黎曼函数_73802136
黎曼函数
It’s obvious that narrowly analytic is equivalent to analytic.
The wide convergence of real 2-arguments power series f (x, y) is studied. As
a fact a convergent radius (r1, r2) respectively for arguments (x, y) meet for suffi-
ln(3)
1 ∞ sxe−sxd(sx)
lim
m→∞
Fm
(s)
>
2
ln(3)
s
− Cs
It’s easy to find when s → 0 this term approaches to infinity.
There is coming up sharp controversy, as is commonly known the ζ(s) hasn’t infinity derivative in near s = 0. But in this article the opinion inclines to find the fault of the Riemann’s definition.
ciently great m, n
∂m+nf (x, y) | (∂x)m(∂y)n |
<
C
m!n!r1−mr2−n
C is independent of m, n. The real derivatives of Γ(s = x + yi), x > 1, y ∈ R are studied for sufficiently great m, n:
lipet微积分
lipet微积分
【原创版】
目录
1.黎曼积分的概念
2.黎曼积分的性质
3.黎曼积分的计算方法
4.黎曼积分的应用实例
正文
黎曼积分是微积分中的一个重要概念，它是由德国数学家黎曼提出的。
黎曼积分是一种对函数在某一区间上的平均值进行估计的方法，它能够很好地描述函数在某一区间内的变化情况。
黎曼积分具有以下几个性质：
首先，黎曼积分是线性的，这意味着如果两个函数在某一区间上的黎曼积分分别为 F(x) 和 G(x)，那么它们的和在某一区间上的黎曼积分就
为 F(x) + G(x)。
其次，黎曼积分具有保号性，也就是说，如果一个函数在某一区间上非负，那么它的黎曼积分也非负。
再次，黎曼积分具有连续性，这意味着如果一个函数在某一区间上连续，那么它的黎曼积分也连续。
黎曼积分的计算方法一般采用积分上限和下限的方法，即先计算函数在某一区间上的原函数，然后再求出原函数在区间端点上的值，最后将这两个值相减即可得到黎曼积分的值。
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黎曼函数的定义
黎曼函数的定义
黎曼函数（Riemann Function）是一种函数，它用于描述函数在无穷多个区间的极限行为。
它的定义可以通过一条简单的数学公式来描述：给定函数 f(x)，黎曼函数 R(x) 定义为：R(x) = lima→∞ ∑b=1 f(x + b/a)
其中，a 是正整数，x 是实数。
这里的 a 和 b 可以被看作为一种“调节器”，当 a 和 b 越大时，我们将获得更精确的结果，也就是更准确的函数极限。
黎曼函数 R(x) 具有很多有用的性质，最重要的是它可以帮助我们确定函数在某些情况下的极限。
例如，如果我们想知道函数 f(x) 在点 x = 0 处的极限，可以使用黎曼函数 R(x) 来求解：limx→0 R(x) = lima→∞ ∑b=1 f(x + b/a) = lima→∞ ∑b=1 f(0 + b/a) = lima→∞ ∑b=1 f(b/a) = lima→∞ ∑b=1 limx→b/a f(x) = lima→∞ ∑b=1 f(b/a) 这个结果表明，当 x 趋于 0 时，函数 f(x) 的极限为 f(b/a)。
除了可以求函数的极限外，黎曼函数也可以用来求解微分方程。
当我们使用黎曼函数求解微分方程时，我们可以将求解过程分解为两个步骤：
1. 使用黎曼函数来求解微分方程的极限；
2. 从极限中确定微分方程的解。
黎曼函数是一个非常强大的工具，它可以帮助我们更好地理解函数的极限行为，也可以帮助我们更好地求解微分方程。
它的定义简单，但是它的应用却是非常多样的。
黎曼 函数
黎曼函数（Riemann function）一、黎曼函数的定义二、黎曼函数是否连续？在哪些点连续？三、黎曼函数的可积性一、黎曼函数的定义为有理数且、互质为无理数R(x)={1px为有理数qp, p∈N+,q∈Z且p、q互质1x=00x为无理数，为什么定义R(0)=1？这样能使得R(x) 成为周期为 1 的周期函数（无理数+1后还是无理数，有理数+1后分母不变），当 x 为整数时，黎曼函数的值均为 1。
因此以下只讨论黎曼函数在区间[0,1] 上的性质。
二、黎曼函数的连续性讨论黎曼函数性质描述：黎曼函数对∀x0∈(−∞,+∞) 均有limx→x0R(x)=0 （也就是黎曼函数在数轴上一切无理点连续，有理点不连续）证明：只考虑[0,1] 上的情况；需要用到函数极限的ϵ−δ语言；对∀ϵ∈(0,1) ，令k=[1ϵ] ，则 k 是正整数；在[0,1] 上，设分母为p(p≥2) 的有理数的个数为np ，则np 是个有限的数字（不可能是无穷大，因为至多只能有1p,2p,3p,...,pp ，一共 p 个）；当 p=1 时，有两个分母为 1 的有理数：01,11 ，即n1=2 ；因此，我们得出：[0,1] 上分母不超过 k 的有理数的个数Nk=n1+n2+...+nk 是个有限的数字（不为无穷大），设这些有理数为r1,r2,...,rNk令且δ=min1≤i≤Nk且ri≠xo{|ri−x0|} （也就是这Nk 个点中离x0 最近的那个点与x0 间的距离；如果x0 正好与这Nk 个点中的某个点重合，则在剩下Nk−1 个点中重新计算离x0 的最小距离）；现在我们观察0<|x−x0|<δ中的所有数，这些数：（1）、要么是有理数但分母比 k 大；（2）、要么是无理数；对于（1）中的x ，我们有R(x)≤1k=1[1ϵ]≤21ϵ=2ϵ；对于（2）中的x ，很显然R(x)=0<2ϵ；综上，根据极限的ϵ−δ语言我们得出limx→x0R(x)=0 。
黎曼函数定义
黎曼函数定义1 黎曼函数黎曼函数(Riemann function)，又称分段函数，是实数函数的一类特殊函数，是定义于实数轴上的多段连续的有限累加函数，它的组成段可以是任意段，但在每一段上都要连续，可以使函数连续或不连续，它由段的总和构成。
黎曼函数是实数函数研究的一块重要基础，也是转折函数应用的关键。
2 定义：黎曼函数是一个多段函数，它的定义域是实数，它的定义域可以描述为[a,b]，在[a,b]，它的定义表达式为：y=f(x)={a0,x<x0；a1,x0<=x<x1；....；an,xn<=x<=b}。
函数在各段上可以是任意函数，只要在定义域内连续即可。
3 作用黎曼函数是实数函数应用研究中一个基础性的内容，它能够很好地描述函数在离散区间上变化的函数，一般可用于描述转折函数，也可用于描述多段函数变化。
黎曼函数也是转折函数最常用的表示方式之一，它可以用来描述数据之间的关系，它也和概率统计学中的卡方分布函数有密切关联。
4 黎曼函数的应用黎曼函数的应用情况相当广泛，由于它能够描述函数在定义域内的离散变化，因此它在函数值变化的地方有着良好的表示性能。
黎曼函数在物理学中可以用来求解各种物理量的极限值，在概率统计学中可以用来描述不同的概率函数，在计算机科学中可以用来模拟不同的逻辑运算关系。
5 总结黎曼函数最主要的特点是段的连续性以及段的累加，它可以描述实数轴上的多段连续的有限累加函数，它的定义表达式是y=f(x)={a0,x<x0；a1,x0<=x<x1；....；an,xn<=x<=b}，函数在各段上可以是任意函数，只要在定义域内连续即可。
它在数学、物理、概率统计学以及计算机科学等领域有着广泛的应用。
[精品]黎曼函数的性质及其证明
![[精品]黎曼函数的性质及其证明](https://img.taocdn.com/s3/m/a00b07491fd9ad51f01dc281e53a580216fc503d.png)
[精品]黎曼函数的性质及其证明摘要：黎曼函数的性质是研究黎曼猜想的关键问题，黎曼函数的性质与黎曼猜想完全不同，黎曼函数是黎曼变换之后出现的函数，因此黎曼函数的定理可以用来研究黎曼函数。
黎曼函数的研究虽然与黎曼猜想本身是相对立的关系，但是两者具有密不可分的关系（黎曼方程的解可以用黎曼矩阵方程或黎曼函数来表示）。
通过黎曼函数的证明可以直接证明黎曼定理。
但是，黎曼函数的证明需要对黎曼函数在具体应用中存在的性质加以研究，才能证明黎曼函数这一重要且有广泛应用意义的数学问题。
一、引言1915年，英国数学家大卫·黎曼在《数学研究》上发表了一篇题为《黎曼的几何学》的论文。
在文中他通过分析黎曼变换结果和对证明的求解结果建立起黎曼函数定理体系。
此后黎曼函数定理得到了广泛的应用。
黎曼函数定理及其证明的应用使数学由古典时代走向现代数学，为数学的发展和进步奠定了坚实的基础。
黎曼函数定理与黎曼矩阵（黎曼方程）、黎曼变换）这两个数学分支是最基本的数学分支，它们在科学中都发挥着重要作用。
然而由于黎曼函数定义不明确、计算量巨大以及黎曼函数本身存在诸多不合理之处等原因，其研究一直未能取得突破性进展。
1、黎曼函数定义黎曼函数定理是在不考虑任何微分几何模型的情况下研究黎曼几何学性质的，但是由于黎曼几何学性存在性问题长期以来一直没有得到解决，故该定理被称为是现代西方数学中最著名的“最后定论”之一。
黎曼函数也被称为黎曼矩阵或黎曼方程。
黎曼矩阵用一组对称性很强的对偶矩阵来表示一个对偶连续系统及其变量之间相对关系的一个抽象表达式。
这种矩阵可用于定义微分几何模型及分析微分方程及其解。
但根据对偶矩阵所描述的物理世界不同，在此我们将其定义为黎曼矩阵。
同时该矩阵也可用于度量黎曼矩阵在不同变量之间相互关系（如两个变量 X)。
2、黎曼矩阵黎曼矩阵是对线性化方程组求解的最简单最有效的方法，也是计算量最大的方法，它与黎曼方程有着异曲同工之处。
一般认为黎曼方程组有四个主要运算步骤：第一步对黎曼方程进行线性化得到新的方程组；第二步对方程组进行微分计算得到新的方程组；第三步将新的方程组与黎曼方程组进行互变的计算得到新方程组；第四步将新的方程组与黎曼方程组进行互变的计算得到新方程组。
黎曼函数的性质及其证明
黎曼函数的性质及其证明
黎曼函数是分析学中重要的应用，它是由数学家L.E.J Bromwich于1892年提出的，
定义为在若干定义域收敛无穷的函数的变换。
一般来说，它表示的是一个函数的傅立叶变
换的反变换。
黎曼函数有三个重要的性质，这些性质是该函数在实际应用中的主要基础：
一、对称性：当函数f(x)关于原点x = 0对称时，其黎曼函数ρ(x)关于x =0也具
有对称性。
证明：因为黎曼函数是函数f(x)的傅立叶变换的反变换，根据傅立叶变换的定义，函数f(x)关于原点x=0对称时，它的傅立叶变换F(k)也具有对称性。
从而黎曼函数ρ{x}在反变换F(k)后也具有对称性，即ρ(x)关于x=0也具有对称性。
二、绝对终止性：黎曼函数ρ(x)趋于于定值p时，在该定值上的函数f(x)必定为0。
证明：因为黎曼函数ρ(x)是函数f(x)的傅立叶变换的反变换，根据定理可知，满足
反变换等式的函数f(x)和ρ(x)在任何定义的定值上都可以交换。
即ρ(x)和f(x)在所有
可定义的定值都可以交换。
以上便是黎曼函数的三个重要性质及其证明，它在分析学中的应用很广泛，可以让我
们更加深入地理解函数以及它们之间的关系。
黎曼函数在[01]的积分
![黎曼函数在[01]的积分](https://img.taocdn.com/s3/m/4b776f2b001ca300a6c30c22590102020740f2d9.png)
黎曼函数在[01]的积分黎曼函数是一类特殊的函数，通过将区间[0,1]划分为无穷多个小区间并在每个小区间上选取一个点来定义。
在从0到1的区间上，通过选择一个点集合和它们的加权平均值，可以得到一个函数。
具体来说，假设我们将区间[0,1]划分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx，则每个小区间的左端点可以表示为x_i=iΔx，其中i的取值从0到n-1，即0≤i≤n-1、通过选择每个小区间上的一个点c_i，我们可以得到函数f(x)=Σc_i·Δx，其中Σ表示求和，i的取值从0到n-1这个函数f(x)就称为黎曼函数。
根据上述定义，我们可以看出，黎曼函数的值取决于划分的方式以及在每个小区间上选取的点的位置。
具体地说，在数学中，我们可以通过将区间[0,1]分成n个小区间来近似计算黎曼函数的积分。
每个小区间的长度为Δx=1/n。
在每个小区间上，我们可以选择一个点c_i，例如取c_i为x_i=i/n，其中i的取值为0到n-1然后，我们可以计算黎曼函数在每个小区间的值，即f(x)=Σc_i·Δx，然后将这些值相加，得到近似的积分值。
当我们将n无限大时，无穷多个小区间的总长度将趋于1，这样我们将得到确切的黎曼函数积分的值。
黎曼函数的积分可以表示为∫(0,1) f(x) dx，即积分符号表示对区间[0,1]上的f(x)函数进行积分。
根据上述定义和近似的计算方法，我们可以仔细计算黎曼函数的积分值。
然而，在实际应用中，黎曼函数的积分通常是通过更高级的数学技术进行计算的，例如定积分、不定积分以及其他积分方法（例如数值积分法）。
这些方法可以更准确地计算黎曼函数的积分，以及其他更复杂的函数的积分。
总结起来，黎曼函数是通过将区间[0,1]分成无穷多个小区间，并在每个小区间上选择一个点来定义的。
它在数学分析中起到了重要的作用，特别是在积分的定义和计算中。
通过近似计算和更高级的数学技术，我们可以计算出黎曼函数在[0,1]上的积分值。
黎曼函数表达式
黎曼函数表达式
黎曼函数表达式是一种数学公式，用于描述一组特定函数之间的联系。
该表达式由德国数学家和物理学家埃利克斯黎曼所创，他首先在1830年提出了它。
黎曼函数表达式包括一组计算运算符及其参数，可用于表达一个或多个函数之间的关系。
这些运算符可以是单目、双目或三目，其中单目运算符仅需要一个参数，双目运算符需要两个参数，而三目运算符则需要三个参数。
此外，黎曼函数表达式还可以包含其他特定元素，如常量、标量、变量等。
在数学和物理学的应用中，黎曼函数表达式可用来解决各种问题，如非线性微分方程、热力学与统计力学、混沌动力学等。
比如，黎曼函数表达式可以用于求解物质微观结构的不可知性方程，用于描述热力学与统计力学的分布函数，以及用于解决混沌动力学的方程的稳定性问题等。
一般来说，黎曼函数表达式可以用LaTeX编写，也有一些编程语言，如GNU Octave、MATLAB等可以用来表达黎曼函数表达式。
在机
器学习方面，黎曼函数表达式也可以被用来描述机器学习中的特征映射关系。
虽然黎曼函数表达式在数学、物理学和机器学习等领域应用广泛，但它也存在一些局限性，如它不能提供准确的计算结果，而且在涉及更复杂函数时可能变得非常复杂。
此外，黎曼函数表达式的参数也可能受到外部因素的影响，导致计算结果不准确或不准确。
总之，黎曼函数表达式是一种数学公式，它可以用于表达一组特定函数之间的关系，并在数学、物理学、机器学习等领域得到广泛应用。
但是，它也具有一定的局限性，为了得到准确的结果，我们需要注意其中的一些细节。
达布和黎曼可积函数
达布和黎曼可积函数黎曼可积函数是指具有有限积分的函数。
在数学分析中，黎曼可积函数是一个非常重要的概念，广泛应用于实变函数学和复变函数学中。
黎曼可积函数的定义是基于黎曼积分的。
对于在闭区间[a, b]上有定义的实值函数f(x)，如果存在一个数L，对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，当划分[ξ_0，ξ_1]，…，[ξ_n-1，ξ_n]的全体，其中a=ξ_0<ξ_1<…<ξ_n=b，满足最大的子区间长度max(ξ_i+1-ξ_i)<δ时，对于任意选择的样本点η_i∈[ξ_i，ξ_i+1]，有：∑[f(η_i)ξ_i，ξ_i+1]-L)<ε则称函数f(x)在闭区间[a, b]上黎曼可积，且L为其黎曼积分，记作∫[a, b]f(x)dx=L。
黎曼可积函数具有一些重要的性质和定理，下面我们来讨论其中一些：1.黎曼可积函数的有界性：如果函数f在闭区间[a,b]上黎曼可积，则f在该区间上有界。
这可以通过给定ε=1，然后用分割点上的函数值乘以子区间长度，再加起来，可以证明函数f是有界的。
3. 黎曼可积函数的运算性质：如果函数f、g在闭区间[a, b]上黎曼可积，那么它们的和、差、积也在该区间上黎曼可积，并且有∫[a,b](f(x)±g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx ± ∫[a,b] g(x) dx 和∫[a,b]f(x)g(x) dx = (∫[a,b] f(x) dx)(∫[a,b] g(x) dx)。
4. 黎曼可积函数的积分性质：对于黎曼可积函数f和一个固定的数k，那么kf也在闭区间[a, b]上黎曼可积，并且有∫[a,b] kf(x) dx =k∫[a,b] f(x) dx。
黎曼可积函数的概念为我们提供了一种刻画函数可积性质的方法。
它使得我们能够对函数的积分进行严格而准确的计算，为数值计算提供了基础。
此外，在实变函数学和复变函数学中，黎曼可积函数的概念也与微积分的基本定理和级数理论等密切相关。
黎曼函数
它亦可以用积分定义：对于所有实部>1的复数s。
这和上面ζ（2）的表达式一起可以用来证明两个随机整数互质的概率是6/π2。
\frac{}{}== 函数值==黎曼函数在s > 1的情况ζ函数满足如下函数方程：对于所有C\{0,1}中的s成立。
这里，Γ表示Γ函数。
这个公式原来用来构造解析连续性。
在s = 1，ζ函数有一个简单极点其留数为1。
上述方程中有sin函数，的零点为偶数s = 2n，这些位置是可能的零点，但s为正偶数时，为不为零的规则函数（Regular function），只有s为负偶数时，ζ函数才有零点，称为平凡零点。
当s为正整数其中B2k是伯努利数。
从这个，我们可以看到ζ(2)= π2/6, ζ(4) =π4/90, ζ(6) = π6/945等等。
（序列A046988/A002432列在OEIS）。
这些给出了著名的π的无穷级数。
奇整数的情况没有这么简单。
拉马努金在这上面做了很多了不起的工作。
为正偶数时的函数值公式已经由欧拉计算出。
但当为正奇数时，尚未找到封闭式。
这是调和级数。
（OEIS中的数列A078434）自旋波物理。
（OEIS中的数列A013661）是多少？（OEIS中的数列A002117）称为阿培里常数。
（OEIS中的数列A0013662）负整数[编辑]同样由欧拉发现，ζ函数在负整数点的值是有理数，这在模形式中发挥着重要作用，而且ζ函数在负偶整数点的值为零。
复数值[编辑]，x＞1。
幅角[编辑]，函数值表[编辑]，，，，，，，，，，，，，。
定积分（黎曼积分）
定积分（黎曼积分）狭义积分(区别于⼴义积分)即黎曼积分，它的定义为：函数f(x) 在闭区间 [a,b] 有定义，在区间 [a,b] 上插⼊n−1 个分点，使其分成n个⼩区间 [x i−1,x i],i=1,2,3,...,n，任取⼀点ξi∈[x i−1,x i]，做和式n∑i=1f(ξi)(x i−x i−1)=n∑i=1f(ξi)Δx i设λ为所有⼩区间的最⼤长度，即λ=maxΔx1,Δx2,...,Δx n。
当分割越来越“精细”的时候，即λ→0,n→+∞，分割后的每个⼩条就可以看作矩形，考虑式⼦lim λ→0n∑i=1f(ξi)Δx i如果上式值存在，且此极限不依赖于区间 [a,b] 的分法，也不依赖于点ξi的取法，则称此极限为f(x) 在区间 [a,b] 上的定积分，记为∫b a f(x)dx=limλ→0n∑i=1f(ξi)Δx i=+∞∑i=1f(ξi)Δx i,ξi∈[a,b]定积分的定义体现了逼近的思想：函数的图形是不规则的，⽽我们的⽬的是⽤简单的、规则的、已知的知识去求它的⾯积，于是采⽤⽆穷分割区间的办法，将每⼀个划分出来的⼩条⽆限逼近⼀个矩形，这样的⾯积就很好求，这种逼近过程是⽆穷⽆尽的，但我们总能越来越接近真相。
分割越精细，计算出来的⾯积误差越⼩，那么可以认为，⽆限分割时，这个误差就是⽆穷⼩的，即误差是⼀个⽆穷⼩量，⽆穷⼩量是个变⼩的过程，可能是序列，也可能是函数，⽽不能直接视作 0，那既然还是有误差，那么定积分是不是精确的呢？没有引⼊极限定义之前，定积分是不严谨的，定义极限的其中⼀个主要⽬的就是为了使原先那套不严谨的微积分严格化。
⽆穷⼩量与 0 ⽆法划等号，但是取了极限lim符号就⾏，即λ→0λ≠0limλ=0·积分形式和累加形式做⼀个⽐较：1）dx和 Δx都是⽆穷⼩量，绝对值表⽰⼩闭区间的长度，⽆限趋于0。
不同的是dx是⼀个⽮量，有⽅向，如果积分限a<b，则dx>0，否则dx<0，⽽ Δx是⼀个标量，为正，⼤⼩也趋于 0。
黎曼函数积分
黎曼函数积分
黎曼函数积分（Riemannintegral）是一个重要的数学概念，它是一个区间上的函数在该区间上的面积。
黎曼函数积分的定义是将函数在区间上分成若干个小的部分，每个小部分的面积可以用一个矩形来近似表示，然后将所有小矩形的面积加起来，接近于函数在该区间上的面积。
黎曼函数积分的计算需要将区间上的函数进行分割，每个小区间上的函数近似用一个常数函数，然后计算每个小区间上的面积，最终将所有小区间上的面积求和得到整个区间上的面积。
当区间上的函数不存在间断点时，黎曼函数积分是存在的。
而当函数存在间断点时，需要重新定义积分，例如勒贝格积分（Lebesgue integral）。
黎曼函数积分在科学和工程中有广泛的应用，例如用于计算曲线长度、计算概率分布函数、计算物理中的功率等。
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2009-11-27 黎曼函数的极限
黎曼函数的极限黎曼函数是指如下函数：*0,0,1(0,1)()1,(,,)x R x p x p q p q q q =⎧⎪=⎨=<∈⎪⎩或者内无理数既约分数,容易知道R (x )的定义域为[0,1]. 因为(0,1)内任意有理数都可以表示成p /q (既约分数,p <q ,p ,q ∈ *)，而任意一个数p /q (既约分数,p <q ,p ,q ∈ *)都表示(0,1)内的有理数.我们首先来了解黎曼函数的一个性质.定理1 对∀ε>0，使R (x )≥ε的x 只有有限个. (这里的有限个也包括0个. ) 我们只做简单分析，不做严格证明. 当x 不在[0,1]内时R (x )没有意义，从而也谈不上R (x )≥ε. 当x =0,1或者(0,1)内的无理数时，R (x )≥ε显然不成立. 当x 为(0,1)内的有理数时，x 可写成x=p /q (既约分数,p <q ,p ,q ∈ *). 容易知道R (x )≥ε时，有q ≤1/ε.再由q ∈ *可知q 只可能取有限个值，或者任何值都不能取. 又由于p <q ，p ∈ *所以p /q 可能的情况只有有限个. 于是使R (x )≥ε的x 只有有限个.我们再来了解有理数的一个性质.定理2 U o (p /q ;δ)内有理数的分母大于1/(q δ). (设有理数分母总为正整数) 证明 设x =(r /s )∈U o (p /q ;δ),那么|rq -sp |≥1,从而δ>|r /s-p /q |=|(rq -sp )/sq |≥1/sq ，从而s >1/(q δ).定理3 黎曼函数在(0,1)内任意一点的极限为0，在x =0处右极限为0，在x =1处左极限为0.证明 (1)x 0为[0,1]内的无理数. 任给∀ε>0.若(0,1)内不存在有理数使得R (x )≥ε. 那么取δ=min{|x 0|,|1-x 0|}. 就可以得到对∀x ∈U o (x 0;δ)有R (x )<ε. 这说明R (x )在x 0处的极限为0.若(0,1)内存在有理数使得R (x )≥ε. 根据定理1知道，这样的有理数只可能有有限个，从而也是可列个. 设这些使R (x )≥ε的有理数为x 1,x 2,…,x n . 那么取δ=min{|x 0|,|1-x 0|,|x 1-x 0|,|x 2-x 0|,…,|x n -x 0|}>0. 这样就可以得到对∀x ∈U o (x 0;δ)有R (x )<ε. 这说明R (x )在x 0处的极限为0.(2)x 0为(0,1)内的有理数.设x 0=p /q (既约分数,p <q ,p ,q ∈ *). 任给∀ε>0，取δ=min{ε/q ,|x 0|,|1-x 0|}. 若x 为U o (p /q ;δ)内的有理数，x =r/s (既约分数,r <s ,r ,s ∈ *). 由于x ∈U o (p /q ;ε/q ). 根据定理2得s >1/ε, 于是R (x )=1/s <ε. 若x 为U o (p /q ;δ)内无理数，则一定有R (x )=0<ε. 综合起来就是对∀x ∈U o (p /q ;δ)有R (x )<ε. 这说明R (x )在x 0处的极限为0.(3)x 0=0. 任给∀ε>0, 取δ=min{ε,1}. 若x 为(0,δ)内的有理数，x =r/s (既约分数,r <s ,r ,s ∈ *). 由于x ∈U o (0/1;ε). 根据定理2得s >1/ε, 于是R (x )=1/s <ε. 若x 为(0,δ)内无理数，则一定有R(x)=0<ε. 综合起来就是对∀x∈(0,δ)有R(x)<ε. 这说明R(x)在0处的右极限为0.(4)x0=1. 与(3)的证明完全类似，故从略.定理4 黎曼函数在有理点处不连续，在无理点处连续.由定理3的结论和连续的定义可以直接得到.。
黎曼函数的极限和间断点和可积性
为什么说在（0，1）中的每个有理点都是它的极大值点，每个无理点都是它的极小值点；该函数在每个有理点都不连续，在每个无理点都连续？
证明:
1)因为每个无理点都是最小值点，从而是极小值点
2)假设存在有理点x，x不是极大值点，则必有
任意小的a，R(x)在o(x,a)即x的邻域中找到点x0,使得
R(x0)>R(x).换句话说，绝对值任意小的a，存在整数r,s,使得(q/p-a)=r/s(s< p)根据分母比p小的有理数在一定的区间内只有优先个，不可能做到距离q/p 任意小，矛盾。
3)每个有理点不连续，是因为R(q/p)=1/p非0，而q/p的任意小的邻域必然包含无理点，函数值为0
4)无理点连续，是因为:任意一个无理点a，在a的任意小的邻域内含的有理点的分母必然极大。
（理由同2，小分母有理点具有区间有限性）
这个问题关键在于证明对于任意一个给定的无理数u,
那么对于任意一个给定的小正数e,存在一个u的领域(s,t)使得这个函数在此领域内取值都小于e。
我们取整数E>1/e,由于u是无理数，我们列出(0,1)中所有分母不超过E的有理数，由于是有限个，其中必然有两个h,g使得h<u<g,而且h和g之间没有分母不超过E的有理数。
于是我们取s=h,t=g,就可以知道u的领域(h,g)中所有点的这个函数的取值都不大于1/(E+1).
由此我们证明了函数在无理数点的连续性。
而证明所有有理数点都是极大值的方法完全类似
任何区间内分母不超过任意给定整数N的有理数（最简表示）都是有限的。
这个性质可以类似用来证明R（x）黎曼可��。
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4 Nε
将T的子区间分为两类: 含有满足 q ≤
ε
2
p 的 的有理点 ε q
2
和不含这样的点的． 前一类中
≤ 1 = ωk ≤ 1, q
后一类中 ωk =
q≤ 2
1 ε < . q 2
S1 = {k | [ xk −1 , xk ]
含有满足
p 的有理点 }; S2 = {1, 2,⋯ , n} \ S1. ε q
关于黎曼函数
黎曼函数定义
x = 0; 1 f ( x) = 1/ q x = p / q, ( p, q ) = 1, q > 0; 0 x ∉ ℚ.
1. 黎曼函数在有理点间断, 在无理点连续. (1)
∀ p ∈ ℚ, q
∃ε =
1 , ∀δ > 0, 2q
p p ∃x ∈ ( − δ , + δ ) \ ℚ : q q
p 1 1 | f ( x) − f ( ) |= > = ε. q q 2q
所以
f ( x)
在点
p q
间断.
(2) ∀x0 ∈ ℝ \ ℚ, 区间 ( x0 − 1, x0 + 1) 中的有理数 必满足 q p x0 − 1 < < x0 + 1, q ( x0 − 1) < p < q( x0 + 1). q ∀ε > 0, 满足 | f ( p ) − f ( x0 ) |= 1 ≥ ε 的有理数 p 必满足 q ≤
1 2
n
即: ∀ε > 0, ∃δ =
ε
4NεBiblioteka 2 k∈S24 Nε
2
, 对于
[0,1] 的任意划分T,
< ε.
只要 λT < δ , 就有 所以 lim ∑ ωk △ xk = 0, λ →0
k =1 n
∑ω △x
k =1 k
n
k
所以 f ( x) ∈ R[0,1].
p
p 的有理数 必满足 q q q 1 q ≤ , q ( x0 − 1) < p < q ( x0 + 1). 这样的有理数个数有限! ε 记这有限个有理数中与 x0 点最近的点为 x1 ,
中满足 | f ( p ) − f ( x0 ) |= 1 ≥ ε 令 δ = min(1,| x1 − x0 |).
| f ( x) − f ( x0 ) |< ε .
. 所以 ∀ε > 0, 区间 ε
1
q
q
q
( x0 − 1, x0 + 1)
则当 | x − x0 |< δ 时, 所以 lim f ( x) = f ( x0 ).
x → x0
2．黎曼函数在有界闭区间可积. 以区间 [0,1] 为例． 2 p q≤ ∀ε > 0, [0,1] 中满足 的有理点 个数有限, ε q 记此个数为 N ε . 取 δ = ε . 设 T = {xk }n =0 是 [0,1] 的一个划分, 满足 λT < δ . k 下面对 T 计算 ∑ ωk △ xk .
S1 = {k | [ xk −1 , xk ]
p 含有满足 q ≤ ε 的有理点 }; S2 = {1, 2,⋯ , n} \ S1. q
2
每个点至多属于T的两个子区间, 个数 ≤ 2 Nε .
所以第一类子区间的
ε
∑ ωk △ xk = k∑ ωk △ xk + k∑ ωk △ xk < ∑ 1△ xk + ∑ 2 △ xk k =1 ∈S ∈S k∈S1 k∈S2 ε ε ε ≤ 2 Nε λT + ∑ △ xk < 2 Nε + = ε.