对有限元方法的认识

我对有限元方法的认识

1有限元法概念

有限元方法（The Finite Element Method, FEM）是计算机问世以后迅速发展起来的一种分析方法。每一种自然现象的背后都有相应的物理规律，对物理规律的描述可以借助相关的定理或定律表现为各种形式的方程（代数、微分、或积分）。这些方程通常称为控制方程（Governing equation）。

针对实际的工程问题推导这些方程并不十分困难，然而，要获得问题的解析的数学解却很困难。人们多采用数值方法给出近似的满足工程精度要求的解答。

有限元方法就是一种应用十分广泛的数值分析方法。

有限元方法是处理连续介质问题的一种普遍方法，离散化是有限元方法的基础。

这种思想自古有之：古代人们在计算圆的周长或面积时就采用了离散化的逼近方法：即采用内接多边形和外切多边形从两个不同的方向近似描述圆的周长或面积，当多边形的边数逐步增加时近似值将从这两个方向逼近真解。

近年来随着计算机技术的普及和计算速度的不断提高，有限元分析在工程设计和分析中得到了越来越广泛的重视，已经成为解决复杂的工程分析计算问题的有效途径，现在从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算，其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器、国防军工、船舶、铁道、石化、能源、科学研究等各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃。

国际上早在 60 年代初就开始投入大量的人力和物力开发有限元分析程序。“有限单元”是由Clough R W于1960年首次提出的。但真正的有限元分析软件是诞生于 70 年代初期，随着计算机运算速度的提高，内、外存容量的扩大和图形设备的发展，以及软件技术的进步，发展成为有限元分析与设计软件，但初期其前后处理的能力还是比较弱的，特别是后处理能力更弱。

到 70 年代中期有限元界的先导就在有限元软件中引入了图形技术及交互式操作方式，使有限元的前后处理进入一个崭新的历史阶段。此时，用户就可以从繁琐的数据中解放出来。

到了 80 年代，随着 PC 机的发展，有限元程序开始从大中型计算机向小型、微型机上移植，并努力保持有限元软件在各种硬件平台上具有完全统—的用户界面。

进入九十年代后，随着计算机软硬件的飞速发展，线性、非线性有限元分析方法的日趋完善，有限元分析已从小规模线性问题转向大规模线性、非统性分析，从单个物理场分析转向多种物理场之间耦合的大规模线性、非线性分析。目前，国外大型通用有限元软件基本上是一个功能强大灵活的设计分析及优化软件包。它可浮动运行于从 PC 机、NT 工作站、 UNIX 工作站直至巨型机的各类计算机及操作系统中，数据文件在其所有的产品系列和工作平台上均兼容。

有限元法，是一种求解数学、物理问题的数值方法。其思想是将原结构划分为许多单元，用这些离散单元的集合体代替原结构，用近似函数表示单元内的真实场变量，从而给出离散模型的数值解。在众多数学家的共同努力下，这种方法摆脱了各种各样的工程背景而成为一种具有普遍意义的数学方法。

从选择未知量的角度看，有限元方法分为三类：位移法，力法和混合法。因位移法条理清晰，易于实现计算自动化，故应用较广。

2有限元法的基本步骤

有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为：

(1)建立积分方程，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式。

(2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。

(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。

(4)单元分析，获得含有待定系数(即单元中各节点的参数值)的代数方程组——单元有限元方程。

(5)总体合成，在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。

(6)边界条件，边界条件分为本质边界条件、自然边界条件、混合边界条件。自然边界条件:一般在积分表达式中可自动得到满足。本质边界条件和混合边界条件:需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。

(7)解有限元方程，根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。

简单来说，有限元的基本步骤为：结构离散，单元分析，总体分析，数值求解。

3有限元模型建立、网格划分及求解

3．1有限元模型建立

有限元模型的建立可分为直接法和间接法（也称实体建模）。

直接法是直接根据机械结构的几何外形建立节点和元素，此法仅仅适用于简单的或有特殊要求的结构系统。

简单结构如上图

间接法是通过点、线、面、体积，先建立几何模型，再进行实体网格划分，以完成有限元模型的建立过程。

大部分的有限元分析模型都用实体模型建模。ANSYS以数学的方式表达结构的几何形状，用于在里面填充节点和单元。此法首先要建立几何实体，故又称实体建模。

从最低阶到最高阶，ANSYS实体建模图元的层次关系为：

●关键点（Keypoints）；

●线（Lines）；

●面（Areas）；

●体（Volumes）；

如果低阶的图元连在高阶图元上，则低阶图元不能删除。

实体建模的建立方法有：

1. 由下往上法（bottom-up Method）由建立最低单元的点到最高单元的体积，即建立点，再由点连成线，然后由线组合成面积，最后由面积组合建立体积；

2. 由上往下法（top-down method）及布尔运算命令一起使用。此方法直接建立较高单元对象，其

所对应的较低单元对象一起产生，对象单元高低顺序依次为体积、面积、线段及点。然后利用布尔运算为对象相互加、减、组合等以得到实体。

多数情况下，实体建模是这两种方法混合使用。

3．2有限元网格划分

几何实体模型并不参与有限元分析。所有施加在几何实体边界上的载荷或约束必须最终传递到有限元模型上（节点或单元上）进行求解。用有限元进行结构分析时，首先应该对结构的几何模型进行网格划分。由几何模型创建有限元模型的过程叫作网格划分（meshing)。当计算方法和边界条件确定以后，几何模型网格划分好坏，直接影响计算结果的准确性。通常有这样的说法：边界条件决定计算结果正确与否；网格划分决定计算结果的精确程度。因此，几何模型网格划分是有限元结构分析的重要环节。

网格划分可以从以下几个方面考虑。

（1）单元类型

对于梁结构，在两个节点之间可根据需要划分多个单元。但要注意：如果想得到中间节点的挠度，需将梁结构划分偶数等分。对于拉杆、拉索，在两个节点之间，一定不要再划分单元，即两节点之间只用一个单元，如果划分几个单元反而不能描述拉杆、拉索的真实变形。

对于面或体结构网格划分时，尽量采用高精度单元，不采用常应变单元。如果为了模拟复杂边界，对于平面尽量采用6节点三角形单元或8节点四边形单元，不采用3节点三角形单元或4节点四边形单元；对于四面体尽量采用10节点单元，不采用4节点单元；对于五面体尽量采用9节点单元或15节点单元，不采用6节点单元；对于六面体尽量20节点单元，不采用8节点单元。当然这些情况应该具体问题灵活处理，并不是绝对固定的。

（2）面或体单元形态

1）网格划分时，单元面内角度的变化用扭曲度描述，它代表了单元面内的扭转和面外翘曲程度。不同单元的扭曲度不同，其值由经验确定。

2）网格划分时,单元各边之间的比例不能太大，对于线性单元（例如：4节点四边形单元、8节点六面体单元等）要求小于3；对于二次单元（例如：8节点四边形单元、20节点六面体单元等）要求小于10等等。

（3）面或体单元大小

标准单元的边长通常以几何模型的最小尺寸确定，即如果几何模型的厚度是结构的最小尺寸，那么标准单元的边长至少应与这个厚度相当。高应力区和应力集中区的单元应该细分，单元大小取决于计算精度要求。

（4）面或体单元过渡

1）从小单元到大单元过渡时，应使同一节点所连接的单元不致相差太大，避免突然过渡现象。通常用计算结果调整，保证同一节点所连接的单元精度值至少在0.1以下。单元精度值根据单元内节点应力与节点平均应力的误差计算。

2）难于过度处最好使用过渡单元，过渡单元的使用要比用同一单元勉强过渡的计算结果要好。例如：对于复杂体结构间的过渡，最好使用“金子塔”单元过渡。