新人教版八年级下册数学知识点及典型例题总结

第十六章 二次根式

1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。定义包含三个内容:

Ⅰ必需含有二次根号 “”；Ⅱ被开方数a ≥0；Ⅲ a 可以是数，也可以是含有字母的式子。 例1.下列式子中,是二次根式的有 _______(填序号)

（1）32 （2）6 （3）12- （4）m -（m ＞0） （5）xy （6）12+a （7）

3

5

2.二次根式有意义的条件： 大于或等于0。 例2.当x 是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？

※二次根式中字母的取值范围的基本依据： （1）开方数不小于零；（2）分母中有字母时，要保证分母不为零。 例3.已知x 、y

为实数，且1y =

，求x y +的值．

3.二次根式的双重非负性：a ：①0≥a ，②0≥a 附：具有非负性的式子：①0≥a ；②0≥a ；③02≥a

例4.若,x y

为实数，且20x +=，则2009

x y ⎛⎫

⎪

⎝⎭

的值为（ ）

A ．1

B ．-1

C ．2

D ．-2

4.二次根式的性质：（1）)0()(2

≥=a a a （2）⎩⎨⎧≤-≥==)

0()

0(2

a a a a a a

例5.利用算术平方根的意义填空

（1）从运算顺序来看；（2）从取值范围来看；（3）从运算结果来看

例6. 1、填空：（1）2)12(-x -2)32(-x )2(≥x =_______.（2）2)4(-π=

2、已知2＜x ＜3，化简：3)2(2

-+-x x

5.二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

（a ≥0，b ≥0）；

a ≥0，

b >0）

例7.计算：（1）9×27 （2）25×32 （3）a 5·

ab 51 （4）5·a 3·b 3

1

例8.计算：①54 ②2212b a ③4925⨯ ④64100⨯

例9.计算：（1

（2

（3

（4

6.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 例10.下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A ．18 B ．b a 2 C ．22b a + D ．

3

2 例11.计算：(1)

5

2

1312321⨯÷ (2) 2

1

5

41)74181(2133÷-

⨯ 7.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 例12.

是同类二次根式的是（ ）

A.

B.

C.

D. 8.二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． 例13.计算：

（1

）2）

x x x x 1246932-+（3）505

11221832++- 9.有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘

1)5(31)4(3

1)3(238)2(2)1(2+--+---x x x x x x x =2)4(=2)01.0(=2)3

1(

=

2)0(=

2

4=201.0=⎪⎭⎫ ⎝⎛2

31=

20=-2)4(=-2)01.0(=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-2

31?)(22有区别吗与a a

法公式，都适用于二次根式的运算． 例14.计算：

（1）（38+）×6 （2）22)6324(÷- （3）)52)(32(++

（4）2

)232(- （5）（10-7）（-10-7） （6）12)3

2

3242731(

⋅-- 第十七章 勾股定理

1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么c b a 222=+。 应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）

例1.在Rt △ABC 中，∠C=90°

①若a =5，b =12，则c =___________；②若a =15，c =25，则b =___________；

③若c =61，b =60，则a =__________；④若a ∶b =3∶4，c =10则S Rt △ABC =________。 ⑤已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 。 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边。 例2.在长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A 、6cm 2 B 、8cm 2 C 、10cm 2 D 、12cm 2 例3.已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，∠A=60°，CD=3，求线段AB 的长。

例4.已知：在△ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17，求S △ABC 。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ,b,c 满足c b a 222=+，那么这个三角形是直角三角形。 应用： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。

（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边） 例5.下列四组线段不能组成直角三角形的是（ ）

A ．a =8，b =15，c =17

B ．a =9，b =12，c =15

C ．a =5，b =3，c =2

D ．a ：b ：c =2：3：4

例6.若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2）=0，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形

3.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为

正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等

例7.长度分别为 3， 4 ，5，12，13的五根木棒能搭成(首尾连接)直角三角形的个数为( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

例8.在三角形ABC 中，AB=12，AC=5，BC=13，则BC 边上的高为AD= . 例9.如图，有一块地，已知，AD=4m ，CD=3m ，∠ADC=90°，AB=13m ，BC=12m ．求这块地的面积． 4.直角三角形的性质

（2）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下： ∠C=90°⇒∠A+∠B=90° （2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠C=90°，∠A=30°⇒BC=

2

1

AB （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90，D 为AB 的中点⇒CD=

2

1

AB=BD=AD 例10.如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，∠CDA=80°，则∠A=_____ ∠B=_____

例11.如图所示，BD 、CE 是三角形ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点，求证：MN ⊥DE 5.经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）

例12.下列命题的逆命题正确的是（ ）．

A ．全等三角形的面积相等

B ．全等三角形的对应角相等

C ．如果a =b ，那么a 2=b 2

D ．等边三角形的三个角都等于600 6.证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。 7.证明的一般步骤

（1）根据题意，画出图形。

（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

例13.已知：如图△ABC 中，AB=AC=10，BC=16，点D 在BC 上，DA ⊥CA 于A ． 求：BD 的长．

提示：通过两个直角三角形中相等的线段，运用勾股定理列方程解答。