高中数学不等式的解法1

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高中数学 3223 一元二次不等式的解法(1)课件新人教版必修5

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解析：转化为二次项系数为正数，求出对应方程的根，画出对应二次函数图像，数形结合写出解集．由－x2＋2x－3>0得x2－2x＋ 3<0.∴Δ＝4－4×3＝－8<0，∴原不等式解集为∅.
答案：∅
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8．设集合A＝{x|(x－1)2<3x－7，x∈R}，则集合A∩Z中有 ________个元素．
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解析：对应的图像只能是开口向上的抛物线，且最多与x轴有一个交点，∴a>0，Δ≤0.
答案：C
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6．已知函数f(x)＝
x＋2，x≤0，－x＋2，x>0，
则不等式f(x)≥x2的解集为
() A．[－1,2]
B．[－2,2]
C．[－2,1]
D．[－1,1]
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1．了解一元二次不等式的概念和实际背景． 2．理解一元二次不等式、二次函数、二次方程之间的关系及一元二次不等式的解法． 3．掌握一元二次不等式的解法．
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作基业础训设练计
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．设集合M＝{x|x>1}，P＝{x|x2>1}，则下列关系式正确的是
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(3)原不等式可化为6x2＋x－2≤0， ∵Δ＝12－4×6×(－2)＝49>0， ∴方程6x2＋x－2＝0有两个不同实根，分别是－23，12， ∴原不等式的解集为x－23≤x≤12. (4)∵原不等式可化为4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0， ∴原不等式的解集是xx＝12.
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解析：∵(x－1)2<3x＋7的解集为∅，∴A∩Z有0个元素．答案：0

高中数学学案- 不等式的解法

高中数学学案不等式的解法考点不等式的解法1 不等式ax>b若a>0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x| x>ba；若a<0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x| x<ba；若a＝0，当b≥0时，解集为∅，当b<0时，解集为R.2 一元二次不等式“三个二次”分三种情况讨论，对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集，可归纳为：判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有两相异实根x＝x1或x＝x2有两相同实根x＝x1＝x2无实根一元二次不等式的解集ax2＋bx＋c>0(a>0){x|x<x1或x>x2}{ x∈R| x≠－⎭⎪⎬⎪⎫b2aRax2＋bx＋c<0(a>0){x|x1<x<x2}∅∅若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．3 高次不等式的解法如果一元n次不等式a0x n＋a1x n－1＋…＋a n>0(a0≠0，n∈N*，n≥3)可以转化为a0(x－x1)(x－x2)…(x－x n)>0(其中x1<x2<…<x n)的形式，那么求解时，一般先在数轴上标区间(－∞，x1)、(x1，x2)、…、(x n，＋∞)，a0>0时，由于f(x)＝a0(x－x1)(x－x2)…(x－x n)的值的符号在上述区间自右至左依次为＋、－、＋、－、…，所以正值区间为f(x)>0的解集．4 分式不等式的解法(1)f xg x>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)；(2)f xg x≥0(≤0)⇔⎩⎨⎧f x·g x≥0≤0，g x≠0.5 绝对值不等式的解法(1)|f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2；(2)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)；(3)|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)；(4)含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用零点分区间的方法脱去绝对值符号求解，也可以用图象法去求解．注意点求解不等式时需注意的问题(1)求解分式不等式，关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．解题时要注意含有等号的分式不等式在变形为整式不等式后，及时去掉分母等于0的情形．(2)在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.1．思维辨析(1)若ax＋b>0，则x>－ba.( )(2)不等式－x2－5x＋6<0的解集为{x|x<－6或x>1}．( )(3)3x＋2x＋2≤0的解集是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－23.( )(4)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(5)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(6)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( )答案(1)×(2)√(3)×(4)√(5)×(6)×2．x2－ax＋b>0的解集为{x|x<2或x>3}，则a＋b的值是( )A．1 B．－1C．11 D．12答案 C解析由题意可知x2－ax＋b＝0的两根为2,3，故a＝2＋3＝5，b＝2×3＝6，故a＋b ＝11.3．函数y＝x－x2－3x＋4的定义域为( )A．(－∞，－4)∪(1，＋∞) B．(－4,1)C．(－4,0)∪(0,1) D．(－1,4)答案 B解析依题意得－x2－3x＋4>0，即x2＋3x－4<0，解得－4<x<1，故函数的定义域为(－4,1)．[考法综述] 不等式的解法是高考的一个基本考点，一般涉及一元二次不等式、高次不等式、分式不等式、指数与对数不等式等，主要依据不等式的性质进行求解．一般难度不大，容易得分．命题法一元二次不等式的解法典例解关于x的不等式kx2－2x＋k<0(k∈R)．[解](1)当k＝0时，不等式的解为x>0.(2)当k>0时，若Δ＝4－4k2>0，即0<k<1时，不等式的解为1－1－k2k<x<1＋1－k2k；若Δ≤0，即k≥1时，不等式无解．(3)当k<0时，若Δ＝4－4k2>0，即－1<k<0时，x<1＋1－k2k或x>1－1－k2k；若Δ<0，即k<－1时，不等式的解集为R；若Δ＝0，即k＝－1时，不等式的解为x≠－1. 综上所述，k≥1时，不等式的解集为∅；0<k<1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－1－k 2k <x <1＋1－k 2k ； k ＝0时，不等式的解集为{x |x >0}；当－1<k <0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1＋1－k 2k 或x >1－1－k 2k ； k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}；k <－1时，不等式的解集为R .【解题法】一元二次不等式的解法 (1)解一元二次不等式的一般步骤①对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，ax 2＋bx ＋c <0(a >0)．②计算相应的判别式．③当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根． ④根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．1．设集合M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤4，则M ∪N ＝( )A ．{x |x ≥－2}B ．{x |x >－1}C ．{x |x <－1}D ．{x |x ≤－2}答案 A解析因为M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}＝{x |－2<x <－1}，N ＝[－2，＋∞)，所以M ∪N ＝[－2，＋∞)，故选A.2.当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C ．[－6，－2]D ．[－4，－3] 答案 C解析 ∵当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，即当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3≥x 2－4x －3(*)恒成立．(1)当x ＝0时，a ∈R .(2)当0<x ≤1时，由(*)得a ≥x 2－4x －3x 3＝1x －4x 2－3x3恒成立．设f (x )＝1x －4x 2－3x 3，则f ′(x )＝－1x 2＋8x 3＋9x 4＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－x －9x ＋1x 4.当0<x≤1时，x －9<0，x ＋1>0，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(0,1]上单调递增．当0<x ≤1时，可知a ≥f (x )max ＝f (1)＝－6. (3)当－2≤x <0时，由(*)得a ≤1x －4x 2－3x3.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝9(舍)．当－2≤x <－1时，f ′(x )<0，当－1<x <0时，f ′(x )>0， ∴f (x )在[－2，－1)上递减，在(－1,0)上递增． ∴x ∈[－2,0)时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－4＋3＝－2. ∴可知a ≤f (x )min ＝－2.综上所述，当x ∈[－2,1]时，实数a 的取值范围为－6≤a ≤－2.故选C.3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是( )A ．{x |x <－ln 2或x >ln 3}B ．{x |ln 2<x <ln 3}C ．{x |x <ln 3}D ．{x |－ln 2<x <ln 3} 答案 D解析解法一：依题意可得f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0可得12<e x <3，解得－ln 2<x <ln 3，选D.解法二：由题知，f (x )>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫12<x <3，令12<e x<3，得－ln 2<x <ln 3，故选D.4．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析要满足f (x )＝x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎨⎧ f m <0，f m ＋1<0，即⎩⎨⎧2m 2－1<0，m ＋12＋m m ＋1－1<0，解得－22<m <0.不等式x 2＋7>ax －a 对一切3≤x ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________． [错解][错因分析] 条件并没有进行等价转化，f (x )>0可能在除3、4的其他范围(3,4)不成立．[正解] 由题意知a <x 2＋7x －1对3≤x ≤4恒成立．令g (x )＝x 2＋7x －1，x ∈[3,4]，则a <g (x )min且g(x)＝x2＋7x－1＝x－1＋8x－1＋2≥42＋2.当且仅当x－1＝8x－1即x＝22＋1时取等号．∴a<42＋2，即a的取值范围是(－∞，42＋2)．[答案](－∞，42＋2)[心得体会]………………………………………………时间：45分钟基础组1.不等式x－2x2－1<0的解集为( )A．{x|1<x<2} B．{x|x<2且x≠1} C．{x|－1<x<2且x≠1} D．{x|x<－1或1<x<2} 答案 D解析x－2x2－1<0⇔(x－1)(x＋1)(x－2)<0⇔x<－1或1<x<2，故选D.2．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于( )A．－3 B．1C．－1 D．3答案 A解析由题意，A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－3<x<2}，A∩B＝{x|－1<x<2}，则不等式x2＋ax ＋b <0的解集为{x |－1<x <2}．由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3，故选 A.3若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32 答案 C解析 ∵x ∈(0,2]，∴a 2－a ≥x x 2＋1＝1x ＋1x.要使a 2－a ≥1x ＋1x在x ∈(0,2]时恒成立，则a 2－a ≥⎝⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ＝12.故a 2－a ≥12，解得a ≤1－32或a ≥1＋32，故选C.4．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[)1，＋∞D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)答案 A 解析不等式x －12x ＋1≤0⇔ ⎩⎨⎧x －12x ＋1≤0，2x ＋1≠0⇔－12<x ≤1， ∴不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.故选A.5．不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5] 答案 A解析 x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.6．若函数f (x )＝x 2＋ax －3a －9对任意x ∈R 恒有f (x )≥0，则f (1)等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案 C解析由题意可得，Δ＝a 2－4(－3a －9)≤0，即(a ＋6)2≤0，又(a ＋6)2≥0，∴a ＋6＝0， ∴a ＝－6，∴f (x )＝x 2－6x ＋9， ∴f (1)＝1－6＋9＝4.故选C. 7．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1,2] B ．[－1,2] C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D ．(－1,2] 答案 D 解析x －2x ＋1≤0⇔(x ＋1)(x －2)≤0，且x ≠－1，即x ∈(－1,2]，故选D. 8.已知f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，x 2－6x ＋2，x >0，则关于x 的不等式f (3－x 2)<f (2x )的解集为( )A ．(－3，－3)B ．(－3,1)C ．(－∞，2－3)∪(2＋3，＋∞)D ．(－3,1)∪(2＋3，＋∞) 答案 D解析画出函数f (x )的图象如图所示，可知函数f (x )在(－∞，3)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．∵3－x 2≤3，故分以下几种情形：(1)若3－x 2≤0且2x ≤0，即x ≤－3，则2－(3－x 2)<2－2x ，∴－3<x <1. ∴－3<x ≤－3；(2)若－3<x ≤0，则0<3－x 2≤3,2x ≤0，观察图象知f (3－x 2)<f (2x )恒成立；(3)若0<x ≤3，则2x <3－x 2或3－(3－x 2)<2x －3(3－x 2离对称轴x ＝3比2x 离对称轴近)，解得0<x <1；(4)若x >3，则3－x 2<0,2x >0，要求2－(3－x 2)<(2x )2－6×2x ＋2，解得x >2＋ 3. 综上，得关于x 的不等式f (3－x 2)<f (2x )的解集为(－3,1)∪(2＋3，＋∞)．9若不等式x 2－(2＋m )x ＋m －1>0对任意m ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析把不等式化为(1－x )m ＋x 2－2x －1>0.设f (m )＝(1－x )m ＋x 2－2x －1，则问题转化为关于m 的一次函数．f (m )在区间[－1,1]上大于0恒成立，只需⎩⎨⎧ f －1>0，f 1>0即⎩⎨⎧ x 2－x －2>0，x 2－3x >0⇒⎩⎨⎧x <－1或x >2，x <0或x >3，解得x <－1或x >3，故x 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．10．若关于x 的不等式ax －b >0的解集为(－∞，1)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)>0的解集为________．答案 (－1,2)解析由题意可得a ＝b <0，故(ax ＋b )(x －2)>0等价于(x ＋1)(x －2)<0，解得－1<x <2，故所求不等式的解集为(－1,2)．11．二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值为8，试解不等式f (x )>－1.解由于f (2)＝f (－1)＝－1，根据二次函数的对称性，则对称轴为x ＝2＋－12＝12，又知最大值为8.可设f (x )＝a (x －12)2＋8，将f (2)＝－1代入得，a ＝－4.∴f (x )＝－4(x －12)2＋8. 由f (x )>－1，－4x 2＋4x ＋7>－1，即x 2－x －2<0，∴解集为{x |－1<x <2}．12．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }．(1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2. (2)原不等式化为：x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.①当c >2时，不等式的解集为{x |2<x <c }；②当c <2时，不等式的解集为{x |c <x <2}；③当c ＝2时，不等式的解集为∅.能力组13.在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12答案 C解析根据题意有(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，∵不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 成立，即使x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，解得－12<a <32，故选C. 14．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－2或x >－12，则ax 2－bx ＋c >0的解集为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 解析由题意知，－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，且a <0，故⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －2b ＋c ＝0，14a －12b ＋c ＝0，解得a ＝c ，b ＝52c ，所以不等式ax 2－bx ＋c >0即为2x 2－5x ＋2<0，故解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<x <2. 15．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价p 元/件之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C ＝500＋30x 元，则该厂日产量为________时，日获利不少于1300元．答案 20件至45件解析由题意，得(160－2x )x －(500＋30x )≥1300，化简得x 2－65x ＋900≤0，解之得20≤x ≤45.因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元．故填20件至45件．16已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)．(1)若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值；(2)若不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ∈R ，x ≠1k ，求k 的值； (3)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围；(4)若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．解 (1)由不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}可知k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25. (2)由不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ∈R ，x ≠1k 可知⎩⎨⎧k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66. (3)依题意知⎩⎨⎧ k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66. (4)依题意知⎩⎨⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66.。

高中数学不等式的解题方法与技巧

高中数学不等式的解题方法与技巧
高中数学不等式的解题方法与技巧有以下几点：
1. 确定不等式的范围：首先要确定不等式的变量范围，例如确
定变量为正数、自然数等，以便后续的推导和计算。

2. 利用基本不等式：基本不等式是指常见的数学不等式，例如
平均不等式、柯西-施瓦茨不等式、均方根不等式等。

通过运用这些
基本不等式，可以简化和推导复杂的不等式。

3. 分析不等式的性质：通过观察不等式的形式和特点，可以得
出不等式的一些性质。

例如，不等式是否对称、是否单调递增等，这些性质可以为解题提供线索。

4. 使用增减法：对于复杂的不等式，可以通过增减法将不等式
变换成简单的形式。

增减法是指在不等式两边同时加减相同的数，从而改变不等式的形式。

通过多次的增减操作，可以逐步简化不等式的形式。

5. 运用数学归纳法：对于涉及自然数的不等式，可以使用数学
归纳法进行证明。

数学归纳法是通过证明某个命题对于自然数n成立，然后再证明对于n+1也成立，从而得出该命题对于所有自然数成立的结论。

6. 剖析复杂不等式：对于特别复杂的不等式，可以使用分段函数、图像、积分等方法进行剖析。

这些方法可以将不等式转化为求解函数的最值或积分的问题，进而求解不等式。

总之，解决高中数学不等式需要灵活运用各种方法和技巧，通过
观察、推导和计算，找到合适的途径来简化不等式、得出结论。

掌握了这些解题方法与技巧，可以提高解决数学不等式问题的能力。

高中数学不等式题解题方法

高中数学不等式题解题方法高中数学中，不等式是一个重要的考点，也是学生们普遍感到困惑的一个难点。

解不等式题需要掌握一定的方法和技巧，下面我将以具体的题目为例，详细介绍高中数学不等式题的解题方法。

一、一元一次不等式1. 题目：求解不等式2x + 3 > 5。

解析：这是一个一元一次不等式，我们可以通过移项和化简来求解。

首先，将不等式中的常数项移到一边，得到2x > 2。

然后，将不等式两边都除以2，得到x > 1。

所以，不等式的解集为{x | x > 1}。

2. 题目：求解不等式3x - 4 ≤ 7。

解析：这是一个一元一次不等式，我们可以通过移项和化简来求解。

首先，将不等式中的常数项移到一边，得到3x ≤ 11。

然后，将不等式两边都除以3，得到x ≤ 11/3。

所以，不等式的解集为{x | x ≤ 11/3}。

通过以上两个例子，我们可以总结出解一元一次不等式的方法：将不等式中的常数项移到一边，然后将不等式两边都除以系数，最后根据不等号的方向确定解集。

二、一元二次不等式1. 题目：求解不等式x^2 - 3x + 2 > 0。

解析：这是一个一元二次不等式，我们可以通过求解方程来确定不等式的解集。

首先，将不等式转化为方程x^2 - 3x + 2 = 0。

然后，求解方程得到x = 1或x = 2。

接下来，我们需要确定不等式在这两个解的两侧的取值情况。

取一个介于1和2之间的数，比如1.5，代入不等式中，得到1.5^2 - 3(1.5) + 2 = 0.25 > 0。

所以，不等式在x = 1和x = 2之间是大于0的。

综合起来，不等式的解集为{x | 1 < x < 2}。

通过以上例子，我们可以总结出解一元二次不等式的方法：先求解方程，然后确定不等式在解的两侧的取值情况，最后根据不等号的方向确定解集。

三、绝对值不等式1. 题目：求解不等式|2x - 1| > 3。

高中数学中的不等式解题方法与实例分析

高中数学中的不等式解题方法与实例分析不等式是数学中常见的一类问题，解决不等式问题需要我们掌握一些解题方法和技巧。

本文将对高中数学中的不等式解题方法进行分析，并通过实例来进一步说明。

一、绝对值不等式的解法绝对值不等式是不等式中常见的一种形式，解决该类问题可以分以下几种情况进行讨论：1. 若|x| < a，则x的取值范围为(-a, a)；例如，若|3x + 2| < 5，则-5 < 3x + 2 < 5，解得-7/3 < x < 1。

2. 若|x| > a，则x的取值范围为(-∞, -a)∪(a, +∞)；例如，若|2x - 1| > 3，则2x - 1 < -3或2x - 1 > 3，解得x < -1 或 x > 2。

二、一次不等式的解法一次不等式是指不等式中最高次项为一次的情况。

解决一次不等式问题的方法如下：1. 将一次不等式化简为数轴上的区间问题，确定不等式的解集和表示方法；例如，若2x - 3 > 5，则解不等式可得x > 4。

2. 注意一次不等式中系数的正负对不等号的影响；例如，若4x + 6 < 10，则解不等式可得x < 1/2。

三、二次及以上次数不等式的解法对于二次及以上次数的不等式，我们通常会进行如下步骤来解决问题：1. 将不等式转化为二次函数的零点问题，求出二次函数的零点。

2. 根据二次函数的图像特点，确定不等式的解集和表示方法。

实例分析：例如，解不等式x^2 - 4x + 3 > 0。

首先，将不等式化简为(x-1)(x-3) > 0。

得到二次函数的两个零点为x=1和x=3。

其次，根据二次函数的图像特点，我们知道当x小于1或大于3时，二次函数的值大于零。

因此，不等式的解集为x < 1 或 x > 3。

综上所述，我们通过绝对值不等式、一次不等式和二次及以上次数不等式的解题方法及实例分析，详细介绍了高中数学中解决不等式问题的技巧与方法。

高中数学不等式解题技巧

不等式解题漫谈一、活用倒数法则巧作不等变换——不等式的性质和应用不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,可加性等.但灵活运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性.倒数法则：若ab>0,则a>b 与1a <1b等价。

此法则在证明或解不等式中有着十分重要的作用。

如：（1998年高考题改编）解不等式log a (1-1x)>1.分析：当a>1时，原不等式等价于：1-1x >a,即 1x <1-a ,∵a>1,∴1-a<0, 1x <0,从而1-a,1x 同号，由倒数法则，得x>11-a ; 当0<a<1时，原不等式等价于 0<1- 1x <a,∴1-a<1x <1, ∵0<a<1，∴ 1-a>0, 1x >0, 从而1-a, 1x 同号，由倒数法则，得1<x<11-a;综上所述，当a>1时,x ∈(11-a ,+∞)；当0<a<1时，x ∈(1,11-a).注：有关不等式性质的试题，常以选择题居多，通常采用特例法,排除法比较有效。

二、小小等号也有大作为——绝对值不等式的应用绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|。

这里a,b 既可以表示向量，也可以表示实数。

当a,b 表示向量时，不等式等号成立的条件是：向量a 与b 共线；当a,b 表示实数时，有两种情形：（1）当ab ≥0时，|a+b|=|a|+|b|, |a-b|=||a|-|b||;(2)当ab ≤0时，|a+b|=||a|-|b||, |a-b|=|a|+|b|.简单地说就是当a,b 同号或异号时，不等式就可转化为等式（部分地转化），这为解决有关问题提供了十分有效的解题工具。

高中数学绝对值不等式的解法

x c x c c x c
x c x2 c2 x c,或x c
2
题型2: 如果 c 是正数，那么
ax +b c (ax +b) c c ax +b c
2
2
2 2 ax +b c (ax +b) c ax +b c, 或ax +b c ②
例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
方法二：将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0. 构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即
3 3 作出函数的图象(如图).函数的零点是 , , 2 2
从图象可知当 x 3 或
y 2x 3， x 1, 1 x 1, 1， 2x 3， x 1.
②
-m -n 0 n
①
m
题型3: 形如n＜| ax + b | ＜m
(m＞n＞0)不等式
等价于不等式组
①
n ax b m, 或 m ax b n
| ax b | n | ax b | m
②
题型4: ① |f(x)|<g(x)型不等式
|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x), ② |f(x)|>g(x)型不等式 |f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)
∴ 0≤x＜1
②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1
∴ －1＜x＜0
综合①②得，原不等式的解集为{x|－1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。方法三：两边同时平方去掉绝对值符号对原不等式两边平方得x2<1

高中数学中的不等式求解

高中数学中的不等式求解高中数学中，不等式是一个重要的概念和技能，它在解决实际问题以及推导数学定理中起着重要作用。

在本文中，我们将探讨不等式的基本概念以及如何准确地求解不等式问题。

一、不等式的基本概念不等式是指数值或代数表达式之间的数的大小关系的一种表示方式。

我们常见的不等式符号有“大于”、“小于”、“不小于”、“不大于”。

以x > 2 为例，其中的符号“>”表示大于的关系，而“2”则是被比较的数。

在不等式中，我们可以通过运用加、减、乘、除等运算法则来进行等式变换和不等式变换，以找到不等式的解集。

二、一元不等式的求解方法1. 加减法解法当不等式中只包含一个变量并且不等式的符号不变时，我们可以通过加减法来求解不等式。

举个例子，考虑不等式 2x - 3 < 5，我们可以通过将两边加上 3，得到 2x < 8，然后再除以 2，得到 x < 4。

因此，不等式的解集为 (-∞, 4)。

2. 乘除法解法当不等式中只包含一个变量并且不等式的符号与乘除法对应时，我们可以通过乘除法来求解不等式。

例如，考虑不等式 4x > 8，我们可以通过将两边除以 4，得到 x > 2，即不等式的解集为(2, +∞)。

3. 绝对值不等式的解法绝对值不等式是形如 |a - b| < c 或者 |a - b| > c 的不等式。

对于 |x - 3| < 2 这个不等式，我们可以将其分解为 x - 3 < 2 和 -(x - 3) < 2 两个不等式，然后分别求解得到 x < 5 和 x > 1，因此不等式的解集为 (1, 5)。

三、二元不等式的求解方法在某些情况下，我们可能面临着含有两个变量的不等式。

这时，我们需要将问题转化为图像解法或某个方程的解。

例如，考虑不等式组 x + y > 3 和 2x - y < 4，我们可以将其转化为图像解法，即画出两个不等式所代表的直线，并确定它们的交点。

不等式的解法高中数学公式

不等式的解法高中数学公式
高中数学常见的不等式解法有如下几种公式：
1. 二次函数法：
对于一元二次不等式，可以将其转化为二次函数的求解问题。

首先对不等式中的二次项与常数项进行合并，得到一个一元二次函数。

然后通过求解二次函数的根或者根的位置来确定不等式的解集。

2. 直接法：
对于一些简单的不等式，可以直接通过对不等式进行变形，化简得到最终结果。

常见的直接法有加减法、乘除法等。

3. 分段讨论法：
对于一个包含多个不等式的复合不等式，可以将复合不等式拆分成若干个简单的不等式，并通过讨论每个简单不等式的解集的情况来确定复合不等式的解集。

4. 取模法：
对于一些涉及取模的不等式，可以通过取模运算的性质来进行求解。

通过去除不等式中的取模运算，将其转化为普通的不等式，进而求解得到最终结果。

5. 绝对值法：
对于一些含有绝对值的不等式，可以通过绝对值的性质来进行求解。

通过分情况讨论绝对值的取值范围，进而求解得到最终结果。

以上是高中数学中常见的不等式解法公式，通过灵活应用这些公式，可以有效地解决各种不等式问题。

不等式的解法高中数学

不等式的解法高中数学高中数学：不等式与不等式组的解法1.一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为ax>b或axb而言，当a>0时，其解集为(ab，+∞)，当a<0时，其解集为(-∞，ba)，当a=0时，b<0时，期解集为R，当a=0，b≥0时，其解集为空集。

例1：解关于x的不等式ax-2>b+2x解：原不等式化为(a-2)x>b+2①当a>2时，其解集为(b+2a-2，+∞)②当a<2时，其解集为(-∞，b+2a-2)③当a=2，b≥-2时，其解集为φ④当a=2且b<-2时，其解集为R.2.一元二次不等式的解法任何一个一元二次不等式都可化为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。

例2：解不等式ax2+4x+4>0(a>0)解：△=16-16a①当a>1时，△<0，其解集为R②当a=1时，△=0，则x≠-2，故其解集(-∞，-2)∪(-2，+∞)③当a<1时，△>0，其解集(-∞，-2-21-aa)∪(-2+21-aa，+∞)3.不等式组的解法将不等式中每个不等式求得解集，然后求交集即可.例3：解不等式组m2+4m-5>0(1)m2+4m-12<0(2)解：由①得m<-5或m>1由②得-6，故原不等式组的解集为(-6，-5)∪(1，2)4.分式不等式的解法任何一个分式不等都可化为f(x)g(x)>0(≥0)或f(x)g(x)<0(≤0)的形式，然后讨论分子分母的符号，得两个不等式组，求得这两个不等式组的解集的并集便是原不等式的解集.例4：解不等式x2-x-6-x2-1>2解：原不等式化为：3x2-x-4-x2-1>0它等价于(I)3x2-x-4>0-x2-1>0和(II)3x2-x-4<0-x2-1<0解(I)得解集空集，解(II)得解集(-1，43).故原不等式的解集为(-1，43).5.含有绝对值不等式的解法去绝对值号的主要依据是：根据绝对值的定义或性质，先将含有绝对值的不等式中的绝对值号去掉，化为不含绝对值的不等式，然后求出其解集即可。

高中数学不等式解法15种典型例题

由 x 2 x 1 0 恒成立，知原不等式等价于
( x 2)
0．
( x 3)( x 1)
解之，得原不等式的解集为 { x 1 x 2或 x 3} ．
说明：此题易出现去分母得 x2 2x 2 x(3 2x x 2 ) 的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解．另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．
x(2x 5)( x 3) 0
把方程 x(2x 5)( x 3) 0 的三个根 x1 0, x2
5 , x3 2
后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．
3 顺次标上数轴．然
∴原不等式解集为
5
x
x 0或x 3
2
（2）原不等式等价于
( x 4)( x 5)2 ( x 2)3 0
x5 0
定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．
典型例题五
例 5 解不等式 x 2 2 x 2 3 2x x2
x．
分析：不等式左右两边都是含有 x 的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为
解：移项整理，将原不等式化为
( x 2)( x2 x 1) 0 ． ( x 3)( x 1)
0 再解．
3
（1）
x2
1
2
；
x2
（ 2）
x2 3x2
4x 1 7x 2
1
分析：当分式不等式化为 f (x) 0(或 0) 时，要注意它的等价变形 g( x)
① f ( x) 0 g ( x)
f (x) g ( x) 0 ② f ( x) 0 g ( x)
f (x) g(x)

高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法（一）【知识梳理】1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx ＋c ＞0(≥0)或ax2＋bx ＋c ＜0(≤0)(其中a ≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2，(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根二次函数y ＝ax2＋bx ＋c (a>0)的图象ax2＋bx ＋c>0(a>0)的解集错误!或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠－b 2aRax2＋bx ＋c<0(a>0)的解集 {}x|x1<x<x2∅ ∅题型一、一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式： (1)2x2＋7x ＋3＞0； (2)x2－4x －5≤0； (3)－4x2＋18x －814≥0；(4)－12x2＋3x －5＞0；(5)－2x2＋3x －2＜0.[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－12.又二次函数y ＝2x2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x|x ＞－12，或x＜－3}．(2)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x ≤5}．(3)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝94.(4)原不等式可化为x2－6x ＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x2－6x ＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.(5)原不等式可化为2x2－3x ＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.【类题通法】解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．【对点训练】 1．解下列不等式：(1)x2－5x －6>0；(2)－x2＋7x>6.(3)(2－x)(x ＋3)<0；(4)4(2x2－2x ＋1)>x(4－x)．解：(1)方程x2－5x －6＝0的两根为x1＝－1， x2＝6.结合二次函数y ＝x2－5x －6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}． (2)原不等式可化为x2－7x ＋6<0. 解方程x2－7x ＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.结合二次函数y ＝x2－7x ＋6的图象知，原不等式的解集为 {x|1<x<6}．(3)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)>0. 方程(x －2)(x ＋3)＝0两根为2和－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}． (4)由原不等式得8x2－8x ＋4>4x －x2. ∴原不等式等价于9x2－12x ＋4>0.解方程9x2－12x ＋4＝0，得x1＝x2＝23.结合二次函数y ＝9x2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为{x|x ≠23}.题型二、解含参数的一元二次不等式【例2】解关于x 的不等式x2＋(1－a)x －a ＜0.[解]方程x2＋(1－a)x －a ＝0的解为x1＝－1，x2＝a ，函数y ＝x2＋(1－a)x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式解集为{x|a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，原不等式解集为∅；当a ＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x ＜a}．【类题通法】解含参数的一元二次不等式时：(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．【对点训练】2．解关于x 的不等式：ax2－(a －1)x －1＜0(a ∈R)．解：原不等式可化为： (ax ＋1)(x －1)＜0，当a ＝0时，x ＜1，当a ＞0时⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x －1)＜0 ∴－1a ＜x ＜1.当a ＝－1时，x ≠1，当－1＜a ＜0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x －1)＞0， ∴x ＞－1a 或x ＜1.当a ＜－1时，－1a ＜1，∴x ＞1或x ＜－1a ，综上原不等式的解集是：当a ＝0时，{x|x ＜1}；当a ＞0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－1a ＜x ＜1；当a ＝－1时，{x|x ≠1}；当－1＜a ＜0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜1或x ＞－1a .当a ＜－1时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜－1a 或x ＞1，题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系【例3】已知关于x 的不等式x2＋ax ＋b ＜0的解集为{x|1＜x ＜2}，求关于x 的不等式bx2＋ax ＋1＞0的解集．[解]∵x2＋ax ＋b ＜0的解集为{x|1＜x ＜2}， ∴1,2是x2＋ax ＋b ＝0的两根．由韦达定理有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝1＋2，b ＝1×2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2，代入所求不等式，得2x2－3x ＋1＞0.由2x2－3x ＋1＞0⇔(2x －1)(x －1)＞0⇔x ＜12或x ＞1.∴bx2＋ax ＋1＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞)．【类题通法】1．一元二次不等式ax2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标．2．二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象在x 轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx ＋c ＞0的x 的值构成的；图象在x 轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx ＋c ＜0的x 的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．【对点训练】3．已知方程ax2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.(1)求a 、b 的值；(2)解不等式ax2＋bx －1＞0.解：(1)∵方程ax2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－b a，－12×2＝2a .解得a ＝－2，b ＝3.(2)由(1)知，ax2＋bx －1＞0可变为－2x2＋3x －1＞0，即2x2－3x ＋1＜0，解得12＜x ＜1.∴不等式ax2＋bx －1＞0的解集为{x|12＜x ＜1}．【练习反馈】1．不等式x(2－x)＞0的解集为( ) A ．{x|x ＞0} B ．{x|x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ＜0}D ．{x|0＜x ＜2}解析：选D 原不等式化为x(x －2)＜0，故0＜x ＜2. 2．已知集合M ＝{x|x2－3x －28≤0}，N ＝{x|x2－x －6＞0}，则M ∩N 为( )A ．{x|－4≤x ＜－2或3＜x ≤7}B ．{x|－4＜x ≤－2或3≤x ＜7}C ．{x|x ≤－2或x ＞3}D ．{x|x ＜－2或x ≥3}解析：选A ∵M ＝{x|x2－3x －28≤0} ＝{x|－4≤x ≤7}，N ＝{x|x2－x －6＞0}＝{x|x ＜－2或x ＞3}， ∴M ∩N ＝{x|－4≤x ＜－2或3＜x ≤7}．3．二次函数y ＝x2－4x ＋3在y ＜0时x 的取值范围是________．解析：由y ＜0得x2－4x ＋3＜0， ∴1＜x ＜3 答案：(1,3)4．若不等式ax2＋bx ＋2＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12＜x ＜2，则实数a ＝________，实数b ＝________.解析：由题意可知－12，2是方程ax2＋bx ＋2＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－b a，－12×2＝2a ，解得a ＝－2，b ＝3. 答案：－23 5．解下列不等式： (1)x(7－x)≥12； (2)x2＞2(x －1)．解：(1)原不等式可化为x2－7x ＋12≤0，因为方程x2－7x ＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，所以原不等式的解集为{x|3≤x ≤4}． (2)原不等式可以化为x2－2x ＋2＞0，因为判别式Δ＝4－8＝－4＜0，方程x2－2x ＋2＝0无实根，而抛物线y ＝x2－2x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.。

高中数学不等式问题的思路、方法、技巧

证明：由变形公式③， a2 b 2+b 2 c2+c2 a 2≥ ab·bc+bc · ca+ca· ab=abc（b+c+a），当且仅
当 a=b=c 时等号成立。
3. 分析法
2
分析法也是证明不等式的一种基本方法，模式为：欲证 A B，若已知
B C1 C2 …… I ，（ I 为一个真命题，可以是 A，也可以是另一已知成立的真命题），则命题得证。分析法的证题思路和综合法正好相反，是一步步寻找结论成立的条件。它的优
证明：∵（ 2x 4+1）- x 2（ 2x+1 ） =2x4+1-2x 3-x 2=2x 3 （x-1 ）- （ x2 –1）=（ x-1） [2x 3 –x-1]
=（ x-1 ）[2x 3 –2x+x-1]=
（
x-1
）
[2x
（
2
x
–1）
+
（
x-1
）
]
=
（
x-1
） 2（ 2x
2
+2x+1
）
=（ x-1 ） 2[x 2 +（ x+1 ）2 ] ≥ 0.
证明：∵（
a2+b2）
-[2
（
2a-b）-5]=
a
22
+b
-4a+2b+5
= a2-4a +4+b 2+2b+1= （ a-2）2 +（ b+1） 2≥ 0.
∴命题成立 .（当且仅当 a = 2， b= -1 时等号成立）

人教版高中数学必修第二册不等式的解法举例1

不等式的解法举例●教学目标1．掌握一元二次不等式解法；2．掌握|ax+b|＞c（＜c）(c＞0)的解法；3．熟练求解形如|ax2+bx+c|＜m（＞m）(m＞0)的不等式.●教学重点绝对值不等式基本解法●教学难点绝对值不等式向非绝对值不等式的转化●教学方法学导式●教具准备三角板、幻灯片●教学过程Ⅰ.复习回顾：师：前面几节，我们一起研究学习了不等式的证明，这一节我们开始学习不等式的解法.在第一章我们已经学习过一元一次不等式、一元二次不等式和简单的绝对值不等式的解法，这一节，我们进一步学习一元二次不等式、分式不等式、含绝对值不等式的解法.Ⅱ.讲授新课：例1 解不等式|x2－5x+5|＜1.分析：不等式|x|＜a(a ＞0)的解集是{x|－a ＜x ＜a},因此，这个不等式可化为－1＜x2－5x+5＜1即⎪⎩⎪⎨⎧-+-+-15515522 x x x x 解这个不等式组，其解集就是原不等式的解集. 解：原不等式可化为－1＜x2－5x+5＜1即⎪⎩⎪⎨⎧-+-+-15515522 x x x x 解不等式①得解集{x|1＜x ＜4}解不等式②得解集{x|x ＜2或x ＞3}①②∴原不等式的解集是不等式①和不等式②的解集的交集，即{x|1＜x＜4}∩{x|x＜2或x＞3}={x|1＜x＜2或3＜x ＜4}说明：此题是将绝对值不等式转化为一元二次不等式组求解，强调学生应注意转化的不等式应与原不等式等价，在取交集时可借助于数轴进行.解不等式（x－1）(x－2)(x－3)＜0分析：此不等式的左端是关于x的高次不等式，已不能用一元二次不等式解法求解，而应借助于数轴并根据积的符号法则来求解.令(x－1)(x－2)(x－3)=0可得x=1或x=2或x=3,我们称之为零点，1，2，3这三个零点将数轴分成了四部分（如图所示）当x＞3时，（x－1）、（x－2）、(x－3)各项为正，当2＜x＜3时，（x－1）、(x－2)、(x－3)只有一项符号改变，即乘积为负，以此类推，四部分区间上恰有正负相间规律，上述求解不等式的方法我们称之为数轴标根法.解：令(x－1)（x－2）(x－3)=0可得零点x=1或2或3，将数轴分成四部分，借助于数轴可得：所求不等式解集为{x|x＜1或2＜x＜3}说明：数轴标根法求解高次不等式虽然简捷，但应注意满足如下条件：（1）不等式右端为0，左端为x的一次式；（2）关于x的一次式各不相同；（3）一次式中x的系数为1.满足上述条件使有零点分数轴各部分的最右端为正，然后依次正负相间，可观察数轴直接得到解集.Ⅲ.课堂练习：●课堂小结师：通过本节学习，要求大家熟练掌握含绝对值不等式的基本解法，并初步了解数轴标根法的解题思路，并能简单应用.●课后作业●板书设计。

高中数学解解不等式的常用技巧和方法

高中数学解解不等式的常用技巧和方法在高中数学学习中，不等式是一个重要的知识点，也是考试中常常出现的题型。

解不等式需要我们掌握一些常用的技巧和方法，本文将介绍一些常见的解不等式的技巧，并通过具体的例题加以说明。

一、一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式形式，其解法与一元一次方程类似。

我们以以下例题为例：例题1：解不等式2x + 1 > 5。

解法：首先将不等式转化为等价的形式：2x + 1 - 5 > 0，化简得2x - 4 > 0。

然后解这个一元一次方程，得到x > 2。

所以不等式2x + 1 > 5的解集为x > 2。

这个例题中的关键是将不等式转化为等价的形式，然后通过解方程的方法得到解集。

这是解一元一次不等式的常用技巧。

二、一元二次不等式一元二次不等式是高中数学中较为复杂的不等式形式，我们需要通过一些特殊的方法来解决。

以下是一个例题：例题2：解不等式x^2 - 4x + 3 > 0。

解法：首先我们需要求出不等式的零点，即将不等式转化为等式x^2 - 4x + 3 = 0。

通过因式分解或配方法，我们得到(x - 1)(x - 3) > 0。

然后我们需要绘制函数图像来确定不等式的解集。

绘制函数y = x^2 - 4x + 3的图像，我们可以发现函数的零点为x = 1和x = 3，这两个点将实数轴分成了三个区间：(-∞, 1)，(1, 3)，(3, +∞)。

然后我们取每个区间内的一个测试点，例如选取x = 0，2，4。

将这些测试点代入原不等式，我们可以得到以下结果：当x = 0时，左边为3，右边为0，不满足不等式；当x = 2时，左边为-1，右边为0，不满足不等式；当x = 4时，左边为3，右边为0，满足不等式。

根据测试点的结果，我们可以得到不等式的解集为x < 1或x > 3。

这个例题中的关键是通过绘制函数图像和选取测试点的方法确定不等式的解集。

高中数学中的不等式求解方法

高中数学中的不等式求解方法在高中数学学科中，不等式是一个重要的概念。

不等式的求解是解决不等式问题的关键步骤。

本文将介绍高中数学中常见的不等式求解方法，帮助同学们更好地理解和应用这些方法。

1. 一元一次不等式的求解方法一元一次不等式是高中数学中最简单的不等式形式，形如ax + b > 0的形式。

对于这类不等式，我们可以使用如下方法求解：（1）根据不等式中的不等号确定等于零的条件，即ax + b = 0。

解这个方程可以得到不等式的临界点。

（2）根据临界点将数轴分成若干个区间。

（3）选取区间内的一组值代入原不等式，判断符号。

（4）根据符号判断确定不等式的解集。

2. 一元二次不等式的求解方法一元二次不等式是比一元一次不等式更复杂的一种形式。

解决一元二次不等式的关键是找到二次函数的图像与x轴夹角所对应的区间。

（1）将不等式化为标准形式，即ax² + bx + c > 0。

（2）使用一元二次方程求根公式，求出二次函数的根。

（3）根据二次函数开口方向，绘制二次函数的图像。

（4）根据图像与x轴夹角所对应的区间，确定不等式的解集。

3. 绝对值不等式的求解方法绝对值不等式是一个常见的不等式形式。

它的解决方法主要有以下两种情况：（1）当绝对值不等式中的绝对值表达式大于等于零时，拆分绝对值不等式，将问题转化为一元一次不等式求解。

（2）当绝对值不等式中的绝对值表达式小于零时，证明无解。

4. 有理不等式的求解方法有理不等式是指包含有理函数的不等式。

解决有理不等式的关键是确定有理函数的零点和极值点，然后根据区间判断符号。

（1）将有理不等式转化为相应的分式。

（2）求出分式的分母为零的根和分式的分子为零的根作为不等式的临界点。

（3）根据临界点将数轴分成若干个区间。

（4）选取区间内的一组值带入原不等式，判断符号。

（5）根据符号判断确定不等式的解集。

5. 复合不等式的求解方法复合不等式是指将多个不等式联立起来，通过求解这个系统不等式来得到满足条件的解集。

高中数学中的不等式组求解方法

高中数学中的不等式组求解方法不等式组是高中数学中的一个重要概念，它由多个不等式组成，需要找到满足所有不等式的解集。

在解不等式组时，我们需要运用一些方法和技巧，下面将介绍几种常见的不等式组求解方法。

一、图像法图像法是一种直观且易于理解的不等式组求解方法。

通过将不等式转化为图像，我们可以直观地看出解集的范围。

例如，对于一个简单的一元一次不等式组，我们可以将其转化为一条直线的图像。

通过观察直线与坐标轴的交点，我们可以得出解集的范围。

二、代数法代数法是一种常用的不等式组求解方法。

通过代数运算，我们可以将不等式组转化为等价的形式，从而找到解集。

例如，对于一个二元一次不等式组，我们可以通过消元法或代入法将其转化为一个只含有一个变量的不等式，然后求解这个不等式即可得到解集。

三、区间法区间法是一种常用的不等式组求解方法，特别适用于含有绝对值的不等式组。

通过将不等式组中的变量范围划分成若干个区间，然后分别求解每个区间内的不等式，最后将解集合并起来，即可得到整个不等式组的解集。

这种方法可以有效地简化求解过程，提高求解效率。

四、求导法求导法是一种适用于含有函数的不等式组求解方法。

通过求解函数的导数，我们可以找到函数的增减性，从而确定不等式的解集。

例如，对于一个含有二次函数的不等式组，我们可以通过求解函数的导数和零点，来确定函数的增减性和极值点，从而得到不等式的解集。

五、数列法数列法是一种适用于含有数列的不等式组求解方法。

通过构造递推数列，我们可以找到数列的通项公式，并通过分析数列的性质来确定不等式的解集。

例如，对于一个含有递推数列的不等式组，我们可以通过构造数列的递推关系式和递推初值，来确定数列的通项公式和解集。

六、综合运用在实际的不等式组求解过程中，我们常常需要综合运用多种方法和技巧。

通过灵活运用各种方法，我们可以更准确地确定不等式的解集。

例如，对于一个复杂的不等式组，我们可以先通过图像法或代数法简化不等式，然后再运用区间法或求导法求解。

八种方法解决高中数学不等式问题

八种方法解决高中数学不等式问题下面用八种方法解决高中数学常见的不等式问题：例题：224x y ，求34x y 的最大值.【解法一】柯西不等式先备知识：柯西不等式（二维下的）解：3,4,,a b c x d y ，由柯西不等式得：222223434x y x y 所以：3410x y ，当且仅当34x y ，即68,55x y 时，取得最大值10.【总结】柯西不等式常用，建议理解记忆。

【解法二】线性规划解：令34x y t ，则344t y x （将t 看作是直线的截距，转化为求直线截距的范围） ,x y 满足直线方程344t y x ，也满足方程224x y ，因此：显然，由图像得： 2.5104t t .【总结】数形结合典型做法，但是线性规划新高考不考。

建议从数形结合角度理解。

【解法三】判别式法解：令34x y t ，则344t y x ，代入方程：224x y ，得： 223444t x x ，整理，得：222534016816t x tx ………………（*）一元二次方程（*）有解，则：2232544081616t t210010t t . 【总结】常用方法之一，解决“条件极值”问题的常用手段。

【解法四】三角换元224x y 22144x y ，不妨令：cos ,sin 22x y x x . 则：34346cos 8sin 10cos sin 10sin 1055x y x x x x x，（3tan 4 ）. 【总结】三角换元、参数法建议学有余力的同学适当了解。

【解法五】对偶式先备知识： 34x y 的对偶式为43x y2223492416x y x xy y (1)2224316249x y x xy y (2)(1)+(2)，得：222234432525100x y x y x y223410043100x y x y .【总结】进阶方法，学有余力可了解。

【解法六】向量法（类似柯西不等式）34x y 可以看作向量 3,4,,a b x y 的数量积：34a b x y .所以：cos ,10a b a b a b.【总结】注意观察代数式的结构特征。

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教学任务
教学过程设计
课后作业
一、选择：
1不等式038>-x 的解集是（）
A ∅
B
C 8{|}3x x ≠
D }3
8
{
2不等式04
1
2>+-x x 的解集是（）
A R
B 1{|}2x x <
C 1{|}2x x >
D 1
{|}2
x x ≠
3设等于则B A x x B x x A },11{},32{>-=<-= （）
A }5201{<<<<-x x x 或
B }51{<<-x x
C }01{<<-x x
D }20{><x x x 或
4若0)1
)((,10>--<<a
x x a a 则不等式的解是（）
a x a <<1 B a x a 1<< C a x a x 1><或 D a x a
x ><或1
5 >+-)1)(1(x x 0的解集为（）
A }11{<<-x x
B }11{>-<x x x 或
C }1{<x x D
}11{-≠<x x x 且
二、填空：
6 不等式0)1)(2(>-+x x 的解集是
7不等式
32
>x
8不等式9531≤-<x 的解集为
9已知不等式220ax bx ++＞的解集为11
{}23
x x -＜＜,则a b +=
10不等式(x ＋1) ·(x －1)2≤0的解集为
11不等式02>++k x x 恒成立，则k 的取值范围是
12不等式15x x m -+-＞在x R ∈上恒成立，则实数m 的范围
三、解答：
13．已知不等式2x a -<)0(>a 的解集为{}c x R x <<-∈1|，求c a 2+的值
答：
14设函数()4f x x b =-+，不等式|()|6f x <的解集为（－1，2）
（1）求b 的值；（2）解不等式
40()
x m
f x +>．答：
15、解关于x 的不等式
)0( 12
)
1(>>--a x x a
答：。