二次函数与一元二次方程练习题(含答案)

二次函数与一元二次方程
一、选择题
1．如图2－128所示的是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则一次函数y=ax －b 的图象不经过 ( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，若a 与c 异号，则其图象与x 轴的交点个数为 ( )
A ．2个
B ．1个
C ．0个
D ．不能确定 3．根据下列表格的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax 2＋bx ＋c
－0.06
－0.02
0.03
0.09
判断方程 ax 2＋bx ＋c=0(a ≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x 的取值范围是 ( )
A ．3＜x ＜3.23
B ．3．23＜x ＜3.24
C ．3.24＜x ＜3.25
D ．3.25＜x ＜3.26 4．函数c
bx ax
y ++=2
的图象如图l －2－30，那么关于x 的方程
a x 2
+b+c-3=0的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个异号实数根
C ．有两个相等实数根
D ．无实数根
5．二次函数
c
bx ax y ++=2的图象如图l －2－31所示，则下列结论成立的是（ ）
A ．a ＞0，bc ＞0，△＜0 B.a ＜0，bc ＞0，△＜0 C ．a ＞0，bc ＜0，△＜0 D.a ＜0，bc ＜0，△＞0
6．函数
c
bx ax y ++=2的图象如图 l －2－32所示，则下列结论错误的是（ ）
A ．a ＞0
B ．b 2－4ac ＞0
C 、20ax bx c ++=的两根之和为负
D 、20ax bx c ++=的两根之积为正
7.不论m 为何实数，抛物线y=x 2－mx ＋m －2（ ） A ．在x 轴上方 B ．与x 轴只有一个交点 C ．与x 轴有两个交点 D ．在x 轴下方 二、填空题
8．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图象如图 2－129所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的解为 ．
9．若抛物线y=kx 2
－2x ＋l 与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 ． 10．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴只有一个交 点，则这个交点的坐标是 .
11．已知函数y=kx 2－7x —7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是 12．直线y=3x —3与抛物线y=x 2 －x+1的交点的个数是 . 三、解答题
13.已知二次函数y=-x 2+4x-3,其图象与y 轴交于点B,与x 轴交于A, C 两点. 求△ABC 的周长和面积.
14..在体育测试时,初三的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图),若这个男生出手处A 点的坐标为(0,2),铅球路
线的最高处B 点的坐标为B(6,5).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)该男生把铅球推出去多远?(精确到0.01米).
B(6,5)
A(0,2)14
121086420
2
46x
C
y
15.如图,已知抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴的两个交点分别为A(x 1,0),B(x 2,0) , 且x 1+x 2=4,
121
3
x x .(1)求抛物线的代数表达式; (2)设抛物线与y 轴交于C 点,求直线BC 的表达式; (3)求△ABC 的面积.
16．如果一个二次函数的图象经过点A(6，10)，与x 轴交于B ，C 两点，点B ，C 的横坐标分别为x 1，x 2，且x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝5，求这个二次函数的解析式．
17．已知关于x 的方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋2＝0有两个不相等的实数根，试判断直线y ＝(2m －3)x －4m ＋7能否经过点A(－2，4)，并说明理由．
18．二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图2－130所示，根据图象解 答下列问题．
(1)写出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根； (2)写出不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集；
(3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；
B
x
O
C
y A
(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
19．如图2－131所示，已知抛物线P：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F，G分别在线段BC，AC上，抛物线P上的部分点的横坐标对应的纵坐标如下.
x …－3 －2 1 2 …
y …－5
2
－4 －
5
2
0 …
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系式，并指出m的取值范围；
(3)当矩形DEFG的面积S最大时，连接DF并延长至点M，使FM＝k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围；
(4)若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积．
参考答案
1．B[提示：a ＞0，－2b
a
＜0，∴b ＞0．] 2．A 3．C 4.C 5.D 6.D 7.C
8．x 1＝－l ，x 2＝3[提示：由图象可知，抛物线的对称轴为x=l ，与x 轴的交点是(3，0)，根据对称性可知抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(－l ，0)，所以一元二次方程－x 2
＋2x ＋m ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝3．故填x 1＝－l ，x 2＝3．]
9．k ＜1，且k ≠0[提示：若抛物线与x 轴有两个交点，则(－2)2－4k ＞0．] 10．(－
2b
a
，0) 11.略 12.1
13.令x=0,得y=-3,故B 点坐标为(0,-3). 解方程-x 2+4x-3=0,得x 1=1,x 2=3. 故A 、C 两点的坐标为(1,0),(3,0).
所以AC=3-1=2,AB=221310+=,BC=223332+=, OB=│-3│=3. C △ABC =AB+BC+AC=21032++. S △ABC =12
AC ·OB=12
×2×3=3.
14.(1)设y=a(x-6)2+5,则由A(0,2),得2=a(0-6)2+5,得a=112
-
. 故y=1
12-
(x-6)2+5. (2)由 1
12
-(x-6)2+5=0,得x 1=26215,6215x +=-.
结合图象可知:C 点坐标为(6215+ 故OC=6215+13.75(米)
即该男生把铅球推出约13.75米
15..(1)解方程组
12
1
2
4
1
3
x x
x
x
+=
⎧
⎪
⎨=
⎪
⎩
, 得x
1
=1,x
2
=3
故
2
2
10
330
b c
b c
⎧-++=
⎪
⎨
-++=
⎪⎩
,解这个方程组,得b=4,c=-3.
所以,该抛物线的代数表达式为y=-x2+4x-3.
(2)设直线BC的表达式为y=kx+m.
由(1)得,当x=0时,y=-3,故C点坐标为(0,-3).
所以
3
30
m
k m
=-
⎧
⎨
+=
⎩
, 解得
1
3
k
m
=
⎧
⎨
=-
⎩
∴直线BC的代数表达式为y=x-3 (3)由于AB=3-1=2,OC=│-3│=3.
故S
△ABC =
1
2
AB·OC=
1
2
×2×3=3.
16．解：设函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将A(6，10)代入，得10＝36a＋
6b＋c①，当y＝0时，ax2＋bx＋c=0，又x
1＋x
2
＝－
b
a
=6②，x
1
x
2
＝
c
a
＝5③，由
①②③解得a=2，b＝－12，c＝10．所以解析式为y＝2x2－12x＋10．
17．解：该直线不经过点A．理由如下：∵方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋2＝0有
两个不相等的实数根，∴△=(2m＋1)2－4(m2＋2)=4m－7＞0，∴2m－7
2
＞0，∴2m
－3＞0．又由4m－7＞0，得－4m＋7＜0，∴直线y=(2m－3)x－4m＋7经过第一、三、四象限，而A(－2，4)在第二象限，∴该直线不经过点A.
18．解：(1)由二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可知，抛物线与x轴交于(1，0)，B(3，0)两点，即x＝1或x＝3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．
(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集，即是求y＞0的解集，由图象可知l＜x ＜3．
(3)因为a＜0，故在对称轴的右侧y随x的增大而减小，即当x＞2时，y随x的增大而减小．
(4)由图可知，
2
2,
2
4
2,
4
3,
b
a
ac b
a
c
a
⎧
-=
⎪
⎪
-
⎪
=
⎨
⎪
⎪
=
⎪
⎩
解得
2,
8,
6.
a
b
c
=-
⎧
⎪
=
⎨
⎪=-
⎩
代入方程得－2x2＋8x－6－k＝
O．又因为方程有两个不相等的实数根，所以△＞0，即82－4×(－2)×(－6－k)＞0，解得k＜2．
19．解法l：(1)任取x，y的三组值代入y=ax2＋bx＋c(a≠0)，求出解析式
为y＝1
2
x2＋x－4．令y＝0，得x
1
＝－4，x
2
＝2；令x＝0，得y=－4，∴A，B，C
三点的坐标分别为A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)．
解法2：(1)由抛物线P过点(1，－5
2
)，(－3，－
5
2
)可知，抛物线P的对称
轴为x＝－1．又∵抛物线P过(2，0)，(－2，－4)，则由抛物线的对称性可知，
点A，B，C的坐标分别为A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)． (2)由题意，知AD DG AO OC
=，
而AO=2，OC=4，AD=2－m，故DG=4－2m．又BE EF
BO OC
=，EF=DG，得BE=4－2m，
∴DE＝3m，∴S
矩形DEFG ＝DG·DE＝(4－2m)·3m=12m－6m2(0＜m＜2)． (3)∵S
矩形
DEFG
=12m－6m2(0＜m＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6．当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，－2)，F(－2，－2)，E(－2，0)．设直
线DF的解析式为y＝kx＋b，易知k＝2
3
，b＝－
2
3
.∴y=
2
3
x－
2
3
.又抛物线P的
解析式为y＝1
2
x2＋x－4．令
2
3
x－
2
3
=
1
2
x2＋x－4，解得x
161
-±
.如图2－
132所示，设射线DF与抛物线P相交于点N，则N
161
--
．过N
作x轴的垂线交x轴于H，得
161
2561
3
39
FN HE
DF DE
--
---+
===.∵点M不在
抛物线P上，即点M不与N重合，此时k的取值范围是k
561
-+
且k＞0． (4)
由(3)知S
矩形DEFG
＝6．。