数字图像处理与分析 第3章 图像变换
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1 2
幅值函数（傅里叶谱） 相角
I (u ) (u ) arctan R (u )
能量谱或能量谱：R 2 (u ) I 2 (u ) ＋
3.1.1 一维傅里叶变换
一维（连续）傅里叶变换
例1 f ( x ) 是一门函数 ： A f ( x) 0 解： F (u ) (0 ≤ x ≤ X ) (x ≥ X ) f ( x )e -j2 πux dx Ae j2 πux dx A e j2πuX 1 j2πu e jπuX 尤拉公式： x sin 1 (e jx e jx ) 2j 求它的傅里叶变换
u 0 v 0
N 1
N 1
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
F (u , v) Fx {Fy [ f ( x, y )]} Fy {Fx [ f ( x, y )]} f ( x, y ) Fu 1{Fv 1[ F (u, v)]} Fv 1{Fu 1[ F (u, v)]}
y0 0
0
0
A
x0
exp[ j2πux ]dx
exp[ j2πvy ]dy
sin(πux0 ) -jπux0 sin(πvy0 ) -jπvy0 Ax0 y0 e e πux0 πvy0 傅里叶谱： (u , v ) Ax0 y0 F sin(πux0 ) sin(πvy0 ) πux0 πvy0
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
8．离散卷积定理
其二维离散卷积： f e ( x, y ) * g e ( x, y ) f e (m, n) g e ( x m, y n)
m0 n 0 M 1 N 1
式中：x 0,1, 2, M 1 周期：M * N
y 0,1, 2, N 1;
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
基本性质：
1.可分离性
1 F ( u, v ) 2 N
e-j2πux / N f ( x, y )e-j2πvy / N
x 0 y 0
N 1
N 1
f ( x, y ) e-j2πux / N F (u, v )e j2πvy / N
频率域信号 => 傅里叶反变换 => 输出信号
函数 F ( f )
函数 f (t )
3.1.1 一维傅里叶变换
一维（连续）傅里叶变换
条件：如果实变量函数f ( x) 是连续可积的，即
f ( x) dx , 且F u 是可积的，则傅里叶变换对一定存在。
一维傅里叶变换对表示为： F f ( x) F (u ) F
f ( x, y)
x 0 y 0
N 1 N 1
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
8．离散卷积定理
f ( x, y ) * g ( x, y ) F (u, v) G (u, v) f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) * G (u, v)
为防止卷积后发生交叠误差，需对离散的二维函数的定 义域加以扩展
2
3.1.2 二维离散傅里叶变换
二维连续函数 f(x,y) 的傅里叶变换
A, 例2：f ( x, y ) 0, F (u , v ) 0 ≤ x ≤ x0 , 0 ≤ y ≤ y0 其它
x0 0
y0
f ( x, y ) exp[-j2π(ux vy )]dxdy A exp[ j2π(ux vy )]dxdy
变换在一个周期内进行。M，N表示图像f(x,y)在x，y方 向上具有大小不同的阵列。离散信号频谱、相谱、幅 谱分别表示为： F (u, v) F (u, v) e j (u ,v ) R(u, v) jI (u, v)
(u, v) arctan
I (u, v) R(u, v)
F (u, v) [ R 2 (u, v) I 2 (u, v)]1/ 2
f e ( x, y ) * g e ( x, y ) Fe (u, v) Ge (u, v) f e ( x, y ) g e ( x, y ) Fe (u, v) * Ge (u, v)
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
3.1.2 二维离散傅里叶变换
二维连续函数
F (u , v)
f ( x, y )的傅里叶变换
f ( x, y ) exp[ j2π(ux vy )]dxdy
f ( x, y )
F (u , v) exp[ j2π(ux vy )]dudv
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
8．离散卷积定理
M≥A C 1 才避免交叠误差 当卷积周期 N≥B D 1 为此将f ( x, y )和g ( x, y )用整补0的方法扩充为以下的二维周期序列 f ( x, y ) f e ( x, y ) 0 g ( x, y ) g e ( x, y ) 0 0 x≤A 1 ≤ A x≤M 1 ≤ 0 x≤C 1 ≤ C≤x≤M 1 0 y≤B 1 ≤ B≤y≤N 1 0 y≤D 1 ≤ D≤y≤N 1
1 F (u , v) N F ( x, v)e -j2πux / N
x 0 N 1
1 其中：F ( x, v) N [ N
y 0
N 1
f ( x, y )e -j2πvx / N ]
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
2．平移性 ：
f ( x, y )e j2π(u0 x v0 y ) / N F (u u0 , v v0 )
傅里叶变换的相角、傅里叶谱或功率谱可由下式给出： (u , v) arctan[ I (u, v) / R(u, v)] F (u , v) [ I 2 (u , v) R 2 (u , v)]1/ 2 E (u , v) F (u , v) I 2 (u , v) R 2 (u , v)
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
4．共轭对称性
若 或
f * ( x, y ) f ( x, y ) f ( x , y ) F ( u , v )
则 存在 F * (u , v ) F (u , v )
-N/2
一个周期
N/2
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
7．平均值
1 二维离散函数的平均值： ( x, y ) 2 f N 将u v 0代入离散傅立叶公式： 1 F (0，＝ 2 0) N 0) f ( x, y) f ( x, y)＝F (0，
x 0 y 0 N 1 N 1
A
0
X
3.1.1 一维傅里叶变换
一维离散傅里叶变换
如果x(n)为一数字序列，则其离散傅里叶正反变换： 1 X ( m) N
N 1 m0
x(n)e
n 0 j
N 1
j
2πmn N
其中m 0,1, N 1 其中n 0,1, N 1
x(n) X (m)e
2πmn N
X
0
X A e j2πux 0 j2πu A e jπuX e jπuX j2πu A sin(πuX )e jπuX πu
该傅里叶谱是一 sin c (u )函数
3.1.1 一维傅里叶变换
一维（连续）傅里叶变换
f ( x)
高通滤波：在频率域中抑制低频信号
3.1.1 一维傅里叶变换
一维（连续）傅里叶变换
傅里叶变换是一种数学变换（正交变换），可以把
一维信号（或函数）分解成不同幅度的具有不同频
率的正弦和余弦信号（或函数）。 输入信号 => 傅里叶（正）变换 => 频率域信号 函数 f (t ) 函数 F ( f )
第3章 图像变换
3.1 傅里叶变换 3.2 离散余弦变换 3.3 小波变换及其应用
第3章 图像变换
信号处理方法： 时域分析法 频域分析法 特点：算术运算次数大大减少，可采用二维数字滤波技术 进行所需的各种图像处理
第3章 图像变换
频率通常是指某个一维物理量随时间变化快慢程度
的度量。
ห้องสมุดไป่ตู้ 例如
交流电频率为50～60Hz（交流电压）
中波某电台1026kHz（无线电波）
第3章 图像变换
图像是二维信号，其坐标轴是二维空间坐标轴，
图像本身所在的域称为空间域（Space Domain）。
图像灰度值随空间坐标变化的快慢也用频率来度量，称为空
间频率（Spatial Frequency）。
第3章 图像变换
每一种变换都有自己的正交函数集，引入不同的变换 傅里叶变换 余弦变换 正弦变换
5．旋转不变性
x r cos u w cos
y r sin v w sin
f ( x, y ) f (r , ),F (u, v) F ( w, )
例：
f (r , 0 ) F (, 0 )
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
6．分配性和比例性
傅立叶变换和反变换对于加法可以分配，而对乘法不行 F f1 ( x, y ) f 2 ( x, y ) F { f1 ( x, y )} F { f 2 ( x, y )} F f1 ( x, y ) f 2 ( x, y ) F { f1 ( x, y )} F { f 2 ( x, y )} 比例性： af ( x, y ) aF (u , v ) 1 u v f ( ax, by ) F( , ) ab a b 在空间比例尺寸的展宽，相应于频域比例尺度的压缩， 1 其幅值也减少为原来的 ab
图像中心化
u0 v0 N / 2 时
f ( x, y)(1)
x y
N N F (u , v ) 2 2
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
3．周期性
F (u, v) F (u aN , v bN ) f ( x, y ) f ( x aN , y bN )
1
f ( x) exp[ j2πux ]dx
F (u )
f ( x) F (u ) exp[ j2πux ]du
j 1,
u—频率变量
3.1.1 一维傅里叶变换
一维（连续）傅里叶变换
f ( x)满足只有有限个间断点、有限个极值和 绝对可积的条件，并且F (u )也是可积的 复数形式 指数形式 F (u ) R (u ) jI (u ) F (u ) F (u ) e j ( u ) ＝ F (u ) ＝ R 2 (u ) I 2 (u ) ＋
图像变换 哈达玛变换
沃尔什变换 K-L变换
小波变换
3.1 傅里叶变换
3.1.1 一维傅里叶变换 3.1.2 二维离散傅里叶变换 3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 3.1.4 快速傅里叶变换
3.1.5 傅里叶变换在图像处理中的应用
3.1 傅里叶变换
傅里叶变换
利用傅里叶变换的特性，将时间信号正变换到频率 域后进行处理（例如低通、高通或带通），然后再 反变换成时间信号，即可完成对信号的滤波。 低通滤波：在频率域中抑制高频信号
3.1.2 二维离散傅里叶变换
1 F (u , v ) MN
M 1 N 1
x 0 y 0
f ( x, y )e[-j2π(ux / M vy / N )]
f ( x, y ) F (u , v)e[ j2π( ux / M vy / N )]
u 0 v 0
M 1 N 1
幅值函数（傅里叶谱） 相角
I (u ) (u ) arctan R (u )
能量谱或能量谱：R 2 (u ) I 2 (u ) ＋
3.1.1 一维傅里叶变换
一维（连续）傅里叶变换
例1 f ( x ) 是一门函数 ： A f ( x) 0 解： F (u ) (0 ≤ x ≤ X ) (x ≥ X ) f ( x )e -j2 πux dx Ae j2 πux dx A e j2πuX 1 j2πu e jπuX 尤拉公式： x sin 1 (e jx e jx ) 2j 求它的傅里叶变换
u 0 v 0
N 1
N 1
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
F (u , v) Fx {Fy [ f ( x, y )]} Fy {Fx [ f ( x, y )]} f ( x, y ) Fu 1{Fv 1[ F (u, v)]} Fv 1{Fu 1[ F (u, v)]}
y0 0
0
0
A
x0
exp[ j2πux ]dx
exp[ j2πvy ]dy
sin(πux0 ) -jπux0 sin(πvy0 ) -jπvy0 Ax0 y0 e e πux0 πvy0 傅里叶谱： (u , v ) Ax0 y0 F sin(πux0 ) sin(πvy0 ) πux0 πvy0
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
8．离散卷积定理
其二维离散卷积： f e ( x, y ) * g e ( x, y ) f e (m, n) g e ( x m, y n)
m0 n 0 M 1 N 1
式中：x 0,1, 2, M 1 周期：M * N
y 0,1, 2, N 1;
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
基本性质：
1.可分离性
1 F ( u, v ) 2 N
e-j2πux / N f ( x, y )e-j2πvy / N
x 0 y 0
N 1
N 1
f ( x, y ) e-j2πux / N F (u, v )e j2πvy / N
频率域信号 => 傅里叶反变换 => 输出信号
函数 F ( f )
函数 f (t )
3.1.1 一维傅里叶变换
一维（连续）傅里叶变换
条件：如果实变量函数f ( x) 是连续可积的，即
f ( x) dx , 且F u 是可积的，则傅里叶变换对一定存在。
一维傅里叶变换对表示为： F f ( x) F (u ) F
f ( x, y)
x 0 y 0
N 1 N 1
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
8．离散卷积定理
f ( x, y ) * g ( x, y ) F (u, v) G (u, v) f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) * G (u, v)
为防止卷积后发生交叠误差，需对离散的二维函数的定 义域加以扩展
2
3.1.2 二维离散傅里叶变换
二维连续函数 f(x,y) 的傅里叶变换
A, 例2：f ( x, y ) 0, F (u , v ) 0 ≤ x ≤ x0 , 0 ≤ y ≤ y0 其它
x0 0
y0
f ( x, y ) exp[-j2π(ux vy )]dxdy A exp[ j2π(ux vy )]dxdy
变换在一个周期内进行。M，N表示图像f(x,y)在x，y方 向上具有大小不同的阵列。离散信号频谱、相谱、幅 谱分别表示为： F (u, v) F (u, v) e j (u ,v ) R(u, v) jI (u, v)
(u, v) arctan
I (u, v) R(u, v)
F (u, v) [ R 2 (u, v) I 2 (u, v)]1/ 2
f e ( x, y ) * g e ( x, y ) Fe (u, v) Ge (u, v) f e ( x, y ) g e ( x, y ) Fe (u, v) * Ge (u, v)
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
3.1.2 二维离散傅里叶变换
二维连续函数
F (u , v)
f ( x, y )的傅里叶变换
f ( x, y ) exp[ j2π(ux vy )]dxdy
f ( x, y )
F (u , v) exp[ j2π(ux vy )]dudv
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
8．离散卷积定理
M≥A C 1 才避免交叠误差 当卷积周期 N≥B D 1 为此将f ( x, y )和g ( x, y )用整补0的方法扩充为以下的二维周期序列 f ( x, y ) f e ( x, y ) 0 g ( x, y ) g e ( x, y ) 0 0 x≤A 1 ≤ A x≤M 1 ≤ 0 x≤C 1 ≤ C≤x≤M 1 0 y≤B 1 ≤ B≤y≤N 1 0 y≤D 1 ≤ D≤y≤N 1
1 F (u , v) N F ( x, v)e -j2πux / N
x 0 N 1
1 其中：F ( x, v) N [ N
y 0
N 1
f ( x, y )e -j2πvx / N ]
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
2．平移性 ：
f ( x, y )e j2π(u0 x v0 y ) / N F (u u0 , v v0 )
傅里叶变换的相角、傅里叶谱或功率谱可由下式给出： (u , v) arctan[ I (u, v) / R(u, v)] F (u , v) [ I 2 (u , v) R 2 (u , v)]1/ 2 E (u , v) F (u , v) I 2 (u , v) R 2 (u , v)
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
4．共轭对称性
若 或
f * ( x, y ) f ( x, y ) f ( x , y ) F ( u , v )
则 存在 F * (u , v ) F (u , v )
-N/2
一个周期
N/2
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
7．平均值
1 二维离散函数的平均值： ( x, y ) 2 f N 将u v 0代入离散傅立叶公式： 1 F (0，＝ 2 0) N 0) f ( x, y) f ( x, y)＝F (0，
x 0 y 0 N 1 N 1
A
0
X
3.1.1 一维傅里叶变换
一维离散傅里叶变换
如果x(n)为一数字序列，则其离散傅里叶正反变换： 1 X ( m) N
N 1 m0
x(n)e
n 0 j
N 1
j
2πmn N
其中m 0,1, N 1 其中n 0,1, N 1
x(n) X (m)e
2πmn N
X
0
X A e j2πux 0 j2πu A e jπuX e jπuX j2πu A sin(πuX )e jπuX πu
该傅里叶谱是一 sin c (u )函数
3.1.1 一维傅里叶变换
一维（连续）傅里叶变换
f ( x)
高通滤波：在频率域中抑制低频信号
3.1.1 一维傅里叶变换
一维（连续）傅里叶变换
傅里叶变换是一种数学变换（正交变换），可以把
一维信号（或函数）分解成不同幅度的具有不同频
率的正弦和余弦信号（或函数）。 输入信号 => 傅里叶（正）变换 => 频率域信号 函数 f (t ) 函数 F ( f )
第3章 图像变换
3.1 傅里叶变换 3.2 离散余弦变换 3.3 小波变换及其应用
第3章 图像变换
信号处理方法： 时域分析法 频域分析法 特点：算术运算次数大大减少，可采用二维数字滤波技术 进行所需的各种图像处理
第3章 图像变换
频率通常是指某个一维物理量随时间变化快慢程度
的度量。
ห้องสมุดไป่ตู้ 例如
交流电频率为50～60Hz（交流电压）
中波某电台1026kHz（无线电波）
第3章 图像变换
图像是二维信号，其坐标轴是二维空间坐标轴，
图像本身所在的域称为空间域（Space Domain）。
图像灰度值随空间坐标变化的快慢也用频率来度量，称为空
间频率（Spatial Frequency）。
第3章 图像变换
每一种变换都有自己的正交函数集，引入不同的变换 傅里叶变换 余弦变换 正弦变换
5．旋转不变性
x r cos u w cos
y r sin v w sin
f ( x, y ) f (r , ),F (u, v) F ( w, )
例：
f (r , 0 ) F (, 0 )
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
6．分配性和比例性
傅立叶变换和反变换对于加法可以分配，而对乘法不行 F f1 ( x, y ) f 2 ( x, y ) F { f1 ( x, y )} F { f 2 ( x, y )} F f1 ( x, y ) f 2 ( x, y ) F { f1 ( x, y )} F { f 2 ( x, y )} 比例性： af ( x, y ) aF (u , v ) 1 u v f ( ax, by ) F( , ) ab a b 在空间比例尺寸的展宽，相应于频域比例尺度的压缩， 1 其幅值也减少为原来的 ab
图像中心化
u0 v0 N / 2 时
f ( x, y)(1)
x y
N N F (u , v ) 2 2
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
3．周期性
F (u, v) F (u aN , v bN ) f ( x, y ) f ( x aN , y bN )
1
f ( x) exp[ j2πux ]dx
F (u )
f ( x) F (u ) exp[ j2πux ]du
j 1,
u—频率变量
3.1.1 一维傅里叶变换
一维（连续）傅里叶变换
f ( x)满足只有有限个间断点、有限个极值和 绝对可积的条件，并且F (u )也是可积的 复数形式 指数形式 F (u ) R (u ) jI (u ) F (u ) F (u ) e j ( u ) ＝ F (u ) ＝ R 2 (u ) I 2 (u ) ＋
图像变换 哈达玛变换
沃尔什变换 K-L变换
小波变换
3.1 傅里叶变换
3.1.1 一维傅里叶变换 3.1.2 二维离散傅里叶变换 3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 3.1.4 快速傅里叶变换
3.1.5 傅里叶变换在图像处理中的应用
3.1 傅里叶变换
傅里叶变换
利用傅里叶变换的特性，将时间信号正变换到频率 域后进行处理（例如低通、高通或带通），然后再 反变换成时间信号，即可完成对信号的滤波。 低通滤波：在频率域中抑制高频信号
3.1.2 二维离散傅里叶变换
1 F (u , v ) MN
M 1 N 1
x 0 y 0
f ( x, y )e[-j2π(ux / M vy / N )]
f ( x, y ) F (u , v)e[ j2π( ux / M vy / N )]
u 0 v 0
M 1 N 1