高等数学下(B)作业题
南京工业大学 高数B(B)试卷含答案
南京工业大学 高等数学B 试题（B ）卷（闭）2011--2012学年第一学期 使用班级 浦生工等 班级 学号 姓名一、填空题（共18分，每小题3分）1. 1．设()()则,12xx x f += ()=∞→x f x lim2．设()x f 在1=x 处可导，且 ()21='f ，则 ()()=-+→hf h f h 121lim3．设函数()x y 是由方程 3=+xy e y所确定，则 ='|y4．如 ()422++=x x x f ，则适合等式 ()()()()0202-'=-ξf f f 的=ξ5．如()()=+=⎰x f C edx x xf x则,6．()⎰-=+113cosdx x x x二、选择题（共12分，每小题2分）1．当0→x 时，下列无穷小中与 x cos 1-等价的是（ ）A.xB. x 21 C. 2x D 221x .2.设 ()()⎩⎨⎧>+<+=0,0,1ln x a e x x x f x，是连续函数，则 ,a 满足:（ ）A.a 为任意实数，B.1-=aC. ,0=aD.1=a3.若()()(),R x x f x f ∈--= ，且在 ()∞,0内()(),0,0>''>'x f x f 则()x f 在()0,∞-内必有：（ ） A.()()0,0<''<'x f x f B.()()0,0>''<'x f x f C.()()0,0<''>'x f x f D.()()0,0>''>'x f x f4.在下列极限中，正确的是:( )A.22sin lim 0=→x x xB.1arctan lim =+∞→xx x C .e x xx =+→0lim D.∞=--→24lim22x x x 5.定积分 =⎰dx x π20sin （ ）A. 0B. 4C. 2D. 16.直线L 与x 轴平行，且与曲线 xe x y -=相切，则切点坐标是（ ）A.()1,1B.()1,1-C.()1,0-D.()1,0三、计算题（共48分，每小题6分）1.xe x x 1lim 20-→ 2.设 2222++=x x y ,求 y '3.设有参数方程()0sin 322>⎩⎨⎧=++=t tt y t t x ，求 dx dy4.()dx x x ⎰+1215.dx xx ⎰+1316.设 ()()⎰+=13sin dx x f x x x f ，求()x f 的表达式。
大学高数下册试题及答案
大学高数下册试题及答案《高等数学》测试题一一、选择题1．设有直线及平面，则直线A．平行于平面；B．在平面上；C．垂直于平面；D．与平面斜交. 2．二元函数在点处A．连续、偏导数存在； B．连续、偏导数不存在；C．不连续、偏导数存在；D．不连续、偏导数不存在. 3．设为连续函数，，则＝A．； B．；C．D．. 4．设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分＝A．7；B．；C．；D．. 5．微分方程的一个特解应具有形式A．；B．；C．；D．. 二、填空题1．设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为；2．设，则＝；3．设为正向一周，则0 ；4．设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数； 5．设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有 1 . 三、设由方程组确定了，是，的函数，求及与. 解：方程两边取全微分，则解出从而四、已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数. 解：，从而五、计算累次积分）. 解：依据上下限知，即分区域为作图可知，该区域也可以表示为从而六、计算，其中是由柱面及平面围成的区域. 解：先二后一比较方便，七．计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分. 解：由对称性从而八、计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线. 解：在上半平面上且连续，从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取九、计算，其中为半球面上侧. 解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧十、设二阶连续可导函数，适合，求．解：由已知即十一、求方程的通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为非齐次项，与标准式比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为代入方程得十二、在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小. 解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。
令，则由推出，的坐标为附加题：1．判别级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？解：由于，该级数不会绝对收敛，显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛2．求幂级数的收敛区间及和函数. 解：从而收敛区间为，3．将展成以为周期的傅立叶级数. 解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。
高等数学期末试卷B
一、填空题（每小题3分×5=15分）1、设===-++=z x z y y x f y x z 则时且当,,0),(22、==dz yxarc z 则),cot(3、⎰⎰---=11102),(y y dx y x f dy I 交换积分次序后，=I4、级数∑∞=12sin1n nn，其敛散性是5、微分方程xxx y y tan +-='的通解是=y 二、单项选择题（3分×5=15分）1、),(),(y x y x f z 在点=存在偏导数是),(),(y x y x f z 在点=处连续的（ ） A 、充分条件 B 、必要条件C 、充要条件D 、既不充分又不必要2、⎰⎰=≥≤+Dd y x f I x y x D σ),(),0(,1:22则在极坐标系下的二次积分是=I （ ） A 、⎰⎰-=2210)sin ,cos (ππθθθdr r r f d I B 、⎰⎰=2010)sin ,cos (2πθθθrdr r r f d IC 、⎰⎰-=210)sin ,cos (ππθθθrdr r r f d I D 、⎰⎰-=22102)sin ,cos (21ππθθθdr r r r f d I3、x y x y L -==,2是围成的平面区域的整个边界，),(y x f 是连续函数，则⎰=Lds y x f I ),(化为定积分是（ ）A 、⎰⎰-+-=110),(),(dx x x f dx x x f I ；B 、⎰--++=0122]2),(41),([dy y y f y y y f I ；C 、⎰++=1]2),(411),([dx x x f xx x f I ； D 、⎰--+=012]2),(),([dy y y f y y f I 。
4、)21(1)(x x f +=在x=0处的幂级数展开式是（ ）)21(<x A 、nn nnx ∑∞=-12)1( ； B 、n n n n x 2)1(0∑∞=-；C 、n n n x ∑∞=12； D 、n n n x ∑∞=02。
高等数学下册试题(题库)及参考答案
高等数学下册试题库一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9…解 AB ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，|AB |=5)1(20222=-++.2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k .—4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ）A ）2πB ）4π C ）3π D ）π 解 由公式（6-21）有21112)1(211)1(1221cos 2222222121=++⋅-++⨯-+⨯+⨯=⋅⋅=n n n n α，因此，所求夹角321arccos πα==．5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 【解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有⎩⎨⎧=+-=+020D B A D A解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程01=-+y x6．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。
浙江省“22”高等数学B试卷及答案
2005年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B 》试卷一、填空题：（ 8*3）1．若 0)1ln()2(lim≠=+⋅-⎰→k xdtt t x nxx , 则自然数 n = .2．=⋅--++⋅-⋅+⋅--++∞→])2()!12()1()2(!71)2(!51)2(!312[lim 121753n n n n πππππΛ . 3 . =++-⎰21010cos sin 1cos sin πdx x x xx . 4. 已知 x xe ex y 4)23(2+⋅+= 是二阶常系数非齐次线性微分方程x e c by ay y 2'''⋅=++ 的一个特解，则该方程的通解是5． 已知 A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡252321100001 ， A * 为 A 的伴随阵，则 ()1*-A = 6．已知三元非齐次线性方程组 A Ⅹ＝b ，A 的秩 r (A) = 1 ；α1 、α2 、α3 是该线性方程组的三个解向量，且α1＋α2＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101，α2＋α3＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡531，α3＋α1＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡212该非齐次线性方程组的通解7．设方程 02=++βαx x 中的 α 和β 分别是连续抛掷一枚骰子先后出现的点数，则此方程有实根的概率为 .8．已知男性中有 5％ 为色盲患者，女性中有 0.25％ 为色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，其恰好是色盲患者，则此人是男性的概率为 二．选择题. （8*3） 1．设函数 xx x f 1)(-=, 则正确的结论是（A ） 1=x 是 )(x f 的极值点，但 )0,1( 不是曲线 )(x f y = 的拐点； （B ） 1=x 不是 )(x f 的极值点，但 )0,1( 是曲线 )(x f y = 的拐点； （C ） 1=x 是 )(x f 的极值点，且 )0,1( 是曲线 )(x f y = 的拐点；（D ） 1=x 不是 )(x f 的极值点，)0,1( 也不是曲线 )(x f y = 的拐点.2. 设二元函数 ),(y x f 在点 )1,1( 处可微，1)1,1(')1,1(')1,1(===y x f f f ，又知)),(,(x x f x f z =，则1=x dxdz =（ ）.（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4 3．下列命题中正确的结论是 ( ) .（A ） 若∑+∞=1n n u 发散 ，则∑+∞=+-11)1(n n n u 必发散 ；B ） 若∑+∞=+-11)1(n n n u 发散 ，则 ∑+∞=1n n u 必发散 ；C ） 若∑+∞=14n nu发散 ，则∑+∞=1n n u 必发散(D ） 若 1lim 1>++∞→nn n u u, 则∑+∞=14n nu必发散.4．下列等式成立的是 （ ）.（A ） 若⎰+∞)(dx x f 和 ⎰∞-0)(dx x f 均发散，则 ⎰+∞∞-dx x f )( 必发散 ；（B ） 若⎰+∞0)(dx x f 和 ⎰+∞0)(dx x g 均发散，则 ⎰+∞+0)]()([dx x g x f 必发散 ；（C ） 若⎰+∞)(dx x f 和 ⎰+∞)(dx x g 均发散，则 ⎰+∞⋅0)]()([dx x g x f 必发散 ；（D ） 若⎰+∞)(dx x f 收敛， ⎰+∞)(dx x g 发散，则 ⎰+∞⋅0)]()([dx x g x f 必发散 .5．设二次型 32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ 为正定二次型 ，则λ 的取值范围为（ ）.（A ）1<λ （B ）2->λ（C ）22<<-λ （D ）12<<-λ6．设随机变量 ξ～N （μ，52），η～N （μ，42），概率值 )5(1+<=μξP P , )4(2->=μξP P ，则下式（ ）是正确的 . （A ）对任意μ 均有 21P P = （B ）对任意 μ 均有 21P P <（C ）对任意μ 均有 21P P > （D ）只对 μ 的个别值有 21P P =7．一个复杂的系统由 100 个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间，每个部件损坏的概率为 0.1 ，为了使整个系统起作用，至少必须有 85个部件正常工作，则整个系统起作用的概率约为（ ）.（ )(x Φ 为标准正态分布函数）（A ）)1(Φ （B ）1－)1(Φ （C ）)34(Φ （D ）)35(Φ 8．已知随机向量（ξ，η）的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它，，04220)6(81),(y x y x y x f则概率值 P （4≤+ηξ）＝（ ） （A ）21 （B ）32 （C ）83 （D ）43三．计算题：（9*7）1． 计算极限 )]1sin 1([lim 2xx x x ⋅-∞→ .2.)0(4>+=x xb ax y 与 x a b y ln 3-= 在 1=x 处垂直相交（即它们在交点处的切线相互垂直），求常数 a 与 b 值.3. 计算二重积分 )(31σd y x x I D⎰⎰+= ，其中 D 为直线 1=+y x ，0=x和 0=y 所围成的平面区域 . 4．设函数 a x x y --=sin 2 在 )2,0(π 内有且仅有1个零点，求正数 a 的取值范围 .5．设函数 )(x f 在 ),(+∞-∞ 上可导 ，且满足dt t f x f x dt t x f x)()1(1)(01⎰⎰-+=+++ ， 求)(x f 的表达式 .6．已知矩阵 A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011101110，B ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111011001 ，且矩阵 P 满足 E BPA APB BPB APA ++=+ ，其中 E 为单位阵 ，求 P7．已知矩阵A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡60002282x 相似于对角阵 Λ，试求常数 x ，并求可逆阵 P ，使 Λ=-AP P 1.8．设随机变量 ξ 的密度函数为 ⎩⎨⎧<<=其它10)(2x ax x f ， 求（1）常数 a ； （2） ξ 的期望 ξE 和方差 ξD ； （3） 2ξ 的概率密度函数； （4） 概率值 )2(=ηP ，其中 η 表示对 ξ 的三次独立重复观察中事件 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21ξ 出现的次数. 9．已知随机向量 （ξ，η） 的联合分布律为η－1 1 2 ξ－1 0.25 0.1 0.32 0.15 0.15 0.05求（1ηξ+ 的分布律； （2）在 η＝－1 条件下 ξ 的分布律（3）期望值 )(ηξ⋅E .四．应用题： （3*8）1．为销售某产品，拟作电视和电台广告宣传，当电视广告与电台广告宣传费分别为 和 y （万元）时，销售量为yyx x +++10725100（吨）. 若该产品每吨销售价为2000元 . 问： 1） 如要使总广告费不超过 10 万元 ，应如何分配电视与电台广告费 使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少 ？2）如总广告费恰好是 4.8 万元 ，又应如何分配电视与电台广告费 ，使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少2．设 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2111ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112k ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113k ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a η ； 问：（1）在什么条件下，η 可由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ，且表法唯一 ？ （2）在什么条件下，η 可由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ，表法不唯一 并写出不同的表示式 .（3）在什么条件下 ，η 不能由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ？3．设自动生产线加工的某种零件的内径 ξ ～ )1,(μN ；内径小于 10 或者大于12 的为不合格品 ，其余为合格品 ，销售每件合格品可获利 20 元 ，销售每件不合格品要亏损 ，其中内径小于 10 的亏 1 元 ，内径大于12 的亏 5 元 ，求平均内径 μ 取何值时 ，销售一个零件的平均利润最大 ?五．证明题： （ 8*7） 1． 证明： （1） 若级数)0()1(11>⋅-∑+∞=+n n n n a a 绝对收敛 ，则级数∑+∞=-112n n a是收敛级数 ；（2） 若级数)0()1(11>⋅-∑+∞=+n n n n a a 条件收敛 ， 则级数∑+∞=-112n n a是发散级数 .2． 设向量 1ξ ，2ξ ，…… ，r ξ 是线性方程组 0=AX 的一个基础解系 ，向量 η 不是 0=AX 的解向量 证明向量组 η，1ξη+ ，2ξη+ ，…… ，r ξη+ 线性无关 .2006年浙江省普通高校“2 + 2”联考《 高等数学B 》试卷一、填空题：（ 8*3，共24分） 1．函数 xx y 23)2(+=的渐近线有2．设 1)23()2)(2(lim )(22+++-+-=+∞→x x n x x n x f n ，则 )(x f 的第一类间断点是 .3 . 设 yxe x e y y x xy z ++⋅-++⋅=)21ln()1()tan()sin( ， 则=∂∂)1,0(y z .4. 二阶常系数非齐次线性微分方程 xe xy y y =--2''' 特解猜想的试解形式是 5． 袋中有10个新球和2个旧球，每次取一个，取后不放回，则第二次取出的是旧球的概率 p = 。
高等数学(B)答案
目
CONTENCT
录
• 引言 • 第一章答案 • 第二章答案 • 第三章答案 • 第四章答案
01
引言
课程简介
高等数学(b)是大学数学的重要基础课程之一，主要 面向理工科专业的学生。
该课程涵盖了微积分、线性代数、微分方程等方面 的内容，旨在培养学生的数学思维和解决实际问题 的能力。
题目三答案
总结词：答案解析
详细描述：首先，我们需要找到函数的极值点，这可以通过求导 数并令其为零实现。然后，我们需要计算这些极值点的函数值， 以及函数在区间端点的函数值。最后，比较这些值的大小，找到 最大值和最小值。
03
第二章答案
题目一答案
01
总结词：正确
02
详细描述：该题目要求求出函数在某点的导数。通过使用导数的定义 和性质，我们可以正确地求出该点的导数值。
题目三答案
总结词
理解了定积分的几何意义，能够正确地求解出定积分 的值。
详细描述
题目要求求解定积分$int_{0}^{2} (x^2 + 1) dx$。首先， 根据定积分的几何意义，该定积分表示的是函数$y = x^2 + 1$与直线$x = 0$和$x = 2$所围成的区域的面积。 然后，将区间[0,2]等分成若干个小区间，每个小区间的 长度为$Delta x = frac{2 - 0}{n} = frac{2}{n}$，其中 $n$为小区间的个数。在每个小区间上取一个点$x_i$， 则小区间的长度$Delta x$上的面积近似为$Delta A_i = f(x_i) times Delta x = (x_i^2 + 1) times frac{2}{n}$。 最后，将所有小区间的面积加起来，得到定积分的值为 $int_{0}^{2} (x^2 + 1) dx = sum_{i=1}^{n} Delta A_i = sum_{i=1}^{n} (x_i^2 + 1) times frac{2}{n} = frac{n}{n} times (x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 + n) times frac{2}{n} = frac{2(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 + n)}{n}$。当$n to infty$时，定积分的值即为
2009-2010学年第二学期高等数学B试卷
2 z 求 . x y
解：
z ( x, xy ) yg 2 ( x, xy ) ---4 分 2 f (2 x y ) g1 x
2 z ( x, xy) g 2 ( x, xy) xyg 21 ( x, xy) ----8 分 2 f (2 x y) xg12 xy
2
2 2 3 2
3 2m 时,水箱所用的材料最省. --8 分
1 展开成 x 的幂级数并求其收敛区间。 x x3 1 1 1 1 1 1 1 1 解： f ( x) ------------1 分 ( ) ( x 1)( x 2) 3 x 1 x 2 6 1 x 3 1 x 2
福建师范大学试卷纸
共 6 页，第 5 页
Y C1 cos x C2 sin x, ------2 分
* * 观察可得, y y x 的一个特解为 y1 x, y y e x 的一个特解为 y2 e x . -----6 分 * * 由非齐次线性微分方程的叠加原理知 y* y1 y2 x ex
D D1 D D1
C. xydxdy 4 xydxdy
D D1
D. x dxdy 4 x 2 dxdy
2 D D1
5、若级数 an 收敛，则下列级数不收敛的是（ B ）
n 1
福建师范大学试卷纸
共 6 页，第 1 页
A.
2 an
n 1
B.
(an 1)
五（10 分）求级数
福建师范大学试卷纸
共 6 页，第 4 页
1 1 1 x dt ln -----------------（8 分） 2 1 t 2 1 x 1 1 1 1 1 2 2 ln(1 2) --------（10 分） 2 s ( ) 2 ln 故 n 1 2 1 2 n 0 (2n 1)2 2
高等数学下册试题及答案解析
高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20013cos sin dr r d d 。
高等数学B解答
一、填空题（每题3分，共15分）1、）（dy dx +-21；2、⎰⎰-0121d ),(d x y y x f x ；3、π；4、11b ；5、241。
二、选择题，从所给四个选项中选择一个正确结果（每题3分，共15分）1、B ；2、A ；3、C ；4、C ；5、D 。
三、计算题（每小题6分，共12分）1、求曲面3=+-xy z e z 在点P (2,1,0)处的切平面方程。
解：设=),,(z y x F 3-+-xy z e z ，则y z y x F x ='),,(；x z y x F y ='),,(；1),,(-='z z e z y x F …………………………………2分 在点(2,1,0)处1)0,1,2(='x F ；2)0,1,2(='y F ；0)0,1,2(='z F ，所以法向量)0,2,1(=n …………………………………………………………………4分切平面方程是：0)0(0)1(2)2(=---+-z y x ，即042=-+y x ………………6分2、计算二重积分⎰⎰D y x y d d ysin ,其中D 是由x y y x ==,2 围成的闭区域。
解：原式dx dy y y y y ⎰⎰=21sin 10…………………………………………………………3分 =-=⎰dy y y y y 102)(sin dy y y y ⎰-10sin sin …………………………………5分=1-sin 1………………………………………………………………………6分四、（8分）计算⎰⎰⎰Ω+dxdydz y x )(22 其中Ω为平面2=z 与曲面z y x 222=+所围成的闭区域。
解：dz d d dxdydz y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+Ω2222020222)(ρπρρρθ …………………………………6分 ⎰⎰==2023203162-2πρρρθπd d ）（………………………8分 五、（8分）试分解正数a 为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。
高等数学B(下)期末复习题
高等数学B(下)复习试题一、填空题1. 已知},1,3,2{-=a}3,2,1{-=b，则与b a,都垂直的单位向量为__ ()1,5,7(153±) 2 设a 、b 、c 都是单位向量，且满足0 =++c b a ，则=⋅+⋅+⋅a c c b b a ．23-3.设x yy x arctan ln22=+,则 =dxdy ___. (y x y x -+) 4. 设yx z =，则=∂∂∂yx z2___________()x y x y ln 11+- 5．求曲面3=+-xy z e z在点)0,1,2(处的法线方程2112zy x =-=- 6. 设直线⎩⎨⎧=--+=++030z ay x b y x 在平面π上，而平面π与曲面22y x z +=相切于点()521，，-P ，试求常数a = b = ． （-5，2）7．求函数z y x u ++=在点)1,0,0(处沿球面1222=++z y x 在这点的外法线方向的方向导数= 。
18.已知场,),,(222222cz b y a x z y x u ++=沿则u 场的梯度方向的方向导数是____.gradu cz b y a x =++222222)2()2()2(9设xy z y xz y x f +++=22232),,(z y x 623--+, 则=)0,0,0(gradf ____)6,2,3(-10. 函数)4)(6(),(22y y x x y x f --=在______点取得极________值为______.36,),2,3(大 11.方程02642222=----++z y x z y x 所确定的函数),(y x f z =的极大值是___________,极小值是_____________.(7,-1) 12.微分方程0132=+'+x y e y y 的通解为 C e e xy +=-331 13. 交换积分顺序，有()=⎰⎰--221,y y ydx y x f dy__．()()⎰⎰⎰⎰----+11111012,,x xdy y x f dxdy y x f dx14. 设125:22≤+y x D 。
高等数学B试卷及答案
高等数学试卷一、 单项选择题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1. 由[,]a b 上连续曲线y = g (x )，直线x a =，x b =()a b <和x 轴围成图形的面积S =( ).(A)dx x g ba⎰)((B)dx x g ba⎰)((C) dx x g ba⎰)((D)2))](()([a b a g b g -+2.下列级数中，绝对收敛的是（ ）（A ）()∑∞=--11321n nn n （B ）()∑∞=-+-11)1ln(311n n n（C ）()∑∞=-+-12191n n n n （D ）3.设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数.则=∂∂22y z( ).(A)222y v v f y v y v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂ (B)22y v v f ∂∂⋅∂∂(C)22222)(y v v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂ (D)2222yv v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂4.⎰-1121dx x （ ）（A ）2 （B ）-2（C ）0 （D ）发散5. 求微分方程2x y =''的通解（ ）（A ）21412c x c x y ++= （Ｂ）cx x y +=124 （C ）c x y +=124 （D ）221412c x c x y ++= 二、 填空（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1. 若⎰=22sin 3)(x dt t x x f ，则()f x '=2. 设f (x ,y )是连续函数，交换积分次序：⎰⎰⎰⎰+212141410),(),(yy ydx y x f dy dx y x f dy =3.幂级数()()∑∞=--121!21n nn n x 的收敛半径是4. 已知5)2(,3)2(,1)0('===f f f ，则⎰=2'')(dx x xf通解为x ce y x+=的微分方程为三、 计算下列各题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）1. x y z cos )(ln =，求。
常熟理工学院-高数b(下)期末复习题
高等数学B(下)期末复习题一、选择题1．平面3510x z -+= ( )（A ）平行于zox 平面 （B ）平行于y 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）垂直于x 轴2.向量}6,3,2{-=a ，则与a同向的单位向量为（ ） （A ） }6,3,2{- （B ）}6,3,2{71--（C ） }6,3,2{71-± （D ） }6,3,2{71- 3、当k =（ ）时，向量}{k ,1- , 1=a与向量 }{ 2 ,4 , 2=b 垂直。
（A ）-1 （B ）1 （C ） 2 （D ）-24、设a ，b均为非零向量，且满足b a b a +=-，则必有( ).(A) 0 =+b a (B) 0 =-b a (C) 0 =⨯b a (D) 0 =⋅b a5、平面032=+y z 是( ).(A) 与x 轴平行但无公共点的平面 (B) 与yOz 平面平行的平面 (C) 通过x 轴的平面 (D) 与x 轴垂直的平面 6、直线42z 31y 21x -=+=-与平面x-2y+z=5的位置关系是( ). (A) 垂直 (B) 平行 (C) 直线在平面上 (D) 斜交7、空间坐标系中三点的坐标为)1,1,2(),0,1,2(),0,0,0(B A O ，则向量AB 与OB 的夹角为( ).(A)2π (B) 3π(C) 66arccos (D) 66arccos -π8、直线22112zy x =-+=-与平面2342=+-z y x 的位置关系是( ). (A) 平行 (B) 重合 (C) 垂直 (D) 斜交 9、在空间直角坐标系中点)2,3,1(--关于原点的对称点是( ).(A) )2,3,1(- (B) )2,3,1( (C) )2,3,1(-- (D) )2,3,1(-10、点M(4,-3,5)到Oy 轴的距离d=( ).11、设向量(1,1,0),(1,0,1)a b ==，则a 在b 上的投影为（ ）(A) (B)(C)12(D) 212、与向量}{1 , -1, 0a =与向量 }{1 , 0, -2 b = 同时垂直的单位向量是( ) （A ）}{1, 2, 2 （B ）221,, 333⎧⎫⎨⎬⎭⎩ （C ） }{2, 2, 1 （D ）122, , 333⎧⎫⎨⎬⎭⎩ 13、yoz 平面内的直线14=+z y 绕y 轴旋转一周所得的曲面方程为（ ）.(A) )(16)1(222z x y +=- (B) 116)(222=++z x y (C) 1)(4=++z x y (D) 11622=+z y12、平面Ax By Cz D +++=0过x 轴，则（ ） (A) A D ==0(B) B C =≠00, (C) B C ≠=00, (D) B C ==015、设向量)6,3,2(-=→a ,则与→a 平行的单位向量是( ) :(A) )6,3,2(- (B) )6,3,2(71-- (C) )6,3,2(71-± (D) )6,3,2(71-16.设向量}6,3,2{-=a ，则与a反向且平行的单位向量为（ ）（A ） }6,3,2{- （B ） }6,3,2{71-- （C ） }6,3,2{71-± （D ） }6,3,2{71-17. 设空间直线 210zy x == ，则该直线过原点，且（ ）(A) 与X 轴垂直 (B) 垂直于Y 轴，但不平行X 轴 (C) 与X 轴平行 (D) 垂直于Z 轴，但不平行X 轴 18. 在空间直角坐标系中，点(1,3,1)--关于x 轴的对称点坐标是（ ）(A) （1，3，1） (B) （-1，-3，-1） (C) （-1，-3，1） (D) （-1，3，1） 19. 平面3510x z -+= ( ) .（A ）平行于zox 平面 （B ）平行于y 轴 （C ）垂直于y 轴（D ）垂直于x 轴20. 函数)1ln(4arcsin 2222-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x y x z 的定义域是（ ）. （A ） 22{(,)|14}x y x y ≤+≤ （B ） 22{(,)|14}x y x y <+≤ （C ） 22{(,)|14}x y x y ≤+< （D ） 22{(,)|14}x y x y <+<21. 设)cos(2y x z =，则=∂∂yz（ ）. （A ） )sin(2y x - （B ）)sin(22y x x - （C ） )sin(2y x （D ） )sin(22y x x22. 若=--=+)2 , 1( , ) , (22f y x xyy x f 则 （ ）。
高等数学下册试题题库及参考答案
高等数学下册试题库一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9解 AB ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，||=5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k .4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ）A ）2πB ）4πC ）3π D ）π 解 由公式（6-21）有21112)1(211)1(1221cos 2222222121=++⋅-++⨯-+⨯+⨯=⋅⋅=n n n n α，因此，所求夹角321arccos πα==．5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ．解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为因为平面过1M 、2M 两点，所以有解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程6．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。
高等数学b试题及答案
高等数学b试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。
A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^3-3D. x^3+3答案：A2. 计算定积分∫(0,1) (2x+1)dx的值。
A. 3/2B. 5/2C. 2D. 1答案：B3. 求极限lim(x→0) [sin(x)/x]。
A. 1B. 0C. -1D. 2答案：A4. 判断级数∑(n=1,∞) (1/n^2)的收敛性。
A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 交错收敛答案：A5. 设矩阵A=(aij)为3阶方阵，且|A|=-2，求A的行列式。
A. -2B. 2C. 4D. -4答案：A6. 判断函数y=x^2-6x+8在区间[2,4]上的单调性。
A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)在x=2处取得最小值，则c的值为________。
答案：42. 设函数f(x)=ln(x)，求f'(x)的值。
答案：1/x3. 计算二重积分∬(D) xy dxdy，其中D为区域x^2+y^2≤4。
答案：8/34. 设数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求数列的通项公式。
答案：an=2^(n-1)三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-3x+1的极值点。
解：首先求导f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。
经检验，x=1为极小值点，x=-1为极大值点。
2. 计算定积分∫(0,2) (3x^2-2x+1)dx。
解：∫(0,2) (3x^2-2x+1)dx = [x^3-x^2+x](0,2) = (8-4+2) - (0-0+0) = 6。
3. 求极限lim(x→∞) [(x^2+3x+2)/(x^2-x+1)]。
高数试题下
高数试题下(总18页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除高数试题一、选择题（本大题5小题，每小题4分，共20分）1.设直线1724:121x y z l -+-==-，26,:23,x y l y z -=⎧⎨+=⎩则l 1 与l 2 的夹角为[ ]. （A ）2π；（B ）3π；（C ）4π；（D ）6π. 2.函数 z = xe 2y在点P (1, 0)出沿从P (1, 0)到Q (2, 1)方向的方向导数为[ ]. 2233();();();().2222A B C D -- 3.函数2222221sin ,0,(,)0,0,xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0, 0)点[ ].(A ) 偏导数连续；(B ) 偏导数不存在； (C )偏导数存在但不可微； (D )可微但偏导数不连续。
4.积分11220xdx x y x dy -=⎰⎰[ ].1111()()()()341224A B C D 。
5.设是由x 2 + y 2 + z 2 = 1所围成的区域，则三重积分||z e dv Ω=⎰⎰⎰[ ].3()()()()2.22A B C D ππππ；；；二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）1.过点(0，2，4)且与两平面x + 2z = 1和y – 3z = 2都平行的直线方程是2.设2224,:3,x y z z ⎧++=⎪Γ⎨=⎪⎩则2x ds Γ=⎰3. 满足微分方程初值问题20d (1)d 1 xx y y ex y =⎧=+⎪⎨⎪=⎩ 的解为y ＝ ．4.设z = ln(1 + x 2 + y 2), 则(1,2)dz =三、（9分）求微分方程4cos y y x x ''+=的通解．四、（9分）求函数f (x , y ) = xy 在闭区域x 2 + y 2 1上的最大值和最小值。
同济大学历年高等数学(B)下期末考试真题
本资料仅供参考复习练手之用，无论是重修只求及格，还是为了拿优保研，复习课本上的基础知识点和例题、课后习题才是重中之重，作为一个重修过高数的学长，望大家不要舍本求末，记住这样一句话，只有当你付出了，你才可能有收获。
高数第二学期复习试卷（1）《高等数学B 》一． 填空题（20分） 1.()()().__________________|,ln ,1,1222=∂∂∂+=yx fyxy x f 则设 .______________________,,,,,,1,,,2.2321321222232221的大小关系为则与它们的面积依次为面上的投影均为它们在的方程为为的方程的方程设曲面S S S S S S y x xOy y x z xy z y x z ≤++=∑=∑+=∑ ()⎰⎰∑=++>===+∑.______________________001.322zdxdy ydzdx xdydz a a z z y x 部分的外侧，则与夹在平面为柱面设()()∑∞=-+1.______________________11ln .4n n x n n 的收敛区间是幂级数()().____________________232,sin 20,cos .5处收敛于则付立叶级数在为在一个周期上的表达式设周期函数ππππ=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤=x x x x x x f x f二.(每小题5分，共10分)()()()()()()()()()().00|1,,,10,10,1,2|0cos 1===-=='='=++=x v u x dxdzx y y xy y x f z f f v u f dx dyx y xy x y y 求定义，由其中而有连续的偏导数且若函数；求确定，由方程设函数三（10分）()().11,22222≤-++Ω+=⎰⎰⎰Ωz y x dV y xI 为球体计算三重积分()()()()单位从略的质量求其面密度的方程为设曲面分四.,,,,1210.2222∑=≤++=∑z z y x y x y x z μ().210110.22dxdy e dzdx ye dydz xe I z z y x z z z z -+=∑==-+=∑⎰⎰∑的下侧，求积分并取之间的部分，和介于平面为锥面设曲面分五()()()()()()()().,,00,02;,1,sin cos ,10461.y x v v dy xu dx yu dv y x v y y y x e y x u x 求如果使得全微分证明存在二元函数设分分，共分，第二小题小题第六=∂∂+∂∂-=-=()()()()().11ln2.1sin1,0118108.11间的幂级数并指出收敛区展开成将函数的收敛性，并说明理由讨论级数设常数分分，共分，第二小题第一小题七-+=->∑∞=-x xxx f nn n αα()()()()()()().0222,22,144222.,3,0,1,112.22222223的平面方程且垂直于平面处的切线，求过在点是曲线设求动点的运动曲线方程平行，在该点的梯度数上任一点的法线恒与函该曲线面上一曲线运动，已知沿出发，从点设动点分八=++⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎩⎨⎧=++=++-=z y x T M z y x z y x T y x gradf xy x y x f xOy y x M高数第二学期复习试卷（2）《高等数学B 》一. 填空题（满分40分）()().211lim.10,0,=-+++→y x yx y x()().1|0,,.21,1,02=∂∂=+++==-xuxyz z y x y x z z e yz u x 则，确定由方程其中设函数().1331311031033,1,110310.322⎪⎭⎫⎝⎛--=-=-⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=+=+z y x z y z x M z y z x 或为处的切线的一般式方程在点空间曲线.15141,01.402220πρρ轴的转动惯量为围成，则它对及平面面闭区域由旋转单叶双曲的均匀物体占有的空间密度为常数z z z z y x ===-+()()()⎰-=-+-=+Cdy x xdx y xy y x C .184229.5222π，则曲线积分按逆时针方向绕行为圆周设.108,9.62222π==++∑⎰⎰∑dS x z y x 则曲面积分：设球面()()()()().0,,,,,,,,,,,.7==rotA div R Q P A z y x R z y x Q z y x P 则具有二阶连续偏导数，设函数()().145252,12,20,.8--=⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤=ππππππ处收敛于则该级数在，沿拓后展开成余玄级数若将函数x x x x x f二．解答题()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-==+1211211212141212183.10.92ee dx e e x dy e dx I dx e dy dx e dy x xxxyyyxy yxy 解：二次积分交换积分次序，并计算分()()().001101,sin ,cos 10.1000的点的一段弧的质量的点到对应于从对应于，求该曲线处的密度为，，平方成反比，且在点密度与该点的向径的模弧上每点的如果分布着质量的曲线分>=====t t t t e z t e y t e x t t t ()()()()()()⎰⎰⎰---==+++-=++=++==++=02222222222222133cos sin sin cos 222,2,,;21101,,,t tt t t t t t ttL e dt e dte t e t e t e t eeds z y x M z y x z y x k zy x kz y x 所以故得处的密度为，，由在点解：ρρ()()()()()()()().1100,2,0010.11试求曲线积分，为，，为其中若取与路径无关，已知曲线积分且具有一阶连续导数，设函数分B A AB L dy x f ydx x f ef x f Lx⎰⋂=-+=()()()()()()()()()()()()()()()()()()().31|3131231231,3100,31,2,2,21,10,021,10,02223222--------=-=-++=-+-===⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=+'+='-∂∂=∂∂⎰⎰⎰⎰⎰e e y e e dy e e ydx e e dy xf ydx x f e e e x f C f e C e e e C e x f e x f x f x f e x f yPx Q x x x x xx L x x xx x dx x dxx x 故知由得即即由题意得解：()()()().321110.1222222⎰⎰∑+++++--=∑dxdy z z dzdx y y dydz x x y x z 的上侧，计算曲面积分为曲面：设分()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=⨯⨯+=-+++=+++++-+++++=≤+=∑Ω∑∑+∑ππππππρρϕϕθ2020134222222222221.5264561326sin 306333321321,101d d d dv z y x dxdyz z dzdx y y dydz x x dxdy z z dzdx y y dydz x x y x z 原式；取下侧：引人解：()()()()().2121,321121312111131.2110130002⎪⎭⎫ ⎝⎛<<---=⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-+=∑∑∑∞=∞=∞=x x x x x x x f x xx xx f nn n nn n n n n n 解：敛域的幂级数，并指出其收展开成将函数分 ()∑∞=+1.!110.14n nx n n 数的收敛域，并求其和函讨论幂级数分()()()()()()()()()().1!!1!1,.111!!!1,,,0!1!12lim lim11111011-+=+-=+=+∞∞-∈-+='-='⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='=+=+∞∞-∈∞+∞-+∞==+++==∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞=+∞→+∞→x x n n n nn n x xx n n n nn n n nn n e xe n x n x x x n n x S x e xee x n x x n xx n n x S x R n n n n a a ，记时当或：记，时当；，级数的收敛域为解：ρ高数第二学期复习试卷（3）《高等数学B 》一．选择填空题（满分30分）()()()()双叶双曲面单叶双曲面椭球面圆锥面表示元二次方程在空间解析几何中，三D .__________1543.1222C B A z y x =-+()()()()交于一点但不垂直不相交垂直相交直线包含在平面内的位置关系为与平面直线D C B A .______1123121.2=+--=-=-z y x z y x ()()._____________________,32ln .33,2,1=++=du z y x u 则设().__________________________10122.422处的一个单位切向量为，，在点曲线⎩⎨⎧=+++=z y x y x z()()()()()()()()..___________,,,,,.5000000既非充分也非必要充分必要充分非必要必要非充分条件的偏导数处可微是它在该点存在在点函数D C B A y x f y x f y x y x f y x()()⎰=++-Lx x dy x y e dx y y e .____________________23cos 333sin .7曲线积分()()()()()ππππ8642221.82222D C B A dSy yz xz z y x ⎰⎰∑++=-==+∑分之间的部分，则曲面积和介于为柱面设曲面()()()()()有关敛散性与绝对收敛条件收敛发散则级数设常数αααD C B A .________________11,0.91321∑∞=-++->n n n n n ()()⎩⎨⎧-=≤<≤<-=-.____________2,0,0,2],2.103处收敛于则其付里叶级数在上表达式为（在为周期的周期函数，且是以设ππππππx x x x x f x f ()()()()()()()().4,311,2;,z 1,01,12,12.方向的方向导数处沿，在求所确定的隐函数，并且是方程设分二=∂∂∂∂==--=l y x z yzx z e z y x y x z z z ()()..4,1,1ln 1222222222所围成的空间闭区域和抛物线为圆柱面其中求分三y x z y x z y x dv y x I ++=+==+Ω++=⎰⎰⎰Ω()()()()().10,3412223222的下侧为曲面其中求分四≤≤+=∑++-++=⎰⎰∑z y x z dxy y x z dzdx yz y dydz xy x I()()()().21,311211和函数收敛半径及收敛域；求设幂级数分五∑∞=--n n nn x n()()().._____________________________,,,,.624240=+⎰⎰⎰⎰-dy y x f dx dy y x f dx y x f x x交换积分次序连续，设函数()()()()()()()()()()？绝对收敛还是条件收敛是否收敛，若收敛，是判定级数求其中令为等价无穷小，与时连续，且当设函数分六∑⎰⎰∞=-⎪⎭⎫⎝⎛'-'>≤++=→11222222112;1.0:,010n n Dtt n F t F t t y x D d y x ft F x x f x x f σ()()()()()().,,321..,,0,0,0112222222该最大值可取到最大值，并求出取何值时，问当的表达式；对质点所作的功述运动过程中利用曲线积分，写出上的参数方程；写出直线处内的点上位于第一卦限运动到曲面沿直线，的作用下，由原点出发设一质点在变力分七W w v u W F L w v u M c b a cz b y a x L k xy j zx i yz F>>>=++++=高数第二学期复习试卷（4）《高等数学B 》一．选择填空题（满分30分）().__________,3,2,.122=⋅+⨯==b a b a b a b a 则已知和设有向量.______0162322121.2的夹角余弦为与平面直线=+-++=-=-z y x z y x()()()()()()()()()()().0,0,0,0,0,0,.____________001,.32上述三个结论都不正确处可微；在点处可偏导；在点处连续；在点，则其他函数设D y x f C y x f B y x f A x y y x f ⎩⎨⎧<<=()()()()()()..___________005232,.422不能判断是否取极值；不取极值；取得极小值；取得极大值处，在点函数D C B A y x xy y x f +--=()()()()()⎰⎰⎰⎰+=+-=1.sin 2;0;2;)sin (2.___________sin 1.623232312L L L Lyds D C ds x B ds y x A ds y xL L x y L 线积分在第一象限的部分，曲为，为半圆周设()⎰⎰∑=+-=+=+∑.________________3293.722dS z y x y x z y 截下的部分，则被柱面为平面设()()()().._________________1sin .812有关收敛性与绝对收敛；条件收敛；发散；的收敛性为为常级数设αααD C B A n n n n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-＿．的收敛区间为＿＿＿＿幂级数nn x n n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+0212.9 ()()()()()()()．Ｄ；Ｃ；Ｂ；则其中设881616.______________2,1sin 1,sin .10041--=-≥==⎰∑∞=A s n nxdx x b nx b x s n n n ππ()()()._____________________________________,,,,.5210110=+⎰⎰⎰⎰--+dy y x f dx dy y x f dx y x f 10x x 交换积分次序连续，设函数()()()()dzxy z z y x z z 求所确定的隐函数，是方程设分二sin 2ln ,12.++==()()().2,1,00,2,1012.两点距离的平方和最小和，使得它到上求一点在平面分三B A M z y x =+-()(){}.0,10,10:,,,12.22xy z y x z y x dxdydz eI y x ≤≤≤≤≤≤=Ω=⎰⎰∑+其中求分四()()()().11110012.332构成三角的逆时针边界，和，，，，为由点其中，求分本题五-+=⎰L dy y x dx ye I Lx()()()().1:32112.22333的上侧为半球其中求分六y x z dxdyz z dzdx y y dydz x x I --=∑+++++=⎰⎰∑()()()().1ln 110.的幂级数展开为将函数分七x x x x f ++=高数第二学期复习试卷（5）《高等数学B 》一． 简答题（每小题6分，共30分）()()()().,lim 11,.10,0,y x f xy xyy x f y x →-+=并求的定义域，写出函数 ()()().2,lim },1{0,0,=-≥=→y x f x y D y x 解：()()().11,11),1(,1.,.23222z z zy zz x z z x ze ee z e y x ze z e F F yx ze z y x y x z z +-=+-=∂∂∂+=+-==∂∂∂=-+=解：求所确定，由方程设函数()()()()()().2311,3,3|2,2|11.31,11,122等于方向的方向导数最大，，沿为多少？最大方向的方向导数值数最大？处沿什么方向的方向导，点在函数--=--=--+=--x y y x z grad xy y x z⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰===60660060606.21cos cos cos .cos .4ππππππyx yxdx dy x x dx dx x x dy dx x xdy 解：求()()().21622.402,.522222222π===+=++===+∑++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑S dS dS y x dS xz y x z z y x dS xz y x 解：所割下的部分和被平面圆柱体为其中求()()()()()()()()()()()[]()⎰⎰⎰⎰⎰==--=++++-=⎩⎨⎧≤+⇒++-=+-==++--=-=-=Ω∏++-=Ω∏-+=--204222222220,10,12222.2cos 3821212:121.012,1,0,2|1,2,2|1,,.110110.ππθθd dxdyy x x dxdy x y x V x y x D y x z x z z x y x z z n y x z y x z DD y x 为切平面方程解：的体积求所围成，及平面由曲面立体，处的切平面为，，在点记曲面分二三.(10分)计算曲面积分()()().417cos d 66.1,3220103222222111πρρθθπ=+=-=-+=--=∑+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑Ω∑∑∑∑d d v dv I y x z dxdy x z dzdx z y dydz yx 下上下解：的上侧为上半球面其中()()()()()()()()().2,223.0422,0922149,,.2121..2,,21.,14912.002222222020,0,022,0,02222000022220000==⇒=+==+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+===+=⋅==++=⎰⎰⎰y x y y x F x xy F y x y x y x F y x y x ydy x dx xy w w xy Q P ydy x dx xy r d F w F y x W W F y x M y x L Oj y x i xy F y x y x y x y x LLλλλλ与路径无关解：所作的功最大？分别取何值时，当与路径无关；明表达为曲线积分，并证所作的功试求处上位于第一象限内的点移动到椭圆沿光滑曲线的作用下从原点设质点在平面立场分四()()().0210展开成余弦级数将函数分五ππ≤≤-=x xx f()()().0,12cos 1224202|cos 1cos 22,21202020∑⎰∞=≤≤--+=-=⎪⎩⎪⎨⎧===-=-==n n x x n n x x f n n n nx n nxdx xa a πππππππππππ偶数奇数，解：()()()()(){}()()()∑⎰⎰∞=-=≤≤≤≤==++==02210.2;,3,2,1,1.10,0|,,,3,2,111arctan ,412.n n nnD n n x an a x x y y x D n dxdy y x yn a a 的收敛域及和函数求出幂级数求出其中设分六 π()()()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛--=-=⎪⎭⎫⎝⎛='<≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+===⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=++=∑∑∑⎰⎰⎰∞=∞=+∞=∞→+-01)4,0()0,4[41ln 4.41ln 4,411444,411,4144,4lim 2.4111arctan11arctan 10011001102221x x x x s x x xs x x x xs x x n x xs x n x s R a n x xdx dy y x y n dx a n nn n n n nn n xn n n n ππππππππππππππππ解：()()()()()()()∑∑∞=++∞=++∞→+-+-=--=-=-∏=++111111222.1211.1lim .2.211326:,2132.1168.n n nn n n nn n n n u uu u nu u z y x L M z y x 敛是条件收敛还是绝对收判定级数收敛并求和；级数证明：满足设数列过已知直线使该点处的切平面上的点求出椭球面分分，共每小题七()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()().,)(,1.1,2lim 2.lim ,)(,,0lim ,0,1112.1,1,41303213213661,3,6)2(.012442,1,26,4,212132,6,4,2,,,11111111111112212112112232212000000000000000000∑∑∑=+∞=++∞=++∞→∞→++++∞→∞→∞→+∴∞→++=∴+-+∴=+=∴→+=∞→→-=+-++-+==>⇒⎪⎭⎫⎝⎛+=-=++∏∈=-+=-⋅=++=nk k k n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n u u u u S n u u u u u u u n u S u u S S n u u u u u u u u u S u u n o n u z y x z y x z y x z z y y x x z y x n z y x M等价于或：条件收敛所以发散，或，，，解得，，联立切平面方程为设解：高数第二学期复习试卷（6）《高等数学B 》一． 填空题 （每小题4分，共24分）()()()()()()()()()()()...__000,00,0,00,0,,,.122连续且可偏导，连续但不可偏导不连续但可偏导，有二重极限但不连续处，在点函数D C B A B y x y x xyy x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=()()().82141cos sin .2dz dx du yz xy u +-=⎪⎭⎫⎝⎛+=ππ处的全微分，，在点三元函数().0,51,52311,622.322⎪⎭⎫⎝⎛-⎩⎨⎧=+++=处的一个单位切向量为，，在点曲线z y x y x z()()⎰⎰=+>>≤+Dd y x b a b y a x D .00,01:.452222σ则设平面区域()()()()⎰=-+-Ldy x x x xdx y C B A ABC L .2cos sin cos 2100101,,.52则，，，，，，的坐标分别为区域的正向边界，其中是三角形设曲线()()()()()()()().)(,,.1.,,2,11.6111111211∑∑∑∑∞=∞=∞=++∞=--+-=-=n n n n n n n n n n n n n a a D a a C a B a A D n na 则以下级数中收敛的是设二.微分及其应用（16分）()()()()()()()()()()().1,20,11|,2|.0,1,01,11,1,,10,10,,8.70,10,1--=-=-=-=+-=≠=====+=gradz xf fz xf zf f z gradz f f v u f z y x xz y x f y x z z vu y v v u x v u 解：求且具有连续偏导数，其中对应于且确定，由方程设函数分()()()().,0,0,1018.822222方体的最大体积乘数法求所能获得的长试用，行于坐标轴长方体的长，宽，高平成长方体若将该直椭圆锥体切削面方程为设一个直椭圆椎体的锥分Lagrange b a z by a x z >>≤≤+=-()().278max .31,32,320,0,014,,,22222abV z b y a x L L L b y a x z xyz z y x L z y x =======⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=λλ解：二． (9)重积分及其应用（18分）()⎰⎰⎰⎰+=-+=--+=ππρρρθπσπ2021222234122422d d d y x A D解：xyz1∑1∑2xyz三(10)(10分)()()()()()()()()[]()()[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰==-+-=++--+=≤-+-+-+=Ω=-+-+∑+=∑ΩDrDr d d d b y a x d b a by ax y x V r b y a x D b a by ax z r b a V r b y a x b a b a y x z ππρρθσσ20042222222222222222222.222,:,22.,,,切平面解：相关与圆柱面的半径的位置无关，而仅与点的体积所围成的立体，证明处的切平面以及圆柱面在点与：是由旋转抛物面设四.曲线与曲面积分（18分）()()()[]()()⎰⎰⎰⎰===+==⎩⎨⎧∈>+=+=Lx a udu udu a dt t a t a ds y I x t a t a y t t a x L πππμπμ200320553222.15256sin 32sin 162sin 2cos 1.2,0,0cos 1sin :811轴的转动惯量关于的摆线求线密度为常数分()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω∑∑+∑∑=-=--=-=-+-+-=≤≤+=∑111.08823)(20101222ππdxdy x dv I dxdyx z dzdx z y dydz y x I z y x z 解：的下侧，求积分为设有向曲面分五．无穷级数（16分）()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()F x x n x f x f D x D x D x f T R R l x a R R xa T R x a n n R x a F a a a a T n f x x f F a a F s s a T s a n n n n l n n n nn n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=+∞=∞=∞=-+∞=∞→∞=-∞=∞→∞=∞→∞=-=∈∈---<=>⎪⎭⎫⎝⎛--==∞=1000331311221111111.!,8.,,7.1,6.1lim ,05.11,cos 14.,0lim 3.lim 2.18.13时有那么内有各阶导数且在其定义域如果是的收敛区间自然数，那么区间是的收敛如果的收敛半径也是那么的收敛半径是如果，那么收敛如果设绝对收敛那么设收敛则如果有发散，那么部分和如果有界收敛，那么部分和如果判别以下命题真伪分ρ()[]()()()()()].,2()2,0[12cos 12122.)(22008141121212121ππππππππ⋃∈----++=≠⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤=∑∞=-x x n n k k k k x f k k x k x k x f n n 解：出收敛区间展开成余弦级数，并指上的函数，把分()()()()()()()()()()()()().45412134-232,t ,2,,10,,00,,,s 45.1211118.21,,1,1111,1.,21)1(ln 08122⎩⎨⎧-==+⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=--+-=⇒⎩⎨⎧=-+=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧-==+-+==-=+++-=+-==+'⇒==+--=-'⇒=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡->⎰z y x z y x t t t m m s p n m p n m p n m z y x z y x z y x e x x x f xc e xe z e z x z f z e fx dx df f f e f x f x f f dy x f dx x y x f ye x x f x f x x x z x x L x 或直线方程为），，交点为（代入平面，为设平面与直线交点由条件，得方程解：设垂直相交线上求一直线，使它与直在平面分六令因为与路径无关解：求与路径无关，且满足内积分有连续导数，且在区域有连续导数，且在设正函数分六。
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《 高等数学B （下） 》练习题
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这样处理后，一个大约3M 的照片会缩小至几百K ，也不影响在word 中的清晰度。
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3、直接上传单个的word 文件！（不要若干张图片压缩成一个文件） 一、判断题
1. 设函数(,)f x y 在00(,)x y 点的偏导数连续，则(,)f x y 在00(,)x y 点可微.
答：对
2. 设函数(,)f x y 在00(,)x y 点可微，则(,)f x y 在00(,)x y 点的偏导数连续. 答：错
3. 二重积分(,)d D
f x y σ⎰⎰表示以曲面(,)z f x y =为顶，以区域D 为底的曲顶柱体的体积.
答：错
4. (,)0f x y ≥若， 二重积分(,)d D
f x y σ⎰⎰表示以曲面(,)z f x y =为顶，以区域D 为底的曲
顶柱体的体积. 答：对
5. 若积分区域D 关于y 轴对称，则32sin()d 0.D
x y σ=⎰⎰
答：对
6. 微分方程4()1y y y ''''-=-是四阶微分方程.
答：错
7. 微分方程cos sin sin cos x ydx y xdy =是变量可分离微分方程.
答：对
8. 微分方程cos sin sin cos x ydx y xdy =是一阶线性微分方程. 答：错
二、填空题 1. 函数
(,)f x y =
_
17且162
2
2
2
≠+
>+
y
x y
x
_______；
2. 交换积分次序：
1
10
(,)y
dy f x y dx -⎰
⎰
等于___dy dx ⎰
⎰-x
10
10
_______；
3. 2222
2(0)sin()D
D x y Rx R x y d σ+≤>+⎰⎰
若：，写出二次积分：=______1_______； 4. 22
d cos d y y x x =微分方程的通解是______x
1
tan -=+C y _______； 5. 22
x x e y xye x '+=属于_____一阶线性微分方程________（选择“一阶线性微分方程”或“可
分离变量方程”）.
三、解答题
1. 若(4,45)z f xy x y =+，其中f 具有连续偏导数，求
.z z x y
∂∂∂∂， 1
2114y 4解：f f z x +=
12115x 4f f z y +=
2. ln
(,)z
xy yz zx z z x y y
++==方程确定二元隐函数，求d .z dy z
x -1y z
z xz dx z ）y -z （z ）z y （dz 解：2++
++⨯⨯+=
3. 已知2222(,)arctan ,.x f f
f x y y x y
∂∂=∂∂求，
2
222
x ）
y x （1y x y f 解：y x +-=+-=∂∂
2
22y ）
y
x （1y
1
x f y x +=+=∂∂
22222)(xy
2f y x x +-=∂∂ 22222)(xy
2y f y x +=∂∂
4. 设210D x y x y ===是由直线、及所围成的有界闭区域,计算22()D
x y d σ+⎰⎰.
5. 计算2
2
2
2
cos(),49,0,0.D
x y d D x y x y σ++≤≥≥⎰⎰其中:
6. 求微分方程 ()()x y x x y y e e dx e e dy ++-=-通解.
7. 判断方程2
220x y xy xe
-'+-=的类型并求其通解.。