2简谐振动的能量
简谐振动的能量
8.3 简谐振动的能量下面我们以弹簧振子为例来讨论简谐振动的能量。
实际上，任何一个简谐振动的物体，由于它们受到的合外力为正比回复力，都相当于一个弹簧振子。
不同的是，它们的k值不是劲度系数，而是其它的由系统的力学性质决定的常数而已。
利用简谐振动方程及其速度方程，可得任意时刻一个弹簧振子的弹性势能和动能由可得到因此，弹簧振子的机械能为可见弹簧振子的机械能不随时间改变，即其能量守恒。
这是由于无阻尼自由振动的弹簧振子是一个孤立系统，在振动过程中没有外力对它做功的缘故。
上面的结果还表明弹簧振子的弹簧振子的能量总能量和振幅的平方成正比，这一点对其它的简谐振动系统也是正确的。
这意味着振幅不仅描述简谐振动的运动范围，而且还反映振动系统能量的大小。
把动能和势能的表达式改写为可见弹簧振子做简谐振动时的动能和势能都在谐振，见上图。
它们的平衡点在系统机械能一半的地方处即处，能量的振幅亦为。
动能和势能谐振的频率均为位移振动频率的两倍，它们振动的相位相反，因而它们的总和即机械能守恒。
【例1】一个弹簧振子沿x轴作简谐振动，已知弹簧的劲度系数为，物体质量为m=0.1kg，在t=0时物体对平衡位置的位移，速度。
写出此简谐振动的表达式。
【解】要写出此简谐振动的表达式，需要知道它的三个特征量A、和φ，角频率决定于系统本身的性质，由A和由初始条件决定，再由和由于，所以取。
于是，以平衡位置为原点所求简谐振动的表达式应为m【例2】一匀质细杆的长度为l，质量为m，可绕其一端的轴O在铅垂面内自由转动，如图所示。
求杆作微小振动时的周期。
【解】细杆所受的合外力矩是重力矩。
如图所示，在细杆偏离平衡位置为θ角时(设逆时针方向为正方向)，杆受重力矩为其中负号表示重力矩的方向与角位移的方向相反。
对于微振，θ很小，可以认为，所以其中可见杆受到的力矩为正比回复力矩，故杆的振动为简谐振动。
细杆绕O轴转动的转动惯量为则细杆微小振动的周期为即【例3】弹簧振子的劲度系数为k，质量为m，可沿x轴作简谐振动，刚开始时振子静止在平衡点O。
振动能量计算公式
振动能量计算公式1. 简谐振动能量。
- 对于一个弹簧振子做简谐振动，其动能E_k=(1)/(2)mv^2，其中m是振子的质量，v是振子的速度。
- 根据简谐振动的速度公式v = ω Asin(ω t+φ)（ω是角频率，A是振幅，φ是初相位），则动能E_k=(1)/(2)mω^2A^2sin^2(ω t + φ)。
- 其势能E_p=(1)/(2)kx^2，对于简谐振动x = Acos(ω t+φ)，所以E_p=(1)/(2)kA^2cos^2(ω t+φ)。
- 弹簧振子的总能量E = E_k+E_p，由于k = mω^2，将E_k和E_p表达式代入可得：- E=(1)/(2)mω^2A^2sin^2(ω t+φ)+(1)/(2)mω^2A^2cos^2(ω t+φ)- 根据sin^2α+cos^2α = 1，所以E=(1)/(2)mω^2A^2（总能量守恒，与时间t 无关）。
2. 阻尼振动能量。
- 阻尼振动的能量是逐渐减小的。
- 阻尼振动的能量E(t)=E_0e^ - (2β t)/(m)，其中E_0是初始能量，β是阻尼系数，m是振子质量，t是时间。
3. 受迫振动能量。
- 在稳定状态下，受迫振动的能量取决于驱动力的功率。
- 设驱动力F = F_0cos(ω_dt)，振子做受迫振动达到稳定时的振动方程为x = Acos(ω_dt+φ)。
- 驱动力的功率P = Fv，其中v=-Aω_dsin(ω_dt + φ)，则P=-F_0Aω_dcos(ω_dt)sin(ω_dt+φ)。
- 在一个周期T=(2π)/(ω_d)内的平均功率¯P=(1)/(T)∫_0^TPdt，通过计算可得¯P=(1)/(2)F_0Aω_dsinφ。
- 受迫振动系统的能量与平均功率有关，能量E=¯Pt（t为时间），在稳定状态下能量保持稳定。
简谐振动中的能量和受迫振动
1、水平振动的弹簧振子的能量
(1)、在振动时，弹簧振子在平衡位 置的动能最大，势能为零． (2)、弹簧振子偏离平衡位置到最大 时，动能为零，势能最大． (３)、在弹簧振子的振动过程中，只 有弹簧弹力做功，所以总机械能守 恒（不考虑空气阻力）．
2、单摆振动时的能量
如图 AO 回复力做正功（重力 做正功），重力势能减少，动 能增加，到O时，动能最大，势 能最小； OB，回复力做负功， 动能减小，势能增加，到达B时， 动能为零，势能最大，同理可 分析，之后过程中能量的转化 情况． 在此过程中，因为只有重力做 功，所以总机械能不变．
2、阻尼振动：振幅逐渐减小的振动叫 做阻尼振动，也叫减幅振动．
3、振幅减小的快慢跟所受的阻尼有关， 阻尼越大，振幅减小得越快． 4、阻尼振动若在一段不太长的时间内振 幅没有明显的减小，可认为是等幅振动．
三、受迫振动
在实际振动中，为了不因阻尼的存 在而使振动停止，我们通常给系统加一 个周期性的外力，来补偿系统的能量损 失，使系统持续的振动下去，这种周期 性的外力叫驱动力，物体在外界驱动力 作用下的振动叫受迫振动 实验表明：物体在外力驱动下振动时，
由共振曲线可知道：
当驱动力频率等于物体固有频率时， 物体振幅最大，驱动力频率与固有频 率相差越大，物体的振幅越小. 驱动力的频率接近物体的固有频率时， 受迫振动的振幅最大，这种现象叫做 共振.
四、共振的应用和防止
共振的应用：1、共振筛
2、共鸣箱（在乐器上用的比较多）
共振的危害: 大桥若共振的话!!!
1、军队或火车过桥时要放慢速度或便步走. 2、机器运转时为了防止共振要调节转速 3、在振动物体底座加防振垫 4、装修剧场、房屋时使用吸声材料等
简谐振动的能量公式
简谐振动的能量公式好嘞，以下是为您生成的关于“简谐振动的能量公式”的文章：咱先来说说啥是简谐振动。
比如说一个小球挂在弹簧上，一松手，小球就这么上上下下地动起来，这就是简谐振动。
简谐振动的能量可是有讲究的，这里面的能量公式啊，能让咱们清楚地知道这个振动系统里到底藏着多少能量。
简谐振动的能量主要包括动能和势能。
动能呢，就好比那个上蹿下跳的小球跑起来的能量；势能呢，就像被拉长或者压缩的弹簧储存的能量。
那简谐振动的能量公式到底是啥呢？E = 1/2 kA²，这里的 E 表示总能量，k 是劲度系数，A 是振幅。
咱来好好琢磨琢磨这个公式。
振幅 A 越大，就意味着振动的幅度越大，那总能量也就越大。
这就好像荡秋千，荡得越高，也就是振幅越大，需要的能量就越多。
我记得有一次在课堂上给学生们讲这个知识点。
当时我拿了一个小弹簧和一个小铁球做演示。
我把弹簧拉长，然后松手让铁球振动起来，同学们都瞪大眼睛看着。
我问他们：“你们觉得这个铁球振动的能量和什么有关？”有的同学说和弹簧拉得长短有关，有的说和铁球的重量有关。
我笑着摇摇头，然后开始给他们讲解这个能量公式。
我告诉他们，就像这个弹簧，拉得越长，振幅越大，能量也就越大。
然后我又改变了弹簧的劲度系数，让他们观察铁球振动的变化。
同学们一下子就明白了，那一张张恍然大悟的小脸，让我特别有成就感。
咱们再回到这个公式。
劲度系数 k 越大，同样的振幅下，能量也会越大。
这就好比是不同的弹簧，有的硬一些，有的软一些，硬的弹簧储存的能量相对就更多。
在实际生活中，简谐振动的例子可不少。
像钟摆的摆动，吉他弦的振动，甚至是我们的心脏跳动，都可以用简谐振动的原理和能量公式来解释。
比如说吉他弦，调弦的时候，改变弦的松紧程度，其实就是在改变劲度系数。
弦调得越紧，劲度系数越大，振动的能量就会有所变化，发出来的声音也就不同啦。
还有啊，心脏的跳动也是一种简谐振动。
当我们运动的时候，心跳会加快加强，振幅和频率都发生变化，能量的供给也得跟上，不然咱们可就没力气活动啦。
简谐振动的能量变化
简谐振动的能量变化简谐振动是物理学中一个重要的概念，几乎存在于各个领域的物理现象中。
它描述了一个物体在一个恒定的振幅范围内进行周期性的振动运动。
在简谐振动中，物体的能量会不断变化。
本文将探讨简谐振动的能量变化规律及其背后的原理。
一、简谐振动的特点简谐振动的特点是具有周期性和恒定振幅。
在一个周期内，物体会从原点出发，向正方向振动到最大偏离量，然后返回原点，并向负方向振动到最大偏离量，最后再次返回原点。
这个周期性的运动形式被称为正弦曲线。
二、简谐振动的能量转换简谐振动的能量转换是一个循环过程，由动能和势能交替转化。
当物体偏离平衡位置时，存在势能。
随着物体向最大偏离量移动，势能达到最大值。
当物体通过平衡位置时，速度最大，动能也最大。
当物体移动回原点时，势能再次为零，并在反向运动时达到最大值，动能减小为零。
因此，简谐振动的能量变化由势能和动能的周期性转换组成。
三、简谐振动的能量守恒在简谐振动中，动能和势能的和始终保持不变。
即使在振动过程中，能量的总和也保持不变。
这是因为质点在简谐振动的过程中没有受到摩擦或其他能量损耗的作用。
四、简谐振动的公式推导我们可以通过公式推导简谐振动的能量变化规律。
假设简谐振动的位置函数为x(t)，其中t表示时间。
那么动能可表示为：K = 0.5 * m * v^2 = 0.5 * m * (dx/dt)^2，其中m为质量，v为速度，x为位移。
而势能可表示为：U = 0.5 * k * x^2，其中k为劲度系数。
根据能量守恒定律，总能量E为常数，即K + U = E。
将上述动能和势能的表达式代入，得到：0.5 * m * (dx/dt)^2 + 0.5 * k * x^2 = E。
这是简谐振动的能量守恒方程，描述了简谐振动过程中能量的变化规律。
五、简谐振动的应用简谐振动广泛应用于各个领域。
在物理学中，它被用于描述原子和分子的振动，以及声波和光波的传播。
在工程学中，它被用于设计和优化机械结构的振动模式。
简谐振动的能量要点
简谐振动的能量要点简谐振动是物体在一些平衡位置附近以固定频率来回振动的运动方式。
它是一种理想化的振动模型，常用于描述弹簧和摆钟等物理系统的振动特性。
在简谐振动中，振动物体的能量一直保持着恒定。
以下是关于简谐振动能量的几个重要要点：1.势能和动能之间的转换：在简谐振动中，振动物体的能量主要由势能和动能组成。
当物体从平衡位置偏离时，会产生弹性势能。
随着物体向平衡位置回归，弹性势能转变为动能。
两种能量形式之间的转换是周期性的，能量在势能和动能之间交替转换，始终保持总能量不变。
2.势能的表达式：简谐振动的势能可以用一个二次函数来表达。
对于弹簧振子，势能与物体偏离平衡位置的平方成正比。
势能函数可以表示为U(x) = (1/2) kx²，其中k是弹簧劲度系数，x是物体离开平衡位置的位移量。
3.动能的表达式：振动物体的动能取决于物体的质量和速度。
动能可以表示为K = (1/2) mv²，其中m是物体的质量，v是物体的速度。
由于简谐振动中物体的运动速度是周期性变化的，动能的最大值等于势能的最大值。
4.总能量的守恒：在简谐振动中，总能量一直保持恒定。
振动物体的总能量可以表示为E=U+K，其中U是势能，K是动能。
由于振动物体在势能和动能之间交换能量，总能量以恒定的方式改变，但总能量的值始终保持不变。
5.振幅和能量关系：振动物体的振幅是指物体离开平衡位置的最大位移量。
振幅越大，物体在振动过程中的最大速度和最大加速度也会增大。
根据动能的表达式K = (1/2) mv²可以看出，振幅的增加会导致动能的增加，从而增加振动物体的总能量。
6.能量的周期性变化：简谐振动的能量以周期性的方式变化。
在振动周期的不同阶段，势能和动能的值会交替变化。
具体来说，在最大位移点，势能达到最大值而动能为零；在通过平衡位置时，势能为最小值而动能最大。
这种能量的周期性变化特性与简谐振动的周期性变化是紧密相关的。
分析简谐振动的受力和能量变化
分析简谐振动的受力和能量变化简谐振动是物理学中一种重要的运动形式，它具有周期性、匀速和可逆的特点。
在简谐振动中，物体受到的力和能量随时间的变化呈现出一定的规律性。
本文将分析简谐振动的受力和能量变化，并探讨其特点和影响因素。
简谐振动的受力主要来自恢复力和阻尼力。
恢复力是指物体由于偏离平衡位置而产生的力，与偏离量成正比。
根据胡克定律，恢复力的大小与偏离量的乘积成正比，方向与偏离量相反。
恢复力的表达式可以用F=-kx表示，其中F为恢复力的大小，k为恢复力常数，x为物体偏离平衡位置的位移量。
当物体偏离平衡位置时，恢复力的方向与位移方向相反，使物体向平衡位置回复。
阻尼力是指简谐振动中由于摩擦等因素产生的阻碍物体运动的力。
阻尼力的大小与物体的速度成正比，方向与物体的速度相反。
阻尼力的表达式可以用F_d=-bv表示，其中F_d为阻尼力的大小，b为阻尼系数，v为物体的速度。
阻尼力的作用是减小运动的振幅，使振动逐渐衰减和停止。
简谐振动的能量变化包括动能和势能的变化。
动能是物体由于运动而具有的能量，可表示为K=1/2mv^2，其中m为物体的质量，v为物体的速度。
在简谐振动中，物体在最大位移处速度最小，在平衡位置处速度最大，因此动能随时间的变化呈周期性波动。
当物体偏离平衡位置时，动能增加；当物体达到最大位移处时，动能减小至零。
势能是物体由于位置发生变化而具有的能量，可表示为U=1/2kx^2，其中U为势能，k为恢复力常数，x为物体的位移量。
在简谐振动中，势能随时间的变化也呈周期性波动。
当物体偏离平衡位置时，势能增加；当物体达到最大位移处时，势能减小至零。
在简谐振动中，恢复力与阻尼力的合力决定了物体的运动规律。
当阻尼系数较小或为零时，物体的振动呈现出理想的简谐运动，振幅保持不变，持续振动；当阻尼系数较大时，物体的振幅不断减小，振动逐渐衰减和停止。
除了受力的影响，简谐振动的频率和周期还受到质量和恢复力常数的影响。
频率是指单位时间内振动的次数，可以用f=1/T表示，其中f为频率，T为周期。
简谐振动的能量与周期
简谐振动的能量与周期简谐振动是物体在弹性势能恢复力作用下进行的一种周期性振动。
在简谐振动中，能量与周期之间存在一定的关系。
下面将通过分析简谐振动的能量变化以及与周期之间的关系来探讨这一问题。
一、简谐振动的能量变化简谐振动的能量可以分为两部分，一部分是动能，另一部分是势能。
在振动过程中，物体在运动的过程中，动能和势能不断地相互转换，但其总和保持不变。
1. 动能的变化物体在振动过程中具有动能。
当物体达到最大振幅时，速度最大，此时动能也最大。
而当物体通过平衡位置时，速度为零，动能也为零。
因此，可以得出结论：动能随物体的位移而变化，与物体的位移成正比。
2. 势能的变化物体在振动过程中具有势能。
当物体位于极大位移时，弹性势能最大，此时势能也最大。
而当物体通过平衡位置时，位移为零，势能也为零。
因此，可以得出结论：势能随物体的位移而变化，与物体的位移成正比。
3. 能量守恒定律根据能量守恒定律，简谐振动中的能量保持不变。
即动能和势能之和等于常数。
可以用下式表示：E = K + U其中，E表示总能量，K表示动能，U表示势能。
因为动能和势能之和保持不变，所以在振动过程中，动能和势能的增减是互相抵消的。
二、简谐振动的周期与能量的关系简谐振动的周期是指完成一次完整振动所需要的时间。
简谐振动的周期与其能量之间存在一定的关系。
下面将从理论和实验两个方面探讨这一问题。
1. 理论推导简谐振动的周期与物体的振动频率有关。
振动频率可以用下式表示：f = 1 / T其中，f表示振动频率，T表示周期。
根据简谐振动的定义，可以得出如下的等式：ω^2 = k / m其中，ω表示角频率，k表示弹簧的劲度系数，m表示物体的质量。
角频率与振动频率之间存在如下的关系：ω = 2πf将振动频率表达式代入上式，可以得到：ω = 2π / T通过对上述等式的变换，可以得到简谐振动的周期与劲度系数和物体质量的关系：T = 2π√(m / k)由上式可以看出，简谐振动的周期与劲度系数和物体质量有关。
3简谐振动的能量
x
o
A
dengyonghe1@
1 2 2 2 Ek = mω A sin (ωt + ϕ ) 2 k Qω = m
2
Ek
mω = k
2
o
t
1 2 2 Ek = kA sin (ωt + ϕ ) 2
dengyonghe1@
1 2 2 Ek = kA sin (ωt + ϕ ) 2 二、简谐振动的势能 1 2 E p = kx 2 1 2 = k[ A cos(ωt + ϕ )] 2 1 2 2 = kA cos (ωt + ϕ ) 2
dengyonghe1163com简谐振动过程即有动能又有势能e平均值
第三节 简谐振动的能 量
dengyonghe1@
简谐振动过程即有动能又有势能， 交替变化。 简谐振动过程即有动能又有势能，Ek、Ep交替变化。
一、简谐振动的动能
1 2 Ek = mv 2 1 2 = m[ − Aω sin(ωt + ϕ )] 2 1 2 2 2 = mA ω sin (ωt + ϕ ) 2
Ek Ep
o
t
Ek 最大时， Ep最小， Ek 、Ep交替变化。 最大时， 最小， 交替变化。
dengyonghe1@
平均值： 平均值：
1 2 2 Ek = kA sin (ωt + ϕ ) 2 1 2 2 E p = kA cos (ωt + ϕ ) 2 o
1 Ek = T
1 Ep = T
Ek Ep
E
t
∫
∫
T
0
T
1 2 1 2 2 kA sin (ωt + ϕ )dt = kA 2 4
简谐振动的能量变化
简谐振动的能量变化简谐振动是物理学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，如机械、电磁、光学等。
简谐振动能够描述许多物理系统的运动规律，同时该系统的能量变化也是研究的重点之一。
一、简谐振动的基本特征简谐振动是指一个物体在一个稳定的平衡位置附近作来回运动，其大小与时间成正弦函数关系的振动。
简谐振动具备以下基本特征：1. 平衡位置：简谐振动存在一个平衡位置，物体在此处不具备位移。
2. 振幅：振动的最大偏离平衡位置的距离称为振幅。
3. 周期：一个完整的振动周期所经历的时间称为周期，用T表示。
4. 频率：振动的周期的倒数称为频率，用f表示。
5. 角频率：振动的角频率是频率的2π倍，用ω表示。
二、简谐振动的能量变化简谐振动的能量变化可以分为动能和势能的相互转化过程。
在振动过程中，物体会从最大位移处通过平衡位置到达最大位移处，这一过程中能量的分配也随之变化。
1. 动能：物体在振动过程中具有动能，动能与振动的速度平方成正比。
当物体从最大位移处通过平衡位置时，动能达到最大值；而当物体处于平衡位置时，动能为零。
2. 势能：物体在振动过程中也会具有势能，势能与振动的位移的平方成正比。
当物体处于最大位移处时，势能达到最大值；而当物体处于平衡位置时，势能为零。
在简谐振动中，动能和势能是交替转化的。
当物体从最大位移处通过平衡位置时，动能达到最大值，而势能为零；当物体到达平衡位置时，动能为零，势能达到最大值。
这种能量的转化使得系统在振动过程中能量守恒。
三、能量变化的数学表达简谐振动的能量变化可以通过数学公式来表示。
设简谐振动的位移为x，振动角频率为ω，振幅为A，则动能和势能分别可以表示为以下式子：动能K = (1/2) mω²A²cos²(ωt + φ)势能U = (1/2) mω²A²sin²(ωt + φ)其中m为物体的质量，t为时间，φ为初相位。
根据能量守恒定律，动能和势能的总和应该保持不变。
物理-简谐振动的能量 几个简谐振动的实例
振动动能 弹性势能
Ek
1 2
m 2
Ep
1 2
kx2
一、简谐振动的能量
x, υ
o
T
能量
o T T T 3T 42 4
设 0
x Acosωt t
υ Aωsinωt
E 1 kA2 2
Ep
1 2
kA2
cos2
ωt
t
Ek
1 2
kA2
sin2
ωt
一、简谐振动的能量
弹簧振子的势能曲线
Ep
1 2
kx2
C
Ek
E Ep
1 kA2 1 kx2
2
2
Ep
E
B
Ek
Ep
A O x A
x
一、简谐振动的能量
推广
E Ek Ep A2
(1) 作简谐振动的系统机械能守恒！ (2) 简谐振动的总机械能与振幅的平方成正比！
一、简谐振动的能量
拓展：谐振动的能量守恒与其动力学方程的关系
二、几个简谐振动的实例
解：
E Ep Ek
1 kA2 2
当 x A / 2时：
Ep
1 2
kx2
1 2
k
A 2
2
1 4
E
Ek
E
Ep
3 4
E
二、几个简谐振动的实例
解：
E
Ep
Ek
1 2
kA2
Ep
1 2
kx 2
1 2
1 2
kA2
x 2 A 2
欢迎网上答疑
例：弹簧振子
E 1 m 2 1 kx2 恒量
简谐振动的振幅与能量
简谐振动的振幅与能量简谐振动是一种重要的物理现象，广泛应用于各个领域。
在研究简谐振动时，我们不可避免地需要了解振幅与能量之间的关系。
本文将详细探讨简谐振动的振幅与能量之间的关系，并分析其中的物理原理。
简谐振动是指某个物体或系统在恢复力的作用下，围绕平衡位置做往复振动的现象。
而振幅则是指在振动过程中物体或系统离开平衡位置的最大偏移量。
振幅的大小与能量之间存在着密切的联系。
首先，我们需要了解简谐振动的能量表达式。
对于一个简谐振动系统，其能量由两部分组成：势能和动能。
势能可以表示为弹簧的弹性势能或其他势能形式，而动能则与振动的速度有关。
简谐振动的势能与振幅的关系可以通过势能函数来说明。
通常情况下，简谐振动的势能可以用 1/2kx^2 表示，其中 k 是弹性系数，x 是振幅。
从这个表达式可以看出，势能与振幅的平方成正比，即振幅越大，势能越大。
接下来，我们来研究简谐振动的动能与振幅之间的关系。
动能可以表示为振动系统的质量和速度的函数。
在简谐振动中，速度与位移之间存在着相位差，且满足正弦或余弦函数的关系。
根据简谐振动的定义，振动系统在平衡位置的速度为零，而在最大位移时速度最大。
因此，动能与振幅之间存在着正比关系，即振幅越大，动能越大。
综上所述，简谐振动的振幅与能量之间存在着正相关的关系。
振幅越大，势能和动能的大小都会增加，整体能量也会增加。
而振幅越小，对应的能量也会减小。
需要注意的是，上述的分析是在不考虑阻尼和外力等因素的理想情况下得出的结论。
在实际情况中，振幅与能量的关系可能会受到其他因素的影响，例如阻尼力的存在会使能量逐渐减小。
总之，简谐振动的振幅与能量之间存在着密切的联系。
振幅的大小决定了势能和动能的大小，从而影响整个振动系统的能量。
研究振幅与能量之间的关系，可以帮助我们更好地理解和应用简谐振动的原理。
5.2 简谐振动的能量与合成
第5章 机械振动
4
2.简 谐 振 动 的 微 分 方 程 (动力学方程) 动力学方程)
k F
m
o x
x
dx 2 +ω x = 0 2 dt
2
a = −ω x
2
作者 杨 鑫
k ω = m
2
5.2 简谐振动的能量与合成
第5章 机械振动
5
3.简谐振动的运动方程(振动方程) 3.简谐振动的运动方程 振动方程)
ω
2 0 2
5.2 简谐振动的能量与合成
第5章 机械振动
8
1 ω ν= = T= ω = 2πν T 2π ω 1 1 k 弹簧 2π m k ω = T = = 2π ν = T= 2π m 振子 k m ω
2.周期 2.周期 (T )
2π
频率 ( ) ν
圆频率 (ω)
单 摆
作者 杨
鑫
g l 1 1 g 2π ω = T = = 2π ν = = g T 2π l l ω
5.2 简谐振动的能量与合成
第5章 机械振动
9
求一个振动系统固有ω,T,ν的方法 求一个振动系统固有 的方法 2 ( 1 ) 建立振动系 d x + Bx = 0 统的微分方程 2
dt
x前的系数的开方就是振
( 2 ) 利用公式
ω = 2πν = 2π T 2 (3)利用速度 vm = ωA am = ω A 和加速度幅值
5.2 简谐振动的能量与合成
第5章 机械振动
1
作者
杨
鑫
5.2 简谐振动的能量与合成
第5章 机械振动
2
一、简谐振动 的特征方程 1.回复力 1.回复力
分析简谐振动的几个概念
分析简谐振动的几个概念简谐振动是物理学中一种重要的振动模式，它在许多自然界和工程应用中都有广泛的应用。
本文将对简谐振动的几个概念进行详细的分析。
1. 简谐振动的定义：简谐振动是指一个物体在给定的恢复力作用下，沿着一条直线或者围绕某个平衡位置作往复运动的振动。
简谐振动的特点是周期性、恢复力的大小与物体偏离平衡位置的距离成正比，且与物体的质量无关。
2. 简谐振动的公式：简谐振动的运动方程可以通过牛顿第二定律推导得到，在不考虑阻尼和扰动力的情况下，运动方程可以表示为：mx'' + kx = 0，其中m为物体的质量，k为恢复力的常数，x为物体相对于平衡位置的位移，x''为加速度。
3. 简谐运动的特征：简谐振动有几个重要的特征：振动频率、周期、角频率、振幅和相位。
振动频率指的是单位时间内完成的振动次数，它与振动周期的倒数成反比。
振动周期是指完成一个完整的往复运动所需要的时间。
角频率是振动频率的2π倍，通常用符号ω来表示。
振幅是指振动物体离开平衡位置的最大位移。
相位是指振动物体位移相对于某一参考点的位置，可以用角度或时间来表示。
4. 简谐振动的能量：简谐振动的能量包括动能和势能两部分。
在振动的过程中，当物体处于平衡位置时，动能为零，势能最大；当物体处于最大振幅位置时，势能为零，动能最大。
根据机械能守恒定律，物体的总能量在振动过程中保持不变。
5. 简谐振动的叠加原理：叠加原理是指当系统中有多个简谐振动同时存在时，每个振动的叠加效果不影响其他振动的情况下，系统的振动可以看作是这些简谐振动的叠加。
这是因为简谐振动是线性的，可用叠加原理表示。
6. 简谐振动的应用：简谐振动在日常生活和科学研究中有广泛的应用。
钟摆的摆动、弹簧的振动、电路中的交流电振荡等都可以看作是简谐振动。
通过研究简谐振动的特性，可以推导出更复杂振动模式的行为，如非线性振动和混沌振动等。
简谐振动是物理学中一种重要的振动模式，它具有周期性、恢复力与位移成正比等特点。
动力学简谐振动的计算方法
动力学简谐振动的计算方法简谐振动是物理学中重要的概念之一，它在多个领域中都有广泛应用。
本文将介绍动力学简谐振动的计算方法。
一、简谐振动的定义简谐振动是指周期性地以某个平衡位置为中心做正弦或余弦函数形式的振动。
它的特点是振幅恒定，并且振动周期、频率和角频率与振动系统的物理特性有关。
二、简谐振动的描述对于一个简谐振动系统，我们可以用一个带有负号的二次导数的微分方程来描述。
一般而言，动力学简谐振动的微分方程可以表示为：\[m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0\]其中，m是振动系统的质量，k是系统的弹性常数，x是质点的位移，t是时间。
三、简谐振动的解析解基于上述微分方程，我们可以得到简谐振动的解析解。
解析解形式如下：\[x(t) = A\cos(\omega t + \phi)\]其中，A是振幅，表示振动的最大位移；$\omega$是角频率，与振动周期T的关系为$\omega = \frac{2\pi}{T}$；$\phi$是初相位，表示在t=0时刻的相位角。
四、简谐振动的参数计算1. 振动周期：振动周期T是指振动系统完成一个完整振动所需要的时间。
根据上述关系，可计算出振动周期为：\[T = \frac{2\pi}{\omega}\]2. 频率：振动频率f是指单位时间内振动的次数，与振动周期的倒数成反比。
可通过如下公式计算得到：\[f = \frac{1}{T}\]3. 角频率：角频率$\omega$定义为单位时间内角位移的增量。
可以通过如下公式计算得到：\[\omega = 2\pi f\]4. 振动速度和加速度：振动速度v和振动加速度a分别定义为位移的一阶和二阶导数，可以通过对位移解析解求导得到。
五、简谐振动的能量在简谐振动中，振动系统的能量在势能和动能之间不断转换。
振动系统的总能量E是守恒的，可以表示为：\[E = \frac{1}{2}kA^2\]其中，$\frac{1}{2}kA^2$表示势能，而动能则与质点的速度有关，可以表示为$\frac{1}{2}mv^2$。
2简谐振动的能量解析
A2
A2
o
A1
x
o
A1
x
o
A1
x
用旋转矢量描绘振动合成图
*三 垂直方向、不同频率简谐振动的合成 x A cosm t y A cosn t 0 频率比为有理数时轨迹闭合，为李萨如图。频 率比为无理数时轨迹不闭合。图形仅与相位差有 关，而且与每个振动的初位相有关。 用李萨如图形在无线电 技术中可以测量频率： Tx : Ty 1 : 2
d2 x k 2 x0 dt m
1 1 2 sin (t )dt 动能的时间平均值: T 2 1 2 1 T1 2 2 kA2 T 2 sin (0t )dt kA Ek kA sin (0t )dt 4 2T 0 T 0 2
势能的时间平均值:
2
稳定时的振动方程 随时间很快衰减为零 在达到稳定态时，系统振动频率等于强迫力的频率。
2 d x dx 2 三 共振 2 x f cos p t 0 2 （resonance） dt dt
2 T 1 T1 2 1 2 kA 2 2 kA E P kA cos (0t )dt cos (0t )dt 4 2T 0 T 0 2
结论： 1、即弹簧振子的动能和势能的平均值相等， 且等于总机械能的一半。 2、任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比
8.5 简谐振动的合成 一 两个同方向同频率简谐运动的合成 设一质点同时参与两独立的同 方向、同频率的简谐振动：
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
x2
1
x1
A1
xx
结论:
（1）相位差
2 1 2k π
两个简谐振动合成后的总能量
两个简谐振动合成后的总能量说到两个简谐振动合成后的总能量，嗯，听起来是不是有点儿晦涩？别着急，我们慢慢来，打破这层神秘面纱。
简谐振动，这个概念其实说白了就是物体在某个固定点附近来回摆动，就像是你摇晃手机屏幕时，那个小球来回晃动的样子。
它有个特点，就是振幅固定，频率也固定，像钟摆一样，规律性十足。
你可以想象成是一个稳定的节奏，不管是大钟的“咔哒咔哒”还是你家电风扇的旋转，简谐振动都在其中找到了它的影子。
至于能量嘛，那可就更有意思了。
你可别以为能量就是单纯的一个数字，它可随振动的状态变化而变化。
振动到哪儿，能量就在哪儿。
所以，当这两个简谐振动合成在一起的时候，情况就有点复杂，但同时也让人激动。
想象一下，如果两个振动像两只不同的猫，一只懒懒的，另一只活泼得像是刚喝了浓咖啡，这两只猫要是合起来跳舞，那画面肯定是奇怪又好玩的。
一个振动是在一个频率下走得慢，另一个是在另外一个频率上走得快。
它们“碰撞”在一起的那一刻，总能量肯定不一样了。
具体来说，合成后的总能量，其实是由每个振动的能量加起来的。
所以，你得先搞清楚这两只猫的“本能”，也就是它们各自的能量。
这就得用到一个东西，叫做“振动的能量公式”，别怕，听着很复杂，实际上也没啥难度。
能量就像是物体振动的“背后支持者”，它的计算需要考虑振幅、频率这些因素。
振幅越大，能量越多；频率越高，能量也越高。
你可以想象成两个人在一起玩拉力赛，谁的车快，谁的车大，谁就能跑得更远，能量也就越大。
但是，等这两个振动合起来，怎么办呢？它们俩的能量会相互叠加。
嗯，听起来有点像两个拼命拍击的鼓手，这时的总能量其实就是两个鼓手分别打出的声浪的叠加。
并且这个合成后的总能量，和它们的相对位置也有关系。
比如，它们要是正好“合拍”，就会互相增强，像是搭档默契得像是两个老搭档。
而要是节奏不对，合成后的能量就可能会有所抵消，这就像是两只猫跳舞的时候，有时候会撞得四脚朝天，能量损失掉了。
这个情况和两个波叠加起来时的情况类似，有时是加强，有时是削弱，真是要看命运了。
大学基础物理学答案(习岗)第8章
第八章振动与波动本章提要1. 简谐振动的描述●物体在一定位置附近所作的无阻尼的等幅振动称简谐振动。
简谐振动的运动方程为cos()x A t ωϕ=+其中，A 为振幅、ω 为角频率、（ωt+ϕ）为简谐振动的相位， ϕ 为初相位。
●简谐振动的速度方程d sin()d x v A t tωωϕ==-+ ●简谐振动的加速度方程 222d cos()d x a A t tωωϕ==-+ ●简谐振动可用旋转矢量法表示。
2. 简谐振动的能量●若弹簧振子劲度系数为k ，振动物体的质量为m ，在某一时刻物体的位移为x ，振动速度为v ，则振动物体的动能为212k E mv =●弹簧振子的势能为 212p E kx =●弹簧振子的总能量为 222222P 111sin ()+cos ()=222k E E E m A t kA t kA ωωϕωϕ=+=++ 该结果表明，在简谐振动中，动能和势能不断转换（转换频率是位移变化频率的二倍），但总能量保持不变。
3. 阻尼振动如果一个振动质点，除了受弹性力之外，还受到一个与速度成正比的阻尼作用，那么它将作振幅逐渐衰减的振动，这种振动称阻尼振动。
阻尼振动的动力学方程为222d d 20d d x x x t tβω++= 其中，γ是阻尼系数，2m γβ=。
●当22ωβ>时，振子的运动是一个振幅随时间衰减的振动，称阻尼振动。
●当22ωβ=时，振动物体不再出现振荡，而是以负指数方式直接趋向平衡点，并静止下来，这种情况称临界阻尼。
●当22ωβ<时，振动物体也将不再出现振荡，而是以一种比临界阻尼过程更慢的方式趋于平衡点，这种情况称过阻尼。
4. 受迫振动●振动物体在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动。
受迫振动的运动方程为 22P 2d d 2cos d d x x F x t t t mβωω++= 其中，2k m ω=，为振动系统的固有频率；2C m β=；F 为驱动力振幅。
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x2
x1
xx
结论: 结论 （1）相位差 ）
ϕ 2 − ϕ1 = 2k π
( k = 0 ， 1， ) ± ⋯
加强
A = A1 + A2
（2）相位差 ） （3）一般情况 ）
ϕ 2 − ϕ1 = (2k + 1) π ( k = 0 ， 1， ) ± ⋯ A = A1 − A2 减弱
A1 + A2 > A > A1 − A2
稳定时的振动方程 随时间很快衰减为零 在达到稳定态时，系统振动频率等于强迫力的频率。 在达到稳定态时，系统振动频率等于强迫力的频率。
d2x dx 三 共振 + 2δ + ω 02 x = f cos ω p t （resonance） dt 2 dt
x = A cos( ω p t + ψ )
稳定时的振幅为： 稳定时的振幅为： A =
ϕ
A 1
A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 合成后仍为 频率的简谐 后仍为同 简谐运动 合成后仍为同频率的简谐运动 tanϕ = A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 同理可证:多 方向同频率简谐运动合成仍为简谐 合成仍为简谐运动 同理可证 多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
A = A12 + A22 + 2A1 A2 cos( 2 −ϕ1 ) ϕ
dA =0 求极值： 对A 求极值： dω p
f
2 2 2 (ω0 − ω p ) 2 + 4δ 2ω p
2 得： r = ω p = ω0 − 2δ 2 称为：共振的角频率。 ω 称为：共振的角频率。
此时振幅最大，称为位移共振 位移共振： 此时振幅最大，称为位移共振：
Ar =
f
2 2δ ω0 −δ 2
x
合成后
ω
基频
3 ω
5 ω t
ω
周期性振动具有离散谱。 周期性振动具有离散谱。非周期振动的频谱是连续谱
9.6 阻尼振动 受迫振动 共振 阻尼振动（ 一 阻尼振动（Damped Oscillation） ） 阻尼力 现象： 现象：振幅随时间减小 动力学分析： 动力学分析： − kx − Cv = ma d2x dx m 2 +C + kx = 0 dt dt
9.5 简谐振动的合成 两个同方向同 一 两个同方向同频率简谐运动的合成 设一质点同时参与两独立的同 方向、同频率的简谐振动： 方向、同频率的简谐振动：
ω
A
ϕ1
x = x1 + x2
x1 = A1 cos(ω t + ϕ 1 ) x 2 = A2 cos(ω t + ϕ 2 )
A 2
ϕ2
O
= A cos( ω t + ϕ )
1 T1 2 2 1 2 kA2 T 2 EP = ∫ kA cos (ω0t +ϕ)dt = ∫0 cos (ω0t +ϕ)dt = 4 kA T 02 2T
结论： 结论： 1、即弹簧振子的动能和势能的平均值相等， 、即弹簧振子的动能和势能的平均值相等， 且等于总机械能的一半。 且等于总机械能的一半。 2、任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比 、
y
A2
A1
y
y
A2
A2
o
x
o
A1
x
o
A1
x
用旋转矢量描绘振动合成图
垂直方向、 *三 垂直方向、不同频率简谐振动的合成 x = A cos(m ω t ) y = A cos(nω t + δ 0 ) 频率比为有理数时轨迹闭合， 李萨如图 频率比为有理数时轨迹闭合，为李萨如图。频 率比为无理数时轨迹不闭合。 率比为无理数时轨迹不闭合。图形仅与相位差有 而且与每个振动的初位相有关。 关，而且与每个振动的初位相有关。 用李萨如图形在无线电 Tx : Ty =1: 2 技术中可以测量频率： 技术中可以测量频率： 在示波器上， 在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入 两个振动，已知其中一个频率， 两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图 形与已知标准的李萨如图形去比较， 形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另 一个未知的频率。 一个未知的频率。
1 1 2 动能的时间平均值 的时间平均值: 动能的时间平均值 ∫ sin (ωt +ϕ)dt = 2 T 1 2 1 T1 2 2 kA2 T 2 Ek = ∫ kA sin (ω0t +ϕ)dt = ∫0 sin (ω0t +ϕ)dt = 4 kA 2T T 02
势能的时间平均值 势能的时间平均值: 的时间平均值
1：2
李萨如图形 1：3
2：3
四 两个同方向不同频率简谐运动的合成 拍
ν1 =16 ν2 =18 ∆ν = 2 ,
一般情况下合成后的振动是一个复杂的运动 的情况: 讨论 A1 = A2 ν 2 − ν 1 << ν 1 + ν 2 的情况
x = x1 + x2 = A cos ω 1 t + A cosω 2 t (ω2 − ω1 )t (ω2 + ω1 )t
= 2Acos 2 cos 2
合振动角频率
合振动振幅 A′ 振动频率 ν = (ν1 +ν 2 ) 2 ν 2 −ν 1 t 振幅 A′ = 2 A cos 2 π 2 振幅变化的频率为 变化的频率为拍频 合振幅变化的频率为拍频
为振幅非定值的谐振动
{ν
ω 拍 = ω 2 − ω1
拍
= ν 2 −ν 1
共振频率
共振频率
ω r = ω02 − 2δ 2
共振振幅
A
小阻尼 阻尼 → 0
Ar =
f 2δ ω0 − δ
2 2
共振现象及应用： 共振现象及应用： ①天坛的回音壁 ②磨擦铜盆时水的共振
o 大阻尼 ω 0
ωP
天坛的回音壁
磨擦铜盆时水的共振
作业： 、 作业： 1、书中例题 2、习题 38的9-4、9-5。直接做在书中 、习题P 、 。 3、习题 39的9-17、9-25、9-27、9-31 做在作 、习题P 、 、 、 业本上。 业本上。
9.4 简谐振动的能量 （1） 动能 ） （2） 势能 ）
(以弹簧振子为例 以弹簧振子为例) 以弹簧振子为例
k ω = m
2
1 1 1 2 2 = m [− ω A sin( ω t + ϕ ) ] = mω 2 A2 sin 2 (ωt + ϕ ) Ek = mv 2 2 2
1 2 1 2 Ep = kx = kA cos 2 (ωt + ϕ ) 2 2 （3） 机械能 E = Ek + Ep = 1 mω 2 A2 = 1 kA2 此结果普适 ）
E o
Ek
2
Ep
2
E =
1 kA 2 2
t x
x = A cos ω t
o
t
能量守恒
推导
简谐运动方程
1 2 1 2 E = mv + kx = 常量 2 2 d 1 2 1 2 ( mv + kx ) = 0 dt 2 2
dv dx mv + kx =0 dt dt
d2x k ⇒ 2 + x=0 dt m
此结论对讨论各种波的干射、衍射是极为有用 此结论对讨论各种波的干射、衍射是极为有用.
二 两个相互垂直的同频率的简谐运动的合成 x = A1 cos( ω t + ϕ 1 ) 质点运动轨迹为椭圆方程 质点运动轨迹为椭圆方程 y = A2 cos( ω t + ϕ 2 ) 具体形状由 x 2 y 2 2 xy 2 + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 相位差决定。 相位差决定。 A1 A2 A1 A2 π ② ϕ2 −ϕ1 = π ③ ϕ2 −ϕ1 = ± ① ϕ2 −ϕ1 = 0 2
①欠阻尼 ②过阻尼 ③临界阻尼
ω = ω02 − δ 2
对应于三种不同的解， 对应于三种不同的解，将有三种不同的运动形式
ω 02 > δ 2 2 2 ω0 < δ 2 2 ω0 = δ
t
x
o
b
c
a
受迫振动(Forced Oscillation) 二 受迫振动
d2x dx 驱动力、 驱动力、周 m 2 +C + kx = F cos ω p t dt dt 期性干扰力 k ω0 = 2δ = C m f = F m m d2 x dx 2 ⇒ 2 + 2δ + ω0 x = f cos ωp t dt dt 在阻尼较小的情况下方程的解为： 在阻尼较小的情况下方程的解为： 2 x = A0 e −δt cos( ω0 − δ 2 t + ϕ 0 ) + A cos(ω p t +ψ )
阻力系数
Fr = −Cv
x = Ae
d2 x dx + 2δ + ω 02 x = 0 dt 2 dt
− δt
固有角频率 k ω0 = m
δ = C 2m
cos( ω t + ϕ )
角频率 振幅 ω = ω02 − δ 2 对应于三种不同的解， 对应于三种不同的解，将有三种不同的运动形式
阻尼系数
x = A e − δ t cos( ω*振动的分解：常见振动的傅立叶展开 振动的分解
非简谐振动 = 基频（ ω）振动 + 基频（
4A
整数n >1
∑ 谐频( nω )振动
1 1 4 A ∞ sin(2k + 1)ωt x= (sin ωt + sin 3ωt + sin 5ωt ) = ∑ (2k + 1) π 3 5 π k =0