广大信号与系统实验四 傅里叶变换、系统的频域分析

广州大学学生实验报告

开课学院及实验室：计机楼303B 2014年 05月15日

学院

机械与电气工程学院

年级、专业、班

电信122

姓名

王健

学号 1207400051

实验课程名称 信号与系统

成绩 实验项目名称 实验四 傅里叶变换、系统的频域分析

指导老师

高星辉

一、 实验目的

1、学会用MA TLAB 实现连续时间信号傅里叶变换

2、学会用MA TLAB 分析LTI 系统的频域特性

3、学会用MA TLAB 分析LTI 系统的输出响应 二、实验原理

1．傅里叶变换的MATLAB 求解

MA TLAB 的symbolic Math Toolbox 提供了直接求解傅里叶变换及逆变换的函数fourier()及ifourier()两者的调用格式如下。 Fourier 变换的调用格式

F=fourier(f)：它是符号函数f 的fourier 变换默认返回是关于w 的函数。

F=fourier(f ，v):它返回函数F 是关于符号对象v 的函数，而不是默认的w ，即

()()jvx F v f x e dx +∞

--∞

=⎰

Fourier 逆变换的调用格式

f=ifourier(F):它是符号函数F 的fourier 逆变换，默认的独立变量为w ，默认返回是关于x 的

函数。

f=ifourier(f,u):它的返回函数f 是u 的函数，而不是默认的x.

注意：在调用函数fourier()及ifourier()之前，要用syms 命令对所用到的变量（如t,u,v,w ）进行说明,即将这些变量说明成符号变量。 例4-1 求2()t

f t e

-=的傅立叶变换

解: 可用MA TLAB 解决上述问题： syms t

Fw=fourier(exp(-2*abs(t)))

例4-2 求2

1

()1F jw ω=

+的逆变换f(t) 解： 可用MA TLAB 解决上述问题 syms t w

ft=ifourier(1/(1+w^2),t)

2．连续时间信号的频谱图

例4-3 求调制信号t t AG t f 0cos )()(ωτ=的频谱，式中

)2

()2()(,21,12,40τττπωτ--+==

==t u t u t G A 解：MATLAB 程序如下所示

ft=sym('4*cos(2*pi*6*t)*(Heaviside(t+1/4)-Heaviside(t-1/4))'); Fw=simplify(fourier(ft)) subplot(121)

ezplot(ft,[-0.5 0.5]),grid on subplot(122)

ezplot(abs(Fw),[-24*pi 24*pi]),grid

用MA TLAB 符号算法求傅里叶变换有一定局限，当信号不能用解析式表达时，会提示出错，这时用MATLAB 的数值计算也可以求连续信号的傅里叶变换，计算原理是

∑⎰∞

-∞

=-→-∞

∞

-==n n j t

j e n f dt e

t f j F ττωτωτω)(lim )()(0

当τ足够小时，近似计算可满足要求。若信号是时限的，或当时间大于某个给定值时，信号已衰减的很厉害，可以近似地看成时限信号时，n 的取值就是有限的，设为N ，有

k N N

k e n f k F k N n n j k τ

π

ωτ

ττω2,0,)()(1

=

≤≤=∑-=- 是频率取样点 时间信号取样间隔τ应小于奈奎斯特取样时间间隔，若不是带限信号可根据计算精度要求确定一个频率 W0为信号的带宽。

例4-4 用数值计算法求信号)1()1()(--+=t u t u t f 的傅里叶变换

解，信号频谱是)(2)(ωωSa j F =，第一个过零点是π，一般将此频率视为信号的带宽，若将精度提高到该值的50倍，既W0=50π，据此确定取样间隔，02.00

21

=

f=Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1); W1=2*pi*5;

N=500;k=0:N;W=k*W1/N; F=f*exp(-j*t'*W)*R; F=real(F);

W=[-fliplr(W),W(2:501)]; F=[fliplr(F),F(2:501)]; subplot(2,1,1);plot(t,f); xlabel('t');ylabel('f(t)'); title('f(t)=u(t+1)-u(t-1)'); subplot(2,1,2);plot(W,F); xlabel('w');ylabel('F(w)'); title('f(t)的付氏变换F(w)');

3．用MA TLAB 分析LTI 系统的频率特性

当系统的频率响应H （jw ）是jw 的有理多项式时，有

1110

1110

()()()()()()()()()M M M M N N N N b jw b jw b jw b B w H jw A w a jw a jw a jw a ----++++==

++++L L MATLAB 信号处理工具箱提供的freqs 函数可直接计算系统的频率响应的数值解。其调用格式如下 H=freqs(b,a,w)

其中，a 和b 分别是H(jw)的分母和分子多项式的系数向量，w 为形如w1:p:w2的向量，定义系统频率响应的频率范围，w1为频率起始值，w2为频率终止值,p 为频率取样间隔。H 返回w 所定义的频率点上，系统频率响应的样值。

例如，运行如下命令，计算0~2pi 频率范围内以间隔0.5取样的系统频率响应的样值 a=[1 2 1]; b=[0 1];

h=freqs(b,a,0:0.5:2*pi)

例 4-5 三阶归一化的butterworth 低通滤波器的频率响应为

32

1

()()2()2()1

H jw jw jw jw =

+++ 试画出该系统的幅度响应()H jw 和相位响应()ϕω。

解 其MA TLAB 程序及响应的波形如下 w=0:0.025:5; b=[1];a=[1,2,2,1]; H=freqs(b,a,w); subplot(2,1,1);

plot(w,abs(H));grid; xlabel('\omega(rad/s)'); ylabel('|H(j\omega)|'); title('H(jw)的幅频特性'); subplot(2,1,2);

plot(w,angle (H));grid; xlabel('\omega(rad/s)'); ylabel('\phi(\omega)'); title('H(jw)的相频特性');

4．用MA TLAB 分析LTI 系统的输出响应

例 4-6已知一RC 电路如图所示 系统的输入电压为f(t)，输出信号为电阻两端的电压y(t).当RC=0.04，f(t)=cos5t+cos100t, t -∞<<+∞ 试求该系统的响应y(t)

解 由图可知 ，该电路为一个微分电路，其频率响应为 ()11R jw

H jw R jwC jw RC

=

=

++ 由此可求出余弦信号0cos t ω通过LTI 系统的响应为

000()()cos(())y t H jw t ωϕω=+

计算该系统响应的MATLAB 程序及响应波形如下 RC=0.04;

t=linspace(-2,2,1024); w1=5;w2=100;

H1=j*w1/(j*w1+1/RC); H2=j*w2/(j*w2+1/RC); f=cos(5*t)+cos(100*t);

y=abs(H1)*cos(w1*t+angle(H1))+ abs(H2)*cos(w2*t+angle(H2)); subplot(2,1,1); plot(t,f); ylabel('f(t)'); xlabel('Time(s)'); subplot(2,1,2); plot(t,y); ylabel('y(t)'); xlabel('Time(s)'); 三、 上机实验内容

1.验证实验原理中所述的相关程序；

2.试用MA TLAB 求单边指数数信号()()at

f t e u t -=的傅立叶变换，并画出其波形；

3.设21

()0.08()0.41

H jw jw jw =

++，试用MA TLAB 画出该系统的幅频特性()H jw 和相频特性

()ϕω，并分析系统具有什么滤波特性。

-

+

-

+ f(t)

y(t) R

C