3.3.1几何概型教案

《3.3.1几何概型》教学设计

一、教学目标

1.知识与技能

（1）正确理解几何概型的概念；

（2）掌握几何概型的概率公式并能进行简单的计算与应用：

P （A ）=积）

的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； （3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型.

2.过程与方法

（1）通过经历提出问题、收集、处理数据和预测的过程，使学生将实际生活中的概率模型转化为应用数学来解决问题，发展学生的抽象思维和应用意识；

（2）通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用几何概型来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力.

3.情感态度与价值观

（1）通过活动参与，使学生积极参与数学学习活动，让学生在数学活动中获得成功的体验，建立自信心；

（2）通过对实例和习题的学习，使学生体验数学活动充满着探索与创造，激发学生学习数学的兴趣，并能从中感受数学的严谨性，形成实事求是的态度.

二、教学重难点

1.重点：几何概型概念的形成及其公式的应用.

2.难点：几何概型的应用，如何把实际问题转化为几何概型.

三、教材分析

学习几何概型之前学生学习了概率的统计定义以及古典概型的定义和计算公式，这些内容虽然可以帮助学生解决一些实际生活中的概率问题，可是古典概型的使用是有限的，它只能解决等可能事件只有有限个时的概率，而对于生活中同样也比较常见的无限个等可能事件的情况却束手无策.

几何概型正是古典概型的拓展和延伸，这样才能使学生形成完整的知识网络体系，使数学学习更加紧密结合学生的实际生活，体现了学习数学的价值，同时又可以培养学生学习数学的兴趣和积极性.

几何概型是将古典概型从点到线、面、体的拓展，是从有限到无限的延伸，这体现了知识的连续性和层次性，同时也为后续内容做好铺垫，因此本节内容在单元中起到了承上启下的作用. 例题的选择采用长度、面积、体积的三维梯度设计，便于学生对常见题型的归纳总结.

四、教学过程

1.创设情境，引入新课

情境1：（幻灯片）“双旦节”活动细则：从12月20日起，凡在本超市当天购物累计满100元的顾客可以按照以下方案抽奖.

方案1：同时掷两枚骰子一次，两枚骰子的点数之和等于7，即可获得价值50元的精美礼品一个.

问题1：方案1中获得精美礼品的概率是多少？

师生互动：教师以生活中的实例来创设情境，让学生去选择自己认为适合的方法. 学生通过独立思考、自主学习，计算方案获得奖品的概率. 引导学生复习古典概型的计算公式和两个特征.

情境2：将抽奖方式换成转盘游戏，如图1所示，按照以下方式抽奖：

方案2：随意转动转盘甲，转到蓝色区域，即可获得价值50元的精美礼品一个.

问：如果让你来玩这个游戏，你获得奖品的概率？

甲

问题2：这个游戏中可不可以像上一个游戏一样，用古典概型的计算方法算出赢的概率呢？为什么？

【设计意图】这两个情境不仅使学生复习了古典概型，更使学生加深对随机现象的理解，消除日常生活中的一些错误认识，体会用科学的方法去观察世界和认识世界，同时也为几何概型的引入做好铺垫. 采用启发式学习法，让学生自己去发现问题所在，这样可以激发学生学习数学的求知欲.

2．初步探索，展示内涵

探究1：（幻灯片）将一根长度为20 cm 的线绳AB ，从中任取一点剪断，求使剪开的两段线绳长度都不小于5 cm 的概率.

问题1：同学们将用怎样的几何量来描述这个事件的基本事件空间呢？

分析：可以用线段长度的比值来求这个概率，即记“剪开的两段线绳长度都不小于5 cm ”为事件W ，C 、D 分别为AB 的四等分点，如图2所示，虽然剪刀于每一个位置都是等可能的，可是基本事件是无限个，所以这个例子不属于古典概型.

A C D B

图2

所以P （W ）=2

12010==的长度的线段长度AB CD 【设计意图】教师提出问题，使学生通过合作交流的学习方式动手实践，在实践中探索解题的方法. 虽然学生没学过几何概型的计算公式，但是可以用与之相关的几何量—线段长度的比值来描述所求事件的概率. 借此为几何概型定义和特点的引出作铺垫.

这与古典概型的解题思路是相同的. 只不过在古典概型中概率的比是个数的比，而对于这类题型，可以把线段看成是无限个点组成的集合，学生就更容易理解了.

探究2：在情境2的转盘游戏中，指针落在蓝色区域的概率是如何计算的？你将用怎样的几何量来描述这个事件的基本事件空间呢？

法1：利用红色区域所占的弧长的比值求解， P=2

1=整个圆的弧长红色区域的弧长 法2：利用红色区域所占的角度的比值求解，

P=2

1=整个圆的圆周角红色区域的圆周角. 【设计意图】教师组织学生分组讨论，提高学生自主探究问题、解决问题的能力，使学生积极参与数学学习活动，在数学活动中获得成功的体验，建立自信心. 使学生体会几何概型与古典概型“比例解法”的相同之处，为归纳出几何概型的概念作铺垫. 通过学生的求解，发现指针落在红色区域的概率是相等的.

变式探究：若将同样的圆像（图3）一样八等分，那么请同学们计算一下，转动转盘而指针落在在深色区域的概率.

图3

根据前面的比例关系，不难求出图2中，指针落在深色区域的概率同样也是2

1. 【设计意图】 这个例子说明利用比例关系求解概率的方法与几何图形的形状无关，只与几何度量的大小有关.

探究3：四边形ABCD 为长方形，AB=2，BC=1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为多少？ 记“取到的点到O 的距离大于1”为事件A ，则该事件发生

的概率等于半圆面积与长方形总面积的比值，即

422A )(ππ===的面积试验的全部结果所构成的区域面积构成事件A P 探究4：在一个器皿中装有500 ml 的水，水中有一只草履虫，现在从中随即取出2 ml 水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率.

分析：草履虫在水中的位置是任意的，因此虽然是等可能事件，可是草履虫的位置有无限多个，故也不属于古典概型.

记“在取出的2 ml 水样中有草履虫”为事件E ，则该事件发生的概率等于取出水的体积与器皿中水的总体积的比值，即P(E)=004.0500

2=. 探究3中设计了三维空间的体积的实例让学生观察和分析，使学生体会事件的概率只与水这个几何量的体积比例有关，而与几何量的位置和形状无关. 变式探究：若将题设中的“器皿”改为“正方体器皿”或是“圆柱体水杯”，那么发现草履虫的概率是多少？为什么？

概率仍然0.004．只要体积不变，概率就不变.

（1）几何概型的定义：事件A 理解为区域的某一子区间A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型.

（2）几何概型的概率公式：P(A)=积）

的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； （3）几何概型的特点：（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等． B

D C