必修1 第三章函数的应用经典例题讲解

第三章 函数的应用

1：函数的零点

【典例精析】

例题1 求下列函数的零点。

（1）y=32x 2-+x ；（2）y ＝（2

x －2）（2

x －3x ＋2）。

思路导航：判断函数零点与相应的方程根的关系，就是求与函数相对应的方程的根。 答案：（1）①当x≥0时，y=x 2+2x －3，x 2+2x －3=0得x=+1或x=－3（舍） ②当x ＜0时，y=x 2－2x －3，x 2－2x －3=0得x=－1或x=3（舍） ∴函数y=x 2+2|x|－3的零点是－1，1。

（2）由（2

x －2）（2

x －3x ＋2）＝0，得（x ＋2）（x －2）（x －1）（x －2）＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝1，x 4＝2。

∴函数y ＝（x 2－2）（x 2－3x ＋2）的零点为－2，2，1，2。

点评：函数的零点是一个实数，不是函数的图象与x 轴的交点，而是交点的横坐标。

例题2 方程|x 2－2x|=a 2+1 （a ∈R +）的解的个数是______________。

思路导航：根据a 为正数，得到a 2+1＞1，然后作出y=|x 2－2x|的图象如图所示，根据图象得到y=a 2+1的图象与y=|x 2－2x|的图象总有两个交点，得到方程有两解。

∵a ∈R +

∴a 2+1＞1。而y=|x 2－2x|的图象如图，

∴y=|x 2－2x|的图象与y=a 2+1的图象总有两个交点。 ∴方程有两解。 答案：2个

点评：考查学生灵活运用函数的图象与性质解决实际问题，会根据图象的交点的个数判断方程解的个数。做题时注意利用数形结合的思想方法。

例题3 若函数f （x ）＝ax ＋b 有一个零点为2，则g （x ）＝bx 2－ax 的零点是（ ）

A. 0，2

B. 0，12

C. 0，－12

D. 2，－1

2

思路导航：由f （2）＝2a ＋b ＝0，得b ＝－2a ，∴g （x ）＝－2ax 2－ax ＝－ax （2x ＋1）。令g （x ）＝0，得x 1＝0，x 2＝－1

2

，故选C 。

答案：C

【总结提升】

1. 函数y =f （x ）的零点就是方程f （x ）=0的根，因此，求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题。

2. 函数与方程二者密不可分，二者可以相互转化，如函数解析式y ＝f （x ）可以看作方程y －f （x ）＝0，函数有意义则方程有解，方程有解，则函数有意义，函数与方程体现了动与静、变量与常量的辩证统一。

函数零点的求法：（1）解方程f （x ）＝0，所得实数根就是f （x ）的零点；（2）画出函数y ＝f （x ）的图象，图象与x 轴交点的横坐标即为函数f （x ）的零点。 3. 函数零点与方程的根的关系

根据函数零点的定义可知：函数f （x ）的零点，就是方程f （x ）＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f （x ）＝0是否有实数根，有几个实数根。 4. 函数y=f （x ）的零点是函数图象与x 轴交点的横坐标，如果一个函数能通过变换化为两个函数之差的形式，则函数的零点就是这两个图象交点的横坐标，可以通过画出这两个函数的图象，观察图象的交点情况，对函数的零点作出判断，这种方法就是数形结合法。

2：二分法

【考点精讲】

1. 函数零点的存在性判断——二分法

如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f （a ）·f （b ）<0，那么，函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在x 0∈（a ，b ），使f （x 0）＝0，这个x 0也就是方程f （x ）＝0的根。

2. 逆定理：如果函数y=f （x ）在[a ，b]上的图象是连续不断的曲线，且x 0是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f （a ）·f （b ）<0。如f （x ）=x 2，在区间[－1，1]上有零点x=0，但f （－1）·f （1）>0。

3. 用二分法求函数零点的步骤：

已知函数y =f （x ）定义在区间D 上，求它在D 上的一个变号零点x 0的近似值x ，使它与零点的误差不超过正数ε，即使得|x －x 0|≤ε。

（1）在D 内取一个闭区间［a ，b ］ D ，使f （a ）与f （b ）异号，即f （a ）·f （b ）＜0。

令a 0=a ，b 0=b 。

（2）取区间［a 0，b 0］的中点，则此中点对应的横坐标为x 0=a 0+21（b 0－a 0）=2

1（a 0+b 0）。

计算f （x 0）和f （a 0）。

判断：①如果f （x 0）=0，则x 0就是f （x ）的零点，计算终止；

②如果f （a 0）·f （x 0）＜0，则零点位于区间［a 0，x 0］内，令a 1=a 0，b 1=x 0； ③如果f （a 0）·f （x 0）＞0，则零点位于区间［x 0，b 0］内，令a 1=x 0，b 1=b 0。 （3）取区间［a 1，b 1］的中点，则此中点对应的横坐标为

x 1=a 1+21（b 1－a 1）=21

（a 1+b 1）。

计算f （x 1）和f （a 1）。 判断：①如果f （x 1）=0，则x 1就是f （x ）的零点，计算终止；

②如果f （a 1）·f （x 1）＜0，则零点位于区间［a 1，x 1］上，令a 2=a 1，b 2=x 1。 ③如果f （a 1）·f （x 1）＞0，则零点位于区间［x 1，b 1］上，令a 2=x 1，b 2=b 1。 ……

实施上述步骤，函数的零点总位于区间［a n ，b n ］上，当|a n －b n |＜2ε时，区间［a n ，b n ］

的中点x n =2

1

（a n +b n ）就是函数y =f （x ）的近似零点，计算终止。这时函数y =f （x ）的近似

零点与真正零点的误差不超过ε。

【典例精析】