第二章 连续LTI系统微分方程式的建立
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信号与系统第二章第一讲
i
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
信 号 与 系 统
特解为： 联立解得：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即：
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
（1）元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统
vR (t )
C
vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善， 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
信 号 与 系 统
特解为： 联立解得：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即：
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
（1）元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统
vR (t )
C
vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善， 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )
信号与系统 连续时间LTI系统状态方程的求解解析
x(t
)
y(t)
1 2
1
1(t) 2 (t )
1
x(t
)
系统输入为单位阶跃信号，初始状态
1 λ(0 ) 2
试求矩阵指数函数 eAt 、状态变量 λ(t)与输出 y(t) 。
信号与系统
解：系统的参量矩阵分别为
A
1 1
0 3
，
B
1 0
C
1 2
1
，
D 1
所以
(sI
A)
s
1 0
0 1
e 矩阵指数函数 A t
定义为
e A t I At 1 A2t 2 1 Akt k 1 Akt k
2!
k!
k0 k!
e A 是一个 n x n 的方阵，则 A t 也是一个 n x n 的方阵
e A t 的主要性质有
eAt eAt I
e A t eA t 1
d eAt A eAt eAt A dt
A，A
1 0
1 2
e 求矩阵指数函数 A t
解： 矩阵 A 的特征多项式为
f
detI
A
det
0
1
1
2
1
2
特征根为 1 1, 2 2
因为矩阵 A 为二阶，所以有 根据矩阵 A 的特征根为单根有
e A t c0 I c1 A
e t c0 c1 e2 t c0 2c1
解得
c0 2e t e2 t
解: 由已知条件得
sI
A -1
s 1
1
s
4 1 1
s
1
12
4
s
1 1
4 s 1
建立系统微分方程的一般步骤
建立系统微分方程的一般步骤引言：系统微分方程是描述自然界中动态系统行为的重要工具。
在建立系统微分方程时，我们需要根据问题的实际背景和要求，确定系统的物理模型，并通过一系列步骤将其转化为微分方程组。
本文将介绍建立系统微分方程的一般步骤，帮助读者更好地理解和应用系统微分方程。
步骤一：确定系统的物理模型建立系统微分方程的第一步是确定系统的物理模型。
物理模型是对系统行为的抽象描述，可以基于实验观测、理论分析或经验推测。
在确定物理模型时，需要考虑系统的特性、变量和参数，并确定它们之间的关系。
例如，对于机械系统，我们需要考虑质量、力、速度和位移等变量之间的关系。
步骤二：建立系统的状态方程在确定物理模型后，我们需要建立系统的状态方程。
状态方程描述了系统在不同时间点的状态变化情况。
常用的状态方程形式是一阶线性微分方程，可以表示为dx/dt = f(x, u)，其中x是系统的状态变量，u是系统的输入信号，f(x, u)是状态方程的右侧表达式。
通过分析系统的物理特性和输入输出关系，可以确定状态方程中的函数f(x, u)。
步骤三：建立系统的输出方程除了状态方程，我们还需要建立系统的输出方程。
输出方程描述了系统的输出变量与状态变量和输入信号之间的关系。
常用的输出方程形式是线性方程，可以表示为y = g(x, u)，其中y是系统的输出变量，g(x, u)是输出方程的右侧表达式。
通过分析系统的特性和输出变量与状态变量、输入信号之间的关系，可以确定输出方程中的函数g(x, u)。
步骤四：建立系统的微分方程组在确定状态方程和输出方程后，我们可以将它们组合成一个微分方程组。
微分方程组由状态方程和输出方程组成，可以表示为dx/dt = f(x, u)，y = g(x, u)。
通过联立和整理微分方程组，可以得到系统的一般形式。
在建立微分方程组时，需要注意方程的数量与未知数的数量相等，且方程之间无冲突。
步骤五：确定系统的初值条件和边界条件在建立微分方程组后，我们需要确定系统的初值条件和边界条件。
2.1 LTI连续系统的响应
通常，需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。 ➢当微分方程右端含有冲激函数时，响应y(t)及其各阶导 数中，有些在t=0处将发生跃变。否则不会跃变。
例1
例2
▲
■
第 14 页
0-和0+初始值举例1
例1：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + f(t)
将上述关系代入式（1），并整理得
■ 第 16 页
aδ” (t)+bδ’(t)+Cδ(t)+r1(t) + 3aδ’(t)+3bδ(t)+3r2(t) + 2aδ(t)+2r3(t)= 2δ” (t) + δ’(t)
比较等式两边冲激项系数，有
a=2
b+3a=1
c+3b+2a=0
解得：a=2，b=-5，c=11，故
dt2
dt
dt
如果已知： 1 f t t2; 2 f t et , 分别求两种情况下此
方程的特解。
■
第7页
特解举例
例：给定微分方程式
d2 yt 2 d yt 3yt d f t f t
dt2
dt
dt
如果已知： 1 f t t2; 2 f t et , 分别求两种情况下此
方程的特解。
故
y(0+) = y(0-) = 2
■ 第 20 页
对式(1)两端积分有
0
0
0
0
0
y''(t)dt 3 y'(t)dt 2 y(t)dt 2 (t)dt 6 (t)dt
例1
例2
▲
■
第 14 页
0-和0+初始值举例1
例1：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + f(t)
将上述关系代入式（1），并整理得
■ 第 16 页
aδ” (t)+bδ’(t)+Cδ(t)+r1(t) + 3aδ’(t)+3bδ(t)+3r2(t) + 2aδ(t)+2r3(t)= 2δ” (t) + δ’(t)
比较等式两边冲激项系数，有
a=2
b+3a=1
c+3b+2a=0
解得：a=2，b=-5，c=11，故
dt2
dt
dt
如果已知： 1 f t t2; 2 f t et , 分别求两种情况下此
方程的特解。
■
第7页
特解举例
例：给定微分方程式
d2 yt 2 d yt 3yt d f t f t
dt2
dt
dt
如果已知： 1 f t t2; 2 f t et , 分别求两种情况下此
方程的特解。
故
y(0+) = y(0-) = 2
■ 第 20 页
对式(1)两端积分有
0
0
0
0
0
y''(t)dt 3 y'(t)dt 2 y(t)dt 2 (t)dt 6 (t)dt
信号与系统 连续时间LTI系统状态方程的建立
2
1 (t ) iL (t )
2 ( t ) i L (t ) iC t
R2 1
y (t )
x1 (t )
1 C F 2
3 (t ) vC (t )
x2 (t )
电容Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在节点KCL：
d C 3 (t ) 1 (t ) 2 (t ) dt
电容C所在节点KCL：
d C 3 (t ) 1 (t ) 2 (t ) dt
电感L1所在网孔KVL：
d L1 1 (t ) R11 (t ) 3 (t ) x1 (t ) dt
16/48
信号与系统
三、由电路图建立状态方程
R1 2 L1 1H
a
1
L2
1 H 3
； 。
y1 (t ), y2 (t ),, yq (t )
3/48
信号与系统
一、连续时间LTI系统状态方程的一般形式
则系统的状态方程为：
1 (t ) f1 1 (t ), 2 (t ),, n (t ), x1 (t ), x2 (t ),, x p (t ), t
2 (t ) f 2 1 (t ), 2 (t ),, n (t ), x1 (t ), x2 (t ),, x p (t ), t
L1
iL1 t
iL3 t L3
L1
iL1 t
iS t
iL2 t
L2
图3
iL2 t
L2
图4
12/48
信号与系统
三、由电路图建立状态方程
例：列写如图所示电路的状态方程，若输出信号为电压 y (t ) ，
1 (t ) iL (t )
2 ( t ) i L (t ) iC t
R2 1
y (t )
x1 (t )
1 C F 2
3 (t ) vC (t )
x2 (t )
电容Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在节点KCL：
d C 3 (t ) 1 (t ) 2 (t ) dt
电容C所在节点KCL：
d C 3 (t ) 1 (t ) 2 (t ) dt
电感L1所在网孔KVL：
d L1 1 (t ) R11 (t ) 3 (t ) x1 (t ) dt
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信号与系统
三、由电路图建立状态方程
R1 2 L1 1H
a
1
L2
1 H 3
； 。
y1 (t ), y2 (t ),, yq (t )
3/48
信号与系统
一、连续时间LTI系统状态方程的一般形式
则系统的状态方程为：
1 (t ) f1 1 (t ), 2 (t ),, n (t ), x1 (t ), x2 (t ),, x p (t ), t
2 (t ) f 2 1 (t ), 2 (t ),, n (t ), x1 (t ), x2 (t ),, x p (t ), t
L1
iL1 t
iL3 t L3
L1
iL1 t
iS t
iL2 t
L2
图3
iL2 t
L2
图4
12/48
信号与系统
三、由电路图建立状态方程
例：列写如图所示电路的状态方程，若输出信号为电压 y (t ) ，
第二章LTI系统的时域分析ppt课件
注意：为方便起见，对单一零状态系统进行讨论时常常仅用y(t)代表yf(t)。
y( t ) a0 y当( tf)(t b)0f (t()t )时 h( t ) a0h( t ) b0 ( t )
2、h(t)的求解方法 （1） 利用阶跃响应与冲激响应的关系求解
此方法适用于简单电路，前提是阶跃响应g(t)简单易求。
y( t ) yh( t ) yp( t )
1、齐次解yh(t)
y( n )( t ) an1 y( n1 )( t ) a1 y( t ) a0 y( t ) 0
特征方程
的解
n n1 a1 a0 0
➢ 齐次微分方程的特征根：特征方程的 n 个根λi (i=1，2，…，n) ； ➢ 齐次解yh(t)的函数形式由特征根确定；
零状态 系统
y f ( t ) h( t )
yf(t)= g(t)
➢ 零状态系统：在激励 f(t) 的作用下将产生零状态响应yf(t)；
➢ 如果激励是单位冲激信号δ(t)，产生的响应称为单位冲激响应，用h(t)表示。 ➢ 如果激励是单位阶跃信号ε(t)，产生的响应称为单位阶跃响应，用g(t)表示。
n
m
ai y(k i) bj f (k j)
i0
j0
(an 1, m n)
差分方程的经典解分为齐次解yh(k)和特解yp(k)。
y(k) yh (k) yp (k)
1、差分方程的齐次解
n阶前向齐次差分方程 y(k n) an1y(k n 1) a1y(k 1) a0 y(k) 0
i1
y( t
)
yh( t
)
yp( t
)
C
1e
C2 t
ie
信号与系统（郑君里）第二版讲义第二章
信号与系统（郑君⾥）第⼆版讲义第⼆章第⼆章连续时间系统的时域分析第⼀讲微分⽅程的建⽴与求解⼀、微分⽅程的建⽴与求解对电路系统建⽴微分⽅程，其各⽀路的电流、电压将为两种约束所⽀配： 1.来⾃连接⽅式的约束：KVL 和KIL ，与元件的性质⽆关。
2.来⾃元件伏安关系的约束：与元件的连接⽅式⽆关。
例2-1 如图2-1所⽰电路，激励信号为，求输出信号。
电路起始电压为零。
图2－1解以输出电压为响应变量，列回路电压⽅程：所以齐次解为：。
因激励信号为，若，则，将其代⼊微分⽅程：所以，从⽽求得完全解：由于电路起始电压为零并且输⼊不是冲激信号，所以电容两端电压不会发⽣跳变，，从⽽若，则特解为，将其代⼊微分⽅程，并利⽤起始条件求出系数，从⽽得到：⼆、起始条件的跳变——从到1.系统的状态(起始与初始状态)(1)系统的状态：系统在某⼀时刻的状态是⼀组必须知道的最少量的数据，利⽤这组数据和系统的模型以及该时刻接⼊的激励信号，就能够完全确定系统任何时刻的响应。
由于激励信号的接⼊，系统响应及其各阶导数可能在t=0时刻发⽣跳变，所以以表⽰激励接⼊之前的瞬时，⽽以表⽰激励接⼊以后的瞬时。
(2)起始状态：，它决定了零输⼊响应，在激励接⼊之前的瞬时t=系统的状态，它总结了计算未来响应所需要的过去的全部信息。
(3)初始状态：跳变量,它决定了零状态响应，在激励接⼊之后的瞬时系统的状态。
(4)初始条件：它决定了完全响应。
这三个量的关系是：。
2.初始条件的确定（换路定律）电容电压和电感电流在换路（电路接通、断开、接线突变、电路参数突变、电源突变）瞬间前后不能发⽣突变，即是连续的。
时不变：时变：例电路如图2-2所⽰，t=0以前开关位于"1"已进⼊稳态，t=0时刻，开关⾃"1"转⾄"2"。
(1)试从物理概念判断、和、。
(2)写出t>0时间内描述系统的微分⽅程式,求的完全响应。
图2－2解(1)换路前电路处于稳态电感相当于短路，电感电流，电容相当于开路= 0，= = 0。
微分方程式的建立与求解
自由落体运动
通过建立微分方程式描述物体在重力作用下的运动规律，如速度、加速度与时 间的关系。
02
微分方程的求解方法
分离变量法
总结词
通过将微分方程转化为代数方程，简 化求解过程。
详细描述
分离变量法适用于具有两个变量的微 分方程，通过分离变量，将微分方程 转化为代数方程，然后求解代数方程 得到微分方程的解。
05
微分方程的稳定性分析
线性微分方程的稳定性分析
线性微分方程的稳定性分析主要基于其 特征值和特征向量。如果所有特征值都 位于复平面的左半部分，则系统是稳定 的；否则，系统是不稳定的。
线性微分方程的解可以通过求解其特征值和 特征向量得到，也可以通过积分得到。
线性微分方程的解具有叠加性，即 如果两个解都是稳定的，那么它们 的线性组合也是稳定的。
振动分析
在研究物体的振动时，通过建立位移、速度和加 速度的微分方程来分析振动的规律和特性。
3
热传导方程
在研究热量在物体中的传递时，通过建立温度关 于时间和空间的微分方程来模拟热传导过程。
在经济中的应用
供需关系
01
在分析商品市场的供需关系时，通过建立需求和供给函数的微
分方程来预测价格变动。
经济增长模型
非线性微分方程的稳定性分析
非线性微分方程的稳定性分析比线性微分方程更为复杂，需要考虑更多的因素，如非线性项的性质、 初始条件等。
非线性微分方程的解可以通过数值方法（如欧拉法、龙格-库塔法等）得到，也可以通过解析方法（如 分离变量法、幂级数展开等）得到。
非线性微分方程的解具有不可叠加性，即如果两个解都是稳定的，那么它们的线性组合不一定是稳定的。
微分方程式的建立与 求解
目 录
通过建立微分方程式描述物体在重力作用下的运动规律，如速度、加速度与时 间的关系。
02
微分方程的求解方法
分离变量法
总结词
通过将微分方程转化为代数方程，简 化求解过程。
详细描述
分离变量法适用于具有两个变量的微 分方程，通过分离变量，将微分方程 转化为代数方程，然后求解代数方程 得到微分方程的解。
05
微分方程的稳定性分析
线性微分方程的稳定性分析
线性微分方程的稳定性分析主要基于其 特征值和特征向量。如果所有特征值都 位于复平面的左半部分，则系统是稳定 的；否则，系统是不稳定的。
线性微分方程的解可以通过求解其特征值和 特征向量得到，也可以通过积分得到。
线性微分方程的解具有叠加性，即 如果两个解都是稳定的，那么它们 的线性组合也是稳定的。
振动分析
在研究物体的振动时，通过建立位移、速度和加 速度的微分方程来分析振动的规律和特性。
3
热传导方程
在研究热量在物体中的传递时，通过建立温度关 于时间和空间的微分方程来模拟热传导过程。
在经济中的应用
供需关系
01
在分析商品市场的供需关系时，通过建立需求和供给函数的微
分方程来预测价格变动。
经济增长模型
非线性微分方程的稳定性分析
非线性微分方程的稳定性分析比线性微分方程更为复杂，需要考虑更多的因素，如非线性项的性质、 初始条件等。
非线性微分方程的解可以通过数值方法（如欧拉法、龙格-库塔法等）得到，也可以通过解析方法（如 分离变量法、幂级数展开等）得到。
非线性微分方程的解具有不可叠加性，即如果两个解都是稳定的，那么它们的线性组合不一定是稳定的。
微分方程式的建立与 求解
目 录
微分方程的建立方法和步骤(精)
广州大学机械与电气工程学院
微分方程式 的建立
广州大学机械与电气工程学院
微分方程式 的建立
广州大学机械与电气工程学院
实践环节1
（1）弹簧，阻尼器串并联系统如图所示，系统 为无质量模型，试建立系统的运动方程。
xi
c
x0
广州大学机械与电气工程学院
实践环节2
（2）已知单摆系统的运动如图所示，写出运动 方程式； 求取线性化方程。
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实践环节5
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df f ( x ) y=f(x） dx
1 d2 f x x ( x x ) 2! dx 2
2 ( x x ) x x
y y k(x x) y y k(x x)
广州大学机械与电气工程学院
微分方程的建立方法和步骤
控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量） 之间关系的数学表达式。在静态条件下（即变量各阶导 数为零），描述变量之间关系的代数方程叫静态数学模 型；而描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数 学模型。 如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解， 就可以得到系统的输出量的表达式，并由此对系统进行 性能分析。 因此建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的 首要工作。
广州大学机械与电气工程学院
微分方程式 的建立
基本定律 物理、化学及专业上的 中间变量的作用 基本概念 简化性与准确性要求 小偏差线性化理论
原始方程组 直接列写法线性化 消中间变量 化标准形 C （s ) M ( s ) M (s) 基本方法 由传递函数 C ( s ) R ( s ) N(s)C(s) M(s)R(s) R( s) N (s) N (s) d p -1 转换法 L dt N ( p )c(t ) M ( p )r (t ) 微分方程 由结构图 传递函数 微分方程 由信号流图 传递函数 微分方程
§2.2 连续LTI系统微分方程式的建立
iL (t )
u1 (t )
L
R2
1)u1
R1
用消元法求得。
2 R1 Lp R1 R2 p iS u1 2 Lp ( R1 R2 ) p 1/ C R1 p 1/ C i iS L 2 Lp ( R1 R2 ) p 1/ C
信号与系统
u i R i 1 u pL i pC u
信号与系统
微分方程的列写
is (t )
C
例：列写 iL (t )与 v1 (t ) 的微分方程。 解： Lp R i 2 L
u1 i i S L R1 uC u1 ( 1 R1Cp
iR (t ) iL (t ) iC (t ) iS (t )
代入上面元件伏安关系，并化简有
C d v(t ) dt
2 2
1 d v(t ) R dt
1 L
v(t )
d iS (t ) dt
这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。
信号与系统
微分方程的列写
算子法列写电路的微分方程 用 p 表示微分算子，即有
2
2 2
R1 R2 du1 L dt
1 LC
u1 R1
d iS dt
2
2
R1 R2 diS L dt
d iL dt
2
R1 R2 diL L dt
1 LC
iL
R1 diS L dt
1 LC
iS
信号与系统
微分方程的一般形式
一个线性连续LTI系统，可以用下面一般形式的微分方程来描述。
第二章-LTI系统
y h ( t ) A1e t A2 e 2 t
⑵ 求方程对应自由项的特解，即受迫响应。 方程的自由项
dx (t ) 4 x (t ) (t ) e 3 t u (t ) dt
于是令t>0时特解
y p ( t ) Be 3 t
dy p ( t ) dt
将其代入方程左边，并使方程在t>0时平衡
⑵ 由起始条件确定待定常数，即求出零输入响应。 y(0 ) 0 A1
y(0 ) 1 A1 A2
或者可求得
A1 0
A2 1
C 1 , 0
d 2 y (t ) dy (t ) dx (t ) 3 2 y (t ) 4 x (t ) 2 dt dt dt
且已知
x (t ) e 3 t u (t )
y(0 ) y(0 ) 1
试求t>0时的系统响应y(t)。 解：⑴ 求一个方程的齐次通解。 由于方程左边与上例相同，它的齐次通解形式与上例相同：
微分方程的特解形式
方程自由项的形式
E（常数）
tk e t
cos t sin t
k
方程特解的形式
B （常数）
B k t B k 1t
k 1
B 1t B 0
k
i0
B it i
Be t
B1 cos t B2 sin t C cos(t ) D sin(t )
所以求得
7 A1 2
A2 3
最后，当t>0时系统的全响应
7 t 1 3t 2t y ( t ) e 3e e 2 2
或表示为：
7 t 1 3t 2t y ( t ) ( e 3e e ) u ( t ) 2 2
微分方程的建立方法和步骤(精)
微分方程传递函数由信号流图微分方程传递函数由结构图微分方程由传递函数转换法化标准形消中间变量线性化原始方程组直接列写法基本方法dt小偏差线性化理论简化性与准确性要求中间变量的作用基本定律物理化学及专业上的基本概念广州大学机械与电气工程学院1
微分方程的建立方法和步骤
控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量） 之间关系的数学表达式。在静态条件下（即变量各阶导 数为零），描述变量之间关系的代数方程叫静态数学模 型；而描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数 学模型。 如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解， 就可以得到系统的输出量的表达式，并由此对系统进行 性能分析。 因此建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的 首要工作。
广州大学机械与电气工程学院
微分方程式 的建立
基本定律 物理、化学及专业上的 中间变量的作用 基本概念 简化性与准确性要求 小偏差线性化理论
原始方程组 直接列写法线性化 消中间变量 化标准形 C （s ) M ( s ) M (s) 基本方法 由传递函数 C ( s ) R ( s ) N(s)C(s) M(s)R(s) R( s) N (s) N (s) d p -1 转换法 L dt N ( p )c(t ) M ( p )r (t ) 微分方程 由结构图 传递函数 微分方程 由信号流图 传递函数 微分方程
非线性微分方程的线性化
广州大学机械与电气工程学院
广州大学机械与电气工程学院
微分方程式 的建立
广州大学机械与电气工程学院
微分方程式 的建立
广州大学机械与电气工程学院
实践环节1
（1）弹簧，阻尼器串并联系统如图所示，系统 为无质量模型，试建立系统的运动方程。
微分方程的建立方法和步骤
控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量） 之间关系的数学表达式。在静态条件下（即变量各阶导 数为零），描述变量之间关系的代数方程叫静态数学模 型；而描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数 学模型。 如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解， 就可以得到系统的输出量的表达式，并由此对系统进行 性能分析。 因此建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的 首要工作。
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微分方程式 的建立
基本定律 物理、化学及专业上的 中间变量的作用 基本概念 简化性与准确性要求 小偏差线性化理论
原始方程组 直接列写法线性化 消中间变量 化标准形 C （s ) M ( s ) M (s) 基本方法 由传递函数 C ( s ) R ( s ) N(s)C(s) M(s)R(s) R( s) N (s) N (s) d p -1 转换法 L dt N ( p )c(t ) M ( p )r (t ) 微分方程 由结构图 传递函数 微分方程 由信号流图 传递函数 微分方程
非线性微分方程的线性化
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微分方程式 的建立
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微分方程式 的建立
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实践环节1
（1）弹簧，阻尼器串并联系统如图所示，系统 为无质量模型，试建立系统的运动方程。
unit-2第2章 LTI系统时域分析
初始条件的一致性： 1）空间一致性： 初始条件的个数=方程阶数=待定系数个数 2）时间一致性： 满足解的时间约束条件
例：已知 y(t ) k1e k2e 15e , t 0
-t -2t -3t
初始条件为 y(0) 0, y(0) 5 试确定待定系数
证明： 为书写简便，用算子T 来系统，则有 0 T 0 yn，x T x y f 由于是线性系统，因而有 0 x T 0 x yn y f y
例：(t ) 3 y(t ) 2 y(t ) x(t ) y x(t ) 10e u(t )，求完全解
-t -2 t -3t
k1 10 k2 25 -t -2 t -3t y (t ) 10e 25e 15e , t 0
(五) 区分自然响应与强迫响应
• 自然响应：由系统特性决定的响应 • 强迫响应：由输入信号特性决定的响应
如前例 t 2 t 3t y (t ) 10e (-15e ) , t 0 25e
6k3 2k4 2 2k3 3k4 2k5 5
k3 0，k4 1，k5 1
y f (t ) t 1
例：(t ) 3 y(t ) 2 y(t ) x(t ) y x(t ) 10e3t u(t )，求特解
1) 查表确定特解：
输入的时间条件， 它给定了特解的时 间约束条件
x ( n ) 2 u ( n ) y f ( n ) k3 2
n 1
代入原方程有：
k3 (2) 4k3 (2)
n
3k3 (2)
n2
(2)
n
k3 4 y f (n) 4 2 ，n 0
例：已知 y(t ) k1e k2e 15e , t 0
-t -2t -3t
初始条件为 y(0) 0, y(0) 5 试确定待定系数
证明： 为书写简便，用算子T 来系统，则有 0 T 0 yn，x T x y f 由于是线性系统，因而有 0 x T 0 x yn y f y
例：(t ) 3 y(t ) 2 y(t ) x(t ) y x(t ) 10e u(t )，求完全解
-t -2 t -3t
k1 10 k2 25 -t -2 t -3t y (t ) 10e 25e 15e , t 0
(五) 区分自然响应与强迫响应
• 自然响应：由系统特性决定的响应 • 强迫响应：由输入信号特性决定的响应
如前例 t 2 t 3t y (t ) 10e (-15e ) , t 0 25e
6k3 2k4 2 2k3 3k4 2k5 5
k3 0，k4 1，k5 1
y f (t ) t 1
例：(t ) 3 y(t ) 2 y(t ) x(t ) y x(t ) 10e3t u(t )，求特解
1) 查表确定特解：
输入的时间条件， 它给定了特解的时 间约束条件
x ( n ) 2 u ( n ) y f ( n ) k3 2
n 1
代入原方程有：
k3 (2) 4k3 (2)
n
3k3 (2)
n2
(2)
n
k3 4 y f (n) 4 2 ，n 0
信号与系统 连续时间LTI系统状态方程的建立
n (t ) f n 1 (t ), 2 (t ),, n (t ), x1 (t ), x2 (t ),, x p (t ), t
系统的输出方程为： y1 (t ) g1 1 (t ), 2 (t ), , n (t ), x1 (t ), x2 (t ), , x p (t ), t
1 (t ) d11 (t ) 2 d 21 n (t ) d q1
d12 d1 p x1 (t ) x (t ) d 22 d 2 p 2 d q 2 d qp x p (t )
b1 p x1 (t ) x (t ) b2 p 2 bnp x p (t )
λ (t ) Aλ (t ) Bx (t )
信号与系统
一、连续时间LTI系统状态方程的一般形式
y1 t c111 t c12 2 t c1n n t d11 x1 t d12 x2 t d1 p x p t y2 t c211 t c22 2 t c2n n t d 21 x1 t d 22 x2 t d 2 p x p t …… yq t cq11 t cq 22 t cqn n t d q1 x1 t d q 2 x2 t d qp x p t
连续时间系统的状态方程是状态变量的一阶微分联立方程组， 设系统有 n 个状态变量
1 (t ), 2 (t ),, n (t ) ；
状态变量的一阶导数用 1 (t ), 2 (t ),, n (t ) 表示；
第二章 连续LTI系统微分方程式的建立
特征根：
d2 d y (t ) 6 y (t ) 5 y (t ) 0 2 dt dt
2 6 5 0
1 5， 2 1
该方程的齐次解为：yh (t ) A1e 5t A2 e t 激励函数中α = -1，与微分方程的一个特征根相 同，因此特解为：
(0 t 0 )
代入微分方程
a (t ) b (t ) cu(t ) 7 a (t ) bu(t ) 10au(t )
2 (t ) 12 (t ) 8u (t )
33
信号与系统
二、冲激函数匹配法确定初始条件
r (0 ) r (0 ) a 2 d r (0 ) d r (0 ) b 2 dt 因而有 d t d2 d2 2 r (0 ) 2 r (0 ) c 2 dt d t
解：特征方程
特征根 零输入响应 由起始条件
3 2 0
2
21
信号与系统
§2.3 起始点的跳变
22
信号与系统
一、起始点的跳变
t 0
00+ O t
0 状态，起始状态
d r (0 ) d 2 r (0 ) d n1 r (0 ) r ( n ) (0 ) r (0 ), , , 2 dt dt d t n1
t≥0 ，得
O
t
d2 d r (t ) 7 r (t ) 10r (t ) 2 (t ) 12 (t ) 8u(t ) 2 dt dt
32
信号与系统
二、冲激函数匹配法确定初始条件
方程右端的冲激函数项最高阶次是 (t ) ，因而有
d2 d t 2 r (t ) a (t ) b (t ) cu (t ) d d t r (t ) a (t ) bu (t ) r (t ) au (t )
d2 d y (t ) 6 y (t ) 5 y (t ) 0 2 dt dt
2 6 5 0
1 5， 2 1
该方程的齐次解为：yh (t ) A1e 5t A2 e t 激励函数中α = -1，与微分方程的一个特征根相 同，因此特解为：
(0 t 0 )
代入微分方程
a (t ) b (t ) cu(t ) 7 a (t ) bu(t ) 10au(t )
2 (t ) 12 (t ) 8u (t )
33
信号与系统
二、冲激函数匹配法确定初始条件
r (0 ) r (0 ) a 2 d r (0 ) d r (0 ) b 2 dt 因而有 d t d2 d2 2 r (0 ) 2 r (0 ) c 2 dt d t
解：特征方程
特征根 零输入响应 由起始条件
3 2 0
2
21
信号与系统
§2.3 起始点的跳变
22
信号与系统
一、起始点的跳变
t 0
00+ O t
0 状态，起始状态
d r (0 ) d 2 r (0 ) d n1 r (0 ) r ( n ) (0 ) r (0 ), , , 2 dt dt d t n1
t≥0 ，得
O
t
d2 d r (t ) 7 r (t ) 10r (t ) 2 (t ) 12 (t ) 8u(t ) 2 dt dt
32
信号与系统
二、冲激函数匹配法确定初始条件
方程右端的冲激函数项最高阶次是 (t ) ，因而有
d2 d t 2 r (t ) a (t ) b (t ) cu (t ) d d t r (t ) a (t ) bu (t ) r (t ) au (t )
LTI系统
主 讲
∫ 教 ∫ 师
② 当 0 < t < T 时，y(t) = ③ 当T < t < 2T 时，y(t) =
tτ dτ = 1 t2
0 t
τ dτ
2 = Tt
−
1T2
：
祁
∫ 永
敏
④
当 2T <t <3T 时，y(t) =
t −T
2T τ dτ
=
2T 2
2 −
1
(t
−
T
)2
t −T
2
⑤ 当 t > 3T 时， y(t) = 0
k =−∞
∫ y(t) = x(t) ∗ h(t) = ∞ x(τ )h(t − τ )dτ −∞
∞
∫= x(t − τ )h(τ )dτ = h(t) ∗ x(t) −∞
2012-10-12
25
通信工程学院
主 讲 教 师
h(n)
x(n)
x(t) x(n)
h(t)
y(t) y(n)
⇒
h(t) h(n)
（齐次性）
∫ ∫ 祁
永 敏
∞
x(τ )δ (t −τ )dτ
−∞
→
∞ x(τ )h(t −τ )（叠加性）
−∞
LTI系统对任意输入 x(t) 的响应可表示为：
∫ y(t) = ∞ x(τ )h(t −τ )dτ = x(t) ∗ h(t) −∞
表明:LTI系统可以由它的单位冲激响应h(t) 来表征。
讲 教
这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号
∞
xΔ
(t
)
，
∑ 师
：
即：xΔ (t) = x(kΔ)δΔ (t − kΔ) ⋅ Δ
信号与系统 §202 微分方程式的建立与求解PPT课件
et4V
2 S R1 1
1 it iCt
C1F
et2V
iLt
L 1H 4
3
R2
2
（1）列写电路的微分方程
根据电路形式，列回路方程
R 1 it v C t e t
vCtLddtiLtiLtR2
列结点电压方程
it变 t,把 量电路参数代
方程的特解。
1将 ett2代 入 方 ,得t程 2到 2t,右 为使等端 式两端
平衡，试选特解函数式
rptB 1t2B 2tB 3
这里, B1,B2,B3为待定系将数此。式代入方程得到
3 B 1 t 2 4 B 1 3 B 2 t 2 B 1 2 B 2 3 B 3 t 2 2 t
这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。
两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线 性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则 可以用高阶微分方程表示。
三．n 阶线性时不变系统的描述
一个线性系统，其激励信号 e(t与) 响应信号 r (之t ) 间的 关系，可以用下列形式的微分方程式来描述
二．微分方程的列写
• 对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑 约束列写系统的微分方程。
• 根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。
元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元 件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及 四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。
网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关 系,KCL，KVL。
例2-2-1求并联电路的端电压 v t 与激励 is t 间的关系。
电阻 电感 电容
iRt
1 vt
R
iLt
1 L
ch2-3连续LTI系统的微分方程
d dt
y(t) a0 y(t) 0
特征方程：D( )
n
a n1 n1
...
a1
a0
0
特征方程的n个根称为微分方程的特征根。
n
特征根全部为单实根 yn (t ) cieit i 1
特解 称为系统的强迫响应
例：
+ x(t) -
R
L
i(t)
C
如图所示电路系统，R 3, L 1H ,C 1 2 F， x(t) 是输入电压源，x(t) 10e3t u(t)，以电流 i(t)为输出。 设初始条件 i(0 ) 0 和 uc (0 ) 5V，求全响应电流 i(t)。
Step1：建立微分方程； Step2：解出特征根，写出齐次通解； Step3：根据输入信号形式，求出特解； Step4：代入初始条件，求解待定系数。
齐次通解的形式，只与特征根有关，即只取决于系统本 身特性。 但齐次解的系数与输入和系统初始状态都有关。 齐次解称为系统的自然响应（或自由响应、固有响应） 。 特解的形式与外加输入信号有关，称为系统的强迫响应。
是零初始条件0输入以电流为输出求零状态响应电流2015零输入响应零状态响应自然响应强迫响应102515在初始条件共同作用下的全响应为
§2.3 连续LTI系统的微分方程
一 微分方程的建立和求解
dn dt n
y(t) an1
d n1 dt n1
y(t
)...
a1
d dt
y(t) a0 y(t)
用时域经典法求解时，确定系数的初始状态是输入信号 作用系统后的0+时刻的初始条件——称为起始状态。 0-时刻的初始条件——称为初始状态。
连续lti系统的分析课程设计
连续lti系统的分析课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解连续线性时不变系统（LTI系统）的基本概念，掌握其数学描述和性质。
2. 学会运用拉普拉斯变换分析连续LTI系统的时域和频域特性。
3. 掌握连续LTI系统的零状态响应和零输入响应的计算方法。
技能目标：1. 能够运用数学工具对连续LTI系统进行建模，并进行稳定性分析。
2. 能够运用拉普拉斯变换解决连续LTI系统的控制问题。
3. 能够运用所学知识对实际电路和信号处理系统进行分析和设计。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对连续LTI系统分析的兴趣，激发学生主动探索科学问题的热情。
2. 培养学生严谨的科学态度，提高学生的逻辑思维和分析问题的能力。
3. 培养学生的团队协作精神，提高学生在学术讨论中表达自己观点的能力。
课程性质分析：本课程为电子信息类专业的高年级本科生开设，旨在帮助学生建立连续LTI系统的基本理论体系，提高学生运用理论知识解决实际问题的能力。
学生特点分析：高年级本科生已具备一定的数学基础和专业知识，具有较强的自学能力和逻辑思维能力，但对连续LTI系统的实际应用可能缺乏深入了解。
教学要求：1. 结合实际案例，深入浅出地讲解连续LTI系统的理论知识。
2. 注重培养学生的动手能力，通过课后习题和实验，使学生将所学知识应用于实际问题。
3. 鼓励学生进行课堂讨论，提高学生的思维活跃度和学术交流能力。
二、教学内容1. 连续LTI系统的基本概念：介绍连续LTI系统的定义、特点及其数学描述方法，包括微分方程和传递函数。
教材章节：第一章 连续系统基础2. 拉普拉斯变换：讲解拉普拉斯变换的定义、性质和应用，以及如何将连续LTI系统转换为s域分析。
教材章节：第二章 拉普拉斯变换3. 连续LTI系统的时域分析：介绍零状态响应、零输入响应和全响应的计算方法，分析系统稳定性。
教材章节：第三章 时域分析4. 连续LTI系统的频域分析：讲解频率响应函数，分析系统频率特性，介绍波特图和尼奎斯特图。
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齐次解的形式
Aet
A1et A2tet Ak t e k 1 t A1eatcosbt A2eatsinbt
7
信号与系统三、线性时不变系统经典法求解
8
信号与系统三、线性时不变系统经典法求解
系统的特征方程为 特征根 因而对应的齐次解为
9
信号与系统三、线性时不变系统经典法求解
rzs
(t)
2et
1 2
e2t
3 2
,
t 0
r(t)
rzi (t)
rzs (t)
4et
3e2t
2et
1 2
e2t
3 2
零输入响应
2et 5 e2t 3
2
2
零状态响应
暂态响应 稳态响应
自由响应 强迫响应
41
信号与系统
四、全响应
习题2-6（2）
分析过程
ut :
表示0 到0 相对单位跳变函数
29
信号与系统d r(t) 3r(t) 3 (t)
dt
数学描述
方程右端含 (t) 项，它一定属于 d r(t)
dt
设
d r(t) a (t) b (t) cu(t)
dt
则
r(t) a (t) bu(t)
信号与系统
§2.1 引言
一、系统数学模型的时域表示法
输入输出描述： 一 元 N 阶微分方程 状态变量描述： N 元 一 阶微分方程
1
信号与系统
二、系统分析过程
列方程 解方程
经典法： 全解=齐次解+特解
双零法
零输入： 可用经典法 零状态：卷积积分法 (新方法)
变换域法： FT, LT
2
信号与系统§2.2 微分方程的建立与求解
4
信号与系统
一、微分方程的建立
例2.2.2 如下图机械位移系统，质量为 m 的刚体一端由弹簧
m
Fs
牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦系数为 f ，外加牵引力为Fs(t)，求其外加牵引力Fs(t)与刚体运动速度 v(t)间的关系。
解：
d2 vt
m dt2
f
d v t
dt
kv t
d
r(0 t n1
)
0 状态，初始条件，也称导出的起始状态
r
(
n)
(0
)
r
(0
),
d
r(0 dt
)
,
d
2r d
(0 t2
)
,L
d
n1
d
r(0 t n1
)
22
信号与系统
一、起始点的跳变
说明：
1.对于电路，系统 0_ 状态就是系统中储能元件的储能情况; 2.一般情况下换路期间满足换路定则：
（二）特解 rp(t)
由微分方程右端 e(t) 形式 设具有系数的特解 r(t) 代入原方程 比较系数定出特解。
激励函数e(t)
响应函数 r(t) 的特解
E
B
tp
B1t p B2t p1 L Bpt Bp1
e t
Be t
α 不等于特征根
Bte t
α等于特征单根
10
)
e -t
4
所以特解为
yp (t)
1 4
tet
全解为
y(t)
yh (t)
yp (t)
A1e5t
A2et
1 tet 4
代入初始条件 y(0) y’(0) 0 求得
A1
1 16
,
A2
1 16
所以有
y(t) 1 e5t 1 et 1 tet t 0
y(0) 0 , y '(0) 0
12
信号与系统三、线性时不变系统经典法求解
d 2 y(t) 6 d y(t) 5y(t) et
dt 2
dt
解: 齐次方程为
d2 dt 2
y(t) 6 d dt
y(t) 5y(t)
0
特征方程：
2 6 5 0
特征根：
1 5，2 1
16
16
4
14
信号与系统三、线性时不变系统经典法求解
15
信号与系统
（1）列写电路的微分方程
根据电路形式，列回路方程
列结点电压方程
(1)
16
信号与系统
(2)求系统的完全响应
系统的特征方程
特征根 齐次解 特解
方程右端自由项为
要求系统的完全响应为
17
代入式(1)
信号与系统 (3)
换路前
18
信号与系统
a
(t)
Байду номын сангаас
b
(t)
cu(t)
d d t
r(t)
a
(t
)
bu (t )
r(t) au(t)
代入微分方程
(0 t 0 )
a (t) b (t) cu(t) 7a (t) bu(t)10au(t)
2 (t) 12 (t) 8u(t)
代入方程 得出
a (t) b (t) cu(t) 3a (t) 3bu(t) 3 (t)
a 3 b 3a 0 c 3b 0
a 3 即 b 9
c 9
所以得 r(0 ) r(0 ) b 9 即 r(0 ) r(0 ) 9
42
信号与系统
四、全响应
例 2.4.3：已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为 e(t)
零输入响应：外加激励e(t) =0，只由起始状态 x(0-) 产生的响应。
是系统方程的齐次解，由于无外加激励，则由 r(0+)=r(0-) 求出齐次解rzi(t)的待定系数。
零状态响应：起始状态r(0-) =0，只由外加激励e(t)≠0产生的响应。 将e(t)代入方程求齐次解加特解，由冲激函数 匹配法求r(0+), 再求全解rzs(t)的待定系数。
一、微分方程的建立 根据元件特性约束和网络拓扑约束。
3
信号与系统
一、微分方程的建立
例2.2.1：求并联电路的端电压 v(t) 与激励 is (t) 间关系。
is (t)
iR C
R iC
L
iL v(t)
解：
C
d2 v(t) dt2
1 R
d v(t) dt
1 L
v(t)
d
iS d
(t) t
当有冲激电流作 用于电容时0-到 0+有跳变。
24
信号与系统 例2.3.1
当有阶跃电压作用 于电容时，0-到 0+有跳变。
25
信号与系统
(二)电感电流的跳变
如果 为有限值，
26
当有冲激电压作 用于电感时，0-
到0+有跳变。
信号与系统 例2.3.2
27
i (t) L
Is(t)
L
VL(t)
当有阶跃电流作用 于电感时，0-到
d FS t
dt
5
信号与系统
二、 n 阶LTI系统微分方程的一般形式
一个 n 阶LTI系统，e(t)与r(t)的关系可以用 下面一般形式的n 阶线性常微分方程描述。
dn r(t) dn1 r(t)
d r(t)
C0 d t n C1 d t n1 Cn1 d t Cnr(t)
33
r(0 )
r(0 )
2
4 5
2
14 5
d
d t
r(0
)
d dt
r(0
)
2
2
信号与系统
二、冲激函数匹配法确定初始条件
习题2-5
34
信号与系统
§2.4 零输入响应和 零状态响应
35
信号与系统 一、系统响应的划分
全响应
36
零输入响应＋零状态响应
(Zero-input + Zero-state)
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信号与系统
二、冲激函数匹配法确定初始条件
例2.3.4：描述LTIS的微分方程为
d2 dt2
r(t)
7
d dt
r(t)
10r (t )
d2 dt2
e(t)
6
d dt
e(t)
4e(t)
输入
e(t) 如图，已知r(0 )
4 5
d dt
r(0
)
0,
d
et
用冲激函数匹配法求r(0 ) d t r(0 )
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信号与系统 一、系统响应的划分
自由响应： 由系统本身特性决定。对应于齐次解。 强迫响应： 形式取决于e(t)。对应于特解。
暂态响应： t ∞时，响应趋于零的部分。 稳态响应： t ∞时，响应留下的部分。
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信号与系统
二、零输入响应
例2.4.1： 求系统的零输入响应
d2
d
d
dt2 r(t) 3 dt r(t) 2r(t) dt e(t) 3e(t), r(0 ) 1, r '(0 ) 2