探索三角形全等的条件(三)

合集下载

探索三角形全等的条件(3)ASA(新)

ED
B
C
例1. 已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C。
求证: (1)BE=CD (2)BD=CE
A
证明：在△ABE和△ACD中 ∠A=∠A（公共角）
AB=AC（已知）
∠B=∠C（已知）
∴△ABE≌△ACD（ASA）
D
E
∴BE=CD
O
（全等三角形的对应边相等）
11.3 探索三角形全等的条件（二） ----ASA
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”
A
D
\\
\\
B
\
CE
\
在△ABC和△ DEF中，
AB DE B E BC EF
ABC ≌ DEF (SAS )
F
建湖县高作中学王星星
①
②
小明用板挡住了两个三角形的一部分？你能画出这两个三角形吗？
SAS ASA
A
D
B
CE
F
一般地，SSA不能判定两三角形全等，那么AAS能判定两三角形全等吗？
课本第18页用直尺和圆规作符合条件的△ABC
建湖县高作中学王星星
A
B
(3)射线AP与射线BQ交于点C。
△ABC就是所求作的三角形
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”
A
D
B
CE
F
A
D
B
CE
F
在△ABC和△DEF中，
∠B=∠E BC=EF ∠C=∠F
△ABC≌△DEF (ASA)
B
A
利用“角边角”可知，带B块去，可以配到一个与原来全等的三角形玻璃。

4.3.3探索三角形全等的条件(边角边)

D
因为AB=DE， ∠B=∠E，BC=EF，
\
BC EFFra bibliotek根据“SAS”可以得到 △ABC≌△DEF
在△ABC和△ DEF中，
∵
AB DE B E BC EF ABC ≌ DEF ( SAS)
观察下图中的三角形，猜一猜，哪两个三角形是全等三角形？
A 1.5 45° 3① B N C 3
AB=A'B' AC=A'C' ∠B=∠B'(或∠C=∠C'） △ABC≌△A'B'C'
如图：AB=AD，∠BAC= ∠DAC，△ABC 和△ADC全等吗？为什么？
A
△ABC≌ △ADC，因为AB=AD∠BAC=∠DAC， AC=AC，
B
C
D
根据“SAS”，可以得到 △ABC≌ △ADC，
1、如图：AB=AC，AD=AE，△ABE和△ACD全等吗？请说明理由。
4.3.3探索三角形全等的条件（3） —SAS（边角边）
学会对自己负责，学会把自己管理成为最优秀的，需要外力强制，更需要内心的憧憬和不懈的努力。
什么叫全等三角形？两个能完全重合的三角形叫做全等三角形。全等三角形的对应边、对应角有什么重要性质？
全等三角形的对应边相等，对应角相等。已知△ABC≌ △A’B’C’， △ABC的周长为10cm，AB=3cm，BC=4cm，则： A’B’= 3 cm,B’C’= 4 cm ,A’C’= 3 cm.
B D A E C
△ABE≌ △ACD，
因为AB=AC∠BAE=∠CAD， AE=AD，
根据“SAS”，可以得到 △ABE≌ △ACD，

探索三角形全等的条件(三)公开课课件

图形语言
F
分别找出各题中的全等三角形
A
40°
B
A C B
D
D (2)
C
F (1) E
△ADC≌△CBA 根据“SAS”
△ABC≌△EFD 根据“SAS”
探究2：是否只能是两边及其夹角呢？两边及一
边对角行吗？
作三角形,两边为15cm、12cm,其中 12cm边对角为450
1、画∠MAN=45°；
2、在射线AM上截取AC=15cm；
3、以点C为圆心，12cm长为半径画圆，
与AN交于点B
4、△ABC为所作三角形
探究2：如果两边及其一边所对的角相等
C F
A 45°
B
D
45°
E
探索边边角
C
15cm
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ12cm
12cm
45°
结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等
SSA不存在
A
B
B′
探索边角边和边边角过程中发现：
①两边及夹角对应相等的两个三角形全等（SAS)； ②两边及其中一边的的对角对应相等的两个三角形不一定全等． ③ 现在你知道哪些三角形全等的判定方法？
与同桌比较，能完全重合吗？
发现：
两边夹角如果两个三角形有＿＿＿及其＿＿＿对应相等，那么这两个三角形全等。
F
文字语言
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”
几何语言
在△ABC与△DEF中 AB=DE（已知） ∠B=∠E（已知） BC=EF（已知） ∴△ABC≌△DEF（SAS）
邛崃市羊安中学宋旭
知识回顾：三角形全等的判定条件

探索三角形全等的条件(三)教学设计

第四章三角形3 探索三角形全等的条件（第3课时）一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生对三角形比较熟悉，会准确找出边和角。

在前面几节中又学习了判定三角形全等的条件：SSS、ASA、AAS。

能够根据给出的条件画出满足条件的三角形，并且具备了一定的推理能力。

学生的活动经验基础：在相关知识的学习中，学生已经历了一些画图、推理活动，解决了一些简单的推理问题，感受到了动手画图对比的重要。

同时在以前的数学学习中学生已经经历了合作学习的过程，具备了一定的合作交流能力。

二、教学任务分析教科书基于学生对前三种判定三角形全等的条件的认识，提出了本课的具体学习任务，根据第一节的经验，可知判定一个三角形全等需要三个条件，除了三边、两角一边、还剩下两边一角的情况。

学生能够画图对比，得出“两边及夹角对应相等的两个三角形全等”这个结论。

并针对“两边及其中一边的对角”举出反例，与前面几节的学习形成一个严谨的课堂结构。

为此，本节课的教学目标是：1．知识与技能：通过分组画图比较，得出SAS的结论，培养学生思维的全面性，能够利用全等条件判定两个三角形全等并会用数学语言说明理由。

2．过程与方法：让学生在活动过程中，发展合作交流能力和语言表达能力。

3．情感态度：在解决问题中发现问题，通过虚心交流解决问题，互相启发，互相受益，在活动过程中体会结论的客观真实性，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生依据已知结论分析问题、解决问题的良好习惯。

三、教学设计分析本节课设计了七个教学环节：知识回顾、分类研究、画图比较、合作学习、练习提高、课堂小结、布置作业。

第一环节知识回顾活动内容：复习提问。

判断三角形全等的方法有几种，分别用语言加以描述。

活动目的：通过第一个活动使学生能很快进入课堂角色。

培养学生善于总结、善于反思的学习品质，并在此过程中培养学生勇于探索的精神。

学生在已有的经验基础上很快说出“已知两边及一角有两种情况，分别是：两边夹角和两角及一边的对角。

八年级数学教案：探索三角形全等的条件 ( 全8课时 )

合吗？（2）重新利用这张长方形剪一个直角三角形，要使得全班同学剪下的都能够重合，你有什么办法？（3）剪下直角三角形，验证是否能够重合，并能得出什么结论？5.如图，△ABC 与△DEF 、△MNP 能完全重合吗？（1）直觉猜想哪两个三角形能完全重合？（2）再用工具测量，验证猜想是否正确．6.按下列作法，用直尺和圆规作△ABC ，使∠A ＝∠α，AB ＝a ，AC ＝b ．作法：1．作∠MAN ＝∠α．2．在射线AM 、AN 上分别作线段AB ＝a ，AC ＝b ． 3．连接BC ．△ABC 就是所求作的三角形．图形：你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗？三．交流展示通过上面几个活动你对三角形全等所需要的条件有什么看45︒31.5CB A60︒3DEF1.5P45︒31.5MN课时NO: 主备人：审核人用案时间：年月日星期教学课题 1.3 探索三角形全等的条件（3）教学目标1．掌握三角形全等的条件“ASA”；会利用“ASA”进行有条理的简单的推理；2．通过多种手段的活动过程，让学生动手操作，激发学生学习的兴趣，并能通过合作交流解决问题，体会数学在现实生活中的应用，增强学生的自信心．教学重点掌握三角形全等的条件“ASA”，并能利用它们判定三角形是否全等．教学难点探索三角形全等的条件“ASA”的过程及应用教学方法教具准备教学课件教学过程个案补充一.自主先学：（1）要证明两个三角形全等，需要几个条件？（2）上节课我们学习了哪些条件可以构成全等（3）请你们猜想，构成全等还有哪些条件组合?二．探究交流1．调皮的小明用纸板挡住了两个三角形的一部分，你能画出这两个三角形吗？每个人画出的三角形都一样吗？2．粗心的小明不小心将一块三角形模具打碎了，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合适？3．请你和小明一起画：用圆规和直尺画△ABC，使AB＝a，∠A＝∠α，∠B＝∠β．（1）作AB＝a．（2）在AB的同一侧分别作∠MAB＝∠α，∠NBA＝∠β，AM、BN相交于点C．（3）△ABC就是所求作的三角形．以上三个问题回答完毕了，你有什么发现？基本事实两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）三．交流展示1.说一说图中有几对全等三角形？你能找出它们并说出理由吗？2．如图，O是AB的中点，∠A＝∠B，△AOC与△BOD全等吗？为什么（以填空方式回答）？四.拓展提高：已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE//AC，DF//AB．求证：BE＝DF，DE＝CF．五.小结与反思：这节课你学到了什么？哪些三个条件的组合是你还想去探索求证的？课外作业：布置作业板书设计教后札记课时NO: 主备人：审核人用案时间：年月日星期教学课题 1.3 探索三角形全等的条件（4）1．掌握三角形全等的条件“AAS”,会用“AAS”进行有条理的简单的推理；教学目标2．学会根据题目的条件选择适当的定理进行全等的证明．教学重点掌握三角形全等的条件“AAS”，并能利用它们判定三角形是否全等．教学难点在解题时选择适当定理应用．教学方法教具准备教学课件教学过程个案补充一. 自主先学：1．回忆上节课内容，用自己的语言表达出来！2．解决下面的问题，你有什么发现吗？已知：如图，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC，求证：AB＝DC．二．探究交流探索新知一已知：△ABC与△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF．求证：△ABC≌△DEF．基本推论：两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等．简称“角角边”或“AAS”．在△ABC与△A'B'C'中，∠B＝∠B'（已知），∠C＝∠C'（已知），AB＝A'B'（已知），∴△ABC≌△A'B'C'（AAS）．三．交流展示1．如图∠ACB＝∠DFE，BC＝EF，根据“ASA”，应补充一个直接条件__________根据“AAS”，那么补充的条件为______，才能使△ABC≌△DEF．2．如图，BE＝CD，∠1＝∠2，则AB＝AC吗？为什么？3．如图∠ACB＝∠DFE，BC＝EF，根据“ASA”，应补充一个直接条件__________根据“AAS”，那么补充的条件为______，才能使△ABC≌△DEF．2．如图，BE＝CD，∠1＝∠2，则AB＝AC吗？为什么？3．已知：如图，△ABC≌△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'中BC和B'C'边上的高．求证：AD＝A'D'．四.拓展提高：4．已知：如图，△ABC ≌△A 'B 'C '，AD 和A 'D '分别是△ABC 和△A 'B 'C '中∠A 和∠A’的角平分线．求证：AD ＝A 'D '．五.小结与反思：布置作业课外作业：板书设计教后札记课时NO: 主备人：审核人用案时间：年月日星期A 'B ' D 'C 'AB DC AB DC A 'B'D 'C '教学课题 1.3 探索三角形全等的条件（5）教学目标1．会用“角边角”“角角边”证明两个三角形全等，进而证明线段或角相等；2．渗透综合、分析等思想方法，从而提高学生演绎推理的条理性和逻辑性．教学重点用“角边角”“角角边”定理证明两个三角形全等，进而证明线段或角相等教学难点角边角”“角角边”定理的灵活应用教学方法教具准备教学课件教学过程个案补充一.自主先学：如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，（1）根据“SAS”需添加条件________；（2）根据“ASA”需添加条件________；（3）根据“AAS”需添加条件________．二．探究交流1．如图，∠A＝∠B，∠1＝∠2，EA＝EB，你能证明AC＝BD吗？2．如图，点C、F在AD上，且AF＝DC，∠B＝∠E，∠A＝∠D，你能证明AB＝DE吗？三．交流展示例1: 已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EC∥FD，EA＝FB．求证：AB＝CD．例2;已知：如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，∠B ＝∠C．求证：DB＝EC变式一已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C，AB＝AC．求证：AD＝AE，∠D＝∠E．变式二已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C，AB＝AC，D、A、E在一条直线上．求证：AD＝AE，∠D＝∠E．四.拓展提高：1．如图，AC⊥AB，BD⊥AB，CE⊥DE，CE＝DE．求证：AC＋BD＝AB．2．如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F．求证：EF＋AE＝CF．五.小结与反思：课外作业：布置作业板书设计教后札记课时NO: 主备人：审核人用案时间：年月日星期教学课题 1.3 探索三角形全等的条件（6）教学目标1．掌握“边边边”定理．理解三角形的稳定性和它在生产、生活中的应用；教会学生如何利用尺规来完成“已知三边画三角形”，如何添加辅助线构造全等三角形；2．培养学生观察、操作、分析、综合、抽象、概括和发散思维的能力；感悟转化的数学思想方法．教学重点探究三角形全等的方法及运用“边边边”条件证明两个三角形全等．教学难点边边边”定理的应用和转化意识的形成及辅助线的添加．教学方法教具准备教学课件教学过程个案补充一.自主先学：小明家的衣橱上镶有两块全等的三角形玻璃装饰物，其中一块被打碎了，妈妈让小明到玻璃店配一块回来，小明该怎么办呢？二．探究交流实践探索一：已知三条线段a、b、c，以这三条线段为边画一个三角形，并把你画好的三角形剪下，和其他同学进行比较，看剪下的三角形是否能完全重合．通过以上的操作你发现了什么？实践探索二：教师出示三角形、四边形木架，让学生动手拉动木架的两边．教师提出问题：（1）演示实验说明了什么？教师总结：三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．（2）你能举出生活中利用三角形稳定性的例子吗？三．交流展示1．下列图形中，哪两个三角形全等？2．如图，C 点是线段BF 的中点，AB ＝DF ，AC ＝DC ．△ABC 和△DFC 全等吗？变式1若将上题中的△DFC 向左移动（如图），若AB ＝DF ，AC ＝DE ，BE ＝CF ，问：△ABC ≌△DFE 吗？变式2若继续将上题中的△DFC 向左移动（如图），若AB ＝DC ，AC ＝DB ，问：△ABC ≌ △DCB 吗？3．已知：如图, 在△ABC 中，AB ＝AC ,求证：∠B ＝∠C ．四.拓展提高：1．已知：如图，AB ＝CD ，AD ＝CB ，求证：∠B ＝∠D ．117667119942．如图，AC 、BD 相交于点O ，且AB ＝DC ，AC ＝DB ．求证：∠A ＝∠D ．五.小结与反思：布置作业课外作业：板书设计教后札记课时NO: 主备人：审核人用案时间：年月日星期CDOAB教学课题 1.3 探索三角形全等的条件（7）教学目标1．会作一个角的角平分线，能证明作法的正确性，并在经历“观察——操作——证明”的活动过程中养成善于分析、乐于探究和理性思考的良好习惯；2．会过一点作已知直线的垂线，能证明作法的正确性，体会与“作一个角的角平分线”作法的联系，在比较中探究作法；3．能在不同的作图题中感悟相同的知识背景，在同一问题中探求不同的作法，从而进一步把握知识本质，逐步形成抽象概括能力和发散思维．教学重点能在不同的作图题中感悟相同的知识背景，在同一问题中探求不同的作法，从而进一步把握知识本质，逐步形成抽象概括能力和发散思维．”．教学难点几何图形信息转化为尺规操作教学方法教具准备教学课件教学过程个案补充一. 自主先学：工人师傅常常利用角尺平分一个角．如图（1），在∠AOB的两边OA、OB上分别任取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．请同学们说明这样画角平分线的道理．二．探究交流1．说请按序．．说出木工师傅的“操作”过程．2．作与写用直尺和圆规在图（2）中按序．．将木工师傅的“操作”过程作出来，并写出作法．3．证请证明你的作法是正确的．4．用用直尺和圆规完成以下作图：（1）在图（3）中把∠MON四等分．图（1）（2）在图（4）中作出平角∠AOB 的平分线．说明：过直线上一点作这条直线的垂线就是作以这点为顶点的平角的角平分线．1．观察思考．在图（2）作图的基础上，作过C 、D 的直线l （如图（5）），观察图中射线OM 与直线l 的位置关系，并说明理由．2．问题变式．你能用圆规和直尺过已知直线外一点作这条直线的垂线吗？（如图（6），经过直线AB 外一点P 作AB 的垂线PQ ）． 3．比较分析．引导学生比较新旧两个问题之间的联系，寻求解决新问题的策略． 4．作图与证明．1 以点P 为圆心，适当的长为半径作弧，使它与AB 交于C 、D ．2 分别以点C 、D 为圆心，大于12CD 的长为半径作弧，两弧交于点Q ．3 作直线PQ ．∴直线PQ 就是经过直线AB 外一点P 的AB 的垂线（如图（7））．（2）证明略．5．归纳总结．图（2）O BA 图（4）NOM图（3）（图7）QDC BAPMDCBOA图（5）l图（6）BAP课时NO: 主备人：审核人用案时间：年月日星期教学课题 1.3 探索三角形全等的条件（8）教学目标 1．利用尺规作图，掌握已知斜边、直角边画直角三角形的画图方法； 2．经历操作、实验、观察、归纳，证明斜边、直角边（HL ）定理；3．用HL 及其他三角形全等的判定方法进行证明和计算，发展演绎推理的能力．教学重点斜边、直角边”定理的证明和应用．教学难点斜边、直角边”定理的证明和应用．教学方法教具准备教学课件教学过程个案补充一.自主先学：1．判定两个三角形全等的方法：、、、___ ．2．如图，在Rt △ABC 中，直角边是、，斜边是___ 3．如何将一个等腰三角形变成两个全等的直角三角形？ 4．如图，在Rt △ABC 、Rt △DEF 中，∠B ＝∠E ＝90°，（1）若∠A ＝∠D ，AB ＝DE 则△ABC ≌△DE ( ) （2）若∠A ＝∠D ，BC ＝EF ，则△ABC ≌△DEF ( ) （3）若AB ＝DE ，BC ＝EF ，则△ABC ≌△DEF （）．上面的每一小题，都只添加了两个条件，就使两个直角三角形全等，你还能添加哪两个不同的条件使这两个直角三角形全等？二．探究交流探索活动一．（1）交流、操作．用直尺和圆规作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，CB ＝a ，AB ＝c ．（2）思考、交流．①△ABC 就是所求作的三角形吗？BADE C F。

4.3探索三角形全等的条件(SAS)(3)

探索三角形全等的条件(三)
复习回顾
到目前为止，你知道哪些判定两个三角形全等的方法？边边边（SSS）
角边角（ASA）
角角边（AAS）
学习目标
• 1、在掌握三角形全等的“边边边”、“角边角”、“角角边”的条件，继续探索、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程. • 2、能探索出三角形全等的“边角边”的条件. • 3、能够进行有条理的思考进行简单的推理. 学习重点：理解两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等的条件。学习难点：有条理的思考和进行推理：应用 “SAS”去判断三角形全等
根据探索三角形全等的条件，至少需要三个条件，除了上述三种情况外，还有哪种情况？
两边一角相等
那么有几种可能的情况呢？
（1）两边及夹角（2）两边及其一边的对角
（1）两边及夹角
三角形两边分别为6cm，7cm，它们所夹的角为 45°，你能画出这个三角形吗？剪下所得的三角形，与周围同学所剪的三角形比较，你们发现了什么？完全重合
布置作业
习题4.8 1,2
D
C
AB ＝AC （已知） A＝A （公共角） AD AE （已知）＝
∴ ∴
B
△ABD≌△ACE（SAS） ∠B＝∠C（全等三角形的对应边相等）
1. 今天我们学习哪种方法判定两三角形全等？
边角边（SAS） 2. 通过这节课，判定三角形全等的条件有哪些？ SSS，SAS，ASA，AAS 3.在这四种说明三角形全等的条件中，你发现了什么？至少有一个条件：边相等 “边边角”“角角角”不能判定两个三角形全等
(2)两边及其中一边的对角
以6.5cm，7.5cm为三角形的两边，长度为6.5cm的边所对的角为40°，情况又怎样？小明和小颖按照所给条件分别画出了三角形，由此你发现了什么？ C F

11.2探索三角形全等的条件ASA(3)

想一想你从刚才的游戏中发现了什么？
结论1：在两个三角形中，如果两角和它们的夹边（即公共边）对应相等，那么这 B' 两个三角形全等。(即“角边角”或 “ ASA”) 那么怎样用符号语言表示呢？
梦醒时分
A '
证明：在ΔABC和ΔA'B'C ' 中 ∵ ∠B ' = ∠ B B'C' =BC ∠C'=∠C ∴ ΔABC ≌ΔA'B'C ' （ASA）
C' B
A
C
拓展迁移
如果把角边角（ASA）中的字母交换一下变成角角边（AAS），能否证明两个三角形全等呢？请看下面的问题：在ΔABC和ΔA'B'C'中，∠B' = ∠ B， ∠ C' = ∠ C,A'B' =AB，ΔABC和ΔA'B'C' 全等吗？如 A 果全等请说明你的理由
。那么又该怎样用符
1
2
3
如果只需拿一块破玻璃，你会选择哪一块呢？
温故而知新
——前事不忘，后事之师
1•你现在学习了几种方法证明三角形全等？它们是什么呢？ 2 •证明三角形全等时，需要注意哪些步骤？（1）… （2）… （3）… 3 •你会做一个角等于已知角吗？方法是什么呢？（两卡一连）举列说明。
合作交流，共同探索
看为了解决上面的问题，现在我们以每一桌为谁画一组，共同完成下面的一个游戏制作。得 (1)每个同学任意画一个ΔABC。又快 (2)同桌交换各自画的ΔABC，每个同学都比又着同桌的再画一个ΔA'B'C '，使B'C' =BC 准 ∠B ' = ∠ B，∠ C ' = ∠ C(即使两角和它们确？的夹边对应相等)

1_3探索三角形全等的条件(3)

课题: 1.3 探索三角形全等的条件（3）一．学习目标：⒈ 通过动手操作，探索三角形全等的“角边角”的条件来判别两个三角形是否全等，并能解决一些简单的实际问题．⒉ 通过动手操作，实验，合作交流等过程，体会分析问题的方法，积累数学活动的经验，能结合具体问题和情景实行有条理的思考，会用“因为……所以……”的表达方式实行简单的说理．二．学习重难点：探索三角形全等的“角边角”的条件来判别两个三角形是否全等，并能解决一些简单的实际问题．三．图式自构——个体自主学习，完成基础性学习内容1. 温故知新（1）你已学过的三角形全等的判定方法是；（2）已知∠AOB ，求作∠A ´O ´B ´，使∠A ´O ´B ´=∠AOB .2. 自主学习（1）用纸板挡住了两个三角形的一部分，你能画出这两个三角形吗？如果能，你画的三角形与其他同学画的三角形能完全重合吗？（2）观察下图中的三角形，先猜一猜，再量一量，哪两个三角形是全等三角形？四．图式共建——展评基础性学习内容后，完成理解性学习内容。

问题1 按下列作法，用直尺和圆规作ΔABC ，使AB=a ，∠A=∠α，∠B=∠β. 作法：（1）作AB= a ； B O A aα（2）在AB 的同一侧分别作∠MAB=∠α，∠NBA=∠β.AM 、BN 相交于点C.ΔABC 就是所求作的三角形.交流：你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗？归纳：判定两个三角形全等的又一个基本事实：两及其分别相等的两个三角形（能够简写成或）.问题2已知：如图，在ΔABC 中，P 是BC 的中点，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且PM ∥AC ，PN ∥AB. 求证：BM=PN ，PM=CN.归纳：五．图式应用1.找出图中的全等三角形，写出表示他们全等的式子，并简要说明理由.P B2．△ABC 和△FED 中，AD ＝FC ，∠A ＝∠F ．当添加条件时，就可得到△ABC ≌△FED ，依据是 (只需填写一个你认为正确的条件)3．已知：∠ABC ＝∠DCB ，∠ACB ＝∠DBC . 求证：△ABC ≌△DCB .4．已知，如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，BD =B C ，△ABD ≌△EBC 吗？为什么？六．图式巩固1. 如图，O 是AB 的中点，∠A =∠B ，∠C =∠D 吗？为什么？A B C D E 1 2 D C B A2. 如图，AB =AC ，∠B =∠C ，试说明BE=CD .3．已知，如图4、点A 、F 、E 、C 在同一条直线上，AF ＝CE ，BE ∥DF ，AB ∥CD 。

初中数学八年级上册苏科版1.3探索三角形全等的条件优秀教学案例

2. SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法：详细讲解每种判定方法的含义和应用，并通过例题展示判断过程。
3.尺规作图：教授尺规作图方法，让学生动手实践，加深对全等三角形性质的理解。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，每组选择一个判定方法，讨论如何运用该方法判断三角形全等。
2.成果展示：各小组代表汇报探究成果，其他小组进行评价、补充，促进资源共享。
3.教师点评：针对学生的探究成果，教师进行总结性点评，给予肯定和鼓励，提高学生自信心。
（四）反思与评价
1.自我反思：让学生总结本节课所学内容，反思自己的学习过程，提高自我认知。
2.同伴评价：学生相互评价，给出建设性意见，促进共同进步。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活实例引入：以实际生活中的情境为例，如建筑设计中的三角形稳定性，引发学生对三角形全等的关注，激发学习兴趣。
2.问题驱动：创设具有挑战性和思考性的问题，如“如何在只知道三角形三个边长的情况下，判断两个三角形是否全等？”引导学生主动参与课堂。
3.直观演示：利用多媒体课件，展示三角形全等的动态过程，帮助学生直观理解全等的概念。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.生活实例引入：以建筑设计中的三角形稳定性为例，引发学生对三角形全等的关注，激发学习兴趣。
2.问题驱动：提出问题：“如何在只知道三角形三个边长的情况下，判断两个三角形是否全等？”引导学生思考，为新课学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.三角形全等的概念：引导学生阅读教材，讲解三角形全等的定义和判定方法。
2.培养学生动手操作能力、逻辑思维能力和空间想象能力。
3.学会与他人合作、交流，培养团队意识和合作精神。

3.3《探索三角形全等的条件》课件(北师大版) (6)

三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”
A
\
≡ \
D
≡
在 △ABC 和△ DEF 中，因为 AB=DE ， BC=EF ，AC=DF， AB=DE 根据 “SSS”可以得到△ABC≌△DEF BC=EF △ABC≌△DEF(SSS) AC=DF
B
〃
C
E
〃 F
上面的结论告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定。如图是用3根木条钉成的框架，它的形状和大小完全确定。
CB=CD （已知） AC=AC （公共边）
C
△ABC ≌ △ADC （SSS）
BAC= DAC（全等三
角形的对应角相等）即 AC平分BAD
巩固练习二
1、判断（1）判断两个三角形全等的条件中，至少要有一个角对应相等。（）（2）有一组边对应相等的两个等边三角形全等。（）
（3）两腰对应相等的两个等腰三角形全等。
这节课你学到了什么？
B
D
C
3、如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，请你在图中再画一个顶点都在格点上的△ABC，且使△ABC≌△DEF。
A E C
B
E
C
E
A
D
B
F
D （C）
F （A） D
B
F
如图,△ABC是不等边三角形,DE=BC, 以D.E为两个顶点作位置不同的三角形, 使所作三角形,与△ABC全等,这样的三角形最多可以画出几个？
三角形的这种性质叫做：三角形的稳定性
四边形和其它多边形都也具有稳定性吗？
四边形和其它多边形都不具有稳定性

专题4.16 探索三角形全等的条件3(专项练习)-2020-2021学年七年级数学下册基础知识专项讲

1专题4.16 探索三角形全等的条件3（专项练习）一、单选题1．（2021·安徽九年级专题练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，DE AB ⊥于点D ，BC BD =．如果3cm AC =，那么AE DE +=（）A ．2cmB ．4cmC ．3cmD ．5cm2．（2021·湖南长沙市一中双语实验中学九年级期末）如图，已知在ABC 和DEF 中，AB DE =，BC EF =，下列条件中不能判定ABC DEF △≌△的是（）A ．AC DF =B ．B E ∠=∠C ．AB AC ⊥且ED DF⊥ D ．C F ∠=∠ 3．（2021·四川成都市·八年级期末）如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，AD BC =，则能直接判断Rt Rt ABD CDB △△≌的理由是（）A ．HLB ．ASAC ．SASD ．SSS4．（2021·山东济南市·八年级期末）如图所示，∠C ＝∠D ＝90°，添加下列条件∠AC ＝AD ；∠∠ABC ＝∠ABD ；∠∠BAC ＝∠BAD ；∠BC ＝BD ，能判定Rt∠ABC 与Rt∠ABD 全等的条件的个数是（）2A ．1B ．2C ．3D ．45．（2020·浙江省临海市临海中学八年级期中）下列各组条件中，不能使两个直角三角形全等的是（）A ．一条直角边和一锐角分别相等B ．斜边和一锐角分别相等C ．斜边和一条直角边分别相等D ．两个锐角分别相等6．（2019·浙江台州市·八年级期末）用三角尺画角平分线：如图，先在AOB ∠的两边分别取OM ON =，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ．得到OP 平分AOB ∠的依据是（）A ．HLB ．SSSC ．SASD ．ASA7．（2020·全国八年级课时练习）如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，DE BC ⊥，6AC =，6EC =，60ACB ∠=︒，则ACD ∠等于（）A ．45︒B ．30C ．20︒D ．15︒8．（2019·上海外国语大学秀洲外国语学校八年级期中）下列结论中不正确的是（） A ．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等B．一锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等3D ．有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等9．（2019·北京海淀区·101中学八年级期中）如图，在ACB ∆的两边上分别取点A ，B 使得CA CB =，将两个全等的直角三角板的直角顶点分别放在点A ，B 处，一条直角边分别落在ACB ∠的两边上，另一条直角边交于点P ，连接CP ，则判定ACP BCP ∆≅∆的依据是（）A ．AASB ．ASAC ．SSSD ．HL10．（2020·安徽芜湖市·八年级期末）如图，在∠ABC 中，∠BAC 的平分线AD 和边BC 的垂直平分线ED 相交于点D ，过点D 作DF 垂直于AC 交AC 的延长线于点F ，若AB ＝8，AC ＝5，则CF ＝（）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．3二、填空题 11．（2021·江苏南京市·八年级期末）结合如图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式：在Rt ABC ∆和Rt DEF ∆中，90C F ∠=∠=︒，ACDF =，_______4Rt ABC Rt DEF ∴∆≅∆．12．（2020·河北唐山市·八年级期末）如图，∠C ＝90°，AC ＝103BC ＝8，AX ∠AC ，点P 和点Q 从A 点出发，分别在线段AC 和射线AX 上运动，且AB ＝PQ ，当点P 运动到AP ＝___________，∠ABC 与∠APQ 全等．13．（2020·吐鲁番市高昌区第一中学八年级月考）在∠ABC 中，AD ∠BC 于D ，要用“HL ”证明Rt∠ADB ∠Rt∠ADC ，则需添加的条件是_____．14．（2020·临邑县第五中学八年级期中）已知：如图，AB ＝CD ，DE∠AC ，BF∠AC ，E ，F 是垂足，AE ＝CF ；则证明∠ABF∠∠CDE 的方法是________（用字母表示）15．（2020·中江县凯江中学校八年级月考）如图，在Rt∠ABC 中，∠C=90︒，AC=12cm ，BC=6cm ，一条线段PQ=AB ，P ，Q 两点分别在线段AC 和AC 的垂线AX 上移动，则当AP= __________时，才能使∠ABC 和∠APQ 全等．16．（2020·蒙阴县高都镇中心学校八年级月考）已知：如图，ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，则________∠ADC ．依据是________，并且BD ＝________，∠BAD=________．517．（2020·泰州市大泗学校）如图，在∠AOB 的两边上，分别取OM ＝ON ，再分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则OP 平分∠AOB 的依据是_____．（填SAS 或AAS 或HL ）18．（2020·扬州市江都区实验初级中学八年级月考）如图，在四边形ABCD 中，B D 90∠∠==︒，AB AD =，ACB 28∠=︒，则DAC ∠=________．19．（2020·浙江台州市·八年级期中）如图,点P 是AOB ∠的角平分线OC 上一点，PN ⊥OB 于点N ，点M 是线段ON 上一点，已知OM=3,ON=4,点D 为OA 上一点，若满足PD=PM,则OD 的长度为________20．（2019·黑龙江哈尔滨市·八年级期中）如图:四边形ABDC 中,CD=BD,E 为AB 上一点,连接DE,且∠CDE=∠B ．若∠CAD=∠BAD=30°,AC=5,AB=3,则EB=______________．6三、解答题21．（2021·西安市浐灞欧亚中学八年级期末）如图：已知AD CB =，CE BD ⊥，AF BD ⊥，垂足分别为点E 、F ，若DE BF =，求证：//AD BC ．22．（2019·广东广州市白云区六中珠江学校八年级期中）如图，AD 为ABC 的高，E 为AD 上一点，连接BE ，已知BE AC =，且ED CD =．（1）求证：ADC BDE ≌；（2）请你判断BE 与AC 的位置关系，并说明理由．23．（2020·云南昆明市·八年级期中）如图，已知：AB ∠BD ，ED ∠BD ，AB ＝CD ，AC＝CE．（1）AC与CE有什么位置关系？（2）请证明你的结论．24．（2020·南京师范大学附属中学江宁分校）如图，在∆ABC 中，AC = BC ，直线l 经过顶点C ，过A ， B 两点分别作l 的垂线AE ，BF ， E ，F 为垂足．AE = CF ，求证：∠ACB = 90︒．25．（2019·全国八年级课时练习）如图，∠ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAB和∠CAP的度数．78参考答案1．C【分析】通过HL 判定定理可证Rt∆BDE ∠Rt∆BCE ，得到ED=EC ，即可求解．【详解】在Rt BCE 和Rt BDE △中，BC BD =，BE BE =，∠()Rt Rt HL BCE BDE ≌△△， ∠ED EC =，∠3cm AE DE AE EC AC +=+==．故选：C ．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意:直角三角形全等的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ， SSS ，HL ，全等三角形的对应边相等.2．D【分析】根据三角形全等的判定条件可直接排除选项．【详解】解：A 、若AC DF =，则根据“SSS”可判定ABC DEF △≌△，故不符合题意； B 、若B E ∠=∠，则根据“SAS”可判定ABC DEF △≌△，故不符合题意；C 、若AB AC ⊥且ED DF ⊥，则根据“HL”可判定ABC DEF △≌△，故不符合题意； D 、若C F ∠=∠，则不能判定ABC DEF △≌△，故符合题意；故选D ．【点拨】本题主要考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的条件是解题的关键．3．A【分析】根据全等三角形的判定方法解答．【详解】解：在Rt∠ABD 和Rt∠CDB 中，9AD BC BD DB =⎧⎨=⎩∠Rt∠ABD∠Rt∠CDB （HL ），故选A ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握判定方法．4．D【分析】根据已知条件与全等三角形的判定定理即可分别判断求解．【详解】∠∠C ＝∠D ＝90°，AB=AB ，∠∠AC ＝AD ，可用HL 判定Rt∠ABC 与Rt∠ABD 全等；∠∠ABC ＝∠ABD ，可用AAS 判定Rt∠ABC 与Rt∠ABD 全等；∠∠BAC ＝∠BAD ，可用AAS 判定Rt∠ABC 与Rt∠ABD 全等；∠BC ＝BD ，可用HL 判定Rt∠ABC 与Rt∠ABD 全等；故选：D ．【点拨】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．5．D【分析】依据全等三角形的判定定理进行判断即可．【详解】解：A 、根据AAS 或ASA 都可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意； B 、根据AAS 或ASA 都可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意； C 、根据HL 可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意；D 、判定两个直角三角形是否全等，必须有边的参与，故本选项符合题意；故选：D ．【点拨】考查了直角三角形全等的判定，直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法10 都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．6．A【分析】利用垂直得到90PMO PNO ∠=∠=，再由OM ON =，OP OP =即可根据HL 证明()HL ≌PMO PNO △△，由此得到答案.【详解】∠PM OA ⊥，PN OB ⊥，∠90PMO PNO ∠=∠=．∠OM ON =，OP OP =，∠()HL ≌PMO PNO △△， ∠POA POB ∠=∠，故选：A ．【点拨】此题考查三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，根据题中的已知条件确定对应相等的边或角，由此利用以上五种方法中的任意一种证明两个三角形全等.7．B【分析】利用HL 可证明∠ACD∠∠ECD ，可得∠ACD=∠ECD ，即可得答案．【详解】DE BC ⊥，90DAC DEC ∴∠=∠=︒．在Rt ACD △和Rt ECD △中，6DC DC AC EC =⎧⎨==⎩， ()Rt ACD Rt ECD HL ∴≌，ACD ECD ∴∠=∠．1160ACB ∠=︒，30ACD ∴∠=︒．故选：B ．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定定理有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL 等，注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，当运用SAS 时，角必须是两边的夹角；熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键．8．C【分析】根据三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．逐条排除．【详解】解：A 、一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，符合AAS ，能判定全等；B 、一锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形符合ASA 或AAS ，能判定全等；C 、两锐角对应相等的两个直角三角形，不符合全等判定，不能判定全等；D 、有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形，符合HL ，能判定全等．故选：C ．【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定方法；判断两个三角形全等，至少应有一条对应边相等参与其中，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．9．D【分析】根据全等三角形的判定定理即可得到结论．【详解】∠∠CAP=∠CBP=90°，∠在Rt∠ACP 与Rt∠BCP 中，AC BC CP CP ⎧⎨⎩＝＝， ∠Rt∠ACP∠Rt∠BCP （HL ）．12故选：D ．【点拨】此题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．10．A【分析】连接CD ，DB ，过点D 作DM ∠AB 于点M ，证明∠AFD ∠∠AMD ，得到AF ＝AM ，FD ＝DM ，证明Rt CDF Rt BDM ≌，得到BM ＝CF ，结合图形计算，得到答案．【详解】连接CD ，DB ，过点D 作DM ∠AB 于点M ，∠AD 平分∠F AB ，∠∠F AD ＝∠MAD ，在∠AFD 和∠AMD 中，FAD MADAFD AMD AD AD∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝∠∠AFD ∠∠AMD （AAS ）∠AF ＝AM ，FD ＝DM ，∠DE 垂直平分BC∠CD ＝BD ，在Rt∠CDF 和Rt∠BDM 中，DC DBDF DM =⎧⎨=⎩， ∠Rt∠CDF ∠Rt∠BDM （HL ）∠BM ＝CF ，∠AB ＝AM +BM ＝AF +MB ＝AC +CF +MB ＝AC +2CF ，∠8＝5+2CF ，解得，CF ＝1.5，故选：A ．13【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质和角平分线的性质等知识，根据已知角平分线以及垂直平分线作出相关辅助线从而利用全等求出是解决问题的关键． 11．AB DE【分析】根据判断两个直角三角形全等的条件“HL”即可填空．【详解】AC 和DF 为直角边．再利用“HL”，可知两个直角三角形的斜边相等即可证明这两个三角形全等．∠填AB=DE ．故答案为：AB=DE ．【点拨】本题考查直角三角形全等的判定条件“HL”，掌握判定直角三角形全等的判定定理是解答本题的关键．12．8或103【分析】分两种情况：∠当AP=BC=8时；∠当AP=CA=103由HL 证明Rt∠ABC∠Rt∠PQA （HL ）；即可得出结果．【详解】∠AX∠AC ，∠∠PAQ=90°，∠∠C=∠PAQ=90°，分两种情况：14∠当AP=BC=8时，在Rt∠ABC 和Rt∠QPA 中，AB PQ BC AP=⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ABC∠Rt∠QPA （HL ）；∠当AP=CA=10时，在∠ABC 和∠PQA 中，AB PQ AP AC =⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ABC∠Rt∠PQA （HL ）；综上所述：当点P 运动到AP=8或103∠ABC 与∠APQ 全等；故答案为：8或103【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨论，难度适中．13．AB =AC【分析】利用HL 定理可直接得到答案．【详解】解：添加条件：AB=AC ，∠AD∠BC ，∠∠ADB=∠ADC=90°，在Rt∠ABD和Rt∠ACD 中15AD AD AB AC ⎧⎨⎩＝＝， ∠Rt∠ABD∠Rt∠ACD （HL ），故答案为：AB=AC ．【点拨】本题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．14．HL【分析】根据已知条件知∠ABF 和∠CDE 都是直角三角形，所以根据直角三角形全等的判定定理HL 可以证得它们全等．【详解】解：如图，∠DE ∠AC ，BF ∠AC ，AE ＝CF ，∠∠DEC ＝∠BF A ＝90°，AE +EF ＝CF +EF ，即AF ＝CE ．∠在Rt∠ABF 和Rt∠CDE 中，AF CE AB CD=⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ABF ∠Rt∠CDE （HL ）．故答案为：HL ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定．注意，此题属于开放题，也可以根据全等三角形的判定定理SAS 、SSS 证得它们全等．15．6cm 或12cm【分析】由题意易得∠C=∠QAP=90°，AB=QP ，要使∠ABC 与∠APQ 全等，则需AP=CB 或AP=CA ，进而问题可求解．【详解】解：∠AX∠AC ，∠C=90°，∠∠C=∠QAP=90°，16∠AB=QP ，∠要使∠ABC 与∠APQ 全等，则需AP=CB 或AP=CA ，∠AP=6cm 或12cm ；故答案为6cm 或12cm ．【点拨】本题主要考查直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握直角三角形全等的判定与性质是解题的关键．16．ADB △ HL CD CAD ∠【分析】由,AD BC ⊥可得90ADB ADC ∠=∠=︒，结合,AB AC AD AD ==，利用斜边直角边判定两个三角形全等，再利用全等三角形的性质可得结论．【详解】解：,AD BC ⊥90ADB ADC ∴∠=∠=︒，AB AC AD AD ==，，()Rt ADB Rt ADC HL ∴≌，,.BD CD BAD CAD ∴=∠=∠故答案为：ADB △，HL ，CD ，.CAD ∠ 【点拨】本题考查的是直角三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．17．HL【分析】利用判定方法“HL ”证明Rt OMP 和Rt ONP 全等，进而得出答案．【详解】解：由题意知OM ＝ON ，∠OMP ＝∠ONP ＝90°，OP ＝OP ，∠在Rt OMP 和Rt ONP 中，OP OP OM ON=⎧⎨=⎩，17 ∠Rt OMP ∠Rt ONP （HL ），∠∠AOP ＝∠BOP ，∠OP 是∠AOB 的平分线．故答案为：HL ．【点拨】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键．18．62︒【分析】根据HL 证明Rt∠ABC 与Rt∠ADC 全等，进而利用全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余解答即可．【详解】解：在Rt∠ABC 与Rt∠ADC 中AB AD AC AC =⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ABC∠Rt∠ADC （HL ），∠∠ACD=∠ACB=28°，∠∠DAC=90°-28°=62°，故答案为：62°．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余．证明∠ABC∠∠ADC 是解题的关键．19．3或5【分析】过点P 作PE∠OA 于点E ，分点D 在线段OE 上，点D 在射线EA 上两种情况讨论，利用角平分线的性质可得PN=PE ，即可求OE=ON=4，由题意可证∠PMN∠∠PDE ，可求OD 的长．【详解】如图：过点P 作PE∠OA 于点E18∠OC 平分∠AOB ，PE∠OA ，PN∠OB∠PE=PN∠PE=PN ，OP=OP∠∠OPE∠∠OPN （HL ）∠OE=ON=4∠OM=3，ON=4∠MN=1若点D 在线段OE 上，∠PM=PD ，PE=PN∠∠PMN∠∠PDE （HL ）∠DE=MN=1∠OD=OE -DE=3若点D 在射线EA 上，∠PM=PD ，PE=PN∠∠PMN∠∠PDE （HL ）∠DE=MN=1∠OD=OE+DE=5故答案为3或5．【点拨】此题考查全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是解题关键． 20．13【分析】如图，作DM∠AC 于M ，DN∠AB 于N ．首先证明Rt∠DMC∠Rt∠DNB ，推出CM=BN ，∠ADM∠∠ADN ，推出AM=AB ，再证明DE∠AC ，推出∠ADE=∠CAD=∠DAB=30°，推出19AE=DE ，推出∠DEN=60°，在Rt∠ADN 中，可得43，在Rt∠EDN 中，可得DE=DN÷cos30°=83，由此即可解决问题．【详解】如图，作DM∠AC 于M ，DN∠AB 于N.∠∠CAD=∠BAD=30°，DM∠AC 于M ，DN∠AB 于N ，∠DN=DM ，在Rt∠DMC 和Rt∠DNB 中，DC DBDM DN ==⎧⎨⎩ ，∠Rt∠DMC∠Rt∠DNB ，∠CM=BN ，同理可证∠ADM∠∠ADN ，∠AM=AB ，∠AC+AB=AM+CM+AN−BN=2AM=8，∠AM=AN=4，∠∠DCM=∠DBN ，∠∠1=∠2，∠∠CDE=∠2，∠∠1=∠CDE ，∠DE∠AC ，∠∠ADE=∠CAD=∠DAB=30°，∠AE=DE ，∠∠DEN=60°，20 在Rt∠ADN 中43 在Rt∠EDN 中,DE=DN÷cos30°=83， ∠AE=83， ∠EB=AB−AE=3−83=13. 故答案为13. 【点拨】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线.21．见解析【分析】利用已知条件证明∠ADF∠∠CBE ，由全等三角形的性质即可得到∠B=∠D ，进而得出结论．【详解】证明：∠DE=BF ，∠DE+EF=BF+EF ；∠DF=BE ；在Rt∠ADF 和Rt∠BCE 中DF BE AD CB =⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ADF∠Rt∠CBE （HL ），∠∠B=∠D ，∠//AD BC ．【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；由DE=BF 通过等量加等量和相等得DF=BE 在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用．22．（1）证明见解析；（2）BE AC ⊥，理由见解析．【分析】（1）由AD 为ABC 的高，证明90ADC BDE ∠=∠=︒，再利用斜边直角边公理证明ADC BDE ≌即可；21（2）由ADC BDE ≌证明：,DAC EBD ∠=∠再利用：90DBE BED ∠+∠=︒，证明：90AEF DAC ∠+∠=︒，从而可得结论．【详解】证明：（1） AD 为ABC 的高，,AD BC ∴⊥90ADC BDE ∴∠=∠=︒，在Rt ADC 与Rt BDE 中，AC BECD ED =⎧⎨=⎩()ADC BDE HL ∴≌（2）BE AC ⊥，理由如下：如图，延长BE 交AC 于,F,ADC BDE ≌,DAC EBD ∴∠=∠90BDE ∠=︒，90DBE BED ∴∠+∠=︒，,BED AEF ∠=∠90AEF DAC ∴∠+∠=︒，90AFE ∴∠=︒，.BE AC∴⊥【点拨】22 本题考查的是三角形的高的含义，直角三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，直角三角形的两锐角互余，垂直的定义，掌握以上知识是解题的关键．23．（1）AC ∠CE ；（2）见解析【分析】（（1）根据题意写出结论即可．（2）由条件可证明Rt∠ABC ∠Rt∠CDE ，得到∠ECD ＝∠A ，进一步可得∠ECA ＝90°，可证得结论．【详解】解：（1）AC CE ⊥．（2）证明：AB BD ⊥，ED BD ⊥， 90ABC CDE，在Rt ABC ∆和Rt CDE ∆中， AB CD AC CE ， Rt ABCRt CDE(HL)， A ECD ∴∠=∠， 90AACB ， 90ECD ACB， 90ACE ∴∠=︒，AC CE ∴⊥．【点拨】本题主要考查直角三角形全等的判定，掌握直角三角形全等的判定方法HL 定理是解题的关键．24．见解析【分析】先利用HL 定理证明∠ACE 和∠CBF 全等，再根据全等三角形对应角相等可以得到∠EAC ＝∠BCF ，因为∠EAC ＋ACE ＝90°，所以∠ACE ＋∠BCF ＝90°，根据平角定义可得∠ACB ＝90°．【详解】证明：如图，在Rt ∆ACE 和Rt ∆CBF 中，∠AC = BC ，AE = CF ，23∠Rt ∆ACE ∠ Rt ∆CBF （HL ），∠∠EAC = ∠BCF ，∠∠EAC + ∠ACE = 90︒ ，∠∠ACE + ∠BCF = 90︒ ，∠∠ACB = 180︒ - 90︒ = 90︒ ．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．25．80°，50°.【解析】【分析】根据三角形外角与内角的性质及角平分线的性质求出∠ CAB ，再利用直角三角形全等的判定定理，得出∠CAP=∠PAF ，继而求出即可【详解】解：如图所示：延长BA ，作PN∠BD ，PF∠BA,PM∠AC ，设∠PCD = x°∠CP 平分∠ ACD∠∠ACP =∠PCD = x°，PM=PN∠BP 平分∠ ABC∠∠ABP=∠PBC ，PF=PN∠PM=PF∠∠BPC=40°∠∠ABP=∠PBC=∠PCD−∠BPC=（x−40）°∠∠CAB=∠ACD−∠ABC=2x°−2（x−40）°=80°∠PM=PF ，AP=AP ，PF∠BA,PM∠AC∠Rt∠PAF ∠ Rt ∠PAM∠∠CAP=∠PAF=12（180°−∠CAB ）=12 （180°−80°）=50°故本题答案应为：∠CAB=80°，∠CAP=50°24【点拨】三角形内角与外角的性质及角平分线的性质、直角三角形全等的判定都是本题的考点，熟练掌握数学基础知识是解题的关键.。

10 探索全等三角形的条件(3)-角角边(AAS)(拓展提高)(解析版)

专题1.10探索全等三角形的条件（3）-角角边（AAS ）（拓展提高）一、单选题1．如图，在四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，BCE ACD ∠=∠，40BAC D ∠=∠=︒，AB DE =，则BCE ∠的度数为（）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒【答案】C 【分析】通过证明△ABC ≌△DEC ，可得AC =DC ，从而40CAD D ∠=∠=︒，然后求出∠ACD 的值，进而可求BCE ∠的度数．【详解】解：∵BCE ACD ∠=∠，∴BCE ACE ACD ACE ∠-∠=∠-∠，∴∠ACB =∠DCE ．在△ABC 和△DEC 中ACB DCE BAC D AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEC ，∴AC =DC ，∴40CAD D ∠=∠=︒，∴∠ACD =180°-40°-40°=100°，∴∠BCE =∠BCA +∠ACE =∠DCE +∠ACE =∠ACD =100°，故选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．也考查了等腰三角形的性质．2．如图，在四边形ABCD 中，AB //DC ，E 为BC 的中点，连接DE 、AE ，AE ⊥DE ，延长DE 交AB 的延长线于点F ．若AB ＝5，CD ＝3，则AD 的长为（）A ．2B ．5C ．8D ．11【答案】C 【分析】由“AAS ”可证△BEF ≌△CED ，可得EF ＝DE ，BF ＝CD ＝3，由线段垂直平分线的性质可得AD ＝AF ＝8．【详解】解：∵E 为BC 的中点，∴BE ＝EC ，∵AB ∥CD ，在△BEF 与△CED 中，F CDE BEF CED BE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEF ≌△CED （AAS ）∴EF ＝DE ，BF ＝CD ＝3，∴AF ＝AB +BF ＝8，∵AE ⊥DE ，EF ＝DE ，∴AF ＝AD ＝8，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．3．如图，在ABC 中，AB AC ⊥，AD BC ⊥，BE 平分ABC ∠，交AD 于点E ，//EF AC ，下列结论中一定成立的是（）A ．ABE DFE ∠=∠B ．AE ED =C ．AD DC = D ．AB BF =【答案】D 【分析】先利用等角的余角相等得到∠C=∠BAD ，再根据平行线的性质得∠C=∠BFE ，则∠BAD=∠BFE ，于是可根据“AAS”可判断△ABE ≌△FBE ，所以AB=BF ．【详解】解：∵AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠C=90°，∴∠C=∠BAD ，∵EF ∥AC ，∴∠C=∠BFE ，∴∠BAD=∠BFE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠FBE ，在△ABE 和△FBE 中，BAD BFE ABE FBE BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△FBE ，∴AB=BF ．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的性质和全等三角形的判定与性质．4．如图，在OAB 和△OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中一定正确的为（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】B【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD即可判断①；由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AMB=∠AOB=40°，即可判断②；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，则∠OGC=∠OHD=90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，即可判断④；由∠AOB=∠COD，得出当∠DOM=∠AOM时，OM平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB=OC，而OA=OB，所以OA=OC 即可判断③；【详解】∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，OA OBOC ODAOC BOD=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，故①正确；∴∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，∴∠AMB=∠AOB=40°，故②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC=∠OHD=90°，在△OCG和△ODH中OCA ODBOGC OHD OC OD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG=OH，∴MO平分∠BMC，故④正确；∵∠AOB=∠COD，∴当∠DOM=∠AOM时，OM平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，∵△AOC≌△BOD∴∠COM=∠BOM，∵MO平分∠BMC∴∠CMO=∠BMO，在△COM和△BOM中，COM BOMOM OMCMO BMO∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△COM≌△BOM（ASA）∴OB=OC，∵OA=OB，∴OA=OC与OA＞OC矛盾，故③错误；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定等知识，证明三角形全等是解题的关键；．5．如图，AP平分∠BAF，PD⊥AB于点D，PE⊥AF于点E，则△APD与△APE全等的理由是（）A．SSS B．SAS C．SSA D．AAS【答案】D【分析】求出∠PDA=∠PEA=90°，∠DAP=∠EAP，根据AAS推出两三角形全等即可．【详解】解：∵PD ⊥AB ，PE ⊥AF ，∴∠PDA=∠PEA=90°，∵AP 平分∠BAF ，∴∠DAP=∠EAP ，在△APD 和△APE 中DAP EAP PDA PEA AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD ≌△APE （AAS ），故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．6．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2，过A 点作AD ∥BC ；AE ⊥AC ，AC ＝AE ，AD ＝3，连接DE ，则△ADE 的面积为（）A ．3B ．6C ．12D ．18【答案】A 【分析】通过过E 作EF ⊥DA ，交DA 延长于F ，将三角形ABC 转移到三角形AFE 构造确定，求出三角形ADE 的高EF ，利用面积公式即可求出．【详解】过E 作EF ⊥DA ，交DA 延长于F ，∵AE ⊥AC ，∴∠EAF+∠FAC=90º，∵AD ∥BC ，∠B ＝90°，∴∠BAF+∠B=180º，∴∠BAF=90º，∴∠BAC+∠FAC=90º，∴∠EAF=∠BAC ，∠F=∠B ，∴△AEF ≌△ACB(AAS)，∴EF=BC=2，∴S △ADE=11AD EF=3222⨯⨯=3，故选择：A ．【点睛】本题考查三角形的面积问题，利用辅助线构造三角形全等，解决三角形ADE 的高是解题关键．二、填空题7．如图，已知//AD BC ，AB BC ⊥，CD DE ⊥，CD ED =，3AD =，4BC =，则ADE 的面积为________．【答案】32【分析】知道AD 的长，只要求出AD 边上的高，就可以求出△ADE 的面积；过点D 作DG ⊥BC 于G ，过点E 作EF ⊥AD 交AD 的延长线于F ，构造出△EDF ≌△CDG ，求出GC 的长，即为EF 的长，利用三角形的面积公式解答即可．【详解】解：过点D 作DG ⊥BC 于G ，过点E 作EF ⊥AD 交AD 的延长线于F ，如图所示：则四边形ABGD 是矩形，∵∠EDF +∠FDC =90°，∠GDC +∠FDC =90°，∴∠EDF =∠GDC ，在△EDF 和△CDG 中，F DGC EDF GDC DE DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EDF ≌△CDG （AAS ），∴EF =CG =BC -BG =BC -AD =4-3=1，∴S △ADE =12 AD •EF =12×3×1=32，故答案为：32．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形面积计算等知识，通过作辅助线构造△EDF ≌△CDG 是解题的关键．8．如图，在面积为36的四边形ABCD 中，∠ADC =∠ABC =90°，AD =CD ，DP ⊥AB 于点P ，则DP 的长是_____【答案】6【分析】作DE ⊥BC ，交BC 延长线于E ，如图，则四边形BEDP 为矩形，再利用等角的余角相等得到∠ADP =∠CDE ，则可利用“AAS ”证明△ADP ≌△CDE ，得到DP =DE ，S △ADP =S △CDE ，所以四边形BEDP 为正方形，S 四边形ABCD =S 正方形BEDP ，根据正方形的面积公式得到DP 2=36，易得DP =6．如图，作DE ⊥BC ，交BC 延长线于E ，∵DP ⊥AB ，ABC =90°，∴四边形BEDP 为矩形，∴∠PDE =90°，即∠CDE +∠PDC =90°，∵∠ADC =90°，即∠ADP +∠PDC =90°，∴∠ADP =∠CDE ，在△ADP 和△CDE 中APD CED ADP CDE AD DC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADP ≌△CDE ，∴DP =DE ，S △ADP =S △CDE ，∴四边形BEDP 为正方形，S 四边形ABCD =S 正方形BEDP ，∴DP 2=36，∴DP =6．故答案为6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了正方形和矩形的性质．本题的关键的作辅助线构造两个全等的三角形．9．如图，在△ABC 中，点D 为AB 延长线上一点，点E 为AC 中点，过C 作CF //AB 交射线DE 于F ，若BD ＝1，CF ＝5，则AB 的长度为_____．【答案】4【分析】根据CF ∥AB 就可以得出∠A =∠ECF ，∠ADE =∠F ，证明△ADE ≌△CFE 就可以求出答案．【详解】∵CF ∥AB ，∴∠ADE =∠F ，∠FCE =∠A ．∵点E 为AC 的中点，∴AE =EC ．∵在△ADE 和△CFE 中，ADE F FCE A AE EC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADE ≌△CFE （AAS ）．∴AD =CF =5，∵BD =1，∴AB =AD -BD =5-1=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，解答时证明三角形全等是关键． 10．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在AB 的延长线上，点D 在边AC 上，且EB ＝CD ＝4，线段DE 交边BC 于点F ，过点F 作FG ⊥DE 交线段CE 于点G ，CE ⊥AC ，△GEF 的面积为5，则EG 的长_____．【答案】5【分析】过D 作//DH AB 交BC 于H ，求出EF DF =，延长GC 到M ，使EG GM =，连接DM ，DG ，根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：过D 作//DH AB 交BC 于H ，则,DHC ABC EBF DHF ∠=∠∠=∠，∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∴DHC ACB ∠=∠，∴DH CD =，∵BE CD =，∴DH BE =，在BEF 与HDF 中EBF DHF BFE HFD BE DH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BEF HDF ≌（AAS ），∴EF DF =，延长GC 到M ，使EG GM =，连接DM ，DG ，∵5,,S EFG EF DF EG MG ===，∴5S DFG S EFG ==，5510S DGM S DGE ==+=，∴101020S DEM =+=，∵4,DC AC CE =⊥， ∴12S DEM EM DC =⨯⨯， ∴12042EM =⨯⨯，解得：=10EM ， ∴11052EG MG ==⨯=，故答案为：5．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．11．如图，在△ABC 中，点D ，E 在AC 边上，且AE ＝ED ＝DC ．点F ，M 在AB 边上，且////EF DM BC ，延长FD 交BC 的延长线于点N ，则EF BN的值＝_____．【答案】14【分析】首先证明13EF BC ＝∶∶，再利用全等三角形的性质证明EF ＝CN 即可解决问题．【详解】解：////EF DM BC AE DE CD ，＝＝， ∴13EF AE BC AC ==，在EFD △与CND △中，EDF CDN FED NCD ED DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，EFD CND AAS ∴≌（），EF CN ∴＝，13CN BC ∴∶＝∶，1CN BN ∴＝∶∶4，∴14EF BN =，故答案为14．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，关键在于熟练掌握两个知识点的基本性质和定理，该类型题属常考题．12．如图，在等边ABC 中，12AC =，点O 在边AC 上，且4AO =，点P 是边AB 上的一动点．连结OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60︒得到线段OD ．要使点D 恰好落在边BC 上，则AP 的长为______．【答案】8【分析】根据AC =12，AO =4，求出OC =8，再根据等边三角形的性质得∠A =∠C =60°，再根据旋转的性质得OD =OP ，∠POD =60°，根据三角形内角和和平角定义得∠AOP +∠APO +∠A =180°，∠AOP +∠COD +∠POD =180°，利用等量代换可得∠APO =∠COD ，然后证出△AOP ≌△CDO ，得出AP =CO =8．【详解】解：∵AC =12，AO =4，∴OC =8，∵△ABC 为等边三角形，∴∠A =∠C =60°，∵线段OP 绕点D 逆时针旋转60°得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，如图所示，∴OD =OP ，∠POD =60°，∵∠AOP +∠APO +∠A =180°，∠AOP +∠COD +∠POD =180°，∴∠AOP +∠APO =120°，∠AOP +∠COD =120°，∴∠APO =∠COD ，在△AOP 和△CDO 中，A C APO COD OP OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOP ≌△CDO （AAS ），∴AP =CO =8，故答案为8．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等是本题的关键． 13．如图，AE AB ⊥，且,AE AB BC CD =⊥，且BC CD =，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是___________．【答案】50【分析】求出∠F=∠AGB=∠EAB=90°，∠FEA=∠BAG ，根据AAS 证△FEA ≌△GAB ，推出AG=EF=6，AF=BG=2，同理CG=DH=4，BG=CH=2，求出FH=14，根据阴影部分的面积=S 梯形EFHD -S △EFA -S △ABC -S △DHC 和面积公式代入求出即可．【详解】解：∵AE ⊥AB ，EF ⊥AF ，BG ⊥AG ，∴∠F=∠AGB=∠EAB=90°，∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAG=90°，∴∠FEA=∠BAG ，在△FEA 和△GAB 中，∵F BGA FEA BAG AE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FEA ≌△GAB （AAS ），∴AG=EF=6，AF=BG=2，同理CG=DH=4，BG=CH=2，∴FH=2+6+4+2=14，∴梯形EFHD 的面积是12×（EF+DH ）×FH=12×（6+4）×14=70， ∴阴影部分的面积是S 梯形EFHD -S △EFA -S △ABC -S △DHC =70-12×6×2-12×（6+4）×2-12×4×2 =50．故答案为50．【点睛】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积．14．如图，△ABC中，AB=AC，BH⊥AC，垂足为点H，BD平分∠ABH，点E为BH上一点，连接DE，∠BDE=45°，DH：CH=3：2，BE=10，则CH=____．【答案】4【分析】延长DE交BC于F，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理和角平分线的性质，由AAS证明△BEF≌△DCF，再根据全等三角形的性质即可求解．【详解】解：延长DE交BC于F，∵AB=AC，设∠A=2α，则∠ABC=∠ACB=90°-α，∵BH⊥AC，∴∠HBC=90°-∠ACB=α，∠A+∠ABH=90°，∵BD平分∠ABH，∴∠DBH=12∠ABH=45°-α，∴∠DBF=45°-α+α=45°，∴∠BDF=∠DBF=45°，∠DFB=∠DFC=90°，∴DF=BF，∵∠DFB=∠DHB=90°，∴∠CDF=∠EBF ，在△BEF 和△DCF 中，CDF EBF BFE DFC BF DF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BEF ≌△DCF （AAS ），∴BE=CD=CH+DH=10，∵DH ：CH=3：2，∴CH=4．故答案为：4．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，题目关键是得到∠DBF=45°，利用全等三角形的性质得到BE=CD ．三、解答题15．如图AOB ∠是一个锐角．（1）用尺规作图法作出AOB ∠的平分线OC ；（2）若点P 是OC 上一点，过点P 作PD OA ⊥于点D ，PE OB ⊥于点E ，求证：OD OE =．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用全等三角形的性质证明即可．【详解】解：（1）如图，射线OC 即为所求作．（2）由作图可知，∠POD =∠POE ，∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO =∠PEO =90°，在△POD 和△POE 中，PDO PEO POD POE OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△POD ≌△POE （AAS ），∴OD =OE ．【点睛】本题考查作图-基本作图，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．如图，,,//AD BF EC AB DE ∠∠＝＝．求证：AC DF ＝．【答案】证明见解析【分析】由已知//AB DE ，可得∠B ＝∠E ，由BF ＝EC ，可得BC ＝EF ，易证ABC DEF △≌△，即可得出AC ＝DF ．【详解】证明：∵//AB DE ，,B E ∴∠∠＝,BF CE ＝,BC EF ∴＝在ABC 和DEF 中，,A D B E BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABC DEF AAS ∴≌（），AC DF ∴＝．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出ABC DEF △≌△． 17．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 是ACB ∠内部一点，分别过A 、B 两点作,AD CE BE CE ⊥⊥，垂足分别为点D 、E ，求证：AD BE DE =+【答案】见解析【分析】由全等三角形的性质可得BE =DC ，AD =CE ，即可求解．【详解】解：证明：BE CE ⊥，AD CE ⊥，90E ADC ∴∠=∠=︒，90EBC BCE ∴∠+∠=︒．90BCE ACD ∠+∠=︒，EBC DCA ∴∠=∠，在BCE ∆和CAD ∆中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE CAD AAS ∴∆≅∆；BCE CAD ∆≅∆，BE DC ∴=，AD CE =，AD CE CD DE BE DE ∴==+=+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．18．如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，E 为CD 的中点，连结BE 并延长交AD 的延长线于点F ．（1）求证：BCE FDE ≌；（2）连结AE ，当,2,1AE BF BC AD ⊥==时，求AB 的长．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）利用AAS 即可证明；（2）由BCE ≌FDE 可得BE FE =，2BC FD ==，从而证明AEB △≌AEF ，得到AB AF =，可得A B ．【详解】解：（1）∵//AD BC ，∴CBE DFE ∠=∠，∵E 为CD 中点，∴CE DE =，在BCE 和FDE 中，CBE DFE BEC FED CE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BCE ≌FDE （AAS ）．（2）由（1）中BCE ≌FDE ，∴BE FE =，2BC FD ==，∵AE BF ⊥，∴90AEB AEF ∠=∠=︒，在AEB △和AEF 中，AE AE AEB AEF BE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEB △≌AEF （SAS ），∴AB AF =，而123AF AD DF =+=+=，∴3AB =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据AAS 和SAS 证明三角形全等．19．已知：在矩形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接DE ，且DE BC =，过点A 作AF DE ⊥于点F ．求证：AB AF =；【答案】见解析【分析】由“AAS ”可证ADF DEC △≌△，可得AF CD AB ==．【详解】证明：∵四边形ABCD 是矩形，AF DE ⊥，∴//,,,90AD BC AD BC AB CD C AFD ==∠=∠=︒，∴ADE DEC ∠=∠，∵DE BC =，∴AD DE =，在ADF 和DEC 中，90AFD C ADE DEC AD DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ADF DEC AAS ≌，∴AF CD =，∴AF AB =.【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 20．如图，点C 、F 、E 、B 在同一直线上，点A 、D 分别在BC 两侧，AB ∥CD ，BE ＝CF ，∠A ＝∠D ．（1）求证：AB ＝DC ；（2）若AB ＝CE ，∠B ＝30°，求∠D 的度数．【答案】（1）见解析；（2）75°．【分析】（1）由两直线平行，内错角相等得到∠B ＝∠C ，继而证明△ABF ≌△CDE （AAS ），据此解题；（2）由（1）△ABF ≌△CDE 得，AB ＝CD ，BF ＝CE ，证明△ABF 是等腰三角形，再根据三角形内角和180°解题．【详解】证明：（1）∵//AB CD ，∴∠B ＝∠C ，∵BE ＝CF ，∴BF CE =，在△ABF 和△CDE 中，A DBC BF CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△CDE （AAS ），∴AB ＝CD ；（2）∵△ABF ≌△CDE ，∴AB ＝CD ，BF ＝CE ，∵AB ＝CE ，∠B ＝30°，∴AB ＝BF ，∴∠A ＝∠AFB ，∴△ABF 是等腰三角形，∴∠A ＝()1801180307522B ︒-∠=︒-︒=︒， ∴∠D ＝∠A ＝75°．【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和的应用等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．。

七下第四章三角形3探索三角形全等的条件第3课时三角形全等的条件SAS作业新版北师大版

第四章
3
第3课时
三角形
探索三角形全等的条件
三角形全等的条件（SAS）
知识点1 判定两个三角形全等的方法：“边角边”
1.【2023·凉山州】如图，点E，点F在BC上，BE＝CF，∠B
＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是
（
D
）
A.∠A＝∠D
B.∠AFB＝∠DEC
C.AB＝DC
D.AF＝DE
EB，下列结论中：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③AD＝
①②④
AC；④∠EFB＝40°，其中正确的是___________.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
点拨：在△ABC和△AEF中，
＝，
ቐ∠＝∠，
＝，
所以△ABC≌△AEF（SAS），
所以AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠C，故②正
△ABC≌△DEF，所以AB＝DE.
因为AB∥DE，所以∠BAE＝∠DEA.
又因为AE＝EA，所以△BAE≌△DEA（SAS），
所以AD＝BE，∠BEA＝∠DAE，所以AD∥BE.
同理可得AD＝CF，AD∥CF，
所以AD＝CF＝BE，AD∥CF∥BE.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
13.【学科素养·推理能力】（1）方法学习：数学兴趣小组
B.180°－2α
C.90°＋α
D.90°＋2α
1
2
3
4
5
6
7
8
9

1.3 探索三角形全等的条件(3)课件(苏科版八上)

请同学们自己画图分析
1.3 探索三角形全等的条件（3）
2 ．如图∠ACB＝∠DFE，BC＝EF，根据 B＝∠E “ASA”,应补充一个直接条件∠ ___________ ，根 ∠A＝∠D 据“AAS”，那么补充的条件为____________ ，才能使△ABC≌△DEF．
A
F B C D
E
1.3 探索三角形全等的条件（3）
解：△ABD≌△ACE 理由：在△ABD和△ACE 中
已知） E B＝C（公共角） A＝A（ AE＝AD（已知）B
A
D
O
∴△ABD≌△ACE（AAS）
C
1.3 探索三角形全等的条件（3）
一、练习P21 1、 2 二、作业P30 6、8和补充习题集
A A
B
D
C B
D
C
1.3 探索三角形全等的条件（3）
5．已知：如图，△ABC≌△ABC，AD和AD分别是 △ABC和△ABC的BC和BC边上的中线．求证：AD＝AD．
A A
B
D
C
B
D
C
6、如图：已知AE＝AD，∠B ＝∠C，（1）△ABD与△ACE全等吗？为什么？（2）OB=OC吗？
1.3
探索三角形全等的条件（3） ----AAS
没有谁能够随随便便成功！
目前我们判定两个三角形全等共有几种方法?
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或 “SAS” 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。简写成“角边角”或 “ASA”
1.3 探索三角形全等的条件（3）
如图，在⊿ABC和⊿MNP中， ∠B= ∠M， ∠B= ∠N，BC=NP， ⊿ABC和⊿MNP全等吗？为什么？

探索三角形全等的条件3教案

§4.3探索三角形全等的条件教案（第三课时）邛崃市羊安中学宋旭◆教学目标1、知识与技能（1）能主动积极探索出三角形全等的条件“SAS”（2）能熟练运用“SAS”判别方法来进行有条理的思考并进行简单的证明。

（3）初步综合运用四种判别方法来判别三角形全等。

2、过程与方法学生经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，由此带动知识发生、发展的全过程。

3、情感、态度与价值观通过多种手段的活动过程，让学生动手操作，激发学生学习的兴趣，并能通过合作交流解决问题，体会数学在现实生活中的应用，增强学生的自信心。

◆教学重点和难点重点掌握三角形全等的条件“SAS”，并能利用它来判定三角形是否全等。

难点探索三角形全等的条件“SAS”的过程及几种方法的综合应用。

◆学法引导让学生通过画图、观察、比较、推理、交流，逐步地掌握三角形全等的判别条件。

◆教具准备（1）学具准备：三角板，量角器，直尺、圆规（2）多媒体课件，硬纸板◆教学设计一、复习回顾(1)．我们在前面学过______ _______ _______方法判定两个三角形全等。

(2)．从三角形的判定方法知，判定两个三角形至少须_______个条件，其中必有。

二、情境引入，导入新课（出示三角形模具）有一块三角形模具碎成了两块,要去剪一块新的,如果你手头没有测量的仪器,带哪个去你能保证新剪的纸片形状、大小和原来的一样吗?要解决这个问题，我们就要继续学习“探索三角形全等的条件”。

提出问题：如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况，每种情况下得到的三角形都全等吗？学生经过讨论交流后回答：已知两边及一角的情况有两种分别是“两边及夹角”与“两边及其中一边的对角”。

三、探究新知探究1 （1）两边和其夹角做一做：画△ABC,使两边为15cm 、12cm ，夹角为450并剪下,于同桌进行比较，它们能互相重合吗？将学生分组，画图时，学生可以利用量角器、直尺、三角尺等工具，小组成员分工合作完成,教师巡视指导。

1.3探索三角形全等的条件sas(3)

课题 1.3. 探索三角形全等的条件（3）学习目标 1、掌握三角形全等“边角边”的内容；2、会用“SAS ”判别三角形全等，为证明线段相等或角相等创造条件；3、经历探索三角形全等的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。

重、难点 1、探索两个三角形全等的判定方法SAS ，并掌握证明三角形全等时的书写格式；2、用SAS 的方法证明两个三角形全等，进而证明角相等、线段相等与平行。

教师引导学习过程一、创设情境1、判定两个三角形全等的方法有什么？2、如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢？每种情况下得到的三角形都全等吗？二、自主探究1、已知三角形两条边分别为2.5cm 和3.5cm ，它们所夹的角为40°，你能画出这个三角形吗？大家画的三角形一定全等吗？结论：分别相等的两个三角形全等。

简写成“边角边”或“ ”。

例3 如图，已知AB 与CD 相交于点O ，OA=OB,OC=OD .△AOD 与△BOC 全等吗？请说明理由。

证明：在△AOD 与△BOC 中∴ △AOD ≌△BOC （）练习：26页随堂练习1 、22、已知三角形两边分别为2.5cm 和3.5cm,长度为2.5cm 的边所对的角为40°，按要求画出三角形。

结论：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形。

教师引导 C A BD O例题变式：已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上，AE=CF ，BE ∥DF ，BE=DF 。

求证：AB ∥CD（1）证明：图1（2）证明：图2 三、巩固练习：如图所示，AB=AD ，AC=AE ，且∠BAD=∠CAE 。

求证：△ABC ≌△ADE四、课堂小结：1、通过本节课的学习，你学会什么知识？2、判定三角形的方法有几种？A E F C D BA EB F D CA B D C E。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第三章
三角形
3 探索三角形全等的条件（第3课时）
温故知新
到目前为止，你知道哪些判定三角形全等的方法？边边边（SSS）角边角（ASA）角角边（AAS）
根据探索三角形全等的条件，至少需要三个条件，除了上述三种情况外，还有哪种情况？两边一角相等（1）两边及夹角（2）两边及其一边的对角
A
D
C
如图，已知AB＝AC，AD＝AE。
那么∠B与∠C相等吗？为什么？解：相等理由：在△ABD和 △ACE中 AB ＝AC E B A D C
A＝A AD AE ＝
∴
△ABD≌△ACE（SAS）
∴
∠B＝∠C
C
如图，∠B＝∠E，AB＝EF，BD＝EC，那么△ABC与 △FED全等吗？为什么？ F AC∥FD吗？为什么？
（1）两边及夹角
三角形两边分别为2.5cm，3.5cm，它们所
夹的角为40°，你能画出这个三角形吗？
你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
F C 2.5cm A D
40°
3.5cm
E B
结论：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边” 或“SAS”.
(2)两边及其中一边的对角
以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为40°，
小明不用测量就能知道EH=FH吗？ D E F
H
补充练习：
在△ABC中，AB=AC， AD是∠BAC的角平分线。那么BD与CD相等吗？为什么？解：相等 B 理由：∵AD是∠BAC的角平分线 ∴∠BAD＝∠CAD ∵AB＝AC ∠BAD＝∠CAD AD＝AD ∴△ABD≌△ACD（SAS） ∴BD＝CD
B 解：全等。
∵
C 1 3 A
4 2 D
E
BD=EC ∴BD－CD＝EC－CD。即BC＝ED 在△ABC与△FED中
AB FE B E BC ED
∴△ABC≌△FED（SAS）
∴ ∴ ∴
∠1＝∠2 ∠3＝∠4 AC∥FD
小颖作业本上画的三角形被墨迹污染, 她想画出一个与原来完全一样的三角形,她该怎么办呢?
情况又怎样？动手画一画，你发
现了什么？
C
F
及其一边所对的角对应相等，两个三角形不一定全等
分别找出各题中的全等三角形
A
40° D C
B
A
B
D
(2)
F
C
△ADC≌△CBA (SAS)
(1)
E
△ABC≌△EFD (SAS)
小明做了一个如图所示的风筝，
其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ，
你能帮帮小颖吗?
1. 今天我们学习哪种方法判定两三角形全等？
边角边（SAS） 2. 通过这节课，判定三角形全等的条件有哪些？ SSS，SAS，ASA，AAS 3.在这四种说明三角形全等的条件中，你发现了什么？至少有一个条件：边相等 “边边角”不能判定两个三角形全等
布置作业
习题3.8 1,4