家．经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角．设这种面包的单价为x(角)，零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．⑴用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；⑵求y与x之间的函数关系式；⑶当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？二、面积最值问题1.蒋老师的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，蒋老师准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？2、小王家在农村，他家想利用房屋侧面的一面墙，围成一个矩形猪圈（以墙为长人现在已备足可以砌10米长的墙的材料．他想使猪圈的面积最大，你能帮他计算一下矩形的长和宽应当分别是多少米吗？此时猪圈的面积有多大？3.如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm 2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．三、图形问题1、学校要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ．O 恰好在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．且在过OA 的任意平面上的抛物线如图l －2－36所示，建立平面直角坐标系（如图l －2－37），水流喷出的高度y (m)与水面距离x (m)之间的函数关系式是25322y x x =-++，请回答下列问题： （1）花形柱子OA 的高度；（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外？O 2.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．2103335四、图像问题（一）长度最值、平行四边形问题8.如图，抛物线1417452++-=x y 与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C(3，0).（1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N. 设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由.O xAMNBPC 题22图（二）周长与面积最值问题9.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E 点的坐标．（三）等腰三角形问题10.如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．（四）直角三角形 如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A （0，1），B （2，0），O （0，0），将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B ，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P ，使四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积4倍？若存在，请求出P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B 是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．A CB y x0 1 1（五）圆如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线23y x bx c =-++过A 、B 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．（六）分段函数、累计二次函数问题11.启优学堂积极应对2018年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线，由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次），公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x月之间的函数关系（即前x个月的利润总和y 与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上，该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线y=-5x2+205x-1230的一部分，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12。
二次函数的最值与优化优化问题的解决方法
二次函数的最值与优化优化问题的解决方法二次函数的最值与优化问题的解决方法二次函数是一种常见的数学函数形式，其一般表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。
二次函数在数学、物理、经济学等领域都有广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要找到二次函数的最值，或者通过优化来解决问题。
本文将介绍二次函数最值的求解方法以及一些常见的优化问题的解决方法。
一、二次函数的最值求解求解二次函数的最值是解决很多实际问题的关键步骤，比如优化生产成本、最大化利润等。
我们可以通过求解二次函数的顶点来得到其最值。
顶点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为f(-b/(2a))。
例如，对于二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1，我们可以通过以下步骤求解其最小值：1. 首先，计算二次函数的顶点横坐标x = -b/(2a)。
对于该函数，a = 1，b = 2，所以x = -2/(2*1) = -1。
2. 然后，计算二次函数在顶点横坐标处的纵坐标f(-1)。
将x = -1代入函数表达式中，得到f(-1) = (-1)^2 + 2*(-1) + 1 = 0。
3. 因此，二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1的最小值为0，此时的最优解为x = -1。
二、二次函数优化问题的解决方法除了求解最值之外，二次函数还经常用于解决一些优化问题。
优化问题的目标是找到使得目标函数取得最值的变量取值。
下面介绍两种常见的二次函数优化问题的解决方法。
1. 生产成本最小化问题假设一个公司的生产成本函数为C(x) = 2x^2 + 5x + 10，其中x表示生产的数量。
该公司希望通过调整生产数量来使得成本最小化。
我们可以通过以下步骤解决这个问题：a. 首先，列出生产成本函数C(x)。
b. 接着，求解生产成本函数的最小值。
根据前面介绍的方法，该函数的最小值可通过计算顶点得到。
c. 计算顶点横坐标x = -b/(2a)，并将其代入生产成本函数，得到最小值。
二次函数最优化问题例析
二次函数最优化问题例析二次函数与前面大家所学的一次函数、反比例函数一样，是又一描述现实世界变量之间关系的重要数学模型．二次函数在人们的生产、生活中有着广泛的应用，教科书中给出的求最大利润、最大面积的例子就是它在最优化问题中的应用．为帮助同学们进一步学习、领会与二次函数有关的最优化问题的求解策略，下面给出两例与之有关的试题，供大家参考．例1（2004年，湖南省长沙市开福实验区中考试题）如图，要在底边BC=160cm ，高AD=120 cm 的ΔABC 铁皮余料上，截取一个矩形EFGH ，使点H 在AB 上，点E 、F 在BC 上，AD 交HG 于点M ，此时AM/AD=HG/BC ．(1) 设矩形EFGH 的长HG=y ，宽HE=x ，确定y 与x 的函数关系；(2) 当x 为何值时，矩形EFGH 的面积S 最大？(3) 以面积最大的矩形EFGH 为侧面，围成一个圆柱形的铁桶，怎样为时，才能使铁桶的体积较大？请说明理由（注：为铁桶侧面时，接缝无重叠，地面另用材料配备）．解析：这是一道取材于工业废料的优化利用问题．（1）因为AM/AD=HG/BC ，所以120120160x y -=，即y=41603x -+．（2）因为S=xy ，所以S=241603x x -+=24(120)3x x -- =24(1203600-3600)3x x --+=24(60)48003x --+．所以当x=60cm 时，S 最大=4800cm 2．（3）围圆柱形铁桶有两种情况（略）．B C D E F例2、（2004年，重庆市北涪实验区中考试题）我区某镇地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，我区政府对该花木产品每投资x 万元，所获利润为P=-10)30x (5012+-万元．为了响应我国西部大开发的宏伟决策，我区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元．若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通．公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外的销售的产品，每投资x 万元，可获利Q=249194(50)(50)308505x x --+-+万元． （1）若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少？（2）若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少？（3）根据（1）、（2）计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法．解析：这是一例取材于西部大开发的经济最优化问题．（1）若不开发此产品，按照原来的投资方式，由P=-21(30)1050x -+知，只需从50万元中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元，则10年的最大利润为M 1=102=100万元．（2）若对该产品开发，在前5年中，当x=25万元时，每年的最大利润为P=-10)3025(5012+-=9．5万元，则前5年的最大利润为M 2=9．5×5=47．5万元；设后5年中x 万元是用于本地销售的投资，则由Q=249194(50)(50)308505x x --+-+知，将余下的（50-x ）万元全部用于外地销售的投资，才可能获得最大利润．则后5年的利润是M 3=[-21(30)1050x -+]×5+(249194308505x x -++)×5=-5(x-20)2+3500．故当x=20时，M 3最大值为3500万元．所以10年的最大利润为M=M 2+M 3=3500+47.5=3547.5万元．（3）答案是开放的，只要有意义，符合题意就可以，例如：因为3547.5＞100，所以该项目有极大的开发价值．评注：求解与二次函数有关的最优化问题时，首先要根据题意构建函数关系式；然后再配方，由题意根据平方的非负性求最值；进一步得原问题的解．有一点大家一定要注意：顶点横坐标在自变量的取值范围内时，二次函数在顶点处取得最值；顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，要根据题目条件，具体分析，才能求出符合题意的最值．。
二次函数重点难点总结
二次函数重点难点总结二次函数是高中数学的一个重要章节，也是数学中最基础、最直观的一类函数之一、在学习二次函数的过程中，可能会遇到一些难点和重点。
下面我将从定义、图像、性质及应用等方面总结二次函数的难点和重点。
一、定义1. 二次函数的定义：二次函数是一种形如y = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
难点在于理解二次函数的定义及其与一次函数之间的区别。
二、图像1. 二次函数的图像特点：二次函数的图像是抛物线。
方程y = ax² + bx + c 描述了抛物线在坐标平面上的图像。
难点在于理解二次函数图像的基本形状，包括开口方向、顶点位置和对称轴等。
2.顶点、对称轴和焦点：顶点是二次函数图像的最高点或最低点。
对称轴是通过顶点并且垂直于x轴的直线。
焦点是指离顶点最近的点。
难点在于求解顶点、对称轴和焦点的具体方法。
3.平移、缩放和翻转：二次函数图像可以通过改变a、b、c来进行平移、缩放和翻转。
平移是指将图像在坐标平面上移动。
缩放是指将图像在坐标平面上拉伸或收缩。
翻转是指将图像在坐标平面上关于一些轴翻转。
难点在于理解平移、缩放和翻转对二次函数图像的影响。
三、性质1.零点和判别式：二次函数的零点是指使函数取值为0的x坐标。
判别式可以用来判断二次函数的根的情况。
难点在于求解二次函数的零点和判别式。
3.最大值和最小值：二次函数图像的最大值和最小值分别是顶点的y 坐标。
难点在于求解二次函数图像的最大值和最小值。
四、应用1.最优化问题：二次函数常常用于解决最优化问题，如求解最大值和最小值。
这类问题涉及到对二次函数图像进行分析和优化。
难点在于将最优化问题转化为二次函数，以及求解最优解的方法。
2.抛射问题：二次函数也可以用于解决抛射问题。
这类问题涉及到对二次函数图像的判读和应用。
难点在于将抛射问题转化为二次函数，并求解相关信息。
五、推广综上所述，二次函数的难点和重点主要包括定义、图像、性质及应用等方面。
二次函数的应用与优化
二次函数的应用与优化二次函数在数学中有着广泛的应用，并且在优化问题中起着重要的角色。
本文将介绍二次函数的应用和优化，并探讨其在实际生活中的具体应用。
首先，我们将了解什么是二次函数以及它的基本特性，然后探讨其在不同领域的应用，并讨论如何通过优化二次函数来解决实际问题。
一、二次函数基本特性二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a不为零。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向取决于a的正负性。
当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。
二次函数的顶点坐标可以通过求导数来确定，其横坐标为x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
二、二次函数的应用1. 物理学中的抛体运动抛体运动是物理学中经典的运动形式之一，而二次函数正是描述抛体运动的理想函数。
通过二次函数的模型，我们可以计算抛体的轨迹、最大高度、落地时间等。
这种应用在工程建模、航天技术以及体育运动等领域都起着非常重要的作用。
2. 经济学中的成本函数在经济学中，成本函数用于描述企业的成本与产量之间的关系。
一般来说，成本函数是二次函数的形式，通过优化成本函数我们可以确定最佳产量与成本之间的平衡点，从而实现最佳利润的目标。
这是企业管理与决策中常用的分析方法之一。
3. 工程学中的优化问题工程学中充满了各种优化问题，而二次函数的优化正是其中重要的一种方法。
例如，在设计桥梁时，我们可以通过优化二次函数来确定最佳的桥面高度，以使得桥梁结构既稳定又经济。
此外，二次函数的优化也可以应用于交通规划、电力系统优化等领域。
三、二次函数的优化方法在实际问题中，我们常常需要通过优化二次函数来解决各种具体问题。
一种常见的优化方法是求解二次函数的极值。
对于凸函数（a>0）而言，抛物线的顶点即为极小值点；对于凹函数（a<0）而言，顶点为极大值点。
我们可以通过求导数的方法来确定二次函数的极值点，进而得到问题的最优解。
二次函数的最值与优化问题
二次函数的最值与优化问题二次函数是数学中的一种常见函数形式，其一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为实常数，且a≠0。
在本文中，我们将探讨二次函数的最值问题以及与之相关的优化问题。
一、二次函数的最值对于给定的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们希望确定其在定义域内的最大值或最小值。
为此，我们可以采用两种主要方法来求解。
1.1 完全平方与顶点根据二次函数的形式，我们可以将其转化为完全平方式，即通过提取二次项系数a来得到形如(x + p)^2 + q的表达式。
其中，p和q是与原函数相关的实数常数。
为了找到二次函数的最值，我们可以通过在完全平方形式下确定顶点来实现。
顶点坐标为(-p, q)，其中q为二次函数的最值。
顶点对应着二次函数的最值点。
1.2 导数与极值点除了利用完全平方形式来确定顶点之外，我们还可以应用导数的概念来解决二次函数的最值问题。
具体而言，我们计算出二次函数的导数，并找出导数为零的点。
这些点将对应着二次函数的极值点。
在计算导数时，我们可以使用幂函数的求导法则，得到二次函数的导函数f'(x) = 2ax + b。
令f'(x) = 0，我们可以解得x = -b/2a。
将该值代入原函数，即可得到最值点的纵坐标。
通过以上两种方法，我们可以有效地求解二次函数的最值问题，并得到有效的数学模型。
二、二次函数的优化问题除了求解最值问题外，二次函数还可以应用于优化问题。
在优化问题中，我们希望找到二次函数在一定条件下的最优解。
2.1 最优解的定义在优化问题中，我们需要明确定义何为最优解。
针对二次函数的优化问题，最优解通常是指使得目标函数取得最大值或最小值的变量取值。
2.2 约束条件的设定在确定最优解之前，我们需要设定一些约束条件。
这些条件可能来自于实际问题的限制或者其他相关要求。
常见的约束条件包括：定义域的范围、一些限制性条件（如非负性、连续性等）等。
二次函数的像与最值与优化问题
二次函数的像与最值与优化问题二次函数是高中数学中重要的一个概念，在数学中被广泛应用。
本文将详细讨论二次函数的像、最值以及与优化问题的关系。
一、二次函数的一般形式二次函数的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为常数，a ≠ 0。
我们以此为基础来研究像、最值和优化问题。
二、二次函数的图像特征及性质1. 平移：通过调整常数 b 和 c 的值，可以实现二次函数的平移。
平移指的是将图像沿 x 轴或 y 轴进行平移。
2. 对称轴：二次函数的对称轴是一个垂直于 x 轴的直线。
对称轴的方程可以通过 x = -b/(2a) 求得。
3. 最值属性：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a > 0，若 a > 0，则该二次函数的最值为最小值；若 a < 0，则最值为最大值。
三、二次函数的像二次函数的像即为函数的值域，它表示函数所有可能的输出值构成的集合。
像的计算可以通过求解二次函数的最值来得到。
1. 最小值：若 a > 0，二次函数的最小值为 f(-b/(2a))。
在对称轴上 y 坐标为最小值。
2. 最大值：若 a < 0，二次函数的最大值不存在。
注：对于二次函数而言，图像可以是开口向上或开口向下的抛物线，因此像可以是一条直线或者一个区间。
四、优化问题与二次函数优化问题可以通过建立二次函数模型，并求解其最值来解决。
以下是一个关于优化问题的实例：示例：求解二次函数 y = 2x^2 + 4x + 1 的最小值。
解析：首先，我们可以通过求导数的方法来确定最小值点。
对于二次函数 y = 2x^2 + 4x + 1，其导数为 y' = 4x + 4。
令导数为零，得到 4x+ 4 = 0，解得 x = -1。
带入原函数，得到 y = 2(-1)^2 + 4(-1) + 1，计算得到 y = -1。
因此，二次函数 y = 2x^2 + 4x + 1 的最小值为 -1，当 x = -1 时取得最小值。
《二次函数的最优化问题》
《二次函数的最优化问题》
《二次函数的最优化问题》是一个经典的数学优化问题，它可以应用到现实中的许多复杂问题中。
该问题主要是对二次函数进行优化，以获得满足特定要求的最优解。
在最优化问题中，优化目标可以是最小化函数值，也可以是最大化函数值。
有时，优化的目标可以是一个混合的最优化目标函数。
此外，优化也可以是有限个数的变量，也可以是无限个变量。
一般来说，二次函数有两种形式，一种是“凸”函数，即函数图形呈上凸多边形，也就是每个变量的增加会使函数值增加；另一种是“凹”函数，即函数图形呈下凹多边形，也就是每个变量的增加会使函数值减少。
根据二次函数的类型，最优化问题的解决方案也不尽相同，因此，在解决二次函数的最优化问题时，应首先判断其函数形式是凸还是凹。
给定一个凸形的二次函数，则其最优解是使函数取得全局最小值的变量值。
而如果是凹形的二次函数，则必须有一个有约束的条件，使得函数取得局部最小值。
两种情况下，最常用的解决方案就是求解二次函数的偏导数，然后用一阶导数法求解函数的极值点，其中最大值（或最小值）就是二次函数的最优解。
此外，可以通过求解拉格朗日乘子来求解约束条件下的凹形二次函数的最优解；而且可以采用优化算法来求解各种函数的最优解，如梯度下降、牛顿法、拟牛顿法、模拟退火法等。
本文介绍的二次函数的最优化问题可以应用到现实中的诸多复
杂问题中，如求解最优组合、最优预测、最优路径等。
通过使用合适的优化方法，可以让现实中的复杂问题获得最佳解决方案，从而使人们获得更多的实际利益。
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