直角三角形中的折叠问题PPT课件
人教课标版 初中数学九年级上册第二十二章 23折叠型问题的探究(共22张PPT)
（4）在折叠问题中，若直接解决较困难时， 可将图形还原，可让问题变得简单明了。有时 还可采用动手操作，通过折叠观察得出问题的 答案。
全等性
轴对称
对称性（折痕）
实 质 折 重过程 折叠问题 重结果 叠
精 髓
利用Rt△
方程思想
【二】利用勾股定理解决问题
如图，沿AE折叠长方形，使D点落在BC边上的F处，已知
AB=8,BC=10.求CE的长.
10
A
D
解∴AA总1：FB、结根==标A8：据D已c折=m知1叠，0c可EmF知，＋，EEF△C==AEDDFCE，=≌8△cmAD，E，
8
10
B 6
8-x
E 8-x x F4C
∴2在、R找t△相A等BF中
练习
1.如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点落在对角 线BD上的点E处，此时折痕DF的长是多少？
A
8
D
6
4x
6
B 8-x
xC
心得：先标等量，把条件集中到一Rt△中， 利用勾股定理得方程。
练习
2.如图，将一长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在
• 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
利用勾股定理解决折叠问题—课件
8
x
6
4
10
知识讲解
变式1.已知长方形ABCD在平面直角坐标系中，A （0,8）D（10,8），如图AD沿着AE翻折后点D落在 BC上，求点E的坐标.
E(10,3)
10
8 10
8-x
8 8-x x
6
4
10
知识讲解
变式2.在长方形ABCD中，AB=8，AD=10， 如图AD沿着AC翻折， 求CE的长.
10
8x
8
x
10-x
8
10
课堂练习
变式3.在长方形ABCD中，AB=8，AD=10，如
图，翻折长方形ABCD，使点D与点B重合，
求 折痕EAFE 的长.
x 10G10-x
8 10-x
小结
利用勾股定理解决折叠问题的基本步骤： （1）标出已知和问题，明确目标在哪个直角三 角形中，设适当的未知数x； （2）利用折叠找全等； （3）将已知边和未知边（用含x的代数式表示）， 转化到同一个直角三角形中表示出来； （4）利用勾股定理列方程，解方程，得解。
知识ห้องสมุดไป่ตู้解
类型一、直角三角形的折叠
例1.如图，一块直角三角形的纸片，两直角边 AC=6，BC=8，现折叠纸片使A与B重合，折痕为DE， 求CD的长.
解： ∵Rt△ABC，AC=6，BC=8
设观C察D为、x思，考则BD=8-x
由1折.题叠中的已性知质可什得么，求的是什么？
2∴.D折B叠=A过D=程8中-x 你发现了什么？
在3R.观t △察BCDDE在中哪，一由个勾直股定角理三得角形中，
你能x2表6示2 出(这8 个x直)2角三角形的每
解得条x边= ？7
6 8-x
三角形折叠问题
三角形折叠问题三角形是几何学中最基本的多边形之一，它的独特形状和特性一直吸引着人们的注意。
除了其几何属性之外，三角形还常常出现在折纸的世界中。
在这个问题中，我们将探讨三角形的折叠问题，了解在给定条件下能够得到哪些不同形状的折纸。
折纸是一种古老而有趣的手工艺，通常使用平面纸张。
在折纸中，我们通过将纸张沿着特定的线条折叠和塑形，创造出各种形状和结构。
而三角形折纸就是其中的一种常见形式。
那么，三角形折纸问题是什么呢？简而言之，这个问题考虑的是给定一张纸，我们可以通过如何折叠纸张来获得不同的三角形形状。
在这个问题中，我们将对折纸的方式和纸张的形状进行限制，以探索可能的折叠结果。
首先，让我们思考一下最简单的情况 - 在平面上将一个正方形纸张对折。
这种对折方式会使得纸张分成两个相等的三角形。
这是最基本的三角形折叠形式。
除了正方形，我们还可以使用矩形、等腰梯形和其他平行四边形来得到不同类型的三角形。
在进行三角形折纸时，我们需要考虑一些限制条件。
首先，纸张必须是平面的，不能有任何切口或洞口。
其次，折纸过程中边的交叉点必须是整数或分数，而不能是无理数。
这是因为无理数会导致纸张无法准确地对齐和折叠。
最后，我们需要注意纸张的边缘必须能够完美地对齐和折叠，以确保得到准确的三角形形状。
为了更好地理解折纸问题，让我们考虑一个具体的例子。
假设我们有一张边长为10厘米的正方形纸张，并且希望通过折叠得到一个等边三角形。
我们首先将纸张对角线上两个顶点对齐，然后将纸张对折至两个边完全重合。
此时，我们得到一个边长为10厘米的等腰直角三角形。
接下来，我们将三角形的两条等腰边对折，使其重合，从而得到一个边长为10厘米的等边三角形。
这个例子说明了在满足一定折叠规则的情况下，我们可以通过折叠纸张来得到特定形状的三角形。
此外，三角形折纸问题还与数学领域的一些概念密切相关，如曲线的连续性、对称性和平移性。
这些概念可以帮助我们更好地理解三角形折纸问题，并为我们提供折纸过程中的一些指导。
三角形折叠问题
三角形折叠问题三角形折叠是一种有趣且具有挑战性的几何问题。
其基本概念是通过将一个平面的三角形折叠成不同的形状，探索不同的性质和特征。
在本文中，我们将探讨三角形折叠的背景、方法和相关应用。
1. 背景三角形折叠问题源自对折纸艺术的研究。
通过将纸张折叠成各种形状和结构，艺术家们展示了折纸的无限可能性。
而在数学领域中，三角形折叠则是一种几何问题，涉及到三角形的边长、角度以及折叠方式等等。
2. 基本方法在三角形折叠中，最重要的是要确定初始的三角形形状。
可以选择以等边三角形或者直角三角形为起点，也可以尝试其他类型的三角形。
接下来，我们需要考虑折叠的方式。
折叠方法可以是单纯的沿着边线折叠，也可以是复杂的多次折叠，使得三角形变为立体结构。
通过不同的折叠方式，我们可以观察到不同的现象和性质。
3. 角度和边长的变化在进行三角形折叠时，角度和边长是最基本的属性之一。
通过改变角度或者边长，我们可以得到不同的折叠结果。
例如，当我们改变三角形的角度时，可能会导致折叠后形状的不对称性或者其他有趣的现象。
同样地，通过改变边长，我们可以观察到折叠后的形状和结构的变化。
4. 折叠的性质三角形折叠的一个重要性质是相似性。
即使在折叠的过程中，三角形的形状可能发生改变，但是它们的性质仍然保持。
通过观察相似性，我们可以探索到折叠后形状的特征和规律。
另外，三角形折叠还涉及到拓扑学的概念，例如穿越、连接等。
通过研究这些性质，我们可以深入理解三角形折叠的本质。
5. 应用三角形折叠问题在许多领域都有着广泛的应用。
在纸艺术中，艺术家们经常利用三角形折叠的技巧来创造各种立体造型和装置。
在建筑学中，三角形折叠可以帮助设计师探索新的建筑形式和结构。
在计算机图形学中，三角形折叠则是一种重要的模型生成和变换技术。
总结：三角形折叠问题是一个有趣且具有挑战性的几何问题。
通过折叠三角形，我们可以探索不同的性质和特征，例如角度和边长的变化，折叠的性质以及相关应用。
不仅在艺术和建筑领域，三角形折叠问题还在计算机图形学等领域有着广泛的应用。
三角形的翻折课件
在三角形翻折的过程中，图形的形状和大小不会发生变化，只是位置和方向可能会 改变。
轴对称与中心对称
轴对称是指一个图形关于一条直线对称 ，折叠后两部分完全重合。
中心对称是指一个图形关于一个点对称 ，旋转180度后两部分完全重合。
等边三角形的翻折
等边三角形翻折后形成的三个直角三 角形是全等的，因此可以通过翻折来 证明等边三角形的性质。
翻折后形成的三个直角三角形可以通 过勾股定理来证明其边长关系，从而 证明等边三角形的性质。
一般三角形的翻折
一般三角形翻折后形成的两个直角三角形不一定是全等的，因此需要通过其他方 法来证明其性质。
可以通过将一般三角形划分为几个小三角形，然后利用勾股定理来证明其边长关 系，从而证明一般三角形的性质。
04
三角形翻折的解题策略
理解翻折的本质
翻折是一种几何变换，通过将一个平面图形沿着一条直线折 叠，使图形的一部分与另一部分重合，从而得到一个新的图 形。
在三角形翻折问题中，关键是要理解翻折的本质是图形的对 称性，即图形经过翻折后，其对称轴两侧的部分是全等的。
高阶练习题与解析
题目5
将一个三角形进行多次翻折，每次翻折都使相邻两边中点连线与翻折线重合，求所有折痕的总长度。
解析
这道题需要运用三角形的中位线性质和翻折的性质，通过逐步推导和计算，求出所有折痕的总长度。
THANKS
感谢观看
基础练习题
题目1
将一个等边三角形进行翻折，使其一 个顶点与相对边的中点重合，求折痕 的长度。
题目2
将一个直角三角形进行翻折，使一条 直角边与斜边的中点重合，求折痕的 长度。
专题(二) 利用勾股定理解决折叠问题 公开课获奖课件
专题(二) 利用勾股定理解决折叠问题
1. 折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变， 位置变化，对应边和对应角相等．
2. 部分图形折叠后可构造出直角三角形，利用勾股定理等知识建立方程求 解线段长度，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，有时还需用分类讨 论的思想思考问题．
类型二、利用勾股定理解决长方形中的折叠问题 5. (普宁模拟)如图，长方形纸片ABCD中，AD＝4 cm，把纸片沿直线AC折 叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5 cm，则AB的长为( C ) A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
6. 已知长方形纸片ABCD的边长AB＝4，AD＝2.将长方形纸片沿EF折叠， 使点A与点C重合，折叠后在其一面涂色(如图)，则涂色部分的面积为( B )
3. (深圳期末)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把AB对折后，点A与点B 重合，折痕为DE.
(1)若∠A＝25°，求∠BDC的度数； (2)若AC＝4，BC＝2，求BD.
解：(1)由翻折的性质得∠A＝∠ABD＝25°，所以∠BDC＝∠A＋∠ABD ＝25°＋25°＝50° (2)设BD＝x.由翻折的性质可知DA＝BD＝x，则CD＝ 4－x.在Rt△BCD中，由勾股定理得BD2＝CD2＋BC2，即x2＝(4－x)2＋22，解 得x＝2.5，即BD＝2.5
4. (广州模拟)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别是斜 边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′.
(1)如图①，如果点B′和顶点A重合，求CE的长； (2)如图②，如果点B′落在AC的中点上，求CE的长．
解：(1)如图①，设 CE＝x，则 BE＝8－x；由题意得 AE＝BE＝8－x， 在 Rt△ACE 中，由勾股定理得：x2＋62＝(8－x)2，解得 x＝74，即 CE 的 长为74 (2)如图②，因为点 B′落在 AC 的中点上，所以 CB′＝12AC＝3； 设 CE＝x，类比(1)中的解法，可列出方程：x2＋32＝(8－x)2，解得 x＝5156， 即 CE 的长为5156
人教版数学九年级上册专题5 折叠问题-课件
解：(1)由矩形的性质可知△ADC≌△CEA，∴AD＝CE，DC＝EA， ∠ACD＝∠CAE.在△DEC 与△EDA 中，
10．(2016·绍兴)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E是AB的中点， 直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD 边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，求DF的长．
解：如图，当直线 l 在直线 CE 上方时，连结 DE 交直线 l 于 M， ∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，∵AB＝4， AD＝BC＝2，∴AD＝AE＝EB＝BC＝2，∴△ADE， △ECB 是等腰直角三角形，∴∠AED＝∠BEC＝45°，
12．如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，AC＝2，BD＝2 3， 将菱形按如图方式折叠，使点 B 与点 O 重合，折痕为 EF， 求五边形 AEFCD 的周长．
【解析】由折叠的性质得，EF与BO有什么关系？
解：∵四边形 ABCD 是菱形，AC＝2，BD＝2 3，∴∠ABO＝∠CBO，
14．如图，已知在矩形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE＝2CE，将矩形 沿着过点 E 的直线翻折后，点 C，D 分别落在边 BC 下方的点 C′，D′处，且 点 C′，D′，B 在同一条直线上，折痕与边 AD 交于点 F，D′F 与 BE 交于点 G.设 AB＝t，那么△EFG 的周长为 2 3t ．(用含 t 的代数式表示)
∵CDEE＝＝AEDD，， ∴△DEC≌△EDA(SSS) DC＝EA，
直角三角形的折叠问题
直角三角形的折叠问题知识关键：1. 要解决折叠问题，就要清楚通过折叠造成哪些边相等2. 要学会合理的设未知数，从而通过勾股定理构造方程三角形的折叠：折叠方法1：将三角形的直角向斜边折叠，形成这个图形。
（此时出现角平分线）在右图中相等的线段有例题1：如图，在Rt△ABC中，AC=6,BC=8，现将直角边沿着直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD长折叠方法2：将三角形的一个直角顶点向另一个直角顶点折叠。
（此时出现边的垂直平分线）在右图中相等的线段有例题2：如图，将Rt△ABC折叠，使得点A与点B重合，折痕为DE，若BC=6，AC=8求CD的长长方形的折叠：折叠方法1：将长方形的一个角向对边折叠在没有折叠之前的长方形ABCD中相等的边有相等的角有，在折叠后的图形中，相等的边有，相等的角有，全等的三角形有例题3：如图，长方形ABCD中，AB=6，BC=10，将长方形折叠，使得点D落在BC上的D'处。
求EC的长。
折叠方法2：将长方形沿着对角线折叠在折叠后形成的图形中，全等三角形为等腰三角形为相等的边为，直角三角形为例题4：如图，长方形ABCD中，AB=6，BC=8，沿着对角线折叠，使得点B落在B'处。
求PD的长。
CAC折叠方法3：将长方形两个对角向不相邻的对角线折叠在折叠后形成的图形中，全等三角形为等腰三角形为相等的边为，直角三角形为例题5：如图，长方形ABCD 中，AB=6，BC=8，BD 是对角线.将A 、C 向BD 折叠，分别落在A'， C'处。
求CF 的长小结：这种折叠方法其实就是直角三角形折叠的方法1我们把长方形的上半部遮住，可以看到其实就是将Rt 的直角C 向斜边BD 折叠。
折叠方法4： 将长方形折叠使得对角的顶点重合 在折叠后形成的图形中，全等三角形为等腰三角形为相等的边为 ，直角三角形为 例题6：如图，长方形ABCD 中，AB=6，BC=8，沿着对角线折叠，使得点B 与点D 重合。
三角形的折叠问题
三角形的折叠问题嘿，同学们！今天咱们来聊聊三角形的折叠问题，这可有意思啦！记得有一次，我在教室里给学生们讲三角形的折叠问题，有个小家伙皱着眉头问我：“老师，这三角形折来折去的，到底有啥用啊？”我一听，乐了，这问题问得还挺实在。
咱们先来说说三角形折叠问题为啥重要。
你想想看，咱们生活里好多东西都跟三角形有关系呢！就比如说，咱们折纸飞机的时候，那纸飞机的翅膀是不是有点像三角形？有时候你折一折，就能让它飞得更远更稳。
这三角形一折叠，里面的角度、边长可都有变化，这里面的学问大着呢！比如说，一个等边三角形，咱们沿着一条高给它对折。
那折痕就把三角形分成了两个直角三角形。
原来等边三角形的每个角都是 60 度，这一折，其中一个角变成了 90 度，另外两个角就变成了 30 度。
这角度的变化可有意思啦！再说说边长。
假如一个等腰三角形，腰长是 5 厘米，底边长是 6 厘米。
咱们把它沿着对称轴折叠，那重合的部分对应的边长可就相等啦。
如果让你求折叠后某个线段的长度，你就得好好想想原来三角形的边长关系。
有时候做这种题啊，就像是在玩一个解谜游戏。
你得仔细观察图形，找出那些隐藏的条件。
比如说，有个题里，给了你一个三角形折叠后的图形，其中一个角标了度数，但是另一个关键的角没标。
这时候你就得想想，折叠前后角度的关系，说不定就能找到答案。
我还记得有一次，我们班组织了一个数学活动，就是让大家自己动手折三角形，然后根据折叠的情况来计算一些数据。
有个小组特别厉害，他们折了一个不规则的三角形，然后通过仔细测量和计算，把所有的边长和角度都算得特别准。
总之呢，三角形的折叠问题虽然看起来有点复杂，但只要咱们多动手、多思考，就一定能把它拿下！就像咱们解决生活中的其他难题一样，只要有耐心、有方法，啥都不是事儿！同学们，加油吧，让我们一起在三角形的折叠世界里畅游，发现更多的乐趣和奥秘！。
初二数学下册：勾股定理处理折叠的三种模型
初二数学下册：勾股定理处理折叠的三种模型01模型一：折叠构造直角三角形折叠构造直角三角形是比较常见的一种模型，将直角三角形沿着某条线段进行折叠，可以得到另外一个直角三角形，然后设未知数，表示出这个三角形的三边长，利用勾股定理列出方程，求出未知数的值。
例题1：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．分析：先通过勾股定理求出线段AB的长度，将直角边AC沿直线AD 对折，使它落在斜边AB上，得到AE=AC=6。
求线段CD的长度，可设CD=x，那么DE=CD=x，再表示出线段DB的长度，求出线段BE，利用勾股定理得到关于x的方程。
解：∵两直角边AC=6cm，BC=8cm，在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB=10，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD=DE，AE=AC=6，∴BE=10-6=4，设DE=CD=x，BD=8-x，在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BD^2=DE^2+BE^2，即（8-x）^2=x^2+4^2，解得x=3．即CD的长为3cm．02模型二：折叠构造全等三角形例题2：如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，DB交OA于点E．（1）求证：OE=BE；（2）求△OEB的面积.分析：（1）通过折叠可知：OC=OD，∠D=∠OCB=90°，由于四边形OABC为矩形可得：OC=AB，∠BAO=90°，那么∠D=∠BAO=90°，再加上对顶角∠BEA、∠OED相等，通过“AAS”判定两个三角形全等；（2）可设OE=BE=x，然后表示出线段AE的长度为4-x，在直角三角形ABE中，通过勾股定理得到关于x的方程，求出x的值，然后利用三角形的面积公式求出三角形OEB的面积。
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.
6
、如图，把一张长 8,宽 4的长方形纸片折叠,折叠 后使相对的两个点A、C重合,点D落在D′，折痕为 EF，求重合部分的面积.
D′
A
D E
B
F
C
.
7
一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发．不久，第
二列快车也从甲地发往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分后，
整数解为（ ）2-1-c-n-j-y
A. 1 B. 5 C . 3 D. 3
.
10
.
11
（3）请直接在图2中的（ ）内填上正确的数．
.
8
2.已知一次函数 y axb
的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则
关于x的不等式 a(x1)b0
的解集为（ A. x<－1 C. x>1
）www-2-1-cnjy-com B. x> -1
D. x<1
.
9
1.如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的 横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的
第二列快车与慢车相遇．设慢车行驶的时间为x（单位：时），慢车与第一、第二列快车之
间的距离y（单位：千米）与x（单位：时）之间的函数关系如图1、图2，根据图象信息解
答下列问题：【来源：21·世纪·教育·网】
（1）甲、乙两地之间的距离为
千米．
（2）求图1中线段CD所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
.
1
小组内交流课前预习检测内容：
要求：1、订正答案，交流解题方法； 2、梳理直角三角形的有关性质
时间：5分钟
.
2
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6， AC=8，现将它折叠，使点A与点B重合，折痕与 AC,AB分别交于D,E两点,求……
.
3
2.请以(1)中的直角三角形为背景，设计一道有关 折叠问题的练习题，给出解答，并在小组内交流。
C
A
B
.
4
如图，将长方形纸片ABCD沿直线AC折叠，使 点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E. （1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以 证明. （2）若AB=8，DE=3，
P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G， PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.
.
5
如图，将正方形ABCD沿BE对折， 使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则 ∠BA′C= 度．