乘法原理
乘法的基本原理与运算技巧引导孩子掌握乘法的本质与方法
乘法的基本原理与运算技巧引导孩子掌握乘法的本质与方法乘法作为数学的基本运算之一，对于孩子的数学学习和发展具有重要的意义。
掌握乘法的基本原理和运算技巧，能够帮助孩子建立起对数学乘法的正确认知，提高计算能力，并应用到实际生活中。
一、乘法的基本原理乘法可以理解为多个相同的数相加的结果。
具体来说，乘法由被乘数、乘数和积三个要素组成，被乘数表示需要重复的次数，乘数表示重复的对象，积表示乘法的结果。
例如，3 × 4 = 12中，3是被乘数，4是乘数，12是积。
乘法可以通过多种方法和模型进行理解。
其中，集合模型是最常见且易于理解的方法之一。
通过集合模型，孩子可以将乘法问题转化为多个集合中的对象总数的问题。
例如，3 × 4可以表示为三个集合中每个集合有4个对象，最终总共有多少个对象。
另一个常用的乘法理解模型是区域模型。
通过区域模型，可以将乘法问题转化为矩形区域中的面积问题。
例如，3 × 4可以表示为一条长为3，宽为4的矩形的面积是多少。
通过这样的乘法理解模型，孩子可以更加直观地理解乘法的基本原理，从而建立起正确的乘法概念。
二、乘法的运算技巧理解乘法的基本原理之后，孩子还需要掌握一些乘法的运算技巧。
这些技巧有助于孩子更高效地进行乘法计算，提高计算速度和准确性。
1.倍数关系孩子需要理解倍数与乘法的关系。
倍数指的是一个数是另一个数的几倍。
通过理解倍数概念，孩子可以将乘法问题转化为倍数之间的关系，从而更好地解决问题。
例如，8 × 3可以理解为8的3倍，即8 + 8 + 8 = 24。
2.分解与重组孩子可以通过分解和重组乘法问题，简化计算过程。
例如，对于6× 5，可以将其分解为6 × 4 + 6，再进行计算。
这样的分解与重组技巧可以使复杂的乘法问题简化为更容易计算的部分。
3.交换律和结合律交换律指的是乘法中乘数的交换不会改变积的结果，结合律指的是乘法中被乘数和乘数的括号可以任意改变次序。
乘法原理和加法原理
乘法原理和加法原理
乘法原理和加法原理是数学中常用的计数原理，它们可以帮助我们解决计数问题。
乘法原理是指如果一个事件可以分解为若干个步骤，且每个步骤的选择数目是相互独立的，那么整个事件发生的总数就是这些步骤的选择数目的乘积。
简单来说，乘法原理可以用于计算多个选择的组合情况。
举个例子来说，假设有一家餐厅有3种主菜（牛排、鸡肉、鱼肉）可供选择，每种主菜都有2种口味（烤的、炸的）。
那么，如果要选择一道主菜和口味的组合，根据乘法原理，我们可以计算出总共的组合数为3种主菜选择的乘积，即3 × 2 = 6种
组合。
加法原理是指如果一个事件可以分解为几个互斥的情况，那么整个事件发生的总数就是这些情况的选择数目的和。
简单来说，加法原理可以用于计算多个情况的总和。
举个例子来说，假设要统计某班学生喜欢的体育项目。
如果有
8个学生喜欢篮球，5个学生喜欢足球，3个学生喜欢乒乓球，那么根据加法原理，总共喜欢的体育项目数就是这些情况的选择数目的和，即8 + 5 + 3 = 16个学生喜欢体育。
综上所述，乘法原理和加法原理是解决计数问题时常用的原理。
它们能帮助我们计算出一系列事件或情况的总数，从而更好地分析和理解数学问题。
乘法原理和排列组合
乘法原理和排列组合
乘法原理是概率论中一种常用的计数方法。
它是指如果事件 A 可以发生的方式数为 m 种，事件 B 可以发生的方式数为 n 种，那么事件 A 和 B 同时发生的方式数为 m × n 种。
排列是从给定的对象中取出几个，按照一定的顺序排列起来；而组合是从给定的对象中取出几个，不考虑顺序。
举例来说，假设有 3 个任务，每个任务可以由 A、B、C 三个
人中的任何一个完成。
那么根据乘法原理，完成这 3 个任务的方式数为 3 × 3 × 3 = 27 种。
即每个任务有 3 种选择，总的方
式数为 3 的 3 次方。
再举一个例子，假设有 5 个人排队，他们的身高依次是A、B、C、D、E。
那么根据排列的定义，他们可以排列成的不同队形数为 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 种。
即第一个位置有 5 种选择，第
二个位置有 4 种选择，以此类推。
再来看一个组合的例子，假设有 7 个球员要从中选出 3 个进行比赛。
那么根据组合的定义，不考虑选出球员的顺序，选出的不同组合数为 C(7, 3) = 7! / (3! * (7 - 3)!) = 35 种。
即从 7 个球
员中选出 3 个的方式数为 35 种。
乘法原理和排列组合在概率论和统计学中都有广泛的应用。
它们是辅助计算事件发生方式数和计算概率的重要方法，可以帮助我们更好地理解和分析随机事件的规律。
乘法和除法的基本原理
乘法和除法的基本原理乘法和除法是我们日常生活中经常使用的数学运算，它们有着重要的作用，不仅在数学学科中应用广泛，也在其他学科和实际生活中有着重要的应用价值。
本文将介绍乘法和除法的基本原理及其应用的几个方面。
一、乘法的基本原理乘法是一种将两个或多个数值相加的运算，其基本原理是将两个数值进行相加，得到它们的乘积。
乘法的符号为"×"，用于表示两个或多个数值之间的相乘关系。
例如，2×3=6，表示2和3相乘，得到结果6。
在乘法中，有一些特殊的性质和规律需要我们注意。
首先，乘法具有交换律，即a×b=b×a。
这意味着两个数值相乘的结果不会因为它们的顺序而改变。
例如，2×3=3×2=6。
其次，乘法具有结合律，即a×(b×c)=(a×b)×c。
这意味着当进行多个数值相乘时，它们的相对顺序不会改变乘积的结果。
例如，2×(3×4)=(2×3)×4=24。
乘法还与加法有着密切的联系。
乘法可以看作是多次进行加法运算的简化形式。
例如，2×3可以理解为2+2+2。
这种将乘法转化为加法的思想在数学推导和计算中具有重要的意义。
二、除法的基本原理除法是乘法的逆运算，其基本原理是将一个被除数分成若干个等分，得到每一份的数值，即商。
除法的符号为"÷"或"/"，用于表示被除数和除数之间的相除关系。
例如，6÷2=3，表示6除以2，得到结果3。
在除法中，同样有一些特殊的性质和规律需要我们注意。
首先，除法不满足交换律，即a÷b≠b÷a。
这意味着两个数值的相除结果会因为它们的顺序而改变。
例如，6÷2≠2÷6。
其次，除法具有结合律，即(a÷b)÷c=a÷(b÷c)。
第八讲：乘法原理
第二讲：乘法原理在我们的日常生活中常常会遇到这样的情形：做一件事，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法。
要知道完成这件事一共有多少种方法，应当用乘法原理来解决。
乘法原理：做一件事，如果需要分成n 个步骤，做第一步有a 1种不同的方法，做第二步有a 2种不同的方法……做第n 步有a n 种不同的方法，那么完成这件事共有：N=a 1×a 2×……×a n 种不同的方法。
例1、 从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有3条路可走，问：从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法？解：先从甲地到乙地，有2种不同的走法，再从乙地到丙地有3种不同的走法，根据乘法原理：2×3=6（种） 答：共有6种不同的走法。
例2、 小东到新华书店买书，他喜欢的数学书有5种，科幻书有3种，历史书有2种。
三种书他各买一本有多少种不同的选法？分析：小东买书可分三步完成：先买数学书，再买科幻书，最后买历史书。
解：第一步：在5种数学书中任选一本，有5种选法；第二步：在3种科幻书中任选一本，有3种选法；第三步：在2种历史书中任选一本，有2种选法。
所以，根据乘法原理有：5×3×2=30（种） 答：小东各买一本共有30种不同的选法。
说明：乘法原理和加法原理，结论本身并不难理解。
重要的是分清乘法原理和加法原理的应用范围，不要混淆。
凡是完成一件事的方法分成几类的，用加法原理。
凡是完成一件事情，可以分成几步的，应用乘法原理。
例3、 运行于南京、上海之间的某快车，中途要停靠六个站。
这趟快车要准备多少种不同的车票？分析：不同的起点或不同的终点，应当用不同的票。
解：确定起点，有8个站（即有8种方法）。
在确定终点，有8-1=7个站（7种方法）。
根据乘法原理，应当有87=56（种） 答：要准备56种不同的车票例4、 如图中共有16个方格，要把A 、B 、C 、D 四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子，问共有多少种不同的方法？分析：由于四个棋子要一个一个地放入格内，所以可以分成四步完成，第一步放棋子A ，A 可以放在16个方格中的任意一个中，因此有16种不同的放法。
乘原理和加法原理的区别
乘原理和加法原理的区别乘法原理和加法原理是概率论中两个重要的基本原理，它们在计算事件的可能性时起到了重要作用。
虽然它们都是计算概率的方法，但是在具体应用中有明显的区别。
首先来看乘法原理。
乘法原理是指当一个事件可以分解为多个相互独立的子事件时，可以通过将这些子事件的概率相乘来计算整个事件的概率。
简单来说，乘法原理适用于多个事件同时发生的情况。
举个例子来说明，假设一次抽取彩票的过程可以分解为两步：第一步是抽取红色球的概率为p，第二步是抽取蓝色球的概率为q。
那么整个抽取过程的概率就可以通过p和q的乘积来计算。
乘法原理的应用范围非常广泛，不仅仅局限于概率论中。
在组合数学中，乘法原理也有重要的运用。
例如，当从一个有n个元素的集合中选择k个元素时，可以通过乘法原理计算出选择的可能性，即n个元素中选出k个的组合数为C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)。
而加法原理则与乘法原理不同，它适用于多个事件互斥或互不相干的情况。
加法原理指的是当一个事件可以通过多个互斥的子事件中的任意一个发生而实现时，可以通过将这些子事件的概率相加来计算整个事件的概率。
换句话说，加法原理适用于多个事件中至少发生一个的情况。
继续以上面的例子来说明，假设现在有两种不同的彩票方式可以选取，第一种方式的概率为p，第二种方式的概率为q，那么选择一种方式购买彩票的概率就可以通过p和q的和来计算。
加法原理同样在概率论以外的领域有着广泛的应用。
在组合数学中，加法原理用来计算多种情况下的组合数。
比如当一个集合可以被划分成若干个不相交的子集时，可以通过加法原理计算出集合的总数。
另外，加法原理也在马尔可夫链、图论等领域中得到应用。
简而言之，乘法原理和加法原理是计算概率时使用的两种不同方法。
乘法原理适用于多个事件同时发生的情况，可以通过将各个事件的概率相乘来计算整个事件的概率；而加法原理适用于多个事件中至少发生一个的情况，可以通过将各个事件的概率相加来计算整个事件的概率。
乘法原理推导过程
乘法原理推导过程乘法原理是概率论中的基本原理之一，用来计算多个事件同时发生的概率。
这个原理是由乘法法则推导出来的，乘法原理可以简单地表述为：“对于多个相互独立的事件来说，它们同时发生的概率等于每个事件发生的概率的乘积。
”下面我将详细介绍乘法原理的推导过程。
假设有两个独立的事件A和B，它们的发生概率分别为P(A)和P(B)。
我们想知道同时发生事件A和B的概率是多少。
根据直觉，我们可以猜测这个概率应该是P(A)和P(B)的乘积，即P(A∩B) = P(A)× P(B)。
为了验证这个猜想，我们可以使用条件概率的概念来进行推导。
条件概率P(A|B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
根据条件概率的定义，我们可以得到以下等式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)将上述等式等号左边的P(A|B)进行一些变换，我们可以得到：P(A) = P(A∩B) / P(B)将上述等式进行一些变换，我们可以得到：P(A∩B) = P(A) × P(B)从这个等式可以看出，如果事件A和事件B相互独立，也就是说P(A|B) = P(A)，那么P(A∩B) = P(A) × P(B)。
这就证明了乘法原理的正确性。
乘法原理不仅适用于两个事件的情况，也适用于多个事件同时发生的情况。
假设有n个相互独立的事件A₁、A₂、...、Aₙ，它们的发生概率分别为P(A₁)、P(A₂)、...、P(Aₙ)。
我们要计算这n个事件同时发生的概率。
根据乘法原理，我们可以得到：P(A₁∩A₂∩...∩Aₙ) = P(A₁) × P(A₂) × ... × P(Aₙ)这个等式可以进一步推广到无限个事件同时发生的情况。
假设有无限个相互独立的事件A₁、A₂、...，它们的发生概率分别为P(A₁)、P(A₂)、...。
我们要计算无限个事件同时发生的概率。
根据乘法原理，我们可以得到：P(A₁∩A₂∩...) = P(A₁) × P(A₂) × ...注意，在处理无限个事件的情况时，我们需要对事件的发生概率进行一些限制，以确保乘积有意义。
乘法的运算公式
乘法的运算公式
一、乘法的定义
乘法是数学的常用运算，乘法运算包括乘数、被乘数和乘积三个基本元素。
乘数又称因数、比数，表示参与乘法运算的数几个或者几次重复；被乘数又称因式、积，表示被乘数所乘的数及其几次重复；乘积是乘数与被乘数乘积而得的结果。
二、乘法原理
乘法运用在同一类事物参与关系等于事物间关系的总和，也就是在同类的量的乘积上，将数变化带来的量的变化的两个原理：乘数的变动原理和积的变动原理。
根据乘数的变动原理，假定有m个被乘数x，那么对于乘积而言，一旦乘数变动，其乘积也随之变动，而乘积变动幅度取决于乘数变动幅度；另外根据积的变动原理，假定有m个乘数y。
当积y变动时，乘积也随之变动，而乘积的变动幅度则取决于积的变动幅度。
三、乘法的运算公式
数学中的乘法运算指的是乘法运算符（×），常用的乘法公式为：A×B=C，其中A是乘数，B是被乘数，C是乘积。
乘法归约公式：A×(B+C)=A×B+A×C，其中A是乘数，B和C是被乘数，A×B和A×C 是乘积。
乘法可以用看成一步乘法，A×B=A×B×1=A×1×B=1×A×B=C，其中A和B是乘数，C是乘积。
四、乘法的应用
乘法在各种科学问题中都可以得到很好的应用，如计算机、管理、生物、政治、地理、物理和社会等；另外乘法运算还可以用于比较物体的大小、实施立体操作和各种数量的测量等。
比如：统计一个事物的结果，比较两组成分的比例，在营销领域计算推广效果等。
乘法口诀的规律总结
乘法口诀的规律总结乘法口诀是每一位学生经历过的，也是记得特别牢固的知识。
它的出现极大的减轻了学习的过程，让学习者能够轻易的学习乘法运算。
乘法口诀不仅可以帮助我们极大的快速熟悉乘法，而且可以帮助学习者对乘法运算规律进行系统总结。
乘法口诀可以简单的概括为“一加一等于二”，“一乘一等于一”，“一乘任何数都等于它自身”，等等。
乘法口诀的规律总结如下：一、乘数的规律：1.任何数乘以一等于它本身：一乘任何数等于它自身；2.任何数乘以零等于零：任何数乘以零都等于零；3.任何数乘以二等于它的两倍。
二、乘积的规律：1.任何数乘以一等于它本身：一乘任何数等于它自身；2.乘积等于乘数两两相乘：如五乘七等于七乘五；3.乘积公式类似于减法、加法，它从左到右是按照真乘运算的顺序执行的，如：4 5 6 = (4 5) 6 = 20 6 = 120；4.乘积也有分配率：如：（a×b）×c=a×（b×c）；5.乘积有乘法交换原理：也就是说，乘积的乘数顺序无关紧要，如：6 8 = 8 6；6.任何数乘以一个负数等于它乘以另一个负数的相反数；三、乘法口诀规律：1.乘数二结果翻倍：乘以二结果翻倍；2.乘数十结果两位：乘以十结果两位；3.乘数百结果三位：乘以百结果三位；4.乘数千结果四位：乘以千结果四位；5.乘一得一等于本：乘一得一等于本；6.乘零结果永远为零：乘零结果永远为零。
乘法口诀的规律总结，让学习者能够更好的掌握乘法的规律，使其对乘法有着更深的认知。
从乘法口诀的规律总结上来看，学习者可以学习如何正确的使用乘法，从而更好的完成数学运算。
另外，乘法口诀也为数学知识的传承和发展提供了便利，因为它为每一位学习者都提供了一种简单而容易记忆的规律总结方式，使每一位学生都能够轻松的记忆乘法口诀，并且进一步掌握乘法规律总结。
同时，不断的复习乘法口诀也可以帮助我们在正确的应用乘法的时候更加的清晰，从而更好的完成数学运算。
乘法的原理
乘法是数学中一个重要的运算，其原理被广泛应用于日常生活中的各种计算。
乘法的原理指的是一个数乘以另一个数所得的积，即乘法原理的公式：a × b = c。
乘法的原理可以分为两个部分：一是乘数，二是乘积。
乘数指的是把多个数相乘所得的积。
乘数可以是一个或多个数，比如2 × 5 = 10，这里2和5是乘数，10是乘积。
乘积指的是乘数相乘得到的结果。
另外，乘法还有一个重要的特性，即乘法的分配律。
乘法的分配律是指一个数乘以一个数等于这个数乘以这个数的和，比如2 × (3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4，这里2乘以(3+4)的结果和2乘以3加上2乘以4的结果是一样的。
总的来说，乘法的原理是一个数乘以另一个数所得的积，也就是a × b = c，乘数可以是一个或多个数，乘积是乘数相乘得到的结果，乘法的分配律是一个数乘以一个数等于这个数乘以这个数的和。
乘法的原理在日常生活中被广泛应用于计算，它可以帮助我们解决很多数学问题。
乘法原理
乘法原理知识解析：一、乘法原理我们在完成一件事时往往要分为多个步骤，每个步骤又有多种方法，当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理.乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，则完成这件事一共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响．．．．的独立步骤．．．．来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的．．．．．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”.二、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘三、乘法原理的考题类型1、路线种类问题——比如说从A地到B地有三种交通方式，从B地到C地有2种交通方式，问从A地到C地有多少种乘车方案；2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色方法；3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几位数的偶数，有多少种排法．例题精讲:【例 1】马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋.问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配【巩固】康康到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法【例 2】从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路.问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法【巩固】邮递员投递邮件由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条，那么邮递员从A 村经B村去C村，共有多少种不同的走法【例 3】用5种不同颜色的笔来写“我爱数学”这几个字，相邻的字颜色不同，共有多少种写法【巩固】“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母写成三种不同颜色.现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”【例 4】从全班20人中选出3名学生排队，一共有多少种排法【巩固】如果将四面颜色不同的小旗子挂在一根绳子上，组成一个信号，那么这四面小旗子可组成种不同的信号。
乘法原理与加法原理
乘法原理与加法原理在数学中，乘法原理和加法原理是两个非常重要的概念。
它们在解决问题时起到了至关重要的作用。
本文将详细介绍乘法原理和加法原理的概念、应用以及解决问题的方法。
一、乘法原理乘法原理是指当两个事件分别有m种可能性和n种可能性时，这两个事件同时发生的可能性有m × n种。
乘法原理的应用非常广泛，特别是在计数问题中经常被使用。
例如，小明有3件上衣和2条裤子，他想选择一件上衣和一条裤子穿。
根据乘法原理，他有3 × 2 = 6种不同的穿搭方式。
乘法原理也可以应用于更复杂的问题。
例如，某班有4个男生和5个女生，老师要从中选择一位男生和一位女生组成一个小组。
根据乘法原理，可以得出选择的方式有4 × 5 = 20种。
乘法原理在解决排列组合问题时也非常有用。
例如，某班有10个学生，老师要从中选择3个学生组成一个小组。
根据乘法原理，可以得出选择的方式有10 × 9 × 8 = 720种。
二、加法原理加法原理是指当两个事件分别有m种可能性和n种可能性时，这两个事件至少发生一个的可能性有m + n种。
加法原理可以用于解决选择问题和排除问题，也是解决概率问题的基础。
例如，小明有3个苹果和2个橙子，他想选择一个水果吃。
根据加法原理，他有3 + 2 = 5种选择。
加法原理也可以应用于更复杂的问题。
例如，某班有4个男生和5个女生，老师要从中选择一位学生代表参加演讲比赛。
根据加法原理，可以得出选择的方式有4 + 5 = 9种。
加法原理还可以用于解决排除问题。
例如，某班有30个学生，其中15个人喜欢篮球，20个人喜欢足球，5个人既不喜欢篮球也不喜欢足球。
问有多少学生至少喜欢一种球类运动？根据加法原理，可以得出至少喜欢一种球类运动的学生有15 + 20 - 5 = 30个。
三、乘法原理与加法原理的综合应用乘法原理和加法原理常常需要综合应用来解决实际问题。
例如，某班有4个男生和5个女生，老师要从中选择一位男生和一位女生组成一个小组，同时还要选择一位学生作为小组的负责人。
乘法原理的意思。
乘法原理的意思。
（原创版）
目录
1.乘法原理的定义
2.乘法原理的公式表示
3.乘法原理的应用举例
4.乘法原理的实际意义
正文
乘法原理，是一种概率论中的基本原理，用于计算多个事件同时发生的概率。
它的意思是：如果事件 A 可以分为 m 种情况，事件 B 可以分为 n 种情况，那么事件 A 和事件 B 同时发生的可能性就有 m×n 种。
乘法原理的公式表示为：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)，其中 P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A) 表示事件 A 发生的概率，P(B|A) 表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率。
乘法原理在实际应用中非常广泛，比如在计算机科学中的算法设计、统计学中的数据分析、经济学中的风险管理等领域都有重要的应用。
例如，在计算机科学中，可以使用乘法原理设计出一种高效算法，如在八皇后问题中，可以使用乘法原理来减少搜索的次数，快速找到所有可能的解。
乘法原理的实际意义在于，它可以帮助我们更好地理解和计算多个事件同时发生的概率，从而在实际问题中做出更准确的决策。
同时，乘法原理也为我们提供了一种思考问题的新视角，即通过将问题分解为多个子问题，然后分别计算子问题的概率，最后再将子问题的概率相乘，就可以得到问题的总概率。
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乘法原理的意思。
乘法原理的意思。
摘要：
1.乘法原理的定义
2.乘法原理的例子
3.乘法原理的应用领域
4.乘法原理的注意事项
正文：
乘法原理，又称为分步乘法原理，是一种用于计算多个事件同时发生的概率的数学方法。
它是概率论中的一个基本原理，被广泛应用于各种实际问题的求解中。
乘法原理的定义是：如果一个事件可以分为n 个步骤，每个步骤有
m1、m2、m3...mn 种可能，那么这个事件发生的所有可能的总数就是
m1×m2×m3...mn。
举个例子，假设我们要从家里去往公司，一共有3 个步骤：出门、上车、下车。
每个步骤有2、1、1 种可能，那么按照乘法原理，我们可以知道从家里去往公司的所有可能的总数为2×1×1=2。
乘法原理的应用领域非常广泛，它不仅可以用于计算概率，还可以用于解决组合问题，如在排列组合中的应用。
此外，乘法原理在统计学、计算机科学、物理学等领域也有重要的应用。
在使用乘法原理时，需要注意以下几点：首先，乘法原理只能用于计算多个事件同时发生的概率，不能用于计算单个事件的概率；其次，每个步骤必须
互斥，即每个步骤只能选择一种可能，不能重复选择；最后，乘法原理适用于所有可能的步骤数和每个步骤的可能数。
乘法与除法的基本原理
乘法与除法的基本原理乘法和除法是数学中基本的运算法则，掌握它们的原理对于我们解决实际问题、进行进一步的数学推理都至关重要。
本文将围绕乘法与除法的基本原理展开论述，帮助读者对这两种运算有更深入的理解。
1. 乘法的基本原理乘法是将两个或多个数相乘得到一个新的数的运算。
它的基本原理是根据数的性质，将乘法转化为加法的重复进行：a × b 可以理解为将a 重复b 次相加的结果。
这个理念在实际问题中非常实用，比如计算购买多个相同商品的总价。
以计算购买 5 个价格为 10 元的商品的总价为例，我们可以运用乘法的原理：10元 × 5 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 50 元从上述例子可以看出，乘法的本质是将一个数重复相加，简化了大量的计算过程。
2. 除法的基本原理除法是将一个数分为若干份均等的部分的运算。
它的基本原理是根据数的性质，将除法转化为乘法的反向操作：a ÷ b 可以理解为找出一个数 x，满足 x × b = a。
以计算 20 ÷ 4 为例，我们要找出一个数 x，使得 x × 4 = 20。
很明显，在这个例子中 x = 5，因为 5 × 4 = 20。
因此，20 ÷ 4 = 5。
需要注意的是除法运算中的特殊情况，即除数为 0。
任何数除以 0 都是没有意义的，因为不存在一个数乘以 0 等于非零数的情况。
3. 乘法与除法的关系乘法和除法是互为逆运算的。
我们可以通过乘法的基本原理推导出除法的基本原理，同样，通过除法的基本原理也可以推导出乘法的基本原理。
举个例子来说明乘法与除法的关系。
假设我们有一个方程式：a × b = c，我们可以通过除法的原理将其转化为 a = c ÷ b。
同样地，如果我们有方程式 a ÷ b = c，我们可以通过乘法的原理将其转化为 a = b × c。
第十讲 乘法原理
第十讲乘法原理■知识与方法1、什么是乘法原理？做一件事，完成它需要n个步骤，其中，做第一步有m1不同的办法，做第二步有m2种不同的的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N= m1×m2×m3×……×m n种不同的方法，这就是乘法原理。
2、运用乘法原理解题的方法常用的有：枚举法、分类法、图解法、配对法。
3、加法原理和乘法原理常用在解同一个问题中。
■例题与训练例1 食堂里有三种主食，五种肉菜，某人想买一种主食搭配一种肉菜，请你算一算他有多少种不同的选择？【思路点拨】要一种主食搭配一种肉菜，可分两步，第一步买主食有3种不同的选择，第二步买肉菜有5种不同的选择，因此可以用乘法原理解决。
解：3×5=15（种）答：有15种不同的选择说明：由上面的例题可知，这个例子反映了一个重要的计数原理，这就是我们前面所说的乘法原理：完成某件事需要若干个步骤，每个步骤又有若干种方法，那么完成这件事情的方法总数是各个步骤的方法数的积。
◆练一练1书架上放有不同的故事书10本，还放有不同的连环画7本，如果以书架上任取一本故事书和一本连环画，有多少种不同的取法？◆练一练2商店里有4种巧克力糖：牛奶味、苹果味、榛仁味、椰汁味；有3种饼干：梳打饼干、甜饼干、奶盐饼干，如果妈妈想买巧克力糖和饼干各一种，她有几种选择？例2 有5件不同的上衣，3条不同的裤子，4顶不同的帽子，从中取出1件上衣，1条裤子和1顶帽子配成一套装束，共有多少种不同的装束？【思路点拨】要把上衣、裤子和帽子配成一套装束需分三步完成，第一步选一件上衣，有5种选法，第二步选一条裤子，有3种选法，第三步选一顶帽子有4种选法，这是运用乘法原理解答的问题。
解：根据乘法原理得：5×3×4=60（种）答：共有60种不同的装束。
◆练一练3有三个口袋，分别装了5只、7只和10只小球，所有这些小球都编上了不同的号码，那么，从三个口袋里各取一个小球，有多少种不同的取法？◆练一练4某班有男生20人，女生18人，由语文、数学、英语三位老师带领参加三人四足比赛，如果这三人中有一位老师、一位男生、一位女生，那么可以有多少种不同的三人搭配？例3 用数字0、1、2、3、4、5组成三位数，问(1)可以组成多少个不相等的三位数？（2）可以组成多少个没有重复数字的三位数？（3）可以组成多少个三位偶数？【思路点拨】在组成三位数时，要一位一位地去确定，鱿鱼组成的是三位数，因此可以看成分三步完成，第一步确定百位上的数有几种取法，第二步确定十位上的数有几种取法，第三步确定个位上的数有几种取法，然后根据乘法原理求解，但解答（1）和（2）有点不同，解答（1）时数字可以重复使用，解答（2）时，数字不能重复使用，即百位上的数确定后，十位上的数不能再重复选，个位同理。
奥数 乘法原理
奥数乘法原理
乘法原理是解决组合问题时经常使用的一种方法。
它可以用来计算将两个或多个事件相互组合时的可能情况总数。
乘法原理的核心思想是，对于两个或多个独立事件的组合，每个事件都有自己的选择数目。
如果一个事件有m种选择，另
一个事件有n种选择，那么两个事件组合起来的可能情况总数就是m乘以n。
例如，假设有两个骰子，一个有6个面，另一个有4个面。
现在要计算同时投掷这两个骰子时出现的所有可能情况总数。
根据乘法原理，第一个骰子有6种选择，第二个骰子有4种选择，所以组合起来的可能情况总数就是6乘以4，即24种情况。
乘法原理在解决排列、组合、数列等问题时非常有用。
它可以帮助我们计算得出所有可能的情况总数，从而更好地理解和解决数学题目。
需要注意的是，乘法原理只适用于独立事件的组合。
如果事件之间存在依赖或重叠，那么乘法原理就不适用了。
在解决问题时，我们需要仔细分析事件之间的关系，选择合适的方法进行计算。
概率问题中的乘法原理
概率问题中的乘法原理概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件发生的可能性和规律。
乘法原理是概率论中的基本原理之一，用于计算一个事件同时发生的概率。
本文将详细介绍概率问题中的乘法原理及其应用。
一、乘法原理的基本概念在概率问题中，我们常常要确定两个或多个事件同时发生的概率。
乘法原理提供了一种简洁的计算方法。
乘法原理的基本概念是：如果事件A和事件B是两个相互独立的事件，那么事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率，即P(A 且 B) = P(A) × P(B)。
二、乘法原理的应用举例下面通过具体案例来说明乘法原理的应用。
案例一：假设某班级有20名男生和15名女生，班级中的一名学生被随机选为班级代表，如果先选出男生代表，再从女生中选出一名女生担任副班长，那么男生代表和女生副班长同时产生的概率是多少？解析：事件A：从男生中选出班级代表事件B：从女生中选出副班长根据乘法原理，男生代表和女生副班长同时产生的概率为P(A 且B) = P(A) × P(B)。
男生代表的概率为P(A) = 20/35 (男生总数/总人数)女生副班长的概率为P(B) = 15/34 (女生总数/除去已选男生代表后的剩余人数)将数据代入公式，则P(A 且B) = (20/35) × (15/34) = 300/1190 ≈0.252所以，男生代表和女生副班长同时产生的概率约为0.252。
案例二：某家电商平台有10个商品待售，其中A商品占据总商品的60%，B商品占据总商品的40%。
如果该平台同时随机选取两个商品，那么选取的两个商品都为A商品的概率是多少？解析：事件A：第一次选取的商品为A商品事件B：第二次选取的商品为A商品根据乘法原理，选取的两个商品都为A商品的概率为P(A 且 B) =P(A) × P(B)。
第一次选取的商品为A商品的概率为P(A) = 6/10 (A商品数/总商品数)第二次选取的商品为A商品的概率为P(B) = 5/9 ((A商品数-1)/(总商品数-1))将数据代入公式，则P(A 且B) = (6/10) × (5/9) = 30/90 ≈ 0.333所以，选取的两个商品都为A商品的概率约为0.333。
第四讲一一列举与乘法原理
第四讲一一列举与乘法原理乘法原理是概率论中的重要原理，它描述了两个事件同时发生的概率。
下面我将详细介绍乘法原理，并列举一些与乘法原理相关的例子。
乘法原理是指，如果事件A和事件B是两个相互独立的事件，那么这两个事件同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
换句话说，乘法原理可以帮助我们计算两个或更多事件同时发生的概率。
举个例子来说明乘法原理。
假设有一个有红、绿、蓝三种颜色的袋子，袋子里分别装有5个红球、4个绿球和3个蓝球。
现在我们需要从袋子中连续取两个球，问取出的两个球颜色相同的概率是多少？首先，我们计算取出第一个球为红色的概率。
红色球总数为5个，总球数为12个，所以取出第一个球是红色的概率为5/12接下来，我们计算取出第二个球为红色的概率。
由于我们已经取出了一个红球，所以剩下的红球数为4个，总球数减少为11个，所以取出第二个球是红色的概率为4/11根据乘法原理，事件A（取出第一个球是红色）和事件B（取出第二个球是红色）同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
所以，取出两个球颜色相同的概率为(5/12)*(4/11)≈0.152以上就是一个使用乘法原理计算事件概率的例子。
下面我将列举一些与乘法原理相关的实际应用情景。
1.生日问题：在一个房间里，如果有n个人，那么至少两个人生日相同的概率是多少？根据乘法原理，第一个人的生日可以是任意一天，概率为365/365；第二个人的生日与第一个人不同的概率为364/365；第三个人的生日与前两个人不同的概率为363/365，以此类推。
所以，至少两个人生日相同的概率可以通过将上述概率相乘得到。
2.扑克牌问题：从一副扑克牌中同时取出两张牌，问两张牌都是红心的概率是多少？根据乘法原理，第一张牌为红心的概率为26/52；第二张牌为红心的概率为25/51、所以，两张牌都是红心的概率为(26/52)*(25/51)。
3.复杂事件问题：设A、B和C是三个相互独立的事件，其概率分别为P(A)、P(B)和P(C)。
乘法与除法的基本原理
乘法与除法的基本原理在数学中，乘法和除法是两个基本运算。
它们有着自己的基本原理和应用方法。
本文将详细介绍乘法与除法的基本原理，并探讨它们在数学中的重要性和实际应用。
一、乘法的基本原理乘法是一种将两个数相乘的运算。
数学上，我们使用乘法符号“×”或者“*”来表示乘法。
在乘法中，有两个基本原理需要了解：乘法交换律和乘法结合律。
1. 乘法交换律乘法交换律指的是，两个数相乘的结果与顺序无关。
例如，对于任意的实数a和b，a × b = b × a。
乘法交换律的应用十分广泛。
例如，在计算乘法表时，无论表格中的两个数的顺序如何，得到的乘积都是相同的。
这个性质使得乘法运算更加简便和灵活。
2. 乘法结合律乘法结合律指的是，三个数相乘的结果与括号的位置无关。
例如，对于任意的实数a、b和c，(a × b) × c = a × (b × c)。
乘法结合律可以用来简化复杂的乘法计算。
通过合理地改变括号的位置，我们可以将一个复杂的乘法运算分解为多个简单的乘法运算，使得计算更加方便和高效。
二、除法的基本原理除法是一种将一个数分成若干等份的运算。
数学上，我们使用除法符号“÷”或者“/”来表示除法。
除法的基本原理包括被除数、除数和商的概念。
1. 被除数被除数是指需要被分成若干等份的数。
例如，在计算12 ÷ 3时，12就是被除数。
2. 除数除数是指用来分割被除数的数。
例如，在计算12 ÷ 3时，3就是除数。
3. 商商是指被除数被除以除数所得到的结果。
例如，在计算12 ÷ 3时，商为4。
除法的基本原理可以表示为：被除数 ÷除数 = 商。
除法中还有一个重要的概念是余数，表示除法运算中被除数除以除数后剩下的余数。
除法在日常生活中有着广泛的应用。
例如，计算每人应得的奖金、每天应摄入的卡路里等都会用到除法。
三、乘法和除法的实际应用乘法和除法作为基本的运算，不仅在数学中广泛应用，而且在实际生活中也有着重要的应用。
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乘法原理教学目标1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系。
3.培养学生准确分解步骤的解题能力；乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯。
知识要点一、乘法原理概念引入老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上8点的课，然后得赶到黄埔去上下午1点半的课。
如果说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔。
这几个环节是必不可少的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的。
在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是10条路线。
但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了。
这个时候我们的乘法原理就派上上用场了。
二、乘法原理的定义完成一件事，这个事情可以分成n个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步有A种不同的方法，第二步有B种不同的方法，……，第n步有N种不同的方法。
那么完成这件事情一共有A×B×……×N种不同的方法。
结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了，即10条。
三、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考题类型1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色的方法；3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法。
例题精讲模块一：简单乘法原理的应用【例1】 （难度等级 ※）邮递员投递邮件由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条，那么邮递员从A村经B村去C 村，共有多少种不同的走法？【巩固】 （难度等级 ※）如下图所示，从A地去B地有5种走法，从B地去C地有3种走法，那么李明从A地经B地去C地有多少种不同的走法？【例2】（难度等级 ※）如下图中，小虎要从家沿着线段走到学校，要求任何地点不得重复经过。
问：他最多有几种不同走法？【巩固】（难度等级 ※）在下图中，一只甲虫要从点沿着线段爬到点，要求任何点不得重复经过。
问：这只甲虫最多有几种不同走法？【例3】 （难度等级 ※※）在右图中，一只甲虫要从点沿着线段爬到点，要求任何点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同走法？【巩固】 （难度等级 ※※）在右图中，一只蚂蚁要从点沿着线段爬到点，要求任何点不得重复经过．问：这只蚂蚁最多有几种不同走法？【巩固】 （难度等级 ※※）在右图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过。
问：这只甲虫最多有几种不同走法？【巩固】 （难度等级 ※※）在右图中，一只甲虫要从点沿着线段爬到点，要求任何点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同走法?【例4】 （难度等级※※）按下表给出的词造句，每句必须包括一个人、一个交通工具，以及一个目的地，请问可以造出多少个不同的句子？【例5】 （难度等级※※）题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷。
问：由该题库共可组成多少种不同的试卷？【巩固】 （难度等级※※）文艺活动小组有3名男生，4名女生，从男、女生中各选1人做领唱，有多少种选法？【巩固】 （难度等级※※）小丸子有许多套服装，帽子的数量为5顶、上衣有10件，裤子有8条，还有皮鞋6双，每次出行要从几种服装中各取一个搭配。
问：共可组成多少种不同的搭配(帽子可以选择戴与不戴)？【例6】（难度等级 ※※）要从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，有多少种不同的评选结果？【巩固】 （难度等级 ※※）从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，如果要求同一个班级只能得到一个先进集体，那么一共有多少种评选方法？【例7】 （难度等级 ※※）从全班20人中选出3名学生排队，一共有多少种排法？【例8】 （难度等级 ※※）五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。
如果贝贝和妮妮不相邻，共有多少种不同的排法？【巩（难度等级 ※※※）10个人围成一圈，从中选出三个固】 人，其中恰有两人相邻，共有多少种不同选法？【例9】 （难度等级 ※※※）“数学”这个词的英文单词是“MATH”。
用红、黄、蓝、绿、紫五种颜色去分别给字母染色，每个字母染的颜色都不一样．这些颜色一共可以染出多少种不同搭配方式？【巩固】 （难度等级 ※※）“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母用3种不同颜色来写，现有5种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？【例10】 （难度等级 ※※）“学习改变命运”这六个字要用6种不同颜色来写，现只有6种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？【巩固】 （难度等级 ※※）有6种不同颜色的笔，来写“学习改变命运”这六个字，要求相邻字的颜色不能相同，有多少种不同的方法？【巩固】 （难度等级 ※※）用5种不同颜色的笔来写“智康教育”这几个字，相邻的字颜色不同，共有多少种写法？模块二：较复杂的乘法原理应用【例11】 （难度等级 ※※）北京到上海之间一共有6个站，车站应该准备多少种不同的车票？(往返车票算不同的两种)【巩固】 （难度等级 ※※※）一条线段上除了两个端点还有6个点，那么这段线段上可以有多少条线段？【巩固】 （难度等级 ※※）某次大连与庄河路线的火车，一共有6个停车点，铁路局要为这条路线准备多少种不同的车票？【巩固】 （难度等级 ※※）北京到广州之间有10个站，其中只有两个站是大站(不包括北京、广州)，从大站出发的车辆可以配卧铺，那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票？【例12】 （难度等级 ※※）⑴由数字1、2可以组成多少个两位数？⑵由数字1、2可以组成多少个没有重复数字的两位数？【巩（难度等级 ※※）用数字0，1，2，3，4可以组成多固】 少个：⑴ 三位数？⑵ 没有重复数字的三位数？【巩固】 （难度等级 ※※）⑴由3、6、9这3个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？⑵ 由3、6、9这3个数字可以组成多少个三位数？【例13】 （难度等级 ※※※）有五张卡，分别写有数字1、2、4、5、8。
现从中取出3张卡片，并排放在一起，组成一个三位数，问：可以组成多少个不同的偶数？【巩固】 （难度等级 ※※※）三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？【例14】 （难度等级 ※※※）有5张卡，分别写有数字2，3，4，5，6．如果允许6可以作9用，那么从中任意取出3张卡片，并排放在一起．问⑴ 可以组成多少个不同的三位数？⑵可以组成多少个不同的三位偶数？【例15】 （难度等级 ※※）用1、2、3这三个数字可以组成多少个不同的三位数？如果按从小到大的顺序排列，213是第几个数？【巩固】 （难度等级 ※※※）有一些四位数，它们由4个互不相同且不为零的数字组成，并且这4个数字和等于12.将所有这样的四位数从小到大依次排列，第35个为 。
【例16】 （难度等级 ※※※）将1332，332，32，2这四个数的10个数码一个一个的划掉，要求先划位数最多的数的最小数码，共有多少种不同的划法？【巩固】 （难度等级 ※※）一个三位数，如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字，就称它“吃掉”另一个三位数，例如：532吃掉311，123吃掉123，但726与267相互都不被吃掉。
问：能吃掉678的三位数共有多少个？【巩固】 （难度等级 ※※）9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？【例17】 （难度等级 ※※※）在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个？【例18】 （难度等级 ※※※）用1～9可以组成______个不含重复数字的三位数：如果再要求这三个数字中任何两个的差不能是1，那么可以组成______个满足要求的三位数？【例19】 （难度等级 ※※※）如图，地图上有A，B，C，D四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同，有多少种不同染色方法?【巩固】 （难度等级 ※※※）如图，一张地图上有五个国家，，，，，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？【例20】 （难度等级 ※※※）如图：将一张纸作如下操作，一、用横线将纸划为相等的两块，二、用竖线将下边的区块划为相等的两块，三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块，四、用竖线将最右下方的区块划为相等的两块……，如此进行8步操作，问：如果用四种颜色对这一图形进行染色，要求相邻区块颜色不同，应该有多少种不同的染色方法？【巩固】 （难度等级 ※※※）用三种颜色去涂如图所示的三块区域，要求相邻的区域涂不同的颜色，那么共有几种不同的涂法？【例21】 （难度等级 ※※※）如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻的国家所染的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同．那么一共可以有多少种染色方法？【巩固】 （难度等级 ※※※※）某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法?【例22】 （难度等级 ※※※）右图中共有16个方格，要把A，B，C，D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法？【巩固】（难度等级 ※※※）在下图的方格内放入五枚棋子，要求每行、每列都只能有一枚棋子，共有多少种放法？【例23】（难度等级 ※※※）如图，其中同时包括两个☆的长方形有个。
【巩固】 （难度等级 ※※※）在下图中，不包含☆的长方形有________个。