曲线上一点处的切线
判定切线的方法
判定切线的方法首先，我们来看一种常见的判定切线的方法——导数法。
对于曲线上的一点P(x0, y0)，如果曲线在这一点处可导，那么曲线在这一点处的切线方程就可以用导数来表示。
具体的切线方程为y = f'(x0)(x x0) + y0，其中f'(x0)表示曲线在点(x0, y0)处的导数。
这个方法的优点是简单直观，只需要计算导数即可得到切线方程，但是也有局限性，即曲线在切点处必须可导。
其次，我们来介绍一种几何判定切线的方法——切线的判定定理。
对于曲线上的一点P(x0, y0)，如果曲线在这一点处存在切线，那么曲线在这一点处的切线方程可以表示为y y0 = k(x x0)，其中k为切线的斜率。
切线的判定定理指出，如果曲线在点(x0, y0)处的导数存在且不为0，那么曲线在这一点处存在唯一的切线。
这个方法的优点是几何直观，可以通过观察曲线的变化来判定切线的存在与否，但是也有局限性，即需要对曲线的性质有一定的了解。
最后，我们来介绍一种实用的判定切线的方法——切线的斜率法。
对于曲线上的一点P(x0, y0)，如果曲线在这一点处可导，那么切线的斜率可以用导数来表示，即k = f'(x0)，其中f'(x0)表示曲线在点(x0, y0)处的导数。
切线的斜率法的优点是简单易用，只需要计算导数即可得到切线的斜率，但是也有局限性，即需要曲线在切点处可导。
综上所述，判定切线的方法有多种多样，每种方法都有其适用的场合和局限性。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来判定切线，从而更好地理解和应用切线的概念。
希望本文介绍的内容能够对大家有所帮助，谢谢阅读！。
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程空间曲线的切线方程和法平面方程是研究空间曲线上某一点处几何性质的重要工具。
本文将介绍关于求解空间曲线的切线方程和法平面方程的基本原理和方法。
1. 空间曲线的切线方程设空间曲线为C，参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)要求曲线在某一点P(t0)处的切线方程，可以通过以下步骤进行求解：（1）计算曲线在P(t0)处的切向量。
在曲线上选取一点P(t0)，将参数t作适当的微小变化dt，得到曲线上另一点P(t0+dt)。
连接P(t0)和P(t0+dt)两点，得到曲线上的一小段切线段。
切向量是切线段的方向矢量，表示曲线在该点的切线的方向。
切向量的计算公式为：T = lim(dt→0) (P(t0+dt) - P(t0)) / dt（2）确定切线方向向量。
切线方向向量与切向量相同，方向与曲线的切线一致。
所以切线方向向量T即为切线向量。
（3）确定切线点坐标。
将参数t赋值为t0，得到切线过点P(t0)的坐标。
（4）写出切线方程。
以切线点为起点，以切线方向向量为方向，可得到切线方程的一般形式：(x - x0) / a = (y - y0) / b = (z - z0) / c其中，(x0, y0, z0) 为切线点坐标，(a, b, c)为切线方向向量。
2. 空间曲线的法平面方程设空间曲线为C，参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)要求曲线在某一点P(t0)处的法平面方程，可以通过以下步骤进行求解：（1）计算曲线在P(t0)处的切向量。
切向量T已在求解切线方程时计算过。
（2）确定法平面的法向量。
法向量是垂直于切线向量的向量，在二维平面上与切线方向向量一致，在三维空间中由切线向量和一般的纵轴方向共同确定。
可以通过叉乘计算得到法向量：N = T × (0, 0, 1) 或 N = (0, 0, 1) × T其中，×表示向量的叉乘运算。
过一点求曲线的切线方程的三种类型
过一点求曲线的切线方程的三种类型舒云水过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒1.已知曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x P ，求曲线在该点处的切线方程﹒这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型﹒其求法为：先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率，后写出切线方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，并化简﹒例1 求曲线33)(23+-=x x x f 在点)1,1(P 处的切线方程﹒解：由题设知点P 在曲线上，∵x x y 632-='，∴曲线在点)1,1(P 处的切线斜率为3)1(-='f ，所求的切线方程为)1(31--=-x y ，即43+-=x y ﹒2. 已知曲线)(x f y =上一点))(,(11x f x A ，求过点A 的曲线的切线方程﹒这种类型容易出错，一般学生误认为点A 一定为切点，事实上可能存在过点A 而点A 不是切点的切线，如下面例2，这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为))(,(00x f x P ，先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率（用0x 表示），写出切线方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，再将点A 坐标),(11y x 代入切线方程得)(01x f y -=)(0x f ')(01x x -，求出0x ，最后将0x 代入方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -求出切线方程﹒例2 求过曲线x x y 23-=上的点)1,1(-的切线方程﹒ 解：设切点为点)2,(0300x x x -，232-='x y ，切线斜率为2320-x ， 切线方程为))(23()2(020030x x x x x y --=--﹒又知切线过点)1,1(-，把它代入上述方程，得 )1)(23()2(100030x x x x --=---﹒解得10=x ，或210-=x ﹒所求切线方程为)1)(23()21(--=--x y ，或)21)(243()181(+-=+--x y ，即02=--y x ，或0145=-+y x ﹒上面所求出的两条直线中，直线02=--y x 是以)1,1(-为切点的切线，而切线0145=-+y x 并不以)1,1(-为切点，实际上它是经过了点)1,1(-且以)87,21(-为切点的直线，如下图所示﹒这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点﹒3. 已知曲线)(x f y =外一点))(,(11x f x A ，求过点A 作的曲线的切线方程﹒这种类型的题目的解法同上面第二种类型﹒例3 过原点O 作曲线6324+-=x x y 的切线，求切线方程﹒（2009年全国卷Ⅰ文21题改编 ）解：由题设知原点O 不在曲线上，设切点坐标为P )63,(20400+-x x x ， x x y 643-='，切线斜率为（03064x x -），切线方程为：))(64()63(00302040x x x x x x y --=+--﹒ 又知切线过点)0,0(，把它代入上述方程，得))(64()63(000302040x x x x x --=+--﹒ 整理得：0)2)(1(2020=-+x x ﹒ 解得20-=x ，或20=x ﹒ 所求切线方程为：x y 22-=或x y 22=﹒练习：1.求曲线14)(23+-=x x x f 在点)2,1(-P 处的切线方程﹒2. 求过曲线34313+=x y 上的点)4,2(的切线方程﹒3.过点)2,0(作抛物线12++-=x x y 的切线，求切线方程﹒ 答案：1.035=-+y x ；2.044=--y x 或02=+-y x ；3.023=+-y x 或02=--y x ﹒。
切线方程求法
切线方程求法在数学中，切线是一条与曲线相切的直线。
当我们研究曲线的性质时，切线是非常重要的工具。
切线方程是描述切线的数学公式，可以帮助我们更好地理解和分析曲线的性质。
本文将介绍切线方程的求法及其应用。
一、切线的定义在平面直角坐标系中，曲线上一点的切线是通过该点的一条直线，与曲线在该点处相切且方向与曲线在该点处的切线方向相同。
切线可以用来描述曲线在该点处的斜率和变化率。
二、切线方程的求法1. 切线方程的一般形式切线方程的一般形式为：y-y0 = k(x-x0)其中，(x0, y0)是曲线上一点的坐标，k是曲线在该点处的斜率。
2. 求曲线在某点处的斜率曲线在某点处的斜率可以通过求导数来得到。
假设曲线的方程为y=f(x)，则曲线在点(x0, y0)处的斜率为：k = f'(x0)其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数。
3. 求切线方程已知曲线在点(x0, y0)处的斜率k，可以将切线方程的一般形式中的参数代入得到具体的切线方程：y-y0 = k(x-x0)将该方程化简可得：y = kx + (y0-kx0)这就是切线方程的标准形式，其中k是曲线在该点处的斜率，(x0, y0)是曲线上的一点。
三、切线方程的应用切线方程可以帮助我们更好地理解和分析曲线的性质。
以下是一些切线方程的应用：1. 求曲线在某点处的切线已知曲线的方程和某一点的坐标，可以通过求导数和切线方程的求法来得到曲线在该点处的切线方程。
这可以帮助我们更好地理解曲线在该点处的性质。
2. 求曲线上的极值曲线上的极值是指曲线上的最大值或最小值。
当曲线在某点处的斜率为0时，该点就是曲线上的极值点。
可以通过求导数和切线方程来求得曲线上的极值。
3. 求曲线的拐点曲线的拐点是指曲线上的一点，在该点处曲线的方向发生了变化。
可以通过求导数和切线方程来求得曲线的拐点。
四、总结切线方程是描述切线的数学公式，可以帮助我们更好地理解和分析曲线的性质。
过一点求曲线的切线方程的三种类型
∵，∴曲线在点处的切线斜率为，所求的切线方程为，即﹒
2. 已知曲线上一点，求过点的曲线的切线方程﹒
这种类型容易出错，一般学生误认为点一定为切点，事实上可能存在过点而点不是切点的切线，如下面例2，这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为，先求出函数的导数，再将代入求出，即得切线的斜率（用表示），写出切线方程=，再将点坐标代入切线方程得=，求出，最后将代入方程=求出切线方程﹒
过一点求曲线的切线方程的三种类型
舒xx
过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒
1.已知曲线上一点，求曲线在该点处的切线方程﹒
这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型﹒其求法为：先求出函数的导数，再将代入求出，即得切线的斜率，后写出切线方程=，并化简﹒
例1求曲线在点处的切线方程﹒
3. 已知曲线外一点，求过点作的曲线的切线方程﹒
这种类型的题目的解法同上面第二种类型﹒
例3 过原点作曲线的切线，求切线方程﹒（2009年全国卷Ⅰ文21题改编 ）
解：由题设知原点不在曲线上，设切点坐标为， ，切线斜率为（），切线方程为：
﹒
又知切线过点，把它代入上述方程，得
﹒
整理得： ﹒
解得，或﹒
所求切线方程为：或﹒
练习：1.求曲线在点处的切线方程﹒
2. 求过曲线上的点的切线方程﹒
3.过点作抛物线的切线，求切线方程﹒
答案：1.；2.或；3.或﹒
例2求过曲线上的点的切线方程﹒
解：设切点为点，，切线斜率为，
切线方程为﹒
又知切线过点，把它代入上Leabharlann 方程，得﹒解得，或﹒
所求切线方程为，或，即，或﹒
怎么求曲线的切线方程
怎么求曲线的切线方程
曲线的切线是指在曲线上某一点处的切线，它与曲线在该点处相切。
求解曲线的切线方程可以通过以下步骤进行：
1. 求出曲线在该点处的斜率
首先需要求出曲线在该点处的导数，即斜率。
如果已知曲线的解析式，可以通过对其求导得到导函数，再将该点的横坐标代入导函数中计算
得到斜率。
如果不知道曲线的解析式，可以通过绘制切线和曲线相交
于该点，并利用直角三角形中斜边长与直角边长之比等于正切值来计
算斜率。
2. 利用点斜式或一般式求出切线方程
已知一条直线的斜率和一点坐标时，可以利用点斜式或一般式求出该
直线的方程。
其中，点斜式为y-y1=k(x-x1)，其中k为直线的斜率，(x1,y1)为直线上已知的一点；一般式为Ax+By+C=0，其中A、B、C 分别为常数。
3. 将所得到的方程化简
通常情况下，将所得到的方程化简成y=mx+b形式会更加方便使用。
具体来说，可以将一般式中的A、B、C除以B得到Ax/B+y+C/B=0，再将其转化为y=-Ax/B-C/B，其中m=-A/B，b=-C/B。
需要注意的是，在求解曲线的切线方程时，应该特别关注曲线在该点
处是否存在垂直于x轴的切线或不存在切线的情况。
如果曲线在该点
处存在垂直于x轴的切线，则斜率不存在；如果曲线在该点处不存在
切线，则斜率也不存在。
此外，还应该注意曲线在该点处是否有多个
切线，这种情况下需要分别求解每条切线的方程。
综上所述，求解曲线的切线方程需要先求出曲线在该点处的斜率，然
后利用点斜式或一般式求出切线方程，并将其化简成y=mx+b形式。
同时还需要注意特殊情况下的处理。
曲线切线求法
曲线切线求法摘要：一、曲线切线概述二、求曲线切线的方法1.直角三角形法2.切线斜率法3.导数法三、实例分析四、曲线切线的应用五、总结与展望正文：一、曲线切线概述曲线切线是指在曲线上的某一点，与该点处曲线相切的直线。
在数学、物理等领域中，求曲线切线有着广泛的应用。
掌握曲线切线的求法，有助于我们更好地理解和分析曲线性质，为后续研究打下基础。
二、求曲线切线的方法1.直角三角形法直角三角形法求曲线切线的基本思路是：在曲线上的某一点作一条垂直于该点处曲线的直线，与曲线交于另外两点，构成一个直角三角形。
根据直角三角形的性质，可以求得切线斜率，进而得到切线方程。
2.切线斜率法切线斜率法是指在曲线上的某一点，通过计算曲率来求得切线斜率。
曲率是描述曲线弯曲程度的一个指标，其数值越大，曲线的弯曲程度越大。
根据曲率可以求得切线斜率，进而得到切线方程。
3.导数法导数法是指利用曲线在某一点的导数值来求得切线斜率。
导数表示曲线在该点处的切线斜率，因此可以直接作为切线斜率的近似值。
求得切线斜率后，可以得到切线方程。
三、实例分析以抛物线为例，设抛物线方程为y = ax^2 + bx + c。
在抛物线上任取一点（x0，y0），求该点的切线方程。
首先，求抛物线在点（x0，y0）处的导数：y" = 2ax + b然后，将x0代入导数公式，得到切线斜率：k = y"(x0) = 2ax0 + b最后，根据切线斜率和点（x0，y0）可以求得切线方程：y - y0 = k(x - x0)四、曲线切线的应用曲线切线在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用，如求解曲线与坐标轴的交点、计算曲线长度、求解曲线的曲率等。
在实际问题中，掌握曲线切线的求法有助于解决许多实际问题。
五、总结与展望本文介绍了曲线切线的概念，以及求曲线切线的直角三角形法、切线斜率法和导数法。
通过实例分析，了解了如何在抛物线上求切线方程。
曲线切线在实际问题中具有广泛的应用，值得我们深入研究。
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程空间曲线是三维空间中的一条曲线，它可以由参数方程或者一般方程表示。
在某一点处，我们可以求出该点处的切线方程和法平面方程。
我们来看一下切线方程的求解。
对于空间曲线来说，切线方程可以通过求曲线在该点处的切向量来获得。
切向量是曲线上一点的切线方向的向量表示。
设空间曲线的参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z分别是曲线上一点的坐标，而f(t)、g(t)、h(t)是曲线的参数方程。
现在我们要求曲线在某一点P(t0)处的切向量。
我们可以求出曲线在点P(t0)处的切线方向的向量表示：r'(t0) = (f'(t0), g'(t0), h'(t0))其中，f'(t0)、g'(t0)、h'(t0)分别是f(t)、g(t)、h(t)对t求导后在t0处的值。
然后，我们可以得到曲线在点P(t0)处的切线方程的向量表示：r(t) = (x, y, z) = (f(t), g(t), h(t))切线方程的向量表示为：r(t) = r(t0) + (t - t0) * r'(t0)切线方程的参数方程为：x = f(t0) + (t - t0) * f'(t0)y = g(t0) + (t - t0) * g'(t0)z = h(t0) + (t - t0) * h'(t0)这就是空间曲线在一点处的切线方程。
接下来，我们来看一下法平面方程的求解。
对于空间曲线来说，法平面是垂直于曲线切线的平面。
设曲线在点P(t0)处的切线方程为：x = f(t0) + (t - t0) * f'(t0)y = g(t0) + (t - t0) * g'(t0)z = h(t0) + (t - t0) * h'(t0)其中，f(t0)、g(t0)、h(t0)是曲线在点P(t0)处的坐标，f'(t0)、g'(t0)、h'(t0)是曲线在点P(t0)处的切向量。
斜率切线知识点
斜率切线知识点斜率和切线是数学中的重要概念，特别在微积分中经常被使用。
在本文中，我们将逐步解释斜率和切线的概念以及它们在数学中的应用。
1.斜率的概念斜率是描述函数曲线的变化率的一个重要指标。
通常用字母m表示斜率。
对于一条直线来说，斜率表示该直线上任意两点之间的纵坐标变化量与横坐标变化量之比。
对于一条曲线来说，斜率表示曲线上某一点处的切线斜率。
2.切线的概念切线是曲线上某一点处与该点处曲线相切的直线。
切线与曲线在该点处有相同的斜率。
切线可以帮助我们研究曲线在某一点的性质，比如判断曲线是否上升或下降，以及在该点处的曲率等。
3.斜率和切线的计算对于一条直线来说，我们可以通过两点坐标来计算斜率。
假设直线上两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则斜率可以通过以下公式计算：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
对于一条曲线来说，我们可以通过求导来计算曲线在某一点处的切线斜率。
假设曲线的方程为y = f(x)，则切线斜率可以通过求f(x)的导数f’(x)来计算。
在某一点处，切线的方程可以表示为y - f(x0) = f’(x0)(x - x0)，其中(x0, f(x0))是曲线上的某一点。
4.斜率和切线的应用斜率和切线在数学中的应用非常广泛。
它们可以帮助我们研究曲线的性质，比如凸性、拐点等。
此外，斜率和切线还可以用于求解最值问题，比如确定曲线上某一点处的最大值或最小值。
在物理学中，斜率和切线可以帮助我们研究物体的运动。
例如，通过计算物体的速度-时间图像的斜率，我们可以确定物体的加速度。
同样，通过计算位移-时间图像的斜率，我们可以确定物体的速度。
在经济学中，斜率和切线可以用于分析供需曲线。
供需曲线的交点处表示市场的均衡价格和数量。
通过计算供需曲线在交点处的斜率，我们可以了解价格和数量的变化关系。
总结起来，斜率和切线是数学中重要的概念，在微积分和其他领域中有着广泛的应用。
通过理解斜率和切线的概念以及计算方法，我们可以更好地理解曲线的性质，并在实际问题中应用这些知识点进行分析和求解。
高一数学复习考点知识讲解课件41---曲线上一点处的切线
高一数学复习考点知识讲解课件5.1.2瞬时变化率——导数第1课时曲线上一点处的切线考点知识1.了解以直代曲的数学思想，体会利用无限逼近的思想把曲线上两点的割线逼近为某点的切线的过程.2.会求函数在某点处的切线方程．导语“天圆地方”是我国先哲们认识世界的思维方式，几千年的社会实践证明了它的正确性，尤其体现在古代中国的建筑和钱币上，而反映到我们数学上，则是以直代曲，无限逼近的数学思想，比如我国古代刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用正多边形的周长无限逼近圆的周长，这是最早出现的“以直代曲”的例子，今天让我们一起来探究如何通过利用直线或直线段来近似代替曲线或曲线段，并以此来研究曲线的某些性质．一、以直代曲问题1如图，我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大，观察有何现象出现？提示当不断放大时，曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线，即在很小的范围内，曲线可以看作直线，这就是以直代曲的思想．例1刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，如图是半径为1尺的圆内接正六边形，若用该正六边形的面积近似代替圆的面积，则该圆的面积的近似值为_________．答案33 2解析S正六边形＝6×34＝332.反思感悟以直代曲思想用来研究函数的局部性质，重在体会“无限逼近”，“量变到质变”，“近似与精确”的思想．跟踪训练1已知函数f(x)的部分图象如图所示．若把曲线AB近似地看成线段，则图中阴影部分的面积近似为________．答案3 2解析若把曲线AB近似看成线段，则阴影部分的面积近似为直角三角形的面积S＝1 2×1×3＝3 2.二、曲线的割线和切线问题2如图，过P 作割线PQ ，当点Q 逐渐向P 靠近时，有何现象出现？提示割线PQ 在点P 附近越来越逼近该曲线，当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，此时称这条直线l 为曲线在点P 处的切线． 知识梳理名称割线切线斜率设曲线C 上一点P (x ，f (x ))，另一点Q (x ＋Δx ，f (x ＋Δx ))，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当Δx 无限趋近于0时，f (x ＋Δx )－f (x )Δx 无限趋近于点P (x ，f (x ))处的切线的斜率例2已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是______；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率是______． 答案54.1解析当Δx ＝1时，割线AB 的斜率k 1＝Δy Δx ＝(2＋Δx )2－1－22＋1Δx ＝(2＋1)2－221＝5；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率k 2＝Δy Δx ＝(2＋0.1)2－1－22＋10.1＝4.1.反思感悟一条直线与一条曲线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线，当这两个点不断靠近，并重合为一个点时，这条直线就变成了这条曲线的切线． 跟踪训练2过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______，过两点(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的割线的斜率为________． 答案122－2解析由平均变化率的计算公式及几何意义，可得过两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为k ＝2－11－0＝1.同理，过两点(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的割线的斜率为k ＝2－112－0＝22－2.三、切线的斜率例3已知曲线y ＝13x 3＋43.求曲线在点P (2,4)处的切线方程． 解∵点P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上， Δy Δx ＝13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx ＝4·Δx ＋2(Δx )2＋13(Δx )3Δx＝4＋2·Δx ＋13(Δx )2，当Δx无限趋近于0，ΔyΔx无限趋近于4，∴在点P(2,4)处的切线的斜率为4，∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.反思感悟根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．跟踪训练3(1)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P坐标为________．答案(3,30)解析设点P坐标为(x0，y0)，则f(x0＋Δx)－f(x0)(x0＋Δx)－x0＝2(Δx)2＋4x0Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4＋2Δx.当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4，因此4x0＋4＝16，即x0＝3，所以y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30.即点P坐标为(3,30)．(2)已知曲线y＝f(x)＝3x2－x，求曲线在点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程．解设A(1,2)，B(1＋Δx，f(1＋Δx))，则k AB＝3(1＋Δx)2－(1＋Δx)－2Δx＝5＋3Δx，当Δx无限趋近于0时，5＋3Δx无限趋近于5，所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.1．知识清单：(1)以直代曲．(2)曲线的割线和切线．(3)求曲线在一点处的切线．2．方法归纳：局部以直代曲、无限逼近的思想．3．常见误区：不能正确理解用割线无限逼近切线的思想．1．函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的切线斜率为()A．－2B．－1C．1D．2 答案B解析因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝－Δx1＋Δx ，所以ΔyΔx ＝－11＋Δx， 所以当Δx 趋近于0时，ΔyΔx 趋近于－1. 故函数f (x )在x ＝1处的切线斜率为－1.2．抛物线y ＝x 2在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14处的切线的倾斜角是()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案B解析∵点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14在抛物线y ＝x 2上，Δy Δx ＝⎝⎛⎭⎪⎫12＋Δx 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫122Δx＝1＋Δx ， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于1，∴在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14处的切线的斜率为1，故倾斜角为45°.3．已知曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线斜率为12a ，则实数a 的值是() A ．－1B ．1C ．－2D ．2 答案B解析Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝(x ＋Δx )3－x 3Δx＝3x 2＋3Δx ·x ＋(Δx )2，因为当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于3x 2， 所以曲线在点(2,8)处切线的斜率k ＝12， 所以12a ＝12，即a ＝1.4．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB的斜率为________． 答案－16解析由函数的解析式有Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝12＋Δx －12＝－Δx 2(2＋Δx )，则Δy Δx ＝－Δx2(2＋Δx )Δx ＝－12(2＋Δx ).当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为k ＝－12(2＋Δx )＝－12(2＋1)＝－16.课时对点练1．已知函数f (x )的图象如图所示，A (x 0，y 0)在曲线上，x 0∈[2,2＋Δx ]且Δx 无限趋近于0，则在A 点处的切线斜率近似为()A ．f (2)B ．f (2＋Δx ) C.f (2＋Δx )－f (2)Δx D ．f (x 0)答案C解析由两点割线的斜率，当Δx 无限趋近于0时，函数f (x )在A 点处的切线斜率近似为f (2＋Δx )－f (2)Δx.2．已知抛物线y ＝14x 2，抛物线上有一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，Q 是抛物线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，14()Δx 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx ，14()Δx 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，14()Δx ＋12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx ，14()1＋Δx 2 答案C解析当x ＝1＋Δx 时，y ＝14(1＋Δx )2.3．已知函数f (x )＝x 2＋4上两点A ，B ，x A ＝1，x B ＝1.3，则割线AB 的斜率为() A ．2B ．2.3C ．2.09D ．2.1 答案B解析f (1)＝5，f (1.3)＝5.69.∴k AB ＝f (1.3)－f (1)1.3－1＝5.69－50.3＝2.3.4．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q .已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率(单位时间的供应量)逐步提高的是()答案B解析单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应是一直下凹的．5．已知点P ()－1，1为曲线上的一点，PQ 为曲线的割线，当Δx 无限趋近于0时，若k PQ 无限趋近于－2，则在点P 处的切线方程为() A ．y ＝－2x ＋1B ．y ＝－2x －1 C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝－2x －2 答案B解析根据题意可知，在点P 处切线的斜率为－2，所以在点P 处的切线方程为y －1＝－2(x ＋1)，整理可得y ＝－2x －1.6．曲线y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线方程是() A ．y ＝x －2B ．y ＝x －12C ．y ＝4x －4D ．y ＝4x －2答案C解析因为Δy ＝－1x ＋Δx ＋1x ＝Δx x (x ＋Δx )， 所以Δy Δx ＝1x (x ＋Δx )， 当Δx 无限接近于0时，Δy Δx 无限接近于1x 2，所以函数在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线斜率是k ＝4， 所以切线方程为y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4. 7．当h 无限趋近于0时，(4＋h )2－42h 无限趋近于______，4＋h －4h无限趋近于________．答案814解析(4＋h )2－42h＝8h ＋h 2h ＝8＋h ， 当h 无限趋近于0时，8＋h 无限趋近于8.4＋h －4h ＝4＋h －4h (4＋h ＋4)＝14＋h ＋4， 当h 无限趋近于0时，14＋h ＋4无限趋近于14.8．过曲线y ＝x 2上两点A ()2，4和B ()2＋Δx ，4＋Δy 作割线，当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率为______．答案4.1解析k AB ＝Δy Δx ＝()Δx ＋22－22Δx ＝()Δx 2＋4Δx Δx＝Δx ＋4， 所以当Δx ＝0.1时，AB 的斜率为4.1.9．求函数f (x )＝－x 2＋x 的图象在点A (2，f (2))处切线的方程．解设点B (2＋Δx ，f (2＋Δx ))，则割线AB 的斜率为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx＝－3－Δx ， 当Δx 无限接近于0时，函数f (x )＝－x 2＋x 的图象在点A (2，f (2))处切线的斜率为k ＝－3，又f (2)＝－22＋2＝－2，所以切线的方程为y －(－2)＝－3(x －2)，即3x ＋y －4＝0.10．求曲线y ＝x 在点(1,1)处的切线方程． 解∵点(1,1)在曲线y ＝x 上，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1，当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于12，∴在点(1,1)处切线的斜率为12，∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)，即x －2y ＋1＝0.11．已知函数f (x )＝x 2图象上四点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))，D (4，f (4))，割线AB ，BC ，CD 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则()A ．k 1<k 2<k 3B ．k 2<k 1<k 3C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2答案A解析k 1＝f (2)－f (1)2－1＝4－1＝3，k 2＝f (3)－f (2)3－2＝9－4＝5，k 3＝f (4)－f (3)4－3＝16－9＝7， ∴k 1<k 2<k 3.12．若曲线y ＝ax 2在x ＝a 处的切线与直线2x －y －1＝0平行，则a 等于()A ．－1B ．1C ．－1或1D ．－12或1答案A解析根据题意得Δy Δx ＝a (a ＋Δx )2－a ·a 2Δx ＝2a 2＋a ·Δx ，当Δx 无限接近于0时， 2a 2＝2，∴a ＝±1，当a ＝1时，y ＝x 2，切点是(1,1)，切线的斜率k ＝2，故切线方程是y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0和直线2x －y －1＝0重合，故a ＝－1.13．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为()A ．(2,2)B ．(2，－2)C ．(－2,2)D ．(－2，－2)答案B解析设切点坐标为(x 0，y 0)，Δy Δx ＝(x 0＋Δx )2－3(x 0＋Δx )－(x 20－3x 0)Δx ＝(Δx )2＋2x 0Δx －3Δx Δx＝Δx ＋2x 0－3， 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于2x 0－3，即k ＝2x 0－3＝1，解得x0＝2，y0＝x20－3x0＝4－6＝－2.故切点坐标为(2，－2)．14．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________________．答案3x－y－11＝0解析设切点为P(x0，y0)，在点P处的切线斜率为k，Δy Δx＝(x0＋Δx)3＋3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)－10－(x30＋3x20＋6x0－10)Δx＝3x20＋6x0＋6＋(Δx)2＋(3x0＋3)Δx，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于3x20＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3.所以k＝3(x0＋1)2＋3.当x0＝－1时，k有最小值3，此时点P的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x－y－11＝0.15．若函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝________.答案1 4解析根据题意，Δy Δx ＝a(x＋Δx)2＋1－ax2－1Δx＝2a·x·Δx＋a·(Δx)2Δx＝2ax＋a·Δx，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，且y0＝ax20＋1，y0＝x0，解得a＝14.16．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求直线l1，l2与x轴所围成的三角形的面积．解(1)ΔyΔx＝(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－2－(x2＋x－2)Δx＝2x＋1＋Δx，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于2x＋1，∴直线l1的斜率k1＝3，∴直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.设直线l2与曲线y＝x2＋x－2相切于点P(x0，x20＋x0－2)，则直线l2的方程为y－(x20＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．∵l1⊥l2，∴3(2x0＋1)＝－1，解得x0＝－2 3.∴直线l2的方程为y＝－13x－229，即3x＋9y＋22＝0.(2)解方程组⎩⎨⎧ y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝16，y ＝－52.又∵直线l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0， ∴所求三角形的面积为S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋223＝12512.。
求曲线在某点的切线方程公式
求曲线在某点的切线方程公式曲线在某点的切线方程公式，我们可以通过求解曲线在该点的导数来得到。
设曲线的方程为y=f(x)，求曲线在点（a,f(a)）处的切线方程。
首先，我们需要求解曲线在该点的导数。
导数表示曲线在某一点处的斜率，也就是切线的斜率。
通过求取函数f(x)的导函数，我们可以得到导数的表达式。
记导函数为f'(x)，则切线的斜率为f'(a)。
接下来，我们使用点斜式来确定切线方程。
点斜式由一个点和斜率确定，我们已经得到了切线的斜率f'(a)，因此切线方程为：
y - f(a) = f'(a)(x - a)
这就是曲线在点（a,f(a)）处的切线方程公式。
请注意，该公式中的f(x)和f'(x)代表了曲线的具体方程和导函数的形式，具体的求解步骤需要根据具体的曲线方程进行。
曲线上一点处的切线讲解
割线PQ 割线PQ的斜率
Q无限逼近P时 Q无限逼近P时 令横坐标无限接近
P点处的切线 P点处的切线斜率
作业:
课课练 第2课时 书本 课后练习
⑵在点P附近你能作出一条比Ｌ1,Ｌ2更加逼近曲线
的直线Ｌ3吗?
⑶在点P附近你能作出一条比Ｌ1,Ｌ2,Ｌ3更加逼近
曲线的直线Ｌ4吗?
Q1 L1
Ｌ３
L2
Q2
Ｌ３
Ｌ4
Q3
P
L4 动画
问题3:我们找到了这条切线,我们还得能求这条切 线.怎么求呢?
如何求曲线上一点的切线?
(1)概念:曲线的割线和切线
y=f(x)
例3.已知 f (x) x ,求曲线 y f (x) 在 x x(x 0) 处
的切线的斜率.
解: 设 P(x, x ) , Q(x x, x x) ,
则割线PQ的斜率
kPQ
x x x
x
x x x
( x x x )x
3.9999
0.00001
4.00001 -0.00001
3.99999
求曲线 y f (x)
率的一般步骤:
上一点
P( x ,
f
(x ))处切线斜
1.设曲线上另一点 Q(x x, f (x x))
2.求出割线 PQ 的斜率kPQ
，并化简。
f (x x) x
f (x )
3. 令x无限趋近于0,若上式中的割线斜率“逼近”
一个常数，则其即为所求切线斜率。
例１、已知 f (x) x2 ,求曲线 y f (x)在 x 2 处 的切线的斜率.
练１：已知 f (x) x2,求曲线 y f (x)在 x 3处 的切线的斜率.
曲线切线求法
曲线切线求法1. 引言在数学中，曲线切线是指曲线上一点处的切线，它是曲线在该点处的局部近似。
求解曲线切线是解析几何中常见的问题之一，对于理解曲线的性质和研究其变化趋势具有重要意义。
本文将介绍常见的曲线切线求法，包括直角坐标系下的求法和参数方程下的求法。
2. 直角坐标系下的曲线切线求法2.1 曲线方程与斜率首先，我们需要确定曲线的方程，并计算出该点处的斜率。
以一元函数为例，在直角坐标系下，函数可以表示为y=f(x)，其中f(x)为给定函数。
对于给定点P(x0,y0)，我们可以通过计算导数f’(x)来得到该点处的斜率k。
2.2 切点坐标确定接下来，我们需要确定切点坐标。
由于切点在曲线上，所以它满足曲线方程y=f(x)。
将x0代入方程中可以得到相应的y值。
2.3 构建切线方程已知切点坐标和斜率，我们可以使用直线的点斜式来构建切线方程。
切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)，其中(x0,y0)为切点坐标，k为斜率。
2.4 示例假设我们要求解曲线y=x2在点P(2,4)处的切线。
首先，我们计算出函数f(x)=x2的导数f’(x)=2x。
然后，将x=2代入函数得到y=4。
接下来，我们使用切线方程的点斜式构建切线方程y-4=4(x-2)。
3. 参数方程下的曲线切线求法3.1 曲线参数化对于参数方程表示的曲线，我们需要将其参数化，以便计算切线。
假设曲线由参数方程x=f(t)，y=g(t)给出。
3.2 切点坐标确定与直角坐标系下类似，我们需要确定切点坐标。
将给定参数t代入参数方程中得到相应的x和y值。
3.3 斜率计算在参数化后的表达中，我们可以通过计算导数dy/dx来得到斜率k。
3.4 构建切线方程已知切点坐标和斜率，我们可以使用直线的点斜式来构建切线方程。
与直角坐标系下类似，切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)，其中(x0,y0)为切点坐标，k为斜率。
3.5 示例假设我们要求解参数方程x=cos(t)，y=sin(t)表示的单位圆在点P(√3/2, 1/2)处的切线。
曲线上一点处的切线-PPT课件
求曲线在某点处的切线方程的
1、先利用切线斜率的定义求出 切线的斜率；
2、然后利用点斜式求切线方程.
课堂练习
拓展研究
3.1.2 瞬时 变化率
1、平均变化率 一般的，函数 的平均变化率为
在区间上
例1、已知函数 分别计算在区间[-3，1]，[0，5]上 及 由本例得到什么结论? 的平均变化率。 一次函数y=kx+b在区间[m,n 平均变化率就等于k.
练习: P58-59:1,2
如何求曲线上一点的切线 ? y=f(x) 割 线 y Q (1)概念:曲线的割线和切线
T 切线
P o
结论:当Q点无限逼近P点时
x
(2)如何求割线的斜率?
y
Q o P x
y=f(x)
y=f(x)
Q (3)如何求切线的斜率 ? y
割 线
T
切线
o
P
x
例1:已知 求曲线y=f(x)在x=2 处的切线的斜率.
利用割线求切线
,
练习:P59,4
例2:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2) 处的切线方程.
平面曲线在一点处的切线
平面曲线在一点处的切线
平面曲线在一点处的切线是指该曲线在该点处的切线。
曲线在该点处的切线是经过该点的曲线上的两个非常接近的点所形成的直线，它描述了曲线在该点处的局部特性。
在数学上，可以通过对曲线在该点处进行导数计算来得到切线的斜率，从而得出切线的方程式。
切线可以帮助理解曲线的局部性质，例如曲线的方向变化、凸凹性质等。
在实际应用中，切线可以用于测量曲线在一点处的斜率、方向以及相关的物理量。
过曲线一点的切线方程
过曲线一点的切线方程过曲线一点的切线方程数学是一门探究规律和真理的学科，而曲线方程则是数学中的一个重要组成部分。
在数学中，曲线方程是描述平面上点的位置的等式，而曲线的切线则是在任何点处的切线方程。
本文将会着重讨论一种叫做“过曲线一点的切线方程”这一话题。
首先，我们需要理解什么是曲线的切线。
在数学中，曲线的切线是曲线在任意一点处的切线，它是与曲线在该点处相切的一条直线。
找到曲线的切线有很多种方法，以下介绍具体的步骤。
首先，我们需要确定曲线上的某一点，然后找到该点处的导数，导数告诉我们曲线在该点处的斜率。
接着，我们将该点和斜率代入点斜式公式，就可以得到曲线在该点处的切线方程。
接下来，我们就进入了本文的主题——过曲线一点的切线方程。
过曲线一点的切线方程是一种特殊的切线方程。
我们可以通过以下步骤来得到过曲线一点的切线方程。
首先，我们需要确定该曲线的方程，随后，我们选定一个点在曲线上，假设该点的坐标为（a, f(a)）。
接着，我们需要对曲线方程求导，求导后代入（a, f(a)）点的坐标，就可以得到曲线在该点处的斜率m。
然后，我们就可以将该点和斜率代入点斜式公式，从而可以得到过曲线一点的切线方程。
具体的计算流程如下：曲线方程：y = f(x)选定的点：（a, f(a)）求导后的斜率：f'(a)切线公式：y – f(a) = f'(a) * (x – a)过曲线一点的切线方程可以用于许多实际问题，例如物理学和工程学中。
比如，一个物体在一个弯曲的曲面上滑动，那么我们就需要求出该点的切线方程来确定它的速度和加速度。
最后，总结一下，通过本文的介绍，我们了解到曲线方程和曲线的切线是数学中的重要基础概念。
同时，我们也学习了如何求出过曲线一点的切线方程。
过曲线一点的切线方程的应用不仅可以帮助我们更好地理解曲线的特性，还可以应用于实际问题的求解中。
曲线的切线方程行列式
曲线的切线方程行列式引言在微积分中，曲线是一个变量与变量之间的关系，可用方程或参数方程表示。
曲线的切线是曲线上一点处的切线，切线是曲线在该点附近的近似直线。
在研究曲线的性质和特点时，切线方程是非常重要的工具。
本文将探讨曲线的切线方程行列式，深入研究切线的性质和应用。
切线方程的定义给定曲线上一点P (x0,y0)，曲线的切线被定义为通过点P的直线，使得该直线与曲线在点P附近重合。
切线方程指的是切线的数学表达式，通常以斜截式或点斜式的形式表示。
切线方程的基本原理切线与曲线相切于给定点，因此曲线上的点在切线上必须满足相同的斜率。
切线方程的推导基于这一基本原理。
以下是切线方程的常用形式：1. 斜截式切线方程的斜截式是最常见的形式，通常表示为y = mx + b，其中m是切线的斜率，b是切线与y轴的交点纵坐标。
2. 点斜式切线方程的点斜式表示为y - y0 = m(x - x0)，其中m是切线的斜率，(x0,y0)是切线与曲线相切的点的坐标。
切线方程行列式的推导切线方程行列式是切线方程表达的另一种形式。
行列式是用方程的系数组成的特殊矩阵，将其求值可以得到切线方程的具体形式。
以下是推导切线方程行列式的步骤：1. 已知曲线的方程首先需要已知曲线的方程，可以是一般的函数方程或参数方程。
2. 计算函数的导数或参数方程的导数向量对于函数方程，需要计算函数的导数。
对于参数方程，需要计算参数方程的导数向量。
3. 代入切点坐标将待求解切线的切点坐标代入导数或导数向量中，求得斜率。
4. 要确定切线的截距需要知道切线通过的点，可以通过将切点坐标代入切线方程中，求得截距。
5. 组合斜率和截距将斜率和截距组合在一起，形成切线方程行列式。
切线方程行列式的应用切线方程行列式有广泛的应用，特别是在曲线的近似计算和数值方法中。
以下是切线方程行列式的一些应用：1. 近似计算通过切线方程行列式，可以将曲线上的点近似为直线，从而简化计算。
尤其在数值计算中，可以使用切线方程行列式来近似计算曲线上的点的函数值。
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（1）计算函数f (x )＝x 2从x ＝1到x ＝1＋Δx 的函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx
， 其中Δx 的值为①2； ②1； ③0.1； ④0.01.
（2）思考：当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
例 已知2()f x x =+1，求曲线()y f x =在1x =-处的切线斜率.
函数在某点处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率是
lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx ，
我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即
f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0
Δy
Δx .
例 已知2()f x x =，求曲线()y f x =在1x =-处的切线方程．
例 已知曲线y ＝x 2的切线分别满足下列条件，请求出切点的坐标．
(1)平行于直线y ＝4x －5；
(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；
(3)切线的倾斜角为135°.
【巩固练习】
1.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于
( ) A.1 B.12 C.－12 D.－1
答案： A
2.曲线y ＝－1x 在点(1，－1)处的切线方程为 ( )
A.y ＝x －2
B.y ＝x
C.y ＝x ＋2
D.y ＝－x －2
答案： A
3.已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求：
(1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程.
.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3y ＝13
. ∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13).
(2)∵y ＝x 2＋4，
∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋4－(x 2＋4)Δx ＝lim Δx →0
(Δx )2＋2x ·Δx Δx ＝lim Δx →0 (Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，
即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0；
在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.。