导数的应用一(一个极值点)
高等数学导数的应用
高等数学导数的应用高等数学中的导数是一个非常重要的概念，它不仅仅是一个数值上的表示，更是一种函数变化率的度量。
在实际生活和工程中，导数的应用非常广泛，以下将介绍一些高等数学导数的应用。
1. 切线和法线在曲线的某一点上，通过该点的曲线的切线是指与曲线在该点的切点相切的直线。
切线的斜率等于在该点处的导数。
因此，我们可以使用导数来确定曲线在任意点上的切线。
法线是与曲线在某一点相切且垂直于切线的直线。
法线的斜率等于切线的斜率的负倒数，即导数的倒数。
因此，导数还可以用于确定曲线在任意点上的法线。
应用导数来计算曲线上各点的切线和法线可以在物理学、工程学中的很多领域得到应用，比如建筑设计中的曲线道路的设计和医学中的曲线血管的研究等。
2. 极值问题在数学中，极值是函数在给定范围内取得的最大值或最小值。
通过导数可以确定函数的极值点。
具体来说，一个函数在极值点处的导数为零。
通过求导可以找到函数的每个极点，并通过对导数的符号进行分析，判断这些极点是极大值还是极小值。
极值问题在实际生活中的应用非常广泛，例如在经济学中，极值问题可以用于确定某个经济模型的最大利润或最小成本。
3. 凹凸性和拐点通过导数的二阶导数可以判断函数的凹凸性和拐点。
具体来说，如果一个函数在某一区间上的二阶导数大于零，则该函数是凸的；如果二阶导数小于零，则该函数是凹的。
在工程学和物理学中，例如在材料力学中，通过判断曲线的凹凸性，可以确定材料的变形状态，以及判断结构的强度和稳定性。
拐点是指函数曲线由凸向凹（或由凹向凸）转变的位置。
通过导数的二阶导数和零点可以确定曲线的拐点。
拐点在物理学、经济学和工程学等领域中广泛应用，如经济学中的边际效益递减和工程学中的挠曲分析等。
4. 泰勒级数展开泰勒级数展开是利用函数的导数来逼近函数的方法。
通过泰勒级数展开，我们可以将一个复杂的函数表示成若干个简单函数之和，从而方便计算和分析。
泰勒级数展开在近似计算和数值计算中非常重要。
导数应用与极值问题
导数应用与极值问题在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。
通过求导可以得到函数的导数，而导数可以帮助我们解决一系列的应用问题，其中包括极值问题。
本文将探讨导数应用于极值问题的方法和步骤。
一、导数的基本概念在介绍导数应用于极值问题之前，首先需要了解导数的基本概念。
对于一个函数f(x)，它在某点x处的导数表示函数在该点处的变化率，可以用以下的方式表示：f'(x) = lim(h -> 0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示自变量x的增量。
导数的几何意义是函数曲线在该点处的切线斜率。
当导数为正时，函数在该点处递增；当导数为负时，函数在该点处递减；当导数为零时，函数在该点处取得极值。
二、极值问题的求解在解决极值问题时，我们通常要对函数f(x)进行求导，并通过导数的性质来分析函数的极值点。
1. 导数为零的点首先，我们需要找到函数f(x)的导数为零的点，即f'(x) = 0。
这些点可能是函数的极值点。
2. 导数的符号接下来，我们要确定导数在导数为零的点的两侧的符号。
当导数从正数变成负数时，函数在该点有极大值；当导数从负数变成正数时，函数在该点有极小值。
3. 极值点的判断通过对导数的符号进行分析，我们可以判断出函数的极值点。
需要注意的是，导数为零的点并不一定都是极值点，还需要进行二阶导数的判断。
3.1 二阶导数的求解求得函数f(x)的导数为零的点后，我们可以进一步求解它的二阶导数f''(x)。
二阶导数可以帮助我们判断导数为零的点处的极值类型。
3.2 二阶导数的判断当二阶导数f''(x)大于零时，函数在导数为零的点处有极小值；当二阶导数f''(x)小于零时，函数在导数为零的点处有极大值；当二阶导数f''(x)等于零时，判断不明确，需要进行其他方法的分析。
4. 求解极值点通过以上的步骤，我们可以确定函数f(x)的极值点。
导数的应用的单调性与极值
导数的应用的单调性与极值在微积分学中，导数是一个非常重要的概念，它有着广泛的应用。
本文将讨论导数的应用方面，着重探讨其与单调性和极值的关系。
一、导数与函数的单调性在研究函数的单调性时，导数是一个非常重要的工具。
通过求函数的导数，我们可以得到函数的增减性质。
1. 单调递增如果一个函数在某个区间内的导数恒大于零，那么这个函数在该区间内是单调递增的。
也就是说，函数的图像在这个区间上是向上的。
举个例子，考虑函数f(x) = x^2，我们可以求得它的导数f'(x) = 2x。
由于2x大于零，所以函数f(x)在整个实数轴上都是单调递增的。
2. 单调递减类似地，如果一个函数在某个区间内的导数恒小于零，那么这个函数在该区间内是单调递减的。
还是以前面的例子f(x) = x^2为例，我们可以看到，函数f(x)的导数2x在负数区间上小于零，因此函数f(x)在负数区间上是单调递减的。
通过上述例子可以看出，导数可以帮助我们分析函数的单调性，从而更好地理解函数的变化规律。
二、导数与函数的极值另一个与导数密切相关的概念是函数的极值。
极值分为极大值和极小值，而导数可以帮助我们判断函数的极值点。
1. 极值点一个函数在某个点上的导数等于零时，该点就是函数的极值点。
根据导数的定义，导数为零表示函数在该点附近的变化趋势趋向于水平。
2. 极大值如果一个函数在某个点的导数从正数变为负数，那么这个点就是函数的极大值点。
在极大值点上，函数的图像从上升转向下降。
3. 极小值与极大值相反，如果一个函数在某个点的导数从负数变为正数，那么这个点就是函数的极小值点。
在极小值点上，函数的图像从下降转向上升。
例如，考虑函数f(x) = x^3，我们可以求得它的导数f'(x) = 3x^2。
当x等于零时，导数为零，说明函数在x=0处有极值。
通过进一步的分析，我们可以得知这个点是极小值点。
三、综合应用导数的应用不仅仅局限于单调性和极值的讨论，还可以应用于其他问题的求解。
导数的应用
有关概念
极大值与极小值统称为极值. 极大值点与极小值点统称为极值点.
函数f(x)的最大(小)值是函数在指定 区间的最大(小)的值. 极值只是对一点附近而言,是局部最 值,而最值是对整个区间或是对所考察问 题的整体而言.
求极值的方法
第1步 求导数f’(x); 第2步 求方程f’(x)=0的所有实数根; 第3步 考察在每个根x0附近,从左到右, 导函数f’(x)的符号如何变化. 如果f’(x)的符号由正变负,则f(x0)是极 大值; 如果f’(x)的符号由负变正,则f(x0)是极 小值.
求最值的方法
求函数f(x)在区间[a,b]的最大(小)值步骤: 1.求f(x)在开区间(a,b)内所有使f’(x)=0的点; 2.计算函数f(x)在区间内使f’(x)=0的所有点 和端点的函数值,其中最大的一个为最大 值,最小的一个为最小值.
巩固性训练2
2.求下列函数的极值:
(1)y=x2-2x+6
(2)y=3x4-4x3
y极小 5 y极小 1
y极小 2 4 3, y极大 3 3 3
(3)y=x+2sinx,x∈(0,2π)
3.求函数f(x)=2x3-15x2+36x-24在区间 上的最大值与最小值.
13 [1, ] 4
13 103 f (1) 1, f (2) 4, f (3) 3, f ( ) 4 32
导数的应用—求x0是定义域内任一点,如 果对x0附近的所有点x,都有f(x)<f(x0),则称 函数f(x)在点x0处取极大值.记作y极大=f(x0). 并把x0称为函数f(x)的一个极大值点. 2.已知函数y=f(x),设x0是定义域内任一点,如 果对x0附近的所有点x,都有f(x)>f(x0),则称 函数f(x)在点x0处取极小值.记作y极小=f(x0). 并把x0称为函数f(x)的一个极小值点.
导数的应用切线与极值问题
导数的应用切线与极值问题导数的应用：切线与极值问题导数是微积分中的重要概念，它在各个科学领域中都有着广泛的应用。
其中，切线与极值问题是导数应用的两个常见问题。
本文将探讨如何使用导数解决切线和极值问题，并通过实例解释其应用。
一、切线问题切线是曲线上某一点处与该点相切的直线。
通过导数，我们可以确定曲线上某点的切线方程。
设曲线方程为y=f(x)，点P(x,y)处的切线斜率k即为函数f(x)在该点的导数，即k=f'(x)。
例子1：求曲线y=x^2+2x+1在点P(1,4)处的切线方程。
解：首先求导数：f'(x)=(x^2+2x+1)'=2x+2。
然后求点P(1,4)处的斜率：k=f'(1)=2(1)+2=4。
由切线斜率和点可确定切线方程，即y-4=4(x-1)。
将其化简，得到切线方程为y=4x。
二、极值问题在求解极值问题时，我们可以利用导数为0的点来确定函数的最大值或最小值。
设函数f(x)在[a,b]区间上连续且在区间内可导，若f'(c)=0且c∈(a,b)，则c称为f(x)在[a,b]上的临界点。
临界点和区间端点都有可能是函数的极值点。
例子2：求函数f(x)=x^3-3x^2的极小值。
解：首先求导数：f'(x)=(x^3-3x^2)'=3x^2-6x。
然后求导函数的临界点：3x^2-6x=0。
化简得到x(x-2)=0，解得x=0或x=2。
接下来，我们通过判断临界点和区间端点的函数值来确定极小值。
计算f(0)=-0、f(2)=-4，因此f(x)=x^3-3x^2的极小值为-4，在x=2处取得。
综上，我们通过求解导数和判断临界点来确定函数的极值。
三、切线和极值问题的应用切线问题和极值问题在实际应用中有着广泛的运用。
例子3：一辆汽车在某段时间内行驶的路程和时间的关系如图所示。
求该段时间内汽车的平均速度，以及汽车行驶的最快和最慢速度。
图表：时间（小时） 0 2 4 6 8 10路程（公里）***********解：我们可以通过导数来求解这个问题。
导数在函数中的应用知识点讲解+例题讲解(含解析)
导数在函数中的应用一、知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数形如山峰形如山谷3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值一定大于其极小值.( )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)f (x )在(a ，b )内单调递增，则有f ′(x )≥0. (3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x 0为f (x )的极值点的充要条件是f ′(x 0)＝0，且x 0两侧导函数异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正. 答案 A3.函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( ) A.1eB.2eC.eD.e 2解析 因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ，令f ′(x )＝0，所以x ＝e ，当f ′(x )>0时，解得0<x <e ；当f ′(x )<0时，解得x >e ，所以x ＝e 时，f (x )取到极大值，f (x )极大值＝f (e)＝e. 答案 C4.(2019·青岛月考)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增D.单调递减解析易知f′(x)＝－sin x－1，x∈(0，π)，则f′(x)<0，所以f(x)＝cos x－x在(0，π)上递减.答案D5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.答案D6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为()A.4B.2或6C.2D.6解析函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当e＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.答案C考点一 求函数的单调区间【例1】 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值. (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，即x (x ＋1)(x ＋4)<0， 解得－1<x <0或x <－4，所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4). 规律方法 1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间. 2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.【训练1】 (1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增 D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >1e ，即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .(2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2考点二 讨论函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2， 故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2≥0， 即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].【训练2】 已知f (x )＝x 22－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间.解 因为f (x )＝x 22－a ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax .(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数. (2)当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x，则有①当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为(0，a ). ②当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞). 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞).考点三 函数单调性的简单应用 角度1 比较大小或解不等式【例3－1】 (1)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6(2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e 2的解集为( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(1，e)D.(e ，＋∞)解析 (1)令g (x )＝f （x ）cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(－sin x )cos 2x ＝1＋ln x cos 2x .由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )>0，解得1e <x <π2；由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )<0，解得0<x <1e .所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2上单调递增，又π3>π4，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4， 即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.(2)F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0， ∴F (x )在R 上单调递减.由F (x )<1e 2＝F (1)，得x >1， 所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞).答案 (1)B (2)B角度2 根据函数单调性求参数【例3－2】 (2019·日照质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x . (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围. 解 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0.∴h ′(x )＝1x －ax －2.(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间， 则当x >0时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解. 设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞). (2)由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立， 则a ≥1x 2－2x 恒成立，设G (x )＝1x 2－2x ， 所以a ≥G (x )max . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，x ∈[1，4]，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.又当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝（7x －4）（x －4）16x，∵x ∈[1，4]，∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x ≤0，当且仅当x ＝4时等号成立. ∴h (x )在[1，4]上为减函数. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.规律方法 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集.(2)f (x )是单调递增的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( ) A.4f (1)<f (2) B.4f (1)>f (2) C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)(2)(2019·淄博模拟)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.[2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12解析 (1)设函数g (x )＝f (x )x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′(x )－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)内为减函数，所以g (1)>g (2)，即f (1)12>f (2)22，所以4f (1)>f (2).(2)由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x ≥0在(2，＋∞)上恒成立，由于k ≥1x ，而0<1x <12，所以k ≥12.即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 (1)B (2)B三、课后练习1.(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－x B.f (x )＝x 2 C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x解析 设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，在定义域R 上为增函数，A 正确.对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B 不正确.对于C ，g (x )＝e x ·3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在定义域R 上是减函数，C 不正确.对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝2e x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确. 答案 A2.(2019·上海静安区调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( ) A.(e ，＋∞)B.(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 解析 f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x ).则原不等式可变形为f (ln x )<f (1)⇔f (|ln x |)<f (1). 又f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )， 由2＋cos x >0，得x >0时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. ∴|ln x |<1⇔－1<ln x <1⇔1e <x <e. 答案 D3.若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令cos x ＝t ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1，1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，134.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a （1－x ）x， 当a >0时，f (x )的递增区间为(0，1)， 递减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )为常函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a 2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点.由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧g ′(t )<0，g ′(3)>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9；由g ′(3)>0，即m >－373. ∴－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。
导数在极值问题的应用
导数在极值问题的应用1. 引言在数学中，导数是函数的一个基本概念。
它描述了函数在每一个点上的变化率。
导数的概念广泛应用于不同领域的问题中，特别是在求解极值问题时。
极值问题是数学中常见的一类问题，涉及找到函数的最大值或最小值。
在本文中，我们将探讨导数在极值问题中的应用。
2. 极值问题在数学中，极值问题是指寻找函数的最大值或最小值。
对于一个函数而言，最大值是指函数取得的最高值，最小值是指函数取得的最低值。
极值问题在许多实际问题中都有应用，比如经济学中的最大化利润和最小化成本问题，物理学中的最小作用量原理等等。
3. 导数的意义导数是函数变化率的描述。
对于函数f(x)，它的导数f′(x)表示函数在某一点x处的变化率。
导数可以用来确定函数的增减性、判断函数的极值以及确定函数的拐点等。
4. 寻找极值点的方法为了寻找函数的极值点，我们需要使用导数的相关知识。
一般来说，函数在极值点处的导数为0或者不存在。
因此，我们可以通过求解方程f′(x)=0来寻找极值点。
具体寻找极值点的方法有如下步骤：1.求出函数f(x)的导函数f′(x)；2.求解方程f′(x)=0，得到解$x_1, x_2, \\ldots, x_n$；3.将解$x_1, x_2, \\ldots, x_n$代入函数f(x)，计算出对应的函数值$f(x_1), f(x_2), \\ldots, f(x_n)$；4.比较函数值$f(x_1), f(x_2), \\ldots, f(x_n)$，得到函数的极值。
需要注意的是，通过求解方程f′(x)=0得到的解并不一定都是函数的极值点，还需要进行进一步的判断。
5. 极值点的判断在上一步中，我们已经得到了解$x_1, x_2, \\ldots, x_n$，这些解可能是函数的极值点，也可能是函数的拐点。
为了确定这些解的性质，我们需要进行进一步的判断。
根据函数的导数f′(x)的符号变化情况，可以判断出函数在不同区间上的增减性。
导数在函数极值中的应用例题和知识点总结
导数在函数极值中的应用例题和知识点总结在数学的广袤天地中，导数无疑是一座连接函数性质与实际应用的重要桥梁。
而在函数的研究中，极值问题又占据着关键地位。
通过导数来求解函数的极值，不仅能让我们更深入地理解函数的变化规律，还能为解决实际问题提供有力的工具。
接下来，我们将通过具体的例题和详细的知识点总结，来探讨导数在函数极值中的应用。
一、知识点回顾1、导数的定义函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的导数＼（f'（x_0)＼）定义为：＼（f'（x_0) ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x}＼）2、导数的几何意义导数＼（f'（x_0)＼）表示函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的切线斜率。
3、函数的单调性与导数的关系若＼（f'（x) ＞ 0\），则函数＼（f(x)＼）在区间内单调递增；若＼（f'（x) ＜ 0\），则函数＼（f(x)＼）在区间内单调递减。
4、函数的极值设函数＼（f(x)＼）在＼（x_0\）处可导，且在＼（x_0\）处附近左增右减，则＼（x_0\）为函数的极大值点，＼（f(x_0)＼）为极大值；若在＼（x_0\）处附近左减右增，则＼（x_0\）为函数的极小值点，＼（f(x_0)＼）为极小值。
5、求函数极值的步骤（1）求导数＼（f'（x)＼）；（2）解方程＼（f'（x) ＝ 0\），求出函数的驻点；（3）分析驻点左右两侧导数的符号，确定极值点；（4）将极值点代入函数，求出极值。
二、例题讲解例 1：求函数＼（f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 1\）的极值。
解：首先，对函数求导：＼（f'（x) ＝ 3x^2 6x\）令＼（f'（x) ＝ 0\），即＼（3x^2 6x ＝ 0\），解得＼（x ＝ 0\）或＼（x ＝ 2\）当＼（x ＜ 0\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），函数单调递增；当＼（0 ＜ x ＜ 2\）时，＼（f'（x) ＜ 0\），函数单调递减；当＼（x ＞ 2\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），函数单调递增。
导数的应用与极值例题和知识点总结
导数的应用与极值例题和知识点总结在数学的广袤领域中，导数无疑是一个极为重要的工具。
它不仅能够帮助我们描绘函数的变化趋势，还能在解决各种实际问题中发挥关键作用。
接下来，让我们一起深入探讨导数的应用与极值，通过具体的例题来加深对相关知识点的理解。
一、导数的定义与几何意义导数的定义为函数在某一点的瞬时变化率。
如果函数＄y ＝ f(x)＄在点＄x_0$ 处可导，那么其导数记为＄f'（x_0)＄，表示函数在＄x_0$ 处的切线斜率。
从几何意义上看，导数就是函数图像在某一点处切线的斜率。
当导数大于零，函数单调递增；当导数小于零，函数单调递减；当导数等于零，可能是函数的极值点。
二、导数的计算对于常见的基本函数，如幂函数、指数函数、对数函数等，都有相应的求导公式。
例如，对于幂函数＄y ＝ x^n$ ，其导数为＄y' ＝ nx^｛n 1}＄；对于指数函数＄y ＝ e^x$ ，其导数仍为＄y' ＝ e^x$ ；对于对数函数＄y ＝＼ln x$ ，其导数为＄y' ＝＼frac{1}｛x}＄。
三、利用导数求函数的单调性例 1：求函数＄f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2$ 的单调区间。
首先，对函数求导：＄f'（x) ＝ 3x^2 6x$令＄f'（x) ＝ 0$ ，即＄3x^2 6x ＝ 0$ ，解得＄x ＝ 0$ 或＄x ＝2$ 。
当＄x ＜ 0$ 时，＄f'（x) ＞ 0$ ，函数单调递增；当＄0 ＜ x ＜ 2$ 时，＄f'（x) ＜ 0$ ，函数单调递减；当＄x ＞ 2$ 时，＄f'（x) ＞ 0$ ，函数单调递增。
所以，函数的单调递增区间为＄（＼infty, 0)＄和＄（2, ＋＼infty)＄，单调递减区间为＄（0, 2)＄。
四、利用导数求函数的极值例 2：求函数＄g(x) ＝ 2x^3 9x^2 ＋ 12x 3$ 的极值。
对函数求导：＄g'（x) ＝ 6x^2 18x ＋ 12$令＄g'（x) ＝ 0$ ，即＄6x^2 18x ＋ 12 ＝ 0$ ，化简得＄x^2 3x＋ 2 ＝ 0$ ，解得＄x ＝ 1$ 或＄x ＝ 2$ 。
导数的应用(单调性、极值、最值)
例5 求出函数 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)(x 2) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 4, x2 2. f ( x) 6x 6, f (4) 18 0, 故极大值 f (4) 60,
单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
通常用列表讨论。
例3 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
y 3 x2
当x 0时,导数不存在.
当 x 0时，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
当0 x 时， f ( x) 0, 在[0,)上单调增加；
解
f
(
x)
2
(
x
1
2) 3
( x 2)
3
当x 2时, f ( x)不存在. 但函数f ( x)在该点连续.
当x 2时，f ( x) 0;
2、若在 (a, b) 内 f '( x) 0，则 f ( x) 在 (a, b) 上单减.
例1 讨论函数 y ex x 1 的单调性.
解 y ex 1, 且 D (, ).
在(,0)内, y 0,
函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
如 果 存 在 着 点x0的 一 个 邻 域, 对 于 这 邻 域 内 的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
第4讲 导数的应用---函数的最极值
第四讲最极值问题【复习指导】本讲复习时，应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用，会将一些实际问题抽象为数学模型，从而用导数去解决．复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用．基础梳理1．函数的极值⑴．判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数y＝f(x)在点x0处连续时，①．如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②．如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．⑵．求可导函数极值的步骤：①．求f′(x)；②．求方程f′(x)＝0的根；③．检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y＝f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．2．函数的最值⑴．在闭区间[a，b]上连续的函数y＝f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．⑵．若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．⑶．设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①．求f(x)在(a，b)内的极值；②．将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤⑴．分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；⑵．求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；⑶．比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；⑷．回归实际问题作答．两个注意⑴．注意实际问题中函数定义域的确定．⑵．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较． 三个防范⑴．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．⑵．f ′(x 0)＝0是y ＝f (x )在x ＝x 0取极值的既不充分也不必要条件．如①．y ＝|x |在x ＝0处取得极小值，但在x ＝0处不可导；②．f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )＝x 3的极值点．⑶．若y ＝f (x )可导，则f ′(x 0)＝0是y ＝f (x )在x ＝x 0处取极值的必要条件．基础自测1．[12陕西]求函数f (x )＝x e x 的极值为______________．2．函数f (x )＝e －x ＋x 的最小值为_____ ．【解】f ′(x )＝1－e －x ，故当x ≥0时，f ′(x )≥0，而当x ＜0时，f ′(x )≤0，故当x ＝0时，f (x )的最小值为1．3．[11湖北理]已知函数f (x )＝1－x ＋ln x ，x ＞0．求函数y ＝f (x )的最大值；4．[11福建文]若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于 ．【解】f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数y ＝f (x )在x ＝1处有极值，可知函数y ＝f (x )在x ＝1处的导数值为零，12－2a －2b ＝0，故a ＋b ＝6，由题意知a ，b 都是正实数，故ab ≤(a ＋b 2)2＝9，当且仅当a＝b ＝3时取到等号．考点一 极值问题题型⑴．求已知函数的极值【例1】[08全国II 理]设函数f (x )＝sin x2＋cos x，求y ＝f (x )的极值．【解】f ′(x )＝2cos x ＋1(2＋cos x )2．当2k π－2π3＜x ＜2k π＋2π3(k ∈Z)时，cos x ＞－12，即f ′(x )＞0；当2k π＋2π3＜x ＜2k π＋4π3(k ∈Z)时，cos x ＜－12，即f ′(x )＜0．故y ＝f (x )在每一个区间(2k π－2π3，2k π＋2π3)(k ∈Z)上是增函数，y ＝f (x )在每一个区间(2k π＋2π3，2k π＋4π3)(k ∈Z)是减函数，故当x ＝2k π＋2π3(k ∈Z)时，函数取得极大值33，当x ＝2k π＋4π3(k ∈Z)时，函数取得极小值－33． 【练习1】设函数f (x )＝e x (sin x －cos x )，若0≤x ≤2016π，则函数f (x )的各极大值之和为 ． 【解】因f ′(x )＝2e x sin x ，故x ∈(2k π＋π，2k π＋2π)(k ∈Z )时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，x ∈(2k π＋2π，2k π＋3π)(k ∈Z )时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，故当x ＝2k π＋2π(k ∈Z )时，f (x )取极小值，其极小值为f (2k π＋2π)＝－e 2k π＋2π(k ∈Z )，又0≤x ≤2016π，故f (x )的各极小值之和S ＝－e 2π－e 4π－…－e 2 016π＝－e 2π(1－e 2 016π)1－e 2π．运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的步骤：⑴．先求函数的定义域，再求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )；⑵．求方程f ′(x )＝0的根；⑶．检查f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么y ＝f (x )在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么y ＝f (x )在这个根处取得极小值．题型⑵．已知函数在某区间上有极值，求参数的取值范围【例2】函数f (x )＝2ax －ln x 2在(0，1)上有极值，则a 的取值范围是 ．【解】f ′(x )＝2(a －1x )，函数f (x )＝2ax －ln x 2在(0，1)上有极值，则f ′(x )＝2(a －1x )在(0，1)上有解，故a 的取值范围是(1，＋∞)； 问题：无极值点如何？【练习2】⑴．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1，1)恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为_____________．[1，5)⑵．已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1在区间(2，3)上至少有一个极值点，求a 的取值范围． 【解】f ′(x )＝0在区间(2，3)上至少有一个根，且无偶次重根，故a ＝12x (x 2＋1)，由x ∈(2，3)知，a∈(54，53)． 【例3】[13湖北文]已知函数f (x )＝x (－ax ＋ln x )有两个极值点，则实数a 的取值范围是______． 【解】f ′(x )＝－2ax ＋1＋ln x ，易知，当a ≤0时，f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，只有一个极值点，不合题意，故a ＞0，令f ′(x )＝0得，a ＝12x (1＋ln x )，令g (x )＝12x (x 2＋1)，则g ′(x )＝－12x 2ln x ，令g ′(x )＝0得，x ＝1，在(0，1)上，g ′(x )＞0，g (x )单调递增；在(1，＋∞)上，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；故g (x )max ＝g (1)＝1－2a ，由函数f (x )＝x (－ax ＋ln x )有两个极值点知，1－2a ＞0，解得，a ＜12，故实数a 的取值范围是(0，12)．变题：已知函数f (x )＝x (－ax ＋ln x )在区间(0，2)有两个极值点，则实数a 的取值范围是______． 题型⑶．讨论极值【例4】[13福建理]已知函数f (x )＝x －a ln x ，a ∈R ．⑴．当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； ⑵．求函数y ＝f (x )的极值． 【解】函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax．⑴．当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x ，x ＞0，故f (1)＝1，f ′(1)＝－1，故y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为x ＋y －2＝0； ⑵．由f ′(x )＝1－ax，x ＞0知：①．当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；②．当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得，x ＝a ；因x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，故y ＝f (x )在x a =处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上：当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值f (a )＝a －a ln a ，无极大值．双基自测1．用[x ]表示不超过x 的最大整数．已知f (x )＝x ＋[x ]的定义域为[－1，1)，则函数f (x )的值域为 ． 【解】根据[x ]的定义分类讨论．当x ∈[－1，0)时，y ＝x －1，－2≤y ＜－1；当x ∈[0，1)时，y ＝x ，0≤y ＜1；故函数f (x )的值域为[－2，－1)∪[0，1)．2．已知函数f (x )＝|2x －1|的定义域和值域都是[a ，b ]，则a ＋b ＝ ．【解】由函数f (x )＝|2x －1|的定义域和值域都是[a ，b ]知，0≤a ＜b ，则由f (x )＝|2x －1|在(0，＋∞)上单调递增，由21,21ab a b⎧−=⎪⎨−=⎪⎩得，a ＝0，b ＝1，故a ＋b ＝1．3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＜0，－2－x ，x ＞0，则函数f [f (x )]的值域是_______________．【解】当x ＜0时，f (x )＝2x ∈(0，1)，故f [f (x )]＝－2－f (x )∈(－1，－12)；当x ＞0时，f (x )＝－2－x ∈(－1，0)，故f [f (x )]＝2f (x )∈(12，1)，从而原函数的值域为(－1，－12)∪(12，1)．4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋4，x ＜a ，x 2－2x ，x ≥a，若任意实数b ，总存在实数x 0，使得f (x 0)＝b ，则实数a 的取值范围是 ．【解】“任意实数b ，总存在实数x 0，使得f (x 0)＝b ”等价于函数f (x )的值域为R ．在平面直角坐标系xOy 中，分别作出函数y ＝x ＋4及y ＝x 2－2x 的图像，观察图像可知－5≤a ≤4．5．已知函数f (x )的自变量取值区间为A ，若其值域区间也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．⑴．求函数f (x )＝x 2形如[a ，＋∞)的保值区间；⑵．若g (x )＝x －ln(x ＋m )的保值区间是[2，＋∞)，求m 的取值．【解】⑴．若a ＜0，则a ＝f (0)＝0，矛盾．若a ≥0，则a ＝f (a )＝a 2，解得a ＝0或1，故f (x )的保值区间为[0，＋∞)或[1，＋∞)．⑵．因g (x )＝x －ln(x ＋m )的保值区间是[2，＋∞)，故m ＋2＞0，即m ＞－2．令g ′(x )＝1－1x ＋m＞0得，x ＞1－m ，故g (x )在(1－m ，＋∞)上为增函数，同理可得g (x )在(－m ，1－m )上为减函数．若2≤1－m ，即m ≤－1时，则g (1－m )＝2得，m ＝－1满足题意．若m ＞－1时，则g (2)＝2得，m ＝－1，矛盾．故满足条件的m 值为－1．考点二 值域与最值问题(一) ．观察法求值域 注意结合函数的图像求解【例5】⑴．函数f (x )＝1x 2＋1的值域是 ．⑵．函数y ＝(13)|x |的值域是______________．【练习5】设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )g (x )－x ， x ≥g (x )， 则f (x )的值域是______．【解】f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2， x <－1或x >2，x 2－x －2， －1≤x ≤2.由f (x )的图象得：当x ＜－1或x ＞2时，f (x ) ＞f (－1)＝2，当－1≤x ≤2时，f (12)≤f (x )≤f (2)，即－94≤f (x )≤0，故f (x )值域为[－94，0)∪(2，＋∞)．(二) ．流程图法求值域【例6】函数y ＝2－4x －x 2的值域是____________． 【解】【练习6】函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x 的值域是____________．【解】由1－⎝⎛⎭⎫12x≥0，即⎝⎛⎭⎫12x ≤1，得2x ≥1，故x ≥0． (三) ．单调性法求值域【例7】函数y ＝x －1－2x 的值域是____________． 【练习7】函数y ＝x ＋1－x －1的值域是____________．(四) ．换元法求值域【例8】求函数y ＝－12x 2－x ＋12，x ∈[0，＋∞)的值域．【练习8】⑴．求函数y ＝－12x 4－x 2＋12的值域．⑵．求函数y ＝－12x －x ＋12的值域．⑶．求函数y ＝－12(1－2x )2－1－2x ＋12的值域．(五) ．反解法求值域【例9】函数y ＝1＋x 21－x 2的值域是____________．【练习9】函数2sin 2sin xy x+=−的值域是_____________．(六) ．判别式法求值域【例10】函数y ＝1x 2＋x ＋1的值域是_____________．【练习10】函数y ＝x 2－xx 2－x ＋1的值域是_____________． ㈦．导数法求已知函数在闭区间上的最值(值域)【例11】函数y ＝1－x ＋x ln x 的最小值是 ．【解】y ′＝ln x ，当x ∈(0，1)时，y ′＜0，函数y ＝1－x ＋x ln x 在(0，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，y ′＞0，函数y ＝1－x ＋x ln x 在(0，1)上单调递增，故函数y ＝1－x ＋x ln x 的极小值为0，因有唯一的极小值，故也是最小值，故函数y ＝1－x ＋x ln x 的最小值是0．【练习11】[13全国Ⅰ文改编]已知函数f (x )＝－x 2－4x ＋e x (ax ＋b )，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4．⑴．求a ，b 的值；⑵．讨论y ＝f (x )的单调性，并求y ＝f (x )在[－2，1]上的最大值与最小值．【解】⑴．f ′(x )＝－2x －4＋e x (ax ＋a ＋b )．由已知得，f (0)＝4，f ′(0)＝4．故b ＝4，又a ＋b ＝8．从而a ＝4，b ＝4；⑵．由⑴知，f (x )＝－x 2－4x ＋4e x (x ＋1)，故f ′(x )＝4(x ＋2)(e x －12)．令f ′(x )＝0得，x ＝－2或x ＝－ln2．从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )＜0，故y ＝f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．f (－2)＝4(1－e －2)，f (－ln2)＝2－(ln2)2＋2ln2，f (1)＝8e －5＞f (－2)，故y ＝f (x )在[－2，1]上的最大值与最小值分别为f (1)，f (－ln2)．考点三 含参最值问题题型⑴．含参最值问题的讨论 【例12】已知函数f (x )＝x |x －2|．⑴．写出f (x )的单调区间；⑵．设a ＞0，求f (x )在[0，a ]上的最大值．【解】⑴．22(1)1,2,()|2|(1)1,2x x f x x x x x ⎧−−≥⎪=−=⎨−−+<⎪⎩，故f (x )的单调递增区间是(－∞，1]和[2，＋∞)；单调递减区间是[1，2]．⑵．①当0＜a ＜1时，f (x )在[0，a ]上是增函数，此时f (x )在[0，a ]上的最大值是f (a )＝a (2－a )； ②当1≤a ≤2时，f (x )在[0，1]上是增函数，在[1，a ]上是减函数，故此时f (x )在[0，a ]上的最大值是f (1)＝1；③当2＜a ≤1＋2时，f (x )在[0，1]是增函数，在[1，2]上是减函数，在[2，a ]上是增函数，而f (a )≤f (1＋2)＝f (1)，故此时f (x )在[0，a ]上的最大值是f (1)＝1；④当a ＞1＋2时，f (x )在[0，1]上是增函数，在[1，2]上是减函数，在[2，a ]上是增函数，而f (a ) ＞f (1＋2)＝f (1)，故此时f (x )在[0，a ]上的最大值是f (a )＝a (a －2)．综上所述，max(2),01,()12,(2),2a a a f x a a a a −<<⎧⎪=≤≤⎨⎪−>⎩，11+1+． 【练习12】⑴．已知函数f (x )＝x ln x ，设实数a ＞0，试求F (x )＝1a f (x )在[a ，2a ]上的最大值．【解】F ′(x )＝1a (1＋ln x )，令F ′(x )＝0得，x ＝1e ，故当x ∈(0，1e )时，F ′(x )＜0，F (x )在(0，1e )上单调递减；当x ∈(1e ，＋∞)时，F ′(x )＞0，F (x )在(1e ，＋∞)上单调递增；故F (x )在[a ，2a ]上的最大值为F (x )max＝max{F (a )，F (2a )}．因F (a )－F (2a )＝－ln4a ，故当0＜a ≤14时，F (a )－F (2a )≥0，F (x )max ＝F (a )＝ln a ，当a ＞14时，F (a )－F (2a )＜0，故F (x )max ＝F (2a )＝2ln2a ．【小结】函数的最值取决于什么？单调性！！！因此讨论函数的最值，就是讨论函数的单调性！！！【例13】已知函数f (x )＝－ax ＋ln x ，a ∈R ．⑴．当a ＝2时，求函数y ＝f (x )的单调区间；⑵．当a ＞0时，求函数y ＝f (x )在[1，2]上最小值．【解】⑴．当a ＝2时，f (x )＝－2x ＋ln x ，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，求导函数得，f ′(x )＝－2＋1x ．由f ′(x )＞0得，0＜x ＜12；由f ′(x )＜0得，x ＞12，故函数f (x )的单调递增区间为(0，12)，单调减区间是(12，＋∞)；⑵．①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1，2]上是减函数，故y ＝f (x )的最小值是f (2)＝－2a ＋ln2；②当1a ≥2，即a ≤12时，函数f (x )在区间[1，2]上是增函数，故f (x )的最小值是f (1)＝－a ；③当1＜1a ＜2，即12＜a ＜1时，函数f (x )在[1，1a ]上是增函数，在[1a ，2]上是减函数．又f (2)－f (1)＝－a ＋ln2，故当12＜a ＜ln2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln2≤a ＜1时，最小值为f (2)＝－2a ＋ln2．综上可知，当0＜a ＜ln2时，函数f (x )的最小值是－a ；当a ≥ln2时，函数f (x )的最小值是f (2)＝－2a ＋ln2．【例14】设0＜a ≤2，函数f (x )＝x 2＋a |1－ln x |，求函数f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值．【解】易知22ln ,(),()ln ,(1)x a a x x e f x x a a x x e ⎧−+≥⎪=⎨+−≤<⎪⎩，由0＜a ≤2知，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增，故f (x )min＝f (e)＝e 2；而当x ∈[1，e)时，f (x )在[1，e)上单调递增，故当x ＝1时，f (x )取得最小值f (x )min ＝f (1)＝1＋a ，易知e 2＞1＋a ，故f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为f (x )min ＝f (1)＝1＋a ． 变题：去掉条件0＜a ≤2?①当x ≥e 时，f (x )＝x 2－a ＋a ln x ，则f ′(x )＝2x ＋ax ，x ≥e ，因a ＞0，故f ′(x )＞0恒成立．故f (x )在(e ，＋∞)上是增函数．故当x ＝e 时，f (x )min ＝f (e)＝e 2． ②．当1≤x ＜e 时，f (x )＝x 2＋a －a ln x ，则f ′(x )＝2x (x ＋a2)(x －a2)(1≤x ＜e)． (i)．当a2≤1时，即0＜a ≤2时，f ′(x )在(1，e)上为正数，故f (x )在区间(1，e)上为增函数．故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝1＋a ，且此时f (1)＜f (e)． (ii)．当1＜a2＜e ，即2＜a ＜2e 2时，f ′(x )在(1，a2)上为负数，在(a2，e)上为正数．故f (x )在区间(1，a2)上为减函数，在(a 2，e)上为增函数，故当x ＝a 2时，f (x )min ＝a 2(3－ln a 2)，且此时f (a 2)＜f (e)． (iii)当a2≥e 时，即a ≥2e 2时，f ′(x )在(1，e)上为负数，故f (x )在区间(1，e)上为减函数，故当x ＝e 时，f (x )min ＝f (e)＝e 2．。
导数的应用——函数的极值
2 故当 x 2 时,x2>2,由条件①可知 f ( x ) 0,即: g( x ) f ( x 2 ) 2 x 0; 2 当 0 x 2 时,x2<2,由条件②可知 f ( x ) 0,即: g( x ) f ( x 2 ) 2 x 0;
x 2 4 ( x 2)( x 2). 解: y
令 y 0 ,解得x1=-2,x2=2. 当x变化时, y ,y的变化情况如下表: x y’ y (-∞,-2) + ↗ -2 0 极大值28/3 (-2,2) ↘ 2 0 极小值-4/3 (2,+∞) + ↗
因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.
x [0,1] 恒成立.
所以,a≥1是k≥-1成立的充要条件.
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例题讲解
例.求函数f ( x) 3 (2 x x 2 ) 2的极值
解 : f ( x)的定义域为(, )
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a2 例:求函数 f ( x ) x (a 0) 的极值. x 解:函数的定义域为 ( ,0) (0,), a 2 ( x a )( x a ) f ( x ) 1 2 . 2 x x 令 f ( x ) 0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0).
y
f ( x4 ) f ( x1 )
o
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a
X1
导数的应用-函数的单调性与极值和最值和应用
课本练习
思考,已知函数 在区间[1,5] 思考,已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间 在区间 内的最小值为2, 内的最小值为 ,求m的值 的值
导数的定义
导数的几何意义
导数
求导公式与法则
多项式函数的导数
函数单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值
基本练习 1,曲线 ,曲线y=x4-2x3+3x在点 在点P(-1,0)处的切线的 在点 , 处的切线的 斜率为( 斜率为 ) (A) –5 (B) –6 (C) –7 (D) –8 2,函数y=x100+2x50+4x25的导数为 ) ,函数 的导数为( (A)y'=100(x99+x49+x24) (B) y'=100x99 (C) y'=100x99+50x49+25x24 (D) y'=100x99+2x49
定义法 公式法
练习: 练习: 1,求下列函数的导数 ,
)(x (1)y=(x2-3x+2)( 4+x2-1) ) ( )( ) (2)y=(x/2+t)2 ) ( )
2,设f(x)=ax3-bx2+cx,且f /(0)=0, , ( ) , ) , f /(1)=1,f /(2)=8,求a,b,c ) , ) , , , 3,抛物线f(x)=x2-2x+4在哪一点处的 ,抛物线 ( ) 在哪一点处的 切线平行于x轴 在哪一处的切线与x轴的 切线平行于 轴?在哪一处的切线与 轴的 交角为45 交角为 0?
5, 求导的公式与法则 , 求导的公式与法则——
/
(C ) = 0 n / n 1 * ( x ) = nx (n ∈ N )
导数的应用—函数的极值与最值
导数的应用—函数的极值与最值导数是微积分中的重要概念，它在数学和实际问题中都有着广泛的应用。
其中一个重要的应用就是求函数的极值与最值。
本文将通过实例和推导，探讨导数在函数极值与最值问题中的应用。
一、函数的极值首先，我们来介绍一下函数的极值。
对于一个函数$f(x)$，如果在某个点$x=a$处，存在一个邻域，使得在这个邻域内的任意一点$x$，都满足$f(x)\leqf(a)$（或$f(x)\geq f(a)$），那么我们称函数在点$x=a$处取得极大值（或极小值），并将这个值称为函数的极值。
那么如何求函数的极值呢？这就需要用到导数的概念了。
我们知道，导数表示函数在某一点的变化率，而函数的极值对应着导数的零点。
具体来说，如果函数$f(x)$在点$x=a$处取得极值，那么在这个点处的导数$f'(a)$将等于零或不存在。
举个例子来说明。
考虑函数$f(x)=x^2$，我们来求它的极值。
首先，我们求出它的导数$f'(x)=2x$。
然后，令导数等于零，得到方程$2x=0$，解得$x=0$。
所以函数$f(x)=x^2$在点$x=0$处取得极小值。
二、函数的最值除了极值，函数还可能存在最值。
函数的最大值和最小值统称为最值。
与极值相比，最值是函数在整个定义域上的特殊取值。
同样地，我们可以通过导数来求函数的最值。
具体来说，如果函数$f(x)$在某个区间上连续且可导，那么函数的最值要么出现在区间的端点，要么出现在导数为零的点处。
我们再来看一个例子。
考虑函数$f(x)=x^3-3x$，我们要求它的最值。
首先，我们求出它的导数$f'(x)=3x^2-3$。
然后，令导数等于零，得到方程$3x^2-3=0$，解得$x=\pm 1$。
所以函数$f(x)=x^3-3x$的最大值和最小值分别出现在$x=-1$和$x=1$处。
三、实际问题中的应用导数的应用不仅仅局限于数学问题，它在实际问题中也有着广泛的应用。
下面我们通过几个实例来探讨导数在实际问题中求极值与最值的应用。
课题：导数的应用--极值点
(-∞,-2) ∞,f′(x) +
x
-2
(-2,2)
0
极大值28/3 极大值
-
2 0
极小值极小值 4/3
(2,+∞) +
f(x)
=2时 ∴ 当x=2时,y极小值=28/3；当x=-2时, y极大值=-4/3. =2 =
2010-12-30 7
28 1 （2）f(－3)=7，f(4)=9 = ） － ， ， 3 3 与极值点的函数值比较得到该函数在区
16
3 2
f / ( x）＝ ax2 + 2bx + c ≠ 0) 3 (a (2) f (1) = a + b + c = 5
2b f / (1) = 3a + 2b + c = 0 － =3 3a 或 c f / (2) = 12a + 4b + c＝ 0 =2 3a
2010-12-30
2010-12-30 12
注意代 入检验
课题：导数的应用－－极值点 课题：导数的应用－－极值点 －－
我行 我能 我要成功 我能成功
庖丁解牛篇(感受高考） 庖丁解牛篇 感受高考） 感受高考 年天津卷)函数 （2006年天津卷 函数 f (x ) 的定义域为开区间(a, b) 年天津卷 内的图像如图所示， 导函数 f ′(x)在 (a, b) 内的图像如图所示，则函数f (x ) 内有（ 个极小值点。 在开区间 (a, b) 内有（ A ）个极小值点。 A.1 B.2 C.3 D. 4
o
a x1
x
函数图像在P点附近从左侧到右侧由“上升 变为 函数图像在 点附近从左侧到右侧由“上升”变为 点附近从左侧到右侧由 下降” 函数由单调递增变为单调递减）， ），在 点 “下降”（函数由单调递增变为单调递减），在P点 附近， 点的位置最高 点的位置最高， 附近，P点的位置最高，函数值最大
导数的应用概述
导数的应用概述导数是微积分中重要的概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的应用广泛，涉及到许多领域，如物理学、经济学、工程学等。
本文将对导数的应用进行概述，介绍几个常见的应用场景。
1. 最值问题导数可以用来求函数的最值。
我们知道，在一个可导函数的极值点处，导数为零或不存在。
因此，通过求函数的导数，并解方程找到导数为零的点，我们可以确定函数的极值点。
然后通过二阶导数的符号来判断极值点的类型，是极大值还是极小值。
例如，我们有一个函数f(x)表示某商品的需求曲线，通过求导并解方程f'(x)=0，可以找到最大需求和最小需求的价格。
2. 切线与法线导数还可以用来求函数图像上的切线和法线。
切线是函数图像在某点的斜率，而斜率恰好就是该点处的导数值。
因此，我们可以通过求导得到函数在某点处的导数，从而得到该点的切线。
例如，我们有一个位置函数s(t)，表示某物体在时间t时的位置。
通过求导得到速度函数v(t)，我们可以知道在任意时间t时物体的速度，进而得到该时刻物体运动轨迹上的切线。
3. 函数图像的变化趋势函数的导数还可以用来描述函数图像的变化趋势。
根据导数的正负性，可以判断函数在某一区间上是递增还是递减。
例如，对于函数f(x)，如果在某区间上导数大于零，则说明函数在该区间上递增；如果导数小于零，则说明函数在该区间上递减。
这样，我们就可以通过函数的导数来判断其图像的升降性，并画出函数的大致图像。
4. 曲线的凹凸性导数的二阶导数可以判定函数图像上的曲线是凹还是凸。
具体地说，如果函数的二阶导数大于零，则函数图像是凹的；如果二阶导数小于零，则函数图像是凸的。
例如，对于函数f(x)，我们可以通过计算它的二阶导数f''(x)来判断函数图像在某一区间上的凹凸性。
这个判断对于模型的建立和问题的分析具有重要作用。
综上所述，导数作为微积分的重要工具，具有广泛的应用。
通过求导，我们可以解决最值问题、求切线和法线、描述函数图像的变化趋势以及判断曲线的凹凸性等。
高中数学知识点总结导数的应用之函数的极值与最值
高中数学知识点总结导数的应用之函数的极值与最值高中数学知识点总结：导数的应用之函数的极值与最值在高中数学中，导数是一个重要的概念和工具，它被广泛应用于各个数学领域。
其中的一个应用就是求解函数的极值与最值。
本文将针对这一知识点进行总结和讨论。
I. 导数和极值函数的极值指的是函数在某个区间上的最大值或最小值。
在求解极值问题时，我们可以利用导数的性质来进行分析和计算。
下面是一些常见的求解函数极值的方法：1. 极值的必要条件若函数f(x)在x=a处取得极值，那么导数f'(a)存在，且f'(a)=0，或者导数不存在（函数在该点有间断点或者不可导）。
2. 极值的充分条件若函数f(x)在x=a点的左右两侧导数符号相反，即f'(a-)和f'(a+)异号，那么f(x)在x=a处取得极值。
- 若f'(a-)>0且f'(a+)<0，那么极值为极大值；- 若f'(a-)<0且f'(a+)>0，那么极值为极小值。
3. 临界点和拐点临界点是指导数为零或不存在的点，对于一元函数来说，临界点多对应于函数的极值点。
拐点是指在函数图像上出现凹凸性突变的点，即曲线的凸度方向改变的点。
II. 求解函数的极值步骤在应用导数求解函数极值时，一般需要按照以下步骤进行：1. 求取函数f(x)的导数f'(x)。
2. 解方程f'(x)=0，求得导数为零的临界点。
3. 利用极值的充分条件，对临界点进行分析判断。
4. 若需要，进一步计算临界点处的函数值和边界点处的函数值进行比较。
5. 得到函数的极值。
III. 求解函数的最值函数的最大值和最小值称为最值，求解最值问题需要考虑函数的定义域和导数的变化情况。
下面是一些常见的求解函数最值的方法：1. 函数在开区间内求最值若函数f(x)在开区间(a, b)内进行求最大值，我们需要进行以下步骤：- 求取函数f(x)的导数f'(x)。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用【摘要】导数在实际生活中的运用非常广泛。
在物体运动中，导数可以帮助我们计算速度和加速度，从而预测物体的运动轨迹。
在最优化问题中，导数也被广泛应用，帮助我们找到函数的最大值和最小值。
在经济学中，导数被用于边际分析，帮助企业和政府做出决策以最大化利润或效益。
在医学领域，导数可以帮助分析身体的变化和疾病的发展趋势。
而在工程领域，导数则被用于解决各种实际问题，例如设计建筑结构和优化生产过程。
导数在不同领域中都起着重要作用，通过综合运用导数，我们能够更好地解决各种实际生活中的问题。
【关键词】导数、实际生活、物体运动、速度、加速度、最优化、边际分析、医学、工程领域、重要作用、解决问题1. 引言1.1 导数在实际生活中的运用导数在实际生活中的运用是一种重要的数学概念，它广泛应用于各个领域，为解决实际生活中的问题提供了有效的数学工具。
导数是函数在某一点处的变化率，它可以帮助我们理解事物的变化规律，并从中得出一些有用的结论。
在物理学中，导数被用来描述物体的运动速度和加速度，帮助我们预测物体的运动轨迹。
在最优化问题中，导数可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，从而优化生产和经营活动。
在经济学中，导数被应用于边际分析中，帮助我们确定最优的生产和消费决策。
在医学领域，导数被用来描述生物体的变化规律，帮助医生做出诊断和治疗方案。
工程领域的实际情况中，导数被广泛应用于设计和优化工程系统，提高生产效率和质量。
导数在不同领域中均起着重要作用，综合运用导数能够解决各种实际生活问题，为我们的生活带来更多便利和效率。
2. 正文2.1 物体运动的速度和加速度物体运动的速度和加速度是导数在实际生活中的一个重要应用领域。
在物理学中，我们经常需要研究物体在运动中的速度和加速度变化情况，而导数提供了一种有效的工具来描述这些变化。
我们知道速度是描述物体在单位时间内所经历的位移量，而加速度则是描述速度在单位时间内的改变量。
简单来说，速度是位移关于时间的导数，而加速度则是速度关于时间的导数。
导数为无穷的点是极值点的例子
导数为无穷的点是极值点的例子以导数为无穷的点是极值点的例子十分常见，下面列举了一些具体的例子。
1. y = x^3这是一个简单的例子，函数的导数是3x^2。
当x取0时，导数无穷大，这个点就是该函数的极小值点。
2. y = x^4这个函数的导数是4x^3。
当x取0时，导数无穷大，这个点就是该函数的极小值点。
3. y = √(x)该函数的导数是1/(2√(x))。
当x取0时，导数无穷大，这个点就是该函数的极大值点。
4. y = 1/x该函数的导数是-1/x^2。
当x取0时，导数无穷大，这个点就是该函数的极大值点。
5. y = e^x该函数的导数是e^x。
当x取负无穷或正无穷时，导数无穷大，这两个点分别是该函数的极小值点和极大值点。
6. y = ln(x)该函数的导数是1/x。
当x取0时，导数无穷大，这个点就是该函数的极小值点。
7. y = sin(x)该函数的导数是cos(x)。
当x取π/2 + nπ（n为整数）时，导数无穷大，这些点就是该函数的极小值点。
8. y = cos(x)该函数的导数是-sin(x)。
当x取nπ（n为整数）时，导数无穷大，这些点就是该函数的极大值点。
9. y = tan(x)该函数的导数是sec^2(x)。
当x取nπ/2（n为整数）时，导数无穷大，这些点就是该函数的极值点。
10. y = 1/x^2该函数的导数是-2/x^3。
当x取0时，导数无穷大，这个点就是该函数的极大值点。
这些例子都符合标题要求，即以导数为无穷的点是极值点。
这些例子的导数在特定的点处无穷大，说明在这些点处函数的变化非常剧烈，从而可能存在极值点。
这些例子展示了不同函数类型中导数为无穷的点是极值点的情况，有助于深入理解极值点的概念和性质。
导数的应用
（2）求出函数 f（x）的导数
；
（3）不等式组
x f
A ( x )
0
的解集为f（x）的单调增区间；
（4）不等式组
x f
A ( x )
0
的解集为f（x）的单调减区间；
注、单调区间不 以“并集”出现。
导数的应用二:求函数的极值
1. 一般地,求函数的极值的方法是: 解方程f′(x)=0.当f ′(x0)=0时. ①如果在x0附近的左侧 f(x)0 右侧 f(x)0 ,那么,f(x0) 是极大值;（左正右负极大） ②如果在x0附近的左侧 f (x) 0右侧 f(x)0 ,那么,f(x0) 是极小值.（左负右正极小）
2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.
说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故
求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义
域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与
定义域求两者的交集.
(3) f (x) x ax x2 (a 0);
解:函数的定义域是[0,a],且当x≠0,a时,有:
f (x) ax x2 x(a 2x) x(3a 4x) . 2 ax x2 2 ax x2
由f(x)0 及x(0,a), 解得0<x<3a/4,故f(x)的递增区间
是(0,3a/4).
由f(x)0 及x(0,a), 解得3a/4<x<a,故f(x)的递减区间
是(3a/4,a). 说明: 事实上在判断单调区间时,如果出现个别点使得
导数为零,不影响包含该点的某个区间上的单调 性,只有在某个区间内恒有导数为零,才能判定 f(x)在这一区间内是常数函数.
导数的应用三：求函数的最值
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导数的应用一（一个极值点）1. （2011西城一模理） 18. （本小题满分14分）已知函数2(1)()a x f x x -=，其中0a >. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值； （Ⅲ）设2()ln ()g x x x x f x =-，求()g x 在区间[1,e]上的最大值. （其中e 为自然对数的底数） 答案：18. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）3(2)()a x f x x-'=，（0x ≠）， ……………3分在区间(,0)-∞和(2,)+∞上，()0f x '<；在区间(0,2)上，()0f x '>.所以，()f x 的单调递减区间是(,0)-∞和(2,)+∞，单调递增区间是(0,2). ………4分（Ⅱ）设切点坐标为00(,)x y ，则002000030(1)10(2)1a x y x x y a x x -⎧=⎪⎪⎪--=⎨⎪-⎪=⎪⎩……………7分（1个方程1分）解得01x =，1a =. ……………8分（Ⅲ）()g x =ln (1)x x a x --，则()ln 1g x x a '=+-， …………………9分解()0g x '=，得1e a x -=，所以，在区间1(0,e)a -上，()g x 为递减函数，在区间1(e,)a -+∞上，()g x 为递增函数. (10)分当1e 1a -≤，即01a <≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，所以()g x 最大值为(e)e e g a a =+-. ………………11分当1e e a -≥，即2a ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数，所以()g x 最大值为(1)0g =. ………………12分当11<e <e a -，即12a <<时，()g x 的最大值为(e)g 和(1)g 中较大者；(e)(1)e e 0g g a a -=+->，解得ee 1a <-， 所以，e1e 1a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-， …………………13分e2e 1a ≤<-时，()g x 最大值为(1)0g =. …………………14分综上所述，当e 0e 1a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-，当ee 1a ≥-时，()g x 的最大值为(1)0g =. 2. （2011东城一模理） （18）（本小题共13分）已知函数2()ln ,()xx f x x x g x e e==-． （Ⅰ）求函数()f x 在区间[1,3]上的最小值；（Ⅱ）证明：对任意,(0,)m n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立 答案： （18）（共13分）（Ⅰ）解：由()ln f x x x =，可得()ln 1f x x '=+．当1(0,),()0,()x f x f x e'∈<单调递减， 当1(,),()0,()x f x f x e'∈+∞>单调递增. 所以函数()f x 在区间[1,3]上单调递增， 又(1)0f =，所以函数()f x 在区间[1,3]上的最小值为0．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞在1x e=时取得最小值， 又11()f e e=-，可知1()f m e ≥-． 由2()x x g x e e =-，可得1'()x xg x e-=．所以当(0,1),'()0,()x g x g x ∈>单调递增， 当(1,),'()0,()x g x g x ∈+∞<单调递减. 所以函数()(0)g x x >在1x =时取得最大值，又1(1)g e=-， 可知1()g n e≤-，所以对任意,(0,)m n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立．分3. （2011年朝阳一模理） 18．（本小题满分13分）已知函数2()ln 20)f x a x a x=+-> (. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记()()()g x f x x b b =+-∈R .当1a =时，函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，求实数b 的取值范围. 答案：18．（本小题满分13分） 解: (I) 直线2y x =+的斜率为1.函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为22()a f x x x '=-+，所以22(1)111af '=-+=-，所以1a =. 所以2()ln 2f x x x =+-. 22()x f x x-'=.由()0f x '>解得2x >；由()0f x '<解得02x <<.所以()f x 的单调增区间是(2,)+∞,单调减区间是(0,2). ……………………4分 (II) 2222()a ax f x x x x -'=-+=， 由()0f x '>解得2x a >；由()0f x '<解得20x a <<.所以()f x 在区间2(, )a +∞上单调递增，在区间2(0, )a 上单调递减.所以当2x a =时，函数()f x 取得最小值，min 2()y f a=.因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立， 所以2()2(1)f a a>-即可.则22ln 22(1)2a a a a+->-. 由2ln a a a >解得20a e <<. 所以a 的取值范围是2(0, )e. ………………………………8分(III)依题得2()ln 2g x x x b x=++--，则222()x x g x x +-'=. 由()0g x '>解得1x >；由()0g x '<解得01x <<.所以函数()g x 在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, )+∞为增函数.又因为函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，所以1()0,()0,(1)0. g e g e g -⎧⎪⎨⎪<⎩≥≥解得211b e e<+-≤.所以b 的取值范围是2(1, 1]e e+-. ………………………………………13分4.（2011昌平二模理19）.(本小题满分14分) 已知函数32ln )(+-=ax x a x f （0≠a ）. （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间;(Ⅱ）函数)(x f y =的图像在2=x 处的切线的斜率为,23若函数])([31)('23m x f x x x g ++=，在区间（1，3）上不是单调函数，求 m 的取值范围。
解：（I ）)0()21()('>-=x xx a x f ……2分 当时，0>a 0)('>x f 即210<<x 210)(><x x f 即‘∴f(x)的单调递增区间为（0，21）,单调递减区间为（21,)∞+ ………4分当时，0<a 210)(>>x x f 即‘，0)('<x f 即210<<xf(x)的单调递增区间为（21,)∞+,单调递减区间为（0，21） ……6分（II ）2323)2('=-=a f 得 1-=a ……8分x x x f 2ln )(+-=+3 23)21(31)(x m xx x g ++-+= ……9分1)24()(2'-++=∴x m x x g ………10分 1)0(31)('-=g x g ）上不是单调函数，且，在区间（ ……11分⎪⎩⎪⎨⎧><∴0)3(0)1(''g g ……12分 ⎩⎨⎧>+<+∴0620024m m 即：2310-<<-m5.丰台．（10一模18）（13分）已知函数.ln )(xax x f +=（I ）当a<0时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）若函数f （x ）在[1，e]上的最小值是,23求a 的值.答案：：解：函数xax x f +=ln )(的定义域为),0(+∞ …………1分 221)('xa x x a x x f -=-=…………3分（1）.0)(',0>∴<x f a故函数在其定义域),0(+∞上是单调递增的. …………5分（II ）在[1，e]上，发如下情况讨论：①当a<1时，,0)('>x f 函数)(x f 单调递增，其最小值为,1)1(<=a f 这与函数在[1，e]上的最小值是23相矛盾； …………6分②当a=1时，函数(]e x f ,1)(在单调递增， 其最小值为,1)1(=f 同样与最小值是23相矛盾； …………7分③当e a <<1时，函数[)a x f ,1)(在上有0)('<x f ，单调递减， 在(]e a ,上有,0)('>x f 单调递增，所以， 函数)(x f 满足最小值为1ln )(+=a a f 由,,231ln e a a ==+得 …………9分④当a=e 时，函数[),0)(',1)(<x f e x f 上有在单调递减， 其最小值为,2)(=e f 还与最小值是23相矛盾； …………10分⑤当a>e 时，显然函数],1[)(e x f 在上单调递减， 其最小值为,21)(>+=eae f 仍与最小值是23相矛盾； …………12分 综上所述，a 的值为.e…………13分6. 海淀(10一模18)．（本小题满分13分）（10一模）已知函数()ln ,f x x a x =+其中a 为常数，且1a ≤-.（Ⅰ）当1a =-时，求()f x 在2[e,e ]（e=2.718 28…）上的值域； （Ⅱ）若()e 1f x ≤-对任意2[e,e ]x ∈恒成立,求实数a 的取值范围.答案：解：（Ⅰ）当1a =-时，()ln ,f x x x =-得1()1,f x x '=-………………2分令()0f x '>，即110x->，解得1x >，所以函数()f x 在(1,)+∞上为增函数， 据此，函数()f x 在2[e,e ]上为增函数，………………4分而(e)e 1f =-，22(e )e 2f =-，所以函数()f x 在2[e,e ]上的值域为2[e 1,e 2]--………………6分（Ⅱ）由()1,a f x x '=+令()0f x '=，得10,ax+=即,x a =-当(0,)x a ∈-时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)a -上单调递减；当(,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 在(,)a -+∞上单调递增； ……………7分 若1e a ≤-≤，即e 1a -≤≤-，易得函数()f x 在2[e,e ]上为增函数，此时，2max ()(e )f x f =，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需2(e )e 1f ≤-即可， 所以有2e 2e 1a +≤-，即2e e 12a -+-≤而22e e 1(e 3e 1)(e)022-+---+--=<，即2e e 1e 2-+-<-，所以此时无解.………………8分若2e e a <-<，即2e e a ->>-，易知函数()f x 在[e,]a -上为减函数，在2[,e ]a -上为增函数， 要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需2(e)e 1(e )e 1f f ≤-⎧⎨≤-⎩，即21e e 12a a ≤-⎧⎪⎨-+-≤⎪⎩， 由22e e 1e e 1(1)022-+--++--=<和222e e 1e e 1(e )022-+-+---=>得22e e 1e 2a -+--<≤.………………10分若2e a -≥，即2e a ≤-，易得函数()f x 在2[e,e ]上为减函数，此时，max ()(e)f x f =，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需(e)e 1f ≤-即可， 所以有e e 1a +≤-，即1a ≤-，又因为2e a ≤-，所以2e a ≤-.……………12分 综合上述，实数a 的取值范围是2e e 1(,]2-+--∞.……………13分7. 朝阳(10一模18)（本小题满分13分）已知函数22()ln ax f x x e=-，（a e R,∈为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；（Ⅱ）当1a =时，过点(0, )P t ()t ∈R 作曲线()y f x =的两条切线，设两切点为111(,())P x f x ，222(,())Px f x 12()≠x x ，求证：120x x +=． 答案：解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(, 0)(0, )-∞+∞ ．222()()a e ax f x x e ex-'=-=. 当0a =时，由2()0f x x'=>，解得0x >；当0a >时，由2()()0e ax f x ex -'=>，解得0ex a <<；当0a <时，由2()()0e ax f x ex -'=>，解得0x >，或ex a<．所以当0a =时，函数()f x 的递增区间是(0, )+∞； 当0a >时，函数()f x 的递增区间是(0, )ea；当0a <时，函数()f x 的递增区间是(, )e a-∞，(0, )+∞． …………8分 （Ⅱ）因为222()()e x f x x e ex-'=-=， 所以以111(,())P x f x 为切点的切线的斜率为112()e x ex -； 以222(,())P xf x 为切点的切线的斜率为222()e x ex -． 又因为切线过点(0, )P t ， 所以21111122()ln (0)x e x t x x e ex --+=-； 22222222()ln (0)x e x t x x e ex --+=-. 解得，221t x e += ，222t x e+=. 则2212x x =.由已知12x x ¹所以，120x x +=． ……………………………13分。