新人教版八年级下册数学知识点及典型例题总结
人教版数学八年级下册数学全册知识清单梳理+经典例题练习(含答案)
八年级数学下册 知识清单二次根式1.定义及存在意义的条件： 定义：形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式；有意义的条件：a ≥0. 2.根式化简及根式运算： 最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式； （2）被开方数中的因数或因式不能再开方。
同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
根式化简公式：a a =2，2)(a =a ；根式运算： 乘法公式：)0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a ；b a b a ⋅=2除法公式：)0,0(>≥=⇔=b a b a ba b a b a 分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
常见分母有理化公式：b a ba ba a a a --=+=1,1 二次根式加减运算的步骤： (一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式。
（2）找出其中的同类二次根式。
（3）合并同类二次根式。
3.双重非负性：002==⇒=+y x y x 且；00==⇒=+y x y x 且；000==⇒=+y x y x 且【典型例题1】 1、使代数式有意义的自变量x 的取值范围是（ ）A.x ≥3B.x ＞3且x ≠4C.x ≥3且x ≠4D.x ＞3 2、若式子－＋1有意义，则x 的取值范围是（ ）A.x ≥21 B.x ≤21 C.x ＝21 D.以上答案都不对【典型例题2】3、已知x 、y 为实数，且y=﹣+4.+=（ ）A.13B.1C.5D.6 4、下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）A. B. C. D.5、下列根式中，最简二次根式是( ) A.B.C.D.6、下列根式中与不是同类二次根式的是（ ）A. B. C. D.【典型例题3】7、化简的结果为（）A. B. C.D.8、把根号外的因式移到根号内，得（）A. B. C. D.9、计算的结果估计在（）A.6至7之间B.7至8之间C.8至9之间D.9至10之间10、若，则( )A.1-2aB.1C.-1D.以上答案都不对【典型例题4】11、已知，，则代数式的值是（）A.9B.±3C.3D.512、若m=，则m5﹣2m4﹣2016m3=（）A.2015B.2016C.2017D.0【典型例题5】13、已知：实数a，b 在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a﹣b|.14、若的整数部分是a，小数部分是b ，求的值.15、已知△ABC的三边长a，b，c均为整数，且a和b 满足试求△ABC的c边的长.勾股定理1.勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
初二数学知识点归纳及例题
初二数学知识点归纳及例题初二数学知识点归纳（人教版）一、三角形。
1. 三角形的三边关系。
- 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
- 例如：已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边x的取值范围是2 < x <8。
- 解析：根据三边关系，5 - 3 < x < 5+3，即2 < x <8。
2. 三角形的内角和定理。
- 三角形内角和为180°。
- 例如：在△ABC中，∠A = 50°，∠B = 60°，则∠C=180° - 50°-60° = 70°。
- 解析：直接利用三角形内角和定理，用180°减去已知的两个角的度数。
3. 三角形的外角性质。
- 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
- 例如：在△ABC中，∠ACD是∠ACB的外角，∠A = 50°，∠B = 60°，则∠ACD=50° + 60°=110°。
- 解析：根据外角性质，∠ACD等于∠A与∠B的和。
二、全等三角形。
1. 全等三角形的判定。
- SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。
- 例如：在△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，AC = DF，则△ABC≌△DEF。
- 解析：因为三边分别相等，满足SSS判定定理。
- SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
- 例如：在△ABC和△DEF中，AB = DE，∠A = ∠D，AC = DF，则△ABC≌△DEF。
- 解析：两边及夹角对应相等，符合SAS判定定理。
- ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
- 例如：在△ABC和△DEF中，∠A = ∠D，AB = DE，∠B = ∠E，则△ABC≌△DEF。
- 解析：两角及其夹边相等，满足ASA判定定理。
人教版八年级下册数学 专题：第18章勾股定理知识点与常见题型总结
八年级下册第18章.勾股定理知识点与常见题型总结１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+=⑵228BC AB AC =-=题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴224AC AB BC =-=， 2.4AC BCCD AB⋅==DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒=-=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4. （ 2014•安徽省,第8题4分）如图，Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B =90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．B ．C ．4 D ． 5考点： 翻折变换（折叠问题）．分析： 设BN =x ，则由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，根据中点的定义可得BD =3，在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求解．解答：解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。
人教版八年级下册数学知识点及典型例题总结
第十六章 二次根式1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
定义包含三个内容:Ⅰ必需含有二次根号 “”；Ⅱ被开方数a ≥0；Ⅲ a 可以是数，也可以是含有字母的式子。
例1.下列式子中,是二次根式的有 _______(填序号)（1）32 （2）6 （3）12- （4）m -（m ＞0） （5）xy （6）12+a （7） 352.二次根式有意义的条件： 大于或等于0。
例2.当x是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？※二次根式中字母的取值范围的基本依据： （1）开方数不小于零；（2）分母中有字母时，要保证分母不为零。
例3.已知x 、y 为实数，且1y =，求x y +的值．3.二次根式的双重非负性：a ：①0≥a ，②0≥a 附：具有非负性的式子：①0≥a ；②0≥a ；③02≥a例4.若,x y 为实数，且20x ++=，则2009x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-24.二次根式的性质：（1）)0()(2≥=a a a （2）⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a例5.利用算术平方根的意义填空（1）从运算顺序来看；（2）从取值范围来看；（3）从运算结果来看例6. 1、填空：（1）2)12(-x -2)32(-x )2(≥x =_______. （2）2)4(-π=2、已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x5.二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．a ≥0，b ≥0）；a ≥0，b >0）1)5(31)4(31)3(238)2(2)1(2+--+---x xx x x x x =2)4(=2)01.0(=2)31(=2)0(=24=201.0=⎪⎭⎫ ⎝⎛231=20=-2)4(=-2)01.0(?)(22有区别吗与a a例7.计算：（1）9×27 （2）25×32 （3）a 5·ab 51 （4）5·a 3·b 31例8.计算：①54 ②2212b a ③4925⨯ ④64100⨯例9.计算：（1（2（3 （46.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
最新人教版八年级数学下册 二次根式知识点归纳及题型总结
最新人教版八年级数学下册二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子叫做二次根式。
2.二次根式的双重非负性：$\sqrt{a}\geq 0$，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
3.二次根式的同底同指数相加减：$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$。
4.积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$。
5.商的算术平方根的性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$b\neq 0$）。
6.若$a\geq 0$，则$\sqrt{a^2}=|a|$。
知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。
2) 注意每一步运算的算理。
3) 乘法公式的推广：$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$。
2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。
3.二次根式的混合运算1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。
2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。
A。
$-3$；B。
$x$；C。
$x^2+1$；D。
$x-1$2.$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1）$\sqrt{-15+x}$；（2）$\frac{1}{\sqrt{x+4}}$3）$\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}$；（4）$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$5）$3-\sqrt{x+1}$；（6）$\frac{2x}{\sqrt{x+1}}$7）若$x(x-1)=\frac{1}{4}$，则$x$的取值范围是（）。
八年级下册数学知识点归纳总结
八年级下册数学知识点归纳总结一、代数知识点1. 代数表达式- 单项式与多项式的定义- 合并同类项- 代数式的加减运算- 代数式的乘除运算2. 一元一次方程- 方程的建立与解法- 利用等式性质解方程- 解含有括号的一元一次方程- 解应用题3. 一元一次不等式- 不等式的概念与性质- 不等式的解集表示- 解一元一次不等式- 解一元一次不等式组4. 二元一次方程组- 方程组的建立- 代入法解方程组- 加减法解方程组- 应用题的解决二、几何知识点1. 平行线与角- 平行线的判定与性质- 同位角、内错角、同旁内角- 平行线间的角关系2. 三角形- 三角形的基本概念- 三角形的内角和定理- 三角形的外角性质- 等腰三角形与等边三角形的性质3. 四边形- 四边形的基本概念- 矩形、菱形、正方形的性质- 平行四边形的性质与判定- 四边形的面积计算4. 圆的基本性质- 圆的定义与性质- 圆的直径、弦、弧、切线- 圆周角与圆心角的关系- 切线长定理三、统计与概率知识点1. 统计- 数据的收集与整理- 频数与频率- 统计图表的绘制与解读（条形图、折线图、饼图）2. 概率- 随机事件的概率- 概率的计算方法- 等可能事件的概率四、数列知识点1. 数列的概念- 数列的定义- 常见的数列类型（等差数列、等比数列）2. 等差数列- 等差数列的定义与通项公式- 等差数列的前n项和公式- 等差数列的性质与应用3. 等比数列- 等比数列的定义与通项公式- 等比数列的前n项和公式- 等比数列的性质与应用五、函数知识点1. 函数的概念- 函数的定义- 函数的表示方法（解析式、图像、表格）2. 一次函数- 一次函数的定义与图像- 一次函数的性质- 一次函数的应用题3. 二次函数- 二次函数的定义与图像- 二次函数的性质- 二次函数的应用题六、实数与根式知识点1. 实数- 实数的基本概念- 有理数与无理数- 实数的运算2. 根式- 平方根与立方根的定义- 根式的运算- 无理数的估算七、解题技巧与策略1. 解题步骤的规范化- 理解题意- 制定解题计划- 执行解题过程- 检查验证结果2. 常见解题误区与避免方法- 忽略题目条件- 计算失误- 逻辑推理错误3. 提高解题效率的方法- 练习典型题目- 分类记忆公式与定理- 定期复习巩固以上是对八年级下册数学知识点的一个全面归纳总结。
新人教版八年级数学下册勾股定理知识点和典型例习题1
新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题一、基础知识点：１．勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方２。
勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙,面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一:4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中,90C ∠=︒，则c，b =，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５。
勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时,以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，c b a H G FE DC B A b ac b a c c a b c a b a b c c b aE D C B A时，以a ,b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>,时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形;②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６。
全】人教版初中数学八年级下册知识点总结
全】人教版初中数学八年级下册知识点总结一、二次根式二次根式是指形如a（a≥0）的式子。
其中，a被称为被开方数。
最简二次根式是指被开方数中不含开方开的尽的因数或因式，且不含分母的二次根式。
如果两个二次根式的被开方数相同，那么它们就是同类二次根式。
二次根式具有一些性质，如a（a＞0）的平方根是a，a的平方根和-a的平方根相等。
二、勾股定理勾股定理指的是直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c时，a²＋b²＝c²。
应用勾股定理可以求出直角三角形的第三边长，或者判断一个三角形是否为直角三角形。
勾股定理的逆定理是指如果三角形三边长a,b,c满足a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形。
勾股数是指能够构成直角三角形的三边长的三个正整数，常见的勾股数有3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等。
直角三角形还有一些其他的性质，需要我们认真研究和掌握。
1.直角三角形的两个锐角互余，即∠A+∠B=90°。
2.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即BC=AB/2.3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD=AB=BD=AD，其中D为AB的中点。
4.三角形面积公式为AB•CD=AC•BC。
5.直角三角形的判定有三种：有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理也可以判定直角三角形。
6.命题是对某件事情做出判断的完整句子，分为真命题和假命题。
7.定理是用推理的方法判断为正确的命题，证明是判断命题正确性的推理过程。
8.证明命题的一般步骤是根据题意画出图形，写出已知和求证，找出由已知推出求证的途径并写出证明过程。
9.三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半，有多种作用和常用结论。
10.数学口诀有助于记忆和理解数学知识，如“勾股三角形，斜边是对角线”等。
八年级数学下册正比例函数（基础）知识点归纳及典型例题解析
正比例函数（基础）知识点归纳及典型例题解析 【学习目标】1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数y kx=的图象；的图象； 2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题．的实际问题．【要点梳理】【正比例函数，知识要点】 要点一、正比例函数的定义1、正比例函数的定义一般的，形如y kx = （k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数叫做正比例函数..其中k 叫做比例系数叫做比例系数. . 2、正比例函数的等价形式 （1）、y 是x 的正比例函数；的正比例函数；（2）、y k x =（k 为常数且k ≠0）； （3）、若y 与x 成正比例；成正比例； （4）、k xy =（k 为常数且k ≠0）.要点二、正比例函数的图象与性质正比例函数y kx =（k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y kx =.当k ＞0时，直线y kx =经过第一、经过第一、三象限，三象限，三象限，从左向右上升，从左向右上升，从左向右上升，即随着即随着x 的增大y 也增大；当k ＜0时，直线y kx =经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小反而减小. .要点三、待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数y kx =（k 为常数，k ≠0 ）中只有一个待定系数k ，故只要有一对x ，y 的值或一个非原点的点，就可以求得k 值. 【典型例题】类型一、正比例函数的定义1、已知1(2)m y m x -=+，当m 为何值时，y 是x 的正比例函数？函数？【思路点拨】正比例函数的一般式为(0)y kx k =¹，要特别注意定义满足0k ¹，x 的指数为1． 【答案与解析】解：由题意得，2011m m +¹ìïí-=ïî解得解得m ＝2 ∴当m ＝2时，y 是x 的一次函数的一次函数. .【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1）k 不等于零；（2）x 的指数是1. 举一反三：【变式】如果函数23(2)m y m x -=+是正比例函数，那么m 的值是值是________________________．．【答案】解：由定义得220,31,m m +¹ìí-=î 解得 2.2.m m ¹-ìí=±î ∴m ＝2． 类型二、正比函数的图象和性质2、（2018秋•灵武市校级期中）在同一直角坐标系上画出函数y=2x y=2x，，y=y=﹣﹣x ，y=y=﹣﹣0.6x 的图象．的图象． 【思路点拨】分别在每个函数图象上找出两点，画出图象，根据函数图象的特点进行解答即可．图象，根据函数图象的特点进行解答即可． 【答案与解析】解：列表：解：列表：描点，连线：描点，连线：【总结升华】本题考查的是用描点法画函数的图象，具体步骤是列表、描点、连线具体步骤是列表、描点、连线. .3、（2018春•马山县期末）已知正比例函数y=kx （k ≠0）的图象经过点（﹣6，2），那么函数值y 随自变量x 的值的增大而的值的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【思路点拨】根据正比例函数的性质来判断根据正比例函数的性质来判断. . 【答案】减小；减小；【解析】解：把点（﹣6，2）代入y=kx ，得到：2=﹣6k ，解得k=﹣＜0，则函数值y 随自变量x 的值的增大而减小.【总结升华】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是确定函数中k 的值，当k ＞0时，随着y 的增大x 也增大；当k ＜0时，随着y 的增大x 反而减小反而减小. . 举一反三： 【变式】（20182018•伊宁市校级一模）下列关于正比例函•伊宁市校级一模）下列关于正比例函数y=y=﹣﹣5x 的说法中，正确的是（的说法中，正确的是（ ） A ．当x=1时，时，y=5 y=5B ．它的图象是一条经过原点的直线．它的图象是一条经过原点的直线C ．y 随x 的增大而增大的增大而增大D ．它的图象经过第一、三象限．它的图象经过第一、三象限 【答案】B ；解：解：A A 、当x=1时，时，y=y=y=﹣﹣5，错误；，错误；B 、正比例函数的图象是一条经过原点的直线，正确；确；C 、根据k ＜0，得图象经过二、四象限，，得图象经过二、四象限，y y 随x 的增大而减小，错误；的增大而减小，错误；D 、图象经过二四象限，错误；、图象经过二四象限，错误； 故选B ．【正比例函数，例3】4、如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数1y k x =、2y k x =、3y k x =、4y k x = 的图象分别为1l 、2l 、3l 、4l ，则下列关系中正确的是（则下列关系中正确的是（ ）A ．1k ＜2k ＜3k ＜4kB ．2k ＜1k ＜4k ＜3kC ．1k ＜2k ＜4k ＜3kD ．2k ＜1k ＜3k ＜4k【答案】B ；【解析】首先根据直线经过的象限，知：2k ＜0，1k ＜0，4k ＞0，3k ＞0，再根据直线越陡，|k |越大，知：2||k ＞|1k |，|4k |＜|3k |．则2k ＜1k ＜4k ＜3k【总结升华】此题主要考查了正比例函数图象的性质，首先根据直线经过的象限判断k 的符号，再进一步根据直线的平缓趋势判断k 的绝对值的大小，最后判断四个数的大小数的大小..类型三、正比函数应用5、如图所示，射线l 甲、l 乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程s 与时间t 的函数关系，则他们行进的速度关系是（关系，则他们行进的速度关系是（）．A ．甲比乙快．甲比乙快B B ．乙比甲快．乙比甲快C C ．甲、乙同速．甲、乙同速D ．不一定．不一定 【思路点拨】观察图象，在t 相同的情况下，有s s>乙甲，故易判断甲乙的速度大小．【答案】A ；【解析】由s vt =知，s v t=，观察图象，在t 相同的情况下，有ss>乙甲，故有s s vv t t=>=甲乙乙甲．【总结升华】此问题中，l 甲、l 乙对应的解析式y kx =中，k 的绝对值越大，速度越快．的绝对值越大，速度越快．举一反三：【变式】如图，【变式】如图，OA OA OA，，BA 分别表示甲、乙两名学生运动的函数图象，图中s 和t 分别表示运动路程和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快（速度每秒快（） A.2.5米 B.2米 C.1.5米D.1米【答案】C ；提示：从图中可以看出甲用了8秒钟跑了64米，速度是8米/秒，乙用了8秒钟跑了52米，速度是132米/秒，所以快者的速度比慢者的速度每秒快1.5米.。
新人教版八年级下册数学知识点归纳
新人教版八年级下册数学学问点归纳二次根式【学问回忆】1.二次根式：式子a 〔a ≥0〕叫做二次根式。
2.最简二次根式：必需同时满意以下条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数一样，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：〔1〕〔a 〕2=a 〔a ≥0〕； 〔2〕 5.二次根式的运算：〔1〕因式的外移和内移：假如被开方数中有的因式可以开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；假如被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．〔2〕二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． 〔3〕二次根式的乘除法：二次根式相乘〔除〕，将被开方数相乘〔除〕，所得的积〔商〕仍作积〔商〕的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．a 〔a ＞0〕==a a 2a -〔a ＜0〕0 〔a =0〕；ab =a ·b 〔a≥0，b≥0〕；b ba a=〔b≥0，a>0〕． 〔4〕有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的安排律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】例3、 在根式1)222;2);3);4)275xa b x xy abc +-，最简二次根式是〔 〕 A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例5、数a ，b ，假设2()a b -=b －a ，那么 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b 2、二次根式的化简及计算 例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把〔a －b 〕－1a －b 化成最简二次根式例4、先化简，再求值：11()ba b b a a b ++++，其中51+，51-．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 222()a b a b -4、比较数值 〔1〕、根式变形法当0,0a b >>时，①假如a b >>a b <<例1、比较的大小。
人教版八年级数学下册反比例函数知识点归纳(重点)
人教版八年级数学下册反比例函数知识点归纳和典型例题（一）知识结构（二）学习目标1．理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式（k为常数，），能判断一个给定函数是否为反比例函数．2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点．3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（k为常数，）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题．4．对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法．（三）重点难点1．重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用．2．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握．二、基础知识（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析1．反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．B．C．D．答案：（1）C；（2）A．2．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B．C．D．答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．3．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数C．非正数D．非负数（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（3）下列四个函数中：①；②；③；④．y随x的增大而减小的函数有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．答案：（1）A；（2）D；（3）B．注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．4．解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x 成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？答案：（1）B；（2）4，8，（，）；（3）依题意，且，解得．（4）①依题意，解得②一次函数解析式为，反比例函数解析式为．（5）①，，；②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．5．面积计算（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（1）题图第（2）题图（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x 轴，△ABC的面积S，则（）．A．S=1 B．1＜S＜2C．S=2 D．S＞2（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．第（3）题图第（4）题图（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x 轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．第（5）题图第（6）题图（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．①求B点坐标和k的值；②当时，求点P的坐标；③写出S关于m的函数关系式．答案：（1）D；（2）C；（3）6；（4），，矩形O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为，前者大．（5）1．（6）①双曲线为，直线为；②直线与两轴的交点分别为（0，）和（，0），且A（1，）和C（，1），因此面积为4．（7）①B（3，3），；②时，E（6，0），；③．6．综合应用（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）．A．互为倒数B．符号相同C．绝对值相等D．符号相反（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．①求反比例函数和一次函数的解析式；②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．①求点A、B、D的坐标；②求一次函数和反比例函数的解析式．（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．①利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；②双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（5）不解方程，判断下列方程解的个数．①；②．答案：（1）D．（2）①反比例函数为，一次函数为；②范围是或．（3）①A（0，），B（0，1），D（1，0）；②一次函数为，反比例函数为．（4）①反比例函数为，；②存在（2，2）．（5）①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；②构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．。
人教版八年级下册数学知识点总结
人教版八年级下册数学知识点总结(一)勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2。
，那么这个三角形是直角三角形。
3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
(例：勾股定理与勾股定理逆定理) 第十九章四边形平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的性质：平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等。
平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形的判定1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.对角线互相平分的四边形是平行四边形;3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形;4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
矩形的性质：矩形的四个角都是直角;矩形的对角线平分且相等。
矩形判定定理： 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2.对角线相等的平行四边形是矩形。
3.有三个角是直角的四边形是矩形。
菱形的定义：邻边相等的平行四边形。
菱形的性质：菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
人教版八年级下册数学知识点总结(二)数据的分析1.加权平均数：加权平均数的计算公式。
权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。
学会权没有直接给出数量，而是以比的或百分比的形式出现及频数分布表求加权平均数的方法。
2.将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median);如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
3.一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数(mode)。
2024年八年级下册数学知识点总结归纳(2篇)
2024年八年级下册数学知识点总结归纳一、实数的认识与运算1. 数轴及实数的表示- 数轴的绘制及利用- 实数的表示及其在数轴上的位置2. 实数的相关性质- 加法运算的性质- 减法运算的性质- 乘法运算的性质- 除法运算的性质3. 实数的运算规则- 加法的运算法则- 减法的运算法则- 乘法的运算法则- 除法的运算法则4. 实数的逆运算- 加法逆元和减法逆元- 乘法逆元和除法逆元5. 有理数的认识与运算- 有理数的表示及其分类- 有理数的加法与减法- 有理数的乘法与除法6. 无理数的认识与运算- 无理数的表示及其性质- 无理数与有理数的关系7. 实数的运算律及运算顺序- 混合运算的顺序和运算律二、线性方程与不等式1. 一元一次方程- 一元一次方程的解的概念- 一元一次方程的解的判断- 一元一次方程的解的求法2. 一元一次方程的应用- 应用问题的方程建立- 使用方程解决实际问题3. 一元一次不等式- 一元一次不等式的解的概念- 一元一次不等式的解的判断- 一元一次不等式的解的求法4. 一元一次不等式的应用- 应用问题的不等式建立- 使用不等式解决实际问题三、平面图形与立体图形1. 平面图形的性质与判断- 五角星和六角星的性质- 四边形的性质- 三角形的性质- 直角三角形的性质2. 平面图形的分类与应用- 三角形的分类- 几何图形的应用3. 立体图形的认识与分类- 立体图形的基本概念- 空间几何图形的识别和分类4. 立体图形的体积与表面积- 直方体和正方体的体积和表面积- 柱体和锥体的体积和表面积四、统计与概率1. 数据的汇总与处理- 数据的收集和整理- 数据的图表表示2. 参数与统计量- 参数的含义与计算- 统计量的含义与计算3. 概率与事件- 概率的概念与性质- 事件与概率的计算4. 概率的应用- 简单事件的计算- 互斥事件的计算- 包含事件的计算五、函数与图像1. 函数的概念与表示- 函数的定义与表示- 函数的自变量和因变量2. 函数的性质与运算- 函数的奇偶性- 函数的增减性- 函数的周期性3. 函数的图像与应用- 函数的图像的绘制- 函数的应用问题解决4. 解析几何的初步认识- 直线的性质与方程- 圆的性质与方程总结：以上是____年八年级下册数学的知识点总结归纳，主要涵盖了实数的认识与运算、线性方程与不等式、平面图形与立体图形、统计与概率、函数与图像等重要内容。
新人教版数学八年级下册知识点汇总
新人教版数学八年级下册知识点汇总本文档汇总了新人教版数学八年级下册的知识点。
第一章函数与线性方程1. 函数的概念与性质2. 线性方程与函数3. 一次函数4. 函数图像与线性方程的解5. 函数关系与线性方程的解6. 函数的运算第二章四边形1. 任意四边形2. 平行四边形3. 矩形4. 正方形5. 菱形6. 梯形7. 三角形的面积第三章几何变换1. 平移与错切2. 原点对称与轴对称3. 尺规作图第四章图形的相似与尺寸1. 相似的概念与性质2. 相似三角形的判定3. 相似三角形与相似比例4. 对应边成比例与对应角相等第五章数据及其概率1. 数列的概念与表示2. 等差数列3. 概率的概念与计算第六章方程1. 方程的解2. 一元一次方程3. 一元一次方程的应用4. 两个变量的线性方程组5. 二次方程的概念与解法第七章平面直角坐标系中的图形1. 直角坐标系2. 线段的中点3. 相交线与平分线4. 解析几何中的实线和虚线5. 圆第八章有理数和实数1. 有理数2. 实数的简介第九章三角形1. 三角形的元素及其关系2. 三角形的相似判定3. 中线、垂线与高线4. 全等三角形及其判定5. 合同三角形的性质第十章配方法等式1. 用配方法解方程2. 一元二次方程第十一章平面图形的性质1. 线段的垂直平分线2. 过点作圆3. 正多边形4. 螺旋线第十二章多边形的面积1. 平行四边形的面积2. 三角形的面积3. 高度与四边形的面积第十三章浓度和密度1. 浓度与密度的计算第十四章投影与视图1. 平行投影2. 视图第十五章集合1. 集合的概念与表示2. 集合间的关系以上是数学八年级下册的知识点汇总。
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人教版八年级下册数学各单元知识点归纳总结
人教版八年级下册数学各单元知识点归纳总结第一章算法初步- 整数、质数、合数、因数、倍数的概念- 分解因数，最大公因数，最小公倍数- 带余除法，求模运算，同余方程- 算术基本定理，一元一次方程，解方程的步骤第二章分数- 分数的基本概念，分数的大小比较- 分数的加减乘除，分数的化简- 分数的整数运算，带分数的简单四则运算- 分数运算的应用第三章代数式- 代数式的基本概念，同类项的概念- 代数式的加减乘除，开平方- 代数式乘法公式，因式分解- 代数式的应用第四章方程式初步- 方程组的基本概念- 二元一次方程组，三元一次方程组- 解方程组的方法- 方程的应用第五章图形初步- 轴对称图形，中心对称图形，旋转图形- 面积的应用- 三角形的分类，特殊的三角形- 四边形的分类，判断各种四边形第六章数据的收集与统计- 数据的收集，数据的整理，数据的描述- 中心值，散布度，直方图- 规律的总结，归纳，样本容量的选择- 无偏性，可靠性，误差分析第七章立体图形的计算- 立体图形的基本概念，正方体，长方体- 表面积，体积的计算- 圆锥、圆柱、金字塔、棱锥的表面积、体积的计算- 建立立体图形的模型第八章概率初步- 随机事件，样本空间的概念- 频率与概率，事件的独立性- 树形图与概率，基本统计数量- 离散型随机变量的分布总结本篇文章总结了人教版八年级下册数学各单元的知识点。
每章节都包括基本概念、计算方法和应用场景等内容。
阅读本文可以使学生更好地掌握知识点，提高学习效率，为考试打下基础。
新人教版八年级数学下册勾股定理知识点和典型例习题1 (2)
新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题一、基础知识点： １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下： 方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为22()2S a b a a b b =+=++ 所以22a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长cbaHG F ED CBAbacbac ca bcab a bc cbaED CB A边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：AB C30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
最新人教部编版初中八年级数学下册全册知识点总结
最新人教部编版初中八年级数学下册全册
知识点总结
本文档总结了最新人教部编版初中八年级数学下册全册的知识点。
下面是每个单元的主要内容：
第一单元：一元一次方程与应用
- 了解一元一次方程的基本概念和求解方法
- 掌握利用一元一次方程解决实际问题的方法
第二单元：不等式与应用
- 掌握不等式的基本概念和性质
- 学会利用不等式解决实际问题
第三单元：平面图形的认识
- 研究平面图形的基本概念
- 掌握平面图形的性质和判定方法
第四单元：图形的相似与尺寸
- 了解相似图形的定义和性质
- 学会应用相似图形解决问题
第五单元：三角形的面积
- 掌握计算三角形面积的方法
- 研究应用三角形的面积解决实际问题
第六单元：整式与分式
- 理解整式和分式的概念和性质
- 掌握整式和分式的运算方法
第七单元：统计与概率
- 了解统计学的基本概念和统计图表的绘制方法- 研究概率的基本理论和计算方法
第八单元：函数的认识
- 研究函数的定义和基本性质
- 掌握函数的图像和函数关系的表示方法
第九单元：一元二次方程
- 了解一元二次方程的定义和性质
- 学会利用一元二次方程解决实际问题
每个单元的知识点总结包括了基本概念、性质、解题方法和应用等方面的内容。
希望这份文档能帮助您更好地理解和应用八年级数学下册的知识点。
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第十六章 二次根式1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
定义包含三个内容:Ⅰ必需含有二次根号 “”；Ⅱ被开方数a ≥0；Ⅲ a 可以是数，也可以是含有字母的式子。
例1.下列式子中,是二次根式的有 _______(填序号)（1）32 （2）6 （3）12- （4）m -（m ＞0） （5）xy （6）12+a （7）352.二次根式有意义的条件： 大于或等于0。
例2.当x 是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？※二次根式中字母的取值范围的基本依据： （1）开方数不小于零；（2）分母中有字母时，要保证分母不为零。
例3.已知x 、y为实数，且1y =，求x y +的值．3.二次根式的双重非负性：a ：①0≥a ，②0≥a 附：具有非负性的式子：①0≥a ；②0≥a ；③02≥a例4.若,x y为实数，且20x +=，则2009x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-24.二次根式的性质：（1）)0()(2≥=a a a （2）⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a例5.利用算术平方根的意义填空（1）从运算顺序来看；（2）从取值范围来看；（3）从运算结果来看例6. 1、填空：（1）2)12(-x -2)32(-x )2(≥x =_______.（2）2)4(-π=2、已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x5.二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a ≥0，b ≥0）；a ≥0，b >0）例7.计算：（1）9×27 （2）25×32 （3）a 5·ab 51 （4）5·a 3·b 31例8.计算：①54 ②2212b a ③4925⨯ ④64100⨯例9.计算：（1（2（3（46.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
例10.下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A ．18 B ．b a 2 C ．22b a + D ．32 例11.计算：(1)521312321⨯÷ (2) 21541)74181(2133÷-⨯ 7.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
例12.是同类二次根式的是（ ）A.B.C.D. 8.二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． 例13.计算：（1）2）x x x x 1246932-+（3）50511221832++- 9.有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘1)5(31)4(31)3(238)2(2)1(2+--+---x x x x x x x =2)4(=2)01.0(=2)31(=2)0(=24=201.0=⎪⎭⎫ ⎝⎛231=20=-2)4(=-2)01.0(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-231?)(22有区别吗与a a法公式，都适用于二次根式的运算． 例14.计算：（1）（38+）×6 （2）22)6324(÷- （3）)52)(32(++（4）2)232(- （5）（10-7）（-10-7） （6）12)323242731(⋅-- 第十七章 勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么c b a 222=+。
应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）例1.在Rt △ABC 中，∠C=90°①若a =5，b =12，则c =___________；②若a =15，c =25，则b =___________；③若c =61，b =60，则a =__________；④若a ∶b =3∶4，c =10则S Rt △ABC =________。
⑤已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 。
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边。
例2.在长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A 、6cm 2 B 、8cm 2 C 、10cm 2 D 、12cm 2 例3.已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，∠A=60°，CD=3，求线段AB 的长。
例4.已知：在△ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17，求S △ABC 。
2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ,b,c 满足c b a 222=+，那么这个三角形是直角三角形。
应用： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。
（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边） 例5.下列四组线段不能组成直角三角形的是（ ）A ．a =8，b =15，c =17B ．a =9，b =12，c =15C ．a =5，b =3，c =2D ．a ：b ：c =2：3：4例6.若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2）=0，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形3.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等例7.长度分别为 3， 4 ，5，12，13的五根木棒能搭成(首尾连接)直角三角形的个数为( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个例8.在三角形ABC 中，AB=12，AC=5，BC=13，则BC 边上的高为AD= . 例9.如图，有一块地，已知，AD=4m ，CD=3m ，∠ADC=90°，AB=13m ，BC=12m ．求这块地的面积． 4.直角三角形的性质（2）直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下： ∠C=90°⇒∠A+∠B=90° （2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠C=90°，∠A=30°⇒BC=21AB （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90，D 为AB 的中点⇒CD=21AB=BD=AD 例10.如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，∠CDA=80°，则∠A=_____ ∠B=_____例11.如图所示，BD 、CE 是三角形ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点，求证：MN ⊥DE 5.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（例：勾股定理与勾股定理逆定理）例12.下列命题的逆命题正确的是（ ）．A ．全等三角形的面积相等B ．全等三角形的对应角相等C ．如果a =b ，那么a 2=b 2D ．等边三角形的三个角都等于600 6.证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
7.证明的一般步骤（1）根据题意，画出图形。
（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
例13.已知：如图△ABC 中，AB=AC=10，BC=16，点D 在BC 上，DA ⊥CA 于A ． 求：BD 的长．提示：通过两个直角三角形中相等的线段，运用勾股定理列方程解答。
第十八章 平行四边形 一．平行四边形1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2．平行四边形的性质角：平行四边形的邻角互补，对角相等； 边：平行四边形两组对边分别平行且相等；对角线：平行四边形的对角线互相平分； 面积：①S=底⨯高=ah ；例1．在□ABCD 中，若∠A －∠B ＝40°，则∠A ＝______，∠B ＝______．例2．若平行四边形周长为54cm ，两邻边之差为5cm ，则这两边的长度分别为______． 例3．如图，□ABCD 中，CE ⊥AB ，垂足为E ，如果∠A ＝115°，则∠BCE ＝______． 例4．如图，在□ABCD 中，DB ＝DC 、∠A ＝65°，CE ⊥BD 于E ，则∠BCE ＝______．例3图 例4图 例5．若在□ABCD 中，∠A ＝30°，AB ＝7cm ，AD ＝6cm ，则S □ABCD ＝______． 例6．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为( )． 例7．如图，在□ABCD 中，M 、N 是对角线BD 上的两点，BN=DM ，请判断AM 与CN 有怎样的数量关系，并说明理由.它们的位置关系如何呢？例8． □A BCD 的周长为60cm ，对角线交于点O ，△BOC 的周长比△AOB 的周长小8cm ，则AB =______cm ，BC =_______cm . 例9． □ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，若AC =8，AB =6，BD =m ，那么m 的取值范围是____________. 3．平行四边形的判定方法：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 一组平行且相等的四边形是平行四边形； ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形； 例10．已知：如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，EF ∥BC ， 求证：BE =CF例11．已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是OA 、OC 的中点， 求证：BM ∥DN ，且BM=DN. 例12．四边形ABCD 是平行四边形，BE 平分∠ABC 交AD 于E ， DF 平分∠ADC 交BC 于点F ，求证：四边形BFDE 是平行四边形。
例13．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，已知AE ＝CF ，M 、N 是DE 和FB 的中点，求证：四边形ENFM 是平行四边形．例14．已知：如图，△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延长线上一点，过点A 作BE 的平行线与线段ED 的延长线交于点F ，连结AE 、CF ．求证：CF ∥AE . 二、特殊的平行四边形 （一）矩形1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形2、矩形的性质①边：对边平行且相等；②角：四个角都是直角；③对角线：对角线互相平分且相等； 例15．已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，且AC =2AB 。