子环,环的同态ppt3-5.

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3.5子环、环同态

事实上, xs ys ( xs ) ( ys ) ( xs ys )( 是S 到S的同构映射)
xs ys ( xs ) ( ys ) ( xs ys )( R中的定义) ( xs ys )( xs ys S ) xs ys
（平凡子环）
例2：一个环R的可以同每一个元交换的元作成一个子环,叫做环R的中心.
Байду номын сангаас
§3.5 子环、环的同态
二、环的同态及其若干性质
定理1：设R是一个环, R是一个不空集合, R有两个代数运算,一个叫做加法,一个叫做乘法.若存在一个R到R的满射,使得 R与R对于一对加法以及一对乘法来说都同态,则R也是一个环.
则规定的法则是 A 的加法和乘法, 且对于一对加法和一对乘法来说都是同构映射.
§3.5 子环、环的同态
(1)构造R S ( R S ); 证明： (2)作一个R 到 R 的一一映射;
(3)在R中定义两个代数运算,使得 R R ; (4)证明S是R 的子环.
R
S
§3.5 子环、环的同态
(1)作R S (R S ) {as , bs , cs , } {a, b, c, }.
§3.5 子环、环的同态
(2)规定：
RR
xs xs ( xs ), xs S , x x, x R S ,
则是R到R的一一映射.
R
S
§3.5 子环、环的同态
§3.5 子环、环的同态
定义：设R和R 是两个环,则称R和R同态（同构）,若满足
(1)存在满射(一一映射) : R R (2)保持运算(保持加法和乘法运算） ( x y ) ( x ) ( y )(x, y R );

子环,环的同态ppt3-5.

(1) ( a b) ( a) ( b) (2) ( a b) ( a) ( b)
如果既是单映射又是满映射,则称为同构，记作 : R R ,并称 R与R 同构.
2013-8-14 17:12
定理1 若 R 与 R 是各有两个代数运算的系统，且 : R ~ R ，则当 R 是环时，R 也是环. 定理2 若 R 与 R 是环，且 : R ~ R ，则 (2) ( a) ( a) (1) (0R ) 0R n n (3) (a ) ( (a)) (4)当 R 是交换环时，R 也是交换环； (5)当 R 是有单位元环时，R 也是有单位元环时，且 1R (1R ).
2013-8-14 17:12
1.一个环的非空子集S作成一个子环的充要条件：
a, b S , a b S , ab S
2.一个除环的非空子集S作成一个子除环的充要条件：（1）S包含一个不等于0的元
2a, b S ,
a bS
1
a, b S , b 0 ab S
a b c ab d 若a b c 若 ab d
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例4 设环
R {(a, b) | a, b Z },
(a1 , b1 ) (a2 , b2 ) (a1 a2 , b1 b2 ), (a1 , b1 )(a2 , b2 ) (a1a2 , b1b2 )
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问：同态环有无零因子传递吗？例1 R 为整数环，R 是模n的剩余类环
: a a
2013-8做成环. : (a, b) a, (a, b Z ) R 的零元是 (0, 0) ，而

近世代数3.5：子环、环的同态

具有同样多代数运算的代数系统间的同态结合律、可以保持相应的结合律交换律和分配律。可以保持相应的结合律、交换律和分配律。定理1（）：假定定理（ §1.8,P22）：假定，对于代数运算）：假定，来说，同态，那么，和来说， A 和 A 同态，那么，适合结合律，也适合结合律；（i）若适合结合律，）也适合结合律；适合交换律，也适合交换律。（ii）若适合交换律，）也适合交换律。定理2（都是集合A的代定理（ §1.8,P22）：假定， ⊕ , 都是集合的代）：假定，
近世代数
(Abstract Algebra)
授课教师：陈益智工作单位：惠州学院数学系
§3.5：子环、环的同态：子环、
近世代数代数系统带有运算的集合）（带有运算的集合）群环域
研究方法：研究方法：
（从内部入手） 1、研究其子系统、商系统从内部入手）、研究其子系统、子系统：子群、子环、子系统：子群、子环、子域商系统：商群、商环、商系统：商群、商环、商域 2、研究其同态和同构（从外部入手）、从外部入手）
数运算，的代数运算，同态，数运算，⊕ , 都是集合 A 的代数运算， A 和 A 同态，那么，适合第一分配律，也适合第一分配律；（i）若⊕ , 适合第一分配律，⊕ , 也适合第一分配律；）也适合第二分配律。（ii）若 , 适合第二分配律，⊕ , 也适合第二分配律。） ⊕ 适合第二分配律，
§3.5：子环、环的同态：子环、
教学目的：教学目的：
（1）掌握子环（子除环，子整环，子域））掌握子环（子除环，子整环，子域）的定义及其等价条件；的定义及其等价条件；（2）掌握环的同态及其若干性质；）掌握环的同态及其若干性质；（3）理解并能使用“挖补定理）理解并能使用“ ”; （4）掌握类比的数学思想. ）

近世代数课件-3-3_环的同态与同构

2020/4/27
18:19
一、环同态与同构的定义
注：
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一、环同态与同构的定义
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一、环同态与同构的定义
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一、环同态与同构的定义
2020/4/27
一、环同态与同构的定义
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二、同态的性质
近世代数
第三章环
环是具有两种代数运算的代数系，它也是近世代数的一个重要分支。
本章介绍环的一些初步理论。
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§3.3 环的同态与同构
对环进行比较，采用的主要工具是环同态和环同构，从而可揭示出两个貌似不同的环之间的某些共同性质，这是在环的研究中具有重要意义的基本观念和基本方法，同时也是实践性很强的一种基本要求。
本节教学目的与要求：了解环同态和同构的代数现象；了解环同态和同构的
代数传递性质和一些不能传递的代数性质；熟悉一些常用的彼此同态和同构的实例。
领会代数性质的传递是重点，掌握其中的定理证明方法是难点。
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§3.3 环的同态与同构
一.环同态与同构的定义二.环同态的性质三.同态象和同态核的定义
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三、同态像与同态核
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三、同态像与同态核
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作业：P83第1,4题
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说明如下：
二、同态的性质
2020/4/27
二、同态的性质
注
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二、同态的性质
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三、同态像与同态核
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三、同态像与同态核

环同态基本定理

6
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二、环同态的一些简单性质
定理3.5.1 设为环 R 到环R '的同态, 则 (1)(0R ) 0R' .（ 0R为 R中零元，0R为' R '中零元） (2) (na) n(a) ，n Z,a R . (3) (an ) ((a))n ，n N.
由定义可知, 环同态就是环之间保持运算的映射.
又如果同态映射是单映射, 则称为单同态
(monomorphism); 如果是满映射, 则称为满同态
(epimorphism), 此时, 称环 R 与 R '同态, 记作：
: R ~ R' ; 如果既是单同态, 又是满同态, 则称为
|S (s) (s) s s x 所以 |S 为满同态. 而
24
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Ker |S {s S |(s) 0}
{s S | s I} S I.
从而S I是S的理想, 且由环同态基本定理知, 有如
下的环同构
S /(S I ) (S I ) / I
因此, (e)是单位元, 由单位元的惟一性得(e) e' .
(2) 令r ' (e) , 则r ' 0 , 从而 r 'e' r ' (e) (ee) (e)(e) r '(e)
因为 R '无零因子, 所以消去律成立. 在上式两边消去r '
得(e) e'.
满同态, 则有环同构
%: R / Ker R'
证 (1) 记K Ker , 则为K 环R 的理想. 对任意

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环的定义与性质

定理8：R中非零元如果与n互素，则为可逆元；否则为零因子。证明：数论中互素的充要条件（m,n）=1 等价于am+bn=1。
思考题：R 中所有可逆元是否构成一个群？其阶是多少？（群论的应用中我们讲过）
更一般的，一个含幺环的全体可逆元对乘法构成群，成为环的乘群。
Euler 定理：n 是正整数，（a,n）=1, 则 a φ(n）=1
（4）证明思路：
用归纳法证明a1,a2,...,an 有
n
n
( ai )b j ai2,...,bm 有
于是
m
m
ai (b j ) aib j
j 1
j 1
n
m
n
m
nm
( ai )(b j ) ai (b j ) aib j
i1
j 1
i1 j1
i1 j1
数论中可以用既约剩余系的概念证明，这里我们可以用群的概念证明。
第四节除环
定义一个环Ｒ叫做一个除环，若１、Ｒ至少包含一个不等于零的元；２、Ｒ有一个单位元；３、Ｒ每一个非零的元都有逆元。
除环的性质
1、除环没有零因子 2、除环的特征只能为零或者素数。
一个交换除环叫做一个域。（我们将在下一章详细讨论）
3. 环与子环的单位元
设 S 是 R 的一个子环，当 R 有单位元时，S 不一定有；当 S 有单位元时，R 不一定有；即使两者都有单位元，此两单位元也不一定相同。
1、考虑 R为整数环<Z,+,·> ，S 为偶数环<2Z,+,·> 。 2、考虑 R为偶数环<2Z,+,·>， S为零环。 3、考虑实数环 R，S为零环，两个环的单位元不同。

同构及同态和环

不难验证f是G到Z上的同构映射。因此，GZ。
定义6.5.3 设G是一个群，若σ是G到G上的同构映射，则称σ为自同构映射。
自同构映射的最简单的例子就是恒等映射，称为恒等自同构映射。在恒等自同构映射下，群中每个元素都保持不变。下面再举几个自同构映射的例子。
第9页，本讲稿共48页
例6.5.6 设（Z，+）是整数加法群，令σ：n-n，nZ，
证明：因为N是正规子群，故Nb=bN，今设A=aN， B=bN，AB=aNbN=abNN=abN，所以AB是一个陪集。
第14页，本讲稿共48页
定理6.5.3 按照陪集的乘法,N的所有陪集作成一个群.
命σ：a→aN，则σ是G到上G的一个同态映射,其核为N.
证明：由σ引(a理)σ1，(bG)中=a乘Nb法N=封ab闭N ，映射σ使
第13页，本讲稿共48页
以上所述说明了:若σ是G到G′上的同态映射,则其核N为一正规子群。反过来，我们要问：设N是G的一个正规子群,是否有一个群G′以及一个G到G′上的同态映射σ,使N为σ的核？
回答是肯定的,下面造出如此之G′和σ。
引理1 设N是G的正规子群。若A，B是N的陪集，则 AB也是N的陪集。
是的。
证：因 -1(H’)表示H’在G中全体原象集，故在下再看象集必是H’。 (6)若H是G正规子群，则H’=(H)是G’正规子群。证：对任g’G’ 往证g’H’g’-1H’ 因为必有gG 使(g)=g’而 g’H’g’-1=(g)(H)(g)-1=(gHg1)=(H)=H’ 所以，H’正规子群。
则σ是R+到R上的1-1映射,且对a,bR+， σ（a·b）=log（a·b）=log a+log b
=σ（a）+σ（b）。故σ是R+到R上的同构映射。 Log x是以e为底的x的对数,若取σ(x)=log2x，或

环同态基本定理

环同态基本定理环同态基本定理（Fundamental Theorem of Homomorphisms on Rings）是代数学中的重要定理之一。

它描述了环同态的基本性质和结构，为进一步研究环同态提供了重要的理论基础。

我们需要明确环同态的概念。

一个环同态是指将一个环映射到另一个环的映射，且保持环运算和单位元。

换句话说，如果有两个环R 和S，一个映射f：R→S是一个环同态，当且仅当它满足以下条件：1. 对于R中的任意元素a和b，有f(a+b)=f(a)+f(b)；2. 对于R中的任意元素a和b，有f(a*b)=f(a)*f(b)；3. 对于R中的单位元素1，有f(1)=1。

基本定理的第一部分是关于环同态的核和像的性质。

核是指同态映射f中被映射到零元的元素的集合，即ker(f)={a∈R | f(a)=0}；像是指同态映射f中所有元素的集合，即im(f)={f(a) | a∈R}。

基本定理告诉我们，对于任意环同态f：R→S，其核和像具有以下性质：1. ker(f)是R的一个理想；2. im(f)是S的一个子环；3. f是一个单射（即f(a)=f(b)蕴含a=b）当且仅当ker(f)={0}；4. f是一个满射（即对于任意s∈S，存在r∈R使得f(r)=s）当且仅当im(f)=S。

基本定理的第二部分是关于环同态的陪集和同构的性质。

陪集是指对于环R的一个理想I，R中所有和I关于加法封闭的元素a的集合，记作a+I={a+x | x∈I}。

陪集的性质是：对于任意a、b∈R，a+I=b+I当且仅当a-b∈I。

同构是指一个双射的环同态，即既是满射又是单射。

基本定理告诉我们，对于任意环同态f：R→S，它满足以下性质：1. 对于R的任意理想I，f(I)是S的一个理想；2. 对于R的任意理想I，f的陪集a+I与f(a)+f(I)同构，即存在一个双射g：a+I→f(a)+f(I)，满足g(a+x)=f(a)+f(x)；3. 对于R的任意理想I，f是一个单射当且仅当f(I)={0}；4. 对于R的任意理想I，f是一个满射当且仅当f(I)=S。

§6.7 环同态(离散数学)

为整数环I，（）例. 设R为整数环，N=（m）=mI，则为整数环， a≡b（mod N） iff a=b+n, n∈N （） ∈ iff a=b+mk iff m∣a-b ∣ iff a≡b（mod m）。（） I的关于的陪集即是模的剩余类。的关于N的陪集即是模的剩余类。的关于的陪集即是模m的剩余类
主理想
定义. 是有壹的交换环， ∈ ，定义设R是有壹的交换环，a∈R，则 aR 是有壹的交换环称为由a生成的主理想，记为（）。称为由生成的主理想，记为（a）。生成的主理想显然，（）显然，（0）={0}，（1）=R。，（，）。结论5. 的主理想（）中包含a的理想结论环R的主理想（a）是R中包含的理想的主理想中包含中最小（在集合包含关系下）的理想。中最小（在集合包含关系下）的理想。证明：中包含a的任一理想证明：设N是R中包含的任一理想，往证是中包含的任一理想， ∈(a)， ∈ ，（a） N。任取 ∈( ，即x∈aR，则存在）。任取x∈( r∈R，使得 ∈ ，使得x=ar。由a∈N， r∈R，N是理想。 ∈ ， ∈ ，是理想，（a）知，ar∈N，即x∈N。所以，（） N。 ∈ ， ∈ 。所以，（。
理想的例
为整数环，是的子环且是I的的子环，例. 设I为整数环，mI是I的子环，且是的为整数环理想。因为：理想。因为： mI非空；非空；非空若a∈mI，b∈mI，则a-b∈mI; ∈ ， ∈ ， ∈ 若a∈mI，x∈I，则aх∈mI，хa∈mI。 ∈ ， ∈， ∈ ， ∈ 。
6.7.3 环同态与同构
定义. 是一个环, 是有加、定义设R是一个环 S是有加、乘两种运算的系统，称是一个环是有加乘两种运算的系统，中的同态映射， R到S中的映射是环R到S中的同态映射，如果到中的映射中的映射σ是到中的同态映射 σ(a+b)=σ(a)+σ(b)，σ(ab)=σ(a)σ(b)。，。 R到R’上有一个同态映射则称R与R’同态记为R～R′。上有一个同态映射,则称同态,记为若R到R’上有一个同态映射,则称R与R’同态,记为R～R′。定义. 是环R到上的一对一的同态映射上的一对一的同态映射，定义若σ是环到R’上的一对一的同态映射，则上的同构映射或同构对应。称σ是R到R’上的同构映射或同构对应。到上的同构映射或同构对应若R到R′上有一个同构映射，则称与R′同构，记为到 ′上有一个同构映射，则称R与 ′同构， R R′。 ′

4：环同态PPT课件

.
11
设σ是R到R′上的同态映射，R′的零0′的逆映象 σ-1(0′)叫σ的核。
定理6.7.3同态映射σ的核N是R的一个理想.设a′ 是R′的任意元素,则a′的逆映象
σ-1(a′)={a∈R∣σ(a)=a′}是N的一个剩余类。
证明：因为σ是R的加法群到R′的加法群上面的一个同态映射,所以σ的核N=σ-1(0′)是R的一个子群,且a′的逆映象σ-1（a′）是模N的一个剩余类。现在再证N做成理想，即证：若 a∈N,х∈R,则aх∈N,χa∈N, 事实上σ(aχ)=σ(a)σ(χ)=0′σ(χ)=0′, 故aχ∈N,同样可证χa∈N。
.
23
事实上，根据定理6.7.8和定理6.7.9，R∕N是一个域，必要而且只要R∕N是一个有壹的交换的单纯环，又根据定理6.7.7，对于有壹的环R∕N（环R∕N有壹,则R∕N中至少有两个元素,因之N<R ）,其为单纯环,必要而且只要N是R的一个极大理想.
规定σ（a）= a+N，则σ是R到R∕N上的一个同态映射，其核为N。
R∕N叫做R对于N的剩余环，前面定理6.7.1中（4），（5）所说的加法和乘法的同态性，其实是
说剩余环R∕N中的加法和乘法运算可由剩余类中的任意元素来确定，剩余类的运算与其中元素的特殊选择无关。剩余环R∕N有了这加法和乘法两种运算，就与环R同态。
证明：取F的任意理想N≠（0），则有a∈N,a≠0, 于是有a-1∈F。因为N是F的理想,故aa-1∈N，
即1∈N，因此，对于任意的χ∈F，有χ=1χ∈N，即FN。但自然NF，所以N=F。总之，F为单纯环。
定理6.7.10 设R是有壹的交换环，N是R的理想。于是，R∕N是一个域，必要而且只要N是一个极大理想。

Chapt21环与域资料

所谓环的零因子就是满足a≠0，b≠0但ab = 0的R 中的元素a，b。
所有实数的n阶方阵构成的环中就存在着零因子。例如，令n=2，则因为
01 01
11 00
=
00 00
故
0 0
2020/6/11
离散数学
8
乘积中负号可随意挪动
证明：∵a(–b)+ab = a(–b + b) = a0 = 0， ∴a(–b)与ab互为逆元，即a(–b) = –(ab)。
同理可得(–a)b = –(ab)。这个性质说明乘积中的负号(求加法
的逆元)的位置可以随意挪动。
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负元；
加法有逆元
(5)a(bc)=(ab)c
乘法满足结合律
(6)a(b+c)=ab+ac, (a+b)c=ac+bc 乘法对加法
则称R是一个环。
满足分配律
2020/6/11
离散数学
4
环的概念
环是具有两个封闭运算的非空集合；
其中加法具有结合律、单位元、逆元和交换律，因而是一个交换群；
而对乘法只具备封闭性和结合律。具有一种封闭且满足结合律的运算的非空集合称为半群，于是环对乘法构成半群。
等于它们的负元的乘积，即负负得正。
2020/6/11
离散数学
10
乘法对减法的分配律
证明： a(b – c) = a[b + (–c)]
= ab + a(–c)
= ab + (–ac)
= ab – ac。
类似地可证明(a – b)c = ac – bc。
性质(4)和性质(5)说明环中乘法对减法的左右分配律都是成立的。

子环,环的同态ppt3-5.

3.5子环、环同态

子环,环的同态ppt3-5.

近世代数3.5：子环、环的同态

近世代数课件-3-3_环的同态与同构

环同态基本定理

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环的定义与性质

同构及同态和环

环同态基本定理

§6.7 环 同 态(离散数学)

4：环同态PPT课件

Chapt21环与域资料

§6.7 环同态(离散数学)