2简谐振动的能量

x2
x1
xx
结论: 结论 （1）相位差 ）
ϕ 2 − ϕ1 = 2k π
( k = 0 ， 1， ) ± ⋯
加强
A = A1 + A2
（2）相位差 ） （3）一般情况 ）
ϕ 2 − ϕ1 = (2k + 1) π ( k = 0 ， 1， ) ± ⋯ A = A1 − A2 减弱
A1 + A2 > A > A1 − A2
稳定时的振动方程 随时间很快衰减为零 在达到稳定态时，系统振动频率等于强迫力的频率。 在达到稳定态时，系统振动频率等于强迫力的频率。
d2x dx 三 共振 + 2δ + ω 02 x = f cos ω p t （resonance） dt 2 dt
x = A cos( ω p t + ψ )
稳定时的振幅为： 稳定时的振幅为： A =
ϕ
A 1
A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 合成后仍为 频率的简谐 后仍为同 简谐运动 合成后仍为同频率的简谐运动 tanϕ = A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 同理可证:多 方向同频率简谐运动合成仍为简谐 合成仍为简谐运动 同理可证 多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
A = A12 + A22 + 2A1 A2 cos( 2 −ϕ1 ) ϕ
dA =0 求极值： 对A 求极值： dω p
f
2 2 2 (ω0 − ω p ) 2 + 4δ 2ω p
2 得： r = ω p = ω0 − 2δ 2 称为：共振的角频率。 ω 称为：共振的角频率。
此时振幅最大，称为位移共振 位移共振： 此时振幅最大，称为位移共振：
Ar =
f
2 2δ ω0 −δ 2
x
合成后
ω
基频
3 ω
5 ω t
ω
周期性振动具有离散谱。 周期性振动具有离散谱。非周期振动的频谱是连续谱
9.6 阻尼振动 受迫振动 共振 阻尼振动（ 一 阻尼振动（Damped Oscillation） ） 阻尼力 现象： 现象：振幅随时间减小 动力学分析： 动力学分析： − kx − Cv = ma d2x dx m 2 +C + kx = 0 dt dt
9.5 简谐振动的合成 两个同方向同 一 两个同方向同频率简谐运动的合成 设一质点同时参与两独立的同 方向、同频率的简谐振动： 方向、同频率的简谐振动：
ω
A
ϕ1
x = x1 + x2
x1 = A1 cos(ω t + ϕ 1 ) x 2 = A2 cos(ω t + ϕ 2 )
A 2
ϕ2
O
= A cos( ω t + ϕ )
1 T1 2 2 1 2 kA2 T 2 EP = ∫ kA cos (ω0t +ϕ)dt = ∫0 cos (ω0t +ϕ)dt = 4 kA T 02 2T
结论： 结论： 1、即弹簧振子的动能和势能的平均值相等， 、即弹簧振子的动能和势能的平均值相等， 且等于总机械能的一半。 且等于总机械能的一半。 2、任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比 、
y
A2
A1
y
y
A2
A2
o
x
o
A1
x
o
A1
x
用旋转矢量描绘振动合成图
垂直方向、 *三 垂直方向、不同频率简谐振动的合成 x = A cos(m ω t ) y = A cos(nω t + δ 0 ) 频率比为有理数时轨迹闭合， 李萨如图 频率比为有理数时轨迹闭合，为李萨如图。频 率比为无理数时轨迹不闭合。 率比为无理数时轨迹不闭合。图形仅与相位差有 而且与每个振动的初位相有关。 关，而且与每个振动的初位相有关。 用李萨如图形在无线电 Tx : Ty =1: 2 技术中可以测量频率： 技术中可以测量频率： 在示波器上， 在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入 两个振动，已知其中一个频率， 两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图 形与已知标准的李萨如图形去比较， 形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另 一个未知的频率。 一个未知的频率。
1 1 2 动能的时间平均值 的时间平均值: 动能的时间平均值 ∫ sin (ωt +ϕ)dt = 2 T 1 2 1 T1 2 2 kA2 T 2 Ek = ∫ kA sin (ω0t +ϕ)dt = ∫0 sin (ω0t +ϕ)dt = 4 kA 2T T 02
势能的时间平均值 势能的时间平均值: 的时间平均值
1：2
李萨如图形 1：3
2：3
四 两个同方向不同频率简谐运动的合成 拍
ν1 =16 ν2 =18 ∆ν = 2 ,
一般情况下合成后的振动是一个复杂的运动 的情况: 讨论 A1 = A2 ν 2 − ν 1 << ν 1 + ν 2 的情况
x = x1 + x2 = A cos ω 1 t + A cosω 2 t (ω2 − ω1 )t (ω2 + ω1 )t
= 2Acos 2 cos 2
合振动角频率
合振动振幅 A′ 振动频率 ν = (ν1 +ν 2 ) 2 ν 2 −ν 1 t 振幅 A′ = 2 A cos 2 π 2 振幅变化的频率为 变化的频率为拍频 合振幅变化的频率为拍频
为振幅非定值的谐振动
{ν
ω 拍 = ω 2 − ω1
拍
= ν 2 −ν 1
共振频率
共振频率
ω r = ω02 − 2δ 2
共振振幅
A
小阻尼 阻尼 → 0
Ar =
f 2δ ω0 − δ
2 2
共振现象及应用： 共振现象及应用： ①天坛的回音壁 ②磨擦铜盆时水的共振
o 大阻尼 ω 0
ωP
天坛的回音壁
磨擦铜盆时水的共振
作业： 、 作业： 1、书中例题 2、习题 38的9-4、9-5。直接做在书中 、习题P 、 。 3、习题 39的9-17、9-25、9-27、9-31 做在作 、习题P 、 、 、 业本上。 业本上。
9.4 简谐振动的能量 （1） 动能 ） （2） 势能 ）
(以弹簧振子为例 以弹簧振子为例) 以弹簧振子为例
k ω = m
2
1 1 1 2 2 = m [− ω A sin( ω t + ϕ ) ] = mω 2 A2 sin 2 (ωt + ϕ ) Ek = mv 2 2 2
1 2 1 2 Ep = kx = kA cos 2 (ωt + ϕ ) 2 2 （3） 机械能 E = Ek + Ep = 1 mω 2 A2 = 1 kA2 此结果普适 ）
E o
Ek
2
Ep
2
E =
1 kA 2 2
t x
x = A cos ω t
o
t
能量守恒
推导
简谐运动方程
1 2 1 2 E = mv + kx = 常量 2 2 d 1 2 1 2 ( mv + kx ) = 0 dt 2 2
dv dx mv + kx =0 dt dt
d2x k ⇒ 2 + x=0 dt m
此结论对讨论各种波的干射、衍射是极为有用 此结论对讨论各种波的干射、衍射是极为有用.
二 两个相互垂直的同频率的简谐运动的合成 x = A1 cos( ω t + ϕ 1 ) 质点运动轨迹为椭圆方程 质点运动轨迹为椭圆方程 y = A2 cos( ω t + ϕ 2 ) 具体形状由 x 2 y 2 2 xy 2 + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 相位差决定。 相位差决定。 A1 A2 A1 A2 π ② ϕ2 −ϕ1 = π ③ ϕ2 −ϕ1 = ± ① ϕ2 −ϕ1 = 0 2
①欠阻尼 ②过阻尼 ③临界阻尼
ω = ω02 − δ 2
对应于三种不同的解， 对应于三种不同的解，将有三种不同的运动形式
ω 02 > δ 2 2 2 ω0 < δ 2 2 ω0 = δ
t
x
o
b
c
a
受迫振动(Forced Oscillation) 二 受迫振动
d2x dx 驱动力、 驱动力、周 m 2 +C + kx = F cos ω p t dt dt 期性干扰力 k ω0 = 2δ = C m f = F m m d2 x dx 2 ⇒ 2 + 2δ + ω0 x = f cos ωp t dt dt 在阻尼较小的情况下方程的解为： 在阻尼较小的情况下方程的解为： 2 x = A0 e −δt cos( ω0 − δ 2 t + ϕ 0 ) + A cos(ω p t +ψ )
阻力系数
Fr = −Cv
x = Ae
d2 x dx + 2δ + ω 02 x = 0 dt 2 dt
− δt
固有角频率 k ω0 = m
δ = C 2m
cos( ω t + ϕ )
角频率 振幅 ω = ω02 − δ 2 对应于三种不同的解， 对应于三种不同的解，将有三种不同的运动形式
阻尼系数
x = A e − δ t cos( ω*振动的分解：常见振动的傅立叶展开 振动的分解
非简谐振动 = 基频（ ω）振动 + 基频（
4A
整数n >1
∑ 谐频( nω )振动
1 1 4 A ∞ sin(2k + 1)ωt x= (sin ωt + sin 3ωt + sin 5ωt ) = ∑ (2k + 1) π 3 5 π k =0