几何概型的教学反思
《几何概型》教学设计及反思
《几何概型》教学设计及反思几何概型教学设计教学目标:知识与技能:(1)了解几何概型的概念;(2)会求简单的几何概型的概率问题(2、过程与方法:(1)在具体问题情境中，通过类比的方式经历几何概型概念和公式得出的过程;(2)在解决实际问题的过程中，探究应用几何概型解决问题的一般规律(3、情感态度与价值观:通过对几何概型的概念的学习，体会知识的形成;在应用几何概型解决数学问题的过程中，体会数学知识与现实世界的联系，培养学习数学、应用数学的兴趣和意识(教学重点:几何概型的概念及其应用(教学难点:几何概型的应用(教学方法:启发探究式教学法(教学用具:计算机多媒体教具(学情分析及教学内容分析:本节课是新教材人教B版必修3第三章第三节的第一课，它在课本中的位置排在古典概型之后，在概率的应用之前.我认为教材这样安排的目的，一是为了体现和古典概型的区别和联系，在比较中巩固这两种概型;二是为解决实际问题提供一种简单可行的概率求法，在教材中起承上启下的作用.通过最近几年的实际授课发现，学生在学习本节课时特别容易和古典概型相混第 1 页共 7 页淆，把几何概型的“无限性”误认为古典概型的“有限性”.究其原因是思维不严谨，研究问题时过于“想当然”，对几何概型的概念理解不清.因此我认为要在几何概型的特征和概念的理解上下功夫，不要浮于表面.另外，在解决几何概型的问题时，几何度量的选择也是需要特别重视的，在实际授课时，应当引导学生发现规律，找出适当的方法来解决问题.为了更好地突出重点，突破难点，我将整个教学过程分为“问题引入——概念形成——探索归纳——巩固深化”四个环节.教学过程:一、创设情境1、创设情境:同学们，前面我们学习了古典概型，我们一起来回顾一下，他有什么重要特征,每一个事件发生的等可能性和试验结果的有限性。
应用古典概型我们解决了很多问题，今天我们再看一个问题，现有一根90cm长的绳子，我随意从中间剪一下，问:剪的位置点有多少种可能的位置情况,无限个，在每一个位置剪都等可能吗,都等可能。
高中数学《几何概型》教案基于学科核心素养的教学设计及教学反思
从知识结构来看，本节核心内容是几何概型在高考中的常见题型和解题策略，可以成为“知识与技能、过程与方法及情感态度价值观”三个目标有机融合的重要载体，从而实现三位一体的课程功能。根据上述分析，我确定本节课的三维教学目标如下：
（一）知识与技能：
（1）体会几何概型的意义。
（2）了解几何概型的基本特点与古典概型的异同点、会进行中等难度的几何概型计算。
高中数学《几何概型》教案基于学科核心素养的教学设计及教学反思
基于学科核心素养的教学设计
课程名称：《几何概型》
姓名
教师姓名
任教学科
高中数学
学校
学校名称
Hale Waihona Puke 教龄8年教学内容分析
教学内容
本节主要内容是高三理科数学第二轮复习概率统计中的几何概型。概率这章的核心是运用数学方法去研究不确定现象的规律，让学生初步形成科学的态度，辩证的思想，随机的观念去观察分析研究客观世界的态度寻求并获取认识世界的初步知识和科学方法。本节课注重几何概型的建构，是一节复习课，同时也为应用数学解决实际问题提供了新的思想和方法。由于概率统计的应用性强，在数学课程中，加强概率统计的份量成为必然，是学生已复习古典概型的基础上的进一步发展，是等可能事件从有限向无限的延伸。对学生去全面系统的掌握概率知识以及辨证思想的进一步形成具有良好的作用。在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和数形结合思想，在高考中占有重要地位。
教学反思
（五）规律方法总结
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．
因此，本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律，另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。
几何概型的教学反思
几何概型的教学反思几何概型虽然课标要求较低，但“几何概型”这个概念的教学比较抽象，学生理解起来困难，遇到具体问题时，时常出错，而且不易找到错误原因．在教几何概型的知识时，应体现几何概型主要是要把概率问题与几何问题完美的结合，用数形结合的思想解决概率问题。
下面我谈一下对几何概型教学的一些反思．用生活事例增强概念的理解，培养了学生学习数学的兴趣．在轻松且愉快的教学情境中，学生学习“有用的数学”，应用数学解决了问题。
多媒体教学的利用，不但给学生一种活生生的生活情境，而且能够增大信息量，提升课堂效率．，把设置问题的难易适中．情景创设还要体现数学学科特色，紧扣教学内容，能够简单明了地让学生发现情景中蕴藏的数学内容和数学问题，激发学生的求知欲，达到启发积极思维的目的．二、关于例题教学的反思（1）例题教学要强调“对应点”人教A版几何概型是这样定义的：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个；它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，如果随机事件所在区域是一个单点，因为单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0。
所以，几何概型的教学中突出了“对应点”的思想．（2）. 例题教学要抓住“等可能”教学中，学生在把事件空间转化为与之对应的区域时，常常构造出错误的几何区域，往往是因为没有抓住几何概型中的等可能,应引起我们充足的重视．通过动画演示及理论探讨,使学生即直观又理性地理解到几何概型中的等可能性．（ 3）引导学生从多种表象中去自主归纳问题的本质。
通过例题来总结解题的一般方法，这样的处理能够让学生到达知其然，知其所以然的高度，为以后解决同类问题打开知识的窗口，把学生从题海中解放出来，使学生自主地去类比解决问题．有意识地引导学生从多种表象中去自主归纳问题的本质，再从问题的本质中探索内在的规律，从中不但能增强学生的创新意识和应变水平，而且能优化学生的思维品质，培养发现问题和解决问题的水平和素质，这将有助于协助学生注重数学内容的不同方面，有助于学生对新的知识产生深切的体会，有助于养成学生以不同的全新的视角去看待问题，这必将有助于学生对数学本质的探索和理解。
“几何概型”的教学设计与反思
“几何概型”的教学设计与反思几何概型是中学数学中的一个重要内容，涉及许多基本概念和定理，是学生发展空间想象和逻辑推理能力的重要途径。
在教学过程中，教师需要设计合适的教学活动，引导学生探索几何概型的规律，帮助他们建立正确的几何思维方式。
本文将就几何概型的教学设计进行探讨，并对教学实践进行反思。
一、教学设计1.目标确定在设计几何概型的教学活动之前，首先需要明确教学目标。
几何概型的学习旨在培养学生的空间想象力、几何思维和逻辑推理能力，使他们能够准确理解和运用几何知识。
因此，教学目标可以具体分为以下几个方面：掌握基本的几何概念和定理；培养学生的几何思维和逻辑推理能力；引导学生探索几何问题的解决方法；激发学生对数学的兴趣和学习动力。
2.教学内容几何概型的内容主要包括平面几何和立体几何两部分。
在设计教学活动时，可以从几何概念、基本定理、几何变换等方面展开，结合实际生活和学生的兴趣进行教学。
例如，可以通过日常生活中的建筑、工艺品等展示几何概念的应用，引导学生思考几何概型在实际中的意义。
3.教学方法在教学过程中，可以采用多种教学方法，如讲授、练习、讨论、实验等，以激发学生的学习兴趣和能动性。
同时，结合信息技术手段，如几何软件、虚拟实验等，可以提高教学效果，使学生更好地理解几何概型的内容。
4.教学活动设计在设计教学活动时，可以结合学生的实际情况和认知水平，采用多样化的教学活动形式，如小组讨论、角色扮演、实地考察等，以促进学生的全面发展。
同时，注重培养学生的问题解决能力和合作精神，引导学生主动探索几何概型的规律，提高他们的学习效果和学习兴趣。
5.评价与反馴在教学活动结束后，需要对学生进行综合评价，了解他们在几何概型方面的掌握情况和学习效果。
同时，教师需要对教学过程进行反省，总结教学活动的优缺点，找到不足之处并加以改进，以提高教学效果和学生学习质量。
二、教学反思在教学几何概型的过程中，我深刻体会到教学设计的重要性。
通过设计合理的教学活动，我能够更好地引导学生掌握几何概念和定理，培养他们的几何思维和逻辑推理能力，激发他们对数学的兴趣和学习动力。
几何概型的教学反思
几何概型的教学反思教学背景与目标评估在接受几何概型教学任务之前，我对这门课程的教学内容和学生的学习需求进行了评估。
通过针对学生的调查问卷和教学经验的总结，我得知学生普遍对几何概念的理解不深入，缺乏实际应用的能力，同时也缺乏对几何思维的培养。
因此，我的教学目标是通过教学活动，帮助学生建立起对几何概念的深入理解，并能够将这些知识运用到实际问题中。
教学策略和教学方法设计在教学策略和教学方法的选择上，我采用了一系列的常用教学方法，以帮助学生更好地理解几何概型。
首先，我采取了启发式教学法。
通过让学生自主探索和发现，引导他们发现几何概念的内在联系和规律。
例如，我设计了一个任务，要求学生用直尺和量角器绘制一个正五边形，通过实际操作，学生能够直观地感受到五边形的特点和性质。
其次，我结合了案例教学法。
通过讲解实际案例，让学生将几何概念与实际问题联系起来，帮助他们理解几何在现实生活中的应用价值。
例如，我选取了一道与建筑相关的问题，让学生计算出一个建筑物的倾斜度，并讨论该建筑物是否稳固。
此外，我还采用了探究式教学法。
通过提出问题和开放式讨论，引导学生主动思考和独立解决问题的能力。
例如，我设计了一个探究任务，让学生发现在一个三角形中，两边之和大于第三边的条件，并通过实际测量进行验证。
教学实施与反思在教学实施过程中，我注重学生的参与和互动。
我设立了小组活动的时间，让学生在合作中互相讨论、交流，共同解决问题。
这种互动让学生更加积极主动地参与到教学中，提高了他们的学习兴趣和学习效果。
然而，在教学实施中，我也发现了一些问题。
首先，有些学生在个别任务中表现得较为被动，缺乏主动性。
这可能是因为他们对几何概念的理解程度较低，导致他们对任务的完成感到困难。
为了解决这个问题，我在课后与这些学生进行了一对一的辅导，帮助他们理解和解决问题。
其次，我意识到在课堂时间的安排上需要更加合理。
有些教学任务占用了较多的课堂时间，导致其他任务的完成较为仓促。
高中数学《几何概型》教案基于学科核心素养的教学设计及教学反思
教师活动
预设学生活动
设计意图
1.创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。
教学重点与难点
几何概型的概念、公式及应用。
学科核心素养分析
通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法。
学生学情分析
本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力。
思考，回顾、讨论并回答
引入课题
板书设计
3、例题分析：
课本例题略
例1判下列试验中事件A发生的概度是古典概型，
还是几何概型。
（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；
（2）如课本P132图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。
高中数学《几何概型》教案基于学科核心素养的教学设计及教学反思
基于学科核心素养的教学设计
课程名称：《几何概型》
姓名
教师姓名
任教学科
高一数学
学校
学校名称3.1几何概型
教学目标
1.正确理解几何概型的概念；
2.掌握几何概型的概率公式：
P（A）=/；3.会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型。
教学反思
面积？长度？!——一堂“几何概型”课的反思
解 析 取 ａ＝２， ｂ ＝３， ｃ ７， 由余 弦 定 理得 ＝√
ｃ ｃ＝ １ 。ｓ
，
从而 ｃ＝６ 。 ０．
例 ２ 数 列
，
，
， ， …
的前
解析 取 ｆｘ ＝ ，符合 题意 ，选 Ａ． （）
一
（） 事件 “ ２设 甲在 ６０ ￣６４ 到达 ”事 件 “ ：０ ：５ ； 乙 在 随后一 刻钟 内到达 ” ，因 甲乙两人 到达某 地 的时 间
相 互 独 立 ， 故 甲 乙 能 碰 面 的 概 率 为
１
路 ．（ 案为 ，具体解答 这 里不再 赘述 ）然 而 ，这 答
乙、丙三人必能碰面， 此时Ｐ４ ： （ ） ÷；
（） ２ 设事件 “ 甲在 ６ ０ ： 到达” 事件 ： ￣６ ５ ０ ４ ； “ 乙在 甲到达后一刻钟 内到达” ；事件 “ 丙在乙
到达 后一刻 钟 内到达 ” ，因 甲、 乙、 丙三人 到达某地
的 时间相互 独立 ，故 甲、 乙、 丙能碰 面 的概 率为 尸 （ Ａ ） ｐＡ ）Ｐ（３ 尸 Ａ ）＝ ； ４ ＝Ｊ ２・ Ａ ）’ （ ４ （
行 了归 纳 ：直 接 法 、特 殊 法 、 图象 法 、 排 除法 和代 人验 证 法 ．直 接 法是 常 规 的 解题 方 法 ，图象 法 、 排 除法 、代 入验 证 法也 是 学 生 比较 容 易选 用 的判 断 方
例 ３ 若 双 曲线 ｚ Ｘ
一
：
１ 的半焦 距 为 ｃ，且 ，
成等 比数 列 ，则
２ ＋ ＋ ａ１ ０
Ａ． １
Ｂ． — １
—
Ｃ． — １
—
Ｄ． — １ ３
— —
２
高中数学教学课例《几何概型》课程思政核心素养教学设计及总结反思
力。
教学不仅仅只是单纯地讲授知识，丰富课堂活动，
提高学生的参与度，培养学生的学习兴趣，能够更好地
让学生体会数学知识中的来龙去脉。
高中数学教学课例《几何概型》教学设计及总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《几何概型》
称
本节内容学生相对于前一节的古典概型理解难度
教材分析 增加，主要要让学生正确理解几何概型的概念和意义，
掌握几何概型的概率计算公式．
1．了解几何概型的基本概念、特点和意义；
教学目标
2．了解测度的简单含义；
3．掌握几何概型的概率计算公式．
对于几何概型，对测度的正确理解至关重要，由于
很多时候遇到的问题比较抽象，学生比较难于理解，经
学生学习能 常会不知道将问题进行转化，测度的选取不合理，教学
力分析 过程中，需要注意引导学生正确理解几何概型的概念，
掌握几何概型的基本特点，会将概率问题成功转化为相
应的测度之比。
1、清楚讲解几何概型的概念及其意义，得出几何
一般地,在几何区域 D 中随机地取一点，记“该点 落在其内部一个区域 d 内”为事件 A，则事件 A 发生的 概率：
二、数学运用 例 1 两根相距 8m 的木杆上系一根拉直绳子，并在 绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于 3m 的概率． 例 2 取一个边长为 2a 的正方形及其内切圆，随机 向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率 反思总结:经过两个例题的练习和讲解，进一步让
学生理解几何概型的意义以及学会公式的运用。
三、课堂总结:
1、几何概型的概念及意义
2、几何概型的特征
3、几何概型的概率计算公式
高中数学_优质课课堂实录几何概型教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计一、教学目标1、知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握理解几何概型的概率公式；（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型。
2、过程与方法：通过解决具体问题的实例去感受几何概型的概念，掌握基本事件等可能性的判断方法。
3、情感、态度与价值观：通过师生的共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力和严谨的思维习惯。
二、教学重难点重点：理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率。
难点：几何概型的判断及其概率公式的选择。
三、教学方法本节课以观察归纳为主线，采用“引导发现、归纳猜想”为主的教学方法；以“探究性问题和导向性问题解决”作为教学路径，利用多媒体辅助教学手段。
教学中，创设问题情景，引导学生发现解题方法，展示思维过程，总结解题规律，提高学生综合应用知识能力、分析问题和解决问题的能力。
四、教学过程归纳总结形成概念导引1如图，转盘上有8个面积相等的扇形．转动转盘，求转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率。
问题1：导引1 中的试验可能结果个数有多少个？这个试验是否是古典概型？答：指针落在阴影的位置有无限多种可能，所以试验的可能结果有无限多个，所以不是古典概型。
问题2：在导引1中，指针落在转盘上的任意一个位置的可能性是否相等？用什么量来衡量指针落在阴影部分的可能性的大小？指针落在阴影部分的概率分别为多少？答：转盘停止时指针落在转盘上的哪一个位置的可能性是一样的；用阴影部分面积与总面积之比来衡量；所求概率为48＝0.5.教师提出问题，学生回答。
利用问题意识，增强学生的学习动力，体会几何概型与古典概型的区别。
导引2 在ml500水中有一只草履虫，现从中随机抽取ml2水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率。
问题3：导引2中的试验结果个数有多少？这个试验是否是古典概型？答：由于取水样的随机性，所以试验结果的个数有无限多个，因此这个试验不是古典概型。
人教版高中数学必修三 第三章 概率 “几何概型”教学设计与反思
《几何概型》教学设计突出内涵揭示关注知识建构——“几何概型”教学设计与反思摘要：几何概型是继“古典概型”之后的又一类等可能概率模型，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸.本节课学生通过对丰富而具体的实例的观察、分析、抽象、概括，亲历几何概型的概念建构过程, 并在运用中进一步理解概念，培养学生的思维能力，提高学生的建模能力.关键词：几何概型；基本事件；等可能概率模型2012年11月，笔者有幸参加了中国教育学会中学数学教学专业委员会组织的第六届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动，进行了课题为“几何概型”的教学展示，获一等奖并被评为最优秀展示老师.赛后，笔者对这节课进行了回顾与反思，认为要上好一节数学概念课，前提是教师要在理解数学、理解学生、理解教学的基础上进行教学设计，围绕数学概念的核心展开教学.一、教学内容解析《几何概型》是苏教版高中数学必修3第三章3.3节(第1课时)的内容，是在学生学习了概率的统计定义和等可能定义之后学习的. 它是在古典概型基础上的进一步发展，是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸. 本节内容作为“一个未来公民的必备知识”，充分体现了新课程以人为本的理念.学好几何概型，对学生全面系统地掌握概率知识及辩证思想的进一步形成具有重要作用.几何概型的关键是寻找合理的几何模型，通过建立无限个等可能基本事件与几何模型中特定区域的对应关系，用几何区域的测度刻画无限个等可能基本事件，达到求解相关概率问题的目的，体现了抽象概括建立模型的思想方法和数形结合的思想方法，是概率问题与几何问题的一种完美结合.基于以上分析，本节课的教学重点确定为:几何概型概念的建构和建立合理的几何模型进行简单的几何概率计算.二、教学目标设置结合《普通高中数学课程标准（实验）》对几何概型的教学要求：“初步体会几何概型的意义，会进行简单的几何概率计算”，立足学生的思维水平和认知特点，本节课的具体教学目标确定为以下三点：1.通过对具体实例的观察和分析，了解几何概型的两个基本特点，并会判断实际问题中的概率模型是否为几何概型.2.经历几何概型的概念建构过程, 感受数学的拓广过程，体会从感性到理性的思维过程，提高数学归纳能力和数学抽象能力.3.会通过建立合理的几何模型进行简单的几何概型概率计算, 注重建模过程，体会数形结合思想.说明：一节数学课的教学目标，应当是以学生为主体，以具体的数学知识、技能为载体，在教学过程中开展数学思想、方法的教学，渗透情感、态度和价值观的教育.教师要摒弃对“高、大、全”的“三维目标”的简单罗列，要结合具体的教学内容及其特点设置恰当的课堂教学目标，才能实现有效教学，否则课堂将不堪重负.三、学生学情分析初中教材中已涉及到个别简单的几何概型问题，学生凭借直觉与生活经验能把问题的结果计算出来，但缺少从数学的内部对问题本质的理解.本节课的教学目的也正是在学生已有认知的基础上对概念的完善与系统化.在本章中，学生已经学习了概率的统计定义和古典概型，掌握了两种计算随机事件发生概率的方法:一是用频率估计概率；二是用古典概型的公式来计算概率.在《古典概型》一节中学生已经会把事件分解成等可能基本事件，知道它的两个特点是等可能性和有限性，并经历了从基本事件的角度建构了古典概型的定义和概率计算公式.类比古典概型，通过分析基本事件，学生容易知道几何概型中基本事件的特点是等可能性与无限性.但学生对无限个等可能基本事件的量化具有困难，需要教师引导.在运用公式解决实际问题时，选择合适的模型，将实际问题转化几何概型问题对学生来说比较困难.笔者所在学校为农村普通高中，招收的学生大部分基础薄弱，自主学习能力较弱.进入高一，虽然能领悟一些基本的数学思想与方法，但还没有形成完整、严谨的数学思维习惯，对问题的探究能力也有待培养.基于以上分析，本节课的教学难点确定为:几何概型概念的建构及解决实际问题时如何从背景中确定特定几何区域及其测度.四、教学策略分析本节课结合启发式教学原则，采用学生探究与教师讲授相结合的教学方法，结合多媒体辅助教学.前苏联数学家斯托利亚说过：“积极地教学应是数学活动（思维活动）的教学，而不是数学活动的结束——数学知识的教学.”因此，教学中通过让学生对丰富而具体的实例的观察、分析、归纳、抽象，亲历几何概型的概念建构过程,使学生经历对事物从特殊到一般，从具体到抽象，从感性到理性的认知过程，逐步养成透过事物的表象把握本质的思维方法，培养学生的理性思维能力、抽象概括能力和数学建模能力.为突破难点，在概念建构过程中结合分析内容形成框图，利用框图直观地表示无限个等可能基本事件与几何模型中特定区域的对应关系，有助于学生理解概念，并为在实际应用中合理建模打下基础.五、教学过程1.情境导入，激活思维情境1取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机地向正方形内投一粒米，假设米粒能落在正方形内任意一点且米粒的面积不计，求米粒落入圆内的概率．（人教版九年级数学上册P147试验与探究）问题1：请解答并说明解答依据.教学预设：学生用内切圆与正方形面积之比表示所求概率，但无法说出这样计算的理论依据.【设计意图】“米粒问题”是教材上的例1，但初中教材选学部分就已经出现过这个问题，本着紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发的教学原则，笔者创造性地使用教材，将这个问题作为了导入情境.事实上，学生凭借直觉与生活经验能够用内切圆与正方形面积之比表示所求概率，但却缺少从数学的内部对问题的理解.以此作为导入情境，有助于激发学生的探求欲望，促使学生对问题由感性认识转向理性思考.问题2：这样计算究竟是否合理呢？我们不妨先来回顾一下已有哪些求随机事件概率的方法？教学预设：通过问题让学生回顾已有的两种计算随机事件概率的方法：随机事件概率的统计定义和古典概型概率计算公式.教师追问两种概率计算方法的注意点，强化古典概型计算公式的使用条件，即古典概型中基本事件满足等可能性和有限性两个特点.【设计意图】必要的复习铺垫能有效地帮助学生回忆学习新知所需要的相关旧知.在学生无法回答情境1的解答依据时，通过引导他们回顾已有求随机事件概率的方法去寻找理论支撑.虽然已有的两种方法不能解释答案的合理性，但为接下来从数学内部研究情境1提供了“先行组织者”，学生可以类比古典概型的研究思路对此进行探究.2.合作探究，启迪思维问题3:你准备从什么角度对情境1展开分析？教学预设：通过教师追问，引起学生思考.生：我们也从基本事件角度对情境1展开分析.师：具体分析哪些问题？生：①试验中每一个基本事件是什么？②每个基本事件是否等可能？③所有基本事件共有多少个？④指定事件中有多少个基本事件？师: 请大家就以上4个小问题对情境1展开分析.（教师等待，学生思考）生：试验中的一个基本事件应该是米落在正方形内的一个点，每一个基本事件的发生都是等可能的，这样的基本事件共有无限个，指定事件含有的基本事件也是无限个.师：是古典概型吗？生：不是，古典概型中所有的基本事件只有有限个，而这里是无限个.师：那我们就无法用数值来表示基本事件的个数m 和n 了.那它与古典概型有相同之处吗？ 生：有，每一个基本事件的发生都是等可能的.【设计意图】引导学生从已有知识经验出发，类比熟知的古典概型问题，从基本事件的角度出发对问题1进行分析.通过分析发现此问题仍是一个等可能模型，不同于古典概型的是基本事件的个数由有限个变成无限个，无法用数值刻画，从而形成认知冲突.问题4：如何刻画不易计数的无限个等可能基本事件？教学预设：教师引导学生分析，每个基本事件与正方形内一个点对应，所有基本事件与正方形内所有的点对应即与正方形对应，指定事件与内切圆对应，从而用内切圆与正方形的面积之比合理地替代了基本事件的个数之比，解决了无限性无法计算的问题.教师强调之所以能这样对应，是因为每个基本事件都是等可能的，也即每个基本事件所对应的点在正方形内是均匀分布的.结合分析过程，教师在黑板上板书上述对应关系:A 事件包含的基本事件数内切圆的面积基本事件的总数正方形的面积【设计意图】这个问题对学生来说具有难度，这时需教师及时作出引导.教师通过引导学生分析得到基本事件与点对应，所求事件与几何图形对应，从而用几何图形的面积之比合理地替代了基本事件的个数之比，说明计算方法的合理性，让学生初步感知到以形代数、数形结合的思想方法，同时为后面形成几何概型形式化的定义做铺垫.问题5：你有办法验证结果的正确性吗？教学预设：学生提出验证的试验方案与试验注意点，教师多媒体演示投米粒试验，师生合作验证计算结果的正确性.【设计意图】尽管问题4的处理过程说明了用面积比表示概率是合乎情理的，但初次接触几何概型的学生对此还是缺乏一定的认同感的.这时利用学生已经掌握的另一种求解随机事件概率的方法，即通过多媒体演示投米粒实验，用频率估计概率，来进一步验证了计算结果的正确性，使学生体会到推理成功的喜悦，使数学的严密性得到保证.问题6：请同学们观察试验，当投到正方形内的点数足够多时，你有什么发现？教学预设：通过观察，学生发现这些点几乎把整个正方形填满了，进一步体悟到所有的基本事件与正方形相对应的合理性，并再次感知数形结合思想.教师追问：将情境1中的红色区域改变形状、移动位置,概率发生变化了吗?改变红色区域的大小呢？由此你能发现什么？【设计意图】通过对试验的观察以及情境中几何图形的变化，引发学生对几何概型本质特征的思考，帮助学生理解“事件A发生的概率只与红色区域的面积成正比，而与其位置、形状无关”.在整个对情境1的分析过程中，教师始终以“问题串”为载体，引领学生经历猜想，推理到验证的研究过程.问题7：请参照情境1的研究思路对情境2和情境3进行分析.情境2取一根长度为3m的绳子，将绳子拉直后, 在绳子上随机选择一点, 在该点处剪断.那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？情境2 情境3情境3一个棱长为20cm盛满水的正方体水池中有一个病毒, 病毒可能出现在水池中的任意一个位置, 它距离水池底不超过5cm的概率是多少？教学预设：学生自由选择情境，类比情境1展开分析，给出解答并说明理由，学生相互予以点评.教师结合学生分析进行板书.【设计意图】情境2、情境3分别是以长度之比、体积之比表示概率的，采用不同的度量量之比，目的是给予学生更丰富的体验.在这两个情境的探究过程中，始终将对“基本事件”的分析作为解决概率问题的着眼点，进一步从等可能性、无限性两方面来区别古典概型与几何概型，深化学生对几何概型基本特征的体会.3. 抽象概括，建构概念从教育心理学的观点出发，概念教学的核心就是“概括”.因此，在突破概念建构这个难点时，笔者采取的第一个策略就是让学生在已有分析的基础上进行概括.第二个策略是结合学生概括内容进一步完善框图，利用框图直观的表示无限个等可能基本事件与几何模型中特定区域的对应关系，有助于学生理解概念，并为在实际应用中合理建模打下基础.问题8：请结合前面的分析,总结三个试验具有的共同特点.教学预设：先以活动小组为单位进行组内交流，然后小组代表总结发言.教师结合学生的分析，引入测度的概念，并完善框图，将无限个等可能基本事件与几何模型中区域的对应关系直观体现：至此，几何概型的特点、几何概型的概念和概率计算公式都经由学生的观察、分析、归纳、抽象，自然形成.（1）几何概型中基本事件的特点：每个基本事件的发生都是等可能的；所有的基本事件有无限个.（2）几何概型的定义：对于一个随机试验:每个基本事件可以视为从某个特定的几何区域D 内随机地取一点，且区域D 内的每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．用这种方法处理随机试验，称为几何概型.（3）几何概型的概率计算公式：()d P A D =的测度的测度. 结合对三个情境的分析，指出： ①D 的测度不能为0；② “测度”的意义依D 确定；③ 事件发生的概率与d 的形状和位置无关.【设计意图】通过让学生对丰富而具体的实例的观察、分析、归纳、抽象，亲历几何概型的概念建构过程,使学生经历对事物从特殊到一般，从具体到抽象，从感性到理性的认知过程，逐步养成透过事物的表象把握本质的思维方法，培养学生的理性思维能力、抽象概括能力.几何概型的定义是一种描述性定义，涉及的文字较多，新名词较多.教学过程中通过以活动小组为单位进行组内交流，并辅以框图，可以使学生在熟悉概念定义的每一个“构建”基础上自然生成定义. 只要学生理解了、抓住了概念的本质就可以了，不要死记硬背定义，不必字字合于教材.4. 数学应用，升华概念数学概念学习理论已揭示：概念只有在运用中才能得到真正的理解.因此，概念运用的价值不仅仅为了巩固概念，最为重要的是为了理解概念.笔者根据教材和学生的实际，适当改造和增补例题与练习，讲练结合，注重引导学生对解题思路和方法的总结，逐步提高思维的层次，深化学生对概念和公式的理解，培养学生的思维能力，提高学生的建模能力.例1 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm.运动员在70m 外射箭.假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？教学预设：学生分析试验中的基本事件及其特点，判断该问题为几何概型，确定D ，d 区域及测度.教师板书示范解题过程，并引导学生归纳解题步骤：记→判→算→答.【设计意图】例1是对所学概念和公式的一个简单应用.其形式与情境1类似，但学生对问题的认识已由感性上升至理性，开始尝试着运用所学理论从数学内部对问题展开分析和解答. 解题步骤的归纳让学生体会规范的书写是思维过程的完美再现.练习 在1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL ，其中含有麦锈病种子的概率是多少？教学预设：学生独立完成，教师点评.学生总结解决几何概型问题的分析思路：分析基本事件，根据基本事件的特点确定概型，如果是几何概型，再确定区域D 和d ，最后确定他们的测度.【设计意图】练习题中的背景没有例1直观，需要学生理性分析，抽象出基本事件对应的几何区域，有助于学生养成透过事物的表象把握本质的思维方法.例2 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率.例2图 变式图教学预设：学生判断出点M 落在斜边AB 上的每一点都是一个基本事件，由于在斜边AB 上任取一点M ，所以基本事件具有等可能性和无限个的特点，这是一个几何概型.线段AB 是区域D ，在线段AB 上存在一个特殊的点C ',使得A C '=AC ，线段A C '就是区域d .教师提问：如何确定点C '？学生AB. A B M C判断：以A 为圆心，AC 为半径作弧，与AB 的交点就是C '.问题9：请同学们比较例1和例2 ，哪个问题简单点？为什么？【设计意图】例2中的区域d 需要学生确定，这是建模的一个难点.这里通过对两个例题的比较，提炼出“确定区域找临界”这一方法，从而突破了这个难点.变式探究 在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ABC 内部任取一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM 小于AC 的概率．教学预设：学生可能出现两种不同的解法.解法一：同例2，因为在∠ACB 内部每作一条射线CM ，都会与斜边AB 产生一个交点，射线CM 与斜边AB 的每一个交点就是一个基本事件，都是等可能的……所以区域D 是线段AB ，区域d 是线段AC ',他们的测度是长度，概率P(E)= AC AB '解法二：每一个基本事件就是在∠ACB 内部任作一条射线CM ，他们都是等可能的.所以区域D 是，当这条射线作在ACC '∠内时，事件发生了，区域 d 是ACC '∠.他们的测度应该是角度，概率P(E)=ACC ACB '∠∠ =34. 引导学生通过合作交流的方式来发现问题，使学生在讨论中互相纠错，进而得出正确解法.教师适时辅以多媒体演示，说明在∠ACB 内等可能的取射线不能等价于在斜边AB 上等可能的取点.强调解决具体问题时不仅要关注试验中的每一个基本事件是什么，更主要的要看每一个基本事件的发生是否等可能的.【设计意图】变式设置的目的让学生在理解概念及其反应的数学思想和方法的基础上，对细节问题、变化的问题进行深入思考，加强学生对几何概型本质的进一步认识，形成严谨的数学思维习惯.而通过对这两个背景相似而基本事件不同的问题的对比研究，可以引导学生发现当等可能的角度不同时，测度不同，其概率值也会发生改变，从而突破确定测度这一难点.5.回顾小结，理清脉络问题10：通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？学会了哪些方法？经历了怎样的研究过程？获得了什么体会？你还有什么疑问？教学预设：学生思考，回答，教师适当点拨，补充.【设计意图】通过问题串引领学生进行回顾总结，归纳本课内容，提炼思想方法，总结学习经验，并将所学知识纳入已有知识体系，使学生在头脑中形成关于本课内容的一个清晰的知识结构.6.分层作业，延伸思维（略）六、设计反思本节课在展示时受到较高的评价，与课前的精心设计是密不可分的.本节课的设计主要体现了如下的特点：1.体现了过程性----数学教学的本质数学思维研究中主要问题是问题解决，而问题解决的核心又是对概念的深刻理解.这就要求学生不仅仅学习概念的知识---形式化的结论内容，而且必须学习概念的产生过程与运用过程.在本节课的教学设计中，教师通过提供丰富而具体的情景，让学生主动地进行观察、猜想、推理、验证、概括与交流，亲历了几何概型概念的形成与发展过程，促进了学生对概念本质的理解.2.体现了问题性----课堂教学的关键著名教育家陶行知先生说：“发明千千万，起点是一问.”这里提出了课堂教学的问题性.在本节课的教学设计中，教师通过对教材的二次开发，设计出恰时恰点，能触及学生的“最近发展区”,使学生“跳一跳就能摘到桃子”的问题.教学中以“问题串”为载体，以问题引领教学，以问题驱动学生主动参与知识建构、合作探究，实现了课堂教学的有效性.3.体现了主体性----实现目标的保障传统的教学侧重于教师“教”的设计，不利于学生思维的发展.数学学习的本质是学生的再创造，学生才是课堂的主体.本节课中，教师充分关注了学生已有的知识背景、生活经验以及思维特点，并以此为教学起点进行教学设计.教学过程中，教师为学生搭建了有层次的学习平台，无论是探究分析、建构概念还是数学应用，都能做到放手让学生自主活动，为学生思维能力的发展提供了保障.当然，课堂是开放的，在以学生为主体、以问题为载体、追求过程性的数学课堂上，生成是必然的.但预设是生成的基础，没有高质量的预设，就不可能有精彩的生成.只有在“精心预设”的前提下，才能追求课堂教学的“动态生成”，才能切实搞好“思维的教学”.参考文献：[1]章建跃.理解数学理解学生理解教学[J].中国数学教育（高中版），2010（12）：3-7.[2]徐新民.数学课堂教学的核心：过程性、问题性、主体性[J].基础教育参考，2011（11）：33-37.[3]李善良.现代认知观下的数学概念学习与教学[M].南京：江苏教育出版社，2005.。
《几何概型》教学设计及反思.doc
《儿何概型》教学设计及反思—、授课对象本节课教授的是竹溪二中高二（6）理科班的学生，基础比较薄弱，学习习惯不太好，学习方法不好或者没有，但思维比较灵活，经激发后也有一定的思辨能力。
二、教材分析本节课是在学生按照《儿何概型》的导学案自学预习了一节课以后，进一步对与长度有关的几何概型、与面积有关的几何概型、与体积有关的几何概型中D测度和d测度的确认方法进行讨论。
几何概型是新课改以后新加入的内容，是与以往教材安排上的最大的不同之处。
这充分体现了新课改强调的数学与实际生活的紧密关系，是学生思维从有限到无限的自然延伸。
同时它在概率论中有非常重要的作用.本节课有利于学生动手试验、合作探究能力的提升，有助于提高学生发现问题、解决问题的能力，有助于增强学生数学知识在实际问题中的应用。
《普通高中数学课程标准》对几何概型的教学要求指出：介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义。
历年高考说明中要求：了解几何概型的意义。
可见大纲、考纲对几何概型的教学要求都比较低。
教科书中选的例题也是比较简单的。
但是执教过几何概型这部分内容的教师，却有这样的感受：“儿何概型”这一概念的教学比较抽象，学生理解起来困难，遇到具体问题时，时常出错，主要是对题目的理解上出现问题。
三、教学目标知识与技能目标：1.能说出儿何概型与古典概型的区别。
2.能记住儿何概型的定义及其特点。
过程与方法目标：1.会用几何概型的概率公式解决与长度、面积、体积等有关的概率问题。
2.培养学生的阅读能力，通过仔细辨析题目中间每句话，以至于每个字的含义，提升学生理解分析题目的能力。
情感态度与价值观目标：1.通过本节课数形结合，比较辨析的方法，希望能使学生认识到数学学习并不是完全呆板的，体会到学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣。
2.了解均匀随机数产生的方法与意义，理解模拟试验估计概率，会用模拟试验估计几何概型的概率。
四、教学重难点重点：体会随机模拟中的统计思想；用样本估计总体。
几何概型反思25
几何概型----教学反思首先通过回顾旧知，通过引用教材中问题，让学生参与活动，在对比分析过程中，激发学生的学习兴趣，使其初步感受从有限到无限，从古典概型到几何概型的过渡，同时也在学生的思维中呈现了“长度”“面积”这一几何测度，引出课题—几何概型。
在此教学环节中，我将旧知识的检查有机融合在学生对新知识的探求过程中，力求新知导入的自然、快捷、高效。
实例能让学生在感受数学源自生活的同时，体会已有知识不足以解决新问题的“窘迫”，从而产生内源性的驱动力，极力参与到概念的构建、形成、巩固和应用等环节中，提高主体参与的深度与广度.为了让学生更好地把握几何概型的本质，教学时着重强调“每个事件的发生可以看成在某个特定区域上取上一个点”和“等可能性”，突出问题的几何特性和随机性，这样不但可以“几何概型”中的“几何”一词来头，而且在遇到相关的几何概型实际问题时有“抓手”，能自觉将问题转化成找“点”、找“点所形成的区域”，从而自觉把实际问题抽象成几何问题．这主要体现在例题和练习反馈教学中.总之，本节课的设计始终以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现以及学生对所学知识的主动建构．教学中电子白板、多媒体辅助对提高课堂效率和帮助学生认识数学的本质起到很好的作用.1.本案例成功之处本案例较为成功地展示新课程下高效课堂的教学模式（1）注重利用电子白板，多媒体辅助进行教学，让课堂的容量更大，课堂节奏更紧凑，学生参与更积极，教学内容显示更直观，师生互动更强烈，课堂效率大大提高。
（2）体现学生的主观能动性和探究性本着“以学生的发展为本”的教学、设计理念，设置了一系列的问题，循循善诱，不断让学生思考探究，与学生进行交流，让学生通过自身的思考与合作学习来获取知识与技能、掌握过程与方法、学会交流与合作．（3）重视科学思想与科学方法的教育从一些实际生活出发，创设问题情境引入课题，激发学生学习数学的兴趣．在本案例的教学过程中，能放手让学生自主探究，有利于培养学生分析、解决问题的能力．2.本案例的不足之处及改进(1)由于学生探究过程需要留出较多时间进行活动，有些学生事先没有作充分的准备，不太会讨论．（2）由于没有对小组内各个成员进行责任分工，导致在探究的整个过程中出现了小组内个别“能干”的学生唱主角，个别学生“无事可做”甚至讲闲话，没有更好地人人参与．建议小组内每个成员分配具体任务，这样可提高讨论探究的效率，使每个学生既能各行其是，又能合作学习．。
几何概型教学反思
3.3.1几何概型教学反思本节课是必修3第三章《几何概型》的第一课时，在前面学生已经对古典概型有了一定的了解，形成了概率的概念，本节课的重难点主要是对几何概型的计算公式及其应用，主要是对测度（长度、面积、体积等）的理解和应用。
本节课中从复习古典概型的概念和一般步骤入手，从剪绳子的引例出发，教师引导学生找出基本事件，并体会有无数种结果，是否等可能，从而引出几何概型的概念、特点和计算公式。
之后比较两种概型的异同点，在区域内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关。
在教学过程中，我都能通过题目让学生体会与理解，从而转化为一种意识。
在题目中，我还特别强调注意解题格式，要叙述清楚到位。
本节课采用了类比的思维方式，让学生明确古典概型与几何概型的异同。
在启发式教学方式的引领下，以问题串的形式开启学生思维之门。
通过课后检测，发现本节课学生的学习效果比较不错.我认为本节课有以下五个方面做得比较成功.1．通过具体的问题情境引入，容易激发学生的学习兴趣和求知欲；2．通过与古典概型对比，产生矛盾，促使学生迫切想去探求解决问题的方法；3．分解难度，将抽象的概念“解剖”，易于理解；4．问题设置层层递进，由浅入深，有层次、有目标地解决各个难点，符合学生的学习规律；5．本节课中所体现的类比思想、转化思想等将会对学生的思维发展有所帮助。
本节课的不足之处在于教师做的准备工作太多，问题设置得过于紧密，使得学生发挥的空间不够.如何设计问题才能使学生的思维更活跃，不仅能认识问题、解决问题，还能创设问题？这也是我一直在思考的。
从本节课的教学过程来看，我觉得思路还是比较清晰的，教学过程比较流畅，但在有些小细节方面还值得多钻研，比如在板书的设计方面、语言可以更简练些、还可以让同学更多的发言，交流更广些，这是在以后的教学中要注意的，总的来说，圆满完成本节课的教学任务，教学效果良好。
关于“几何概型”教学的思考
㊀㊀㊀㊀㊀关于几何概型教学的思考关于 几何概型 教学的思考Һ张㊀银㊀（江苏省华罗庚中学，江苏㊀常州㊀２１３０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ随着信息技术的不断发展和迅速普及，概率论和统计的相关知识在生产生活中越来越重要． 几何概型 的知识点是新增的数学教学内容．目前的数学课程标准要求学生能够初步理解几何概型的概念，并利用概念和公式进行基础的几何概率计算，虽然总体要求不高，但是教师仍然应该予以重视．事实上，目前关于几何概型的教学存在着一些问题，本文着重以三个问题为例对此进行分析，并提出应对策略．ʌ关键词ɔ概率与统计；几何概型几何概型 的知识点是新增的数学教学内容，目前的数学课程标准要求学生能够初步理解几何概型的概念，并利用概念和公式进行基础的几何概率计算，这一要求对学生来说相对不高，但是这并不代表教师的教学可以简化，不代表教师可以减少对它的重视程度．事实上，目前关于几何概型的教学存在着一些问题，笔者将在下文中着重分析三个问题，并提出应对策略．一㊁情景引入，动态生成，让学生体会到公式的合理性与正确性为了更方便地进行计算等应用，概率论在大量试验数据的基础上，得出了许多公式及推导公式的方法．概率模型中的古典概型处理的是离散的问题，其公式的推导与计算较易理解，而在几何概型中，每个基本事件发生的概率虽然也是相等的，但是由于其基本事件的个数是无穷的，我们无法像对古典概型那样，利用简单统计的手段得出对应的概率，也因此难以推导出其公式．所以我们在计算几何概率的时候引入了替代计算的思想方法．数学教材通过若干典型例题引入了常用的测度，并根据这些测度给出了计算几何概率的公式，但没有对这些测度替代计算的合理性给出清晰详细的说明，这个时候如果教师没有给予足够的重视，对于这部分内容只是一笔带过的话，部分学生可能无法深入理解相关知识，进而陷入一种怀疑迷惑和半知半解的状态中，导致在遇到相关应用题时往往不能灵活转化计算，只会根据公式生搬硬套．因此，笔者认为，教师应帮助学生分析和梳理教材中的示例情境，并适当地引入新的经典情景，让学生感受公式生成的过程，从而真正理解它的合理性，也能够根据具体情境灵活选择公式进行计算或推导．教材中给出了如下两个引入情境：例１㊀现有一根３ｍ长的绳子，如果我们在绳子上的任意一处切一刀，将绳子分成两部分，试问两部分绳子的长度都不小于１ｍ的概率为多少？例２㊀射箭是奥运会中一个非常精彩的比赛项目，比赛用的箭靶一共有５个得分环，其中包含靶心，由于其颜色为金色，它又被人们称为黄心．现已知箭靶的直径为１２２ｃｍ，靶心为１２．２ｃｍ，若一个运动员在距离箭靶７０ｍ的地方射出一支箭且一定会中靶，试问该运动员射中靶心的概率是多少？在上述两个例题的教学中，教师要注意帮助学生在空间几何关系和数量关系之间建立思维联系，帮助学生以 点 面 甚至 体积 的形式理解基本事件，再归纳抽象回数量的概念．比如对于第一个例题，教师可以先引导学生把绳子想象成一个线段，剪刀在绳子上每剪一次就对应了线段上的一个点，在学生接受了这一等效替换的方法之后，教师可以进一步引导学生思考，线段就是点的集合，将线段上的所有点结合起来就可以构成线段本身，从而将题设中的 无数次随机裁剪 与 线段上所有的点 对应起来，同时教师还应该强调这些点在线段上是均匀连续分布的，最后综合上述讨论，帮助学生理解 剪的次数和线段长度之间存在着对应关系 ．对于第二道例题，教师需要一步步引导学生理解 射中次数 和 圆的面积 的对应关系，这一过程实质上可以概括为 由数到形再回归数 ．只有让学生亲身经历形象感知㊁概括归纳和抽象建模的思想过程，学生才能真正地理解书本上公式的正确性和合理性，真正理解公式和概念背后的原理，这样他们才能在遇到具体问题时学会自己分析和转化问题．学生在这一过程中不仅可以学习到几何概型的有关知识，还能锻炼抽象与转化问题的思维能力，为将来的学习和研究打好基础．㊀㊀㊀㊀㊀二㊁横向对比，直击本质数学概念是开展数学学习和进行数学研究的基础，教师在教学时应着力帮助学生理解概念．一般来说教师在进行概念教学时是纵向展开的，即从概念的推导开始，到概念的实际应用，这样的方法要能帮助学生梳理某个知识点的结构，但对其内在的理解还不够深刻，导致在某些情况下学生仍会将它和其他知识点的相关部分混淆，因此教师还应该重视对概念本质的讲解，在必要的情况下还可以在关联知识点时做一个横向对比．下面笔者从几何概型的特征和概念理解两个方面谈一谈如何在教学中突出重点．（１）横向对比，突出几何概型的根本特征在教材中，有几个概型的知识被安排在古典概型的后面，导致部分教师还没有把握几何概型的本质特征，就将它与古典概型对立了起来，认为二者的区别在于基本事件是有穷的还是无穷的，但其实这样的想法是不正确的．举例说明：若要在全体实数中随机取一个数字，求这个数字为有理数的概率．在这一例题中，基本事件是无穷的并且发生的概率也是彼此相等的，但是这道题并不适合用几何概型来解决．其实，几何概型相较于古典概型来说最大的特征就是我们可以非常自然地在随机试验与简单的可以度量的几何图形之间建立对应关系，通过空间几何关系考查事件发生的概率．教师要注意把握好知识的特点，进行正确适当的横向对比，突出知识最本质的特点，以点带面地深化学生对整体概念的认知．（２）培养学生的建模能力，帮助学生真正理解几何概型要真正理解几何概型，学生必须要有建立数学模型的意识和能力．几何概型中的建模主要分为三个方面：第一个方面是对随机试验的对象进行抽象建模．随机试验的对象是我们研究概率问题的范围所在，要利用几何概型研究问题，首先就要将这个范围也抽象成合适的几何对象，比如上文中我们将绳子抽象成线段这一模型．第二个方面是对基本事件建模．基本事件是概率空间里的元单位，是构建随机事件的基础，我们要研究某随机事件发生的概率，就必须先研究其中包含的基本事件，一般来说基本事件的模型要与随机试验的研究对象相关，如果把随机试验的对象抽象为一个可度量的几何区域Ｄ，那么我们就可以把基本事件抽象为区域Ｄ中的一个点，如果进行随机抽取，那么每一个这样的点被抽中的概率都是相等的．第三个方面是对随机事件抽象建模．实际上，随机事件可以看作基本事件的集合，是区域Ｄ的一个子集．三㊁引导学生从概念的角度深入思考问题书本上关于几何概型给出了丰富的公式，它们是数学家们宝贵的经验结晶，能帮助我们迅速解决问题，但是这并不代表解题的过程等同于应用公式的过程．有些学生为了省力简化了自己的思考过程，遇到问题的时候也没有经过深入分析，就草草地套用公式进行计算，这样做会在一定程度上限制思维的发展，如果问题并不常规，需要经过转化，那么这样的方法还容易导致得出错误的结果．实际上公式只是辅助，思考才是关键，教师要引导学生积极从概念的角度深入分析问题，先根据题目特征判断可能用到的知识概念，再根据概念的要素分析题目，最后整合要点回归概念本身．笔者在教学中主要从以下三个层面引导学生分析问题：（１）题目中随机试验的每个结果出现的概率是相等的吗？（２）什么样的几何图形适合该题中的随机试验？（３）Ｄ和ｄ应该对应什么测度？四㊁利用变式引导学生把握问题本质对于大部分的学生来说，提高其做题的正确率在于能否完成转化，能否将随机事件当中的几何区域准确地标定出来，并且明确其中的几何度量．但是这对于学生来说属于学习的难点，因此即便学生对于概率有了一定的认知，但是在进行几何概型的解题过程中，仍然无法做到充分拿捏．究其原因在于，学生本身对于几何概型的本质并没有正确的理解，因此为了更好地加深学生的理解，教师可以利用变式教学来加深学生的学习深度，虽然从题目本身来看只是个别文字上有区别，但是这其中的细节变化，导致其对应的几何区域发生变化，结合的度量也随之变化，因此借由这一对照教学能够加深学生对于几何概念的理解，进而提升其学习质量．例１：在区间［０，１０］上任意取一个整数ｘ，则ｘ不大于３的概率为．变式：在区间［０，１０］上任意取一个实数ｘ，则ｘ不大于３的概率为．目的：区分古典概型与几何概型．二者有联系，均是等可能的，亦有区别，前者结果是有限个，后者是无限个．教师应引导学生明确几何概型是古典概型的扩展与延续．例２：等腰ＲｔәＡＢＣ中，øＣ＝９０ʎ，在直角边ＢＣ上任取一点Ｍ，求øＣＡＭ＜３０ʎ的概率．㊀㊀㊀㊀㊀变式：等腰әＡＢＣ中，øＣ＝９０ʎ，在øＣＡＢ内作射线交线段ＢＣ于点Ｍ，求øＣＡＭ＜３０ʎ的概率．这一系列的题目对于学生来说属于学习难点，由于学生对于各信息之间的把握不够准确，因此在计算后容易出现两个不同的结果，原因在于学生对于随机事件发生的几何区域的选择并不准确，因此为了让学生找到自己的学习漏洞，明确错误的原因，更好地理解问题的本质，厘清其解题思路，教师应在不公布正确答案的前提下，让学生思考第２题．在这一过程中，教师还可以组织学生针对这两题进行讨论，进一步区分二者之间的差别，加深印象，让学生在讨论过程中感受到学习的乐趣，收获成就感．教师此时还可以利用多媒体技术向学生直接展示问题的本质，进而加深学生的理解深度，让学生能够更加准确地把握问题的本质，深化其思想．例３：әＡＢＣ的面积为Ｓ，在ＡＢ边上任取一点Ｐ，求әＰＢＣ的面积小于１３Ｓ的概率．变式１：әＡＢＣ的面积为Ｓ，在әＡＢＣ内任取一点Ｐ，求әＰＢＣ的面积小于１３Ｓ的概率．变式２：三棱锥Ｄ－ＡＢＣ的体积为Ｖ，在其内部任取一点Ｐ，求三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的体积小于１３Ｖ的概率．这三道题从原本的平面问题拓展到了空间问题，因此其几何度量从长度变为面积，从面积变到体积，这也是几何概型中比较常见的题型，其本质是随机事件发生时，其对应点所构成的区域分别为线段㊁梯形㊁棱锥，只要找到对应的点，就能够准确地确定集合度量．例４：Ａ为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与Ａ连接，求弦长超过半径的２倍的概率是多少？变式１：在半径为１的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，则其长度超过该圆内接正三角形边长的概率是多少？变式２：在半径为１的圆内任取一点，以该点为中点作弦，则其长度超过该圆内接正三角形边长的概率是多少？借由这三题能够更好地加深学生对于几何概型的认知和理解，其中变式２这一道题作为学习的重点，能够帮助学生对所学内容进行复习和巩固，借由上面几道例题和变式题的练习，学生有了一定的知识基础，并且在思考的前提下进行计算，增加了得出正确答案的概率．解决几何概型问题的关键之处在于几何度量的确定，而几何度量的本质是随机事件发生时，确定其对应的点所构成的几何区域．从整体看待几何概型问题，能够发现引起随机事件发生的几何图形分别为点㊁线㊁面㊁射线㊁扇形区域等，这些线段的源头分别为点和角，连点成线，连线成面，连面成体，因此所有的几何概型问题都能够归结于点和角上，只要抓住了这一主线，在任何问题中都能够寻找到随机事件所发生的对应的点，借由点来确定区域，从而解决概率问题．教师要加强对教材的研读，站在整体的角度，对知识的形成进行整体把握，积累一定的知识基础，并加强理解，从而更好地去认知知识之间的关系，总结其规律，周而复始，继而完成思想上的升华．教师还应从思想的角度去完成教学设计，进行课堂指导，以提高教学的精准性，让学生的学习能够更加深入，从而避免学生的生搬硬套．学生只要掌握了问题的本质，无论题目如何变化，都能够举一反三准确地找到其要点和规律，进而顺利解题．这样学生学得轻松，教师教的也轻松，学生能够在轻松愉悦的氛围中体会到数学学习的乐趣，进而提高其学习热情，培养良好的探究能力．在教学中，教师要重视对学生学习能力的培养，在其能力的提升下提高解题水平，使学生能够精准地提炼出问题的本质，往更高层次的学习进阶．教师要根据学生的能力将知识练习进行合理的分类，利用少而精的题目来提高学生的学习效率，培养学生良好的数学思想和能力．为此，教师自身要具备良好的教学水平和教学素养，不仅要有扎实的教学基础，还要有良好的思维整合能力．教师要做好平时的教学工作，在工作中逐渐积累教学经验，逐渐沉淀进而形成深厚的教学水平．综上所述，几何概型本身比较抽象，对于学生来说有着诸多的理解难度，因此在课堂中教师可以利用多媒体技术来辅助教学，进而发挥出其直观的优势，给予学生简单明了的展示，降低学习难度，以提高学生的理解能力，达到更好地提升教学效果的目的．ʌ参考文献ɔ［１］刘园园．简论高中数学教学的变革与理性回归［Ｊ］．新课程研究（上旬刊）．２０１８（０８）．［２］浅谈高中数学教学中学生反思能力的培养［Ｊ］．陈峰．读与写（教育教学刊）．２０１９（１０）．。
几何概型教学设计及反思
几何概型教学设计教学目标：知识与技能：（1）了解几何概型的概念；（2）会求简单的几何概型的概率问题．2、过程与方法：（1）在具体问题情境中，通过类比的方式经历几何概型概念和公式得出的过程；（2）在解决实际问题的过程中，探究应用几何概型解决问题的一般规律．3、情感态度与价值观：通过对几何概型的概念的学习，体会知识的形成；在应用几何概型解决数学问题的过程中，体会数学知识与现实世界的联系，培养学习数学、应用数学的兴趣和意识．教学重点：几何概型的概念及其应用．教学难点：几何概型的应用．教学方法：启发探究式教学法．教学用具：计算机多媒体教具．学情分析及教学内容分析：本节课是新教材人教B版必修3第三章第三节的第一课，它在课本中的位置排在古典概型之后，在概率的应用之前.我认为教材这样安排的目的，一是为了体现和古典概型的区别和联系，在比较中巩固这两种概型；二是为解决实际问题提供一种简单可行的概率求法，在教材中起承上启下的作用.通过最近几年的实际授课发现，学生在学习本节课时特别容易和古典概型相混淆，把几何概型的“无限性”误认为古典概型的“有限性”.究其原因是思维不严谨，研究问题时过于“想当然”，对几何概型的概念理解不清.因此我认为要在几何概型的特征和概念的理解上下功夫，不要浮于表面.另外，在解决几何概型的问题时，几何度量的选择也是需要特别重视的，在实际授课时，应当引导学生发现规律，找出适当的方法来解决问题.为了更好地突出重点，突破难点，我将整个教学过程分为“问题引入——概念形成——探索归纳——巩固深化”四个环节.教学过程：一、创设情境1、创设情境：同学们，前面我们学习了古典概型，我们一起来回顾一下，他有什么重要特征？每一个事件发生的等可能性和试验结果的有限性。
应用古典概型我们解决了很多问题，今天我们再看一个问题，现有一根90c m长的绳子，我随意从中间剪一下，问：剪的位置点有多少种可能的位置情况？无限个，在每一个位置剪都等可能吗？都等可能。
对几何概型教学的一些思考
对几何概型教学的几点体会翟荣俊《高中数学新课程标准》与原《教学大纲》相比在概率内容上新增了“几何概型”这一节内容。
这不仅扩展了学生的认知领域，而且增大了知识使用的范围，从知识的承接上看，几何概型是在古典概型的基础上在对连续型变量的概率的求法进行探究，几何概型与古典概型有联系又有区别，学生初学时，往往不能识别几何概型的特点，容易犯一些似是而非的错误. 我们就需要辨析学生犯错的原因，从而促进学生理解几何概型的实质，准确解决几何概型问题。
对于几何概型的教学，谈如下几点体会：一．正确区分古典概型与几何概型题组一：1．在区间[0，10]上任意取一个整数x ，则x 不大于3的概率为： 。
2．在区间[0，10]上任意取一个实数x ，则x 不大于3的概率为： 。
分析：此题组中，问题1因为总的基本事件是[0，10]内的全部整数，所以基本事件总数为有限个11，而不大于3的基本事件有4个，此问题属于古典概型，所以所求概率为114。
问题2中，因为总的基本事件是[0，10]内的全部实数，所以基本事件总数为无限个，此问题属于几何概型，事件对应的测度为区间的长度，总的基本事件对应区间[0，10]长度为10，而事件“不大于3”对应区间[0，3]长度为3，所以所求概率为103。
此题组中的两个问题，每个基本事件都是等可能发生的，但是问题1中的总基本事件是有限个，属于古典概型；而问题2中的总基本事件是无限个，属于几何概型；可见古典概型与几何概型有联系也有区别，但在实际解决问题中，关键还在于正确区分古典概型与几何概型。
二．准确分清几何概型中的测度题组二：1．等腰Rt △ABC 中，∠C=900，在直角边BC 上任取一点M ，求∠CAM <300的概率。
2．等腰Rt △ABC 中，∠C=900，在∠CAB 内作射线交线段BC 于点M ，求∠CAM <300的概率。
分析：此题组中的两个问题，很显然都是几何概型的问题，但是考察的测度不一样。
“几何概型”的教学设计与反思
“几何概型”的教学设计与反思马 驰 （江苏省华罗庚中学 ２１３２００） 新教材的概率模块中加入了几何概型的内容，这不但更能体现新教材对知识模块完整性的考虑，也在古典概型与几何概型这两者的比较中提高了学生对古典概型的理解．几何概型是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸．本文是笔者对“几何概型”这节课的教学设计与反思，也是对数学概念课教学做的一点探索与尝试．１ 教学目标（１）能够正确区分几何概型及古典概型；（２）初步掌握运用几何概型解决有关概率的基本问题；（３）提高学生自主探究问题、解决问题的能力；（４）渗透数学学习的基本思维：猜想验证、以旧引新等；（５）通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法．２ 教学重点与难点重点：在学生动手操作中，理解几何概型的定义及几何概型学习的思维过程．难点：识别实际问题中概率模型是否为几何概型．３ 教学过程３畅１ 课题引入引例１ 绳子上有均匀分布的１０个点Ａ１，Ａ２，Ａ３，…，Ａ９，Ａ１０（如图１），剪刀在这１０个点的位置剪，求剪刀剪在下标为奇数点的概率．图１问题复习：（１）什么是试验、基本事件、事件？（略）（２）古典概型的特点是什么？①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）②每个基本事件出现的可能性相等．（等可能性）（３）求古典概型概率的方法：①判定古典概型，确定基本事件；②计算事件Ａ包含的基本事件个数ｍ与试验的基本事件总数ｎ；板书，教师留出足够的时间让学生思考，观察了解学生的动态和问题．教师的角色是合作者、引领者；学生的角色是参与者和实验者．教师善于引导，学生大胆质疑、探索；教师充分渗透数学思想方法，学生充分进行互动式、探究式、讨论式的学习，师生之间的融洽关系奠定了探究的基础，让课堂真正成为充满人文关怀、情感滋润和生命享受的生态乐园，无疑是广大数学老师追求的教育境界．３畅５ 利用集体智慧，挖掘教材内外，是校本教研的源泉在本课中可以清晰地看到授课者对教材钻研的深度和广度，对教材理解和挖掘的做法其实就是教师设计微型课题并进行研究的方向．微型课题的研究可以采用以下方法进行：（１）组织分工，收集资料：一部分老师专门收集期刊上的有关新教材的文章，另外一部分老师可以检索网络上的资源，然后分类整理；（２）组织学习，交流看法：可以组织老师利用平时的时间学习相应的文章，加强理论学习，了解国内研究前沿的动态和方向，在备课组活动时进行交流学习体会；（３）组织反思，案例研究：无论是观摩到的公开课还是自己上的展示课，进行教学的反思活动，可以是一课三议，三课一评，也可以是同题异构，师徒赛课；（４）组织引领，科学指导：可以请一些名师、专家上门辅导、培训，在专家的引领下少走弯路，请专家指导研究的方法；（５）组织推广，总结特色：在几年连续不断的微型课题研究中，不断地积累经验，发表成果，形成个人和学校的亮点和特色，形成个人和集体的研究课题和方向，在微型课题研究的引领下，不断总结提高．・５３・２０１３年第８期 中学数学月刊 ③用公式Ｐ（Ａ）＝ｍｎ求概率．引例２ 取一根长度为３ｍ的绳子（如图２），如果拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于１ｍ的概率有多大？图２师：试验中的基本事件是什么？（学生讨论，分组动手操作）师：每个基本事件的发生是等可能的吗？生：是的，因为剪在任意处．师：符合古典概型的特点吗？学：不符合，因为基本事件有无数个．师：这个问题的概率是多少呢？生：１３．师：这个１３是怎么求得的呢？如果仅仅是猜测，那我们还需要一定的理论依据作为支持．今天我们就来研究一下这一类理论依据所对应的新的概率模型———几何概型．（教师板书课题“几何概型”）设计意图 通过提问，引导学生回顾古典概型的特点：有限性和等可能性．发现这个问题虽然貌似古典概型，但是由于这个问题中的基本事件是“在绳子的每一处将绳子剪断”，所以有无限多种情况，不满足有限性这个特点，因此不是古典概型．也就是说，我们不能用古典概型的概率公式去解决这个问题．师（引导）：我们跳出微观的视角，从宏观上看，虽然试验中所有的基本事件和事件Ａ所包含的基本事件的个数都是无限的，但它们分别“均匀”地铺满了整个线段ＰＱ和线段ＭＮ，我们可以将它们进行“打包”：如果均匀铺满１个单位长度的基本事件为１“包”，那么，试验中所有的基本事件正好３“包”；事件Ａ中的基本事件正好１“包”，“包数”就是它们的基本事件构成的区域，即线段ＰＱ和线段ＭＮ的长度的数值，这是两个有限量．这个过程实质就是将两个原来具有无限性的基本事件集合进行了“度量”．师：通过上面的分析，请同学们设计一下，用什么方法可以合理地表示事件Ａ发生的概率？生：用线段ＭＮ与线段ＰＱ的长度之比来表示事件Ａ发生的概率，即Ｐ（Ａ）＝１３．３畅２ 概念生成师（总结）：以上解决问题的方案的实质是，将基本事件视为一个点．（见表１）表１在绳子ＰＱ上每剪一次吃线段ＰＱ上一点无数次随机剪吃线段ＰＱ上所有的点剪数量之和吃线段ＰＱ的长度在绳子ＭＮ上每剪一次吃线段ＭＮ上一点无数次随机剪吃线段ＭＮ上所有的点剪数量之和吃线段ＭＮ的长度 最终，从“数（剪的次数）吃形（点数）吃区域的测度（线段的长度）”，解决“无数比无数”的情况．因此，引例２中的概率为Ｐ（Ａ）＝构成事件Ａ的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度＝１３．设计意图 通过上面的分析，引导学生发现几何概型与古典概型的区别在于它的试验结果不是有限个，但是它的试验结果在一个区域内均匀地分布，因此它的基本事件满足无限性和等可能性，将基本事件视为一个点，点均匀地铺满整个区域，且这个区域可度量．・教师板书１一、几何概型的定义：（投影展示）在一个试验中，每个基本事件可以视为从区域Ｄ内随机地取一点，区域Ｄ内的每一点被取到的机会都一样；随机事件Ａ的发生可以视为恰好取到区域Ｄ内的某个指定区域ｄ中的点．这时，事件Ａ发生的概率与ｄ的测度（长度（“面积、体积等”后面补上））成正比，与ｄ的形状和位置无关．满足这样条件的概率模型称为几何概型．二、几何概型的概率计算公式：Ｐ（Ａ）＝构成事件Ａ的区域ｄ的测度试验的全部结果所构成的区域Ｄ的测度．（其中测度可以是长度（“面积或体积等”待后面例题讲完再补上））・６３・ 中学数学月刊 ２０１３年第８期３畅３ 例题讲解 图３例１ 取一个边长为２ａ的正方形及其内切圆（如图３），随机地向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．学生分组讨论，最后由师生共同整理得到： Ｐ（Ａ）＝构成事件Ａ的区域面积试验的全部结果所构成的区域的面积．・教师板书２通过以上引例２和例１，我们可得表２．（具体的部分在引例２与例１的讲解时，在黑板上同时给出；抽象的部分在讲完例１时在黑板上概括）表２基本事件区域Ｄ事件Ａ区域ｄ概率具体剪刀位置吃点绳子ＰＱ吃线段ＰＱ两段长都不小于１ｍ绳子ＭＮ吃线段ＭＮ１３豆子落的位置吃点正方形内区域豆子落入圆内圆内区域π４抽象基本事件吃点试验的全部结果吃几何图形（区域Ｄ）事件Ａ包含的结果吃几何图形（区域Ｄ子集ｄ）Ｐ（Ａ）＝ｄ的测度Ｄ的测度 例２ 在１Ｌ高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出１０ｍｌ，含有麦锈病种子的概率是多少？（学生分析，给出基本事件，教师整理完善解答过程）学生对几何概型有了进一步的认识，可以认识到：Ｐ（Ａ）＝构成事件Ａ的区域体积试验的全部结果所构成区域的体积．・教师板书３三、求几何概型概率的解题步骤是：１．判定基本事件吃点基本事件（点）等可能点均匀铺满的区域可度量２．计算Ｄ的测度与ｄ的测度Ｐ（Ａ）＝ｄ的测度Ｄ的测度３畅４ 课堂小结这节课学习了一种新的概率模型以及它的概率求解方法，通过学生的感受体验，让他们给出一些这节课的关键词，通过这些关键词，让学生自己小结这节课的内容．４ 教学反思本节课以问题为载体，通过设计活动，使学生参与并让学生成为探索问题的主体，学生在讨论中明知，在争论中解惑，在思考中提升．例如，在对教材例题建模时，着重让学生讨论思考实际问题的模型是一维、二维还是三维，结果因过程而精彩，现象因方法而生动．在运用公式时，不能仅停留在代入数字的层面上，重点是寻找实际问题中的数学模型，即寻找公式适用的条件是否满足，着力点在运用公式之前．在这个过程中学生的主体地位得到体现，学生的资源得以充分开发，数学素养在原有的基础上得以提高和发展．（１）典例鲜明具体，贴切生活利用发生在生活当中的实例，通过观察分析，提取它们共同的、本质的东西，归纳了几何概型的定义及其概率公式．由此让学生进一步树立数学来源于生活而又服务于生活的意识，把丰富的生活感知与数学理性有机融合起来．让学生感受生活中处处有数学，体会数学对自然与社会所产生的作用，使学生充分认识数学的价值，习惯用数学的眼光解决生活中的问题．（２）概念生成自然，引导充分让学生在基本事件的个数为不可数的情形下产生思维上的困惑，进而引导学生利用数形结合的思想，通过建立等量替代关系，实现无限和有限之间的转化，从而解决无限性无法计算的问题．让学生理解这样的对应是内在的、符合逻辑的，因此建立的度量公式是合理的．・７３・２０１３年第８期 中学数学月刊 “几何概型”的教学设计与反思作者：马驰，作者单位：江苏省华罗庚中学 213200刊名：中学数学月刊英文刊名：The Monthly Journal of High School Mathematics年，卷(期)：2013(8)本文链接：/Periodical_zxsxyk201308012.aspx。
高中数学教学课例《几何概型》课程思政核心素养教学设计及总结反思
《几何概型》共分三课时，今天的内容是第一节课，
本课时的教学设计注重课程的发生和开发过程，关注学
生的发展和情感体验，并积极引导学生关注人文、重视
数学与生活的良好品质。
本节课采用了类比的思维方式，让学生明确古典概
型与几何概型的异同。在启发式教学方式的引领下，以
问题串的形式开启学生思维之门。我认为本节课有以下
3．情感、态度与价值观：
通过对几何概型的教学，帮助学生树立科学的世界
观和辩证的思想，养成合作交流的习惯，初步形成建立
数学模型的能力。
通过最近几年的实际调查发现，学生在学习本节课 时特别容易和古典概型相混淆，把几何概型的“无限性” 误认为古典概型的“有限性”.究其原因是思维不严谨， 研究问题时过于“想当然”，对几何概型的概念理解不 清.因此我认为要在几何概型的特征和概念的理解上下 功夫，不要浮于表面.
形结合的数学思想，是概率问题与几何问题的一种完美 结合
本节内容极能体现新课程理念，可以成为“知识与 技能、过程与方法及情感态度价值观”三个纬度目标有 机融合的重要载体，从而实现三位一体的课程功能。
一、创设情景，引入新课 二、新知学习 三、讨论研究 四、教材例题讲解 五、拓展提升练习 六、课堂小结 七、布置作业 教师活动 预设学生活动 设计意图
“几何概型”的教学设计与反思
３ 教 学过 程
３ ． １ 课 题 引 入
引例 １ 绳 子 上 有 均 匀 分布 的 １ Ｏ个 点 Ａ ， Ａ ， Ａ。 ， …， Ａ。 ， Ａ 。 （ 如图 １ ） ， 剪 刀在 这 １ ０个 点 的
总结 提 高．
・
３ ６ ・
中学数 学月 刊
２ ０ １ ３年第 ８ 期
③ 用公式 Ｐ（ Ａ） 一 求 概率．
引例２ 取一 根长 度为 ３ ｍ 的绳 子 （ 如图 ２ ） ，
什 么方法 可 以合 理地表 示事 件 Ａ 发生 的概率 ？ 生： 用 线段 ＭＮ 与 线段 Ｐ Ｑ 的长 度之 比来 表
如果 拉直后 在任 意位 置剪 断 ， 那 么 剪 得两 段 的长 都 不小 于 １ ｍ 的概率有 多大 ？ 师： 试验 中的基本事 件 Ｐ
是 什 么？ （ 学生讨论 ， 分 组 动 手
２ 教 学 重 点 与难 点
重点 ： 在学 生 动手操 作 中， 理 解几 何概 型 的定
板书 ， 教师 留出足够 的时 间让 学生 思考 ， 观 察 了解
可 以检 索 网络上 的资 源 ， 然 后分类 整 理 ； （ ２ ） 组织 学 习 ， 交 流 看法 ： 可 以组 织老 师 利 用 平 时 的时 间学 习相应 的文 章 ， 加 强理 论学 习 ， 了解
学 生 的 动 态 和 问 题． 教 师的角色是合作者 、 引 领
者； 学 生 的角 色 是 参 与 者 和 实 验 者． 教 师 善 于 引
导， 学生大胆质疑、 探索； 教师 充 分 渗 透数 学 思 想
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几何概型的教学反思
几何概型虽然课标要求较低，但“几何概型”这个概念的教学比较抽象，学生理解起来困难，遇到具体问题时，时常出错，而且不易找到错误原因．在教几何概型的知识时，应体现几何概型主要是要把概率问题与几何问题完美的结合，用数形结合的思想解决概率问题。
下面我谈一下对几何概型教学的一些反思．
用生活事例增强概念的理解，培养了学生学习数学的兴趣．在轻松且愉快的教学情境中，学生学习“有用的数学”，应用数学解决了问题。
多媒体教学的利用，不但给学生一种活生生的生活情境，而且能够增大信息量，提升课堂效率．，把设置问题的难易适中．情景创设还要体现数学学科特色，紧扣教学内容，能够简单明了地让学生发现情景中蕴藏的数学内容和数学问题，激发学生的求知欲，达到启发积极思维的目的．
二、关于例题教学的反思
（1）例题教学要强调“对应点”
人教A版几何概型是这样定义的：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个；它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，如果随机事件所在区域是一个单点，因
为单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0。
所以，几何概型的教学中突出了“对应点”的思想．
（2）. 例题教学要抓住“等可能”
教学中，学生在把事件空间转化为与之对应的区域时，常常构造出错误的几何区域，往往是因为没有抓住几何概型中的等可能,应引起我们充足的重视．通过动画演示及理论探讨,使学生即直观又理性地理解到几何概型中的等可能性．
（ 3）引导学生从多种表象中去自主归纳问题的本质。
通过例题来总结解题的一般方法，这样的处理能够让学生到达知其然，知其所以然的高度，为以后解决同类问题打开知识的窗口，把学生从题海中解放出来，使学生自主地去类比解决问题．有意识地引导学生从多种表象中去自主归纳问题的本质，再从问题的本质中探索内在的规律，从中不但能增强学生的创新意识和应变水平，而且能优化学生的思维品质，培养发现问题和解决问题的水平和素质，这将有助于协助学生注重数学内容的不同方面，有助于学生对新的知识产生深切的体会，有助于养成学生以不同的全新的视角去看待问题，这必将有助于学生对数学本质的探索和理解。
三、对学生学习的反思；在学习的过程中我采用合作学习，共同探究，让学生发现问题讨论发现问题，让学生参与课堂讨论，自主探索．在知识的学习中，重视知识的形成过程和概括过程；在解决问题
中，引导学生多角度实行全面分析．利用小组合作学习的方式，让学生之间建立了相互依存的形式．在小组合作学习的过程中，学生各自发表了自己的见解，互相评价，互相完善，在自主探索中发现概念的形成过程，提升学生的整体理解水平。
四、对本节课教学模式使用了“发现——探索”的讨论式教学模式的反思和教学内容的反思。
具体地，有“创设情景、学生活动、理性概括、应用提升”等教学，数学教学与信息技术实行整合，并不是任何内容都有这样的必要，但是对于通过信息技术手段能很好地协助学生建构知识、引导学生实行深入探究的，则要充分显示其在数学教学中的应用，力求用得适切，用在关键处。
在教材的例题、练习中没有导致学生在解题、理解时出现了知识的一个空白区，如平面区域问题，还有线性回归，所以只做一些铺垫，没有交给学生太难的知识。
六、本节不足的反思和改进的措施：我发现学生对几何概型的题都会解，但是不知道为啥这样解，也就是说对几何概型的还不是太理解，这样一旦几何概型的不明显时就比较困难，学生很难分清是长度还是面积、体积。
这节课在上课时速并不快，让学生参与过程，就是让学生体会如何寻找区域的过程。
但是从可当教学看还是有点郁闷，所以如何在实际问题中寻找几何区域的任务在接下来的几节课中重点训练。
另外在问题中，该设一个变量还是两个变量，即对几何概型问题作出一维的还是二维的判断，是比较困难的．为了使学生通
过对表面相似而实质不同的实行深入的研究，使学生真正理解何时设一个变量，何时设两个变量。
应增强这方面的变式训练。
同时我希望有机会系统的培训和学习几何画板的应用，以便更好的利于教学和设计教学课件。