导数计算公式(最新整理)

导数公式

一、基本初等函数的导数公式

已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2；(4)y ＝f (x )＝；1

x

(5)y ＝f (x )＝.

x 问题：上述函数的导数是什么？

提示：（1）∵＝＝＝0，∴y ′＝ ＝0.Δy Δx f (x ＋Δx )－f (x )Δx

c －c Δx lim Δx →0

Δy

Δx 2)(x )′＝1，(3)(x 2)′＝2x ，(4)

′＝－，(5)()′＝.(1x )1x 2x 12x

函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律？

提示：∵(2)(x )′＝1·x 1－1，(3)(x 2)′＝2·x 2－1，(5)()′＝(x

)′＝x

x 1

2

12

＝

，∴(x α)′＝αx α－1.

112

－12x

基本初等函数的导数公式

原函数

导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝0f (x )＝xα(α∈Q*)f ′(x )＝αx α－1f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f(x)＝ax

f′(x)＝axln a

f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝1xln a f(x)＝ln x

f′(x)＝

1x

二、导数运算法则

已知f (x )＝x ，g (x )＝.

1

x

问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么？

问题2：试求Q (x )＝x ＋，H (x )＝x －的导数．

1x 1

x 提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋－＝Δx ＋，

1x ＋Δx (x ＋1

x )

－Δx x (x ＋Δx )

∴＝1－，∴Q ′(x )＝＝＝1－.Δy Δx 1x (x ＋Δx )

lim Δx →0Δy Δx lim Δx →0[

1－1x (x ＋Δx )]

1

x 2同理H ′(x )＝1＋.

1x

2问题3：Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？

提示：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的和，H (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的差．导数运算法则

1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )

2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )

3.

′＝(g (x )≠0)

[f (x )

g (x )

]

f ′(x )

g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2题型一 利用导数公式直接求导

[例1]　求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x ；(3)；

x y 2

1log =(4)y ＝；(5).

4

x 312cos 2sin 2

-⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=x x y [解]　(1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10；(2)y ′＝(lg x )′＝

；1

x ln 10

(3)y ′＝

＝－；(4)y ′＝()′＝；(5)∵y ＝2

1

x ln 12

1x ln 24x 3344x (

sin x 2＋cos x 2)

－1＝sin 2＋2sin cos ＋cos 2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .

x 2x 2x 2x

2

练习 求下列函数的导数：(1)y ＝

x ；(2)y ＝x ；(3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg ；(5)y ＝2cos 2－1.(1e )(110)

3x x 2解：(1)y ′＝

′＝x ln ＝－＝－e －x ；(2)y ′＝′＝

[(1

e

)x ](1e )

1e 1e

x [(110)x

](1

10

)

x ln

＝＝－10－x ln 10；(3)∵y ＝lg 5是常数函数，∴y ′＝(lg 5)′110－ln 1010

x ＝0；

(4)∵y ＝3lg ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝；(5)∵y ＝2cos 2－1＝cos 3x 1x ln 10x

2

x ，

∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .

题型二 利用导数的运算法则求函数的导数[例2]　求下列函数的导数：

(1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sin cos ；(3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝.

x 2x 2e

x ＋1e x －1

[解]　(1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x .(2)∵y ＝x －sin x ，∴y ′＝x ′－(sin x )′＝1－cos x .

12121

2(3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋

.

1

x ln 3

(4)y ′＝＝

＝

(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′

(e x －1)

2e x (e x －1)－(e x ＋1)e x

(e x －1)

2

.

－2e x (e x －1)2

练习 求下列函数的导数：(1)y ＝；(2)y ＝x sin x ＋

；(3)y ＝

＋；(4)y ＝lg x －.

cos x

x

x 1＋

x 1－

x 1－x 1＋

x

1x 2解：(1)y ′＝′＝＝＝－

(cos x x )

(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2－x ·sin x －cos x

x 2.

x sin x ＋cos x

x 2

(2)y ′＝(x sin x )′＋()′＝sin x ＋x cos x ＋

.

x 12

x (3)∵y ＝＋＝＝－2，∴y ′＝′＝

(1＋x )21－x (1－x )21－x 2＋2x

1－x 41－x (

41－x －2)

＝

.

－4(1－x )′(1－x )

2

4(1－x )

2