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第四章 分子的对称性
4.1 对称操作和对称元素
一、对称性
自然界普遍存在着对称性，例如人体外型是对 称的，因为有一个平面等分人体为左右两半，如 果设想这个平面是个镜面，它就会把左半反映到 右半，把右半反映到左半，得到一个和原来一样 的图形。许多植物的花朵和叶片绕对称轴排列， 具有对称轴的对称元素。
生 物 界 的 对 称 性
0
2
n
这种旋转轴就称为n次轴，记作n，其基本对称操
作Cn1=
L(2。) 旋转角度按逆时针方向计算。当旋
n
转角度等于基转角的整数倍时，图形也是能够复
原的，因为这不过相当于图形按基转角一次一次
地转了多次罢了。
根据基转角数值，旋转轴又可分成许多种，分
子中常遇到的旋转轴有二、三、四、五、六，轴，
记作2，3，4，5，6，，亦记为C2，C3，C4，C5， C6，C 等。
3. 操作：指将图形中每一点按一定规则从一位移 到另一位置。 4. 复原：经过某一操作后，新的取向与原来的取 向重叠，无法区别是操作前还是操作后的图形。 这种情况叫复原。 5. 对称操作：不改变图形中任何两点的距离而能 使图形复原的操作叫做对称操作。 6.对称元素：对称操作所据以进行的几何元素 （点、线、面等）称为对称元素。
7. 点对称操作：在进行每一种操作时，图形中至 少有一点是不动的对称操作。
有限图形只能被点操作所复原，这是有限图形 对称操作的特点。 8. 空间对称操作：在进行每一种操作时，图形任 何一点都移动对称操作。
分子和有限图形可能具有的对称操作和对称 元素有下列六种类型。
二、恒等操作 不改变图形中任意一点位置的“操作”称为
微观世界的对称性
微观物体也具有多种多样 的对称性。原子轨道，分 子轨道及分子几何构型都 具有某种对称性，这些对 称性是电子运动状态和分 子结构特点的内在反映。 分子对称性是联系分子结 构和分子性质的重要桥梁 之一。
总之，我们所处的环境，从宏观到微观，是个 存在对称性的世界。利用对称性概念及有关原理和 方法去解决我们遇到的问题。可以使我们对自然现 象及其运动发展规律的认识更加深入，下面我们将 介绍几个有关对称性的定义和术语。 1、对称：是指一个物体包含若干等同部分，这些 部分相对（对等、对应）而又相称（适合、相当）。 2、对称图形：能为一种以上（包括不动操作）不 改变图形中任意两点间距离的操作所复原的图形。 （由若干个相等的部分或单元按照一定的方式组成 的图形）。
凭借同一对称元素所能进行的独立的对称操
作的数目称为这一对称元素的阶次。相当于n次
轴的对称操作共有n个，
即旋转 L( ) L(2 ), L(2 ), L(3 ),, L(n ) ，L(2 ) 依次以Cn，Cn2，Cnn3，…，Cnn表示之。
有 Ln(2重3 )轴,L的 23阶次2 为L(4n3。),例L 2如3 33施 L行(2的) 独共E,立有对3个称，操其作阶 次为3。
Cn轴的存在对于分子中原子的种类和数目施行 了限制，假如有某种原子位于Cn轴之外，必然还有 n-1个同种原子位于Cn之外，这n个同种原子必须分 布在彼此等价的位置上。位于Cn轴上原子，其数目 不受这种限制。
在有些分子中旋转轴往往不止一个，以BF3分子 为例，它含有垂直于分子平面，通过B原子的C3轴， 还有三个位于分子平面上，通过B-F键的C2轴。我 们称n最大者为分子的主轴，n较小者为副轴。这样
BF3的主轴为C3轴，苯分子的主轴为C6轴。
C2轴
H2O2
C2 H
H
C3轴：
N
NH3
H H
H
H
HCCl3
C
Cl
Cl
Cl
F
C4轴： BrF5
SF6
F
Fຫໍສະໝຸດ Baidu
F
F
F
Br
F
F
F
S F
F
C5轴：
C5H5-
Fe
环戊二烯阴离子
C6轴：
苯
C 轴： 所谓C 轴即旋转任意微小的角度，分子均
能复原。例如
HCN ,CO2, HCl ,O2等
恒等操作，记作E。将恒等操作列入对称操作之 中主要是数学上的考虑。 三、旋转和旋转轴 旋转：将分子绕通过其中心的轴旋转一定角度使 分子复原的操作称为旋转，记为L(a)。 旋转轴：施行旋转所凭借的几何元素为一直线， 称为旋转轴（对称轴），记作n和Cn。
使图形（绕某一旋转轴旋转而）复原的最小
非零旋转角α。称为（该对称轴的）基转角。
一般而言，如n和m有公共因子q，则：
m
C
m n
Cnq
q
n个相同对称操作的乘积可记为乘方的形式， C6 C6= C62 =C3 ， C6 C6 C6= C63 =C2等。
沿C6轴旋转两次，即旋转
2 2， 正好等于沿
33
C3轴（它与C6轴重合）旋转一次，所以C62=C3，同
理：C63=C2，C64=C32。特别的，Cnn=E。
四、反映和镜面 反映：将图形中各点移动到该点的某一平面垂线 的延长线上，在此平面另一侧与平面等距离处的 操作称为反映，记为M。
z
(x, -y, z) x
(x, y, z) y
4.1 对称操作和对称元素
一、对称性
自然界普遍存在着对称性，例如人体外型是对 称的，因为有一个平面等分人体为左右两半，如 果设想这个平面是个镜面，它就会把左半反映到 右半，把右半反映到左半，得到一个和原来一样 的图形。许多植物的花朵和叶片绕对称轴排列， 具有对称轴的对称元素。
生 物 界 的 对 称 性
0
2
n
这种旋转轴就称为n次轴，记作n，其基本对称操
作Cn1=
L(2。) 旋转角度按逆时针方向计算。当旋
n
转角度等于基转角的整数倍时，图形也是能够复
原的，因为这不过相当于图形按基转角一次一次
地转了多次罢了。
根据基转角数值，旋转轴又可分成许多种，分
子中常遇到的旋转轴有二、三、四、五、六，轴，
记作2，3，4，5，6，，亦记为C2，C3，C4，C5， C6，C 等。
3. 操作：指将图形中每一点按一定规则从一位移 到另一位置。 4. 复原：经过某一操作后，新的取向与原来的取 向重叠，无法区别是操作前还是操作后的图形。 这种情况叫复原。 5. 对称操作：不改变图形中任何两点的距离而能 使图形复原的操作叫做对称操作。 6.对称元素：对称操作所据以进行的几何元素 （点、线、面等）称为对称元素。
7. 点对称操作：在进行每一种操作时，图形中至 少有一点是不动的对称操作。
有限图形只能被点操作所复原，这是有限图形 对称操作的特点。 8. 空间对称操作：在进行每一种操作时，图形任 何一点都移动对称操作。
分子和有限图形可能具有的对称操作和对称 元素有下列六种类型。
二、恒等操作 不改变图形中任意一点位置的“操作”称为
微观世界的对称性
微观物体也具有多种多样 的对称性。原子轨道，分 子轨道及分子几何构型都 具有某种对称性，这些对 称性是电子运动状态和分 子结构特点的内在反映。 分子对称性是联系分子结 构和分子性质的重要桥梁 之一。
总之，我们所处的环境，从宏观到微观，是个 存在对称性的世界。利用对称性概念及有关原理和 方法去解决我们遇到的问题。可以使我们对自然现 象及其运动发展规律的认识更加深入，下面我们将 介绍几个有关对称性的定义和术语。 1、对称：是指一个物体包含若干等同部分，这些 部分相对（对等、对应）而又相称（适合、相当）。 2、对称图形：能为一种以上（包括不动操作）不 改变图形中任意两点间距离的操作所复原的图形。 （由若干个相等的部分或单元按照一定的方式组成 的图形）。
凭借同一对称元素所能进行的独立的对称操
作的数目称为这一对称元素的阶次。相当于n次
轴的对称操作共有n个，
即旋转 L( ) L(2 ), L(2 ), L(3 ),, L(n ) ，L(2 ) 依次以Cn，Cn2，Cnn3，…，Cnn表示之。
有 Ln(2重3 )轴,L的 23阶次2 为L(4n3。),例L 2如3 33施 L行(2的) 独共E,立有对3个称，操其作阶 次为3。
Cn轴的存在对于分子中原子的种类和数目施行 了限制，假如有某种原子位于Cn轴之外，必然还有 n-1个同种原子位于Cn之外，这n个同种原子必须分 布在彼此等价的位置上。位于Cn轴上原子，其数目 不受这种限制。
在有些分子中旋转轴往往不止一个，以BF3分子 为例，它含有垂直于分子平面，通过B原子的C3轴， 还有三个位于分子平面上，通过B-F键的C2轴。我 们称n最大者为分子的主轴，n较小者为副轴。这样
BF3的主轴为C3轴，苯分子的主轴为C6轴。
C2轴
H2O2
C2 H
H
C3轴：
N
NH3
H H
H
H
HCCl3
C
Cl
Cl
Cl
F
C4轴： BrF5
SF6
F
Fຫໍສະໝຸດ Baidu
F
F
F
Br
F
F
F
S F
F
C5轴：
C5H5-
Fe
环戊二烯阴离子
C6轴：
苯
C 轴： 所谓C 轴即旋转任意微小的角度，分子均
能复原。例如
HCN ,CO2, HCl ,O2等
恒等操作，记作E。将恒等操作列入对称操作之 中主要是数学上的考虑。 三、旋转和旋转轴 旋转：将分子绕通过其中心的轴旋转一定角度使 分子复原的操作称为旋转，记为L(a)。 旋转轴：施行旋转所凭借的几何元素为一直线， 称为旋转轴（对称轴），记作n和Cn。
使图形（绕某一旋转轴旋转而）复原的最小
非零旋转角α。称为（该对称轴的）基转角。
一般而言，如n和m有公共因子q，则：
m
C
m n
Cnq
q
n个相同对称操作的乘积可记为乘方的形式， C6 C6= C62 =C3 ， C6 C6 C6= C63 =C2等。
沿C6轴旋转两次，即旋转
2 2， 正好等于沿
33
C3轴（它与C6轴重合）旋转一次，所以C62=C3，同
理：C63=C2，C64=C32。特别的，Cnn=E。
四、反映和镜面 反映：将图形中各点移动到该点的某一平面垂线 的延长线上，在此平面另一侧与平面等距离处的 操作称为反映，记为M。
z
(x, -y, z) x
(x, y, z) y