2019年四川省成都七中自主招生考试数学试卷(含详细解析)

自主招生考试数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题6分，满分60分）
1．（6分）有一个角为60°的菱形，边长为2，其内切圆面积为（）A．B．C．D．
2．（6分）若方程组的解为（a，b，c），则a+b+c=（）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
3．（6分）圆O1与圆O2半径分别为4和1，圆心距为2，作圆O2的切线，被圆O1所截得的最短弦长为（）
A．﹣1 B．8 C．2D．2
4．（6分）如下图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O，记△AOD、△ABO、△BOC的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S3与2S2的大小关系为（）
A．无法确定B．S1+S3＜2S2C．S1+S3=2S2D．S1+S3＞2S2
5．（6分）关于x的分式方程2k﹣4+仅有一个实数根，则实数k的取值共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（6分）两本不同的语文书、两本不同的数学书和一本英语书排放在书架上，若同类书不相邻，英语书不放在最左边，则排法的种数为（）
A．32 B．36 C．40 D．44
7．（6分）若a=，则的值的整数部分为（）A．1 B．2 C．3 D．4
8．（6分）在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E，过E作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN=（）
A．BM+DN B．AM+CN C．BM+CN D．AM+DN
9．（6分）由若干个边长为1的小正方形组成一个空间几何体（小正方形可以悬空），其三视图如图，则这样的小正方体至少应有（）
A．8个B．10个C．12个D．14个
10．（6分）正方体ABCD的边长为1，点E在边AB上，BE=，BF=，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，而当碰到正方形顶点时沿入射路径反弹，当点P第一次返回E时，P所经过的路程为（）
A．B．C．2D．
二、填空题（共8小题，每小题6分，满分48分）
11．（6分）对任意实数k，直线y=kx+（2k+1）恒过一定点，该定点的坐标是．12．（6分）如图，圆锥母线长为2，底面半径为，∠AOB=135°，经圆锥的侧面从A到B的最短距离为．
13．（6分）设（3x﹣2）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，那么a1+a2+a3+a4+a5+a6=．
14．（6分）如图，向正五边形ABCDE区域内均匀掷点，落在五边形FGHJK区域内的概率为．
15．（6分）函数y=kx﹣1与y=x2的图象交于两点（x1，y1）（x2，y2），若+=18，
则k=．
16．（6分）在△ABC中，∠C=90°，D、E分别是BC、CA上的点，且BD=AC，AE=CD，BE、AD相交于点P，则∠BPD=．
17．（6分）函数y=2+的最大值为．
18．（6分）若x≥y≥z，则（2x+1）（2y+1）（2z+1）=13xyz的正整数解（x，y，z）为．
三、解答题（共2小题，满分42分）
19．（22分）正方形ABCD边长为2，与函数x=（x＞0）的图象交于E、F两点，其中E位于线段CD上，正方形ABCD可向右平移，初始位置如图所示，此时，△DEF的面积为．正方形ABCD在向右平移过程中，位于线段EF上方部分的面积记为S，设C点坐标为（t，0）
（1）求k的值；
（2）试写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）若S=2，求t的值；
（4）正方形ABCD在向右平移过程中，是否存在某些位置，沿线段EF折叠，使得D点恰好落在BC边上？若存在，确定这些位置对应t的值得大致范围（误差不超过0.1）；若不存在，说明理由．
20．（20分）（1）求函数y=|x﹣1|+|x﹣3|的最小值及对应自变量x的取值；（2）求函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值及对应自变量x的取值；
（3）求函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的最小值及对应自变量x的取值；（4）求函数y=|x﹣1|+|2x﹣1|+…+|8x﹣1|+|9x﹣1|的最小值及对应自变量x 的取值．
2017年四川省成都七中自主招生考试数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题6分，满分60分）
1．（6分）有一个角为60°的菱形，边长为2，其内切圆面积为（）A．B．C．D．
【解答】解：过A作AE⊥BC，如图所示：
∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC═60°，
∴∠BAE=30°，
∴BE=AB=1，
∴AE=BE=，
∴内切圆半径为，
∴内切圆面积=π•（）2=；
故选：A．
2．（6分）若方程组的解为（a，b，c），则a+b+c=（）A．1 B．0 C．﹣1 D．2
【解答】解：，
②×5﹣①得：14y+3z=﹣17④，
②×2﹣③得：5y+2z=﹣7⑤
④×2﹣⑤×3得：13y=﹣13，
解得：y=﹣1，
把y=﹣1代入⑤得：z=﹣1，
把y=﹣1，z=﹣1代入②得：x=2，
则（a，b，c）=（2，﹣1，﹣1），
则a+b+c=2﹣1﹣1=0．
故选：B．
3．（6分）圆O1与圆O2半径分别为4和1，圆心距为2，作圆O2的切线，被圆O1所截得的最短弦长为（）
A．﹣1 B．8 C．2D．2
【解答】解：
∵圆O1与圆O2半径分别为4和1，圆心距为2，
∴4﹣1＞2，故两圆内含，
不妨设截得的弦为AB，切点为C，连接O1A，连接O1O2，O2C，
∵半径确定，
∴弦心距越小，则弦越长，
∵AB是⊙O2的切线，
∴O2C⊥AB，
∴当O1、O2、C在一条线上时，弦AB最短，
由题意可知OC1=2+1=3，AO1=4，
在Rt△ACO1中，由勾股定理可得AC==，
∴AB=2AC=2，
故选：C．
4．（6分）如下图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O，记△AOD、△ABO、△BOC的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S3与2S2的大小关系为（）
A．无法确定B．S1+S3＜2S2C．S1+S3=2S2D．S1+S3＞2S2
【解答】解：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴=，
∵△AOD与△AOB等高，
∴S1：S2=AD：BC=a：b，
∴S1=S2，S3=S2，
∴S1+S3=（+）S2=S2，
∵a≠b，
∴a2+b2＞2ab，
∴＞2，
∴S1+S3＞2S2，
故选：D．
5．（6分）关于x的分式方程2k﹣4+仅有一个实数根，则实数k的取值共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：方程两边都乘x（x+2）得，（2k﹣4）x（x+2）+（k+1）（x+2）=x （k﹣5），
整理得，（k﹣2）x2+（2k﹣1）x+k+1=0．
①当k﹣2≠0时，∵△=（2k﹣1）2﹣4（k﹣2）（k+1）=9＞0，
∴一元二次方程（k﹣2）x2+（2k﹣1）x+k+1=0有两个不相等的实数根．
∵关于x的分式方程2k﹣4+仅有一个实数根，
而x（x+2）=0时，x=0或﹣2，
∴x=0时，k+1=0，k=﹣1，此时方程﹣3x2﹣3x=0的根为x=0或﹣1，
其中x=0是原方程的增根，x=﹣1是原方程的根，符合题意；
x=﹣2时，4（k﹣2）﹣2（2k﹣1）+k+1=0，k=5，此时方程3x2+9x+6=0的根为x=﹣2或﹣1，
其中x=﹣2是原方程的增根，x=﹣1是原方程的根，符合题意；
即k=﹣1或5；
②当k﹣2=0，即k=2时，方程为3x+3=0，解得x=﹣1，符合题意；
即k=2．
综上所述，若关于x的分式方程2k﹣4+仅有一个实数根，则实数k的取值为﹣1或5或2，共有3个．
故选：C．
6．（6分）两本不同的语文书、两本不同的数学书和一本英语书排放在书架上，若同类书不相邻，英语书不放在最左边，则排法的种数为（）
A．32 B．36 C．40 D．44
【解答】解：设从左向右位置为①，②，③，④，⑤，
∵英语书不在最左边，
∴最左边①有4种取法，
∵同类书不相邻，
∴②有3种取法，③有两种取法，④有两种取法，⑤有一种取法，
共4×3×2×2×1=48，
但是英语书排在第②位置时，只能是语文、英语、数学、语文、数学，或者数学、英语、语文、数学、语文，
故英语书排在第②位置时只有8种情况，故种情况为48﹣8=40种，
故选：C．
7．（6分）若a=，则的值的整数部分为（）A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵==﹣=﹣=﹣，
∴
=﹣+﹣+﹣
=﹣
∵a=，
∴==4，0＜a27＜a3=（）3=＜，
∴＜1﹣a27＜1，
∴1＜＜2，
∴的值的整数部分为2．
故选：B．
8．（6分）在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E，过E作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN=（）
A．BM+DN B．AM+CN C．BM+CN D．AM+DN
【解答】解：如图，在NM上截取NF=ND，连结DF，AF
∴∠NFD=∠NDF，
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠ADC+∠B=180°，
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，
∴∠AMN+∠ADN=180°，
∴A，D，N，M四点共圆，
∴∠MND+∠MAD=180°，
∵AE，DE分别平分∠BAD，∠CDA，
∴∠END+2∠DFN=∠END+2∠DAE=180°，
∴∠DFN=∠DAE，
∴A，F，E，D四点共圆，
∴∠DEN=∠DAF，∠AFM=∠ADE，
∴∠MAF=180°﹣∠DAF﹣∠MND
=180°﹣∠DEN﹣∠MND
=∠EDN=∠ADE
=∠AFM，
∴MA=MF，
∴MN=MF+NF=MA+ND．
故选：D．
9．（6分）由若干个边长为1的小正方形组成一个空间几何体（小正方形可以悬空），其三视图如图，则这样的小正方体至少应有（）
A．8个B．10个C．12个D．14个
【解答】解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层至少有3个小正方体，第二层至少有3个小正方体，第三层至少有3个小正方体，
则这样的小正方体至少应有3+3+3=9个，
选项中10是满足条件最小的数字．
故选：B．
10．（6分）正方体ABCD的边长为1，点E在边AB上，BE=，BF=，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，而当碰到正方形顶点时沿入射路径反弹，当点P第一次返回E时，P所经过的路程为（）
A．B．C．2D．
【解答】解：根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为F，在反射的过程中，根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得第二次碰撞点为M，在DA上，且DM=DA，第三次碰撞点为N，在DC上，且DN=DC，第四次碰撞点为G，在CB上，且CG=BC，第五次碰撞点为H，在DA上，且AH=AD，第六次碰撞点为Z，在AB上，且AZ=AD，第七次碰撞点为I，在BC上，且BI=AD，第八次碰撞点为D，再反方向可到E，
由勾股定理可以得出EF=HZ==，FM=GH=ID=，MN=NG=，ZI=，
P所经过的路程为（×2+×3+×2+）×2=．
故选：B．
二、填空题（共8小题，每小题6分，满分48分）
11．（6分）对任意实数k，直线y=kx+（2k+1）恒过一定点，该定点的坐标是（﹣2，1）．
【解答】解：∵y=kx+（2k+1）
∴y=k（x+2）+1，
∴图象恒过一点是（﹣2，1），
故答案为（﹣2，1）．
12．（62，底面半径为，∠AOB=135°，经圆锥的侧面从A到B的最短距离为2．
【解答】解：如右图所示，是圆锥侧面展开的一部分，
∵圆锥母线长为2，底面半径为，∠AOB=135°，
∴，
作AD⊥SB于点D，
∵SA=SB=2，
∴展开的扇形所对的圆心角为，
∴在Rt△SAD中，AD=SD=，
∴BD=SB﹣SD=2﹣，
∴AB==，
故答案为：2．
13．（6分）设（3x﹣2）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，那么a1+a2+a3+a4+a5+a6= 1﹣26．
【解答】解：由题意可知a0=（﹣2）6，
令x=1，
则1=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6，
因此a1+a2+a3+a4+a5+a6=1﹣a0=1﹣（﹣2）6=1﹣26．
故答案为：1﹣26．
14．（6分）如图，向正五边形ABCDE区域内均匀掷点，落在五边形FGHJK区域内的概率为．
【解答】解：正五边形ABCDE，
∴∠BAE=∠ABC=BCD=∠CDE∠AED=108°，AB=BC=CD=DE=AE，
∴△ABC≌△ABE，
∴AC=BE，同理：△ABH≌△△BCG≌△AJE，
∴AH=CG=JE，
∴HJ=HG，
同理：FG=FK=JK=HG，
∴五边形HGFKJ是正五边形，
∴正五边形HGFKJ∽正五边形ACBDE，
设HE=CD=a，HJ=x，
由题意，△HAB∽△ABE，
∴，
∴x=
∴落在五边形FGHJK区域内的概率为=，
故答案为．
15．（6分）函数y=kx﹣1与y=x2的图象交于两点（x1，y1）（x2，y2），若+=18，
【解答】解：∵函数y=kx﹣1与y=x2的图象交于两点（x1，y1）（x2，y2），
∴，消去y得x2﹣kx+1=0，
∴x1+x2=k，x1x2=1，
∴+====18，
∴k（k2﹣2）﹣k=18，
解答k=3．
故答案为3．
16．（6分）在△ABC中，∠C=90°，D、E分别是BC、CA上的点，且BD=AC，AE=CD，BE、AD相交于点P，则∠BPD=45°．
【解答】解：作AF∥CD，DF∥AC，AF交DF于点F，
∴四边形ACDF是平行四边形．
∵∠C=90°
∴四边形ACDF是矩形，
∴CD=AF，AC=DF，∠EAF=∠FDB=∠AFD=90°．
∵BD=AC，AE=CD
∴△BDF和△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AFE=∠DFB=45°，
∴∠DFE=45°，
∴∠EFB=90°．
∴∠EFB=∠AFD．
∴△BDF∽△AEF，
∵∠EFB=∠AFD，
∴△ADF∽△EBF
∴∠PAF=∠PEF
∴∠APE=∠AFE
∵∠AFE=45°
∴∠APE=45°
17．（6分）函数y=2+的最大值为．
【解答】解：根据题意得：，
解得：1≤x≤2，
由柯西不等式得：y=2+
≤•
=×
=（当且仅当2=，即x=时，取等号），
故函数y=2+的最大值为．
故答案为：．
18．（6分）若x≥y≥z，则（2x+1）（2y+1）（2z+1）=13xyz的正整数解（x，y，z）为（45，7，1）或（19，9，1）．
【解答】解：∵（2x+1），（2y+1），（2z+1）都是奇数，
∴x，y，z都是奇数，
∵（2x+1）（2y+1）（2z+1）=13xyz，
∴（2+）（2+）（2+）=13，
∵x≥y≥z，
如果z≥3，那么（2+）（2+）（2+）≤（2+）2=＜13，
∴z=1，
∴3（2x+1）（2y+1）=13xy，
化简得：xy=6（x+y）+3，
则x==6+，
∵39的因子有：1，3，12，39，
∴y﹣6=1，3，13，39，
∴y=7，9，19，45，
∴x的对应只有：45，19，9，7，
∵x＞y，
∴正整数解（x，y，z）为：（45，7，1）或（19，9，1）．
故答案为：（45，7，1）或（19，9，1）．
三、解答题（共2小题，满分42分）
19．（22分）正方形ABCD边长为2，与函数x=（x＞0）的图象交于E、F两点，其中E位于线段CD上，正方形ABCD可向右平移，初始位置如图所示，此时，△DEF的面积为．正方形ABCD在向右平移过程中，位于线段EF上方部分的面积记为S，设C点坐标为（t，0）
（1）求k的值；
（2）试写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）若S=2，求t的值；
（4）正方形ABCD在向右平移过程中，是否存在某些位置，沿线段EF折叠，使得D点恰好落在BC边上？若存在，确定这些位置对应t的值得大致范围（误差不超过0.1）；若不存在，说明理由．
=（2﹣）2=，
【解答】解：（1）由题设可知S
△DEF
解得k=1或7（不合题意，舍去），
∴k=1；
（2）①如图1，当2≤t≤时，
因为C点坐标为（t，0），
所以E点坐标为（t，），
所以DE=2﹣，
而F点坐标为（，2），
所以DF=t﹣，
所以S=DE•DF=（2﹣）（t﹣）=t+﹣1；
②如图2，当t＞时，此时OB=t﹣2，
所以F点的坐标为（t﹣2，），
所以AF=2﹣，
所以S=•2•（DE+AF）=•2•（2﹣+2﹣）=4﹣﹣；
（3）当2≤t≤时，DE和DF随t的增大而增大，S也类似，
故当t=时S有最大值为＜2，
所以S=2只可能发生在t＞时，令4﹣﹣=2，
解得t=；
（4）①如图3，当2≤t≤时，假设位置存在，由对称性知Rt△FDE∽Rt△DCD1，因为DE=D1E，
则有=，
其中D1C==，
整理得：t（t﹣1）=4，
解得t=＞，与假设矛盾，
所以当2≤t≤时，不存在；
②如图4，当t＞时，假设位置存在，过F作直线FG∥x轴交CD于G，
由对称性可知Rt△FGE≌Rt△DCD1，DE=D1E，所以GE=D1C，
而GE=﹣，整理可得t（t﹣1）（t﹣2）2=1，
设y=t（t﹣1）（t﹣2）2，当t＞2时，y随t的增大而增大，
取t=2.5，则y=0.9375＜1，取t=2.6，则y=1.4976＞1，
利用试值法可以判断位置存在且唯一，对应的t的取值在2.5和2.6之间．
20．（20分）（1）求函数y=|x﹣1|+|x﹣3|的最小值及对应自变量x的取值；（2）求函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值及对应自变量x的取值；
（3）求函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的最小值及对应自变量x的取值；（4）求函数y=|x﹣1|+|2x﹣1|+…+|8x﹣1|+|9x﹣1|的最小值及对应自变量x 的取值．
【解答】解：（1）函数y=|x﹣1|+|x﹣3|的最小值的几何意义是数轴上x到1和3两点距离之和的最小值，
∵两点之间线段最短，
∴当1＜x＜3时，y min=|3﹣1|=2，
（2）∵y=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|=（|x﹣1|+|x﹣3|）+|x﹣2|，
当x=2时，|x﹣2|有最小值，
∴结合（1）的结论得出，当x=2时，y min=2+0=2，
（3）当n为偶数时，y=|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|=（|x﹣1|+|x﹣n|）+（|x﹣2|+|x﹣（n﹣1）|）+…+（|x﹣|+|x﹣（+1）|），
由（1）知，当＜x＜+1时，
|x﹣1|+|x﹣n|有最小值n﹣1，
|x﹣2|+|x﹣（n﹣1）|有最小值（n﹣1）﹣2=n﹣3，
…
2019年四川省成都七中自主招生考试数学试卷(含详细解析)
|x﹣|+|x ﹣（+1）|有最小值1，
∴当＜x＜+1时，
y min=1+3+5+…+（n ﹣3）+（n﹣1）=，
当n为奇数时，y=|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|=（|x﹣1|+|x﹣n|）+（|x﹣2|+|x ﹣（n﹣1）|）+…+（|x﹣|+|x ﹣（+1）|）+|x﹣|，
由（1）知，当x=时，
|x﹣1|+|x﹣n|有最小值n﹣1，
|x﹣2|+|x﹣（n﹣1）|有最小值（n﹣1）﹣2=n﹣3，
…
|x﹣|+|x﹣（+1）|有最小值1，
|x﹣|的最小值为0，
∴当x=时，ymin=0+2+4+…+（n﹣3）+（n﹣1）=，
（4）类似（3）的做法可知，y=|x﹣a1|+|x﹣a2|+…+|x﹣a n|，
如果n为偶数时，当时，y有最小值，
如果n为奇数时，当x=时，y有最小值；
∵y=|x﹣1|+|2x﹣1|+…+|8x﹣1|+|9x ﹣1|
=++…++|x﹣1|
∴共有9+8+7+…+2+1=45项，为奇数．
∴当x=时，ymin=|﹣1|+|﹣1|+…+|﹣1|+|﹣1|=
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