2014年高考一轮复习数学教案：10.5 二项式定理

10.5 二项式定理

●知识梳理

1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础.

2.二项展开式的性质是解题的关键.

3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等.

●点击双基

1.已知（1－3x ）9=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 9x 9，则｜a 0｜+｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a 9｜等于 A.29 B.49 C.39 D.1 解析：x 的奇数次方的系数都是负值，

∴｜a 0｜+｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a 9｜=a 0－a 1+a 2－a 3+…－a 9. ∴已知条件中只需赋值x =－1即可. 答案：B

2.（2004年江苏，7）（2x +x ）4的展开式中x 3的系数是 A.6

B.12

C.24

D.48

解析：（2x +x ）4=x 2（1+2x ）4，在（1+2x ）4中，x 的系数为C 24·22=24.

答案：C

3.（2004年全国Ⅰ，5）（2x 3－x

1）7

的展开式中常数项是 A.14

B.－14

C.42

D.－42

解析：设（2x 3－

x 1）7的展开式中的第r +1项是T 1+r =C r

7（2x 3）r -7（－x

1）r =C r 72r -7· （－1）r ·x )

7(32x r

-+-，

当－

2

r +3（7－r ）=0，即r =6时，它为常数项，∴C 67（－1）6·21

=14. 答案：A

4.（2004年湖北，文14）已知（x 2

3+x

3

1-）n 的展开式中各项系数的和是128，则展开式

中x 5的系数是_____________.（以数字作答）

解析：∵（x 2

3+x

3

1-

）n 的展开式中各项系数和为128，

∴令x =1，即得所有项系数和为2n =128.

∴n =7.设该二项展开式中的r +1项为T 1+r =C r

7（x 2

3）

r

-7·（x

3

1-

）

r

=C r 7·x 6

1163r

-，

令

6

1163r

-=5即r =3时，x 5项的系数为C 37=35.

答案：35

5.若（x +1）n =x n +…+ax 3+bx 2+cx +1（n ∈N *），且a ∶b =3∶1，那么n =_____________.

解析：a ∶b =C 3n ∶C 2n =3∶1，n =11.

答案：11 ●典例剖析

【例1】 如果在（x +421x

）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的

有理项.

解：展开式中前三项的系数分别为1，2

n ，8)1(-n n ，

由题意得2×

2

n

=1+8)1(-n n ，得n =8.

设第r +1

项为有理项，T 1+r =C r

8·

r

21

·x 4

316r -，则r 是4的倍数，所以r =0，4，8.

有理项为T 1=x 4，T 5=

835x ，T 9=2

2561x . 评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r .

【例2】 求式子（｜x ｜+

|

|1

x －2）3的展开式中的常数项. 解法一：（｜x ｜+||1x －2）3=（｜x ｜+||1x －2）（｜x ｜+||1x －2）（｜x ｜+|

|1

x －2）得

到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x ｜，一个括号取

|

|1x ，一个括号取－2，得C 13C 1

2（－2）=－12， ∴常数项为（－2）3+（－12）=－20. 解法二：（|x |+

||1x －2）3=（||x －|

|1

x ）6. 设第r +1项为常数项，

则T 1+r =C r

6·（－1）r ·（

|

|1x ）r ·|x |r -6=（－1）6·C r

6·|x |r 26-，得6－2r =0，r =3. ∴T 3+1=（－1）3·C 36=－20.

思考讨论

（1）求（1+x +x 2+x 3）（1－x ）7的展开式中x 4的系数； （2）求（x +

x

4

－4）4的展开式中的常数项； （3）求（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）50的展开式中x 3的系数.

解：（1）原式=x

x --114（1－x ）7=（1－x 4）（1－x ）6，展开式中x 4的系数为（－1）4C 4

6

－

1=14.

（2）（x +x 4－4）4=44

2)44(x x x +-=4

8)2(x

x -，展开式中的常数项为C 4

482·（－1）4=1120. （3）方法一：原式=1

)1(]1)1[()1(483-+-++x x x =x x x 3

51)1()1(+-+.

展开式中x 3的系数为C 4

51.

方法二：原展开式中x 3的系数为

C 33+C 34+C 35+…+C 350=C 44+C 34+…+C 350=C 45+C 35+…+C 350=…=C 451.

评述：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键.

【例3】 设a n =1+q +q 2+…+q 1-n （n ∈N *，q ≠±1），A n =C 1n a 1+C 2n a 2+…+C n n a n .

（1）用q 和n 表示A n ； （2）（理）当－3

∞→n n n

A 2

. 解：（1）因为q ≠1， 所以a n =1+q +q 2

+…+q

1

-n =q

q n --11. 于是A n =q q --11 C 1n +q q --112 C 2

n +…+q

q n --11C n n

=

q

-11［（C 1n +C 2n +…+C n n ）－（C 1n q +C 2n q 2+…+C n n q n ）］ =

q

-11

{（2n －1）－［（1+q ）n －1］} =

q

-11

［2n －（1+q ）n ］. （2）

n

n A 2

=q -11［1－（21q +）n ］. 因为－3

2

1q

+ |<1. 所以lim

∞→n n

n A 2

=q -11.