电路分析基础第五版第7章

+ iC
iR
源与RC电路接通，引起 uC变化，产生响应。
Is
t=0
uC-
C
R
1、定性分析
uC (0 ) 0
uC (0 ) 0
iR = 0
在t=0+时， 由于C
duC dt
|t0
I
s
,
所以
duC dt
|t0
Is C
uC iR iC iR Is , iC 0
电容如同开路，充电停止， 电容电压几乎不再变化， Is
t=0
+ iC uC- C
iR R
即：duC dt
0
这时电容电压uC RIs，称 电路达到了直流稳态。
直流稳态：当直流电路中各个元件的电压和电流 都不随时间变化时，称电路进入了直流稳态。
2、数学分析 (1) t 0 , uC (0 ) 0
+ iC
iR
Is
t=0
uC- C
R
(2) t 0 , uC (0 ) uC (0 ) 0
iL (0 ) iL (0 ) uC (0 ) uC (0 )
3、通过已知的iL(0+)和uC(0+)画出0+等效电路，求 出电路中其它的电流、电压，称之为0+等效电路法。 0+等效电路：
把t=0+时的电容电压、电感电流分别用独立电压 源uC(0+)和独立电流源iL(0+)等效替代，原电路中 独立源取t=0+时的值，其它元件照搬。
态电路。
牢固掌握二阶动态电路的分析方法。
引例：闪光灯电路
日常生活中需要闪充灯的场合非常多。在光线比较暗 的条件下照相，要用闪光灯照亮场景以获取清晰的图 像。另外，高的天线塔、建筑工地和安全地带等场合 也需要使用闪光灯作为危险警告信号。 在设计闪充灯电路时，必须根据实际需要考虑闪光控 制方式(手动或自动)、闪烁方式(时间和频率)、闪光灯 安装方式(临时或固定)以及供电方式等因素。
若初始状态增大倍，则零输入响应也相应地增 大倍，零输入响应与初始状态成正比关系。
例1、如图所示电路在换路前已工作了很长时间，
求换路后的零输入响应电流i(t)和电压u0(t)。
解：uC
(0
)
60 60 40
200
120V
uC (0 ) uC (0 ) 120V
Req 60 80 / 2 100
uL(0 ) R2iL(0 ) 4V
i(0 )
Us R1
1.67A
is (0 ) i(0 ) iL (0 ) 0.67 A
例3、求如图所示电路中开关断开后的初始值 u关C(断0+开) 、前电iL(路0+)已、经iC工(0作+)、了u很L(长0+)时和间uR。2(0+) 。假设开
解：
零输入响应是在输入为零时，由非零初始状态
产生的，它取决于电路的初始状态和电路的特
性。因此在求解这一响应时，首先必须掌握电
容电压和电感电流的初始值，电路的特性是通
过时间常数来体现的。
零输入响应的通用公式：
f (t)
1t
f (0 )e , t 0
零输入比例性：
C ReqC
L L Req GeqL
例2、求如图所示电路中开关闭合后电感电流的初 始值iL(0+)、电感电压的初始值uL(0+)以及初始值 i(0+)和 is(0+)。假设开关闭合前电路已经工作了很 长时间。
解：首先求出 iL(0-) uL (0 ) 0
iL(0 )
Us R1 R2
1A
iL(0 ) iL(0 ) 1A
根据KVL R2iL (0 ) uL (0 ) 0
t 0
理论上要经过∞的时间uC(t)才能衰减为零值。 但工程上一般认为换路后，经过3~5时间过 渡过程即告结束。
时间常数的几何意义
在电容电压曲线上经过横坐标为t1的一点P做 切线与横轴交于t2 ，从而得到P点的次切距 （ t1 – t2 ），即等于时间常数。
t1
uC (t1 ) duC (t )
)
RiL
(t
)
0
令此方程的通解为 iL(t) Ae st
+
R uR -
S(t=0) +
IS= I0
L uL -
代入上式后有 (Ls R)Aest 0 特征根为 s R / L
根据 iL (0 ) iL (0 ) I0 以此代入 iL (t ) Ae st
则可求得积分常数 零输入响应电流为
A iL(0 ) I0
Rt
Rt
iL(t) iL(0 )e L I0e L
t 0
零输入响应电压为
uL(t)
L diL (t ) dt
Rt
RI0e L
RiL (t )
t 0
时间常数：
1t
iL(t) I0e
L GL R
t 0
1t
uL(t ) RI0e
t 0
三、总结
三、动态电路的方程和初始条件(初始值)
1. 过渡过程(瞬变过程)：动态电路的一个特征是当 电路的结构或元件的参数发生变化时，可能使电 路改变原来的工作状态，转变到另一个工作状态， 这种转变往往需要经历一个过程，在工程上称为 过渡过程。
2. 换路：由于电路中结构的改变(如电源的接通、 切断)或电路参数的突然变化所引起的电路变化， 并认为换路是在t=0时刻进行的。 t= 0-表示换路前 的最终时刻；t=0+表示换路后的最初时刻；t=0-到 t=0+换路经历的时间。 3. 初始条件(初始值) ：电路中所求解的变量在 t=0+时的值称为初始条件(初始值) 。
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
教学目标
建立并深刻理解动态电路的换路、瞬态和稳态，
电路的零输入、零状态和全响应等概念。
深刻理解由RLC组成的二阶电路不同动态响应
的形式（过阻尼、欠阻尼、临界阻尼、无阻尼） 物理机理及与RLC元件参数之间的关系。
牢固掌握动态电路的初始条件的求法。 牢固掌握并熟练运用“三要素”法分析一阶动
R2iL (0 )
R2 R1 R2
U0
uR2 (0+)
uL(0+)
iC(0+) R2
uC(0+)
iL(0+)
uL (0 ) uC (0 ) uR2 (0 ) 0
小结： 初始条件是电路中所求解的变量在 t=0+时的值。 1、在t=0-时的等效电路中求得iL(0-)或uC(0-) 2、利用换路定律求得iL(0+)或uC(0+)
0+等效电路：
把t=0+时的电容电压、电感电流分别用独立电压 源uC(0+)和独立电流源iL(0+)等效替代，原电路中 独立源取t=0+时的值，其它元件照搬。
例1、求如图所示电路 中开关闭合后电容电压 的初始值uC(0+)及各支 路电流的初始值i1(0+)、 i2(0+) 、iC(0+)。假设开 关闭合前电路已经工作 了很长时间。
uC (0 )
uC (0 )
R2 R1 R2
U0
iL(0 )
iL(0 )
U0 R1 R2
t=0+等效电路如图
S
R1 + uR2 -
U0
L
iL
uR2 (0+)
uL(0+)
iC(0+) R2
iL(0+)
R2
iC +
+C
uC
uL
-
-
uC(0+)
iC (0
)
iL (0
)
U0 R1 R2
uR2 (0 )
这样求得满足初始值的微分方程的解为
1t
1t
uC (t) uC (0 )e RC U0e RC
t 0
电路中的电流为
i(t)
C
duC (t ) dt
C
d dt
t
U0e RC
U0 R
t
e RC
时间常数： RC
t 0
t
uC (t) U0e
t 0
i(t)
U0
t
e
R
t 0时 ，uC (0) U0e0 U0 t 时 ，uC () U0e1 0.368U0
零输入响应电压
u(t )
Ldi dt
1
(0.15)(
100
)e
100 3
t
2
3
100 t
2.5e 3 V
t 0
直接用公式求解
求从电感L两端向右看，无源网络的等效电阻Req 列KVL方程
6i(t) 4[i(t) 0.1u(t)] u(t)
u(t ) 50 i(t ) 3
u(t ) 50 Req i(t ) 3
dt tt1
U0e
1
U
0
e
t1
在放电过程中，电容不断放出能量为电阻所 消耗；最后，原来储存在电容的电场能量全部为 电阻吸收而转换成热能。
时间常数愈小，放电过程愈快；反之，则愈慢。
二、RL电路的零输入响应
t 0 iL(0 ) I0
初始条件
iL
t 0 Ri(t) uL(t) 0
L
diL (t dt
解：首先求 uC(0-) t=0-时的等效电路如图 iC(0-) = 0
uC (0 ) U s 12V uC (0 ) uC (0 ) 12V
在0+等效电路中求其它参 数初始值。
t=0+等效电路如图
i1 (0
)
Us
uC R1
(0
)
0A
i2(0 )
uC (0 ) R2
Hale Waihona Puke Baidu
6m A
iC (0 ) i1 (0 ) i2 (0 ) 6m A
ReqC 1000.02106 2s
i(0 ) 120 / 100 1.2A
u0 (0 ) (1.2 / 2) 60 36V
故 i(t) 1.2e0.5106 t A
u0(t) 36e0.5106 tV
t 0 t 0
例2、如图所示电路, i(0+)=150mA, 求t>0时的响应u(t)。
4. 换路定律：在换路前后电容电流和电感电压 为有限值的条件下，换路前后瞬间电容电压和 电感电流不能跃变。即
uC (0 ) uC (0 )
iL(0 ) iL(0 )
5. 初始条件(初始值) 的求解方法
一个动态电路的独立的初始条件为电容电压uC(0+) 和电感电流iL(0+)，一般可以根据它们在t=0-时的 值（即电路发生换路前的状态） uC(0-)和iL(0-)确 定。该电路的非独立初始条件，即电阻的电压或 电流、电容电流、电感电压等则需要通过已知的 独立初始条件在“0+等效电路”中求得。
di(t )
Ri(t ) L dt uC (t ) us (t )
(2)
i(t ) C duC (t ) dt
d
2uC (t dt 2
)
R L
duC (t ) dt
1 LC
uC (t )
1 LC
us (t )
(3)
二、输入-输出方程：联系输入us(t)与输出uC(t)之 间关系的方程
d
解：对回路I列写KVL
6i(t) 4[i(t) 0.1u(t)] u(t)
u(t) Ldi dt 整理得
特征根为 s 100/ 3
di
0.3 10i(t ) 0
dt
故
100 t
i(t ) Ae 3
代入初始条件i(0+)=150mA，即得零输入响应电流
100 t
i(t ) 150e 3 mA t 0
t
100 t
i(t ) i(0 )e 150e 3 mA
Req 1
L 2 3 s Req 50 100
t 0
3
u(t )
L di
dt
100 t
2.5e 3
V
t 0
§7-3 一阶电路的零状态响应 零状态响应：动态电路仅由外施激励引起的响应。
一、RC电路的零状态响应
在t=0时开关打开，电流
2uC (t dt 2
)
R L
duC (t ) dt
1 LC
uC (t )
1 LC
us (t )
当求出uC(t)后，可应用元件的伏安关系求出电路中 其它元件的响应
i(t ) C duC (t ) dt
uR (t )
Ri(t )
RC
duC (t ) dt
uL (t)
L
di(t ) dt
LC
d
2uC (t ) dt 2
§7-2 一阶电路的零输入响应
零输入响应：动态电路在没 有外施激励时,由动态元件的 初始储能引起的响应。
一、RC电路的零输入响应
初始条件
t 0 uC (0 ) U0
t 0 Ri(t ) uC (t ) 0
i(t ) C duC (t ) dt
RC
duC (t dt
)
uC
(t)
0
RC电路的零输入响应微分方程为：
RC
duC (t) dt
uC
(t
)
0
令此方程的通解为 uC (t) Aest 代入上式后有
(RCs 1)Ae st 0
相应的特征方程为 RCs 1 0
特征根为 s 1/ RC
根据 uC (0 ) uC (0 ) U0 以此代入 uC (t ) Ae st 则可求得积分常数 A uC (0 ) U0
(3) t 0 , KCL : iC (t) iR (t) IS
iC
(t)
C
duC dt
,
iR(t)
1 R uC
得:C
duC dt
1 R uC
思考
闪充灯电路由哪些元件构成?
电路如何工作?元件参数如
何选择?
§7-1 动态电路的方程和初始条件
一、动态电路：含有动态元件的电路。
由于动态元件的电压与电流之间呈微分关系或 积分关系，所以根据KCL、KVL定律对动态电 路列出的方程是微分方程或积分微分方程。
uR (t ) uL (t ) uC (t ) us (t ) (1)