杆单元和梁单元

（5）应力 由弹性力学的物理方程知：
e e u E E 1 e e e () x E B () x δ S () x δ l e e u l 2
(4.8)
（6）利用最小势能原理导出单元刚度矩阵
单元的势能表达式：
4.1 杆件系统的有限元分析方法
第4章 杆单元和梁单元
本章主要介绍利用杆单元及梁单元进行结构静力学的有限 元分析原理。首先介绍了杆单元的分析方法，详细给出了采用 杆单元进行有限元分析的整个过程；紧接着介绍了平面梁单元 ，以一个平面悬臂梁力学模型为分析实例，分别采用材料力学 、弹性力学解析计算以及有限元法进行了分析与求解，以加深 读者对有限元法的理解。
（3）形函数矩阵的推导 由单元的节点条件, 两个节点坐标为x1、x2,两个节点位移 u (x )|xx u 为u(x)|xx u ， 1 2，代入上式插值模式公式得： a1 a 2 x1 u1
1
2
a1 a 2 x 2 u 2
求解得到
a u x ( u u )/ ( x x ) 1 1 1 1 2 1 2 a ( u u )/ ( x x ) 2 1 2 1 2
e u (x )N (x )δ
（4）应变 由弹性力学的几何方程知1维杆单元满足
(4.6)
u u u ud N ( x ) 1 1 1 1 1 ( x ) B e e (4.7) u u u x d x l l 2 2 2
4.1 杆件系统的有限元分析方法
杆件只承受轴向力，可以视为一种特殊的梁单元，本节将采 用有限元法来分析杆件系统，以下给出规范的有限元法中关于杆 单元的推导过程，以及整个杆系的求解过程。 如图4-1所示的杆件结构，左端铰支，右端作用一个集中力， 相关参数如图。具体求解过程如下：
E1 , A1 , ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
x x N ( x ) ( 1 ) x x x x 2 1 2 1
(4.4)
记节点位移矢量 (nodal displacement vector)是 u1 e (4.5) δ u2
4.1 杆件系统的有限元分析方法
因此，用形函数矩阵表达的单元内任一点的位移函数是
u1
1 单元1 2
u2
E2 , A2 , l2
单元2 3
F3 10N
x
图 4-1 杆件结构
（1）确定坐标系、单元离散，确定位移变量, 外载荷及边界 条件。
4.1 杆件系统的有限元分析方法
要建立两种坐标系：单元坐标系（局部坐标系）、整体坐标 系。根据自然离散, 坐标系建立成一维, 单元划分为两个, 给出 相应的节点1、2、3以及相应的坐标值（见图4-1）。在局部 坐标系中，取杆单元的左端点为坐标原点，图4-2为任取的一 个杆单元。
4.1 杆件系统的有限元分析方法
u 2 由最小势能原理，势能函数对未知位移 求变分，满足 u3 0, 0 ，得如下方程式 的条件是 m in
u 2 ,u 3
（9）建立系统弹性方程
u2
u3
(1 ) (2) E(1) A E(2) A l(1) l(2) R2 = (2) E(2) A F3 (2) l
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
（4.17）
利用物理方程，求单元的应力
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) E E B () x δ
（4.18）
4.1 杆件系统的有限元分析方法
（13）各支点反力 各支反力公式是由单元最小势能原理得到的，即
( 1 ) ( 1 ) u R 1 1 E A 1 1 Kδ P （4.19） ( 1 ) u P 1 1 l 2 2 为了清楚起见, 将上述两杆结构代入具体数 ( 1 ) ( 2 ) 7 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) 2 值： ， ， ， E E 2 1 0 P a A l l 1 0 c m 2 A 2 c m
4.1 杆件系统的有限元分析方法
根据最小势能原理， e 其中节点载荷矩阵为
0 ，得
e e e K δ P
(4.11)
P1 P P2 （7）把所有单元按结构形状进行组集（assembly of discrete elements） 对于图4.1所示结构 第一个单元：
4.1 杆件系统的有限元分析方法
( )a ax 这样， ux 可以写成如下矩阵形式 1 2
a1 u ( x) [1 x] a2
u1 1 x1 a1 a u 1 x 2 2 2
1 x a 1 1 u 1 a2 1 x2 u2
(1 ) (2) E(1) A E(2) A l(1) l(2) (2) E(2) A (2) l (2) E(2) A (2) u2 l (2) (2) E A u3 l(2)
0 = F3
（4.16）
（11）求单元应变
(4.3)
1
导出
1 u1 a 1 x u 1 1 1 u () x [ 1x ] 1x N (x) u a 1x u 2 2 2 2 =
得到形函数矩阵（shape function matrix）
上式记作如下矩阵形式：
e
1e T e e 1 e T e δK δ Pδ 2 2
(4.9)
其中，单元刚度矩阵（element stiffness matrix），或称单 元特性矩阵(element characteristic matrix) e e e l 1 1 E A e T e e K B EA B d x e (4.10) 0 11 l
(2) E(2) A (2) u2 l (2) (2) E A u3 l(2)
(4.15)
（10）求解节点位移 u 2 由上式方程可以直接求解得到 , 注意到R2是内 u3 力，不做功。在求解过程中，可以视为0。也就是
4.1 杆件系统的有限元分析方法
e
δ (1 )
u1 u2
( 1 ) ( 1 ) 1 1 E A ( 1 ) K (1) 1 1 l
P
(1 )
R1 R2
4.1 杆件系统的有限元分析方法
第二个单元：
δ
(2)
u2 u3
(2 ) (2 1 E A ) 1 K (2) 1 1 l (2 )
1 T 1 T (4.12) δ K δ P δ 2 2 上式的即为整体刚度矩阵。即根据最小势能原理，由各单元 刚度矩阵求出的整体刚度矩阵。下式是由整体刚度矩阵表达的系 统方程： (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
E A l(1) (1) (1) R 1 E A R 2 l(1) F 3 0 E A l(1) (1 ) (2) E(1) A E(2) A (2) (1 ) l l (2) E(2) A (2) l u 1 (2) (2) E A (2) u2 l u (2) (2) E A 3 l(2) 0
u 1 1 1 () x B () x δ ( 1 ) ( 1 ) u l l 2
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
u 1 1 2 () x B() x δ ( 2 ) ( 2 ) u l l 3 （12）各单元应力
u1 在这里，把表达成整体位移矢量 u 2的函数，如下： u 3
4.1 杆件系统的有限元分析方法
( 1 ) ( 1 ) E A l(1 ) T (1 u 1 ) ( 1 ) 1 E A u (1 2 ) 2 l u 3 0 ( 1 ) ( 1 ) E A (1 0 T l) u R u 1 1 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) EA E A E A 1 u R u 2 2 ) ) ) 2 2 l(1 l(2 l(2 u F u ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 3 3 3 EA EA (2 ) l) l(2
可记作
(4.13)
4.1 杆件系统的有限元分析方法
（8）引入边界条件（Treatment of boundary conditions） 为获取许可位移场，需引入边界条件
B Cu ( ): u 0 1
(4.14)
由于u 1 0 ，可划去它所对应的行和列，这样基于许可位移 场的系统总势能为
( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) EA EA EA T ( ( ( 1 ) 2 ) 2 ) u u u l 1 1 l l 2 2 2 0F 3 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) u u u 2 EA EA 3 3 3 2 ( 2 ) ( 2 ) l l
P
(2)
R2 F3
整体结构的总势能是所有单元的势能的和，即
( 1 ) ( 1 ) u u u 1 E 1 1 1 A 1 1 1 ( 1 ) ( 2 ) R R 1 2 ( 1 ) u u u 1 1 2 l 2 2 2 2 ( 2 ) ( 2 ) u u u 1 1 1 1 E A 2 2 2 R F 2 3 ( 2 ) u u u 1 1 2 l 2 3 3 3 T T
e Ue We u1 1 1 e (x) (x)d P P 1 2 2 2 u2 u1 1 le 1 e T e e (S(x)δ (x)) (B(x)δ (x))A dx P P 1 2 2 0 2 u2 1 eT le T e e e 1 eT e δ B E BA dxδ P δ 0 2 2
P 1 , u1
E，A，l 1
图 4-2 杆单元
P2 , u2
2
对于两个节点的杆单元，存在如下节点力和节点位移的关系 式 u P1 e 1 (4.1) k
P2
u2
e 其中， k 称为单元刚度矩阵
4.1 杆件系统的有限元分析方法
（2）确定位移模式
2 () x a a x a x 假设单元位移场： u 1 2 3 a 2 可由节点位移 u 1 、u 2 确定，称为位 取其线性部分，系数 a 1 、 移插值模式（interpolation model）. (4.2) ux ( )a ax 1 2