分数裂项问题
1、分数的裂项
分数的裂项——分数裂差知识点睛（一）单位分数1. 单位分数是指分子为1的分数，每个分数都可以拆成若干个分母不同的单位分数之和，例如：3016151613121+=+=， 2. 61321322-32331-21=⨯=⨯⨯=，31-2161= （二）分数裂差的基本形式1. 分子为11n 1-11n n 1541431321211+=+⨯++⨯+⨯+⨯+⨯）（ 2. 分子不为1）（）（1n 1-121n n 2542432322212+=+⨯++⨯+⨯+⨯+⨯3. 分母两数之差不为12n 1-12n n 2972752532312+=+⨯++⨯+⨯+⨯+⨯）（ （三）分数裂差的三大特征1. 当分数数列满足“母积子差”可以直接裂项，如果不满足，就要去构造成“母积子差”的形式；2. 分子全部相同，最基本的形式是分子为1，如果是不为1，则需要转化为1；3. 分母之间的差是一个定值，而且是两个自然数乘积的形式，首尾相接。
例题精讲【例1】 求100991431321211⨯++⨯+⨯+⨯ 的值。
【例2】 求420120112161++++ 的值。
【例3】 求23212752532312⨯++⨯+⨯+⨯ 的值。
即学即练【练1】 求901421301201++++ 的值。
【练2】 求20181861641421⨯++⨯+⨯+⨯ 的值。
【练3】 两个自然数的倒数的和是 2411，这两个自然数中较小的是多少？【练4】 求1412151210141081386126411⨯+⨯+⨯+⨯+⨯的值。
课后作业【作业1】 求1111101541431321⨯++⨯+⨯+⨯ 的值。
【作业2】 求99163135115131++++的值。
【作业3】 求119199717751553133111⨯+⨯+⨯+⨯+⨯的值。
【作业4】 求136115110161311++++++ 的值。
分数裂项法总结.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2233445566778
1 1 8 若干个分数连加，如果每个分数的分母，
7 8
练习：
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时， 就可以利用裂差公式，把每个分数拆成两 个分数单位的差，消去中间留下两边.
n 2n 1
练习1
Sn
1 1 4
1 47
1 7 10
1
(3n 2)(3n 1)
解：
1 1 11 1 11 1
11
1
Sn
(1 ) ( ) ( 3 4 34 7 37
) 10
(
)
3 3n 2 3n 1
1 (1 1 ) n 3 3n 1 3n 1
n n 1
习
练
题
1 1 1 1 1 1 2 23 3 4 45 56
111111 34 45 56 67 78 89
11 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30 42 56
1 ＋ 1 ＋ 1 ＋L ＋
1
1 2 23 3 4
就可以利用裂项法公式： n
1 (n
1)
1 n
1 n 1
把每个分数拆成两个分数单位的差，消 23
L
L
(n
1 1)
n
1 n(n
1)
1
n
1 1
n
n 1
分数裂项的减法形式举例如下:
通分与拆分互逆：
Q 11 3 2 1 2 3 23 23 6
11 2 5 7 35
五六年级分数巧算裂项拆分
思维训练分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。
分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求型分数求和分析：因为＝（n为自然数）所以有裂项公式：【例1】求的和。
（二）用裂项法求型分数求和：分析：型。
（n,k均为自然数）因为所以【例2】计算（三）用裂项法求型分数求和：分析：型（n,k均为自然数）＝＝所以＝【例3】求的和（四）用裂项法求型分数求和：分析：（n,k均为自然数）【例4】计算：（五）用裂项法求型分数求和分析：（n,k均为自然数）【例5】计算：（六）用裂项法求型分数求和：分析：（n,k均为自然数）【例6】计算：【例7】计算：＋＋＋＋＋＋＋＋【分析与解】解答此题时，我们应将分数分成两类来看，一类是把、、、这四个分数，可以拆成是两个分数的和。
另一类是把、、这三个分数，可以拆成是两个分数的差，然后再根据题目中的相关分数合并。
原式＝＋＋（－）＋（＋）＋（＋）＋（＋）＋（＋）＋（－）＋（－）＝＋＋－＋＋＋＋＋＋＋＋＋－＋－＝（＋＋＋＋）＋（＋＋＋）＋（＋＋）＋（－）－（＋）＝1＋1＋＋－＝【例8】计算：（1＋＋＋…＋）＋（＋＋…＋＋＋…＋）＋…＋（＋）＋【分析与解】先将题目中分母相同的分数结合在一起相加，再利用乘法分配律进行简便计算。
原式＝1＋＋（＋）＋（＋＋＋＋＋）＋（＋…＋）＋…＋（＋＋＋…＋＋）＝1＋＋×＋×＋×＋……＋×＝1＋＋＋＋＋……＋＝1＋×（1＋2＋3＋4＋ (59)＝1＋×＝1＋15×59＝886【巩固练习】1、＋＋＋……＋2、＋＋＋3、＋＋＋＋＋4、1－＋＋＋5、＋＋……＋6、＋＋＋……＋7、＋＋＋＋8、－＋－＋－9.＋＋＋＋＋10．69316.931÷69.31＝11、（11－×15）+(13－×13)÷(15－×11)19．4×5×6×7×……×355×356的末尾有( )个零。
分数裂项课件
CONTENTS
目录
• 分数裂项简介 • 分数裂项的技巧 • 分数裂项的实例解析 • 分数裂项的练习题及解析 • 分数裂项的总结与展望
CHAPTER
01
分数裂项简介
分数裂项的定义
01
分数裂项是一种数学技巧，用于 将一个分数拆分成两个或多个分 数的和或差，以便于计算或简化 表达式的形式。
绩。
分数裂项在数学竞赛和高考中具 有广泛应用，是数学学习的重要
内容之一。
分数裂项的未来发展方向
随着数学教育的不断发展和改革，分数裂项技巧的教学方法和手段也需要不断更新 和完善。
未来可以探索更多分数裂项在实际问题中的应用，例如在物理、化学等其他学科中 的应用。
可以通过开展跨学科的研究，将分数裂项与其他数学技巧和方法进行结合，以更好 地解决各种复杂的数学问题。
解析：这道题是分数裂项的基础题， 通过将两个分数相乘，得到一个新的
分数。
答案：$frac{1}{4}$
题目：计算 $frac{3}{4} times frac{4}{3}$
解析：这道题同样是分数裂项的基础 题，通过将两个分数相乘，得到一个 新的分数。
答案：$1$
进阶练习题
题目
计算 $frac{1}{2} times frac{3}{5} + frac{2}{3} times frac{4}{7}$
分数裂项在日常生活中的应用
分数裂项不仅仅在数学题目中有应用，在日常生活中也有广泛的应用。
例如，在购物时经常会遇到折扣和优惠券的问题，这时可以通过分数裂项来计算 最优的购买方案。例如，对于折扣$frac{3}{10}$，可以将其拆分为$frac{1}{3} + frac{2}{10}$，分别代表直接折扣和满额折扣，从而帮助消费者更好地理解优惠 方案。
分数裂项六种题型
分数裂项六种题型一、整数裂项整数裂项是一种常见的数学问题，通过将整数拆分成两个整数之和或之差，从而简化计算或证明某些数学关系式。
以下是一些常见的整数裂项例子：1.将整数拆分成两个相邻整数之和或之差，例如：5=2+3，10=3+7。
2.将整数拆分成两个绝对值相等的数之和或之差，例如：10=3+(-3)，20=7+(-7)。
二、分数裂项分数裂项是将分数拆分成两个或多个分数的和或差，以便于计算或证明某些数学关系式。
以下是一些常见的分数裂项例子：1.将分数拆分成两个同分母的分数的和或差，例如：1/2=1/(4)+1/(4)，2/3=1/(3)+1/(3)。
2.将分数拆分成两个异分母的分数的和或差，例如：2/5=3/(15)+(-4)/(15)，4/7=3/(21)+4/(21)。
三、混合数裂项混合数裂项是指将整数、分数等不同类型的数拆分成两个或多个数之和或差。
以下是一些常见的混合数裂项例子：1.将混合数拆分成一个整数和一个分数的和或差，例如：3/2=2+(1/2)，5=3+(2/2)。
2.将混合数拆分成两个分数之和或差，例如：4/3=1/(2)+3/(4)，7/6=1/(3)+1/(2)。
四、裂项相消法裂项相消法是一种常见的数学方法，用于简化分数的计算。
其基本思想是将一个分数拆分成两个或多个分数的和或差，以便于约简分数。
以下是一个裂项相消法的例子：求和：1/2+1/6+1/12+1/20+...的值。
解答：原式=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+...通过约简，我们得到原式=1-1/n（当n趋于无穷大时）。
五、分式裂项相消法分式裂项相消法是一种将分式拆分成多个分式的和或差，然后约简的方法。
以下是一个分式裂项相消法的例子：求分式：(a^2-b^2)/(a^2+b^2)的值。
解答：原式=(a^2-b^2)/(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)/(a^2+b^2)=(a-b)/(a+b)+(a+b) /(a-b)。
分数整数裂项
分数整数裂项
分数整数裂项法是一种将整数乘积化成两个乘积差的形式的方法。
这种方法需要将整数分拆成两个或多个数字单位的和或差，以便进行计算。
例如，对于算式1×2+2×3+3×4+……+n×（n+1），我们可以将其分拆为多个项，如1×2，2×3，3×4等，然后将这些项乘以相应的系数，得到最终结果。
需要注意的是，在进行分数整数裂项计算时，要瞻前顾后，前后抵消，才能得到正确的结果。
例如，在上述算式中，我们需要将1×2这一项乘以（2+1），再减去(1-1)×1×2；2×3这一项，也需要化成[2x3x(3+1)-(2-1)x2x3]，这样就可以刚好可以前后项互相抵消。
总的来说，分数整数裂项法是一种非常实用的计算方法，可以用于解决很多数学问题。
但是，在进行计算时，需要小心系数和项数的变化，以免出现错误。
六年级第一讲分数裂项(含答案)
【解析】原式
18、计算：
【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算
【解析】原式
【关键词】第五届，小数报，初赛
【解析】原式
8、
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】首先分析出
原式
9、
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
10、计算： ．
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第 个数恰好为 的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．
【解析】原式＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋
＝（ ）＋（ ）＋（ ）＋（ ）＝
14、 .
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】仁华学校
【解析】这题是利用平方差公式进行裂项： ，
原式
15、
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】
16、
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
17、计算：
原式
也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为 ，所以 ，再将每一项的 与 分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．
11、
【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算
【解析】原式
12、
【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算
【解析】原式
13
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
1、分数的裂项(裂差)
例2. 计算：
1 2 3 10 _______； 1 2 2 4 4 7 46 56
【分析】本题的分子虽然不同，但都恰好是分母中两个因数之差，仍然可以采用裂差法解题。 2 1 4 2 7 4 56 46 【解答】原式 1 2 2 4 4 7 46 56
1 1 1 1 __________； 2 5 5 8 8 11 98 101
1 【分析】整体共 49 个分数连加，分母中两个因数之差都是 3，可以提取 ，然后裂差吧。 3
1 3 3 3 3 【解答】原式 3 2 5 5 8 8 11 98 101 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 5 5 8 8 11 98 101 1 1 1 3 2 101 33 202
1 1 1 1 11 1 ba 1 1 。 a b a b ， n n 1 n n 1 ， n n p p n n p
例1. 计算：
1 1 1 1 ________； 1 2 2 3 3 4 99 100
【分析】整体共 99 个分数相加，不可能去通分，又是连加的形式，利用裂差变为咔咔算式。 1 1 1 1 1 1 1 1 【解答】原式 1 2 2 3 3 4 99 100
1 1 1 100
99 100
【评注】同学们一定记住这个算式的方法和结果，好多题目都可以变成这个结构哦！
9799101分析整体连加且每个分母都是三个因数不用裂差为三个分数请你仔细观察相邻两个分数的分母有哪些公共的因数把公共的因数作为裂差后的分母就到达咔咔算式的目的啦本题应该先把分子都变为4才可以撕分母想想为什么
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分数裂项的判断方法 • 裂差型裂项的三大关键特 征： •（1）分子全部相同，最简单形 式为都是1的，复杂形式可为都 是x(x为任意自然数)的，但是只 要将x提取出来即可转化为分子 都是1的运算。 •（2）分母上均为几个自然数的
一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后 抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数 裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分 拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项 的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母， 找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找 出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一 般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到 相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本 的。
分母是两个相邻的自然数相乘、分子 是1的一个分数，可以拆分为：分母分别 是这两个自然数，分子都是1的两个分数 相减的形式。其公式是：
1 1 1 n(n 1) n n 1
分数裂项的加法形式
分母是两个数相乘，分子刚好是这 两个数相加的一个分数，可以拆分为： 分母分别是这两个数，分子都是1的两 个分数相加的形式。公式是：
例 1：
1 1 + + 6 2 1 1 = 1- 2 + 2 1 1 1 1 + + + 30 42 12 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - + - + + - + 6 7 3 3 4 4 5 5 6
= 1- 1
7 6 = 7
•裂和型运算与裂差型运算的对 比： •裂差型运算的核心环节是“两 两抵消达到简化的目的”，裂 和型运算的题目不仅有“两两 抵消”型的，同时还有转化为 “分数凑整”型的，以达到简
裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是 1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数) 的，但是只要将x提取出来即可转化为分 子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式， 并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相 接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
1 1 + 6 2 2 = 3
=
分数裂Байду номын сангаас的减法形式
分母是两个数相乘，分子刚好是这两 个数相减的一个分数，可以拆分为：分母 分别是这两个数，分子都是1的两个分数相 减的形式。公式是：
a b a b 1 1 . ab ab ab a b
分数裂项的减法形式举例如下:
1 3 2 3 2 1 1 6 23 23 23 2 3
ab a b 1 1 ab ab ab b a
分数裂项的加法形式举例如下:
5 23 2 3 1 1 6 23 23 23 2 3
例： 5 7 9 1- + + 6 12 20 11 30
1 1 1 1 1 1 1 1 （ 2+ 3 ） （3 + 4 ） + （4 + 5 ） + （5 + 6 ） = 11 1 1 1 - 1 1 1+ 1 - + + 1+ = 2 3 3 4 4 5 5 6