理论力学-动能定理

l0
)2
(r2
l0 )2 ]
其中， 1 、 2 是弹簧初始位置 和最终位置的变形量。
弹性力的功与路径无关。
力的功
作用在刚体上力与力偶的功
定轴转动刚体上作用力的功
刚体以角速度ω绕定轴 z 转动，其上 A 点作用
有力 F ，则
F F cos
ds Rd
则力F 的元功为
W F d r F R d Mz ( F )d
vD
mvrcos 2m m0
T
1 2
m(vD2
vr2 )
1 2
m(vD2
vr2
2vDvrcos )
1 2
m0vD2
2m(2m m0 ) m2cos2 2(2m m0 )
vr2
质点系的动能与刚体的动能
刚体的动能
● 平移刚体的动能
刚体平移时，其上各点在同一瞬时具有相同的速度， 并且都等于质心速度。因此，平移刚体的动能
理想约束的约束反力不做功
第12章 动能定理
质点系的动能与刚体的动能 质点系的动能 刚体的动能
质点系的动能与刚体的动能
质点系的动能
物理学中对质点的动能的定义为
T 1 mv2 2
质点系的动能为质点系内各质点动能之和。
T
i
1 2mi
vi2
动能是度量质点系整体运动的另一物理量。动能
是正标量，其数值与速度的大小有关，但与速度的
理论力学
第三篇 动力学
第12章 动能定理
第12章 动能定理
动能是物体因为运动而具有的机械能，它是作功 的一种能力。动能定理描述质点系动能的变化与力 作功之间的关系。
动力学普遍定理
动量定理 动量矩定理 动能定理
矢量形式
标量形式
求解实际问题时，往往需要综合应用动量定理、 动量矩定理和动能定理。
力的功
M z (F ) F R ——力 F 对轴 z 的矩
于是，力在刚体上由 1 转到 2 时所作的功为
W12
2 1
M
z
(
F
)
d
力的功
作用在刚体上力的功、力偶的功 定轴转动刚体上外力偶的功
若力偶矩矢量为 M ，则力偶所作之功为
W M zd
W12
2 1
M
zd
其中Mz 为力偶矩矢 M 在 z 轴上的投影，即力偶对转轴 z 的矩。
* 机器中有相对滑动的两个零件之间的摩擦力是内力，作负功。
* 有势力的内力作功，如系统内的弹簧力作功。
力的 功 不作功的力
* 刚体的内力不作功
刚体内任何两点间的距离始终保持不变，所以刚体的内力所作 功之和恒等于零。
* 理想约束约束反力不做功
光滑的固定支承面、轴承、光滑的活动铰链、销钉和活动支座 都是理想约束。理由是它们的约束力不作功或作功之和等于零。
力的功
内力作功的情形
质点系的内力总是成对出现的，且等值、反向、共线。因此， 质点系的内力对质点系的动量和动量矩没有影响。
？ 那么，质点系的内力对质点系作不作功呢
事实上，在许多情形下，物体的运动是由内力作功而引起的。 当然也有的内力确实不作功。
* 人的行走和奔跑是腿的肌肉内力作功。
* 所有的发动机从整体考虑，其内力都作功。
柔性约束也是理想约束。因为它们只有在拉紧时才受力，这时 与刚性杆一样，内力作功之和等于零。
力的 功 不作功的力
* 纯滚动时，滑动摩擦力(约束力)不作功
vO O
C* F
FN
C* 为瞬时速度中心，在这一 瞬时C*点的速度为零。作用在 C*点的摩擦力F 所作元功为
dWF F drC
F vC dt 0 约束力不做功的约束称为理想约束
对于质点： W12 mg z1 z2
其中：z1 、z2分别是质点在初位置和末位置的z 坐标
对于质点系: W12 mg zC1 zC2
其中：zC1、 zC2分别是质点系质心在初位置和末位置的z 坐
标 重力的功与路径无关。
力的功
几种常见力的功
弹性力的功
W12
k（
2
2 1
2）
2
k 2 [(r1
T
i
1 2mi
vi2
1 2
(
mi )vC2
1 2
mvC2
上述结果表明，刚体平移时的动能，相当于将 刚体的质量集中于质心时的动能。
质点系的动能与刚体的动能
刚体的动能
● 定轴转动刚体的动能
刚体以角速度 绕定轴 z 转动时，其上－点的速度
为：
vi ri
因此，定轴转动刚体的动能为
T 1 2
方向无关。
质点系的动能与刚体的动能
质点系的动能——例 题 1
设重物A、B的质量为mA= mB= m， 三角块D 的质量为 m0 ，置于光滑地 面上。圆轮C 和绳的质量忽略不计。
系统初始静止。
v 求：当物块A以相对速度
系统的动能。
r 下落时
解：重物A、B的运动可以看成质点的运动，
三角块D做平动，也可以看成质点的运动。
质点系的动能与刚体的动能
质点系的动能——例 题 1
T
1 2
mAvA2
1 2
mBvB2
1 2
m0vD2
v
2 A
vD2
vr2
vB2 vD2 vr2 2vDvr cos (vD vr cos)2 (vr sin )2
注意到,系统水平方向上动量守恒，故有
mAvAx mBvBx mDvDx 0 mvD m(vD vrcos) m0vD 0
力的功
力的功定义
M1
变力 Fi 的元功
δW Fi dri Fi ds cosFi，dri
M2
Fxdx Fydy Fzdz
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
力 Fi 在其作用点的轨迹上从 M1 点到 M2 点所作的功：
W12
M2 M1
Fi
d
ri
M2 M1
(
Fxdx
Fydy
Fzdz)
力的功
几种常见力的功
重力的功
力的功定义
常力对直线运动质点所作的功： W F s F s cos
变力 Fi 的元功
M1
δW Fi dri Fi ds cosFi，dri
M2
Fxdx Fydy Fzdz
需要注意的是，一般情形下，元功并不是功函数的全微 分，所以，一般不用dW表示元功，而是用W表示。 W仅仅 是Fi•dri 的一种记号。
i
mi (ri )2
12(
2
i
miri2 )
1 2
J z
2
开始运动后，系统的动能为
T
1 2
mAvA2
1 2
mBvB2
1 2
m0vD2
其中 vA vD vAr ； vB vD vBr
质点系的动能与刚体的动能
质点系的动能——例 题 1
v A vD v Ar vB vD vBr
或者写成
v
2 A
vD2
vr2
？
vB2 vD2 vr2 2vDvr cos (vD vr cos)2 (vr sin )2