第二章 连续LTI系统微分方程式的建立

齐次解的形式
Aet
A1et A2tet Ak t e k 1 t A1eatcosbt A2eatsinbt
7
信号与系统三、线性时不变系统经典法求解
8
信号与系统三、线性时不变系统经典法求解
系统的特征方程为 特征根 因而对应的齐次解为
9
信号与系统三、线性时不变系统经典法求解
rzs
(t)

2et

1 2
e2t

3 2
,
t 0
r(t)

rzi (t)

rzs (t)

4et
3e2t

2et

1 2
e2t

3 2
零输入响应
2et 5 e2t 3
2
2
零状态响应
暂态响应 稳态响应
自由响应 强迫响应
41
信号与系统
四、全响应
习题2-6（2）
分析过程
ut :
表示0 到0 相对单位跳变函数
29
信号与系统d r(t) 3r(t) 3 (t)
dt
数学描述
方程右端含 (t) 项，它一定属于 d r(t)
dt
设
d r(t) a (t) b (t) cu(t)
dt
则
r(t) a (t) bu(t)
信号与系统
§2.1 引言
一、系统数学模型的时域表示法
输入输出描述： 一 元 N 阶微分方程 状态变量描述： N 元 一 阶微分方程
1
信号与系统
二、系统分析过程
列方程 解方程
经典法： 全解=齐次解+特解
双零法
零输入： 可用经典法 零状态：卷积积分法 (新方法)
变换域法： FT, LT
2
信号与系统§2.2 微分方程的建立与求解
4
信号与系统
一、微分方程的建立
例2.2.2 如下图机械位移系统，质量为 m 的刚体一端由弹簧
m
Fs
牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦系数为 f ，外加牵引力为Fs(t)，求其外加牵引力Fs(t)与刚体运动速度 v(t)间的关系。
解：
d2 vt
m dt2

f
d v t
dt
kv t
d
r(0 t n1
)

0 状态，初始条件，也称导出的起始状态
r
(
n)
(0
)


r
(0
),
d
r(0 dt
)
,
d
2r d
(0 t2
)
,L
d
n1
d
r(0 t n1
)

22
信号与系统
一、起始点的跳变
说明：
1.对于电路，系统 0_ 状态就是系统中储能元件的储能情况; 2.一般情况下换路期间满足换路定则：
（二）特解 rp(t)
由微分方程右端 e(t) 形式 设具有系数的特解 r(t) 代入原方程 比较系数定出特解。
激励函数e(t)
响应函数 r(t) 的特解
E
B
tp
B1t p B2t p1 L Bpt Bp1
e t
Be t
α 不等于特征根
Bte t
α等于特征单根
10
)

e -t
4
所以特解为
yp (t)

1 4
tet
全解为
y(t)

yh (t)
yp (t)

A1e5t

A2et

1 tet 4
代入初始条件 y(0) y’(0) 0 求得
A1

1 16
,
A2

1 16
所以有
y(t) 1 e5t 1 et 1 tet t 0
y(0) 0 , y '(0) 0
12
信号与系统三、线性时不变系统经典法求解
d 2 y(t) 6 d y(t) 5y(t) et
dt 2
dt
解: 齐次方程为
d2 dt 2
y(t) 6 d dt
y(t) 5y(t)
0
特征方程：
2 6 5 0
特征根：
1 5，2 1
16
16
4
14
信号与系统三、线性时不变系统经典法求解
15
信号与系统
（1）列写电路的微分方程
根据电路形式，列回路方程
列结点电压方程
(1)
16
信号与系统
(2)求系统的完全响应
系统的特征方程
特征根 齐次解 特解
方程右端自由项为
要求系统的完全响应为
17
代入式(1)
信号与系统 (3)
换路前
18
信号与系统

a
(t)
Байду номын сангаас
b
(t)

cu(t)
d d t
r(t)

a
(t
)

bu (t )
r(t) au(t)
代入微分方程
(0 t 0 )
a (t) b (t) cu(t) 7a (t) bu(t)10au(t)
2 (t) 12 (t) 8u(t)
代入方程 得出
a (t) b (t) cu(t) 3a (t) 3bu(t) 3 (t)
a 3 b 3a 0 c 3b 0
a 3 即 b 9
c 9
所以得 r(0 ) r(0 ) b 9 即 r(0 ) r(0 ) 9
42
信号与系统
四、全响应
例 2.4.3：已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为 e(t)
零输入响应：外加激励e(t) =0，只由起始状态 x(0-) 产生的响应。
是系统方程的齐次解，由于无外加激励，则由 r(0+)=r(0-) 求出齐次解rzi(t)的待定系数。
零状态响应：起始状态r(0-) =0，只由外加激励e(t)≠0产生的响应。 将e(t)代入方程求齐次解加特解，由冲激函数 匹配法求r(0+), 再求全解rzs(t)的待定系数。
一、微分方程的建立 根据元件特性约束和网络拓扑约束。
3
信号与系统
一、微分方程的建立
例2.2.1：求并联电路的端电压 v(t) 与激励 is (t) 间关系。
is (t)
iR C
R iC
L
iL v(t)

解：
C
d2 v(t) dt2

1 R
d v(t) dt

1 L
v(t)

d
iS d
(t) t
当有冲激电流作 用于电容时0-到 0+有跳变。
24
信号与系统 例2.3.1
当有阶跃电压作用 于电容时，0-到 0+有跳变。
25
信号与系统
(二)电感电流的跳变
如果 为有限值，
26
当有冲激电压作 用于电感时，0-
到0+有跳变。
信号与系统 例2.3.2
27
i (t) L
Is(t)
L
VL(t)

当有阶跃电流作用 于电感时，0-到

d FS t
dt
5
信号与系统
二、 n 阶LTI系统微分方程的一般形式
一个 n 阶LTI系统，e(t)与r(t)的关系可以用 下面一般形式的n 阶线性常微分方程描述。
dn r(t) dn1 r(t)
d r(t)
C0 d t n C1 d t n1 Cn1 d t Cnr(t)
33
r(0 )

r(0 )

2

4 5

2

14 5

d
d t
r(0
)

d dt
r(0
)

2

2
信号与系统
二、冲激函数匹配法确定初始条件
习题2-5
34
信号与系统
§2.4 零输入响应和 零状态响应
35
信号与系统 一、系统响应的划分
全响应
36
零输入响应＋零状态响应
(Zero-input + Zero-state)
30
信号与系统
二、冲激函数匹配法确定初始条件
例2.3.4：描述LTIS的微分方程为
d2 dt2
r(t)

7
d dt
r(t)
10r (t )

d2 dt2
e(t)

6
d dt
e(t)

4e(t)
输入
e(t) 如图，已知r(0 )
4 5
d dt
r(0
)

0,
d
et
用冲激函数匹配法求r(0 ) d t r(0 )
37
信号与系统 一、系统响应的划分
自由响应： 由系统本身特性决定。对应于齐次解。 强迫响应： 形式取决于e(t)。对应于特解。
暂态响应： t ∞时，响应趋于零的部分。 稳态响应： t ∞时，响应留下的部分。
38
信号与系统
二、零输入响应
例2.4.1： 求系统的零输入响应
d2
d
d
dt2 r(t) 3 dt r(t) 2r(t) dt e(t) 3e(t), r(0 ) 1, r '(0 ) 2
自由响应＋强迫响应
(Natural + Forced)
暂态响应+稳态响应
(Transient + Steady-state)
信号与系统 一、系统响应的划分
et hH[t.] rt
{x(0-)}
r(t) H[{x(0)}] H[e(t)]
零输入响应 rzi(t)
零状态响应 rzs(t)
4
解：将 e(t) 2u(t) 代入微分方程， t≥0 ，得
2
O
t
d2 dt2
r(t)

7
d dt
r(t)
10r(t)

2 (t)
12
(t)
8u(t)
31
信号与系统
二、冲激函数匹配法确定初始条件
方程右端的冲激函数项最高阶次是 (t) ，因而有
d2

d
t
2
r(t)
信号与系统三、线性时不变系统经典法求解
例2.2.4 给定微分方程式
已知：
求两种情况下的特解。
11
信号与系统三、线性时不变系统经典法求解
（三）全解
齐次解+特解，由初始条件定出齐次解系数 Ak
例2.2.5：求如下微分方程的全解。
d2 dt 2
y(t) 6 d dt
y(t) 5y(t)

et
该方程的齐次解为：yh (t) A1e5t A2et
激励函数中α = -1，与微分方程的一个特征根相
同，因此特解为：
yp (t) Bt et
13
信号与系统三、线性时不变系统经典法求解
代入原微分方程得
求得 B 1
d2 dt 2
(Bte-t
)

6
d dt
(Bte-t
)

5(Bte-t
信号与系统
三、零状态响应
例2.4.2： 求系统的零状态响应
d2 dt 2
r(t)

3
d dt
r(t)

2r(t)

d dt
e(t)
3e(t),
r(0 )
1,
r
'(0 )

2
其中e(t) u(t)
解：零状态响应的齐次解： rzsh (t) B1et B2e2t
零状态响应的特解： rzsp(t)=B, 则2B=3, B=3/2
由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变, 因而有
19
信号与系统
(4)
要求的完全响应为
20
信号与系统
§2.3 起始点的跳变
21
信号与系统
一、起始点的跳变
0-
0+
O
0 状态，起始状态
t 0
t
r
(n
)
(0
)

r
(0
),
d
r(0 dt
)
,
d2 r d
(0 t2
)
,L
d
n1
vC (0 ) vC (0 ), iL (0 ) iL (0 ).
3.但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作 用于电感，0_ 到 0+ 状态就会发生跳变。
4. 如果微分方程右端包含 (t) 及其各阶导数项，则系统从
0_ 到 0+ 状态有跳变。
23
信号与系统
由伏安关系
(一)电容电压的跳变
0+有跳变。
信号与系统
二、冲激函数匹配法确定初始条件
原理：t =0 时刻微分方程左右两端δ(t)及各阶
导数应相等 !
例2.3.3：
d dt
r(t) 3r(t) 3 (t)
已知
r(0 )，求
r(0 )
分析过程 数学描述
28
信号与系统d r(t) 3r(t) 3 (t)
dt
解：特征方程 2 3 2 0
特征根
1 1, 2 2
零输入响应 rzi (t) A1et A2e2t
由起始条件
r(0 ) A1 A2 1 r '(0 ) A1 2A2 2
得零输入响应为
39
rzi (t) 4et 3e2t , t 0
32
信号与系统
二、冲激函数匹配法确定初始条件
a 2 求得 b 7a 12
c 7b 10a 8
r(0 ) r(0 ) a 2
因而有


d dt
r
(0
)

d dt
r
(0
)

b

2

d2
dt2
r(0
)

d2 dt2
r(0 )

c

2
所以
零状态响应：
rzs (t)

B1et

B2e2t

3 2
由冲激函数匹配法：rzs (0) rzs (0), rzs '(0) rzs '(0) 1 1
则：
rzs (t)

2et

1 2
e2t

3 2
40
信号与系统
四、全响应
rzi (t) 4et 3e2t , t 0

E0
dm e(t) dtm

E1
dm1 e(t) d t m1

Em1
d e(t) dt

Em e(t )
Ci, Ei 均为常数。
6
信号与系统三、线性时不变系统经典法求解
（一）齐次解 rh(t)
由特征方程 求出特征根 写出齐次解形式