高三数学一轮教学资料 导数的概念及其运算活动导学案(无答案)(1)

《导数的概念及其运算》活动导学案

【学习目标】

1、 会用导数定义、导数公式以及导数运算法则求函数的导数；

2、会根据导数的几何意义求有关切线的问题.

【重难点】导数的几何意义 【课时安排】1课时

【活动过程】

一、自学质疑

1．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t

(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为________． 2．设y ＝x 2·e x ，则y ′＝______________.

3．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12

x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 4．若函数f (x )＝e x ＋a e －x 的导函数是奇函数，并且曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32

，则切点的横坐标是________．

5．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4

)＝________. 二、互动研讨：

探究点一 求函数的导数

利用导数的定义求函数的导数：

(1)f (x )＝1x

在x ＝1处的导数；

探究点二 导数的运算

求下列函数的导数：

(1)y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ； (2)y ＝ln x x

； (3)y ＝x e x ； (3)y ＝tan x .

(4)y ＝e x ·cos x ； (5)y ＝x －sin x 2cos x 2

； 变式：求下列函数的导数：

(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝3x e x －2x ＋e ；(3)y ＝ln x x 2＋1

.

(3)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.

探究点三 导数的几何意义

(1)(2013·广东卷)若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________.

(2)设f (x )＝x ln x ＋1，若f ′(x 0)＝2，则f (x )在点(x 0，y 0)处的切线方程为____________________．

【训练2】 (1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为____________________．

(3)若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为________(锐角、直角、钝角)．

探究点四、导数运算与导数几何意义的应用

1、已知曲线y ＝13x 3＋43

. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程；

(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．

2、设l 为曲线C ：y ＝ln x x

在点(1,0)处的切线． (1)求l 的方程；

(2)试证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方．

变式：某物体在t （单位：s ）时离出发点的距离（单位：m ）是t t t t f 232)(23++=

. （1）求在第s 1内的平均速度；（2）求在s 1末的瞬时速度；

（3）经过多少时间物体的运动速度达到14s m /.

检测反馈

1.曲线x e y =在点),2(2e 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 .

2.已知函数22

1)0()(x x f e x f x +

-=，则=)1('f .

3.已知函数1

4)(+=x x

e e x

f ，则)(x f 的导函数)('x f 的值域为 .

4.设P 是函数)1(+=

x x y 图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线倾斜角为θ，则θ的取值

范围是 .

5、若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是________．

6、函数y ＝ln x (x >0)的图象与直线y ＝12

x ＋a 相切，则a 等于________．